第2章 无限大均匀各向同性介质中的光波场II

（2）介质为固体、液体或压缩气体等 此情形下，介质的原子或分子之间的相互 作用不可忽略。此时，作用于电子上的电场E’ 为：
v v v v v P v −iωt ′ = E0 e （2.3.21） E ′ = E + E ′′ = E + 3ε 0
周围分子产生 的极化电场
入射光波电场
同理可得电子振动位移：
v v −iωt E = E0 e
（2.3.2）
（1）介质为稀薄气体 可忽略原子或分子间的相互作用，作用 于电子上的外电场只是入射光波场。其运动 方程可表示为： 或
d 2l dl −iωt m 2 + g + hl = qE0 e dt dt
（2.3.4） d l dl q −iωt 2 +γ + ω0 l = E0 e 2 dt dt m
2
Nq 1 n ≈ 1+ ⋅ 2 2 ε 0 m (ω0 − ω )
2 2
显然，此式即为（2.3.20）式。可见，洛伦兹 －洛伦茨公式对于稀薄气体同样适用，因 此，它是研究色散现象的基本关系式。
2.3.2 亥姆霍兹色散方程 假定一般情况下固有频率为 ω j 的电子所占的 比例（概率）为 ρ j ，则色散方程为：
讨论
问题：在经典电磁理论下，如何理解光波场 与物质相互作用？能否解释柯西公式这样的 实验规律？如何解决介质在一般吸收区和选 择吸收区的吸收（k）和色散（n）的问题？
2.3.1 洛伦兹色散模型 洛伦兹认为，物质分子由一定数量的重 原子核和外围电子构成的复杂带电系统。 该系统的特征：a）正负电荷相等，一般 电子受核子束缚处于平衡位置，又相当于一 个线性弹性振子。 因此，物质分子可看作是一系列线性弹 性电偶极振子的组合。
式中：n为介质的实数折射率，tspon 为原
从物理图像上来看，入射光与物质发生了 两种作用，一是E1能级的原子受激吸收一个光 子跃迁至E2能级；二是E2能级的原子受激辐射 出一个光子跃迁至E1 能级。当N2>N1 时，受激 辐射的概率大于受激吸收的概率，相应于增益 介质对入射光的放大作用；当N2<N1 时，受激 辐射的概率小于受激吸收的概率，相应于处于 热平衡的原子体系对光的吸收作用。
2
Nq （2.3.26a） ω02 − ω 2 − 3ε 0 m
2
Nq m
2
或
n −1 Nq = 2 2 2 n + 2 3ε 0 m(ω0 − ω )
2 2
（2.3.26b）
此式为洛伦兹（Lorentz）－洛伦茨（Lorenz）公式。
对于稀薄气体， n ≈ 1, 式（2.3.26b）可得：
n + 2 = 3 于是由上
q q 1 1 l0 = ⋅ 2 E0 = ⋅ E0 eiδ 2 m ω0 − ω 2 − iγω m (ω0 − ω 2 )2 + ω 2γ 2
γω δ = arctan 2 ω0 − ω 2
讨论 1）上结果（2.3.7-8）与力学中质点作受迫振 动的解在形式上完全一致。 2）当 ω = ω0 时，受迫振动处于共振状态， q 1 E0 振幅达到最大值：l0 max = i ⋅ m γω0 此时，介质原子或分子对光能量的吸收最 大，此为共振吸收或选择吸收。
电子云
H+ H+ C-H+ H+ = ± CH4
He
原子核
- ++ θ v + P + + + + - ++
θ
v n
外场作用下极化
电偶极子振荡模型： 当光入射到物质时，光波的电磁场将引 起物质中的电子和原子核的振荡，因光波具 有极高频率，而原子核远重于电子，故一般 可忽略核的运动而只考虑电子的振荡，即所 谓电偶极子振荡。
当无阻尼力时，γ
2
= 0 ，则上式进一步简化：
2
Nq 1 n ≈ 1+ ⋅ 2 2 ε 0 m (ω0 − ω )
（2.3.20）
由（2.3.18）和（2.3.19）式，分别以
ω 为横
坐标、n和2nk为纵坐标作图，可得介质在固 有频率 ω0 附近的色散及共振吸收曲线。
n 2nk n=1
2nk n
v Nq 2 v v 1 P = Nql = E 2 2 m (ω0 − ω − iγω )
根据电位移矢量D的定义，有
v v v v D = εE = ε 0 E + P
（2.3.12）
显然，此处的介电常数为复数，则：
v 2 1 ~ = ε + P = ε + Nq ⋅ v ε 0 0 2 2 E m ω0 − ω − iγω
2
复数折射率的实部反映了介质的色散特
性，而虚部反映了介质的损耗，即吸收特性。 吸收大小及区域分布由因子k决定。当阻尼力 较小时，k值较小，（2.3.17）式中的k2可忽 略，于是得：
Nq ω −ω n = 1+ ⋅ 2 2 2 2 2 ε 0 m (ω0 − ω ) + γ ω
2 2 2 0 2
（2.3.19）
−3
c n = 1.69 × 10 cm / s
10
上述参数代入增益系数g计算得，
g ( v ) = 5 × 10 / cm
若取z = 1cm，则有
−2
I gz 0.05 = e = e = 1.05127 I0
说明在跃迁中心频率处的光波通过1cm具 有上述特性的红宝石激光介质后，其强度将被 放大约5.1%。
单位长度内光强的 损耗所占的百分比
1 dI 4π g= ⋅ = γ I z λ0
单位长度内光强的 增益所占的百分比
举例
E2, N2 E1, N1
如图所示，二能级原子系统中，分布在 下 能 级 E1 和 上 能 级 E2 的原 子 数分别为N1 和 N2，系统固有频率v0满足：
hv0 = E2 − E1
洛伦兹的电子论观点：
色散现象可认为是介质中带电粒子在 光波场作用下，作受迫振动时产生的一种 效应；其实质是光波电磁场与介质分子相 互作用的结果。
光波场与物质的相互作用
★ 对于金属，其价 电子受原子核的吸引 力极小，可近似用自 由电子模型来描述。 ★ 对于介质，电子受 核的引力较大，且分 子中的化学键较强， 电子受束缚。外场将 使电子云变形，形成 电偶极子。
~ = n + ik n
光波通过此类增益介质时，随着传播距离 的增加，其光振幅不断增大。
损耗介质的吸收与增益介质的光放大表达式
吸收介质 复折射率 光强 系数 含义 增益介质
~ = n − ik n
I = I 0e
− αz
~ = n + ik n
I = I 0e
gz
1 dI 4π α =− ⋅ = k I dz λ0
（2.3.13）
~ ~ ~ 2 = ε = ε ε ，代入上式 由折射率的定义， n r 0
（2.3.13）得：
1 （2.3.14） ~ 2 = 1 + Nq ⋅ n 2 2 mε 0 ω0 − ω − iγω
2
此式表明，对于吸收介质，折射率也为复数：
~ = n + ik n
其中n和k为实常数。
（2.3.15）
2
于是电极化强度为：
即
v P=
Nq m
2
Nq 2 2 ω0 − ω − 3ε 0 m
2
v E
（2.3.24）
代入（2.3.12）式得无阻尼时的介电常数：
v P ε = ε0 + v = ε0 + E
பைடு நூலகம்
Nq m
2 0 2
2
Nq ω −ω − 3ε 0 m
2
（2.3.25）
由此得介质折射率：
ε n = = 1+ ε0
0
ω0
ω
图2.3.1 介质的色散和吸收曲线 显然，在远离介质得共振吸收区域，折射率随 入射光频率的增大而增大，此称正常色散现象；在 介质的共振吸收区域内，折射率随入射光波频率的 增大而减小，此称反常色散现象。
* 增益介质中的复折射率表达式
与损耗介质情况不同，当介质有增益时， 其复折射率的虚部符号与损耗介质相反。增益 介质的复折射率表达式为：
d l dl m 2 + g + hl = 0 dt dt
2
显然，当
12
g = 0 时，电子将以圆频率
ω0 = (h m) 作简谐振动，而当 g ≠ 0 时，
电子作阻尼振动。
当光波场作用于介质时，介质中的束缚 电子将作受迫振动。此时，电子运动速度远 小于光速
v << c
，磁场作用力与电场作用
力之比约为 v c << 1 ，故可忽略磁场对电子 的作用力。因此，以下讨论中只考虑电场的 作用：
消光系数
~ 2 = n 2 − k 2 + i 2nk 则有： n
2 2 0
（2.3.16）
化简（2.3.14）式并与（2.3.16）式比较得：
Nq ω −ω n − k = 1+ ⋅ 2 2 2 2 2 ε 0 m (ω0 − ω ) + γ ω
2 2 2
（2.3.17）
Nq γω 2nk = ⋅ 2 2 2 2 2 （2.3.18） ε 0 m (ω0 − ω ) + γ ω
2
γ = g m ，ω0 = (h m)1 2 分别定义为原子 式中
或分子的振动阻尼系数和固有圆频率。
上方程（2.3.4）的解可写为：
l =l 0 e
代入（2.3.4）方程得：
2 2 0
− iωt
（2.3.5）
q ( −ω + ω − iγω )l 0 = E 0 m