2020-2021初中数学因式分解解析含答案

因式分解一、选择题1.（2021七下·昆山月考）下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A.a2+4a−21=a(a+4)−21B.a2+4a−21=(a−3)(a+7)C.(a−3)(a+7)=a2+4a−21D.a2+4a−21=(a+2)2−25【答案】B解：A、a2+4a−21=a(a+4)−21不是因式分解，故此选错误；B、a2+4a−21=(a−3)(a+7)，正确；C、(a−3)(a+7)=a2+4a−21，不是因式分解，故此选错误；D、a2+4a−21=(a+2)2−25，不是因式分解，故此选错误.故答案为：B.【思路引导】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.2.（2020·广元）下列运算正确的是（）A.(2a2a)2=2a4a2B.(−a)2=a2C.(a+a)2=a2+ a2D.a3a4=a12【答案】B解：A、原式=4a4b2，不符合题意；B、原式=a2，符合题意；C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式=a7，不符合题意；故答案为：B.【思路引导】分别利用幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，同底数幂的乘法法则计算即可.3.（2020七下·北仑期末）下列多项式能用公式法分解因式的是（）A.4a2+(−a)2B.−4a2−a2C.a2+2aa−a2D.a+1+a24【答案】D解：观察四个选项，只有选项D能用公式法分解因式即 a +1+a 24=(a 2)2+a +1=(1+a 2)2 故答案为：D.【思路引导】根据完全平方公式和平方差公式逐项观察即可得.4.（2020七下·嘉兴期末）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）A. (a +1)(a −1)=a 2−1B. a 2−1=(a +1)(a −1)C. a 2−1+a =(a +1)(a −1)+aD. a 2−1+a =a (a −1a +1) 【答案】 B解：A 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；B 、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；C 、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；D 、将多项式转化成几个式子的积，存在分式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意. 故答案为：B.【思路引导】多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可.5.（2020七上·大庆期末）若x²+mx+36是完全平方式，则m 的值为（ ）A. 6B. ±6C. 12D. ±12【答案】 D∵x 2+mx+36是完全平方式，∵m=±12，故答案选D.【思路引导】根据完全平方式求出m 的值即可。

专题01 因式分解 易错题之选择题（30题）Part1 与 因式分解 有关的易错题1．（2020·雅安市八年级月考）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A ．12a 2b = 3a ⋅ 4abB ．2x 2+2x ＝2x 2（1+1x ）C ．（x+2）（x ﹣2）＝x 2﹣4D ．4x 2 + 4x +1 =（2x +1）2【答案】D【提示】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．【详解】解：A 、是一个单项式转化为乘积的形式，不是因式分解，故A 不符合；B 、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B 不符合；C 、是整式的乘法，故C 不符合；D 、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D 符合；故选：D ．【名师点拨】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式．2．（2020·四川省自贡市八年级月考）下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()am bm c m a b c ++=++B ．()211(1)x x x -=+-C ．221(1)x x x x +=+ D ．()2221441x x x +=++【答案】B【提示】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．【详解】解：A 、()am bm c m a b c ++=++，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；B 、()211(1)x x x -=+-，把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；C 、()21x x x x +=+，故错误，此选项不符合题意；D 、()2221441x x x +=++，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选：B ．【名师点拨】本题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．3．（2020·河南周口市·八年级期末）把多项式2x ax b ++分解因式，得(1)(3)x x +-，则+a b 的值是（ ） A ．1B ．-1C ．5D ．-5【答案】D【提示】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a 与b 的值，即可求出a +b 的值．【详解】根据题意得：x 2+ax+b=(x+1)(x−3)=x 2−2x−3，可得a=−2，b=−3，则a+b=−5，故选D.【名师点拨】本题考查因式分解，解决本题的关键是要理解两个多项式相等的条件，两个多项式分别经过合并同类项后,如果他们的对应项系数都相等,那么称这两个多项式相等.4．（2020·安徽淮南市·八年级期末）若2(32)()2x x p mx nx ++=+-，则下列结论正确的是（ ） A ．6m =B ．1n =C ．2p =-D ．3mnp =【答案】B【提示】 直接利用多项式乘法运算法则得出p 的值，进而得出n 的值．【详解】解：∵2(32)()2x x p mx nx ++=+-，∵（3x+2）（x+p ）=3x 2+（3p+2）x+2p=mx 2-nx -2，∵m=3，p=-1，3p+2=-n ，∵n=1，故选B.【名师点拨】此题考查了因式分解的意义；关键是根据因式分解的意义求出p 的值，是一道基础题．5．（2020·湖北黄石市·八年级期末）下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ）A ．（a ﹣b ）3﹣b （b ﹣a ）2＝（b ﹣a ）2（a ﹣2b ）B ．（x+2）（x+3）＝x 2+5x+6C ．4a 2﹣9b 2＝（4a ﹣9b ）（4a+9b ）D ．m 2﹣n 2+2＝（m+n ）（m ﹣n ）+2【答案】A【提示】 直接利用因式分解的定义进而提示得出答案．【详解】A 、（a ﹣b ）3﹣b （b ﹣a ）2＝﹣（b ﹣a ）3﹣b （b ﹣a ）2＝（b ﹣a ）2（a ﹣2b ），是因式分解，故此选项正确；B 、（x+2）（x+3）＝x 2+5x+6，是整式的乘法运算，故此选项错误；C 、4a 2﹣9b 2＝（2a ﹣3b ）（2a+3b ），故此选项错误；D 、m 2﹣n 2+2＝（m+n ）（m ﹣n ）+2，不符合因式分解的定义，故此选项错误．故选A ．【名师点拨】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的定义是解题关键．6．（2020·四川省射洪县八年级月考）下列因式分解中，正确的个数为（ ）①x 3+2xy+x=x （x 2+2y ）；②x 2+4x+4=（x+2）2；③﹣x 2+y 2=（x+y ）（x ﹣y ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 【答案】C【详解】试题提示：接根据提取公因式法以及公式法分别分解因式作出判断：∵x 3+2xy+x=x （x 2+2y+1），故原题错误；②x 2+4x+4=（x+2）2，故原题正确；③﹣x 2+y 2=（x+y ）（y ﹣x ），故原题错误．故正确的有1个．故选C ．7．（2020·河北唐山市·八年级期末）下列因式分解中：①()3222x xy x x x y ++=+；②22()()x y x y x y -+=+-；③2244(2)x x x ++=+；④221(1)x x x ++=+；正确的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】C【提示】根据因式分解的方法逐个判断即可．【详解】解：①()32221x xy x x x y ++=++，故①错误；②22()()x y x y x y -+=-+-，故②错误；③2244(2)x x x ++=+，正确，④221(1)x x x ++≠+，故④错误，所以正确的只有③，故答案为：C ．【名师点拨】本题考查了判断因式分解是否正确，掌握因式分解的方法是解题的关键．8．（2020·河北唐山市·八年级月考）一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（ ）A ．2222()x xy y x y -+=-B ．22()x y xy xy x y -=-C ．22()()x y x y x y -=+-D ．32(1)x x x x -=- 【答案】D【提示】利用完全平方公式和平方差公式可对A 、C 两项进行判断；利用提公因式法可对B 进行判断，利用提公因式法和平方差公式可对D 项进行判断.【详解】因为x 2-2xy+y 2=(x -y)2，所以选项A 分解正确；因为x 2y -xy 2=xy(x -y)，所以选项B 分解正确；因为x 2-y 2=(x -y)(x+y)，所以选项C 分解正确；因为x 3-x=x(x 2-1)=x(x+1)(x -1)，所以选项D 分解不彻底.故选:D.【名师点拨】本题是一道关于因式分解的题目，关键是掌握因式分解的常用方法；9．（2020·山东泰安市·东平县八年级月考）如果多项式x 2﹣mx ＋6分解因式的结果是（x ﹣3）（x ＋n ），那么m ，n 的值分别是（ ）A ．m ＝﹣2，n ＝5B ．m ＝2，n ＝5C ．m ＝5，n ＝﹣2D ．m ＝﹣5，n ＝2【答案】C【提示】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m 与n 的值即可．【详解】x 2－mx ＋6＝（x －3）（x ＋n ）＝x 2＋（n －3）x －3n ，可得－m ＝n －3，－3n ＝6，解得：m ＝5，n ＝－2．故选：C ．【名师点拨】此题考查了因式分解与多项式乘法的关系，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解本题的关键．10．（2020·重庆市八年级月考）已知25x x m -+有一个因式为2x -，则另一个因式为（ ）A ．3x +B ． 6 x ﹣C ． 3 x ﹣D ．6x +【答案】C【提示】所求的式子25x x m -+的二次项系数是1，因式（x−2）的一次项系数是1，则另一个因式的一次项系数一定是1，然后根据25x x m -+中一次项系数为－5，列方程求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为（x ＋a ），则x 2−5x ＋m ＝（x−2）（x ＋a ），即x 2−5x ＋m ＝x 2＋（a−2）x−2a ，∵a−2＝−5，解得：a ＝−3，∵另一个因式为（x−3）．故选：C ．【名师点拨】本题主要考查因式分解的实际运用，根据二次项系数假设出另一个因式是解本题的关键． Part2 与 提公因式法 有关的易错题11．（2020·四川泸州市·八年级月考）多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ）A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x - 【答案】A【详解】试题提示：把多项式分别进行因式分解，多项式2mx m -=m （x+1）（x -1），多项式221x x -+=()21x -，因此可以求得它们的公因式为（x -1）．故选A考点：因式分解12．（2020·山东临沂市·八年级期末）将3-a b ab 进行因式分解，正确的是( )A ．()2a a b b -B ．()21ab a -C ．()()11ab a a +-D ．()21ab a - 【答案】C【提示】多项式3-a b ab 有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解．【详解】 ()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-，故选C ．【名师点拨】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；13．（2020·广西防城港市·八年级月考）下列分解因式正确的是( )A ．-ma -m=-m(a -1)B ．a 2-1=(a -1)2C ．a 2-6a+9=(a -3)2D ．a 2+3a+9=(a+3)2【答案】C【提示】利用提取公因式或者公式法即可求出答案．【详解】A.原式=−m (a +1)，故A 错误；B.原式=(a +1)(a −1)，故B 错误；C.原式=(a −3)2，故C 正确；D.该多项式不能因式分解，故D 错误，故选:C【名师点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底.14．（2020·毕节市八年级月考）多项式8x m y n -1－12x 3m y n 的公因式是（ ）A ．x m y nB ．x m y n -1C ．4x m y nD ．4x m y n -1【答案】D【详解】由题意可得，这个多项式的公因式为4x m y n -1，注意数字的最大公约数也是公因式，容易出错，故选D15．（2020·辽宁大连市·八年级期末）如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为（ ）A ．60B ．16C ．30D ．11【答案】C【提示】 先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可．【详解】∵矩形的周长为10，∵a+b=5，∵矩形的面积为6，∵ab=6，∵a 2b+ab 2=ab （a+b ）=30．故选：C ．【名师点拨】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．16．（2020·渝中区八年级期末）若mn 2=-，3m n +=，则代数式22m n mn +的值是（ ）．A ．-6B ．-5C ．1D ．6【答案】A【提示】由提公因式进行化简，然后把mn 2=-，3m n +=代入计算，即可得到答案．解：∵mn 2=-，3m n +=，∵22()236m n mn mn m n +=+=-⨯=-；故选：A ．【名师点拨】本题考查了提公因式法，以及求代数式的值，解题的关键是正确的把代数式进行化简．17．（2020·河北邢台市·八年级期末）将多项式222a a --因式分解提取公因式后，另一个因式是（ ） A ．a B ．1a + C ．1a - D ．1a -+【答案】B【提示】直径提取公因式即可.【详解】()22221a a a a --=-+故选：B【名师点拨】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．18．（2020·河南南阳市期末）如果多项式221155abc ab a bc -+-的一个因式是15ab -，那么另一个因式是（） A ．5c b ac -+ B ．5c b ab +- C ．15c b ab -+ D ．15c b ab +-【答案】A【提示】 多项式先提取公因式15ab -，提取公因式后剩下的因式即为所求．【详解】 解：22111(5)555abc ab a bc ab c b ac -+-=--+，故另一个因式为(5)c b ac -+，故选：A ．【名师点拨】此题考查了因式分解-提取因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．也是解本题的难点，要注意符号．19．（2020·大冶市八年级月考）（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（ ）A ．﹣22019B ．﹣22020C ．22019D ．﹣2【提示】直接提取公因式（−2）2019，进而计算得出答案．【详解】（−2）2019＋（−2）2020＝（−2）2019×（1−2）＝22019．故选：C ．【名师点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．20．（2020·平山县八年级期末）若2220x y -=，且5x y +=-，则x y -的值是 （ ）A ．﹣4B ．4C ．5D ．以上都不对【答案】A【提示】 对原式进行因式分解，代入值即可．【详解】x 2-y 2=（x+y ）（x -y ）=-5（x -y ）=20，解得，x -y=-4．故选A ．【名师点拨】考查了应用平方差公式因式分解，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．Part3 与 公式法 有关的易错题21．（2020·德州市八年级月考）已知a ，b ，c 是三角形的三边，那么代数式a 2-2ab +b 2-c 2的值（ ） A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．不能确定【答案】C【详解】a 2-2ab+b 2-c 2=（a -b ）2-c 2=（a+c -b ）[a -（b+c ）]．∵a ，b ，c 是三角形的三边．∵a+c -b ＞0，a -（b+c ）＜0．∵a 2-2ab+b 2-c 2＜0．故选C ．22．（2020·北京海淀区八年级月考）若3a b +=，则226a b b -+的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【详解】∵a+b=3， ∵a 2-b 2+6b=(a+b)(a -b)+6b=3(a -b)+6b=3a -3b+6b=3a+3b=3(a+b)=9，故选C.23．（2020·陕西西安市八年级月考）多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（ ） A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1 【答案】C【提示】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）．故选：C ．【名师点拨】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x -2y ），将其当成整体提出，进而得到答案.24．（2020·山东济宁市·八年级期末）下列各式中，计算结果是2718x x +-的是（ ）A ．(1)(18)x x -+B ．(2)(9)x x ++C ．(3)(6)x x -+D ．(2)(9)x x -+ 【答案】D【解析】试题提示:利用十字相乘法进行计算即可.原式=（x －2）（x ＋9）故选D.考点：十字相乘法因式分解.25．（2020·辽宁沈阳市·八年级期末）下列各选项中因式分解正确的是（ ）A ．()2211x x -=-B ．()32222a a a a a -+=-C ．()22422y y y y -+=-+D ．()2221m n mn n n m -+=-【答案】D【提示】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．【详解】解：A.()()2111x x x -=+-，故此选项错误；B.()23221a a a a a -+=-，故此选项错误；C.()22422y y y y -+=--，故此选项错误；D.()2221m n mn n n m -+=-，正确．故选D ．【名师点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．26．（2020·枣庄市八年级月考）把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）A ．2（x 2﹣9）B ．2（x ﹣3）2C ．2（x +3）（x ﹣3）D ．2（x +9）（x ﹣9）【答案】C【解析】试题提示：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x 2﹣18=2（x 2﹣9）=2（x+3）（x ﹣3）．故选C ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．27．（2020·广东揭阳市·八年级期末）若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ）A ．-2B ．2C ．-50D ．50【答案】A【解析】试题提示：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2．考点：因式分解的应用．28．（2020·张掖市八年级月考）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x ﹣1C ．x 2﹣1D ．x 2﹣6x+9【解析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项解析判断后利用排除法求解：A 、x 2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；B 、x 2+2x ﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；C 、x 2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；D 、x 2﹣6x+9=（x ﹣3）2，故选项正确．故选D ．29．（2020·雅安市八年级月考）若k 为任意整数，且993﹣99能被k 整除，则k 不可能是（ ）A ．50B ．100C ．98D ．97【答案】D【提示】对题目中的式子分解因式即可解答本题．【详解】∵993-99=99×（992-1）=99×（99+1）×（99-1）=99×100×98，∵k 可能是99、100、98或50，故选D ．【名师点拨】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．30．（2020·南通市八年级月考）如图，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，x ，y 表示四个相同长方形的两边长（x y >）.则①x y n -=；②224m n xy -=；③22x y mn -=；④22222m n x y -+=，中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】A【提示】 根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项．①x−y 等于小正方形的边长，即x−y=n ，正确；②∵xy 为小长方形的面积， ∵224m n xy -=， 故本项正确；③()()22x y x y x y mn -=+-=，故本项正确；④()222222222242m n m nx y x y xy m -++=+-=-⨯=故本项错误.则正确的有3个①②③.故选A.【名师点拨】此题考查因式分解的应用，整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.。

一、选择题1．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（ ） A ．18B ．12C ．9D ．7D 解析：D【分析】将x 2﹣2x 当成一个整体，在第一个代数式中可求得x 2﹣2x ＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．【详解】解：∵3x 2﹣6x +6＝9，即3（x 2﹣2x ）＝3，∴x 2﹣2x ＝1，∴x 2﹣2x +6＝1+6＝7．故选：D ．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将x 2﹣2x 当成一个整体来对待．2．如果多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，则a 的值为（ ） A ．52- B ．52 C ．5 D ．-5B解析：B【分析】把多项式的乘积展开，合并同类项，令含y 的一次项的系数为0，可求出a 的值．【详解】()2y a +()5y -=5y-y 2+10a-2ay=-y 2+(5-2a)y+10a ，∵多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，∴5-2a=0，∴a=52． 故选B ．【点睛】 本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于将多项式的乘积展开，令含y 的一次项的系数为0，得到关于a 的方程．3．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如左图可以用来解释（a+b ）2－（a －b ）2=4ab ．那么通过右图面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）A ．22()()a b a b a b -=+-B ．22()(2)a b a b a ab b -+=+-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b +=++ C解析：C【分析】 利用不同的方法表示出空白部分的面积：一种是利用公式2()a b -直接计算，另一种是割补法得222a ab b -+，根据面积相等即可建立等式，得出结论．【详解】解：空白部分的面积：2()a b -，还可以表示为：222a ab b -+，∴此等式是222()2a b a ab b -=-+．故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义，注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示出空白部分的面积是解题的关键．4．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．214m m ++ B ．222x xy y -+- C ．221449x xy y -++D ．22193x x -+ C 解析：C【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】 A 、222111(44)(2)444m m m m m ++=++=+能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B 、222222(2)()x xy y x xy y x y -+-=--+=--能用完全平方公式分解因式，不符合题意；C 、221449x xy y -++不能用完全平方公式分解因式，符合题意；D 、2222111(69)(3)9399x x x x x -+=-+=-能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．已知5a b +=，2ab =-，则a 2+b 2的值为（ ）A ．21B ．23C ．25D ．29D 解析：D【分析】根据完全平方公式得()2222a b a b ab +=+-，再整体代入即可求值．【详解】解：∵()2222a b a b ab +=++，∴()2222a b a b ab +=+-， ∵5a b +=，2ab =-，∴原式()252225429=-⨯-=+=． 故选：D ．【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行计算．6．下列运算正确的是（ ）A ．3515x x x ⋅=B ．()3412x x -=C ．()32628y y = D ．623x x x ÷= C解析：C【分析】根据整式的同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则进行计算并判断．【详解】A 、358⋅=x x x ，故该项错误；B 、()3412x x -=-，故该项错误； C 、()32628y y =，故该项正确； D 、624x x x ÷=，故该项错误； 故选：C ．【点睛】 本题考查了整式的计算，熟记整式的同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则是解题的关键．7．已知1x =，1y =，则代数式222x xy y ++的值为（ ）． A ．20B ．10 C．D．解析：A【分析】 利用完全平方公式计算即可得到答案．【详解】∵1x =，1y =，∴x+y=∴222x xy y ++=2()x y +=2=20，故选：A ．【点睛】此题考查完全平方公式，熟记完全平方公式并运用解决问题是解题的关键．8．计算()()202020213232 -⨯的结果是( ) A ．32- B ．23- C ．23 D ．32D 解析：D【分析】利用积的乘方的逆运算解答．【详解】()()202020213232 -⨯ =20202020233322⎛⎫⎛⎫-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2020233322⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭=32． 故选：D ．【点睛】此题考查积的乘方的逆运算，掌握积的乘方的计算公式是解题的关键．9．下列运算正确的是（ ）．A ．236x x x =B ．2242x x x +=C ．22(2)4x x -=-D ．358(3)(5)15a a a --= D【分析】根据整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算并判断．【详解】A 、235x x x =，故该项错误；B 、2222x x x +=，故该项错误；C 、22(2)4x x -=，故该项错误；D 、358(3)(5)15a a a --=，故该项正确；故选：D ．【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算法则是解题的关键．10．已知2|5213|(310)0x y x y +-+--=，则x y 的立方根为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- B解析：B【分析】根据绝对值和平方式的非负性得到关于x 、y 的方程组，然后解方程组求得x 、y 值，代入求得x y 即可求解．【详解】 解：由题意，得：521303100x y x y +-=⎧⎨--=⎩， 解得：31x y =⎧⎨=-⎩， ∴x y =（﹣1）3=﹣1，∴x y 的立方根为﹣1，故选：B ．【点睛】本题考查解二元一次方程组、绝对值和平方式的非负性、代数式求值、立方根，正确列出方程组是解答的关键．二、填空题11．分解因式：32m n m -=________．【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【详解】解：原式==故答案为：【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键解析：(1)(1)m mn mn -+【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：原式=3222(1)m n m m m n -=-，=(1)(1)m mn mn -+故答案为：(1)(1)m mn mn -+.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12．已知18m x =，16n x =，则2m n x +的值为________．【分析】根据同底数幂的乘法可得再根据幂的乘方可得然后再代入求值即可【详解】解：故答案为【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘底数不变指数相加；幂的乘 解析：14【分析】根据同底数幂的乘法可得22m n m n x x x +=⋅，再根据幂的乘方可得()22m m x x =，然后再代入18mx =，16n x =求值即可． 【详解】 解：()2222111684m n m n m n x x x x x +⎛⎫=⋅=⋅=⨯= ⎪⎝⎭ ， 故答案为14． 【点睛】 此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．13．若21202x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则20202021x y 的值为_________．【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出x 和y 的值再由幂的运算法则进行计算【详解】解：∵且∴即∴故答案是：【点睛】本题考查幂的运算解题的关键是掌握幂的运算法则 解析：12【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出x 和y 的值，再由幂的运算法则进行计算．【详解】解：∵20x +≥，2102y ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，且21202x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，∴20x +=，102y -=，即2x =-，12y =， ∴()202120202020202020211111222222x y ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案是：12． 【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．14．若231m n -=，则846m n -+=________．6【分析】将原式化为再整体代入即可【详解】解：∵∴原式==8-2×1=6故答案为：6【点睛】本题考查了求代数式的值把某一部分看成一个整体是解题的关键解析：6【分析】将原式化为82(23)m n --，再整体代入即可．【详解】解：∵231m n -=，∴原式=82(23)m n --=8-2×1=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了求代数式的值，把某一部分看成一个整体是解题的关键．15．若已知x +y ＝﹣3，xy ＝4，则3x +3y ﹣4xy 的值为_____．﹣25【分析】将3x+3y ﹣4xy 变形为3（x+y ）﹣4xy 再整体代入求值即可【详解】解：∵x+y ＝﹣3xy ＝4∴3x+3y ﹣4xy ＝3（x+y ）﹣4xy ＝3×（﹣3）﹣4×4＝﹣9﹣16＝﹣25故 解析：﹣25【分析】将3x +3y ﹣4xy 变形为3（x +y ）﹣4xy ，再整体代入求值即可．【详解】解：∵x +y ＝﹣3，xy ＝4，∴3x +3y ﹣4xy ＝3（x +y ）﹣4xy ＝3×（﹣3）﹣4×4＝﹣9﹣16＝﹣25，故答案为：﹣25．【点睛】此题考查已知式子的值求代数式的值，将代数式变形为已知式子的形式是解题的关键． 16．对于有理数a ，b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b >时，min{,}a b b =．例如：min{1,22}-=-，min{3,1}1-=-．已知}a =}b b =，且a 和b 是两个连续的正整数，则a+b =_____．9【分析】根据新定义得出ab 的值再求和即可【详解】解：∵min{a}=min{b}=b ∴＜ab ＜又∵a 和b 为两个连续正整数∴a=5b=4则a+b=9故答案为：9【点睛】本题主要考查了算术平方根和实数解析：9【分析】根据新定义得出a，b的值，再求和即可．【详解】解：∵min{21，a}=21，min{21，b}=b，∴21＜a，b＜21，又∵a和b为两个连续正整数，∴a=5，b=4，则a+b=9．故答案为：9．【点睛】本题主要考查了算术平方根和实数的大小比较，正确得出a，b的值是解题关键．17．关于x的一次二项式mx＋n的值随x的变化而变化，分析下表列举的数据x01 1.52mx＋n－3－101若mx＋n＝17，线段AB的长为x，点C在直线AB上，且BC＝12AB，则直线AB上所有线段的和是_____________．20或30【分析】把表格中的前两对值代入求出m与n 的值即可求出x的值然后把x的值代入求解即可【详解】解：由表格得x＝0时m0＋n＝－3∴n＝－3；x＝1时m1＋(－3)＝－1∴m＝2；∵mx＋n解析：20或30【分析】把表格中的前两对值代入求出m与n的值，即可求出x的值，然后把x的值代入求解即可．【详解】解：由表格得x＝0时，m⋅0＋n＝－3，∴n＝－3；x＝1时，m⋅1＋(－3)＝－1，∴m＝2；∵mx＋n＝17，∴2x－3＝17，∴x＝10，当点C在线段AB上时，∵BC＝12AB，∴BC＝12×10＝5，∴AC ＋AB ＋BC ＝20；当点C 在点B 右侧时，∵BC ＝12AB ， ∴BC ＝12×10＝5， ∴AC ＋AB ＋BC ＝30．故答案为20或30．【点睛】此题考查了代数式求值和线段的和差计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．计算：()()299990.045⎡⎤⨯-⎣⎦的结果是______．1【分析】根据积的乘方的逆运算和幂的乘方计算即可【详解】解：原式故答案为：1【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方熟练掌握法则是解题的关键解析：1【分析】根据积的乘方的逆运算和幂的乘方计算即可【详解】解：原式()()()()99992999999990.0450.04250.110425⎡⎤⨯-⨯⨯⎣===⎦== 故答案为：1【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方，熟练掌握法则是解题的关键19．若2x y a +=，2x y b -=，则22x y -的值为____________．【分析】应用平方差把多项式因式分解再整体代入即可【详解】解：把代入原式=故答案为：【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值是解题的关键解析：4ab ．【分析】应用平方差把多项式22x y -因式分解，再整体代入即可．【详解】解：22()()x y x y x y -=+-，把2x y a +=，2x y b -=代入，原式=224a b ab ⨯=，故答案为：4ab ．【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值，能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值，是解题的关键．20．若代数式23y y +-的值为0，则代数式3242020y y ++的值为___________．2029【分析】由题意得将原式变形成整体代入得再一次整体代入即可求出结果【详解】解：∵∴原式故答案为：【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想进行求解解析：2029【分析】由题意得23y y +=，将原式变形成()2232020y y y y +++，整体代入得2332020y y ++，再一次整体代入即可求出结果．【详解】解：∵23y y +-，∴23y y +=，原式()2232020y y y y =+++ 2332020y y =++()232020y y =++92020=+2029=．故答案为：2029．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想进行求解．三、解答题21．（1）计算：()()()()23232121a a a a a -++-+-（2）分解因式：244xy xy x -+ 解析：（1）10；（2）()22x y -【分析】（1）根据整式的乘法公式及运算法则即可求解；（2）先提取x ，再根据完全平方公式即可因式分解．【详解】（1）解：原式222366941a a a a a =-+++-+ 10=()2解：原式()244x y y =-+()22x y =-．【点睛】此题主要考查整式的运算与因式分解，解题的关键是熟知整式的运算法则及因式分解的方法．22．如图，将一张长方形铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为acm 的大正方形，两块是边长都为bcm 的小正方形，五块是长、宽分别是acm bcm 、的全等小长方形，且a b >．（1）用含a b 、的代数式表示切痕的总长为_ cm ；（2）若每块小长方形的面积为212cm ，四块正方形的面积和为280cm ，试求+a b 的值． 解析：（1）()66a b +；（2）8【分析】（1）根据切痕长有两横两纵列出算式，再根据合并同类项法则整理即可；（2）根据小矩形的面积和正方形的面积列出算式，再利用完全平方公式整理求出a+b 的值，即可得到结论．【详解】解：（1）切痕总长=2[（b+2a ）+（2b+a ）]，=6a+6b ；故答案为：()66a b +；（2）依题意得，222280,12a b ab +==，2240,a b ∴+=()2222,a b a ab b +=++()24021264a b ∴+=+⨯=， 0,a b +>8a b +=．【点睛】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形周长和面积展开分析．23．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为,b 宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图②的大正方形．()1观察图②，请你写出代数式()222,,a b a b ab ++之间的等量关系是 ；()2根据()1中的等量关系，解决下列问题；①已知224,10a b a b +=+=，求ab 的值；②已知()()222020201852x x -+-=，求2019x -的值．解析：（1）()2222a b a b ab +=++；（2）①3ab =；②20195x -=±.【分析】(1)整体看是一个边长为（a+b ）的正方形，局部看它有一个边长为a ，b 的正方形，两个长为b ，宽为a 的矩形组成，根据图形的面积相等即可确定它们之间的关系； (2)①公式变形为ab=222()()2a b a b +-+计算即可； ②把x-2020变形成(x-2019)-1, 把x-2018变形成(x-2019)+1，用整体思想展开公式计算即可.【详解】()()22212a b a b ab +=++；理由如下：图②是边长为()a b +的正方形，()2S a b ∴=+图②可看成1个边长为a 的正方形，1个边长为b 的正方形以及2个长为,b 宽为a 的长方形的组合图形， 222,S a b ab ∴=++()222 2a b a b ab ∴+=++． ()24a b +=①，()216,a b +∴=即22216a b ab ++=．又2210,a b +=3ab ∴=；②设2019,x a -=则20201,20181x a x a -=--=+，()()222020201852x x -+-=， ()()22 1152a a ∴-++=，22212152,a a a a ∴-++++=22252,a ∴+=2250,a ∴=225,a ∴=即()2201925,x -= 20195x ∴-=±．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义，公式的应用，以及公式的整体思想代换应用，熟练掌握公式的几何意义和公式的变形是解题的关键.24．计算：（1）()222--（2）()()2215105x y xy xy -÷-（3）()()()2321x x x -+--解析：（13；（2）32x y -+；（3）7x -【分析】（1）同时计算乘方、绝对值、算术平方根及开立方，再计算加减法；（2）用多项式除以单项式法则计算；（3）先根据多项式乘以多项式及完全平方公式计算，再合并同类项即可．【详解】（1）解：原式4232=--3=；（2）解：原式32x y =-+（3）解：原式2223621x x x x x =+---+-7x =-．【点睛】此题考查实数的混合运算及整式的混合运算，掌握实数的乘方、绝对值、算术平方根及开立方、加减法运算，整式的多项式乘以多项式及完全平方公式、多项式除以单项式法则是解题的关键．25．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ．（1）用含a b 、的代数式分别表示1S 、2S ；（2）若10,23a b ab +==，求12S S +的值；（3）当1229S S +=时，求出图3中阴影部分的面积3S ． 解析：（1）S 1＝a 2-b 2，S 2＝2b 2-ab ；（2）31；（3）292 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a 、b 的代数式分别表示S 1、S 2； （2）根据S 1+S 2＝a 2-b 2+2b 2-ab ＝a 2+b 2-ab ，将a +b ＝10，ab ＝23代入进行计算即可； （3）根据S 3＝12（a 2+b 2﹣ab ），S 1+S 2＝a 2+b 2-ab ＝29，即可得到阴影部分的面积S 3． 【详解】解：（1）由图可得，S 1＝a 2-b 2，S 2＝2b 2-ab ；（2）S 1+S 2＝a 2-b 2+2b 2-ab ＝a 2+b 2-ab ，∵a +b ＝10，ab ＝23，∴S 1+S 2＝a 2+b 2-ab ＝（a +b ）2-3ab ＝100-3×23＝31；（3）由图可得，S 3＝a 2+b 2-12b （a +b ）-12a 2＝12（a 2+b 2-ab ）， ∵S 1+S 2＝a 2+b 2-ab ＝29，∴S 3＝12×29＝292． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．26．计算（1）20193(1)98|32|--；（2）9(3)(3)x x -+-；（3）2(23)4(3)a b a a b ---．解析：（1）2；（2）221839x b -；（）【分析】（1）根据乘方、立方根、算术平方根、绝对值的意义计算出各项值再去括号进行加减即可；（2）先根据平方差公式计算后两项的积，然后去括号合并同类项即可；（3）根据完全平方公式或单项式乘多项式法则计算出前面两个乘法结果后合并同类项即可 ．【详解】解：（1）原式=-1+3+2-(2=4-22=+（2）原式=()222999918x x x --=-+=-；（3）原式=222241294129a ab b a ab b -+-+=．【点睛】本题考查实数和整式的混合运算，熟练掌握有关运算法则和乘法公式的应用是解题关键． 27．好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（12x +4）（2x +5）（3x ﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：12x •2x •3x ＝3x 3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？ 根据尝试和总结她发现：一次项就是：12x ×5×（﹣6）+2x ×4×（﹣6）+3x ×4×5＝﹣3x ． 请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题：（1）计算（x +2）（3x +1）（5x ﹣3）所得多项式的最高次项为 ，一次项为 ； （2）若计算（x +1）（﹣3x +m ）（2x ﹣1）（m 为常数）所得的多项式不含一次项，求m 的值；（3）若（x +1）2021＝a 0x 2021+a 1x 2020+a 2x 2019+…+a 2020x +a 2021，则a 2020＝ ．解析：（1）15x 3，﹣11x ；（2）m ＝－3；（3）2021【分析】（1）求多项式的最高次项，把每个因式的多项式最高次项相乘即可；求一次项，含有一次项的有x ，3x ，5x ，这三个中依次选出其中一个再与另外两项中的常数相乘最终积相加，或者展开所有的式子得出一次项即可．（2）先根据（1）所求方法求出一次项系数，最后用m 表示，列出等式，求出m ； （3）根据前两问的规律可以计算出第（3）问的值．【详解】（1）由题意得：（x +2）（3x +1）（5x ﹣3）所得多项式的最高次项为x ×3x ×5x ＝15x 3，一次项为：1×1×（﹣3）x +2×3×（﹣3）x +2×1×5x ＝﹣11x ，故答案为：15x 3，﹣11x ；（2）依题意有：1×m ×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×m ×2＝0，解得m ＝﹣3；（3）根据题意可知2020a 即为2021(1)x +所得多项式的一次项系数，∵2021(1)x +展开之后x 的一次项共有2021个，且每一项的系数都为2021(111)1⨯⨯⨯=， ∴20202021202120212021(111)+(111)(111)2021a =⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=故答案为：2021．【点睛】本题考查多项式乘多项式以及对多项式中一次项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键．28．阅读：已知二次三项式x 2﹣4x +m 有一个因式是x +3，求另一个因式及m 的值． 解：设另一个因式为x +n ，得x 2﹣4x +m ＝（x +3）（x +n ）则x 2﹣4x +m ＝x 2+（n +3）x +3n ∴343n m n +=-⎧⎨=⎩，解得217m n =-⎧⎨=-⎩ ∴另一个因式为x ﹣7，m 的值为﹣21问题：仿照上述方法解答下列问题：（1）已知二次三项式2x 2+3x ﹣k 有一个因式是2x ﹣5，求另一个因式及k 的值． （2）已知2x 2﹣13x +p 有一个因式x ﹣3，则P ＝ ．解析：（1）另一个因式为：4x +，20k =；（2）21．【分析】根据题意给出的方法即可求出答案．【详解】解：（1）设另外一个因式为：x n +，∴()()22325x x k x x n +-=-+， ∴2535n n k-=⎧⎨-=-⎩， ∴4n =，20k =；（2）设另一个因式为：2x n +，∴2x 2﹣13x +p ＝（2x +n ）（x ﹣3）∴6133n n p -=-⎧⎨-=⎩∴解得：217p n =⎧⎨=-⎩故答案为：21．【点睛】本题考查因式分解的意义，解题的关键熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．。

第四章 重点突破训练：因式分解类型题举例考点1：由因式分解的结果求参数典例：（2018·安徽初一期中）已知多项式kx 2-6xy -8y 2可写成（2mx +2y ）(x -4y )的形式，求k ，m 的值． 【答案】k =2，m =1．【解析】解：∵多项式kx 2-6xy -8y 2可写成（2mx +2y ）（x -4y ）的形式， ∴kx 2-6xy -8y 2=（2mx +2y ）（x -4y ）， =2mx 2-8mxy +2xy -8y 2， =2mx 2-（8m -2）xy -8y 2， ∴8m -2=6， 解得：m =1， 故k =2，m =1． 方法或规律点拨此题主要考查了多项式乘以多项式，正确得出m 的值是解题关键． 巩固练习1．（2020·福建宁德·初二期末）多项式x 2+mx ﹣21因式分解的结果为（x +3）（x ﹣7），则m 的值是（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．10 D ．﹣10【答案】B【解析】解：∵多项式x 2+mx ﹣21因式分解的结果为（x +3）（x ﹣7）， ∴m ＝﹣7+3＝﹣4． 故选：B ．2．（2020·江苏相城·初一期末）若代数式x 2﹣mx+4因式分解的结果是（x+2）2，则m 的值是（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣2 D ．±4【答案】A【解析】解：因为（x+2）2＝x 2+4x+4， 所以m 的值为：﹣4． 故选：A ．3．（2020·贵州铜仁·初一期末）多项式26x mx ++可因式分解为()()23x x --，则m 的值为 （ ） A ．6 B ．5± C ．5 D ．5-【答案】D【解析】解：∵26x mx ++=()()23x x --=x 2-5x+6， ∴m=-5 故选D4．（2019·四川大邑·初二期末）已知多项式x 2+bx+c 分解因式为（x+3）（x ﹣1），则b 、c 的值为（ ）A ．b ＝3，c ＝﹣2B ．b ＝﹣2，c ＝3C ．b ＝2，c ＝﹣3D ．b ＝﹣3，c ＝﹣2【答案】C【解析】解：根据题意得：x 2+bx+c ＝(x+3)(x-1)＝x 2+2x-3， 则b ＝2，c ＝﹣3， 故选：C ．5．（2020·山东中区·济南外国语学校初二期中）已知多项式x 2+ax ﹣6因式分解的结果为（x +2）（x +b ），则a +b 的值为（ ） A ．﹣4 B ．﹣2C ．2D ．4【答案】A【解析】解：根据题意得：x 2+ax ﹣6＝（x +2）（x +b ）＝x 2+（b +2）x +2b ， ∴a ＝b +2，2b ＝﹣6， 解得：a ＝﹣1，b ＝﹣3， ∴a +b ＝﹣1﹣3＝﹣4， 故选：A ．6．（2020·江苏广陵·初一期中）若2(32)()2x x p mx nx ++=+-，则下列结论正确的是（ ） A ．6m = B ．1n =C ．2p =-D ．3mnp =【答案】B【解析】解：∵2(32)()2x x p mx nx ++=+-， ∴（3x+2）（x+p ）=3x 2+（3p+2）x+2p=mx 2-nx-2， ∴m=3，p=-1，3p+2=-n ， ∴n=1， 故选B.7．（2020·重庆南开中学期末）若2(2)()x x m x x n ++=-+，则m n +=__________． 【答案】-3【解析】解：∵x 2+x+m=（x-2）（x+n ）=x 2+（n-2）x-2n ， ∴n-2=1，m=-2n ， 解得n=3，m=-2×3=-6， ∴m+n=-6+3=-3． 故答案为-3．8．（2020·江苏南京·初一期中）若x 2＋ax ﹣2＝（x ﹣1）（x ＋2），则a ＝_____． 【答案】1【解析】由题意知，a ＝﹣1＋2＝1； 故答案是：1．9．（2020·黑龙江虎林·初二期末）多项式kx 2－9xy －10y 2可分解因式得(mx ＋2y )(3x －5y )，则k =_______，m =________．【答案】k=9 m=3【解析】解：∵kx 2-9xy-10y 2=（mx+2y ）（3x-5y ），∴kx 2-9xy-10y 2=3mx 2-5mxy+6xy-10y 2=3mx 2-（5mxy-6xy ）-10y 2，∴3,569,m k m =⎧⎨-=⎩ 解得：9,3.k m =⎧⎨=⎩ 故答案为：9，3．10．（2020·常德市淮阳中学初一期中）若多项式31x -可以因式分解成2(1)(1)x x ax -++，那么a =_____． 【答案】1【解析】解：()()()()23211111x x ax x a x a x -++=+-+--，即()()3321111x a x x x a -+-=+--，110a a ∴-=-=，解得：1a =． 故答案为：1．11．（2019·深圳市罗湖外语学校初中部初二期中）多项式25x ax ++因式分解得(5)()x x b ++，则a =_______，b =________． 【答案】6 1【解析】解：∵（x+5）（x+b ）=x 2+（b+5）x+5b ，∴x 2+ax+5=x 2+（b+5）x+5b ． ∴5{55b a b +==解得6{1a b == 故答案为：6；1．考点2：利用因式分解进行简便计算 典例：（2019·湖南邵东·初一期中）计算： ①2032﹣203×206+1032 ②20192﹣2018×2020． 【答案】①10000；②1．【解析】解：①原式＝2032﹣2×203×103+1032 ＝（203﹣103）2＝1002 ＝10000；②原式＝20192﹣（2019﹣1）×（2019+1） ＝20192﹣（20192﹣1） ＝20192﹣20192+1 ＝1．方法或规律点拨本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+．巩固练习1．（2020·广西兴宾·初一期中）计算：2222211111(1)(1)(1)...(1)(1)56799100-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-的结果是（ ） A ．101200B ．101125 C ．101100D ．1100【答案】B 【解析】解：原式=111111111111111111115566779999100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=46576898100991015566779999100100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =41015100⨯ =101125． 故选：B ．2．（2020·全国初二课时练习）计算：1252-50×125+252=( ) A ．100 B ．150 C ．10000 D ．22500【答案】C【解析】1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000． 故选C ．3．（2020·全国初二课时练习）计算：752-252=（ ） A ．50 B ．500 C ．5000 D ．7100【答案】C【解析】原式=（75+25）×（75-25）=100×50=5000， 故选C ．4．（2020·河南初二期末）已知2021201920102010201020092011x -=⨯⨯，那么x 的值为（ ） A ．2018 B ．2019C ．2020D ．2021．【答案】B【解析】解：2021201920102010-()()()2019220192019220192019=201020102010=20102010120102010120101201020092011⨯-⨯-=⨯-⨯+=⨯⨯∴2019201020092011201020092011x ⨯⨯=⨯⨯ ∴x=2019 故选：B ．5．（2020·河北定兴·初一期末）利用因式分解计算2221000252248=-__________． 【答案】500【解析】解：()()222210001000100010005002522482522482522485004⨯===-+-⨯． 故答案为：500．6．（2020·江苏锡山·初一期末）计算：2222020200119=200119--⨯__．【答案】2【解析】2222020200119200119--⨯ 222(200119)200119200119+--=⨯ 22222001220011919200119200119+⨯⨯+--=⨯ 2200119200119⨯⨯=⨯2=．故答案为：2．7．（2020·辽宁省丹东市第二十一中学初二期中）计算2018×512﹣2018×492的结果是_____． 【答案】403600【解析】2018×512－2018×492 =2018×(512－492)=2018×(51+49) ×(51-49) =2018×100×2 =403600.故答案为：4036008．（2020·重庆沙坪坝·初三期末）计算：2222221098721-+-++-=…__________． 【答案】55【解析】2222221098721-+-++-…=()()()()()()10910987872121+-++-+++-… =19+15+11+7+3 =55故答案为：559．（2018·湖南靖州·初一期末）计算：6002-599×601=__________． 【答案】1【解析】解：2222600599601600(6001)(6001)60060011-⨯=--+=-+=．故答案为：1．10．（2019·四川恩阳·期末）用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____． 【答案】1．【解析】20082﹣4016×2007+20072， ＝20082﹣2×2008×2007+20072， ＝（2008﹣2007）2， ＝1．11．（2019·河南遂平·初二期中）计算：2246.5293.0453.4853.48+⨯+=__________. 【答案】10000【解析】解：原式=()222246.52246.5253.4853.48=46.5253.48=100=10000+⨯⨯++故答案为：10000.12．（2020·沭阳县马厂实验学校初一期中）利用因式分解计算： （1）342+34×32+162 （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92 【答案】（1）2500；（2）100．【解析】解：（1）342+34×32+162=342+2×34×16+162=(34+16)2=502=2500； （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=(-10)2=100． 13．（2019·湖南芷江·初一期末）()1把328x x -分解因式．()2把()()2216282m n n m n n +-++分解因式．()3计算:222222221234562017201837114035----+++⋅⋅⋅+【答案】（1）2（x ＋2）（x −2）（2）（8m ＋3n ）2（3）−1009 【解析】（1）2x 3−8x ＝2（x 2−4） ＝2（x ＋2）（x −2）；（2）()()2216282m n n m n n +-++＝[4（2m ＋n ）-n]2＝（8m ＋3n ）2；（3）222222221234562017201837114035----+++⋅⋅⋅+＝(12)(12)(34)(34)(56)(56)(20172018)(20172018)37114035-+-+-+-++++⋅⋅⋅+ ＝1−2＋3−4＋5−6＋…＋2017−2018 ＝−1×1009 ＝−1009．考点3：利用十字相乘法进行因式分解 典例：（2019·河北涿鹿·期末）阅读与思考 x 2+（p+q ）x+pq 型式子的因式分解x 2+（p+q ）x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p ）（x+q ）＝x 2+（p+q ）x+pq ，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x 2+（p+q ）x+pq ＝（x+p ）（x+q ）．利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x 2﹣x ﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x 2+（p+q ）x+pq 型的式子．所以x 2﹣x ﹣6＝（x+2）（x ﹣3）．上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这样我们也可以得到x 2﹣x ﹣6＝（x+2）（x ﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”． 请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题： （1）分解因式：y 2﹣2y ﹣24．（2）若x 2+mx ﹣12（m 为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m 的所有可能值． 【答案】（1）（y+4）（y ﹣6）；（2）﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11【解析】解：（1）y 2﹣2y ﹣24＝（y+4）（y ﹣6）； （2）若212(3)(4)x mx x x +-=-+ ，此时1m = 若212(3)(4)x mx x x +-=+- ，此时1m =- 若212(1)(12)x mx x x +-=-+ ，此时11m = 若212(1)(12)x mx x x +-=+- ，此时11m =- 若212(2)(6)x mx x x +-=-+ ，此时4m =212(2)(6)x mx x x +-=+- ，此时4m =-综上所述，若x 2+mx ﹣12（m 为常数）可分解为两个一次因式的积， m 的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11． 方法或规律点拨本题主要考查了十字相乘法分解因式，读懂题意，理解题中给出的例子是解题的关键. 巩固练习1．（2020·四川成都实外开学考试）计算结果为a 2﹣5a ﹣6的是（ ） A ．（a ﹣6）（a+1） B ．（a ﹣2）（a+3）C ．（a+6）（a ﹣1）D ．（a+2）（a ﹣3）【答案】A【解析】解：a 2﹣5a ﹣6＝（a ﹣6）（a+1）． 故选：A ．2．（2020·湖南鹤城·初一期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式1a +的是（ ） A ．21a - B ．221a a ++C ．2a a +D ．22a a +-【答案】D【解析】解：21(1)(1)a a a -=+-，()2221=1a a a +++2(1)a a a a +=+，22(2)(1)a a a a +-=+-，∴结果中不含有因式1a +的是选项D ；故选：D ．3．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知()()245x x m x x n --=--，则m ，n 的值是（ ）A ．5m =，1n =B ．5m =-，1n =C ．5m =，1n =-D ．5m =-，1n =-【答案】C【解析】解：由x 2-4x-m=（x-5）（x-n ），得：-5-n=-4，（-5）（-n ）=-m 所以n=-1，m=5． 故选：C ．4．（2020·全国初二课时练习）下列各式中，计算结果是2718x x +-的是（ ） A ．(1)(18)x x -+ B ．(2)(9)x x ++C ．(3)(6)x x -+D ．(2)(9)x x -+【答案】D【解析】原式=（x －2）（x ＋9） 故选D.5．（2020·湖南茶陵·初一期末）分解因式x 2+3x +2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．请利用这种方法，分解因式2x 2﹣3x ﹣2＝_____．【答案】（2x +1）（x ﹣2） 【解析】解：原式＝（2x +1）（x ﹣2）， 故答案为（2x +1）（x ﹣2）6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：2239x x -- 【答案】()()233x x +- 【解析】2239x x -- =()()233x x +-．7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）()()22238316x xx x ---+【答案】()()2241x x -+【解析】原式()2234x x =--()()241x x =-+⎡⎤⎣⎦ ()()2241x x =-+8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：()()2550x y x y -+-- 【答案】()()105x y x y -+--【解析】()()2550x y x y -+-- =()()105x y x y -+--．9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）32233672m n m n mn -- 【答案】()()364mn m n m n -+【解析】解：原式()223224mn m mn n =--()()364mn m n m n =-+．10．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：26a a -- 【答案】()()32a a -+ 【解析】26a a -- =()()32a a -+．11．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解42241336x x y y -+ 【答案】()()()()2233x y x y x y x y +-+-【解析】解：42241336x x y y -+()()222249x yxy =--()()()()2233x y x y x y x y =+-+-12．（2019·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如22ax bxy cy ++的关于x ，y 的二次三项式来说，方法的关键是将2x 项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积，即12a a a =•，将2y 项系数c 分解成两个因式1c ，2c 的积，即12c c c =•，并使1221a c a c +正好等于xy 项的系数b ，那么可以直接写成结果：221221()()ax bxy cy a x c y a y c y ++=++例：分解因式：2228x xy y --解：如图1，其中111=⨯，8(4)2-=-⨯，而21(4)12-=⨯-+⨯ 所以2228(4)(2)x xy y x y x y --=-+而对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成fk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，mk nj d +=，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py f nx qy k =++++例：分解因式222332x xy y x y +-+++解：如图3，其中111=⨯，3(1)3-=-⨯，212=⨯ 而2131(1)=⨯+⨯-，1(1)231=-⨯+⨯，31211=⨯+⨯ 所以222332(1)(32)x xy y x y x y x y +-+++=-+++请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①2263342x xy y -+= ． ②22261915x xy y x y --++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值． 【答案】（1）(27y)(36)x x y --；(235)(23)x y x y +--+；（2）61或-82． 【解析】解：（1）①如下图，其中623,427(6),332(6)3(7)=⨯=-⨯--=⨯-+⨯-， 所以，2263342(27)(36)x xy y x y x y -+=--；②如下图，其中221,63(2),1553=⨯-=⨯--=-⨯，而12213,1933(5)(2),123(5)1-=-⨯+⨯=⨯+-⨯-=⨯+-⨯， 所以，22261915(235)(23)x xy y x y x y x y --++-=+--+；（2）如下图，其中111,189(2),4058=⨯-=⨯--=-⨯， 而72119,315(8)1,=-⨯+⨯-=⨯+-⨯95(8)(2)61m =⨯+-⨯-=或9(8)(2)582m =⨯-+-⨯=-，∴若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，m 的值为61或-82．13．（2020·全国初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --； （2）210218x x ++； （3）22121115x xy y --； （4）2()3()10x y x y +-+-．【答案】（1）(32)(1)x x +-；（2）(21)(58)x x ++；（3）(35)(43)x y x y -+；（4）(5)(2)x y x y +-++． 【解析】（1）232(32)(1)x x x x --=+-． （2）210218(21)(58)x x x x ++=++． （3）22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+．（4）2()3()10[()5][()2](5)(2)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-++=+-++． 考点4：利用分组分解法进行因式分解典例：（2020·全国初二课时练习）将下列各式因式分解： （1）421x x ++；（2）22268x x y y +-+-．【答案】（1）()()2211x x x x ++-+；（2）(2)(4)x y x y +--+．【解析】解：（1）原式42221x x x =++-()2221x x =+-()()2211x x x x =++-+；（2）原式222169x x y y =++-+-()()222169x x y y =++--+ ()()2213x y =+--()()1313x y x y =++-+-+ ()()24x y x y =+--+．方法或规律点拨本题考查了多项式的因式分解，正确变形、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 巩固练习1．（2019·河南太康·期中）已知a ＝2019x+2016，b ＝2019x+2017，c ＝2019x+2018，则多项式a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为_____． 【答案】3【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018， ∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1， ∴a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=2222222222a b c ab bc ac ++---=222()()()2a b a c b c -+-+-=222(1)(2)(1)2-+-+-=3，故答案为：3．2．（2020·全国初二课时练习）分解因式：2224a ab b ++-=__________. 【答案】(2)(2)a b a b +++- 【解析】解：原式=（a+b ）2-22 =（a+b+2）（a+b-2），故答案为：（a+b+2）（a+b-2）．3．（2020·全国初二课时练习）分解因式：2222b c bc a ++-=_______． 【答案】()()b c a b c a +++-【解析】解：原式22()()()b c a b c a b c a =+-=+++-． 故答案为：()()b c a b c a +++-4．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如22424x y x y --+，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。

2020-2021学年八年级数学下册第四章因式分解单元测试题(时间120分钟满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)1.下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是( )A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．m4－n4＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n)C．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z2．下列多项式中，能用公式法因式分解的是( )A．x2－xy B．x2＋xy C．x2－y2 D．x2＋y23．把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( )A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1) C．2a(2a＋1)2D．2a(2a－1)2 4．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是( )A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1 5．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是( )A．4x2－4x＋1＝(2x－1)2 B．x3－x＝x(x2－1)C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x2－y2＝(x＋y)(x－y)6．若x2＋ax－24＝(x＋2)(x－12)，则a的值为( )A．－10 B．±10 C．14 D．－147．已知a－b＝1，则a2－b2－2b的值为( )A．4 B．3 C．1 D．08．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是( )A．x2＋2x＝x(x＋2) B．x2－2x＋1＝(x－1)2C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2D．x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1)9．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( )A．被8整除B．被m整除C．被m－1整除D．被2m－1整除10．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．多项式4xy2＋12xyz的公因式是________．12．分解因式：axy－ay2＝________．13．如果x2＋2x＋k可以用完全平方公式进行因式分解，那么k＝________．14．若3x2－mx＋n进行因式分解的结果为(3x＋2)(x－1)，则mn＝________．三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)因式分解：(1)3m 2n －12mn ＋12n ；(2)n 2(m －2)－n(2－m)；(3)(a ＋b)3－4(a ＋b)；(4)8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy.16．(6分)不解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x －3y ＝1，求7y(x －3y)2－2(3y －x)3的值．17．(8分)某商贸大楼共有四层，第一层有商品(a ＋b)2种，第二层有商品a(a ＋b)种，第三层有商品b(a ＋b)种，第四层有商品(b ＋a)2种．若a ＋b ＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？18．(8分)利用因式分解计算：(1)－1317×19－1317×15；(2)－101×190＋1012＋952.19．(10分)我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab ，即x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)是否可以用于因式分解呢？当然可以，而且也很简单．如：(1)x 2＋5x ＋6＝x 2＋(3＋2)x ＋3×2 ＝(x ＋3)(x ＋2)；(2)x 2－5x －6＝x 2＋(－6＋1)x ＋(－6)×1 ＝(x －6)(x ＋1)．请你仿照上述方法，把下列多项式因式分解：(1)x 2－8x ＋7；(2)x2＋7x－18.20．(10分)阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)．②∴c2＝a2＋b2.③∴△ABC为直角三角形．问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号③；(2)写出该题正确的解法．B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．计算：1.222×9－1.332×4＝________．22．若x2＋x＝1，则3x4＋3x3＋3x＋1的值为4．23．232－1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是________．24．若4x－3是多项式4x2＋5x＋a的一个因式，则a＝________．25．甲、乙两位同学分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了b，分解结果为(x＋2)(x＋4)，乙看错了a，分解结果为(x＋1)(x＋9)，则2a＋b＝________．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(8分)如图是一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体，它的内径d＝68 cm，外径D＝88 cm，长h＝200 cm，浇制一节这样的排水管需要多少立方米的混凝土？(结果保留π)27．(10分)设y＝kx，是否存在实数k，使得代数式(x2－y2)(4x2－y2)＋3x2(4x2－y2)能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．28．(12分)如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？(2)若图1中的阴影部分的面积是12，a－b＝3，求a＋b的值；(3)试利用这个公式计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1.参考答案2020-2021学年八年级数学下册第六章因式分解单元测试题(时间120分钟满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中1.下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是(B)A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．m4－n4＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n)C．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z2．下列多项式中，能用公式法因式分解的是(C)A．x2－xy B．x2＋xy C．x2－y2 D．x2＋y23．把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是(D)A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1) C．2a(2a＋1)2D．2a(2a－1)24．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是(C)A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1 5．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是(B)A．4x2－4x＋1＝(2x－1)2 B．x3－x＝x(x2－1)C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x2－y2＝(x＋y)(x－y)6．若x2＋ax－24＝(x＋2)(x－12)，则a的值为(A)A．－10 B．±10 C．14 D．－147．已知a－b＝1，则a2－b2－2b的值为(C)A．4 B．3 C．1 D．08．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是(D)A．x2＋2x＝x(x＋2) B．x2－2x＋1＝(x－1)2C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2D．x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1)9．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能(A)A．被8整除 B．被m整除C．被m－1整除D．被2m－1整除10．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是(B)A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．多项式4xy2＋12xyz的公因式是4xy．12．分解因式：axy－ay2＝ay(x－y)．13．如果x2＋2x＋k可以用完全平方公式进行因式分解，那么k＝1．14．若3x2－mx＋n进行因式分解的结果为(3x＋2)(x－1)，则mn＝－2．三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)因式分解：(1)3m2n－12mn＋12n；解：原式＝3n(m2－4m＋4)＝3n(m－2)2. (2)n2(m－2)－n(2－m)；解：原式＝n2(m－2)＋n(m－2)＝n(n＋1)(m－2)．(3)(a＋b)3－4(a＋b)；解：原式＝(a＋b)[(a＋b)2－4]＝(a＋b)(a＋b＋2)(a＋b－2)．(4)8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy.解：原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy ＝x 2－16y 2＝(x ＋4y)(x －4y)．16．(6分)不解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x －3y ＝1，求7y(x －3y)2－2(3y －x)3的值．解：原式＝(x －3y)2[7y ＋2(x －3y)]＝(x －3y)2(2x ＋y)．∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x －3y ＝1， ∴原式＝12×6＝6.17．(8分)某商贸大楼共有四层，第一层有商品(a ＋b)2种，第二层有商品a(a ＋b)种，第三层有商品b(a ＋b)种，第四层有商品(b ＋a)2种．若a ＋b ＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？解：(a ＋b)2＋a(a ＋b)＋b(a ＋b)＋(b ＋a)2＝2(a ＋b)2＋(a ＋b)(a ＋b)＝2(a ＋b)2＋(a ＋b)2＝3(a ＋b)2.因为a ＋b ＝10，所以3(a ＋b)2＝300. 答：这座商贸大楼共有商品300种． 18．(8分)利用因式分解计算：(1)－1317×19－1317×15；解：原式＝－1317×(19＋15)＝－1317×34＝－26. (2)－101×190＋1012＋952.解：原式＝1012－2×101×95＋952＝(101－95)2＝62 ＝36.19．(10分)我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab ，即x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)是否可以用于因式分解呢？当然可以，而且也很简单．如：(1)x 2＋5x ＋6＝x 2＋(3＋2)x ＋3×2 ＝(x ＋3)(x ＋2)；(2)x 2－5x －6＝x 2＋(－6＋1)x ＋(－6)×1 ＝(x －6)(x ＋1)．请你仿照上述方法，把下列多项式因式分解：(1)x 2－8x ＋7；(2)x 2＋7x －18.解：(1)原式＝x 2＋(－7－1)x ＋(－7)×(－1) ＝(x －1)(x －7)．(2)原式＝x 2＋(9－2)x ＋9×(－2) ＝(x ＋9)(x －2)．20．(10分)阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．解：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，① ∴c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)．② ∴c 2＝a 2＋b 2.③∴△ABC 为直角三角形．问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号③； (2)写出该题正确的解法． 解：正确的解法如下： ∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4， ∴c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)． ∴c 2(a 2－b 2)－(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝0.∴(a 2－b 2)[c 2－(a 2＋b 2)]＝0. 分三种情况讨论：①当a 2－b 2＝0，c 2－(a 2＋b 2)≠0时，则a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形；②当a 2－b 2≠0，c 2－(a 2＋b 2)＝0时，则c 2＝a 2＋b 2， ∴△ABC 为直角三角形；③当a 2－b 2＝0，c 2－(a 2＋b 2)＝0时，则a ＝b ，c 2＝a 2＋b 2， ∴△ABC 为等腰直角三角形．综上所述，△ABC 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．B 卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．计算：1.222×9－1.332×4＝6.32．22．若x 2＋x ＝1，则3x 4＋3x 3＋3x ＋1的值为4．23．232－1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是17，15．24．若4x －3是多项式4x 2＋5x ＋a 的一个因式，则a ＝－6．25．甲、乙两位同学分解因式x 2＋ax ＋b 时，甲看错了b ，分解结果为(x ＋2)(x ＋4)，乙看错了a ，分解结果为(x ＋1)(x ＋9)，则2a ＋b ＝21．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(8分)如图是一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体，它的内径d ＝68 cm ，外径D ＝88 cm ，长h ＝200 cm ，浇制一节这样的排水管需要多少立方米的混凝土？(结果保留π)解：π(D 2)2h －π(d 2)2h＝πh[(D 2)2－(d 2)2]＝πh(D 2＋d 2)(D 2－d2)＝π×200×(882＋682)×(882－682)＝π×200×(44＋34)×(44－34)＝π×200×78×10＝156 000π(cm 3)＝0.156π(m 3)．答：浇制一节这样的排水管需要0.156π m 3的混凝土．27．(10分)设y ＝kx ，是否存在实数k ，使得代数式(x 2－y 2)(4x 2－y 2)＋3x 2(4x 2－y 2)能化简为x 4？若能，请求出所有满足条件的k 的值；若不能，请说明理由．解：能．(x 2－y 2)(4x 2－y 2)＋3x 2(4x 2－y 2)＝(4x 2－y 2)(x 2－y 2＋3x 2)＝(4x 2－y 2)2.当y ＝kx 时，原式＝(4x 2－k 2x 2)2＝(4－k 2)2x 4. 令(4－k 2)2＝1，解得k ＝±3或± 5.∴当k ＝±3或±5时，原代数式可化简为x 4.28．(12分)如图1所示，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？ (2)若图1中的阴影部分的面积是12，a －b ＝3，求a ＋b 的值；(3)试利用这个公式计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1.解：(1)a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)．(2)依题意，得a 2－b 2＝12， ∴a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)＝12. ∵a －b ＝3，∴a ＋b ＝4.(3)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1＝(28－1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1＝(216－1)(216＋1)(232＋1)＋1＝(232－1)(232＋1)＋1 ＝264－1＋1 ＝264.。

《分解因式》题型解读2 “提取公因式法”题型【知识梳理】1.题型特点：有关“公因式提取”的题目2.解题方法：（1）找公因式的方法：①找各系数的最大公因数；②找相同字母的最低次幂；③多项式第一项的系数是负数的,公因式要包括负号.（2）用“公因式法”进行因式分解的步骤：①“提”、②“公”、③“分”、④“变”；【典型例题】例1．下面的多项式中，能因式分解的是（）A．m²+n² B．m²+4m+1 C．m²-n D．m²-2m+1解析:并不是所有的多项式都要以因式分解.一般我们遵循以下步骤来判断是否可以因式分解或进行因式分解：(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；(2)看看多项式能否采用"十字相乘法"进行因式分解;(3)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；选项A不符合平方差公式,选项B不符合完全平方公式,选项C没有公因式,而(4)选项D是一个完全平方公式,故选D例2.多项式-2x²-12xy²+8xy³的公因式是（）A．2xy B．24x²y³C．-2x D．2x解析:在找一个多项式的公因式时,要遵循三点:(1)找各系数的最大公因数;(2)找相同字母的最低次幂;(3)多项式第一项的系数是负数的,公因式要包括负号.答案选C例3．下列多项式中能用提公因式法分解的是（）A．x²+y² B．x²-y²C．x²+2x+1 D．x²+2x解析：选D，公因式是x；例4．下列各式中，不含因式a+1的是（）A．a²-1 B．2a²+4a+2C．a²+a-2 D．a²-2a-3解析：选项A分解为：(a+1)(a-1)，选项B分解为：2(a+1)(a+1)，选项C分解为：(a-1)(a+2)，选项D分解为：(a+1)(a-3)，选C.例5．下列因式分解中，是利用提公因式法分解的是（）A．a²-b²=（a+b）（a-b） B．a²-2ab+b²=（a-b）²C．ab+ac=a（b+c） D．a²+2ab+b²=（a+b）²解析：选项A：平方差公式，选项B和选项D：完全平方公式，选C例6． 3m（a-b）-9n（b-a）的公因式是_____________解析：公因式是3(a-b)例7．多项式12ab³c-8a³b的公因式是__________解析：公因式是4ab例8．多项式15m³n²+5m²n-20m²n³的公因式是______________解析：公因式是5m²n例9．代数式15ax²-15a与10x²+20x+10的公因式是________________ 解析：公因式是5(x+1)例10．多项式mx²-m与多项式x²-2x+1的公因式是________________ 解析：公因式是 (x-1)例11．若x²-4x+3与x²+2x-3的公因式为x-c，则c=_________解析：公因式是：(x-1),∴c=1；例12．将-a²b-ab²提公因式后，另一个因式是_________解析：公因式是：-1ab,∴另一个因式是a+2b；2例13．分解因式（a-b）（a²-ab+b²）-ab（b-a）为________________ 解析：原式分解为：(a-b)( a² +b²);例14．已知a+b=3，ab=2，计算：a²b+ab²=____________解析：原式=ab(a+b)=2×3=6;例15.计算：计算：22018−(−2)2019=________________解析：原式=原式=22018+22019=22018+2•22018=3•22018例16．分解因式（1）因式分解：a2﹣5a= ．解：a2﹣5a=a（a﹣5）．（2）因式分解：2x2﹣8= ．解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．（3）因式分解：ab+ac= ．解：ab+ac=a（b+c）．（4）（x+2）x﹣x﹣2= ．解：原式=（x+2）（x﹣1）．（5）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= 4 ．解：∵a+b=4，ab=1，∴a2b+ab2=ab（a+b）=1×4=4．（6）分解因式：m2﹣3m= ）．解：m2﹣3m=m（m﹣3）．（7）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）= ．解：原式=（a﹣b）2+（a﹣b）=（a﹣b）（a﹣b+1），（8）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（）A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a）C．a（a﹣2）（a+2）D．a（2﹣a）2解：4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）．故选：B．（9）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2）C．x（x+1）（x﹣1）D．x（1+x）（1﹣x）解：x﹣x3=x（1﹣x2）=x（1﹣x）（1+x）．故选：D．。

（新课标）苏教版2017-2018学年七年级下册9.5 多项式的因式分解一．选择题1．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣42．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1 3．已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A．8是a的因子，8是b的因子B．8是a的因子，8不是b的因子C．8不是a的因子，8是c的因子D．8不是a的因子，8不是c的因子4．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣45．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2 D．2a（2a+1）26．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）27．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．228．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：州、爱、我、苏、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．苏州游C．爱我苏州D．美我苏州9．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a10．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y11．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4） D．12．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+y2=（x+y）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+6x+9=（x+3）213．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个14．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形15．10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；…；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+…+x102，N=y12+y22+…+y102，则（）A．M＜N B．M＞NC．M=N D．M、N的大小关系不确定二．填空题16．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2= ．17．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于．18．分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= ．19．分解因式：4x2﹣4xy+y2= ．20．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= ．21．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ．22．将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是．三．解答题23．分解因式（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．24．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18=启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是．25．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2=②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．26．通过对《因式分解》的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形．27．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．28．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得，经过四次“F”运算得，经过五次“F”运算得，经过2016次“F”运算得．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．29．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．30．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．参考答案与试题解析一．选择题1．（2017•静安区一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．【解答】解：A、原式不能分解；B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），故选A【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．（2016•潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1 【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．3．（2016•台湾）已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A．8是a的因子，8是b的因子B．8是a的因子，8不是b的因子C．8不是a的因子，8是c的因子D．8不是a的因子，8不是c的因子【分析】根据a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18，得到a为12与18的公倍数，再由a的范围确定出a的值，进而表示出b，即可作出判断．【解答】解：∵（a，b）=12，（a，c）=18，∴a为12与18的公倍数，又[12，18]=36，且a介于50与100之间，∴a=36×2=72，即8是a的因子，∵（a，b）=12，∴设b=12×m，其中m为正整数，又a=72=12×6，∴m和6互质，即8不是b的因子．故选B【点评】此题考查了公因式，弄清公因式与公倍数的定义是解本题的关键．4．（2016•自贡）把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4【分析】直接提取公因式a即可．【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．5．（2016•聊城）把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2 D．2a（2a+1）2【分析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：8a3﹣8a2+2a=2a（4a2﹣4a+1）=2a（2a﹣1）2．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．6．（2016•梅州）分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）2【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a2b﹣b3=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．7．（2016•台湾）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．∴a=﹣5，b=11，c=6，则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．故选C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c （a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：州、爱、我、苏、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．苏州游C．爱我苏州D．美我苏州【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，即可得到结论．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，苏，州，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我苏州”，故选C．【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9．（2016•厦门）设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】根据乘法分配律可求a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差公式和算术平方根可求c，再比较大小即可求解．【解答】解：∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，c=====＜681，∴b＜c＜a．故选：A．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟记乘法分配律、平方差公式的结构特点是解题的关键．注意整体思想的运用．10．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．故选：B．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，熟练应用十字相乘法分解因式是解题关键．11．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4） D．【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【解答】解：A、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；B、右边结果不是积的形式，不符合题意；C、a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4），符合题意；D、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意．故选C．【点评】本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．12．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+y2=（x+y）2 C．x2+xy=x（x+y）D．x2+6x+9=（x+3）2【分析】分别利用平方差公式以及完全平方公式和提取公因式法分别分解因式进而判断即可．【解答】解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），正确，不合题意；B、x2+y2，无法分解因式，故此选项正确；C、x2+xy=x（x+y），正确，不合题意；D、x2+6x+9=（x+3）2，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式分解因式是解题关键．13．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：①x2﹣10x+25=（x﹣5）2，不符合题意；②4a2+4a﹣1不能用完全平方公式分解；③x2﹣2x﹣1不能用完全平方公式分解；④=﹣（m2﹣m+）=﹣（m﹣）2，不符合题意；⑤不能用完全平方公式分解．故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．14．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．【解答】解：由a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，得a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）=（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，∵a+b＞0，∴a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0，即a=b或a2+b2=c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15．10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；…；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+…+x102，N=y12+y22+…+y102，则（）A．M＜N B．M＞NC．M=N D．M、N的大小关系不确定【分析】根据题意，对M和N作差，然后与零比较大小即可解答本题．【解答】解：由题意可得，x n+y n=9，∴y n=（9﹣x n），∴M﹣N=x12+x22+…+x102﹣（y12+y22+…+y102）=x12+x22+…+x102﹣，=﹣810+18（x1+x2+…+x10），∵10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，x1+x2+…+x10=45，∴﹣810+18（x1+x2+…+x10）=﹣810+18×45=﹣810+810=0，∴M=N，故选C．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．二．填空题16．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2= a（a﹣2b）2．【分析】首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解．【解答】解：原式=a（a2﹣4ab+4b2）=a（a﹣2b）2．故答案是：a（a﹣2b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．17．（2016•黔南州）若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于﹣2 ．【分析】首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵ab=2，a﹣b=﹣1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．18．（2016•南京）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= （b+c）（2a﹣3）．【分析】直接提取公因式b+c即可．【解答】解：原式=（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．19．（2016•赤峰）分解因式：4x2﹣4xy+y2= （2x﹣y）2．【分析】符合完全平方公式的特点：两项平方项，另一项为两底数积的2倍，直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：4x2﹣4xy+y2，=（2x）2﹣2×2x•y+y2，=（2x﹣y）2．【点评】本题考查运用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构特点是解题的关键．20．（2016•荆门）分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= （m+3）（m﹣3）．【分析】先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（m+1）（m﹣9）+8m，=m2﹣9m+m﹣9+8m，=m2﹣9，=（m+3）（m﹣3）．故答案为：（m+3）（m﹣3）．【点评】本题考查了利用公式法分解因式，先利用多项式的乘法运算法则展开整理成一般多项式是解题的关键．21．（2016•威海）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= 3（a+b）（a﹣b）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．故答案为：3（a+b）（a﹣b）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．22．（2016•贺州）将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：原式=m（x﹣2）（m2﹣1）=m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．故答案为：m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．三．解答题23．分解因式（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．【分析】（1）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2；（2）原式=a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）=（x﹣y）（a2﹣4）=（x ﹣y）（a+2）（a﹣2）．【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．24．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18= （x﹣2）（x+9）启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是7或﹣7或2或﹣2 ．【分析】（1）原式利用题中的方法分解即可；（2）方程利用因式分解法求出解即可；（3）找出所求满足题意p的值即可．【解答】解：（1）原式=（x﹣2）（x+9）；（2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）=0，可得x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x=2或x=4；（3）﹣8=﹣1×8；﹣8=﹣8×1；﹣8=﹣2×4；﹣8=﹣4×2，则p的可能值为﹣1+8=7；﹣8+1=﹣7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2．故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．25．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2= （3x﹣4y）（2x﹣3y）②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12= （x﹣2y+3）（2x+3y﹣4）③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y= （x﹣3y）（x+2y+2）（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；③同②的方法分解；（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【解答】解：（1）①6x2﹣17xy+12y2=（3x﹣4y）（2x﹣3y），②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（x﹣3y）（x+2y+2），故答案为：①（3x﹣4y）（2x﹣3y），②（x﹣2y+3）（2x+3y ﹣4），③（x﹣3y）（x+2y+2），（2）如图，m=3×9+（﹣8）×（﹣2）=43或m=9×（﹣8）+3×（﹣2）=﹣78．【点评】此题是因式分解﹣十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解．26．通过对《因式分解》的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形．【分析】根据题意可知：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），可以看作长为a+2b，宽为a+b的长方形面积，由此画出图形．【解答】解：如图所示：∵大长方形的面积=a2+3ab+2b2，大长方形的面积=（a+b）（a+2b），∴a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）．【点评】此题主要考查因式分解的运用，注意利用已知的等式转化为图形解决问题，这是数形结合思想的运用．27．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．【分析】（1）根据“快乐数”的定义计算即可；（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，根据“快乐数”的定义计算．【解答】解：（1）∵12+02=1，∴最小的两位“快乐数”10，∵19→12+92=82→82+22=68→62+82=100→12+02+02=1，∴19是快乐数；证明：∵4→37→58=68→89→125→30→9→81→65→61→37，37出现两次，所以后面将重复出现，永远不会出现1，所以任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4．（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，则a2+b2+c2=10或100，∵a、b、c为整数，且a≠0，∴当a2+b2+c2=10时，12+32+02=10，①当a=1，b=3或0，c=0或3时，三位“快乐数”为130，103，②当a=2时，无解；③当a=3，b=1或0，c=0或1时，三位“快乐数”为310，301，同理当a2+b2+c2=100时，62+82+02=100，所以三位“快乐数”有680，608，806，860．综上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八个，又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件．【点评】本题考查的是因式分解的定义、“快乐数”的定义，正确理解“快乐数”的定义、掌握分情况讨论思想是解题的关键．28．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得351 ，经过四次“F”运算得153 ，经过五次“F”运算得153 ，经过2016次“F”运算得153 ．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．【分析】（1）根据“F运算”的定义得到111经过三次“F运算”的结果，经过四次“F运算”的结果，经过五次“F运算”的结果，经过2016次“F运算”的结果即可；（2）首先根据题意可设a+b+c+d=3e，则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被3整除．【解答】（1）解：1113（13+13+13=3）27（33=27）351（23+73=351）153（33+53+13=153）153（13+53+33=153）153（33+53+13=153）．故数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得153，经过2016次“F”运算得153．（2）证明：设a+b+c+d=3e（e为整数），这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，∴=333a+33b+3c+e，∵333a+33b+3c+e是整数，∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．故答案为：351，153，153，153．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用．29．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．【分析】（1）先分解因式得到x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；（2）利用勾股定理和周长得到x+y=13，x2+y2=121，再利用完全平方公式可计算出xy=24，然后与（1）小题的解决方法一样．【解答】解：（1）x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），当x=15，y=5时，x﹣y=10，x+y=20，可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015；（2）由题意得：解得xy=24，而x3y+xy3=xy（x2+y2），所以可得数字密码为24121．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出xy的值为解决问题的关键．30．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）4。

第二十一章 一元二次方程因式分解法解一元二次方程一、基础巩固1、一元二次方程x 2﹣3x ＝0的两个根是（ ）A ．0和﹣3B ．0和3C ．1和3D ．1和﹣3【答案】B【解析】将一元二次方程因式分解得：x （x —3）=0解得：x 1=0，x 2=3故本题选B 。

【分析】考查因式分解法。

2、方程5x （x+3）=3（x+3）的解为（ ）A 、x 1= ，x 2=3B 、x=C 、x 1=— ，x 2=—3D 、x 1=，x 2=—3 【答案】D【解析】将方程进行移项：5x （x+3）—3（x+3）=0（x+3）（5x —3）=0解得：x 1=—3，x 2= 故本题选D 。

【分析】本题考查因式分解法。

将方程移项后发现可以因式分解求方程的解。

3、关于代数式﹣x 2+4x ﹣2的取值，下列说法正确的是（ ）A ．有最小值﹣2B ．有最大值2C ．有最大值﹣6D ．恒小于零【答案】B【解析】∵﹣x 2+4x ﹣2＝﹣（x 2﹣4x +4）+4﹣2 53 53 535353＝﹣（x﹣2）2+2，又∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+2≤2，∴代数式﹣x2+4x﹣2有最大值2．故选：B．【分析】先利用配方法将代数式﹣x2+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．4、一元二次方程x²+5x=0的较大的一个根设为m，x²—3x+2=0较小的根设为n，则m+n的值为（）A、1B、2C、—4D、4【答案】A【解析】第一个一元二次方程解得：x1=0，x2=—5，故m=0；第二个一元二次方程解得：x1=1，x2=2，故n=1；∴m+n=1，即m+n的值是1。

【分析】考查因式分解法，把方程解出来找出m、n值。

5、已知三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程x²—16x+55=0的一个根，则第三边长是（）A、5B、5或11C、6D、11【答案】【解析】解此一元二次方程得：x1=5，x2=11∵4+7==11∴第三边长只能是5故本题选A。

第14章《整式的乘法与因式分解》解答题一．解答题（共35小题）1．（2019秋•武穴市校级期末）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图①那样拼成一个正方形（中间是空的）．（1）图①中画有阴影的小正方形的边长等于多少？（2）观察图①，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．2．（2019秋•宜城市期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．如：将式子x2+3x+2和2x2+x﹣3分解因式，如图：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；2x2+x﹣3＝（x﹣1）（2x+3）请你仿照以上方法，探索解决下列问题：（1）分解因式：y2﹣7y+12；（2）分解因式：3x2﹣2x﹣1．3．（2019秋•丹江口市期末）分解因式：（1）9a2﹣4（2）ax2+2a2x+a3（3）x2+2x﹣34．（2019秋•江夏区期末）网购是现在人们常用的购物方式，通常网购的商品为防止损坏会采用盒子进行包装，A，B均是容积为V立方分米无盖的长方体盒子（如图）．（1）图中A盒子底面是正方形，B盒子底面是长方形，A盒子比B盒子高6分米，A和B两个盒子都选用相同的材料制作成侧面和底面，制作底面的材料1.5元/平方分米，其中B盒子底面制作费用是A盒子底面制作费用的3倍，当V＝576立方分米时，求B盒子的高．（温馨提示：要求用列分式方程求解）（2）在（1）的条件下，已知A盒子侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米，求制作一个A盒子的制作费用是多少元？（3）设a的值为（2）中所求的一个A盒子的制作费用，请分解因式：x2﹣31x+a＝．5．（2019秋•江夏区期末）按要求完成下列各题（1）计算：（2y）2•（﹣xy2）（2）分解因式：ax2+2a2x+a36．（2019秋•麻城市期末）因式分解：（1）y3﹣6xy2+9x2y（2）（2a﹣b）2+8ab7．（2019秋•荆州区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y=94，则x﹣y＝；（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．8．（2019秋•汉阳区期末）（1）计算：a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2（2）因式分解：9x2y+6xy+y9．（2019秋•巴东县期末）x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子因式分解呢？因为（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，所以，根据因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．如：x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2）上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图．这样，我们可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+10（2）﹣2x2﹣6x+3610．（2019秋•江岸区期末）（1）计算：（x+2）（x+3）；（2）分解因式：3x2+6xy+3y2．11．（2019秋•汉阳区期末）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式例如由图1可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）请回答下列问题．（1）写出图2中所表示的数学等式是；（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x，y的式子表示）．（3）通过上述的等量关系，我们可知当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越（填“大“或“小“）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“大”或“小”）．12．（2019秋•武汉期末）因式分解（1）x 3﹣16x ；（2）4xy 2﹣4x 2y ﹣y 313．（2019秋•青山区期末）分解因式：（1）16﹣b 2；（2）3ax 2﹣6axy +3ay 2．14．（2019秋•青山区期末）计算：（1）（4a ﹣b 2）（﹣2b ）；（2）（15x 2y ﹣10xy 2）÷5xy ．15．（2019秋•鄂城区期末）观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么．例：把多项式am +an +bm +bn 分解因式解法1：am +an +bm +bn ＝（am +an ）+（bm +bn ）＝a （m +n ）+b （m +n ）＝（m +n ）（a +b ）解法2：am +an +bm +bn ＝（am +bm ）+（an +bn ）＝m （a +b ）+n （a +b ）＝（a +b ）（m +n ）根据你的发现，把下面的多项式分解因式：（1）mx ﹣my +nx ﹣ny ；（2）2a +4b ﹣3ma ﹣6mb ．16．（2019秋•黄冈期末）分解因式：（1）2x 2﹣18；（2）a 2﹣4ab +4b 2﹣9．17．（2019秋•武昌区期末）（1）计算：（x +3）（x ﹣1）．（2）因式分解：2x 2y +4xy 2+2y 3．18．（2019秋•咸安区期末）（1）分解因式：（a ﹣b ）2+4ab ；（2）用简便方法计算：20192﹣2018×2020．19．（2019秋•江汉区期末）因式分解：（1）ax 2+2ax +a ；（2）a 4﹣16．20．（2019秋•安陆市期末）（1）计算：（x ﹣y ）（x 2+xy +y 2）（2）已知：a m ＝2，a n ＝4，a k ＝32（a ≠0）①求a 3m +2n ﹣k 的值；①求k ﹣3m ﹣n 的值．21．（2019秋•安陆市期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题：例题：已知二次三项式x 2﹣4x +m 有一个因式是x +3，求另一个因式以及m 的值．解法一：设另一个因式为x +n ，得x 2﹣4x +m ＝（x +3）（x +n ）则x 2﹣4x +m ＝x 2+（n +3）x +3n ，∴{n +3=−4n =3n 解得n ＝﹣7，m ＝﹣21． ∴另一个因式为x ﹣7，m 的值为﹣21．解法二：设另一个因式为x +n ，得x 2﹣4x +m ＝（x +3）（x +n ）∴当x ＝﹣3时，x 2﹣4x +m ＝（x +3）（x +n ）＝0即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m ＝0，解得m ＝﹣21∴x 2﹣4x +m ＝x 2﹣4x ﹣21＝（x +3）（x ﹣7）∴另一个因式为x ﹣7，m 的值为﹣21．问题：仿照以上一种方法解答下面问题．（1）若多项式x 2﹣px ﹣6分解因式的结果中有因式x ﹣3，则实数p ＝ ．（2）已知二次三项式2x 2+3x ﹣k 有一个因式是2x +5，求另一个因式及k 的值．22．（2019秋•松滋市期末）长方形的长为a 厘米，宽为b 厘米，其中a ＞b ，如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为S 1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S 2．（1）若a 、b 为正整数，请说明：S 1与S 2的差一定是5的倍数；（2）如果S1＝2S2，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积；（3）如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能没有缝隙没有重叠地拼成一个正方形，求a，b的值．23．（2019秋•松滋市期末）观察下列各式发现规律，完成后面的问题：2×4＝32﹣1，3×5＝42﹣1，4×6＝52﹣1，5×7＝62﹣1．（1）12×14＝，99×101＝；（2）n（n+2）＝（）2﹣1（n为整数）．（3）童威家现有一个用篱笆围成的长方形菜园，其长比宽多4米（长、宽均为整数），为了扩大菜园面积，童威用原来的篱笆围成一个正方形，童威的做法对吗？面积是否扩大了？如果扩大了，扩大了多少？试说明理由．24．（2019秋•恩施市期末）如图（1），有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a ＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．（1）若用A型卡片1张，B型卡片2张，C型卡片1张拼成了一个正方形（如图（2）），此正方形的边长为，根据该图形请写出一条属于因式分解的等式：．（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝．（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？有几种拼法？请你通过运算说明理由．25．（2019秋•襄州区期末）已知a、b、c分别是△ABC的三边．（1）分别将多项式ac﹣bc，﹣a2+2ab﹣b2进行因式分解；（2）若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．26．（2019秋•潜江期末）阅读：材料1：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，最高次项的系数不为零，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有一种解法是利用因式分解来解的．如解方程：x2﹣3x+2＝0，左边分解因式得（x﹣1）（x﹣2）＝0，所以x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以原方程的解是x＝1或x＝2．材料2：立方和公式用字母表示为：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2），（1）请利用材料1的方法解方程：x2﹣4x+3＝0；（2）请根据材料2类比写出立方差公式：x3﹣y3＝；（提示：可以用换元方法）（3）结合材料1和2，请你写出方程x6﹣7x3﹣8＝0所有根中的两个根．27．（2019秋•樊城区期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：x2+4x+4＝；16x2+8x+1＝；9x2﹣12x+4＝；（2）观察以上三个多项式的系数，有42＝4×1×4，82＝4×16×1，（﹣12）2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系：①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系：；①解决问题：若多项式x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m）是一个完全平方式，求m的值．28．（2019秋•孝南区期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；29．（2019秋•梁子湖区期末）观察下面分解因式的过程，并完成后面的习题分解因式：am +an +bm +bn解法一：原式＝（am +an ）+（bm +bn ）＝a （m +n ）+b （m +n ）＝（m +n ）（a +b ）解法二：原式＝（am +bm ）+（an +bn ）＝m （a +b ）+n （a +b ）＝（a +b ）（m +n ）根据你发现的方法，分解因式：（1）mx ﹣my +nx ﹣ny（2）2a +4b ﹣3ma ﹣6mb ．30．（2019秋•孝昌县期末）如图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b 形状拼成一个正方形．（1）你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m +n ）2，（m ﹣n ）2，mn（3）已知m +n ＝7，mn ＝6，求（m ﹣n ）2的值．31．（2018秋•武汉期末）利用乘法公式计算：（1）（2a ﹣1）（1+2a ）﹣2（a ﹣2）2（2）（2a ﹣3b ﹣1）（2a +3b ﹣1）﹣（2a ﹣3b +1）232．（2018秋•宜城市期末）已知关于x ，y 的方程2x 2﹣y ﹣3＝0．（1）请你直接写出该方程的两组整数解；（2）若{n =n n =n 和{n =n n =n 是方程2x 2﹣y ﹣3＝0的两组不同的解，求m +n 的值． 33．（2018秋•硚口区期末）分解因式（1）x 2﹣9x（2）x （x ﹣4）+4（3）x 2﹣2x ﹣1534．（2018秋•十堰期末）在当今“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x 3+2x 2﹣x ﹣2分解的结果为（x ﹣1）（x +1）（x +2）．当x ＝19时，x ﹣1＝18，x +1＝20，x +2＝21，此时可得到数字密码182021．（1）根据上述方法，当x ＝37，y ＝12时，对于多项式x 3﹣xy 2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两个即可）？（2）将多项式x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21因式分解后，利用题目中所示的方法，当x ＝87时可以得到密码808890，求m ，n 的值．35．（2018秋•咸安区期末）如图，“主收1号”小麦的试验田是边长为am （a ＞1）的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a ﹣1）m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg ．（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）若高的单位面积产量是低的单位面积产量的n +3n （kg ）倍，求a 的值（3）利用（2）中所求的a 的值，分解因式x 2﹣ax ﹣108＝ ．第14章《整式的乘法与因式分解》解答题参考答案与试题解析一．解答题（共35小题）1．【答案】（1）（m ﹣n ）；（2）（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab ；（3）29．【解答】解：（1）图①中画有阴影的小正方形的边长（m ﹣n ）；（2）（m +n ）2＝（m ﹣n ）2+4mn ；（3）由（2）得：（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab ；∵a +b ＝7，ab ＝5，∴（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ＝49﹣20＝29；答：（a ﹣b ）2的值为29．2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）y 2﹣7y +12＝（y ﹣3）（y ﹣4）（2）3x 2﹣2x ﹣1＝（x ﹣1）（3x +1）．3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝（3a +2）（3a ﹣2）；（2）原式＝a （x 2+2ax +a 2）＝a （x +a ）2；（3）原式＝（x +3）（x ﹣1）．4．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设B 盒子的高为h 分米，由题意得：576n ×1.5=576n +6×1.5×3 解得：h ＝3经检验，h ＝3是原分式方程的解．答：B 盒子的高为3分米．（2）∵B 盒子的高为3分米∴A 盒子的高为：3+6＝9（分米）∴A 盒子的底面积为：576n +6=64（平方米）∴A 盒子的底边长为：√64=8（分米）∴A 盒子的侧面积为：4×8×9＝288（平方分米）∵制作底面的材料1.5元/平方分米，侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米 ∴一个A 盒子的制作费用是：64×1.5+288×0.5＝240（元）答：制作一个A 盒子的制作费用是240元．（3）∵由（2）得a ＝240∴x 2﹣31x +a ＝x 2﹣31x +240＝（x ﹣16）（x ﹣15）故答案为：（x ﹣16）（x ﹣15）．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（2y ）2•（﹣xy 2）＝4y 2•（﹣xy 2）＝﹣4xy 4；（2）ax 2+2a 2x +a 3＝a （x 2+2ax +a 2）＝a （x +a ）2．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝y （y 2﹣6xy +9x 2），＝y （y ﹣3x ）2；（2）原式＝4a2﹣4ab+b2+8ab，＝4a2+4ab+b2，＝（2a+b）2．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题可得，大正方形的面积＝（a+b）2 ，大正方形的面积＝（a﹣b）2+4ab，∴（a+b）2 ＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2 ＝（a﹣b）2+4ab；（2）∵（x+y）2 ＝（x﹣y）2+4xy，∴（x﹣y）2 ＝（x+y）2﹣4xy＝25﹣4×94=16，∴x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4，故答案为：4，﹣4；（3）∵（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，又（2019﹣m+m﹣2020）2＝（2019﹣m）2+（m﹣2020）2+2（2019﹣m）（m﹣2020），∴1＝7+2（2019﹣m）（m﹣2020），∴（2019﹣m）（m﹣2020）＝﹣3．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2＝a8+a8+4a8＝6a8；（2）9x2y+6xy+y＝y（9x2+6x+1）＝y（3x+1）29．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）x2+7x+10＝（x+5）（x+2）；（2）﹣2x2﹣6x+36＝﹣2（x2+3x﹣18）＝﹣2（x+6）（x﹣3）．10．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（x+2）（x+3）＝x2+3x+2x+6＝x2+5x+6；（2）3x2+6xy+3y2＝3（x2+2xy+y2）＝3（x+y）2．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）；（2）4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2；（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小；故答案为：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b），4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2，大，小．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）x3﹣16x＝x（x2﹣16）＝x（x﹣4）（x+4）；（2）4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）＝﹣y（2x﹣y）2．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝（4+b）（4﹣b）；（2）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2．14．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝﹣8ab+2b3；（2）原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy＝3x﹣2y．15．【答案】见试题解答内容【解答】解（1）原式＝m（x﹣y）+n（x﹣y）＝（x﹣y）（m+n）；（2）原式＝2（a+2b）﹣3m（a+2b）＝（a+2b）（2﹣3m）．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3）；（2）原式＝（a﹣2b）2﹣32＝（a﹣2b+3）（a﹣2b﹣3）．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（x+3）（x﹣1）＝x2﹣x+3x﹣3＝x2+2x﹣3；（2）2x2y+4xy2+2y3＝2y（x2+2xy+y2），＝2y（x+y）2．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（a﹣b）2+4ab，＝a2﹣2ab+b2+4ab，＝a2+2ab+b2，＝（a+b）2；（2）20192﹣2018×2020，＝20192﹣（2019﹣1）（2019+1），＝20192﹣20192+1，＝1．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝a（x2+2x+1）＝a（x+1）2；（2）原式＝（a2+4）（a2﹣4）＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）．20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3＝x3﹣y3；（2）①∵a m＝2，a n＝4，a k＝32（a≠0），∴a3m+2n﹣k＝a3m•a2n÷a k＝（a m）3•（a n）2÷a k＝23×42÷32＝4；①∵a k ÷a 3m ÷a n ＝a k ﹣3m ﹣n ，∴a k ÷a 3m ÷a n＝32÷23÷4＝4÷4＝1＝a 0，∴a k ﹣3m ﹣n ＝a 0，∴k ﹣3m ﹣n ＝0．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设另一个因式为x +a ，得x 2﹣px ﹣6＝（x ﹣3）（x +a ） 则x 2﹣px ﹣6＝x 2+（a ﹣3）x ﹣3a ， ∴{−3n =−6−n =n −3，解得a ＝2，p ＝1． 故答案为：1．（2）设另一个因式为（x +n ），得2x 2+3x ﹣k ＝（2x +5）（x +n ）则2x 2+3x ﹣k ＝2x 2+（2n +5）x +5n∴{2n +5=3−n =5n ， 解得n ＝﹣1，k ＝5，∴另一个因式为（x ﹣1），k 的值为5．22．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：由题意得：S 1＝（a +3）（b +3）＝ab +3（a +b ）+9，S 2＝（a ﹣2）（b ﹣2）＝ab ﹣2（a +b ）+4，∴S 1﹣S 2＝ab +3（a +b ）+9﹣ab +2（a +b ）﹣4，＝5（a +b ）+5＝5（a +b +1），∴S 1与S 2的差一定是5的倍数．（2）∵S 1＝2S 2，∴ab +3a +3b +9＝2（ab ﹣2a ﹣2b +4）∴ab ﹣7a ﹣7b ﹣1＝0，∴ab ﹣7a ﹣7b ＝1，∵将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为：（a ﹣7）（b ﹣7）＝ab ﹣7a ﹣7b +49＝1+49＝50，∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米． （3）由题意可得方程组：{n +3=2(n −2)n +3=n +3+n −2， 解得：{n =7n =4.5， 或可得方程组：{n +3=2(n −2)n +3=n +3+n −2， 解得：b ＝2，a ＝﹣3＜0故该组方程组的解不符合题意，∴a ，b 的值分别为7和4.5．23．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）12×14＝（13﹣1）（13+1）＝132﹣1；99×101═（100﹣1）（100+1）═1002﹣1；故答案为：132﹣1，1002﹣1；（2）n （n +2）＝（n +1﹣1）（n +1+1）＝（n +1）2﹣1；故答案为：n +1；（3）童威的做法对，面积扩大了，扩大了4平方米；理由如下：设原长方形菜园的宽为x米，则长为（x+4）米，原长方形面积为：x（x+4）＝（x+2）2﹣4；现正方形面积为（x+2）2；∴现面积比原面积增加了4平方米．24．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由图（1）和图（2）可得正方形的边长为a+b，由图（2）可得因式分解的等式a2+2ab+b2＝（a+b）2．故答案为a+b，a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，∴需要用A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张，∴x+y+z＝2+5+2＝9；故答案为9；（3）三种拼法：第一种：A型卡片拿掉1张，B型卡片拿掉1张，则能拼出一个长方形，即长方形的长为5A+11b，宽为b，∴b（5a+11b）＝5ab+11b2；第二种：A型卡片拿掉1张，C型卡片拿掉1张，则能拼出一个长方形，即长方形的长为3A+5b，宽为2b，∴2b（3a+5b）＝6ab+10b2；或者长为6A+10b，宽为b，∴（6a+10b）b＝6ab+10b2；此种情况共2种拼法；第三种：C型卡片拿掉2张，则能拼出一个正方形方形，即正方形边长为A+3b，∴（a+3b）2＝a2+6ab+9b2．25．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）ac﹣bc＝c（a﹣b）﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2（2）∵ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2∴c（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2c（a﹣b）+（a﹣b）2＝0（a﹣b）（c+a﹣b）＝0∵a、b、c分别是△ABC的三边，满足两边之和大于第三边，即c+a﹣b＞0∴a﹣b＝0即a＝b故△ABC的形状是等腰三角形．26．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得：x＝1或x＝3；（2）∵x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2），∴x3﹣y3＝x3+（﹣y）3＝[x+（﹣y）][x2﹣x（﹣y）+（﹣y）2]＝（x﹣y）（x2+xy+y2）；（3）∵x6﹣7x3﹣8＝0，∴（x3）2﹣7x3﹣8＝0，∴（x3﹣8）（x3+1）＝0，∴x3﹣8＝0或x3+1＝0，∴x＝2或x＝﹣127．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）x2+4x+4＝（x+2）2；16x2+8x+1＝（4x+1）2；9x2﹣12x+4＝（3x﹣2）2故答案为：（x+2）2；（4x+1）2；（3x﹣2）2；（2）①a、b、c之间的关系为b2＝4ac，故答案为：b 2＝4ac ；①∵多项式x 2﹣2（m ﹣3）x +（10﹣6m ）是一个完全平方式， ∴[﹣2（m ﹣3）]2＝4×1×（10﹣6m ）解得，m ＝±1．28．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝（1+2x ﹣3y ）2．（2）令A ＝a +b ，则原式变为A （A ﹣4）+4＝A 2﹣4A +4＝（A ﹣2）2， 故（a +b ）（a +b ﹣4）+4＝（a +b ﹣2）2．29．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解法一：原式＝（mx ﹣my ）+（nx ﹣ny ）＝m （x ﹣y ）+n （x ﹣y ）＝（m +n ）（x ﹣y ）；解法二：原式＝（mx +nx ）﹣（my +ny ）＝x （m +n ）﹣y （m +n ）＝（m +n ）（x ﹣y ）；（2）解法一：原式＝（2a +4b ）﹣（3ma +6mb ）＝2（a +2b ）﹣3m （a +2b ）＝（2﹣3m ）（a +2b ）；解法二：原式＝（2a ﹣3ma ）+（4b ﹣6mb ）＝a （2﹣3m ）+2b （2﹣3m ）＝（2﹣3m ）（a +2b ）．30．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）m ﹣n ．（2分）（2）（m +n ）2＝（m ﹣n ）2+4mn ．（6分）（3）（m ﹣n ）2＝（m +n ）2﹣4mn ＝49﹣4×6＝25．（10分）31．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝4a 2﹣1﹣2（a 2﹣4a +4）＝4a 2﹣1﹣2a 2+8a ﹣8＝2a 2+8a ﹣9；（2）原式＝（2a ﹣1）2﹣9b 2﹣[（2a ﹣3b ）+1]2＝4a 2﹣4a +1﹣9b 2﹣[4a 2﹣12ab +9b 2+2（2a ﹣3b ）+1]＝4a 2﹣4a +1﹣9b 2﹣4a 2+12ab ﹣9b 2﹣4a +6b ﹣1＝﹣18b 2﹣8a +12ab +6b ．32．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵2x 2﹣y ﹣3＝0，∴当x ＝0时，y ＝﹣3；当x ＝1时，y ＝﹣1，即方程2x 2﹣y ﹣3＝0的两组整数解是{n =0n =−3，{n =1n =−1； （2）∵{n =n n =n 和{n =n n =n 是方程2x 2﹣y ﹣3＝0的两组不同的解， ∴{2n 2−n −3=0n 2n 2−n −3=0n 且m ≠n ， ①﹣①，得m +n =−12． 33．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）x 2﹣9x ＝x （x ﹣9）；（2）x （x ﹣4）+4＝x 2﹣4x +4＝（x ﹣2）2；（3）x 2﹣2x ﹣15＝（x +3）（x ﹣5）．34．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵x 3﹣xy 2＝x （x ﹣y ）（x +y ）∴当x ＝37，y ＝12时，x ﹣y ＝25，x +y ＝49∴可得到数字密码372549或374925（2）∵当x ＝87时，密码为808890，且x 3的系数是1 ∴由（1）可知：x ﹣7＝80，x +1＝88，x +3＝90∴x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21＝（x ﹣7）（x +1）（x +3）＝x 3﹣3x 2﹣25x ﹣21 ∴m ﹣3n ＝﹣3，n ＝25即m ＝72，n ＝25答：m ＝72，n ＝25．35．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意可得：“主收1号”单位面积产量=500n 2−1，“丰收2号”单位面积产量=500(n −1)2 ∵（a ﹣1）2﹣（a 2﹣1）＝2﹣2a ，且a ＞1∴（a ﹣1）2﹣（a 2﹣1）＜0∴（a ﹣1）2＜a 2﹣1∴500n 2−1＜500(n −1)2∴丰收2号”单位面积产量高． （2）由题意可得：n +3n ×500n 2−1=500(n −1)2 解得：a ＝3经检验，a ＝3是分式方程的解，并符合题意，即：a 的值为3．（3）x 2﹣ax ﹣108＝x 2﹣3x ﹣108＝（x ﹣12）（x +9）故答案为：（x ﹣12）（x +9）。

北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》经典好题优生辅导训练1．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1B．0C．3D．62．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20223．下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1；③a2+ab+b2；④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（）A．﹣22B．﹣1C．7D．115．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61和63B．63和65C．65和67D．64和676．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）7．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣18．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（）A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z9．多项式4（x2+1）+（x+1）2（x﹣3）+（x﹣1）3等于下列哪个选项（）A．2x（x﹣1）2B．2x（x+1）（x﹣1）C．x（x+1）（x﹣1）D．2（x﹣1）2（x﹣1）10．已知a，b，c是直角三角形的三边，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（）A．＞0B．＝0C．＜0D．不确定二．填空题（共10小题）11．分解因式：（p+1）（p﹣4）+3p＝．12．计算：40372﹣8072×2019＝．13．若a，b，c分别是△ABC的三条边，a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0．则△ABC的形状是．14．若a＝2017x+2018，b＝2017x+2019，c＝2017x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc ＝．15．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值．16．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝．17．因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2＝．18．若x+y﹣1＝0，则x2+xy+y2﹣2＝．19．若多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，则m的值为．20．（1）若x2+y2＝10，xy＝3，那么代数式x﹣y的值为．（2）若x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，那么代数式x+y的值为．三．解答题（共7小题）21．因式分解：（x2+4x）2﹣2（x2+4x）﹣15．22．我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．但小白在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．这种在二次三项式x2+6x﹣7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2﹣8x+7分解因式；（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy++9y2﹣＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（）2＝[（x﹣5y）+][（x﹣5y）﹣]＝（x﹣y）（x﹣）；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．23．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y+2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．24．分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）25．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．26．先分解因式，再求值：已知5x+y＝2，5y﹣3x＝3，求3（x+3y）2﹣12（2x﹣y）2的值．27．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2，可得等式；（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．（3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积．（4）图4中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b．②研究①拼图发现，可以分解因式2a2+5ab+2b2＝．参考答案1．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，原式＝0．故选：B．2．解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020＝﹣x2﹣x+2020＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．故选：A．3．解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；②﹣a2b2+1＝1﹣（ab）2＝（1+ab）（1﹣ab），因此②能用公式法分解因式；③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；④﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此④能用公式法分解因式；⑤﹣mn+m2n2＝（﹣mn）2，因此⑤能用公式法分解因式；综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故选：B．4．解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，∴a﹣c＝4，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b ﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝﹣1，故选：B．5．解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）＝（224+1）（212+1）×65×63，故选：B．6．解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．7．解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，∴b＝0.5，a＝1.5，∴a+b＝2．故选：A．8．解：原式＝（2x+y﹣z）（2x﹣y+z），∴另一个因式是2x+y﹣z．故选：D．9．解：原式＝4x2+4+（x2+2x+1）（x﹣3）+x3﹣3x2+3x﹣1＝4x2+4+x3﹣x2﹣5x﹣3+x3﹣3x2+3x﹣1＝2x3﹣2x＝2x（x2﹣1）＝2x（x+1）（x﹣1）．故选：B．10．解：将代数式因式分解：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b﹣c）（a﹣b+c），根据三角形两边之和大于第三边知：a﹣b﹣c＜0，而a﹣b+c＞0，则：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）＜0，故选：C．11．解：（p+1）（p﹣4）+3p＝p2﹣3p﹣4+3p＝p2﹣4＝（p+2）（p﹣2）．12．解：原式＝40372﹣2×4036×2019＝40372﹣4036×4038＝40372﹣（4037﹣1）（4037+1）＝40372﹣（40372﹣1）＝1故答案为：113．解：∵a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，解得：a＝b＝c，又∵a，b，c分别是△ABC的三条边，∴△ABC是等边三角形，故答案为等边三角形．14．解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝3，故答案为3．15．解：∵a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2又已知ab＝3，a+b＝5，∴原式＝3×52＝75故答案为：75．16．解：∵a2+a﹣1＝0∴a2+a＝1∴a3+a2＝a又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020∴a3+2a2+2019＝202017．解：原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）＝（3x+3y）（x﹣y）＝3（x+y）（x﹣y）．故答案为：3（x+y）（x﹣y）．18．解：∵x+y﹣1＝0，∴x+y＝1，∴x2+xy+y2﹣2＝＝＝﹣，故答案为：﹣．19．解：∵多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，∴2（m﹣2）＝±10，解得：m＝7或﹣3，故答案为：7或﹣320．解：（1）∵x2+y2＝10，xy＝3，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝10﹣6＝4，则x﹣y＝±2；（2）∵x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，∴x2+xy+x+y2+xy+y＝42，即（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，分解因式得：（x+y﹣6）（x+y+7）＝0，则x+y＝6或﹣7．故答案为：（1）±2；（2）6或﹣721．解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+3）＝（x+5）（x﹣1）（x+3）（x+1）．22．解：（1）x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16+7﹣16＝（x﹣4）2﹣9＝（x﹣4）2﹣32＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）；（2）x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]＝（x﹣y）（x﹣9y）；故答案为：25y2，25y2，4y，4y，4y，9y；（3）方法1：原式＝x2+[13m+（﹣m）]x+13m•（﹣m）＝（x+13m）（x﹣m）；方法二：原式＝x2+12mx+36m2﹣13m2﹣36m2＝（x+6m）2﹣49m2＝（x+6m+7m）（x+6m﹣7m）＝（x+13m）（x﹣m）．23．解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，∵a，b，c是△ABC的三边，∴（a+b）﹣c＞0，∴a﹣b＝0，得a＝b，∴△ABC是等腰三角形．24．解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．25．解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝（x﹣y+1）2；（2）令A＝x2﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+9）2，故（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+9）2；（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2，∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．26．解：原式＝3[（x+3y）2﹣4（2x﹣y）2]＝3[（x+3y）+2（2x﹣y）][（x+3y）﹣2（2x﹣y）]＝3（x+3y+4x﹣2y）（x+3y﹣4x+2y）＝3（5x+y）（﹣3x+5y），当5x+y＝2，5y﹣3x＝3时，原式＝3×2×3＝18．27．解：（1）由题意得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故答案为，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；（3）∵a+b＝10，ab＝20，∴S阴影＝a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×102﹣×20＝50﹣30＝20；（4）①根据题意，作出图形如下：②由上面图形可知，2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）．故答案为（a+2b）（2a+b）．。

初中数学因式分解-提公因式与公式法考试要求：知识点汇总：一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.三、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++例题精讲：一、提公因式【例 1】判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴ 22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶ 232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++【答案】⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式；⑷是.【例 2】分解因式：⑴ad bd d -+； ⑵4325286x y z x y -⑶322618m m m -+- ⑷23229632x y x y xy ++ 【解析】 ⑴1(1)ad bd d d a d b d d a b -+=⋅-⋅+⋅=⋅-+最后一项1d d =⋅，系数1一般可省略，但因式分解时提出“d ”后，“1”不能漏掉.提公因分解因式时，提完公因式的那个因式等于原多项式除以公因式的商，故那个因式的项数等于多项式的项数.⑵43252422862(43)x y z x y x y yz x -=-，按照系数、字母(或多项式因式)确定公因式 ⑶323222618(2618)2(39)m m m m m m m m m -+-=--+=--+或32232261862182(39)m m m m m m m m m -+-=--=--若多项式第一项为负，一般有两种处理方法：①首先将“－”提出，初学时不要省略此步，再对提取“－”后的多项式提取公因式；②若多项式中含有系数为正数的项，也可将这一项写在第一项，然后再提取公因式. ⑷23222322291363(1269)(423)222xy x y x y xy x y x y xy x x y y ++=++=++ 因式分解后，最好使多项式中的系数为整数，这样比较整洁.【巩固】 分解因式：22(1)1a b b b b -+-+-【解析】222(1)1(1)(1)a b b b b a b b -+-+-=--+【巩固】 ⑴23361412abc a b a b --+；⑵32461512a a a -+-【解析】⑴23322614122(376)abc a b a b ab c ab a --+=-+-⑵32422615123(425)a a a a a a -+-=-+-【例 3】（2009•台湾）已知（19x ﹣31）（13x ﹣17）﹣（13x ﹣17）（11x ﹣23）可因式分解成（ax+b ）（8x+c ），其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c=（ ）A 、﹣12B 、﹣32C 、38D 、72【解析】首先要对原式正确因式分解，然后进行对号入座，即可得出字母的值．【答案】原式=（13x ﹣17）（19x ﹣31﹣11x+23）=（13x ﹣17）（8x ﹣8）∵可以分解成（ax+b ）（8x+c ），∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，∴a+b+c=﹣12．故选A ．【点评】各项有公因式时，要先考虑提取公因式．【例 4】分解因式⑴23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+-⑵346()12()m n n m -+-【解析】 ⑴原式22323224()(652)x y z a b yz x x y z =--+ ⑵原式[]34336()12()6()12()6()(122)m n m n m n m n m n m n =-+-=-+-=-+-【巩固】 分解因式：⑴55()()m m n n n m -+-⑵()()()2a a b a b a a b +--+ 【解析】 ⑴555556()()()()()()()m m n n n m m m n n m n m n m n m n -+-=---=--=-⑵()()()2a a b a b a a b +--+()()()()()()22a a b a b a b a a b b ab a b =+--+=+-=-+⎡⎤⎣⎦【巩固】 分解因式：1. 2316()56()m m n n m -+- ⑵(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-【解析】⑴原式[]232216()56()8()27()8()(75)m n m n m n m m n m n m n m =-+-=-+-=--⑵原式(23)(2)(32)(2)(2)(55)5(2)()a b a b a b a b a b a b a b a b =+-++-=-+=-+【例 5】分解因式：⑴()()2121510n n a a b ab b a +---(n 为正整数) ⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)【解析】 ⑴原式()()()()()()212221510532535n n n n a a b ab a b a a b a b b a a b a b +=---=---=--⎡⎤⎣⎦注意整体思想的运用！⑵(21)(2)10n n n +-+=->，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++-+---=-【例 6】已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333a abc b c a b c b c a --+-+++-的值. 【解析】原式22228()(2)333b c a =--=⨯-=【巩固】 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----.【解析】观察原式，我们发现公因式为2()x z x y --，故原式[]2()()()x z x y x y z a z y x z a =---+-++-- 2()()x z x y ax z xz yz ay =--+---.【例 7】（2008•宁夏）下列分解因式正确的是（ ）A 、2x 2﹣xy ﹣x=2x （x ﹣y ﹣1）B 、﹣xy 2+2xy ﹣3y=﹣y （xy ﹣2x ﹣3）C 、x （x ﹣y ）﹣y （x ﹣y ）=（x ﹣y ）2D 、x 2﹣x ﹣3=x （x ﹣1）﹣3【解析】根据提公因式法和公式法进行判断求解．【答案】A 、公因式是x ，应为2x 2﹣xy ﹣x=x （2x ﹣y ﹣1），错误；B 、符号错误，应为﹣xy 2+2xy ﹣3y=﹣y （xy ﹣2x+3），错误；C 、提公因式法，正确；D 、右边不是积的形式，错误；故选C ．【点评】本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．【例 8】若a*b=a 2+2ab ，则x 2*y 所表示的代数式分解因式的结果是（ ）A 、x 2（x 2+2y ）B 、x （x+2）C 、y 2（y 2+2x ）D 、x 2（x 2﹣2y ）【解析】把x 2*y 表示成一般形式，分解因式即可．【答案】x 2*y=x 4+2x 2y=x 2（x 2+2y ）．故选A ．【点评】正确理解题意，是解决本题的关键．【例 9】若（p ﹣q ）2﹣（q ﹣p ）3=（q ﹣p ）2E ，则E 是（ ）A 、1﹣q ﹣pB 、q ﹣pC 、1+p ﹣qD 、1+q ﹣p【解析】观察等式的右边，提取的是（q ﹣p ）2，故可把（p ﹣q ）2变成（q ﹣p ）2，即左边=（q ﹣p ）2（1﹣q+p ）．【解答】（p ﹣q ）2﹣（q ﹣p ）3=（q ﹣p ）2（1﹣q+p ）．故选C ．【点评】注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．【例 10】利用因式分解计算：2100﹣2101=（）A、﹣2B、2C、2100D、﹣2100【解析】提取公因式2100，整理并计算即可．【答案】2100﹣2101=2100﹣2100•2=2100（1﹣2）=﹣2100．故选D．【点评】主要考查提公因式法分解因式，要注意符号．【例 11】观察下列各式：①abx﹣adx；②2x2y+6xy2；③8m3﹣4m2+2m+1；④a3+a2b+ab2﹣b3；⑤（p+q）x2y﹣5x2（p+q）+6（p+q）2；⑥a2（x+y）（x﹣y）﹣4b（y+x）．其中可以用提公因式法分解因式的有（）A、①②⑤B、②④⑤C、②④⑥D、①②⑤⑥【解析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．【答案】①abx﹣adx=ax（b﹣d）；②2x2y+6xy2=2xy（x+3y）；③8m3﹣4m2+2m+1，不能用提公因式法分解因式；④a3+a2b+ab2﹣b3，不能用提公因式法分解因式；⑤（p+q）x2y﹣5x2（p+q）+6（p+q）2=（p+q）[x2y﹣5x2+6（p+q）]；⑥a2（x+y）（x﹣y）﹣4b（y+x）=（x+y）[a2（x﹣y）﹣4b]．所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥．故选D．【点评】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，提取公因式后剩下的因式是用原多项式除以公因式所得的商得到的．【例 12】如果ax（3x﹣4x2y+by2）=6x2﹣8x3y+6xy2成立，则a、b的值为（）A、a=3，b=2B、a=2，b=3C、a=﹣3，b=2D、a=﹣2，b=3【解析】先将6x2﹣8x3y+6xy2提取公因式2x，再根据对应项的系数相等即可求出a、b的值．【答案】∵6x2﹣8x3y+6xy2=2x（3x﹣4x2y+3y2）=ax（3x﹣4x2y+by2），∴a=2，b=3．故选B．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，根据对应项系数相等求解是解本题的关键．【例 13】下列哪项是x4+x3+x2的因式分解的结果（）A、x2（x2+x）B、x（x3+x2+x）C、x3（x+1）+x2D、x2（x2+x+1）【解析】确定公因式为x2，然后提取公因式即可．【解答】x4+x3+x2=x2（x2+x+1）．故选D．【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式．【例 14】某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：﹣12xy 2+6x 2y+3xy=﹣3xy•（4y ﹣______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）A 、2xB 、﹣2xC 、2x ﹣1D 、﹣2x ﹣l【解析】根据题意，提取公因式﹣3xy ，再根据原式对余下的多项式续继分解．【答案】原式=﹣3xy×（4y ﹣2x ﹣1），空格中填2x ﹣1．故选C ．【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化．【例 15】﹣6x n ﹣3x 2n 分解因式正确的是（ ）A 、3（﹣2x n ﹣x 2n ）B 、﹣3x n （2﹣x n ）C 、﹣3（2x n +x 2n ）D 、﹣3x n （2+x n ）【解析】根据公因式的定义，确定出公因式是﹣3x n ，然后提取公因式整理即可选取答案．【答案】﹣6x n ﹣3x 2n =﹣3x n （2+x n ）．故选D ．【点评】本题考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键，要注意符号的处理．【例 16】分解因式：（x+3y ）2﹣（x+3y ）= ，（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）3=【解析】（x+3y ）2﹣（x+3y ）可提取公因式（x+3y ），（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）3可提取公因式（a﹣b ）2，然后整理即可．【答案】（x+3y ）2﹣（x+3y ）=（x+3y ）（x+3y ﹣1），（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）3=（a ﹣b ）2（a ﹣b+1）．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，找出公因式是解题的关键，注意整体思想的利用．【例 17】分解因式：x （a ﹣y ）﹣y （y ﹣a ）= ．【解析】直接提取公因式（a ﹣y ）即可．【答案】x （a ﹣y ）﹣y （y ﹣a ），=（x+y ）（a ﹣y ）．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，解答此题的关键把（a ﹣y ）看作一个整体，利用整体思想进行因式分解．二、公式法【例 18】分解因式：⑴44a b -⑵2249()16()m n m n +-- ⑶22()()a b c d a b c d +++--+-⑷(2007年十堰中考题)34xy xy -； ⑷ 22()()a x y b y x -+-【解析】⑴44222222()()()()()a b a b a b a b a b a b -=-+=-++⑵原式[][]7()4()7()4()m n m n m n m n =++-+--(113)(311)m n m n =++⑶22()()(22)(22)4()()a b c d a b c d a c b d a c b d +++--+-=++=++⑷324(4)(2)(2)xy xy xy y xy y y -=-=-+⑸ 2222()()()()()()()a x y b x y x y a b x y a b a b ---=--=--+【例 19】分解因式：⑴(深圳市中考题)2242x x -+= ；⑵(泸州市中考题)244ax ax a -+= ；⑶2844a a --= ；⑷2292416x xy y -+=【解析】 ⑴2222422(21)2(1)x x x x x -+=-+=-⑵22244(44)(2)ax ax a a x x a x -+=-+=-⑶解首先把原式“理顺”，也就是将它的各项按字母a 降幂(或升幂)排列，从而有2844a a --2484a a =-+-24(21)a a =--+24(1)a =--按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施(简单的往往是有用的)，值得注意． ⑹ 2292416x xy y -+2(34)x y =-【巩固】 分解因式：44222()4p q p q +-【解析】4424444224422222222()4(2)(2)()()p q p q p q p q p q p q p q p q +-=+++-=+-22222()()()p q p q p q =+-+【巩固】 分解因式：⑴222()4()4x x x x +-++；⑵24()520(1)x y x y ++-+-【解析】 ⑴2222222()4()4(2)(1)(2)x x x x x x x x +-++=+-=-+；⑵2224()520(1)4()20()25(225)x y x y x y x y x y ++-+-=+-++=+-【巩固】 分解因式：()()222248416x x x x ++++ 【解析】 (24x +)相当于公式中的a ，4x 相当于公式中的b ．()()222248416xx x x ++++=()()()()2242222424416442x x x x x x x ++⋅+⋅+=++=+【例 20】（2009•台湾）已知（19x ﹣31）（13x ﹣17）﹣（13x ﹣17）（11x ﹣23）可因式分解成（ax+b ）（8x+c ），其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c=（ ）A 、﹣12B 、﹣32C 、38D 、72【解析】首先要对原式正确因式分解，然后进行对号入座，即可得出字母的值．【答案】原式=（13x ﹣17）（19x ﹣31﹣11x+23）=（13x ﹣17）（8x ﹣8），∵可以分解成（ax+b ）（8x+c ）∴a=13，b=﹣17，c=﹣8∴a+b+c=﹣12．故选A ．【点评】各项有公因式时，要先考虑提取公因式．【例 21】（2010•铁岭）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（）A、4B、﹣4C、±2D、±4【解析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．【答案】∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+2，∴m=±4．故选D．【点评】本题要熟记有关完全平方的几个变形公式，本题考查对完全平方公式的变形应用能力．【例 22】直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长为（）A、182B、180C、32D、30【解析】设另一条直角边的长度为x，斜边的长度为z，则z2﹣x2=132，然后根据三角形的三边关系及数的整除的知识即可解答．【答案】设另一条直角边的长度为x，斜边的长度z，则z2﹣x2=132，且z＞x，∴（z+x）（z ﹣x）=169×1，∴，∴三角形的周长=z+x+13=169+13=182．故选A．【点评】本题考查数的整除的知识及直角三角形的特点，难度不大，注意得出z2﹣x2=132是解答本题的关键．【例 23】（2007•江苏）若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（）A、8B、16C、2D、4【解析】首先将a2+2ab+b2运用完全平方公式进行因式分解，再代入求值．【答案】∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=42=16．故选B．【点评】本题考查用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子结构特征需记熟记牢．【例 24】（2005•玉林）因式分解4﹣4a+a2，正确的是（）A、4（1﹣a）+a2B、（2﹣a）2C、（2﹣a）（2+a）D、（2+a）2【解析】根据多项式的结构特点，可用完全平方公式进行因式分解．【答案】4﹣4a+a2=（2﹣a）2．故选B．【点评】本题考查利用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构特点是解题的关键．【例 25】（2004•四川）下列各式正确的是（）A、a﹣（b+c）=a﹣b+cB、x2﹣1=（x﹣1）2C、a2﹣ab+ac﹣bc=（a﹣b）（a+c）D、（﹣x）2÷x3=x（x≠0）【解析】根据因式分解，去括号法则及单项式的除法法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．A、应为a﹣（b+c）=a﹣b﹣c，故本选项错误；B、应为x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故本选项错误；C、a2﹣ab+ac﹣bc=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c），正确；D、应为（﹣x）2÷x3=x﹣1，故本选项错误．【答案】故选C．【点评】本题主要考查了因式分解及去括号法则及单项式的除法．注意（﹣x）2=x2．【例 26】小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A、2种B、3种C、4种D、5种【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数．【答案】该指数可能是2、4、6、8、10五个数．故选D．【点评】能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于．【例 27】在多项式①x2+2xy﹣y2；①﹣x2﹣y2+2xy；①x2+xy+y2；①4x2+1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（）A、①②B、②③C、①④D、②④【分析】用完全平方公式分解因式应具备以下特点：首先是三项式，还要其中有两项同号且均为一个整的平方，另一项是前两项幂的底数的积的2倍，符号可“正”也可“负．【答案】①x2+2xy﹣y2不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解；②﹣x2﹣y2+2xy符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解；③x2+xy+y2不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解；④4x2+1+4x符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解．所以②④选项能用完全平方公式分解因式．故选D．【点评】本题考查的是用完全平方公式进行因式分解的能力．解此类题要注意掌握完全平方公式的结构特征，并能灵活变形整理，如﹣x2﹣y2+2xy从形式上看也许不是，但从式中提出一个负号得：﹣（x2+y2﹣2xy），符合完全平方公式结构特征，可分解．【例 28】4x2﹣（y﹣z）2的一个因式是（）A、2x﹣y﹣zB、2x+y﹣zC、2x+y+zD、4x﹣y+z【解析】根据平方差公式进行因式分解，然后选取答案即可．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【答案】4x2﹣（y﹣z）2，=（2x+y﹣z）（2x﹣y+z）．故选B．【点评】本题考查了公式法分解因式，注意把y﹣z看作一个整体，在运用平方差公式时，注意符号的变化．【例 29】（2010•新疆）利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式．【解析】根据提示可知1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解．【答案】两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，所以a2+2ab+b2=（a+b）2．【点评】本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．【例 30】若（x+y）2﹣6（x+y）+9=0，则x+y=．【解析】方程的左边刚好是完全平方式，可以利用完全平方公式分解，得到一个式子的平方是0，所以底数是0，从而求出要求的解．【答案】原方程化为（x+y﹣3）2=0，所以x+y﹣3=0，解得x+y=3．【点评】本题考查了完全平方式，完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差，这两数中一个是式子（x+y）．【例 31】若x2﹣y2=30，且x﹣y=﹣5，则x+y的值是（）A、5B、6C、﹣6D、﹣5【解析】运用平方差公式先把x2﹣y2分解因式，再代入数据计算即可求出x+y的值．【答案】∵x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=30，x﹣y=﹣5∴x+y=﹣6．故选C．【点评】本题考查了公式法分解因式，运用平方差公式先分解因式，再结合题意求出代数式的值，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式．【例 32】已知248﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是、．【解析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．【答案】248﹣1=（224+1）（224﹣1），=（224+1）（212+1）（212﹣1），=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65，∴这两个数是65、63．【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是本题解题的思路【例 33】若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？【解析】 这是一道因式分解与等腰三角形联系的综合性问题．应先对等式进行化简，再利用等腰三角形的定义进行判断．在化简过程中，如果几个因式的乘积为0，则每一个因式都有可能为0，即若0ab =，则等价于0a =或0b =或0a b ==，所以由()()0a b b c --=，得到a b =或b c =或a b c ==，若第三个成立则ABC ∆是等边三角形，但等边三角形是特殊的等腰三角形，所以结论是等腰三角形．∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---∴()()()()0a b b a c a a b -----=，即()()0a b b c --=∴0a b -=或0b c -=，即a b =或b c =，∴ABC ∆是等腰三角形课后作业：1.已知y=2x ，则4x 2﹣y 2的值是 ．【分析】首先运用平方差公式将所求的代数式因式分解，然后再代值计算即可．【答案】∵y=2x ，∴2x ﹣y=0，∴4x 2﹣y 2=4x 2﹣y 2=（2x+y ）（2x ﹣y ）=（2x+y ）×0，=0．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式结构，整理出（2x ﹣y ）形式的多项式是解题的关键．2.分解因式：x （x ﹣1）﹣3x+4= ．【解析】首先去括号、合并同类项，再运用完全平方公式分解因式．【答案】x （x ﹣1）﹣3x+4=x 2﹣x ﹣3x+4=x 2﹣4x+4=（x ﹣2）2．【点评】此题考查的是运用公式法进行因式分解，需注意本题应先对所求的代数式进行整理，然后再运用完全平方公式因式分解．3.化简：（a+1）2﹣（a ﹣1）2= ．【解析】运用平方差公式即可解答．【答案】（a+1）2﹣（a ﹣1）2=（a+1+a ﹣1）（a+1﹣a+1）=4a ．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构并灵活运用是解题的关键．4.分解因式x （x+4）+4的结果 ．【解析】先将多项式展开，再利用完全平方公式进行因式分解．【答案】x （x+4）+4=x 2+4x+4=（x+2）2．【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，先利用单项式乘多项式的法则整理成多项式一般形式是解题的关键．5.如果x+y=﹣1，x﹣y=﹣2008，那么x2﹣y2=．【解析】首先把x2﹣y2利用平方差公式进行因式分解，然后代入已知数值即可求出结果．【答案】x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）∵x+y=﹣1，x﹣y=﹣2008∴x2﹣y2=1×2008=2008．故填空2008．【点评】本题考查了公式法分解因式，利用平方差公式把多项式分解，然后整体代入数据计算即可．6.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A、﹣a2+b2B、﹣x2﹣y2C、49x2y2﹣z2D、16m4﹣25n2p2【解析】只要符合“两项、异号、平方形式”，就能用平方差公式分解因式．【答案】A、符合“两项、异号、平方形式”，能用平方差公式分解因式；B、不符合异号，﹣x2和﹣y2是同号的；C、符合“两项、异号、平方形式”，能用平方差公式分解因式；D、符合“两项、异号、平方形式”，能用平方差公式分解因式．故选B．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．7.一次课堂练习，小明做了如下4道因式分解题，你认为小明做得不够完整的一题是（）A、x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2B、x2y﹣xy2=xy（x﹣y）C、x3﹣x=x（x2﹣1）D、x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）【解析】根据提公因式法和公式法分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案】A、B、D都正确；C、分解结果x2﹣1可以继续分解为：（x+1）（x﹣1）．故选C．【点评】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，关键在于检查分解因式是否已经彻底．8.x2﹣y2=48，x+y=6，则x=，y=．【解析】因为x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=48，将x+y=6代入可得x﹣y的值，联立解方程组得x、y的值．【答案】∵x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=48，x+y=6∴x﹣y=8联立，解得．【点评】本题考查了多项式的因式分解与解方程组的综合运用，需要熟练掌握．9.把下列各式因式分解（1）﹣5a2+25a；（2）a2﹣9b2；（3）2x（a﹣3）﹣y（3﹣a）；（4）3x3﹣12x2y+12xy2．【解析】（1）可直接提公因式；（2）可直接按公式法因式分解；（3）先整理符号，再提公因式因式分解；（4）先提公因式，再按公式法因式分解．【答案】（1）﹣5a2+25a=﹣5a（a﹣5）；（2）a2﹣9b2=（a﹣3b）（a+3b）；（3）2x（a﹣3）﹣y（3﹣a）=2x（a﹣3）+y（a﹣3）=（a﹣3）（2x+y）；（4）原式=3x（x2﹣4xy+4y2）=3x（x﹣2y）2．【点评】此题考查因式分解，注意采取什么方法要根据多项式的特点而定，所以要认真观察式子的特点．。

专题4.7 因式分解-十字相乘法（知识讲解）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.pq x q p x +++)(22x bx c ++pq c p q b =ìí+=î()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、十字相乘法1、（2020·内蒙古赤峰市·八年级期末）利用多项式的乘法法则可以推导得出：()()x p x q ++=2x px qx pq+++=()2x p q x pq +++()2x p q x pq +++型式子是数学学习中常见的一类多项式，因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ①因此，利用①式可以将()2x p q x pq +++型式子分解因式．例如：将式子232x x ++分解因式，这个式子的二次项系数是1，常数项221=´，一次项系数312=+，因此利用①式可得()()23212x x x x ++=++．上述分解因式232x x ++的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）这样，我们也可以得到()()23212x x x x ++=++．这种方法就是因式分解的方法之一LL 十字相乘法．a（1）利用这种方法，将下列多项式分解因式：228x x --22712x y xy -+（2）()()2224648a a a a ++++【答案】（1）()()24x x +-；()()34xy xy --；（2）()()22242a a a +++【分析】（1）前一个仿照阅读材料中的方法将原式分解即可，后一个把xy 看作是一个整体，再分解即可；（2）把(24a a +)看作成一个整体，仿照阅读材料中的方法将原式分解，再利用完全平方公式二次分解即可．解：（1）228x x --()()2(24)2(4)24x x x x =+-+´-=+-；22712x y xy -+=()()22(34)(3)(4)34x y xy xy xy +--+-´-=--；（2）()()2224648a a a a ++++()()2224(24)424a a a a =+++++´()()224442a a a a =++++()()22242a a a =+++．【点拨】本题考查了因式分解的方法-十字相乘法和公式法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．注意达到每一个多项式因式不能再分解为止．举一反三：【变式1】．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）26x x +-=（________）（________）；26x x --=（________）（________）；256x x +-=（________）（________）；256x x ++=（_______）（_______）；256x x --=（______）（______）；256x x -+=（______）（______）．【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可得．解：26(3)(2)x x x x +-=+-；26(3)(2)x x x x --=-+；256(6)(1)x x x x +-=+-；256(3)(2)x x x x ++=++；256(6)(1)x x x x --=-+；256(3)(2)x x x x -+=--；故答案为：(3),(2)x x +-；(3),(2)x x -+；(6),(1)x x +-；(3),(2)x x ++；(6),(1)x x -+；(3),(2)x x --．【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．2、（2019·广西百色市·八年级期中）以下是解一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的一种方法：二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1212a a c c ，，，排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若此时满足1221a c a c b +=，那么20(a 0)++=¹ax bx c 就可以因式分解为1122()()0a x c a x c ++=，这种方法叫做“十字相乘法”．那么2611100x x --=按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）A ．(2)(65)0x x -+=B ．(22)(35)0x x +-=C ．(5)(62)0x x -+=D ．(25)(32)0x x -+=【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出()()2611102532x x x x --=-+即可．【详解】∵∴()()26111025320x x x x --=-+=．故选：D ．【点拨】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．举一反三：【变式】（2020·全国八年级课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --； （4）2()3()10x y x y +-+-．【答案】（1）(32)(1)x x +-；（2）(21)(58)x x ++；（3）(35)(43)x y x y -+；（4）(5)(2)x y x y +-++．【分析】（1）直接运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可；（2）ax 2+bx+c （a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：ax 2+bx+c=（a 1x+c 1）（a 2x+c 2）；（3）同（2）；（4）把(x y +)当作一个整体，运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可解：（1）232(32)(1)x x x x --=+-．（2）210218(21)(58)x x x x ++=++．（3）22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+．（4）2()3()10[()5][()2](5)(2)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-++=+-++．【点拨】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．3、（2019·湖南广益实验中学八年级月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如22ax bxy cy ++的关于x ，y 的二次三项式来说，方法的关键是将2x 项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积，即12a a a =·，将2y 项系数c 分解成两个因式1c ，2c 的积，即12c c c =·，并使1221a c a c +正好等于xy 项的系数b ，那么可以直接写成结果：221221()()ax bxy cy a x c y a y c y ++=++例：分解因式：2228x xy y --解：如图1，其中111=´，8(4)2-=-´，而21(4)12-=´-+´所以2228(4)(2)x xy y x y x y --=-+而对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成fk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，mk nj d +=，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py f nx qy k =++++例：分解因式222332x xy y x y +-+++解：如图3，其中111=´，3(1)3-=-´，212=´而2131(1)=´+´-，1(1)231=-´+´，31211=´+´所以222332(1)(32)x xy y x y x y x y +-+++=-+++请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①2263342x xy y -+= ．②22261915x xy y x y --++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．【答案】（1）(27y)(36)x x y --；(235)(23)x y x y +--+；（2）61或-82．【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m 的值即可．解：（1）①如下图，其中623,427(6),332(6)3(7)=´=-´--=´-+´-，所以，2263342(27)(36)x xy y x y x y -+=--；②如下图，其中221,63(2),1553=´-=´--=-´，而12213,1933(5)(2),123(5)1-=-´+´=´+-´-=´+-´，所以，22261915(235)(23)x xy y x y x y x y --++-=+--+；（2）如下图，其中111,189(2),4058=´-=´--=-´，而72119,315(8)1,=-´+´-=´+-´95(8)(2)61m =´+-´-=或9(8)(2)582m =´-+-´=-，∴若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，m 的值为61或-82．【点拨】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键．类型二、十字相乘法综合练习.（2020·重庆西南大学银翔实验中学八年级月考）因式分解（1）3221624x x x -+-（2）()2222224a b c a b +--（3）()()22353x x x x -----（4）333()x y x y +--（5）398x x -+【答案】（1）()()226x x x ---；（2）()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+--；（3）()()()()2132x x x x -+-+；（4）()3xy x y +；（5）()()218x x x -+-【分析】（1）先提取公因式2x -，得到()22812x x x --+，再利用十字相乘法分解即可；（2）直接应用平方差公式和完全平方公式逐步分解即可；（3）将多项式整理成()()2241413x x x x --+----，利用平方差公式计算多项式得到()22242x x ---，再利用平方差公式和十字相乘法逐步分解即可；（4）先计算3()x y +，再合并同类项得到2233x y xy +，直接利用提公因式法分解因式即可；（5）根据1x =时，3980x x -+=，可得398x x -+有一个因式为1x -，即可求解．解：（1）3221624x x x-+-()22812x x x =--+()()226x x x =---；（2）()2222224a b c a b +--()()22222222ab ab a b c a b c =+-+-+-()()2222a b c a b c éùéùëûëû=+---()()()()a b c a b c a b c a b c =+++--+--；（3）()()22353x x xx -----()()2241413x x x x =--+----()22413x x =----()22242x x =---()()224242x x x x =--+---()()2226x x x x =----()()()()2132x x x x =-+-+；（4）333()x y x y +--32233333x x y xy y x y =+++--32233333x x y xy y x y =+++--2233x y xy =+()3xy x y =+；（5）当1x =时，3980x x -+=，∴398x x -+()()218x x x =-+-．【点拨】本题考查分解因式，熟练应用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．举一反三：【变式】（2020·全国八年级单元测试）因式分解：（1）()()22416a b a b +﹣﹣（2）()()()()22310a b a b a b a b +++﹣﹣﹣【答案】（1）-4（3a+b ）（a+3b ）（2）−2（a ＋3b ）（3a ＋2b ）【分析】（1）根据公式法即可因式分解；（2）根据十字相乘法即可因式分解．解：（1）()()22416a b a b --+=()()()()2424a b a b a b a b -++--+éùéùëûëû=（2a−2b+4a+4b ）（2a−2b-4a-4b ）=（6a+2b ）（-2a-6b ）=-4（3a+b ）（a+3b ）（2）()()()()22310a b a b a b a b +++﹣﹣﹣＝[（a−b ）−2（a ＋b ）][（a−b ）＋5（a ＋b ）]=（a−b−2a-2b ）（a−b ＋5a ＋5b ）=（−a-3b ）（6a ＋4b ）＝−2（a ＋3b ）（3a ＋2b ）．【点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知公式法与十字相乘法的应用．。

11 专题14.3 因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法（1）提公因式法：找出最大公因式.（2）公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=± 3.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ),完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab ﹣a ＝ ．【答案】a （b ﹣1）．【解析】提公因式a 即可．ab ﹣a ＝a （b ﹣1）．【点拨】本题考查了提取公因式法因式分解．关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．【例题2】把多项式4a 2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）A ．（4a +1）（4a ﹣1）B ．（2a +1）（2a ﹣1）C ．（2a ﹣1）2D ．（2a +1）2【答案】B12 【解析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a 2﹣b2＝（a +b ）（a ﹣b ）；完全平方公式：a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2；4a 2﹣1＝（2a +1）（2a ﹣1），【点拨】本题考查了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键。

【例题3】分解因式3x 2﹣27y 2＝ ．【答案】3（x +3y ）（x ﹣3y ）【解析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．原式＝3（x 2﹣9y 2）＝3（x +3y ）（x ﹣3y ），【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【例题4】分解因式：xy 2﹣2xy +x ＝ ．【答案】x （y ﹣1）2．【解析】xy 2﹣2xy +x ，＝x （y 2﹣2y +1），＝x （y ﹣1）2．【点拨】提取公因式和完全平方公式结合。

新初中数学因式分解知识点总复习含答案解析(2)一、选择题1．将2x 2a -6xab +2x 分解因式，下面是四位同学分解的结果：①2x （xa -3ab ）， ②2xa （x -3b +1）， ③2x （xa -3ab +1）， ④2x （-xa +3ab -1）． 其中，正确的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C【解析】【分析】直接找出公因式进而提取得出答案．【详解】2x 2a-6xab+2x=2x （xa-3ab+1）．故选：C ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．已知4821-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）A ．61、63B ．61、65C ．61、67D ．63、65 【答案】D【解析】【分析】由()()()()()()24242412686421212121221121=+-=+++--，多次利用平方差公式化简，可解得.【详解】解：原式()()24242121=+-，()()()()()()()()()24121224126624122121212121212163652121=++-=+++-=⨯⨯++ ∴这两个数是63,65.选D.【点睛】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.3．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】D【解析】【分析】首先将原式变形为()()()0b c a b a b --+=，可以得到0b c -=或0a b -=或0a b +=，进而得到b c =或a b =．从而得出△ABC 的形状．【详解】∵22230a b a c b c b -+-=，∴()()220a b c b c b -+-=，∴()()220b c a b --=，即()()()0b c a b a b --+=，∴0b c -=或0a b -=或0a b +=(舍去)，∴b c =或a b =，∴△ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．4．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．22()()()(1)a b a b a b a b +-+=++-B ．236(36)x xy x x x y --=-C ．223311(4)44a b ab ab a b -=- D ．256(1)(6)x x x x --=+- 【答案】D【解析】【分析】 利用提公因式法、十字相乘法法分别进行分解即可．【详解】A. 22()()()(1)+-+≠++-a b a b a b a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意；B. 23-6-(3-6-1)=x xy x x x y ，故此选项因式分解错误，不符合题意；C. 223211(4)44-=-a b ab ab a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意； D. 256(1)(6)x x x x --=+-，故此选项因式分解正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用其他方法进行分解．5．若a2-b2=14，a-b=12，则a+b的值为（）A．-12B．1 C．12D．2【答案】C【解析】【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出．【详解】∵a2－b2=（a+b）(a-b)=12(a+b)=14∴a+b=1 2故选C.点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．6．将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（）A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x【答案】A【解析】【分析】分别将四个选项中的式子与多项式4x2+1结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案.【详解】A、4x2+1+2x，不是完全平方式，不能利用完全平方公式进行因式分解，故符合题意；B、4x2+1-4x=(2x-1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；C、4x2+1+4x4=(2x2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；D 、4x2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意，故选A.【点睛】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键.7．把代数式2x2﹣18分解因式，结果正确的是（）A．2（x2﹣9）B．2（x﹣3）2C．2（x+3）（x﹣3）D．2（x+9）（x﹣9）【答案】C【解析】试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3）．故选C．考点：提公因式法与公式法的综合运用．8．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是A．8a2b=2a·4ab B．-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)C．4x2+8x-4=4x12-xx⎛⎫+⎪⎝⎭D．4my-2=2(2my-1)【答案】D【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．9．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣y2=（x﹣y）2B．a2+a+1=（a+1）2C．xy﹣x=x（y﹣1）D．2x+y=2（x+y）【答案】C【解析】【分析】【详解】解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；C、xy﹣x=x（y﹣1），故此选项正确；D、2x+y无法因式分解，故此选项错误．故选C．【点睛】本题考查因式分解．10．下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A ．22a b -+B ．22249x y m -C ．22x y --D ．421625m n -【答案】C【解析】A 选项-a 2+b 2=b 2-a 2=（b+a ）（b-a ）；B 选项49x 2y 2-m 2=（7xy+m ）（7xy-m ）；C 选项-x 2-y 2是两数的平方和，不能进行分解因式；D 选项16m 4-25n 2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n ）（4m-5n ），故选C ．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是要熟记平方差公式的特征.11．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2B ．x 2+4x+4=（x+2）2C ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2D ．ax 2﹣a=a （x 2﹣1）【答案】B【解析】【分析】因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定.【详解】A 选项,从左到右变形错误,不符合题意,B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意,C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意,D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解,属于分解不彻底,因此不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.12．下列因式分解结果正确的是( )．A ．10a 3+5a 2=5a(2a 2+a)B ．4x 2-9=(4x+3)(4x-3)C ．a 2-2a-1=(a-1)2D ．x 2-5x-6=(x-6)(x+1)【答案】D【解析】【分析】A 可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A 作出判断；而B 符合平方差公式的结构特点，因此可对B 作出判断；C 不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D 可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案.【详解】A 、原式=5a 2(2a+1)，故A 不符合题意；B 、原式=(2x+3)(2x-3)，故B 不符合题意；C 、a 2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C 不符合题意；D 、原式=(x-6)(x+1)，故D 符合题意；故答案为D【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法和十字相乘法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．13．下列各因式分解的结果正确的是（ ）A ．()321a a a a -=-B ．2()b ab b b b a ++=+C ．2212(1)x x x -+=-D ．22()()x y x y x y +=+-【答案】C【解析】【分析】将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根据定义依次判断即可．【详解】 ()321a a a a -=-=a （a+1）（a-1），故A 错误； 2(1)b ab b b b a ++=++，故B 错误；2212(1)x x x -+=-，故C 正确；22x y +不能分解因式，故D 错误，故选：C ．【点睛】此题考查因式分解的定义，熟记定义并掌握因式分解的方法及分解的要求是解题的关键．14．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a-2D ．(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.15．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）A ．4a 2+4a +1=（2a +1）2B ．a 2﹣4b 2=（a ﹣4b ）（a +b ）C ．a 2﹣2a ﹣1=（a ﹣1）2D ．（a ﹣b ）（a +b ）=a 2﹣b 2【答案】A【解析】【分析】直接利用平方差公式和完全平方公式进行分解因式，进而判断得出答案．【详解】A ．4a 2+4a +1=（2a +1）2，正确；B ．a 2﹣4b 2=（a ﹣2b ）（a +2b ），故此选项错误；C ．a 2﹣2a ﹣1在有理数范围内无法运用公式分解因式，故此选项错误；D ．（a ﹣b ）（a +b ）=a 2﹣b 2，是多项式乘法，故此选项错误．故选：A ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．16．若多项式3212x mx nx ++-含有因式()3x -和()2x +，则n m 的值为 （ ） A ．1B ．-1C ．-8D ．18- 【答案】A【解析】【分析】多项式3212x mx nx ++-的最高次数是3，两因式乘积的最高次数是2，所以多项式的最后一个因式的最高次数是1，可设为()x a +，再根据两个多项式相等，则对应次数的系数相等列方程组求解即可．【详解】解：多项式3212x mx nx ++-的最高次数是3，2(3)(2)6x x x x -+=--的最高次数是2，∵多项式3212x mx nx ++-含有因式()3x -和()2x +，∴多项式的最后一个因式的最高次数应为1，可设为()x a +，即3212(3)(2)()++-=--+x mx nx x x x a ，整理得：323212(1)(6)6++-=+--+-x mx nx x a x a x a ，比较系数得：1(6)612m a n a a =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，解得：182m n a =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴811-==n m ，故选：A ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，运用待定系数法设出因式进行求解是解题的关键．17．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A ．ab+ac+d ＝a （b+c ）+dB ．（x+2）（x ﹣2）＝x 2﹣4C ．6ab ＝2a ⋅3bD ．x 2﹣8x+16＝（x ﹣4）2【答案】D【解析】【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．【详解】A 、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；B 、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；C 、等式左边是单项式，不是因式分解，故本选项错误；D 、符合因式分解的定义，故本选项正确．故选D ．【点睛】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．18．已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且满足222244a c b c a b -=-，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】移项并分解因式，然后解方程求出a 、b 、c 的关系，再确定出△ABC 的形状即可得解．【详解】移项得，a 2c 2−b 2c 2−a 4＋b 4＝0，c 2（a 2−b 2）−（a 2＋b 2）（a 2−b 2）＝0，（a 2−b 2）（c 2−a 2−b 2）＝0，所以，a 2−b 2＝0或c 2−a 2−b 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，因此，△ABC 等腰三角形或直角三角形．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a 、b 、c 的关系式是解题的关键．19．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．()21x x x x -=- B ．()22121x x x x -+=-+ C ．()()21323x x x x -+=+- D ．()a b c ab ac -=-【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的意义：把一个多项式转化成几个整式积的形式叫因式分解，可得答案．【详解】解：A 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，符合题意；B 、右边不是整式积的形式，不符合题意；C 、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；D 、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题关键．20．下列不是多项式32633x x x +-的因式的是（ ）A ．1x -B ．21x -C ．xD ．3+3x【答案】A【解析】【分析】将多项式32633x x x +-分解因式，即可得出答案.【详解】解：∵32633x x x +-=23(21)3(21)(1)x x x x x x +-=-+又∵3+3x =3（x+1）∴21x -，x ，3+3x 都是32633x x x +-的因式，1x -不是32633x x x +-的因式. 故选：A【点睛】此题主要考查了提公因式法与十字相乘法的综合运用，熟练应用十字相乘法分解因式是解题关键．。

2020-2021初中数学因式分解真题汇编附答案解析一、选择题1．把代数式2x2﹣18分解因式，结果正确的是（）A．2（x2﹣9）B．2（x﹣3）2C．2（x+3）（x﹣3）D．2（x+9）（x﹣9）【答案】C【解析】试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3）．故选C．考点：提公因式法与公式法的综合运用．2．下列分解因式正确的是（）A．x3﹣x=x（x2﹣1）B．x2﹣1=（x+1）（x﹣1）C．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2D．x2+2x﹣1=（x﹣1）2【答案】B【解析】试题分析：根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解．解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），故本选项错误；B、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故本选项正确；C、x2﹣x+2=x（x﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误；D、应为x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故本选项错误．故选B．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．下列分解因式正确的是（）A．x2-x+2=x（x-1）+2 B．x2-x=x（x-1）C．x-1=x（1-1x）D．（x-1）2=x2-2x+1【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、x2-x+2=x（x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；B、x2-x=x（x-1），故选项正确；C、x-1=x（1-1x），不是分解因式，故选项错误；D、（x-1）2=x2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（）A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣aC．6x2y3＝2x2•3y3D．mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1【答案】A【解析】【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．【详解】解：A、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意；B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；C、6x2y3＝2x2•3y3，不符合因式分解的定义，不合题意；D、mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1不符合因式分解的定义，不合题意；故选：A．【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别．5．把多项式分解因式，正确的结果是（）A．4a2+4a+1=（2a+1）2B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2+b2【答案】A【解析】【分析】本题考查的是因式分解中的平方差公式和完全平方公式【详解】解：A. 4a2+4a+1=（2a+1）2，正确；B. a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误；C. a2﹣2a+1=（a﹣1）2，故此选项错误；D. （a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，故此选项错误；故选A6．已知a ﹣b =2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a ﹣b =2，∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4．故选：B ．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．7．下列运算结果正确的是( )A ．321x x -=B ．32x x x ÷=C ．326x x x ⋅=D ．222()x y x y +=+【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、公式法分解因式逐项进行计算即可得.【详解】A 、3x ﹣2x ＝x ，故A 选项错误；B 、x 3÷x 2＝x ，正确；C 、x 3•x 2＝x 5，故C 选项错误；D 、x 2+2xy+y 2＝(x+y)2，故D 选项错误，故选B.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除、公式法分解因式，熟练掌握相关的运算法则以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.8．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．m （a +b ）＝ma +mbB ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1）D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式．9．把32a 4ab －因式分解，结果正确的是（ ）A ．()()a a 4b a 4b ?+-B ．()22a a 4b ?-C ．()()a a 2b a 2b +-D ．()2a a 2b - 【答案】C【解析】【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式a ，再对余下的多项式继续分解．【详解】a 3-4ab 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）．故选C ．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10．下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．11．多项式2()()()x y a b xy b a y a b ---+-提公因式后，另一个因式为（ ） A ．21x x --B ．21x x ++C ．21x x --D ．21x x +-【答案】B【解析】【分析】各项都有因式y （a-b ），根据因式分解法则提公因式解答.【详解】 2()()()x y a b xy b a y a b ---+-=2()()()x y a b xy a b y a b -+-+-=2()(1)y a b x x -++，故提公因式后，另一个因式为：21x x ++，故选：B.【点睛】此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.12．已知a ，b ，c 满足3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）． A ．0B ．3C ．6D ．9【答案】D【解析】【分析】将等式变形可得2224+=-a b c ，2224+=-b c a ，2224+=-a c b ，然后代入分式中，利用平方差公式和整体代入法求值即可．【详解】解：∵2224a b c ++=∴2224+=-a b c ，2224+=-b c a ，2224+=-a c b∵3a b c ++= ∴222222222+++++---a b b c c a c a b=222444222---++---c a b c a b=()()()()()()222222222-+-+-+++---c c a a b b c ab=222+++++c a b=()6+++c a b=6＋3=9故选D ．【点睛】此题考查的是分式的化简求值题和平方差公式，掌握分式的基本性质和平方差公式是解决此题的关键．13．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2﹣y 2=（x ﹣y ）2B ．a 2+a+1=（a+1）2C ．xy ﹣x=x （y ﹣1）D ．2x+y=2（x+y ）【答案】C【解析】【分析】【详解】解：A 、x 2﹣y 2=（x+y ）（x ﹣y ），故此选项错误；B 、a 2+a+1无法因式分解，故此选项错误；C 、xy ﹣x=x （y ﹣1），故此选项正确；D 、2x+y 无法因式分解，故此选项错误．故选C ．【点睛】本题考查因式分解．14．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．（a +3）（a -3）=a 2-9B ．x 2+x -5=（x -2）（x +3）+1C ．a 2b +ab 2=ab （a +b ）D ．x 2+1=x （x +1x） 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 错误；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C 、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 、因式中含有分式，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．15．某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy 2+6x 2y+3xy=-3xy•（4y-______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）A ．2xB ．-2xC ．2x-1D ．-2x-l【答案】C【解析】【分析】根据题意，提取公因式-3xy ，进行因式分解即可．【详解】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．故选：C ．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化．16．下列各因式分解的结果正确的是（ ）A ．()321a a a a -=-B ．2()b ab b b b a ++=+C ．2212(1)x x x -+=-D ．22()()x y x y x y +=+-【答案】C【解析】【分析】将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根据定义依次判断即可．【详解】 ()321a a a a -=-=a （a+1）（a-1），故A 错误； 2(1)b ab b b b a ++=++，故B 错误；2212(1)x x x -+=-，故C 正确；22x y +不能分解因式，故D 错误，故选：C ．【点睛】此题考查因式分解的定义，熟记定义并掌握因式分解的方法及分解的要求是解题的关键．17．若a 2-b 2=14，a-b=12，则a+b 的值为（ ）A ．-12B ．1C ．12D ．2【答案】C【解析】【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出．【详解】∵a 2－b 2=（a+b ）(a-b)=12(a+b)=14∴a+b=12故选C. 点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．18．下列从左到右的变形属于因式分解的是( )A ．(x ＋1)(x －1)＝x 2－1B ．m 2－2m －3＝m(m －2)－3C ．2x 2＋1＝x(2x ＋1x ) D ．x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3) 【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写出几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、（x+1）（x-1）=x 2-1不是因式分解，是多项式的乘法，故本选项错误； B 、右边不全是整式积的形式，还有减法，故本选项错误；C 、右边不是整式积的形式，分母中含有字母，故本选项错误；D 、x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)符合因式分解的定义，故本选项正确.故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．19．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(3)(2)6x x x x +-=+-B ．24(2)(2)x x x -=+-C ．2323824a b a b =⋅D ．1()1ax ay a x y --=--【答案】B【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A ．是整式乘法，故A 错误；B ．是因式分解，故B 正确；C ．左边不是多项式，不是因式分解，故C 错误；D ．右边不是整式积的形式，故D 错误．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．20．下列因式分解正确的是（ ）A ．()222x xy x x y -=-B ．()()2933x x x +=+- C ．()()()2x x y y x y x y ---=-D ．()22121x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】根据提公因式法和公式法进行判断求解即可.【详解】 A. 公因式是x ，应为()222x xy x x y -=-，故此选项错误； B. 29x +不能分解因式，故此选项错误；C. ()()()()()2x x y y x y x y x y x y ---=--=-，正确；D. ()2221=1x x x x -+=-，故此选项错误.故选：C【点睛】此题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服.。