北京市海淀区普通中学2016年10月初三数学期中复习 因式分解 专题检测题 学生版无答案

北京市初中数学因式分解综合训练一、选择题1．下列变形，属于因式分解的有（ ）①x 2﹣16＝（x +4）（x ﹣4）；②x 2+3x ﹣16＝x （x +3）﹣16；③（x +4）（x ﹣4）＝x 2﹣16；④x 2+x ＝x （x +1）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：①x 2-16=（x+4）（x-4），是因式分解；②x 2+3x-16=x （x+3）-16，不是因式分解；③（x+4）（x-4）=x 2-16，是整式乘法；④x 2+x =x (x +1))，是因式分解．故选B ．2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．A ．()x a b ax bx -=-B ．()()222111x y x x y -+=-++C ．()()2111x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=+【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．【详解】解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误；B 、右边不是积的形式，故选项错误；C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确；D 、等式不成立，故选项错误．故选：C ．【点睛】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．3．多项式x 2y （a -b ）-xy （b -a ）+y （a -b ）提公因式后，另一个因式为（ ） A ．21x x -+B ．21x x ++C ．21x x --D ．21x x +-【答案】B【解析】解：x 2y (a －b )－xy (b －a )＋y (a －b )= y (a －b )（x 2+x +1）．故选B ．4．已知4821-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）A ．61、63B ．61、65C ．61、67D ．63、65 【答案】D【解析】【分析】由()()()()()()24242412686421212121221121=+-=+++--，多次利用平方差公式化简，可解得.【详解】解：原式()()24242121=+-，()()()()()()()()()24121224126624122121212121212163652121=++-=+++-=⨯⨯++ ∴这两个数是63,65.选D.【点睛】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.5．下列分解因式正确的是（ ）A ．x 2-x+2=x （x-1）+2B ．x 2-x=x （x-1）C ．x-1=x （1-1x ）D ．（x-1）2=x 2-2x+1 【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A 、x 2-x+2=x （x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；B 、x 2-x=x （x-1），故选项正确；C 、x-1=x （1-1x），不是分解因式，故选项错误； D 、（x-1）2=x 2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．6．如图，矩形的长、宽分别为a 、b ，周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为( )A．60 B．30 C．15 D．16【答案】B【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b，ab，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积6，∴2（a+b）=10，ab=6，则a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=6×5=30．故选：B．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．7．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )A．2ab(a-b)=2a2b-2ab2B．x2+1=x(x+1 x )C．x2-4x+3=(x-2)2-1 D．a2-b2=(a+b)(a-b)【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.【详解】解：A.不是因式分解，而是整式的运算B.不是因式分解，等式左边的x是取任意实数，而等式右边的x≠0C.不是因式分解，原式＝(x－3)(x－1)D.是因式分解.故选D.故答案为：D.【点睛】因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法.8．将3a b ab-进行因式分解，正确的是( )A ．()2a a b b -B ．()21ab a -C ．()()11ab a a +-D ．()21ab a - 【答案】C【解析】【分析】 多项式3a b ab -有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解．【详解】()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-，故选：C ．【点睛】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；9．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ）A ．±B ．C ．±D ．【答案】C【解析】【分析】将原式进行变形，3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】解：∵3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-∴33)a b b ab a =--又∵22()()4a b a b ab -=+-∴22()414a b -=-⨯=∴2a b -=±∴33(2)a b ab =±=±-故选：C ．【点睛】本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键．10．多项式2()()()x y a b xy b a y a b ---+-提公因式后，另一个因式为（ ） A ．21x x --B ．21x x ++C ．21x x --D ．21x x +-【答案】B【解析】【分析】各项都有因式y （a-b ），根据因式分解法则提公因式解答.【详解】2()()()x y a b xy b a y a b ---+-=2()()()x y a b xy a b y a b -+-+-=2()(1)y a b x x -++，故提公因式后，另一个因式为：21x x ++，故选：B.【点睛】此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.11．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2B ．x 2+4x+4=（x+2）2C ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2D ．ax 2﹣a=a （x 2﹣1）【答案】B【解析】【分析】因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定.【详解】A 选项,从左到右变形错误,不符合题意,B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意,C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意,D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解,属于分解不彻底,因此不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.12．不论x ,y 为任何实数，22428x y x y +--+ 的值总是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【答案】A【解析】x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，不论x,y 为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3，故选A.【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．13．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ）A ．()2212x x x x --=--B ．()()22a b a b a b +-=-C ．()()2422x x x -=+-D ．()2222a b a b ab +=++ 【答案】C【解析】【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可．【详解】A 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.B 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.C 选项：等式右边是乘积的形式，故是因式分解，符合题意.D 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.故选：C.【点睛】考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）．14．下列各因式分解正确的是（ ）A ．﹣x 2+（﹣2）2=（x ﹣2）（x+2）B ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2C ．4x 2﹣4x+1=（2x ﹣1）2D ．x 3﹣4x=2（x ﹣2）（x+2）【答案】C【解析】【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．【详解】A ．﹣x 2+(﹣2)2=(2+x)(2﹣x)，故A 错误；B ．x 2+2x ﹣1无法因式分解，故B 错误；C.4x 2﹣4x+1=(2x ﹣1)2，故C 正确；D 、x 3﹣4x= x(x ﹣2)(x+2)，故D 错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．15．某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy 2+6x 2y+3xy=-3xy•（4y-______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）A ．2xB ．-2xC ．2x-1D ．-2x-l【答案】C【解析】【分析】根据题意，提取公因式-3xy ，进行因式分解即可．【详解】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．故选：C ．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化．16．已知a 、b 、c 是ABC V 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC V 是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0，∵a+b-c ≠0，∴a-b=0，即a=b ，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是A ．8a 2b=2a ·4abB ．-ab 3-2ab 2-ab=-ab (b 2+2b )C ．4x 2+8x-4=4x 12-x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．4my-2=2(2my-1)【答案】D【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．18．将多项式x2+2xy+y2﹣2x﹣2y+1分解因式，正确的是（）A．（x+y）2B．（x+y﹣1）2C．（x+y+1）2D．（x﹣y﹣1）2【答案】B【解析】【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法．【详解】解：x2+2xy+y2﹣2x﹣2y+1=（x2+2xy+y2）﹣（2x+2y）+1=（x+y）2﹣2（x+y）+1=（x+y﹣1）2．故选：B19．把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）．A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)【答案】A【解析】【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．【详解】解：原式=x2-（y2+2y+1），=x2-（y+1）2，=（x+y+1）（x-y-1）．故选A．20．下列从左到右的变形属于因式分解的是()A．(x＋1)(x－1)＝x2－1 B．m2－2m－3＝m(m－2)－3C．2x2＋1＝x(2x＋1x) D．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写出几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、（x+1）（x-1）=x2-1不是因式分解，是多项式的乘法，故本选项错误；B、右边不全是整式积的形式，还有减法，故本选项错误；C、右边不是整式积的形式，分母中含有字母，故本选项错误；D、x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)符合因式分解的定义，故本选项正确.故选：D．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．。

北京市海淀区2015-2016学年九年级（上）期中数学复习试卷（圆）一、填空题1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD= 度．2．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE= ．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是．4．（2015秋•海淀区期中）已知AB是直径，∠C等于15度，∠BAD的度数= ．5．（2015秋•海淀区期中）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是．6．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外7．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定8．已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于．10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm．11．（2014秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．12．（2014秋•陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．13．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP 垂直平分线段AB．14．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O 交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．15．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．16．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（圆）参考答案与试题解析一、填空题1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD= 度．【考点】垂径定理；圆周角定理．【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解．【解答】解：由垂径定理可知，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD=∠CEA=28度．故答案为：28．【点评】本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．2．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE= ．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得．【解答】解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．∴CE=CD=4．在直角△OCE中，OE===3．则AE=OA﹣OE=5﹣3=2．故答案为：2．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A=∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠D=50°，∴∠COD=180°﹣90°﹣50°=40°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵∠A+∠OCA=∠COD=40°，∴∠A=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目．4．（2015秋•海淀区期中）已知AB是直径，∠C等于15度，∠BAD的度数= ．【考点】圆周角定理．【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠B=∠C=15°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接BD，∠B=∠C=15°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣15°=75°，故答案为：75°．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．5．（2015秋•海淀区期中）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是．【考点】切线的性质．【分析】利用切线长定理得出PA=PB，再利用等边三角形的判定得出△PAB是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB=PA=5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，得出△PAB是等边三角形是解题关键．6．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【考点】点与圆的位置关系．【分析】先找出与点A的距离为2的点1和5，再根据“点与圆的位置关系的判定方法”即可解．【解答】解：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．故选：A．【点评】本题考查点与圆的位置关系的判定方法．若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．7．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径是5，OP的长为7，5＜7，∴点P在圆外．故选C．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．8．已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，其半径为3，∴S扇形==3π．故答案为：3π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由∠BOD=138°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得∠BCD的度数，继而求得∠DCE的度数【解答】解：∵∠BOD=138°，∴∠A=∠BOD=69°，∴∠BCD=180°﹣∠A=111°，∴∠DCE=180°﹣∠BCD=69°．故答案为：69°．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用．10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm．【考点】点与圆的位置关系．【分析】解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部．【解答】解：当点P在圆内时，则直径=6+2=8cm，因而半径是4cm；当点P在圆外时，直径=6﹣2=4cm，因而半径是2cm．所以⊙O的半径为4或2cm．故答案为：4或2．【点评】考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是首先要进行分类讨论，其次是理解最长距离和最短距离和或差的意义．11．（2014秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC=50°，再根据圆周角定理推出∠AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ABC=130°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ADC=100°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数．12．（2014秋•陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．【解答】（1）证明：连接OC．∵OC=OD，∠D=30°，∴∠OCD=∠D=30°．∵∠G=30°，∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．∴OC⊥CG．又∵OC是⊙O的半径．∴CG是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=3．∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．设EO=x，则CO=2x．∴（2x）2=x2+32．解得x=（舍负值）．∴CO=2．∴FO=2．在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，∴GO=2CO=4．∴GF=GO﹣FO=2．【点评】此题主要考查了切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．13．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP 垂直平分线段AB．【考点】切线的性质．【分析】由PA与PB为圆的两条切线，根据切线长定理得到PA=PB，且PO平分两切线的夹角，进而得到三角形PAB为等腰三角形，根据三线合一得到PC为高，PC为中线，可得出OP 垂直平分线段AB，得证．【解答】证明：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA=PB，PO为∠APB的平分线，∴PO⊥AB，C为AB的中点，则OP垂直平分线段AB．【点评】此题考查了切线的性质，涉及的知识有：切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线长定理是解本题的关键．14．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O 交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．【考点】切线的判定．【分析】连接OF，CF，利用等边对等角即可证得OF⊥EF，从而证得EF是圆的切线．【解答】证明：连接OF，CF．∵AC是直径，∴∠AFC=90°，∴∠BFC=90°，又∵E是BC的中点，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵OC=OF，∴∠OFC=∠FCO，∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°，∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°，∴OF⊥EF，∴EF是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决本题的关键是正确作出辅助线．15．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，∴∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．∴∠BAC=15°或75°．【点评】本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．16．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】分情况进行讨论，（1）如图，AB和CD再圆心的同侧，连接OB，OD，作OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出ON⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM﹣ON，通过计算即可求出MN 的长度，（2）AB和CD在圆心两侧，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出MN⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON 的长度，根据图形即可求出MN=OM+ON，通过计算即可求出MN的长度．【解答】解：（1）如图1，连接OB，OD，做OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM﹣ON，∴MN=8cm，（2）如图2，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM+ON，∴MN=22cm．∴平行弦AB，CD之间的距离为8cm或22cm．【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质等知识点，关键在于根据题意分情况进行讨论，正确的做出图形，认真的做出辅助线构建直角三角形，熟练运用垂径定理和勾股定理推出OM和ON的长度，利用数形结合的思想即可求出结果．。

专题02 整式与分解因式学校：___________姓名：___________班级：___________一、选择题：（共4个小题）1．【2015宜宾】把代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A．23(44)x x x -+ B．23(4)x x - C．3(2)(2)x x x +- D．23(2)x x -【答案】D ．【解析】试题分析：原式=23(44)x x x -+=23(2)x x -，故选D．【考点定位】提公因式法与公式法的综合运用．2．【2015开县五校联考九上半期】下列计算正确的是（ ）A ．32622a a a =÷B ．412122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x xC ．()66332x x x =+ D ．()11+-=--a a [ 【答案】D ．【解析】【考点定位】1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．去括号与添括号；4．完全平方公式．3．【2015枣庄】如图，边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（）A．140 B．70 C．35 D．24【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：a +b =14÷2=7，ab =10，∴22a b ab +=ab （a +b ）=10×7=70；故选B．【考点定位】因式分解的应用．4．【2015日照】观察下列各式及其展开式： 222()2a b a ab b +=++；33223()33a b a a b ab b +=+++；4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是（ ）A．36 B．45 C．55 D．66【答案】B ．【解析】第6个式子系数分别为：1，6，15，20，15，6，1；第7个式子系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1； 第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则10()a b +的展开式第三项的系数为45．故选B．【考点定位】1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．二、填空题：（共4个小题）5．【2015巴中】分解因式：2242a a -+= ．【答案】22(1)a -．【解析】试题分析：原式=22(21)a a -+=22(1)a -．故答案为：22(1)a -．【考点定位】提公因式法与公式法的综合运用．6．【2015大庆】若若52=n a，162=n b ，则()n ab = ．【答案】±【解析】试题分析：∵52=n a ，162=n b ，∴2280n n a b ⋅=，∴2()80n ab =，∴()n ab =±，故答案为：±．【考点定位】幂的乘方与积的乘方．7．【2015内江】已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b+=，则2015a b -|= ． 【答案】1．【解析】【考点定位】1．因式分解的应用；2．零指数幂；3．条件求值；4．综合题；5．压轴题．8．【2015雅安】若1m ，2m ，…，2015m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若122015...m m m +++=1525，222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=，则1m ，2m ，…，2015m 中为2的个数是 ．【答案】510．【解析】【考点定位】1．规律型：数字的变化类；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．三、解答题：（共2个小题）9．【2015内江】填空：()()a b a b -+= ； 22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．【答案】（1） 22a b -，33a b -，44a b -；（2） n n a b -；（3）342．【解析】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；（2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -； 3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -；3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；故答案为：22a b -，33a b -，44a b -；【考点定位】1．平方差公式；2．规律型；3．阅读型；4．综合题．10．【2015重庆市】如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x （1≤x ≤4，x 为自然数），十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；（2）y =2x （1≤x ≤4，x 为自然数）．【解析】试题分析：（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：abcd ，根据和谐数的定义得到a =d ，b =c ，则100010010100010010100111011111111abcd a b c d a b b a a b +++++++====9110a b +为正整数，易证得任意四位“和谐数”都可以被11整除； （2）设能被11整除的三位“和谐数”为：zyx ，则10110zyx xyx x y ==+，故10110991122911111111zyx x y x y x y x y x y +++--===++为正整数．故y =2x （1≤x ≤4，x 为自然数）． 试题解析：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）， 任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意四位“和谐数”形式为：abcd ，则满足：最高位到个位排列：d ，c ，b ，a ，个位到最高位排列：a ，b ，c ，d ．由题意，可得两组数据相同，则：a =d ，b =c ，则100010010100010010100111011111111abcd a b c d a b b a a b +++++++====9110a b +为正整数． ∴四位“和谐数”能被11整数，又∵a ，b ，c ，d 为任意自然数，∴任意四位“和谐数”都可以被11整除；【考点定位】1．因式分解的应用；2．规律型：数字的变化类；3．新定义；4．综合题；5．压轴题．。

2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（二次函数）副标题题号一二总分得分一、填空题（本大题共10小题，共30.0分）1.将抛物线y=3x2向上平移1个单位得到的抛物线是______ ．2.将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为______．3.若二次函数y=x2-5x+m的图象与x轴只有一个交点，则m= ______ ；当x= ______ 时，y有最______ 值是______ ；当0＜x＜1时，y随x的增大而______ ，y的取值范围是______ ．4.若二次函数y=mx2-（2m+2）x-1+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______ ．5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a ______ 0，b______ 0，c ______ 0，△ ______ 0．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则：（1）对称轴方程______ ；（2）a-b+c ______ 0，4a+2b+c ______ 0；（用“＜”，“=”或“＞”号连接）（3）当x ______ 时，y随x增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=0的解为______ ；（5）由图象回答：当y＞0时，x的取值范围______ ；当y=0时，x= ______ ；当y＜0时，x的取值范围______ ．7.在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则y1 ______y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）8.已知抛物线y=ax2+2ax+m（a＞0）经过点（-4，y1）、（-2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是______ ．9.抛物线y=（x-h）2-k的顶点坐标为（-3，1），则h-k= ______ ．10.请写出与抛物线y=x2形状相同，且经过（0，-5）点的二次函数的解析式______ ．二、解答题（本大题共4小题，共32.0分）11.二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（2，-9），且当x=-1时，y=0.（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．12.已知函数y1=ax2+bx+c，它的顶点坐标为（-3，-2），y1与y2=2x+m交于点（1，6），求y1、y2的函数解析式．13.2x…-1-120121322523…y…-2-141742741-14-2…（）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；（2）作直线y2=-x+3，则当y2在y1的图象下方时，x的取值范围是______ ．14.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=12x2-x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C 与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．答案和解析1.【答案】y =3x 2+1【解析】解：将抛物线y=3x 2向上平移1个单位得到的抛物线是y=3x 2+1． 故答案是：y=3x 2+1．根据“左加右减，上加下减”的规律解答．主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 2.【答案】y =（x +2）2-3【解析】解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故答案为y=（x+2）2-3．先得到抛物线y=x 2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3.【答案】254；52；小；0；减小；y ≥0【解析】解：∵二次函数y=x 2-5x+m 的图象与x 轴只有一个交点， ∴（-5）2-4m=0， ∴m=，当x=时，二次函数有最小值为0，当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，y的取值范围是y≥0，故答案为；；小；0；减小；y≥0．首先根据二次函数y=x2-5x+m的图象与x轴只有一个交点，求出m的值，根据二次函数的性质进行填空即可．本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，解题的关键是求出m的值，此题难度不大．4.【答案】m＞-1且m≠03【解析】解：∵原函数是二次函数，∴m≠0．∵二次函数y=mx2-（2m+2）x-1+m的图象与x轴有两个交点，则△=b2-4ac＞0，△=[-（2m+2）]2-4m（-1+m）＞0，解得m>-，∴m的取值范围是：m＞-且m≠0．故答案是：m＞-且m≠0．根据二次函数y=mx2-（2m+2）x-1+m的图象与x轴有两个交点，可得△=[-（2m+2）]2-4m（-1+m）＞0且m≠0．本题考查了抛物线与x轴的交点：当△=b2-4ac＞0时图象与x轴有两个交点；当△=b2-4ac=0时图象与x轴有一个交点；当△=b2-4ac＜0时图象与x轴没有交点．5.【答案】＞；＜；＞；=【解析】解：由开口方向可知：a＞0，由对称轴可知：-＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在y的正半轴，∴c＞0，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴△=0，故答案为：a＞0，b＜0，c＜0，△=0．根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与y轴交点的位置，与x轴交点的个数即可判断．本题考查二次函数的图象与性质，只要根据图象的位置，即可判断a、b、c和△与0的大小关系．6.【答案】x=-1；＜；＞；＜-1；x1=-3，x2=1；x＜-3或x＞1；-3或1；-3＜x＜1【解析】解：（1）抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0）和（1，0），所以抛物线的对称轴为直线x=-1；（2）∵x=-1，y＜0，∴a-b+c＜0；∵x=2，y＞0，∴4a+2b+c＞0；（3）当x＜-1时，y随x增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=0的解为x1=-3，x2=1；（5）当y＞0时，x的取值范围为x＜-3或x＞1；当y=0时，x=-3或1；当y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1．故答案为x=-1；＜，＞；＜-1；x1=-3，x2=1；x＜-3或x＞1；-3或1；-3＜x＜1．（1）利用抛物线与x轴的交点为对称点可得到抛物线的对称轴；（2）观察函数图象，利用x=-1，y＜0和x=2，y＞0求解；（3）根据二次函数的性质求解；（4）根据抛物线与x轴的交点问题求解；（5）观察图象，写出抛物线在x轴上方或与抛物线与x轴的交点或抛物线在x 轴下方所对应的自变量的取值范围或取值．本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数（△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点）．也考查了观察函数图象的能力．7.【答案】＞【解析】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，∴2＜-x1＜4，∴y1＞y2．根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；8.【答案】y2＜y3＜y1【解析】解：∵抛物线y=ax2+2ax+m（a＞0）经过点（-4，y1）、（-2，y2），（1，y3），∴y1=16a-8a+m=8a+m，y2=4a-4a+m=m，y3=a+2a+m=3a+m，∵a＞0，∴m＜3a+m＜8a+m，即y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．把三点的坐标分别代入可求得y1、y2、y3，再比例其大小即可．本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 9.【答案】-2【解析】解：∵抛物线y=（x-h ）2-k 的顶点坐标为（-3，1）， ∴h=-3，-k=1，解得h=-3，k=-1， ∴h-k=-3-（-1）=-2， 故答案为：-2．由二次函数的顶点式可求得h 和k 的值，则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握封开次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，其顶点坐标为（h ，k ）． 10.【答案】y =x 2-5或y =-x 2-5【解析】解：设所求的二次函数的解析式为：y=ax 2+bx+c ， ∵与物线y=x 2形状相同， ∴|a|=1，a=±1， 且经过（0，-5）， 所以c=-5，∴所求的二次函数的解析式为：y=x 2-5或y=-x 2-5．先从已知入手：由与抛物线y=x 2形状相同则|a|相同，且经过（0，-5）点，即把（0，-5）代入得c=-5，写出二次函数的解析式．本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解答时注意抛物线形状相同时要分两种情况：①开口向下，②开口向上；即|a|=1． 11.【答案】解：（1）将（2，-9）、（-1，0）代入y =x 2+bx +c ，得{4+2b +c =−91−b +c =0，解得{b =−4c =−5， ∴所求二次函数的解析式是y =x 2-4x -5； （2）y =x 2-4x -5=（x -2）2-9， ∴顶点坐标是（2，-9）． 【解析】（1）将（2，-9）、（-1，0）代入y=x 2+bx+c ，利用待定系数法即可确定二次函数的解析式；（2）把（1）中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标．本题考查用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．12.【答案】解：根据题意，设抛物线的解析式y=a（x+3）2-2，∵抛物线经过点（1，6），∴6=a（1+3）2-2，解得a=1，2∴抛物线的解析式为y1=1（x+3）2-2．2把（1，6）代入y2=2x+m得6=2×1+m，解得m=4，∴y2的函数解析式为y2=2x+4．【解析】根据已知设出抛物线的解析式y=a（x+3）2-2，把（1，6）代入即可求得a的值，即可求得y1的函数解析式；把（1，6）代入y2=2x+m即可求得m的值，即可求得y2的函数解析式．本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和直线的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．13.【答案】x＜1或x＞2【解析】解：（1）由表可知当x=1时，y有最大值，∴二次函数图象开口向下，其顶点坐标为（1，2）；（2）∵抛物线顶点坐标为（1，2），∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2，∵当x=0时，y=1，∴1=a+2，解得a=-1，∴抛物线解析式为y1=-（x-1）2+2=-x2+2x+1，联立两函数解析式可得，解得或，两函数图象如图所示：当y2在y1的图象下方时，结合图象x＜1或x＞2，故答案为：x＜1或x＞2．（1）由题目所给表格可观察得出答案；（2）可先求得二次函数解析式，联立两函数解析式可求得两函数图象的交点坐标，可画出两函数图象，则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质和图象，掌握二次函数的性质是解题的关键，注意数形结合．14.【答案】解：（1）∵抛物线y=12x2−x+2与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）．∵y=12x2−x+2=12(x−1)2+32，∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点B的坐标为（1，32）．又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标为（2，2），且点C在抛物线上．设直线BC的解析式为y=kx+b．∵直线BC经过点B（1，32）和点C（2，2），∴{k+b=3 22k+b=2解得{k=12 b=1.∴直线BC的解析式为：y=12x+1；（2）∵抛物线y=12x2-x+2中，当x=4时，y=6，∴点D的坐标为（4，6）．∵直线y=12x+1中，当x=0时，y=1．当x=4时，y=3，∴如图，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t=1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．【解析】（1）欲求直线BC的解析式，需要求得点B、C的坐标，由抛物线解析式求得点A、B的坐标，然后根据点的对称性得到点C的坐标；然后由待定系数法来求直线方程；（2）根据抛物线解析式y=-x+2易求D（4，6），由直线y=x+1易求点（0，1），点F（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t=1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．。

初三中考数学复习因式分解专项复习训练1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是( )A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1 2. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )A．a(m＋n)＝am＋anB．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2C．10x2－5x＝5x(2x－1)D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x3. 把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是( ) A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－34. 计算：852－152等于( )A．70 B．700 C．4 900 D．7 0005. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC 的形状是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形6. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( )A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．a(a－b)＝a2－abC．(a－b)2＝a2－b2 D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)7. 分解因式：2a2－4a＋2＝________________8．已知x＋y＝3，xy＝6，则x2y＋xy2的值为__________9. 将多项式mn2＋2mn＋m因式分解的结果是___________．10. 已知|x－y＋2|＋x＋y－2＝0，则x2－y2的值为_____________11. 分解因式：9x2－112. 分解因式：m3(x－2)＋m(2－x)；13. 分解因式：(m＋1)(m－9)＋8m14. 分解因式：a2b－10ab＋25b15. 已知a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求a＋b的值．16. 设y＝kx，是否存在实数k，使得代数式(x2－y2)(4x2－y2)＋3x2(4x2－y2)能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．参考答案1---6 CCBDC D7. 2(a－1)28. 329. m(n＋1)210. －411. 解：原式＝(3x＋1)(3x－1)．12. 解：原式＝m(m＋1)(m－1)(x－2)．13. 解：原式＝(m＋3)(m－3)．14. 解：原式＝b(a－5)2.15. 解：∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，∴a2＋6a＋9＋b2－10b＋25＝0，即(a＋3)2＋(b－5)2＝0，∴a＋3＝0且b－5＝0，∴a＝－3，b＝5，∴a＋b＝－3＋5＝2.16. 解：(x2－y2)(4x2－y2)＋3x2(4x2－y2)＝(4x2－y2)2，当y＝kx时，原式＝(4x2－k2x2)2＝(4－k2)2x4，令(4－k2)2＝1，解得k＝±3或±5，∴当k＝±3或±5时，原代数式可化简为x4.。

期中复习1.一元二次方程（1）概念和一般形式一元二次方程的解法：直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法（十字相乘法） （2）一元二次方程的根的判别式 .（3）一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ， 则12x x += ，12x x = 注意：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。

2.二次函数（1）定义（2）作图（五点作图法）；图像与abc 的符号的关系（3）三种表达式以及求解析式（4）二次函数的性质：顶点，与X 轴的焦点，对称轴，最值问题（5）函数的平移问题（6）二次函数与实际问题3.旋转（1）概念：三要素 （2）基本性质 （3）作图4.圆（1）概念（2）垂径定理（2推3）（3）圆心角以及圆周角（4）切线的性质及判定例1、解方程：（1）0)3(2)3(2=-+-x x x （2） 2420x x ++=（3） 2230x x --= （4） 2310x x --=例二：如图，已知抛物线y =ax 2﹣x +c 与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线y =x ﹣2交于B 、C 两点，其中点C 是直线y =x ﹣2与y 轴的交点，连接AC ．（1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形；例三：如图①，在Rt △ABC 中，∠C =90°．将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A ’B ’C ，旋转角为α，且0°<α<180°．在旋转过程中，点B ’可以恰好落在AB 的中点处，如图②．D C B A （1）求∠A 的度数；（2）当点C 到AA ’的距离等于AC 的一半时，求α的度数．例4.如图①，在平面直角坐标系中，直径为32的⊙A 经过坐标系原点O （0，0），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求点B 的坐标；（2）如图②，过点B 作⊙A 的切线交直线OA 于点P ，求点P 的坐标；（3）过点P 作⊙A 的另一条切线PE ，请直接写出切点E 的坐标．图①图② 例5.将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转α(0120)α<<得到线段AD ，连接CD ．（1）连接BD ，①如图1，若α=80°，则∠BDC 的度数为 ；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变．若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB 为斜边作直角三角形ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE ． 若∠CED =90°，求α的值．DCE例6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b 在第一象限．以P 为圆心的圆经过原点，与y 轴的另一个交点为A ．点Q 是线段OA 上的点（不与O ，A 重合），过点Q 作PQ 的垂线交⊙P 于点(,)B m n ，其中0≥m ．（1）若5b =，则点A 坐标是________________；（2）在（1）的条件下，若OQ =8，求线段BQ 的长；（3）若点P 在函数2y x =(0)x >的图象上，且△BQP 是等腰三角形.①直接写出实数a 的取值范围：__________________；②在12PQ 的长度可以为 ，并求出此时点B 的坐标．图1 图2。

海淀区九年级第一学期期中测评数 学 试 卷（分数：120分 时刻：120分钟）学校 姓名 准考证号 一、选择题（此题共30分，每题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1．一元二次方程2230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项别离是A ．2,1,3B ．2,1,3-C ． 2,1,3-D ．2,1,3-- 2．以下图形是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．3．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知⊙O 的半径是4，OP 的长为3，那么点P 与⊙O 的位置关系是 A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．不能确信5．将抛物线2y x =沿y 轴向下平移2个单位，取得的抛物线的解析式为A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()22y x =+ D ．()22y x =-6．已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，那么那个扇形的面积为A ．9πB ．6πC ．3πD ．π 7．用配方式解方程243x x +=，以下配方正确的选项是A ．()221x -= B ．()227x -= C ．()227x += D ．()221x +=8．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图，那么以下选 项中不正确．．．的是 A ．0a < B ．0c >C ．0 <12ba-< D ．0a b c ++< 9．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径．若 33=∠DBC ，那么A ∠等于A ． 33B ．57C ．67D ．6610．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米）与旋转时刻x （分）之间的关系能够近似地用二次函数来刻画.经测试得出部份数据如下表：x /分 … … y /米……以下选项中，最接近摩天轮转一圈的时刻的是 A ．7分 B ．分 C ．6分 D ．分 二、填空题（此题共18分，每题3分） 11．方程240x -=的解为_______________．12. 请写出一个开口向上且通过(0, 1)的抛物线的解析式_________． 13．假设二次函数225y x =-的图象上有两个点(2,)A a 、(3,)B b ， 则a____b （填“<”或“=”或“>”）． 14．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC =100°，那么∠ABC =______°．15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示用意），假设周围下垂的最大长度相等，那么那个最大长度x 为_______米（2取）．16．如图，O 是边长为1的等边△ABC 的中心，将AB 、BC 、CA 别离绕点A 、点B 、点C 顺时针旋转α（0180α︒<<︒），取得'AB 、'BC 、'CA ，连接''A B 、''B C 、''A C 、'OA 、'OB ． （1）''A OB ∠=_______〬；（2）当α= 〬时，△'''A B C 的周长最大．三、解答题（此题共72分，第17~26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：232x x =-．18．若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值．19．已知点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，求此抛物线的对称轴．20．如图，AC 是⊙O 的直径，P A , PB 是⊙O 的切线，A , B 为切点， 25=∠BAC ．求∠P 的度数．21．已知x =1是方程2250x ax a -+=的一个根，求代数式23157a a --的值．22．一圆柱形排水管的截面如下图，已知排水管的半径为1m ，水面宽AB 为．由于天气干燥，水管水面下降，现在排水管水面宽变成，求水面下降的高度．23．已知关于x 的方程)0(0)3(32>=---a a x a x . （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）假设方程有一个根大于2，求a 的取值范围．24．在设计人体雕像时，假设使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全数（全身）的高度比，那么能够增加视觉美感．按此比例，若是雕像的高为2m，那取）．25．已知AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的弦，AB=2，AC AD=1，求∠CAD的度数．26．抛物线21y x bx c =++与直线22y x m =-+相交于A (2,)n -、B (2,3)-两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）假设14≤≤-x ，那么21y y -的最小值为________.27.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D . P 为AB 延长线上一点，2PCD BAC ∠=∠. （1）求证：CP 为⊙O 的切线； （2）BP =1，5CP =. ①求⊙O 的半径；②若M 为AC 上一动点，那么OM +DM 的最小值为 .28.探讨活动：利用函数(1)(2)y x x =--的图象(如图1)和性质，探讨函数(1)(2)y x x =--的图象与性质.下面是小东的探讨进程，请补充完整： (1)函数(1)(2)y x x =--的自变量x 的取值范围是___________；(2)如图2，他列表描点画出了函数(1)(2)y x x =--图象的一部份，请补全函数图象；图1 图2 解决问题：1(1)(2)04x x x b ---=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程21324x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <.若12b <<那么1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系为 （用“<”连接）．29．在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的⊙O 与x 轴负半轴交于点A ，点M 在⊙O 上，将点M 绕点A 顺时针旋转60︒取得点Q . 点N 为x 轴上一动点（N 不与A 重合 ），将点M 绕点N 顺时针旋转60︒取得点P . PQ 与x 轴所夹锐角为α. （1） 如图1，假设点M 的横坐标为21，点N 与点O 重合，那么α=________︒； （2） 若点M 、点Q 的位置如图2所示，请在x 轴上任取一点N ，画出直线PQ ，并求α的度数；（3） 当直线PQ 与⊙O 相切时，点M 的坐标为_________.图1 图2 备用图海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案一、选择题（此题共30分，每题3分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案DAAABBCDBC题 号 111213 14 15 16 答 案 ,21=x 22-=x21y x =+（答案不唯一）<130120，150三、解答题（此题共72分，第17~26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：2320.x x -+= ……………………………………………1分0)2)(1(=--x x ． ……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x ．∴2,121==x x . ………………………………………………………5分18．解：∵抛物线a x x y ++=32与x 轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=．……………………………………………4分 ∴49=a ．……………………………………………5分19．解：∵点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，∴k k -++⨯-=)3(33302．………………………………………2分 ∴9=k ．……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y ．∴对称轴为2=x ．……………………………………………5分20．解：∵P A ,PB 是⊙O 的切线，∴P A =PB ．………………………………………1分∴PBA PAB ∠=∠．………………………………………2分 ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥P A ．∴90=∠PAC º．………………………………………3分 ∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º．………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB P º．………………………………………5分21．解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a ．………………………………………2分 ∴152-=-a a ．…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=．………………………………………5分22．解：如图，下降后的水面宽CD 为，连接OA , OC ，过点O 作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分∴90ONC ∠=º.∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==． …………………………2分 在Rt △OAM 中， ∵1OA =，∴220.6OM OA AM =-=． ………………………………3分 同理可得0.8ON =．………………………………4分∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了米．…………………………5分23．（1）证明： 22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a ．……………………………1分∵0>a ， ∴2(3)0a +>．即0>∆．∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分（2）解方程，得3,121ax x =-=．……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2，∴23>a． ∴6>a ．……………………………………………5分24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=．设BC 为x m. …………………………………1分依题意，得)2(22x x -=．.………………………………………3分 解得,511+-=x 512--=x （不符合题意，舍去）．……4分51 1.2-≈．答：雕像的下部应设计为．…………………………5分25． 解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=º．在Rt △ACB 中，∵2=AB ，2AC =， ∴2BC =．∴45BAC ∠=º．………………2分∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º．………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º．………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒． ∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º．∴CAD ∠为15º或105º． …………………5分26．解：（1）∵直线m x y +-=22经过点B （2，-3），∴m +⨯-=-223．∴1=m ．……………………………………………1分∵直线22y x m =-+经过点A （-2，n ），∴5n =．……………………………………………2分∵抛物线21y x bx c =++过点A 和点B ，∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b ∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b ∴3221--=x x y ．……………………………………………4分（2）12-. ……………………………………………5分27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠ODC =90︒．∴∠POC+∠OCD =90º．∴∠PCD+∠OCD =90º．∴∠OCP =90º．∴半径OC ⊥CP ．∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分（2）解：①设⊙O 的半径为r .在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=． ∵1,5,BP CP ==∴222(5)(1)r r +=+． ………………………4分解得2r =．∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分②2143． ……………………………………………7分28．解：（1）1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分（2）如下图： ……………………………………5分1342x x x x <<<. .……………………………………………7分29. 解：（1）60. ……………………………………………2分（2）.……………………………………………3分连接,MQ MP .记,MQ PQ 别离交x 轴于,E F .∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒取得点Q ，将点M 绕点N顺时针旋转60︒取得点P ，∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形. ………………4分 xy F EP Q A O MN∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NMP ∠=∠=︒. ∴AMN QMP ∠=∠.∴△MAN ≌△MQP . .………………………………5分 ∴MAN MQP ∠=∠.∵AEM QEF ∠=∠，∴60QFE AMQ ∠=∠=︒.∴60α=︒. .…………………………………………….6分（3）（2，12）或（2-12-）. ………………………8分。

北京市海淀区2016届九年级数学下学期期中练习24682015-2016年海淀区初三数学一模参考答案三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：原式1641=-+ ……………………4分4=分解不等式①，得 10≤x ．………………………2分解不等式②，得7>x ． ………………………3分∴ 原不等式组的解集为107≤<x ．………………………4分∴ 原不等式组的所有整数解为8，9，10．………………………5分19． 解：原式4312222-++-+-=x x x x x ………………………3分 32-+=x x ．………………………4分∵ 250x x +-=， ∴ 52=+x x ．∴ 原式=532-=． .………………………5分1020．证明：∵ 90BAC ∠=︒，∴ 90BAD DAC ∠+∠=︒． ∵ AD BC ⊥， ∴ 90ADC ∠=︒．∴ 90DAC C ∠+∠=︒．∴ BAD C ∠=∠． ………………………2分 ∵ DE 为AC 边上的中线， ∴ DE EC =．∴ EDC C ∠=∠． .………………………4分 ∴ BAD EDC ∠=∠． ………………………5分21.解：设小博每消耗1千卡能量需要行走x 步．………………………1分由题意，得xx 90001012000=+ . ………………………3分 解得 30=x . ………………………4分 经检验，30=x 是原方程的解，且符合题意.答：小博每消耗1千卡能量需要步行30步. ………………………5分22．(1) 证明：∵ 四边形ABCD 为矩形，∴ AC BD =，AB ∥DC . ∵ AC ∥BE ，∴ 四边形ABEC 为平行四边形. ………………………2分 ∴ AC BE =.∴ BD BE =. ………………………3分 (2) 解：过点O 作OF ⊥CD 于点F .∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ 90BCD ∠=︒. ∵ 10BE BD ==， ∴ 6CD CE ==. 同理，可得132CF DF CD ===. ∴9EF =. ………………………4分 在Rt △BCE 中，由勾股定理可得8BC =. ∵ OB=OD ，∴ OF 为△BCD 的中位线. ∴ 142OF BC ==. ∴在Rt △OEF 中，4tan 9OF OED EF ∠==. ………………………5分A23. 解：（1）∵)P m 在直线y x =-上,∴m = ………………………1分∵P 在双曲线k y x =上，∴(6k ==-． ………………………2分图1 图2(2) ∵y x =-向上平移b (0b >)个单位长度后，与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，∴(,0),(0,)A b B b ． ………………………3分作QH ⊥x 轴于H ，可得△HAQ ∽△OAB ．如图1，当点Q 在AB 的延长线上时，∵2BQ AB =， ∴3===ABAQ OA HA OB HQ ． ∵OA OB b ==， ∴3HQ b =，2HO b =.∴Q 的坐标为(2,3)b b -．由点Q 在双曲线6y x=-上， 可得1b =． ………………………4分 如图2，当点Q 在AB 的反向延长线上时，同理可得，Q 的坐标为(2,)b b -．由点Q 在双曲线6y x=-上，可得b =12 综上所述，1b =或b = ………………………5分24. (1) 证明：如图，连接OD ． ………………………1分∵BC 为⊙O 的切线，∴90CBO ∠=︒．∵AO 平分BAD ∠，∴12∠=∠．∵OA OB OD ==，∴1=4=2=5∠∠∠∠．∴BOC DOC ∠=∠．∴△BOC ≌△DOC ．∴90CBO CDO ∠=∠=︒．∴CD 为⊙O 的切线． ……………2分(2) ∵AE DE =,∴AE DE =.∴34∠=∠. ………………………3分∵124∠=∠=∠，∴123∠=∠=∠.∵BE 为⊙O 的直径,∴90BAE ∠=︒.∴123430∠=∠=∠=∠=︒.………………………4分∴90AFE ∠=︒ ．在Rt △AFE 中，∵3AE =，︒=∠303，∴AF =………………………5分25. (1) 45；………………………2分(2) 21；………………………3分(3) 2.4(120%) 2.88⨯+=．2015年中国内地动画电影市场票房收入前5名的票房成绩统计表………………………5分或2015年中国内地动画电影市场票房收入前5名的票房成绩统计图………………………5分m=-；………………………1分26. (2) ①60n=；………………………2分②11(3)正确标出点B的位置，画出函数图象. …………………5分27. 解：（1）224=-+-y mx mx m2=-+-m x x(21)42=--．(1)4m x-．………………………2分∴点A的坐标为(1,4)（2）①由（1）得，抛物线的对称轴为x=1．∵抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），BC=4，14∴ 点B 的坐标为 (1,0)-，点C 的坐标为 (3,0)．………………………3分∴ 240m m m ++-=．∴ 1m =．∴ 抛物线的解析式为223y x x =--．……4分② 由①可得点D 的坐标为 (0,3)-．当直线过点A ，D 时，解得1k =-．………5分当直线过点A ，C 时，解得2k =． ………6分结合函数的图象可知，k 的取值范围为10k -≤<或02k <≤． …………7分28. 解:(1) ①补全图形，如图1所示． ………………………1分图1②BC 和CG 的数量关系：BC CG =，位置关系：BC CG ⊥．…………………2分证明: 如图1．∵︒=∠=90,BAC AC AB ，∴︒=∠=∠45ACB B ，︒=∠+∠9021．∵射线BA 、CF 的延长线相交于点G ，∴︒=∠=∠90BAC CAG ．∵四边形ADEF 为正方形，∴︒=∠+∠=∠9032DAF ，AF AD =．∴31∠=∠．∴△ABD ≌△ACF ．…………………3分∴︒=∠=∠45ACF B ．∴45B G ∠=∠=︒，90BCG ∠=︒．∴BC CG =，BC CG ⊥．…………………4分(2) GE =5分思路如下：a . 由G 为CF 中点画出图形，如图2所示．b . 与②同理，可得BD=CF ，BC CG =，BC CG ⊥；c . 由2=AB ，G 为CF 中点，可得2====CD FG CG BC ；d . 过点A 作AM BD ⊥于M ，过点E 作EN FG ⊥于N ，可证△AMD ≌△FNE ，可得1AM FN ==，NE 为FG 的垂直平分线，FE EG =；e . 在Rt △AMD 中，1AM =，3MD =，可得AD =，即GE FE AD ===． (7)分29．解：（1）①点M ，点T 关于⊙O 的限距点不存在；点N 关于⊙O 的限距点存在，坐标为（1，0）．………………………2分②∵点D 的坐标为(2，0)，⊙O 半径为1，DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，∴切点坐标为1(2，1(2，.……………3分如图所示，不妨设点E 的坐标为1(2，点F 的坐标为1(22，-，EO ，FO 的延长线分别交⊙O 于点'E ，'F ，则1'()22E --，，1'()22F -，． 设点P 关于⊙O 的限距点的横坐标为x ．Ⅰ.当点P 在线段EF 上时，直线PO 与''E F 的交点'P 满足2'1≤≤PP ，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x 满足112x -≤≤-.………5分 Ⅱ.当点P 在线段DE ，DF （不包括端点）上时，直线PO 与⊙O 的交点'P 满足1'0<<PP 或2'3PP <<，故点P 关于⊙O 的限距点不存在．Ⅲ.当点P 与点D 重合时，直线PO 与⊙O 的交点'(1,0)P 满足1'=PP ，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x =1．综上所述，点P关于⊙O的限距点的横坐标x的范围为112x-≤≤-或x=1．……………………6分（2）问题1：………………8分问题2：0 < r < 16．………………7分16。

北京市海淀区普通中学10月初三数学期中复习 因式分解 专题检测题一、选择题1．分解因式：16－x 2＝( A )A ．(4－x)(4＋x)B ．(x －4)(x ＋4)C ．(8＋x)(8－x)D (4－x)22．下列因式分解错误的是( C )A ．2a －2b ＝2(a －b)B ．x 2－9＝(x ＋3)(x －3)C ．a 2＋4a －4＝(a ＋2)2D ．－x 2－x ＋2＝－(x －1)(x ＋2)3．把8a 3－8a 2＋2a 进行因式分解，结果正确的是( C )A ．2a(4a 2－4a ＋1)B ．8a 2(a －1)C ．2a(2a －1)2D ．2a(2a ＋1)24．若实数x ，y ，z 满足(x －z)2－4(x －y)(y －z)＝0，则下列式子一定成立的是( D )A ．x ＋y ＋z ＝0B ．x ＋y －2z ＝0C ．y ＋z －2x ＝0D ．z ＋x －2y ＝0点拨：左边＝[(x －y)＋(y －z)]2－4(x －y)(y －z)＝(x －y)2－2(x －y)(y －z)＋(y －z)2＝[(x －y)－(y －z)]2，故(x －y)－(y －z)＝0，x －2y ＋z ＝05．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a －b ，x －y ，x ＋y ，a ＋b ，x 2－y 2，a 2－b 2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x 2－y 2)a 2－(x 2－y 2)b 2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( C )A ．我爱美B ．宜昌游C ．爱我宜昌D ．美我宜昌二、填空题6．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式__am ＋bm ＋cm ＝m(a ＋b ＋c)__．7．分解因式：(x －8)(x ＋2)＋6x ＝__(x ＋4)(x －4)__．8．若整式x 2＋ky 2(k 为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是__－1__(写出一个即可)．9．分解因式：(2a ＋b)2－(a ＋2b)2＝__3(a ＋b)(a －b)__．10．已知实数a ，b 满足：a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b，则2 015|a －b|＝__1__． 点拨：∵a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b ，两式相减可得a 2－b 2＝1a －1b ，(a ＋b)(a －b)＝b －a ab，[ab(a ＋b)＋1](a －b)＝0，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∴2 015|a －b|＝2 0150＝1三、解答题11．分解因式：(1) 3x 2－27；解：原式＝3(x 2－9)＝3(x ＋3)(x －3)(2)4＋12(x －y)＋9(x －y)2；解：原式＝[2＋3(x －y)]2＝(3x －3y ＋2)2(3)8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy.解：原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy ＝x 2－16y 2＝(x ＋4y)(x －4y)12．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，判断△ABC 的形状． 解：∵a ＋2ab ＝c ＋2bc ，∴a －c ＋2ab －2bc ＝0，(a －c)＋2b(a －c)＝0，∴(1＋2b)(a －c)＝0.∵1＋2b ≠0，∴a －c ＝0，∴a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形13．有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是__a 2＋3ab ＋2b 2＝(a ＋b)(a ＋2b)__．解：或 14．设a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝12m ＋3.求代数式a 2＋2ab ＋b 2－2ac －2bc ＋c 2的值． 解：原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)－(2ac ＋2bc)＋c 2＝(a ＋b)2－2(a ＋b)c ＋c 2＝(a ＋b －c)2＝[(12m ＋1)＋(12m ＋2)－(12m ＋3)]2＝(12m)2＝14m 215．设y ＝kx ，是否存在实数k ，使得代数式(x 2－y 2)(4x 2－y 2)＋3x 2(4x 2－y 2)能化简为x 4若能，请求出所有满足条件的k 的值；若不能，请说明理由．解：能 (x 2－y 2)(4x 2－y 2)＋3x 2(4x 2－y 2)＝(4x 2－y 2)(x 2－y 2＋3x 2)＝(4x 2－y 2)2，当y ＝kx ，原式＝(4x 2－k 2x 2)2＝(4－k 2)2x 4，令(4－k 2)2＝1，解得k ＝±3或±5，即当k ＝±3或±5时，原代数式可化简为x 4。

海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：2320.x x -+=……………………………………………1分0)2)(1(=--x x ． ……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x ．∴2,121==x x . ………………………………………………………5分18．解：∵抛物线a x x y ++=32与x轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=．……………………………………………4分 ∴49=a ．……………………………………………5分19．解：∵点(3, 0)在抛物线上，∴k k -++⨯-=)3(33302．………………………………………2分 ∴9=k ．……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y ．∴对称轴为2=x ．……………………………………………5分20．解：∵PA ,PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ．………………………………………1分∴PBA PAB ∠=∠．………………………………………2分k x k x y -++-=)3(32∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥PA ．∴90=∠PAC º．………………………………………3分 ∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º．………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB P º．………………………………………5分21．解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a ．………………………………………2分 ∴152-=-a a ．…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=．………………………………………5分22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA , OC ，过点O 作ON⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分∴90ONC ∠=º.∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==．…………………………2分 在Rt △OAM 中，∵1OA =，∴0.6OM ==． ………………………………3分 同理可得0.8ON =．………………………………4分 ∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了0.2米．…………………………5分23．（1）证明：22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a ．……………………………1分∵0>a ， ∴2(3)0a +>．即0>∆．∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分（2）解方程，得3,121ax x =-=．……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2，∴23>a． ∴6>a ．……………………………………………5分24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=．设BC 为x m.…………………………………1分依题意，得)2(22x x -=．.………………………………………3分 解得,511+-=x 512--=x （不符合题意，舍去）．……4分1 1.2≈．答：雕像的下部应设计为1.2m ．…………………………5分25． 解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=º．在Rt △ACB 中，∵2=AB ，AC∴BC =．∴45BAC ∠=º．………………2分∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º．………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º．………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒．∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º．∴CAD ∠为15º或105º．…………………5分26．解：（1）∵直线m x y +-=22经过点B （2，-3），∴m +⨯-=-223．∴1=m ．……………………………………………1分 ∵直线22y x m =-+经过点A （-2，n ），∴5n =．……………………………………………2分 ∵抛物线21y x bx c =++过点A 和点B ，∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b∴3221--=x x y ．……………………………………………4分 （2）12-.……………………………………………5分27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分 ∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠ODC =90︒．∴∠POC+∠OCD =90º． ∴∠PCD+∠OCD =90º． ∴∠OCP =90º． ∴半径OC ⊥CP ．∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分 （2）解：①设⊙O 的半径为r. 在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=．∵1,BP CP ==∴222(1)r r +=+． ………………………4分解得2r =．∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分②3． ……………………………………………7分28．解：（1）1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分 （2）如图所示：……………………………………5分1342x x x x <<<. .……………………………………………7分29.解：（1）60. ……………………………………………2分（2）.……………………………………………3分连接,MQ MP .记,MQ PQ 分别交x 轴于,E F .∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△和△均为等边三角形. ………………4分∴，MN MP =，. ∴.∴△≌△. .………………………………5分 ∴. ∵， ∴.∴60α=︒. .…………………………………………….6分 （3）（2，12）或（2-，12-）. ………………………8分MAQ MNP MA MQ =60AMQ NMP ∠=∠=︒AMN QMP ∠=∠MAN MQP MAN MQP ∠=∠AEM QEF ∠=∠60QFE AMQ ∠=∠=︒ABC D数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．已知，则锐角A 的度数是（） A ． B ．C ．D ．2．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB =1∶2，若DE =2，则BC等于（）A ．4B ．6C ．12D ．184．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）A ．()231y x =+-B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，BCAC ＝3，则CD 的长为（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ．526．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是（）1sin 2A =30︒45︒60︒75︒A ．512 B ．513 C ．1213 D ．1257. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将△BCE 绕点C 旋转得到△ACD ，则cos ∠ABC 的值等于（）A. 33B. 21C. 31 D. 1010第7题第8题8.如图，二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线x ＝1，则下列结论：①0,0,a b <<②20,a b ->③0,a b c ++>④0,a b c -+<⑤当1x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（）A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．①③④9. 若抛物线1222-++-=m m mx x y （m 是常数）的顶点是点M ，直线2+=x y 与坐标轴分别交于点A 、B 两点，则△ABM 的面积等于（）A ．6B ．3C ．25D ．23 10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ， AC =6，BD =8，动点P 从点B 出发，沿着B -A -D 在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点'P 是 点P 关于BD 的对称点，'PP 交BD 于点M ，若BM =x ，'OPP △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（）二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.如果23a b b =-，那么ab=________． MOP'P DBACDAB C12．已知抛物线522+-=x x y 经过两点A （-2，y 1）和),3(2y B ，则1y 与2y 的大小关系是．13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为m. 14．已知在△ABC 中，tan A =43，AB =5，BC =4，那么AC 的长等于. 15．若关于x 的一元二次方程0142=-+-t x x （t 为实数）在270<<x 的范围内有解，则t 的取值范围是__________．16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值等于； （2）当AE +AF 的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF .三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：23tan30cos 452sin 60︒+︒-︒．18．如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠D =90°，C 为线段BD 上一点，且AC ⊥CE ．AB =3，DE =2，BC =6．求CD 的长．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC于点D ，AC=3.（1）求∠B 的度数；ADC B EF图①图②EADBCBA（2）求AB 及BC 的长．20. 已知：二次函数2y axbx c =++(0)a ≠中的x 和y 满足下表：(1) 可求得m 的值为；(2) 求出这个二次函数的解析式； (3) 当y >3时，x 的取值范围为.21．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A (1,2)，B (2,1)，C (4,3)，在第一象限内，以原点为位似中心，画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点C 1坐标．22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60°．求山高CD ．23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？24．已知AC ，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE +∠CBE =90°.（1）如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF ． （i ）求证：△CAE ∽△CBF ； （ii ）若BE =1，AE =2，求CE 的长；k FCEF==时，若BE =1，AE =2，CE =3，则k 的值等于.图1 图225．抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出△ABP 面积的最大值；(3)设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使m S ABQ =∆，则m 的值等于.AF26. 有这样一个问题：探究函数11-+=x x y 的图象与性质. 小东根据学习函数的经验，对函数11-+=x x y 的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成： (1)函数11-+=x x y 的自变量x 的取值范围是___________； (2)下表是y 与x 的几组对应值求m 的值；(3)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________.27. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1+=x y 交于点A ，点Ax关于直线1-=x 的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B . (1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象， 求a 的取值范围.28．如图1，△ABC 为等腰直角三角形，∠C =90°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，线段AF ，BE 交于点P ，将线段AF 绕点A 顺时针旋转α（0°≤α≤180°）得到线段AQ . （1）直接写出APPF的值为； （2）如图2，当α=180°时，延长BE 到D 使得ED =BE ，连接QD ，证明QD ⊥BD ；（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ 交直线BE 于点M ，当△AMP 为等腰三角形时，△AMP 的底角正切值为.图1 图2图329．如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，那么我们称抛物线C 1与C 2关联．（1）已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y 、抛物线③122++=x x yE若不存在，请说明理由．参考答案二、填空：16．（Ⅰ）；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：23tan30cos 452sin 60︒+︒-︒232=+-⎝⎭……………… 3分12=1.2= ……………… 5分18．解：∵在△ABC 中，∠B =90º，∴∠A +∠ACB = 90º． ∵AC ⊥CE ，∴∠ACB +∠ECD =90º． ∴∠A =∠ECD ． ……………………2分∵在△ABC 和△CDE 中，∠A =∠ECD ，∠B =∠D =90º， ∴△ABC ∽△CDE ．………………………3分 ∴DEBCCD AB =．……………………4分 ∵AB = 3，DE =2，BC =6，∴CD =1． ……………………5分19．解：（1）∵在△ACD 中，90C ∠=︒，CD =3，AC =3，∴tan 3CD DAC AC∠==．∴∠DAC =30º． ………………………1分∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠DAC =60º． ……………2分 ∴∠B =30º．…………………………………3分(2) ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B =30º，AC =3， ∴AB =2AC =6．………………………4分tan AC BC B===……………………5分20．解：(1)m 的值为 3 ； 1分(2) 二次函数为y =a （x -2）2−1 2分∵过点（3，0）∴a=1 y =x 2-4x +3 3分(3) 当y >3时，x 的取值范围为x <0或x >4 . 5分21. C 1坐标（8,6）．22. 3160200+米23．设房价为（180+10x ）元利润y=(180+10x ）（50-x)-(50-x)20=-10x 2 +340x+8000当x=17即房间定价为180+170=350的时利润最大.24.（1）（i ）证明：∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形，∴∠ACE=∠BCF ， ∴△CAE ∽△CBF ．（ii ）解：∵△CAE ∽△CBF ，∴∠CAE=∠CBF ，AE ：BF ＝AC：BC ，又∵∠CAE+∠CBE=90°， ∴∠CBF+∠CBE=90°， ∴∠EBF=90°， 又∵AE ：BF ＝AC ：BC ＝2，AE=225．（1）322++-=x x y（2）当=x ABP 面积的最大值是827.（3）827x26.（3）292<≤a .28．（1）2；（2）作AH ⊥BD 于D ，证明△APH ∽△QPD ，得证； （3）43，13或3.29.（1）②1分（2）21781218122-+=-+=)x (y ,)x (y 5分 （3）),(),,(),,(C 2411024110310--+-- 8分北京市西城外国语学校2015——2016学年度第一学期九年级数学期中考试试卷2015.11.6班、姓名 、学号 、成绩一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．抛物线5)2(2-+-=x y 的顶点坐标是( ) . A ．()2，5-B ．()2，5C ．()25，--D ．()52，-2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC ＝40°，则∠AOC的度数为( ).A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°3. 如图, A 、B 两地被池塘隔开, 小明通过下列方法测出了A 、B 间 的距离: 先在AB 外选一点C , 然后测出AC 、BC 的中点M 、N , 并 测量出MN 的长为12m, 由此他就知道了A 、B 间的距离. 有关他 这次探究活动的描述错误的是( )A. MN ∥ABB. CM : MA = 1 : 2C. △CMN ∽△CABD. AB =24m4．把二次函数23x y =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）.A ．()1232+-=x y B. ()1232-+=x y C. ()1232--=x y D. ()1232++=x y5．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确．．．的是（ ）. A ．∠ABD =∠C B. ∠ADB =∠ABC C.AD AB AB AC = D. AB CBBD CD=6. 在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ，则的值是（ ） FDBFN A DFA. B. C. D.7.已知二次函数2y ax bx c=++(0a≠)①240b ac->；②0abc>；③80a c+>；④930a b c++<．其中，正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.在同一直角坐标系中一次函数y ax b=+和二次函数2y ax bx=+的图象可能为( )9. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）①②③④A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④10.如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动．设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．21314151A．BB．C．D二、填空题（本题共24分，每小题4分）11．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-1）的抛物线的解析式__________． （结果请化为一般式） 12. 两个相似三角形的面积比是9:5，则它们的周长比是__________． 13．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ，则CD 的长为 .14．如图，在△ABC 中，∠A =90°， D 为BC 上一点 ， 过D作ED ⊥BC 交AC 于E ，若AB =6，AC =8，ED =3，则CD的长为__________．15. 点A （，）、B （，）在二次函数221y x x =--的图象上，若＞＞1，则与的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“=”填空） 16．在△ABC 中, AB =5, AC =4, E 是AB 上一点, AE =2, 在AC 上取一点F , 使以A 、E 、 F 为顶点的三角形与△ABC 相似, 则AF 的长为 .三、解答题（本题共66分）17．（本题5分）已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(25)A ，． （1）求二次函数的解析式；（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式 解：（1）18. （本题5分）已知一抛物线过点（－3，0）、（-2，-6），且对称轴是x =－1.求该抛物线的解析式. 解：1x 1y 2x 2y 2x 1x 1y 2y 1y 2y19．（本题5分）如图，在□ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．（1）证明：20.（本题5分）已知二次函数y= x2 －4x＋3．（1）求出该函数与x．轴．的交点坐标、与y．轴．的交点坐标；（2）在平面直角坐标系中，用描点法．．．画出该二次函数的图象；（3）根据图象回答：①当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？②当0≤x<3时，y的取值范围是多少？解：21. （本题6分）如图，在平面直角坐标系中，A （-1，1），B （-2，-1）．（1）以原点O 为位似中心，把线段AB 放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD ； （2）在（1）的条件下，写出点A 的对应点C 的坐标为点B 的对应点D 的坐标为22．（本题6分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w (双)与销售单价x (元)满足(20≤x ≤40),设销售这种手套每天的 利润为y （元）.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？23．（本题6分）已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA280w x =-+的延长线于D ，交AB 于E ．求证：AM 2＝MD •ME ．证明：24. （本题6分）如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）． 求（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯1P 、2P 之间的水平距离.解：25. （本题6分）阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，图(1)图（1）BF 的延长线交射线CD 于点G . 如果3AF EF =，求CDCG的值. 他的做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则可以得到△BAF ∽△HEF . 请你回答：（1）AB : EH 的值为 ，CG : EH 的值为 ，CDCG的值为 . （2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果(0)AFa a EF=>，那么CD CG 的值为 （用含a 的代数式表示）.（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F . 如果(00)AB BCm n m n CD BE==>>，，，那么AF EF 的值为 （用含m ，n 的代数式表示）.26．（本题8分）对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E . 现有点A （2，0）和抛物线E 上的点H(1)ABCDE FG G F E D CBA(2)(3)ABCDEFB （－1，n ），请完成下列任务： 【尝试】（1）当t =2时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为 ； （2）点A （填在或不在）在抛物线E 上； （3）n 的值为 .【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为 .【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由.27. （本题8分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线235y mx x m =+++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0 , 4），D 为OC 的中点. （1）求m 的值；（2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点的三角形与ADE ∆ 相似？若存在，请求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC G的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）北京市西城外国语学校2015—2016学年度第一学期九年级数学期中考试答案2015.11.6一、选择题（本题共30分，每小题3分）CDBD DBDA CB二、填空题（本题共24分，每小题4分）11、12-=x y .12、3:5 .13、2 .14、4 . 15、 . 16、25,58..三解答题17、（1）∵ 二次函数23y x bx =+-的图象经过点A (2，5)，∴ 4235b +-=． ......................................................................................... 1分 ∴ 2b =．∴ 二次函数的解析式为223y x x =+-． .................................................. 2分（2）223y x x =+-2(21)4x x =++-2(1)4x =+-． .................................................................................................... 5分18、 ∵对称轴是x =－1，抛物线过点（－3，0）∴抛物线与x 轴另一交点是（1，0） ---------------------1分∴设抛物线的解析式.：()()13-+=x x a y ---------------------2分 ∵抛物线过点（-2，-6） ∴()()12326--+-=-a∴ 2=a ---------------------4分 ∴()()132-+=x x y 即：6422-+=x x y ------------------5分19、（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC .∴∠B =∠ECF ，∠DAE =∠AEB ．……2分 又∵∠DAE =∠F ， ∴∠AEB =∠F .∴△ABE ∽△ECF ． ................................................................................. 3分 （2）解：∵△ABE ∽△ECF ， ∴AB BE EC CF=. .................................................................................................. 4分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC =AD =8.∴EC =BC -BE =8-2=6.∴526CF=.∴125CF =. ……………………………………………5分20、（1）（3，0）（1，0）；（0，3） ……………2分 （2）图象基本正确，列表 ……………3分 （3）①1<x<3 ………4分② －1≤y ≤3 ………5分21、如图，在平面直角坐标系中，A （-1，1），B （-2，-1）． （1）以原点O 为位似中心，把线段AB 放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD ；……………2分（2）在（1）的条件下，写出点A 的对应点C 的坐标为(-2,2)或（2,-2）， 点B 的对应点D 的坐标为（-4，-2）或（4,2）．………6分22、（1）160012022-+-=x x y ；……………3分 （2）200)30(22+--=x y ………6分23、证明△AMD 与△AME 相似 ………6分24、 （1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y 轴交点坐标是（0，1）………1分设抛物线的解析式是y=a(x －5)2＋5 ………………………………2分把（0，1）代入y=a(x －5)2＋5得a=－425 ………………………3分 ∴y=－425(x －5)2＋5（0≤x ≤10）=2481255x x -++………………4分 （2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4∴4=－425(x －5)2＋5 ∴425(x －5)2=1 ，解得x 1=152，x 2=52………………………………5分 ∴ 两景观灯间的距离为5米． ……………………………………………6分25、（1）3AB EH =,2CG EH =, 32. ……………………… 3分 （2）2a. …………………………………………… 5分 （3）mn . ……………………………………… 6分26、（1）将t=2代入抛物线E 中，得：y=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）=2x 2-4x=2（x-1）2-2， ∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）； . ………1分 （2）点A 在抛物线E 上， ………2分理由如下：∵将x=2代入y=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4），得 y=0， ∴点A （2，0）在抛物线E 上． （3）∵点B （-1，0）在抛物线E 上， ∴将x=-1代入抛物线E 的解析式中，得：n=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）=6． ……4分∵将抛物线E 的解析式展开，得：y=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）=t （x-2）（x+1）-2x+4 ∴抛物线E 必过定点（2，0）、（-1，6）； ……6分 （4）不是．∵将x=-1代入y=-3x 2+5x+2，得y=-6≠6， ∴二次函数y=-3x 2+5x+2的图象不经过点B ．∴二次函数y=-3x 2+5x+2不是二次函数y=x 2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”． ……8分27、解：（1）抛物线m m mx y +++=532与y 轴交于点C （0 , 4），∴ 5 4.m += ∴ 1.m =- ………1分 （2）抛物线的解析式为 234yx x =-++.可求抛物线与x 轴的交点A （-1，0），B （4，0）. 可求点E 的坐标3(,0)2.由图知，点F 在x 轴下方的直线AD 上时，ABF ∆是钝角三角形，不可能与ADE ∆ 相似，所以点F 一定在x 轴上方.此时ABF ∆与ADE ∆有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况： ① 当AB AEAF AD=时，由于E 为AB 的中点，此时D 为AF 的中点， 可求 F 点坐标为（1，4）. ………3分 ② 当AB AD AF AE =时，55AF AF =解得过F 点作FH ⊥x 轴，垂足为H . 可求 F 的坐标为352（，）. …………4分（3） （4）(3) 在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G .由题意，可知△OBC 为等腰直角三角形，直线BC 为 4.y x =-+ 可求与直线BCy =-x +9或y =-x -1. ………6分 ∴ 点G 在直线y =-x +9或y =-x -1上. ∵ 抛物线的对称轴是直线23=x , ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+-==.9,23x y x 解得..215,23⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 或⎪⎩⎪⎨⎧--==.1,23x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,23y x ∴ 点G 的坐标为31535(,)-2222或（，）. ………8分北京市海淀区2015届九年级上期中考试数学试题及答案（WORD 版）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列图形是中心对称图形的是（ ）A B C D2．将抛物线2y x =向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A.21y x =+ B.21y x =- C.()21y x =+D.()21y x =-3.袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球.下面说法正确的是（ ） A.这个球一定是黑球 B.这个球一定是白球C.“摸出黑球”的可能性大D.“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大4.用配方法解方程2230x x --=时，配方后得到的方程为（ ） A.2(1)=4x - B.2(1)4x -=- C.2(1)=4x + D.2(1)=4x +-5．如图，O 为正五边形ABCDE 的外接圆，O 的半径为2，则AB 的长为（ ） A.5π B.25π C.35π D.45πD6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，59ABD ∠=︒，则C ∠等于（ ） A.29︒ B.31︒ C.59︒ D.62︒7．已知二次函数24y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两个实数根是（ ） A.121,1x x ==- B.121,2x x =-= C.121,0x x =-=D.121,3x x ==8．如图，C 是半圆O 的直径AB 上的一个动点（不与A ，B 重合），过C 作AB 的垂线交半圆于点D ，以点D ，C ，O 为顶点作矩形DCOE ． 若AB =10，设AC =x ，矩形DCOE 的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9.如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，连接AB .60APB ∠=︒，5AB =，则PA 的长是 ．10．若关于的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则的值为_________．11．在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x =的图象经过点11(,)M x y ，22(,)N x y 两点，若1 42x -<<-，202x <<，则1y 2y .（用“<”，“=”或“>”号连接）12．如图，正方形ABCD 中，点G 为对角线AC 上一点，AG=AB ． ∠CAE =15°且AE=AC ，连接GE ．将线段AE 绕点A 逆时针旋转得到 线段AF ，使DF=GE ，则∠CAF 的度数为____________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）x k EDCBO A PEDCBA13．解方程：2310x x +-=．14．如图，∠DAB =∠EAC ，AB =AD ，AC =AE ．求证：BC =DE ．15．已知二次函数的图象经过点(0,1)，且顶点坐标为(2,5)，求此二次函数的解析式．16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC =130°，求∠OAC 的度数．17．若1x =是关于x 的一元二次方程22420x mx m -+=的根，求代数式()2213+m -的值．18.列方程解应用题：某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．下图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有 天；（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．20．已知关于x 的方程2(3)30ax a x +--=(0)a ≠. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a 的值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，点G 在直径DF 的延长线上，∠D =∠G =30．（1）求证：CG 是⊙O 的切线；（2）若CD =6，求GF 的长．空气质量指数22．阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：123,,x x x ，称为数列123,,x x x ．计算1x ，122x x +，1233x x x ++，将这三个数的最小值称为数列123,,x x x 的价值．例如，对于数列2，1-，3，因为22=，2(1)122=+-，2(1)3433+-+=，所以数列2，1-，3的价值为12． 小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列1-，2，3的价值为12；数列3，1-，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，1-，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为12．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列4-，3-，2的价值为______；（2）将“4-，3-，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为______ ，取得价值最小值的数列为___________（写出一个即可）； （3）将2，9-，a (1)a >这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a 的值为__________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）当15ABC S △=时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C 的直线l :y kx b =+(0)k <与抛物线的另一个交点为D . 该抛物线在直线l 上方的部分与线段CD 组成一个新函数的图象. 请结合图象回答：若新函数的最小值大于8-，求k 的取值范围．24．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α(0120)α得到线段AD，<<连接CD．（1）连接BD，①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b 在第一象限．以P 为圆心的圆经过原点，与y 轴的另一个交点为A ．点Q 是线段OA 上的点（不与O ，A 重合），过点Q 作PQ 的垂线交⊙P 于点(,)B m n ，其中0≥m ．（1）若5b =，则点A 坐标是________________； （2）在（1）的条件下，若OQ =8，求线段BQ 的长；（3）若点P 在函数2y x =(0)x >的图象上，且△BQP 是等腰三角形. ①直接写出实数a 的取值范围：__________________； ②在12，PQ 的长度可以为 ，并求出此时点B 的坐标．海淀区九年级第一学期期中练习2014.11数学试卷答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 5 ；10． 4 ； 11． >；12． 30°或60°．（注：每个答案2分）三、解答题（本题共30分,每小题5分） 13.（本小题满分5分）解：∵131a ,b ,c ===-， …………………………………………………………………1分∴2341(1)=13>0∆=-⨯⨯-． … ……………………………………………………2分∴x ==∴12x ． ……………………………………………………5分 14．（本小题满分5分）证明：∵∠DAB =∠EAC ，∴∠DAB +∠BAE =∠EAC+∠BAE ．∴∠DAE =∠BAC ． ………………………………………………………………1分 在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△BAC ≌△DAE ． ………………………………………………………………4分 ∴BC =DE ． ………………………………………………………………………5分15.（本小题满分5分）解：设二次函数的解析式为()225y a x =-+ (0)a ≠．……………………………1分∵二次函数的图象经过点(0,1)．∴()21025a =-+．………………………………………………………………2分 ∴1a =-． …………………………………………………………………………4分 ∴二次函数的解析式为241y x x =-++．………………………………………5分16. （本小题满分5分）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC +∠ABC =180°． …………………………………………………………1分 ∵∠ABC =130°，∴∠ADC =180°-∠ABC =50°． …………………………………………………2分∴∠AOC =2∠ADC =100°． ………………………………………………………3分 ∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA ． ……………………………………………………………4分∴∠OAC =1(180)402AOC -∠= ． ……………………………………………… 5分17. （本小题满分5分）解：依题意,得 21420m m -+=. ……………………………………………………2分∴2241m m -=-． ………………………………………………………………3分 ∴()()2222132213245154+=m m m m m --++=-+=-+=． …………5分18. （本小题满分5分）解：设每期减少的百分率为x ．…………………………………………………… ……1分 由题意，得()24501288x -=． ……………………………………………… ………2分解方程得 115x =，295x =． ………………………………………………… ……3分经检验，915x =>不合题意，舍去；15x = 符合题意． ……………… …………4分答：每期减少的百分率为20%． ……………………………………………… ………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. （本小题满分5分）解：（1）3． …………………………………………………………………………… 2分（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等． ……………3分 由图可知，其中有9天空气质量优良． ………………………………… ……4分 所以，P （到达当天空气质量优良）93155==． …………………… ………5分20. （本小题满分5分） 解：（1）∵0a ≠，∴原方程为一元二次方程．∴()234(3)a a ∆=--⨯⨯- ………………………………………………1分()23a =+．∵()230≥a +．∴此方程总有两个实数根． …………………………………………………2分 （2）解原方程，得 11x =-，23x a=. ……………………………………………3分 ∵此方程有两个负整数根，且a 为整数，∴1a =-或3-． …………………………………………………………………4分 ∵12x x ≠，∴3a ≠-．∴1a =-． ………………………………………………………………………5分 21. （本小题满分5分） （1）证明:连接OC ．∵OC=OD ，∠D =30°， ∴∠OCD =∠D = 30°．…………………………………1分 ∵∠G =30°，∴∠DCG =180°-∠D -∠G =120°． ∴∠GCO =∠DCG -∠OCD =90°． ∴OC ⊥CG ．又∵OC 是⊙O 的半径．∴CG 是⊙O 的切线．……………………………………2分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴132CE CD ==. ………………………………………………………3分∵在Rt △OCE 中，∠CEO =90°，∠OC E =30°，∴12OE OC =，222OC OE CE =+．设OE x =，则2OC x =. ∴()22223x x =+.解得x =∴OC = ………………………………………………………………4分∴OF =在△OCG 中，∵∠OCG =90°，∠G =30°，∴2OG OC ==∴GF GO OF =-= ……………………………………………………5分22. （本小题满分5分）答：（1）53． …………………………………………………………………………………1分（2）12， ………………………………………………………………………………2分3,2,4--或2,3,4--．（写出一个即可）…………………………………………3分（3）11或4．（每个答案各1分） ……………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. （本小题满分7分）解：（1）∵ 抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A 、B 两点，∴ 令0y =，即 2(1)0x m x m ---=．解得 11x =-，2x m =． …………………………………………………1分 又∵ 点A 在点B 左侧，且0m >，∴ 点A 的坐标为(1,0)-． …………………………………………………2分（2）由（1）可知点B 的坐标为(0)m ，．∵抛物线与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0,)m -． ……………………………………………………3分 ∵0m >，∴1AB m =+，OC m =． ∵15△ABC S =，∴1(1)152m m +=． ∴6m =-或5m =．∵0m >， ∴5m =．∴抛物线的表达式为245y x x =--． ………………………4分（3）由（2）可知点C 的坐标为(0,5)-．∵直线l ：y kx b =+(0)k <经过点C ，∴5b =-. ………………………………………5分 ∴直线l 的解析式为5y kx =-(0)k <． ∵2245(2)9y x x x =--=--，∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为9-，不符合题意． 当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于8-． 令8y =-，即2458x x --=-．解得 11x =（不合题意，舍去），23x =． ∴抛物线经过点(3,8)-．当直线5y kx =-(0)k <经过点(3,8)-时，可求得1k =-．…………………6分 由图象可知，当10k -<<时新函数的最小值大于8-． ………………………7分24．（本小题满分7分）解：（1）①30°． …………………………………………………………………………1分②不改变，∠BDC 的度数为30．方法一：由题意知，AB=AC=AD ．∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．…………………………2分 ∴∠BDC=12∠BAC =30．……………………………………………………3分 方法二：由题意知，AB=AC=AD ． ∵AC =AD ，∠CAD =α，∴1801=9022ADC C αα-==- ∠∠．…………………………………2分 ∵AB=AD ，∠BAD =60α+，∴()18060120160222ADB B ααα-+-====- ∠∠．。