基于黏弹性人工边界的拱坝动力响应分析

地震动峰值速度与峰值加速度对重力坝动力响应影响胡良明;朱军福;孙奔博【摘要】基于有限元结合应力型黏弹性人工边界的方法,建立了丰满水电站重建工程挡水坝段有限元数值模型,分析了地震动0°输入时不同峰值速度和峰值加速度对重力坝地震反应的影响.结果表明,地震动峰值速度对坝体参考点位移、应力的影响程度明显大于地震动峰值加速度;随着地震动峰值速度的增加,坝体各参考点顺河向位移和竖直向位移都呈现出逐渐增加的趋势;第一主应力和第三主应力分别在坝踵和坝趾处影响程度大.【期刊名称】《水力发电》【年(卷),期】2019(045)007【总页数】6页(P66-71)【关键词】峰值速度;峰值加速度;重力坝;位移;应力;动力响应;丰满水电站重建工程【作者】胡良明;朱军福;孙奔博【作者单位】郑州大学水利与环境学院,河南郑州450001;郑州大学水利与环境学院,河南郑州450001;天津大学建筑工程学院,天津300072【正文语种】中文【中图分类】TV3140 引言地震能够直接对水工结构造成损坏，进而对人民生命财产及国家经济造成难以计量的损失。

长期以来，众多专家学者在地震动峰值加速度对水工结构的影响研究较多，关于峰值速度对混凝土重力坝动力响应的研究较少。

陈健云等[1，2]研究了地震峰值加速度与高拱坝坝体位移、损伤之间的关系，研究结果表明随着地震动强度增加，高拱坝坝体损伤逐渐局部化，由坝体表面向坝体内部发展；孔宪京等[3]以地震峰值加速度PGA为地震动参数研究高面板堆石坝，结果表明高面板堆石坝在地震峰值加速度为0.2 g和0.3 g时会发生一定概率的轻度破坏，较大地震0.6 g时坝体完全破坏；任晓丹[4]模拟了混凝土高坝地震灾变，得到混凝土高坝除了开裂和损伤外有可能发生倒塌灾害；在以上研究基础上，本文结合大有限元软件ANSYS，建立了丰满水电站重力坝挡水坝段的有限元模型，通过此模型模拟0°入射时不同地震动峰值速度对重力坝坝体的地震反应的影响，得到了一些有工程意义的结论，对其他同类型工程设计及安全运行具有参考价值。

基于无限元边界模型的高拱坝损伤开裂数值分析杜玉涛; 朱彤【期刊名称】《《人民长江》》【年(卷),期】2019(050)009【总页数】6页(P175-179,213)【关键词】辐射阻尼; 有限元—无限元; 无质量地基; 拱坝; 抗震分析【作者】杜玉涛; 朱彤【作者单位】大连理工大学海岸及近海工程国家重点实验室辽宁大连 116024【正文语种】中文【中图分类】P319近年来，一批300 m级的高拱坝在我国西南地区建设完成，西南地区地震烈度高，高拱坝的抗震安全问题尤其突出。

坝体抗震研究多采用动力模型试验方法和有限元数值模拟的方法[1-4]。

由于坝体—库水—地基相互作用的模型试验技术尚未成熟，学者多采用数值模拟的方法来研究这一问题。

数值模拟中通常采用无质量地基模型进行抗震分析，但由于未考虑地基的辐射阻尼效应，在工程中应用中是偏于保守的。

为真实反映坝体—地基的相互作用问题，研究者们现已取得了较多的研究成果，包括人工透射边界、比例边界有限元和黏弹性边界方法等[5-11]。

大岗山拱坝位于四川省境内，水平向设计地震峰值加速度为0.557 5 g，是目前我国高坝抗震设防之最，研究其地震响应具有重要意义。

本文采用有限元—无限元耦合模型(下文简称无限元边界模型)来解决坝体—地基相互作用问题，使远场地基边界能严格满足无穷远处位移为零的条件，不会造成地震波在截断边界处的反射误差。

燕柳斌用无限元边界模型模拟了重力坝地基，认为该方法在解决无限地基问题上是有效的[12]。

向前用无限元边界模型模拟了拱坝的无限地基，但其是从基岩处直接输入地震波时程，该方法会在固定边界引起失真的扰动[13]。

目前，无限元边界模型仅对内源振动问题比较有效，对外源入射问题还有待研究。

为了解决外源入射问题，戚玉亮等根据等效边界力的叠加原理，采用将地震动转换为等效应力的方法[14]。

黄胜等采用波场分解的原理给出了人工边界上地震荷载的等效计算公式[15]。

水利与建筑工程学报Joprnai of Watee Resoprees and Architectural Engineering 第3卷第（期2 0 2 1年2月Vol. 19 No. 1Feb. ,202)DOI ：19. 3969/C issc. 9672 - 1144.2021 61631基于黏弹性人工边界条件的岩质边坡动力反应分析景鹏旭6尹 超4,门丽君5,许杰夫6杨清逸4(1中国地震应急搜救中心，北京60042； 2.北京交通大学，北京60055；3.山西工程技术学院，山西阳泉045000 ；4.北京清控人居光电研究院有限公司，北京60089)摘要：基于数值分析方法,以二维岩质边坡为例，通过布置在边界处的弹簧和阻尼器构成黏弹性人工 边界条件,探讨边坡尺寸、形状以及地震波的类型对放大效应的影响。

结果表明地震波频率和坡角是地 震响应的决定性因素，坡高对于边坡特征点(坡脚、坡顶)的变化敏感性较低。

结论如下:对于同一地震 波频率，不同坡高对于地震放大效应的影响较小，差别仅在于边坡越高，坡脚距离坡顶的距离越长，这部分的动力响应越明显;对于同一边坡角度，随着入射地震波的频率越高,坡面的放大系数逐渐增加;对于 同一边坡高度，随着边坡的角度变陡,坡面的放大系数逐渐增加。

综上所述，在岩质边坡抗震设计时应 考虑放大效应的影响。

关键词：岩质边坡;黏弹性边界人工边界;放大效应;频率中图分类号：TU443 文献标识码：A 文章编号：372—134(2021)01—030—05Dynamic Response Analysis of Rock Slope Based onViscoelastic ArtificiaO Boundary ConditionJING Pengxu 1, YIN Chav -, MEN Lijun 5, XU Jiefu 1, YANG Qingyl 3(1. National Earthquake Response Support Service , Beijing 100049, China ；2. Beijing Jiaotong Universito , Beijing 140055 , China ；3. Shanxi Instituto r Techalogy , Yaagquaa , Shanxi 045400 , China ；4. Bejinq Tsinghua Holdings Humag Sethemenie Piqhhng Research Instituto Cn. ,Lth , Bejing 100089 , China)Abstrrci : BwS on tUe dumericai vOysis methoU , this pwer tafes a two - 47x 60X01 roch slope as an example , and discusses the inUuences of the size and shape of the slope and the type of seismic wavv on the ampliXcakon ebeO by forming a viscoelastic artificial bouudam condition with springs and dampem arraoaen at the boundarp. The msuVsshow that seismic wavv 001X0 and slope angle are the decisivv factori Ur seismic response , and slope height is less sehitav te Ovges in slope characteristic 00X01:0 ( slope U o W slope top) : The conclusions are as follows. F os the sameseismic wavv Uequency , diOerent slope heightu havv dss impact on the seismic ampliXcakon effect. The only (11X60- e n ee is that the highes the slope , the longe s the distance betwe e n the slope toe and the slope top , the more odvious thedynamic response of this pan. Fos the same slope angle , as the Uequency of the incident sb s mic wavv is highes , the slope amplification fOctos grafualip increases. Foe the same slope heighw as the slope angle becomes steepe, the slopeampliOcakon factor grafuakp increases. In summarp , the impacts of the amplification effect should be cousideren in theseismic design of roch slopes.Key w ord t : rrck slope ； viscoelastio boundary ； artiOciaO boundary ； ampliOcotion effeci ： frequency收稿日期：2222-S6-77 修稿日期：22229974基金项目：中国地震应急搜救中心青年基金（SJ1991 -作者简介:景鹏旭（699—）男，山西太原人，硕士，工程师，主要从事岩土工程、地震工程等方面的研究工作。

基于OpenSees的二维黏弹性边界单元开发及应用高毅超;刘阳;梅真【摘要】A two-dimensional (2D) viscoelastic boundary element, VS2D2Bar, was developed based on the open source finite element package OpenSees. The applicability of the 2D viscoelastic boundary element was verified with a numerical example, and it was applied to the seismic response analysis of a gravity dam. Numerical results demonstrate that the peak dynamic response of the dam body according to the viscoelastic boundary element model greatly decreases in contrast to that obtained from the massless foundation model with fixed boundary conditions. As a result, the radiation damping effect of the infinite foundation should be considered in seismic response analysis of gravity dams. The results also show that OpenSees is applicable to the seismic response analysis of gravity dams. With a high efficiency in programming and debugging, OpenSees can be easily extended to the static and dynamic analysis of complex hydraulic structures.%基于有限元开源软件OpenSees开发了二维黏弹性边界单元VS2D2Bar,采用数值算例验证了该二维黏弹性边界单元在程序实现上的正确性,并将其应用于重力坝地震响应分析。

静、动力分析中的一种初始地应力场平衡方法作者：郭亚然石文倩李双飞蒋录珍来源：《河北工业科技》2018年第03期摘要：初始地应力场的平衡对于正确分析模拟具有围压依赖性和接触的问题尤其重要，准确模拟初始应力场是后续岩土工程动力响应分析正确与否的关键。

为了实现岩土工程分析中初始竖向位移为零，且初始应力场不影响后续动力分析结果，基于ABAQUS软件，提出一种静、动力分析问题中的初始地应力场平衡方法。

首先将人工边界考虑为固定边界，施加重力场，并求出边界节点上的反力；其次，将节点上的反力施加在黏弹性人工边界模型场地中，进行初始应力场平衡；最后，进行动力分析，并用理论解来验证计算结果。

结果表明：固定边界情况下初始地应力平衡效果好，但不适用于动力分析；黏弹性边界情况下，初始地应力较大，并会影响动力分析结果；将固定边界情况下的边界节点反力施加在黏弹性边界模型上，既能够实现初始应力场较好地平衡，又不会影响动力分析结果。

因此，提出的静、动力问题分析的初始应力场平衡方法合理并且有效，可为后续的岩土工程动力响应分析提供参考。

關键词：地下工程；初始地应力；静、动力分析；黏弹性人工边界条件；ABAQUS中图分类号：TU431文献标志码：Adoi： 10.7535/hbgykj.2018yx03007地应力是存在于地壳中未受工程扰动的天然应力，也称初始地应力，广义上也指地球体内的应力。

初始地应力场必须以“零”位移场的状态输入到有限元计算模型以开展后续的计算分析[1]，这称为初始地应力场平衡。

在基坑、地下结构、挡土墙等岩土工程分析，以及土体固结分析[2]中，都需要平衡初始地应力。

初始应力场对于正确分析模拟具有围压依赖性和接触问题尤为重要，如接触面和目标面间的库仑摩擦力与层间摩擦系数、法向应力和切向刚度均有关[3]。

同时，在土-结构（以下简称土结）动力相互作用分析研究中，定义了土与结构的接触界面上的主从接触面单元来模拟接触面上的滑移、脱开或闭合等接触现象。

966 中国科学E辑工程科学材料科学2005, 35(9): 966~980三维黏弹性静-动力统一人工边界*刘晶波李彬(清华大学土木工程系, 北京 100084)摘要提出了一种发展静-动力统一人工边界的方法, 基于黏弹性动力人工边界和半无限空间中静力问题的基本解, 建立了对动力问题和静力问题均适用的三维黏弹性静-动力统一人工边界.关键词人工边界半无限空间开放系统土-结构相互作用土木工程中的结构-地基系统是一个开放系统, 静力分析和动力分析均涉及半无限地基的模拟问题, 因此合理设置人工边界成为解决土-结构相互作用等问题的关键. 广义上讲, 人工边界可以分为静力人工边界和动力人工边界. 其中静力人工边界由来已久, 比如固定边界、滚轴边界等. 而目前广泛应用的动力人工边界主要是基于单侧波动概念的局部人工边界, 比如黏性边界[1]、黏弹性边界[2~4]1)、透射边界[5]等. 其中黏性边界概念清楚、简单方便, 因而得到了广泛应用[1,6]; 但黏性边界精度不高, 且存在低频失稳问题[3]. 相比而言, 黏弹性边界可以约束动力问题中的零频分量, 能够模拟人工边界外半无限介质的弹性恢复性能, 具有良好的稳定性和较高的精度[2,4]. 目前对需要综合考虑静力效应及动力效应的工程问题普遍采用的方法是分别采用静力人工边界和动力人工边界对静力问题和动力问题分别进行计算, 叠加后得到完整的结果. 但由于叠加原理仅在线弹性小变形范围内适用, 原则上不能应用于涉及非线性或大变形问题的分析, 比如大型拱坝的强地震反应分析、需考虑P-∆效应的高层结构-地基系统的地震反应分析、地下结构-地基系统的静力效应对其动力特性的影响分析等. 因而有必要发展既适用于动力问题又适用于静力问题的静-动力统一人工边界.一般情况下, 动力人工边界和静力人工边界是分别基于动力学和静力学的基本理论建立的, 因而试图从基本理论出发建立静-动力统一人工边界存在着很2004-11-29收稿, 2005-05-04收修改稿*国家973项目(批准号: 2002CB412706)和国家自然科学基金(批准号: 50478014)资助项目1)刘晶波, 王振宇, 杜修力. 波动问题中的三维时域粘弹性人工边界. 工程力学, 2005, 待发表第9期 刘晶波等: 三维黏弹性静-动力统一人工边界 967大的难度. 可行的方法是首先基于动力学(静力学)基本理论, 建立适用于动力问题(静力问题)分析的动力(静力)人工边界; 然后对其进行修正, 使之能够适用于静力问题(动力问题)的分析. 本文将根据这一思路, 基于现有的黏弹性动力人工边界来建立静-动力统一人工边界.1 黏弹性动力人工边界及其鲁棒性分析为了克服黏性动力人工边界精度不高和低频漂移失稳等缺点, Deeks [2]、刘晶波等人[3,4]在假定散射波为二维柱面波的基础上提出了二维黏弹性动力人工边界, 刘晶波等人1)在假定散射波为三维球面波的基础上提出了三维黏弹性动力人工边界. 上述二维和三维黏弹性动力人工边界可以等效为在人工截断边界上设置连续分布的并联弹簧-阻尼器系统, 其中弹簧元件的弹性系数b K 及黏性阻尼器的阻尼系数b C 的计算公式如下:,b G K R α= (1) ,b C c ρ= (2) 式中, ρ和G 分别表示介质的质量密度和剪切模量; R 表示散射波源至人工边界的距离; c 表示介质中的波速, 法向人工边界c 取P 波波速p c , 切向人工边界c 取S 波波速s c ; 参数α根据人工边界的类型及设置方向参照表1取值, 为叙述方便, 在以下的分析中也将人工边界法向和切向的参数α分别记为n α和t α. 显然, 当α取零或R 趋于无穷大时, 弹性系数b K 等于零, 黏弹性动力人工边界即退化为黏性动力人工边界.表1 黏弹性动力人工边界中参数α 的取值类型方向 α平面内法向 2.0 二维人工边界平面内切向 1.5出平面切向 0.5法向4.0 三维人工边界 切向 2.0黏弹性动力人工边界可以方便地与有限元方法结合使用, 只需在有限元模型中人工边界节点的法向和切向分别设置并联的弹簧单元和阻尼器单元[7]1). 以三维黏弹性动力人工边界为例, 具体的实施方法如图1所示. 图中坐标X 和Y 向为人工边界面的切向, Z 向为法向, 弹簧单元的弹性系数K 及阻尼器单元的阻尼系数C 可以根据(1)和(2)式简单地取为1) 见966页脚注968 中国科学 E 辑 工程科学 材料科学 第35卷,i G K A R α=∑ (3) ,i C c A ρ=∑ (4) 式中,∑i A 为人工边界节点所代表的面积, 即图1虚线所包围部分.图1 三维黏弹性动力人工边界的有限元实现下面通过三维线弹性无限空间中的内源问题算例来分析一下三维黏弹性动力人工边界的鲁棒性. 计算模型如图2(a)所示, 介质的质量密度1=ρ, 剪切波速c s = 4, Possion 比v = 0.25. 荷载)(t P 取为Dirac δ函数的有限差分近似, 即 44444113()16()464(1),424G G G G G δττττττ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−−+−−−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦ (5) 式中, /t T τ=为无量纲时间, T 为持续时间(本算例取 1.0 s T =), )()(34τττH G =, )(τH 是Heaviside 阶跃函数. 理论上采用以加载点为球心的球面形状的人工边界可以取得更好的模拟效果, 但为模型处理方便, 实际工程中在进行土-结构动力相互作用分析时往往采用平面形式的人工边界. 本算例也采用平面人工边界, 各人工边界面坐标方程分别为5.0±=b x , 5.0±=b y 和5.0±=b z , 即计算范围取0.5,,0.5x y z −≤≤, 有限元网格尺寸05.0=∆=∆=∆z y x . 为操作方便, 在每一个平面人工边界上R 简单地取同一值, 本算例取为加载点至人工边界面的垂直距离, 即0.5R =. 改变(1)式给出的弹性系数b K 的取值即可研究黏弹性动力人工边界的鲁棒性, 计算时取参数t n αα2=分别为4.0, 2.0, 4/3, 1.0和0.0, 其中, n α取4.0和0.0时分别对应于三维黏弹性动力人工边界和黏性动力人工边界. 图2(b)给出第9期 刘晶波等: 三维黏弹性静-动力统一人工边界 969了观测点)2.0,2.0,2.0(的z 向位移时程. 根据图2(b)可知, 当02 4.0n t αα<=≤时, 黏弹性动力人工边界的精度均优于黏性动力人工边界, 而且当1.02 2.0n t αα<=≤时, 黏弹性动力人工边界具有良好的精度. 以上分析结果表明黏弹性动力人工边界具有良好的鲁棒性, 这为通过修正弹性系数b K 来发展静-动力统一人工边界提供了保证. 本算例也相当于三维黏弹性动力人工边界(0.42==t n αα)中R 分别取为0.5, 1.0, 1.5, 2.0和∞时的结果, 这也证明黏弹性动力人工边界中的R 可以在一个较大范围内取值, 即R 的取值也具有良好的鲁棒性.图2 内源问题算例(a) 内源问题示意图, (b) 观测点的z 向位移时程黏弹性动力人工边界概念清晰, 公式简单, 具有较高的精度和良好的稳定性及鲁棒性. 目前已经在土-结构动力相互作用问题中得到成功的应用[7~9]. 但黏弹性动力人工边界是基于均匀无限弹性空间中的波动理论提出的, 虽然弹簧元件970 中国科学 E 辑 工程科学 材料科学 第35卷的存在可以保证所隔离的计算系统是稳定的, 但直接将其用于静力问题会导致较大误差. 另外, 半无限空间中除了存在P 波、S 波等体波之外还存在Rayleigh 波等面波, 这决定了半无限空间弹性波场与无限空间波场之间的差别, 尤其是在半无限空间自由表面附近. 因此为更好地模拟工程中的弹性半空间模型, 也有必要对三维黏弹性动力人工边界实施修正[10].2 三维黏弹性静-动力统一人工边界原则上, 动力人工边界的确定是一个低频问题[11], 文献[10]和[12]指出: 对于采用弹簧及阻尼器构建的动力人工边界, 计算精度取决于其静力特性. 根据这一标准, 如果能够修正黏弹性动力人工边界, 使之用于静力问题时具有足够高的精度, 则其对动力问题的模拟精度也可能得到进一步提高. 换言之, 将黏弹性动力人工边界修正为既适用于静力问题又适用于动力问题的黏弹性静-动力统一人工边界是提高其精度的一种有效途径.黏弹性边界对静力问题的模拟精度完全取决于弹性系数b K 的取值, 因而参照半无限空间中静力问题基本解对参数α进行修正是必要的. 考查半无限空间自由表面上受法向集中力或切向集中力作用问题, 如图3所示. 根据Boussinesq 解答及Cerruti 解答[13], 半无限空间中给定截面上某一点的应力及其相应位移之间的比例系数可写为(1)式的形式, 如表2所示, 其中参数α为柱面坐标r 和z 或者直角坐标x , y 和z 的函数.图4给出了Possion 比25.0=ν时表2中各参数α的取值, 图中R 表示加载点至给定截面的垂直距离, d 表示给定截面上点的位置坐标, 对于1α和2α, r d =; 对于5α和6α, x d =; 对于3α, 4α, 7α和8α, z d =. 需要说明的是当0≠y 时,图3 半无限空间自由表面上受集中力作用问题(a) Boussinesq 问题, (b) Cerruti 问题第9期 刘晶波等: 三维黏弹性静-动力统一人工边界 971表2 Boussinesq 和Cerruti 问题中给定截面上点的应力及其相应位移之间的比例系数截面位置法向 切向 底面b z z =11z b z b G K u z σα=−= 22rz b r b G K u z τα=−= Boussinesq 问题侧面b r r =33r b r bG K u r σα=−= 44rz b z b G K u r τα=−= 底面b z z = 55z b z bG K u z σα=−= 66xz b x b G K u z τα=−= Cerruti 问题 侧面b x x = 77xb x b G K u x σα=−= 88xz b zb G K u x τα=−=参数5α, 6α, 7α和8α的取值将减小. 根据图4, 2α与3α存在奇异点且在一定范围内取负值, 这导致2b K 与3b K 在某些区域内无法采用普通的弹簧元件加以模拟.根据上述弹性半空间静力问题基本解的特点及现有的黏弹性动力人工边界, 考虑到土木工程中涉及的静力效应多为自重引起, 本文建议计算模型底面人工边界的法向参数α取为1α; 考虑到7α与1α相似, 并为简单起见, 模型侧面法向参数α也取为1α; 模型底面切向参数α按三维黏弹性动力人工边界切向参数α取值; 模型侧面切向参数α参照4α取值, 并简单地取为0.5, 这与二维黏弹性动力人工边界切向参数α一致. 表3给出了修正后黏弹性人工边界的参数α的具体取值.表3 三维黏弹性静-动力统一人工边界中参数α 的取值人工边界位置方向 α 法向 α * 模型底面切向 2.0法向α * 模型侧面 切向 0.5表3中人工边界面法向参数*α的具体计算公式为 2226*,2(1)11d d R R αν=⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞−+++⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (6)式中, ν为Possion 比, d 为位置坐标, R 为荷载作用点到人工边界点的距离. 对于底面人工边界, (6)式中的变量d r =; 对于侧面人工边界, d z =. 对于集中荷载, R 可取为加载点至人工边界的垂直距离; 对于分布荷载, R 可取为分布荷载中心至人工边界的垂直距离. 如果研究的是散射问题, 则R 为散射源至人工边界的垂直972中国科学E辑工程科学材料科学第35卷图4 表2中各参数α 的取值第9期 刘晶波等: 三维黏弹性静-动力统一人工边界 973距离.算例表明参考静力问题基本解修正后的黏弹性人工边界对三维半无限空间中的动力问题和静力问题均具有很高的模拟精度, 可称之为三维黏弹性静-动力统一人工边界.3 数值算例3.1 半无限空间自由表面受法向集中力作用问题半无限空间模型如图3(a)所示, 介质的质量密度1=ρ, 剪切波速4=s c , Possion 比25.0=ν. 静力问题中取荷载1=P , 理论解已由Boussinesq 给出[13]; 将静力荷载P 改为动力荷载)(t P 即为三维Lamb 表面源问题, 计算时)(t P 取(5)式给出的δ函数, 理论解可由Lamb 问题基本解[14]积分求得. 计算范围取0.5,0.5x y −≤≤,0 1.0z ≤≤; 网格尺寸05.0=∆=∆=∆z y x . 各人工边界面上分别施加静-动力统一人工边界、三维黏弹性动力人工边界、黏性边界、滚轴边界等, 计算中R 取为加载点至人工边界面的垂直距离.图5给出了Lamb 问题中自由表面上距离加载点r 处观测点的法向位移时程, 实际计算时考虑了加载点分别为原点)0,0,0(或者A 点)0,2.0,2.0(两种情况, 图5(c)中1和2分别代表坐标为)0,4.0,2.0(和)0,0,2.0(的观测点. 根据图5, 黏性边界导致了明显的漂移失稳; 三维黏弹性动力人工边界虽然没有失稳现象发生, 但弹性系数偏大; 黏弹性静-动力统一人工边界不仅具有良好的稳定性, 精度也明显优于其他两种人工边界. 根据图5(c)还可以发现, 对于非对称问题, 采用静-动力统一人工边界的计算结果基本取决于观测点与加载点之间的距离r , 而与观测点是否靠近人工边界没有明显关系, 而黏性和黏弹性人工边界则有明显差别, 这也进一步说明了黏弹性静-动力统一人工边界具有更好的模拟精度.图6给出了原点加载时静力问题(Boussinesq 问题)的计算结果. 根据图6, 对于主要位移分量z u , 黏弹性静-动力统一人工边界的精度明显高于其他两种人工边界, 即使在人工边界面0.1=z 上, 其精度也没有明显降低. 值得一提的是, 根据图4, 当0.15/0.36z R ≤≤时, r σ与r u 之间的关系是无法采用普通弹簧模拟的, 但静-动力统一人工边界的精度仍然很高.3.2 半无限空间自由表面受切向集中力作用问题如图3(b)所示, 选取计算范围为1,1x y −≤≤, 01z ≤≤, 集中荷载作用于原点, 作用方向与x 轴重合, 各人工边界面上的参数R 均取1.0, 其他参数同3.1. 图7和8分别给出了动力问题和静力问题的计算结果, 其中静力问题的理论解是由Cerruti 给出的[13], 动力问题的理论解是扩展边界的有限元解. 根据图7和8,974中国科学E辑工程科学材料科学第35卷图5 Lamb问题中观测点的z向位移时程(竖向荷载)(a) r = 0.2 (原点加载), (b) r = 0.4 (原点加载), (c) r = 0.2 (A点加载)第9期 刘晶波等: 三维黏弹性静-动力统一人工边界 975图6 Boussinesq 问题位移解(原点加载)(a) 自由表面z = 0.0, (b) 平面z = 0.5三维黏弹性静-动力统一人工边界对由水平荷载作用下的动力问题仍然明显优于其他两种动力人工边界. 对静力问题而言, 水平位移分量的计算精度较高, 但对于z 向位移分量的精度较低. 考虑到土木工程动力问题分析计算中需考虑的静力效应一般是由结构的自重, 即由竖向荷载引起的, 因而这一缺点对三维黏弹性静-动力统一人工边界的实际应用影响不大.3.3 成层半无限空间自由表面受法向均布荷载作用问题如图9所示, 半无限空间0z ≥由两层介质构成, 00.5z ≤≤时, 1=ρ, 2=s c , 30.0=v ; 5.0>z 时,1=ρ, 4=s c , 25.0=v ; 自由表面上法向均布荷载)(t p 的作用范围为0.5,0.5x y −≤≤, 荷载)(t p 仍取(5)式所示δ函数, 其他参数同3.2. 图10给出了两观测点的z 向位移时程, 其中理论解为扩展边界的有限元(a) 观测点(0.5,0,0), (b) 观测点(0,0.5,0), (c) 观测点(0,0,0.5)图8 Cerruti 问题位移解(a) y = 0, z = 0.25; (b) y = 0, z = 0.50解. 根据图10, 三维黏弹性静-动力统一人工边界完全可以应用于成层半无限空间中的动力问题分析, 而且仍然具有很高的精度和良好的稳定性, 明显优于黏性或黏弹性动力人工边界.3.4 散射问题算例考查半无限空间0z ≥, 质量密度ρ =2 g/cm 3, 100m/s s c =, Possion 比ν = 0.25.自由表面附近6,6m x y −≤≤, 0≤ z ≤6 m 范围内为一基坑. 利用对称性取如图11所示计算模型, 计算范围取为0≤,,20m x y z ≤, 网格尺寸2m.x y z ∆=∆=∆= 各人工边界面上分别施加三维黏图9 成层半无限空间问题模型图10 成层半无限空间自由表面受法向均布荷载作用问题(a) 点(0.5,0,0)的z向位移时程, (b) 点(0.5,0,0.5)的z向位移时程弹性静-动力统一人工边界、三维黏弹性动点至人工边界面的垂直距离. 假定一S波δ沿z轴入射, 振动方向平行于x脉冲()t轴, 脉冲如(5)式所示(T=0.5s). 波动输入参照文献[4]实现. 图12给出了观测点A和B的x向位移时程, 其中理论解为扩展边界的有限元解. 根据图12可知, 对于散射问题而言，三维黏弹性静-动力统一人工边界仍然具有很高的精度和良好的稳定性.图11 散射问题算例示意图图12 观测点的x向位移时程(a) 观测点A, (b) 观测点B4结论本文提出了一种发展静-动力统一人工边界的方法, 并在分析半无限空间中Boussinesq问题及Cerruti问题的基础上, 根据现有的黏弹性动力人工边界提出了三维黏弹性静-动力统一人工边界. 新的人工边界物理概念清晰, 计算公式简单, 而且易于有限元实现. 数值算例表明, 对于动力问题, 黏弹性静-动力统一人工边界明显优于黏性或黏弹性动力人工边界, 具有很高的精度和良好的稳定性; 对于静力问题, 黏弹性静-动力统一人工边界仍然具有令人满意的精度, 并且优于目前静力问题分析中常采用的滚轴边界. 这突破了以往的人工边界不能兼顾静力问题和动力问题的局限, 可以更为合理而方便地模拟土木工程中需同时考虑静力影响的土-结构动力相互作用问题.参考文献1 Lysmer J, Kulemeyer R L. 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