光波场的数学描述共21页文档

ω ↔k T ↔λ
v↔ 1
λ
1. 空间频率 空间频率， 空间频率，即
f = 1
λ
(81)
它表示光波场沿波矢 k 方向每增加单位长度，光波 方向每增加单位长度， 场增加的周期数。 场增加的周期数。
1. 空间频率 光波的空间频率是观察方向的函数。例如， 光波的空间频率是观察方向的函数。例如，对于图所 空间频率是观察方向的函数 示的、 轴方向传播的平面光，在波传播方向（ ） 示的、沿 z 轴方向传播的平面光，在波传播方向（z） 上，波长是 λ ，空间频率是 f＝1 / λ。
2. 空间频率谱 可以把一个平面上的单色光波场复振幅视为向空 可以把一个平面上的单色光波场复振幅视为向空 平面上 间不同方向传播的单色平面光波的叠加， 间不同方向传播的单色平面光波的叠加，每一个 平面光波分量与一组空间频率（ 相对应。 平面光波分量与一组空间频率（fx，fy）相对应。 这样一来，就可以把对光波各种现象的分析，转 这样一来，就可以把对光波各种现象的分析， 变为考察该光波场的平面光波成分的组成变化， 变为考察该光波场的平面光波成分的组成变化， % 也就是通过考察其空间频率谱 E(fx , f y )在各种过程 中的变化，研究光波在传输、 中的变化，研究光波在传输、衍射及成像等过程 中的规律。 中的规律。
(79)
1. 空间频率 从平面光波场时、空相位关系的对称性来看， 从平面光波场时、空相位关系的对称性来看，k 可 空间圆频率， 可称为光波场的空间周期 空间周期, 称为空间圆频率 称为空间圆频率，波长 λ 可称为光波场的空间周期 相应波长的倒数可称为光波场在光传播方向上的空 相应波长的倒数可称为光波场在光传播方向上的空 间频率。 间频率。
E = E0e−i(ωt −k⋅r +ϕ0 ) =E0e

空间频率的物理意义
1 、 空 间 频 率 表 示 在 x ,y ,z ? 轴 上 单 位 距 离 内 的 复 振 幅 周 期 变 化 的 次 数 。 这 就 是 平 面 波 空 间 频 率 的 物 理 意 义 。
以 x 轴 为 例 ， 上 图 中 空 间 振 荡 周 期 为 X c o s ； 其 倒 数 即 为
可 以 证 明 ， 方 程 1 有 两 个 精 确 的 基 本 解 （ 平 面 波 和 球 面 波 解 ） 。
参 考 书 ： B .E .A .S alehan dM .C .T eich 《 ,F u n d am en talso fP h o to n ics》 (2 n dE d .） (W iley ,N ew Jersey ,2 0 0 7 )
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平面波的复振幅表示
何 为 平 面 波 ？ — — 在 任 意 时 刻 、 与 波 矢 相 垂 直 的 平 面 上 ， 振 幅 和 相 位 均 为 常 数 的 光 波 称 为 平 面 波 。
波 矢 k 表 示 波 的 传 播 方 向 ， 大 小 为 k2 ,方 向 由 方 向 余 弦
co s,co s,co s确 定 。
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数学分析
平 面 波 也 是 方 程 1 的 精 确 解 。 设 空 间 某 点 P x,y,z位 置 矢 量
为 r, 则 其 复 振 幅 的 表 达 式 为
U x ,y,zaex pjkr
选 点 O 为 坐 标 原 点 ， 位 置 矢 量 可 表 示 为 r i ˆ x ˆ jy k ˆ z 。 而 波 矢 k
的 解 ， 可 写 为 ：
U P a 0e x p jk r 发 散 球 面 波
r
式 中 r 为 P 点 到 点 光 源 的 距 离 ， a 0 为 球 面 波 单 位 距 离 处 的 振 幅 。

在 z=z0 平面上的复振幅分布为：
exp( j2
cos
z0 )exp
j2 (ux vy)
可见，单色平面波从 z=0 平面传播到 z=z0 平面上，其在xy平面上的相位分布不变，只是整体发生一个相移:
exp( j2
cos
z0 )
而
exp
j2
(ux
vy)
exp
j2
cos
x cos
exp jk x cos y cos
等相位线方程 x cos y cos C
等相位线是一族等间距的平行直线。
1.7.2 平面波的空间频率
U
x,
y, z
a
exp
j2
cos
x cos
y cos
z
a exp j2 fx x fy y fz z
x方向：空间频率
x x0 2 y y0 2 c 等相位线是z=z0平面上, 以(x0,y0)
c是任意常数 为圆心的同心圆环族。(内疏外密)
2 单色平面波 在整个空间中:
U x, y, z a exp j kx cos ky cos kz cos
U x, y, z a exp jkz 1 cos2 cos2
fx
kx
2
cos
，
空间周期 dx
1 fx
cos
y方向：空间频率 f y
ky
2
cos
，
空间周期
dy
1 fy
cos
z方向：空间频率
fz
kz
2
cos
，
空间周期
dz
1 fz
cos
2

U ( x, y) A exp( jkx cosa )
等位相面是平行于y 轴的一系列平面, 间隔为l 等位相面与x-z平面相交 等位相面与x-y平面相交 形成平行直线 形成平行于y轴的直线 沿x方向的等相线 间距: z
2p l X k cosa cosa
光波场的复振幅描述
四、平面波的空间频率 复振幅分布: U ( x, y) A exp( jkx cosa )
定义 复振幅分布在x方向的空间频率:
1 cosa fx X l
Y = ∞, fy=0
对于在x-z平面内传播的平面波, 在y方向上有:
复振幅分布可改写为:
U ( x, y) A exp( j 2pf x x)
光波场的复振幅描述
平面波的空间频率: 一般情形 U ( x, y) A exp[ jk ( x cosa y cos b )]
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示: 说明
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关; • U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)| 和相对位相 arg(U)= j(P) • 方便运算, 满足叠加原理 • 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动: u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可 • 光强分布: I = UU*
反之给定一组fx和fy对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方向cosalfxcosblfy要与光的时间频率严格区分开空间比时间更具体更直观是有形的光波场的复振幅描述平面波的空间频率信息光学中最基本的概念这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为三个空间频率不能相互独立因此在任一距离z的平面上的复振幅分布由在z0平面上的复振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出

4
2E
1 c2
2E t 2
设波长为λ，传播方向为 z，则上式的解为：
Ε E0 cos2 (z ct) / a
E0 cos(kz t) a
k 2 / , kc
定义一矢量 k，其大小等于k，方向为波的传播方
向，则可推广到任意方向传播的波。
r xex ye y zez 是空间任一点的位置矢量
1 2
r 2 (rE) c2 t 2 (rE)
13
2 r 2
(rE )
1 c2
2 t 2
(rE )
该方程的解为
E(r,t) (1/ r) Aexp i(k r a)exp( it)
U (k r) exp( it)
式中A是一个常数
讨论：1、k r 常数的面是等振幅面，对于单色
光，它同时也是等相面，都是球面
0 0
2E t 2
1 c2
2E t 2
E E0 exp[i(k r a t)] E E0 exp[i(kr a t)]
k' / v, v 1/ 0r 0r c / rr
23
4、在介质中的参量
光波的传播速度 v c / rr c / n
光波的角波数 光波的波长
介质的折射率
k / v /(c n) nk
第二章 光波的数学表述 及叠加原理
1
§2.1 光波及其数学表述，单色平面波
一、简谐波(simple harmonic waves)的表达式
y(z,t) Acos(kz t) a
角波数 k 2 / 即2π长度内所含的
波长数目。
λ 为波动的波长，即具有同一振动相位的空
间两相邻点之间的距离。
ν为频率，即单位时间内振动的次数。

(W 0/W )ex (x p 2 [y2)/W 2]
激光光波的波面（等相位面）是球面，但其
球面半径 R 随距离 z 而变；当 z = 0 或 z
时， R都为无穷大，即为平面波。
激光光波波面上的光场分布是高斯分布。其场强
在中心（x=y=0）处最大，为（W0/W）。随着 x、y
增大，场强减小。当 x2+ y2= W2 时，场强降低到中心
EE2E 2E
对于E，微分方程为
2E
1 c2Biblioteka 2E t22E1 c2

2E t2
设波长为λ，传播方向为 z，则上式的解为：
ΕE0cos2(zct)/a E0co(skzt)a
k2/,kc
定义一矢量 k，其大小等于k，方向为波的传播 方向，则可推广到任意方向传播的波。
§2.4 光波的能量和动量 光强是和电磁场的能流有关的物理量。电 磁波的能量守恒表现为单位时间内流出（入） 闭合体积的电磁波能量等于单位时间内闭合体 积内的能量减少（增多）
一、电磁波的能量
电场能量与磁场能量体密度分别为：
we1DE10rE2
2
2
wm1BH10rH2
2
2
电磁场能量体密度为：
E E 0 ex i(k p r a [t)
E E 0 ex i(k p r a [t)]
k ' /v ,v 1 / 0 r0 r c/ rr
4、在介质中的参量
光波的传播速度 vc/ rr c/n
光波的角波数 光波的波长
介质的折射率
k/v/(cn)nk
2、物态方程
D0rE
H ( 1 )B
0r
εr为该介质的相对介电常数，μr为相对磁导率，jc 与介质

一级近似 二级近似
即
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§1-1光波场的复振幅描述
二、球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y ) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系，将光场用复数表 示,以利于简化运算
u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]} = e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于 = e{a(P) e jj(P). e -j2pnt } 将时空变量分开
2 2 1/ 2
需要作近轴近似
z
光波场的复振幅描述
球面波 : 近轴近似 只考虑 x - y平面上对源点 S 张角不大的范围,
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 2 z ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 可以作泰勒展开 r z 2z (1+D)1/2 1+ D /2
定义 复振幅分布在x方向的空间频率:
1 cosa fx X l
Y = ∞, fy=0
对于在x-z平面内传播的平面波, 在y方向上有:
复振幅分布可改写为:
U ( x, y) A exp( j 2pf x x)
光波场的复振幅描述
平面波的空间频率: 一般情形 U ( x, y) A exp[ jk ( x cosa y cos b )]
(r
x
§1-1光波场的复振幅描述
球面波 : 空间分布

2020年2月8日
7
光学教程专题 光波及其在各向同性介质界面的反射和折射
菲涅耳公式： 反射比与透射比关系：
rp t p 1; rs ts 1
正入射时：
rp

rs

n2 n2
n1 n1
tp

ts

2n1 n2 n1
2020年2月8日
8
光学教程专题 光波及其在各向同性介质界面的反射和折射
沿z轴方向传播的一维平面简谐波的波函数：
E(
p, t )

A c os [ (t

z) v
0
]
E hv,T 2 , h / 2 , P h /
k 2 , v
E(
p, t )

A exp
i [Et

P
r0 ]
2020年2月8日
2
E
2020年2月8日
A
exp
i[
(t

z v
)

0
E* Aexp{i[(t
] z
v
)

0
]}
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光学教程专题 光波及其在各向同性介质界面的反射和折射
波函数的复数表达 复振幅：
当略去含有时间的指数因子时：
E~

Aexpi[k
r 0
]
称为复振幅。而根据复函数的运算法则：
相位突变 对入射波和反射波而言，则因：
rp

E1p ' E1 p

n2 n2
cosi1 cosi1
n1 cosi2 n1 cosi2
rs

的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们的值分别取决
于角谱的模和幅角。
惠更斯—菲涅耳原理
“波前上的每一个面元都可以看作是一个次 级扰动中心，它们能产生球面子波”，并且， “后一时刻的波前的位置是所有这些子波前 的包络面。”
——《论光》,惠更斯 , 1690
“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作 是一个频率（或波长）与入射波相同的子波 源；在其后任何地点的光振动，就是这些子 波叠加的结果。”
dS
h P, P0
1 K e jkr
j
r
U P U P0 h P, P0 dS
若孔径在x0y0平面，而观察平面在xy平面，上式可进一步表示为
U x, y U x0 , y0 h x, y; x0, y0 dx0dy0
这正是描述线性系统输入—输出关系的叠加积分；因此光波的传播现象可以 看作是一个线性系统！
在傍轴近似下，K 1 ，则上述线性系统的脉冲响应函数简化为，物理意义
h x, y; x0, y0
1 j
e jkr r
1 j
exp
jk
z2
x
x0
2
y
y0
2
z2 x x0 2 y y0 2
h x x0, y y0
脉冲响应函数具有空间不变的函数形式，也就是说光波在衍射孔径后的传播现象 可看作线性不变系统。这为我们用线性不变系统理论分析衍射现象提供了依据。
r
2
r
dS
其中，P是照明孔径的点光源，P0是孔径上某 一点，P为孔径后面某一观察点，r和r分别P 和P到P0的距离（图3-3）。上式称为菲涅耳— 基尔霍夫衍射公式，它为惠更斯—菲涅耳原 理提供了更可靠的波动理论基础。