3.4(4)实际问题与一元一次方程--劳力调配问题
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§ 3.4实际问题与一元一次方程(知识要点)一、销售问题在生活中,人们购买商品和销售商品时,经常会遇到进价、原价(标价)、售价、打折等概念,在了解这些概念后,还必须熟悉销售问题中的两个基本关系式:① 利润=售价-进价; ② 利润率=进价利润×100%. 在①式中若等式左边的“利润”为正,就是盈利;若为负,就是亏损;由①和②式可以得到:利润=售价-进价=利润率×进价。
【例1】 某商店将某种服装按进价提高30%作为标价,又以九折优惠卖出,结果仍可获利17元,则这种服装每件进价是多少元?分析:此题要用的等量关系是:利润=售价-进价,如果把进价设为x 元,则标价为(1+30%)x ,打九折后售价为0.9×(1+30%)x ,再减去进价x 元得到的就是利润17元。
解:设这种服装每件的进价为x 元,依题意列方程为:0.9×(1+30%)x -x =17解得x =100答:这种服装的进价是100元。
练习:某商店对一种商品进行调价,按原价的八折出售,打折后利润率是20%,已知商品的原价是63元,求该商品的进价?二、行程问题1、相遇问题:主要是指两车(戓人)从两地同时相向而行。
其基本等量关系为两车(戓人)所行的路程这和恰好等于两地的距离;两车(或人)人开始行驶到相遇所用的时间相等。
2、追赶问题:主要是指甲、乙同向而行,快者追慢者称为追赶问题。
① 基本公式:速度差×追赶时间=被追赶的路程;② 对于同向同地不同时出发的问题有相等关系:追赶者行进路程=被追赶者行进路程; ③ 对于同时同向不同地出发的问题有等量关系:追赶者的行驶时间=被追赶者的行驶时间。
3、航行问题:基本公式:顺水速度=静水速度+水速,逆水速度=静水速度-水速 顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速 符号公式:v 顺水=v 静水+v 水 v 顺风=v 无风+v 风v 逆水=v 静水-v 水 v 逆风=v 无风-v 风 4、行程问题一般都能通过画线段示意图来分析,通过线段示意图,等量关系就能直观地显示出来,进而用方程表示出来。
七年级数学:一元一次方程应用题劳动力调配问题常考题型解
题技巧
一元一次方程应用题劳力调配问题在考试中也是很常见,解答这类题型需要掌握这三点数量关系:(1)既有调入又有调出;(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。
这类题目广泛的讲还包括两个仓库的库存调配问题,包括两个水池的出水进水问题,包括人员坐车调配问题等等。
其实,所有的应用题都来源于生活,我们就用生活里常用的方法去答题即可。
例题1,这个题目对于初学者来说,是有些许难度的。
因为这不仅仅只是一个劳动力分配问题,而且还考查了产品配套问题。
例题2,这个就是纯粹的劳动力的调配问题,也非常的简单。
既有调入,又有调出。
最后得到一个数量关系就是甲队剩下来的人数是原乙队人数的一半还多15人。
例题3,这个题目用了两种解法。
解法一,是一元一次方程。
解法二是二元一次方程。
同学们可以对比学习一下。
例题4,这个就是人员坐车分配问题。
设X辆汽车,抓住学生总人数不变这个等量关系,根据题意列出方程即可。
仔细观察和分析题目中的已知条件,熟知一元一次方程应用是解决这类题目的关键。
实际问题与一元一次方程(基础版)含答案【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤;2.熟悉行程,工程,配套及和差倍分问题的解题思路.【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为:问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答.由此可得解决此类 题的一般步骤为:审、设、列、解、检验、答.技巧小结:(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系;(2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x ,但有时也可以间接设未知数;(3)“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量,列出方程,同时注意方程两边是同一类量,单位要统一;(4)“解”就是解方程,求出未知数的值;(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,及时指出,舍去即可;(6)“答”就是写出答案,注意单位要写清楚.知识点二、常见列方程解应用题的几种类型1.和、差、倍、分问题(1)基本量及关系:增长量=原有量×增长率,现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量.(2)寻找相等关系:抓住关键词列方程,常见的关键词有:多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等.2.行程问题(1)三个基本量间的关系: 路程=速度×时间(2)基本类型有:①相遇问题(或相向问题):Ⅰ.基本量及关系:相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ.寻找相等关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离. ②追及问题:Ⅰ.基本量及关系:追及路程=速度差×追及时间Ⅱ.寻找相等关系:第一, 同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;第二, 第二,同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.③航行问题:Ⅰ.基本量及关系:顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度,顺水速度-逆水速度=2×水速;Ⅱ.寻找相等关系:抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析.3.工程问题如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式:(1)总工作量=工作效率×工作时间;(2)总工作量=各单位工作量之和.4.调配问题寻找相等关系的方法:抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.【活学活用】类型一、和差倍分问题例1.(2016•黄冈)在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中,七年级和八年级共收到征文118篇,且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,求七年级收到的征文有多少篇?【思路点拨】设七年级收到的征文有x篇,则八年级收到的征文有(118﹣x)篇.结合七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,即可列出关于x的一元一次方程,解方程即可得出结论.【答案解析】解:设七年级收到的征文有x篇,则八年级收到的征文有(118﹣x)篇,依题意得:(x+2)×2=118﹣x,解得:x=38.答:七年级收到的征文有38篇.【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是列出方程(x+2)×2=118﹣x.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据数量关系列出方程(或方程组)是关键.举一反三:【变式】(2015•南充)学校机房今年和去年共购置了100台计算机,已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍,今年购置计算机的数量是()A. 25台B. 50台C. 75台D. 100台【答案解析】C.解:设今年购置计算机的数量是x台,去年购置计算机的数量是(100﹣x)台,根据题意可得:x=3(100﹣x),解得:x=75.类型二、行程问题1.一般问题例2.小山娃要到城里参加运动会,如果每小时走4千米,那么走完预订时间离县城还有0.5千米,如果他每小时走5千米,那么比预订时间早半小时就可到达县城.试问学校到县城的距离是多少千米?【答案解析】解:设小山娃预订的时间为x 小时,由题意得:4x+0.5=5(x-0.5),解得x =3.所以4x+0.5=4×3+0.5=12.5(千米).答:学校到县城的距离是12.5千米.【总结升华】当直接设未知数有困难时,可采用间接设的方法.即所设的不是最后所求的,而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量.举一反三:【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶,上坡的速度为10千米/时,下坡的速度为20千米/时,求汽车的平均速度.【答案解析】解:设这段坡路长为a 千米,汽车的平均速度为x 千米/时,则上坡行驶的时间为10a 小时,下坡行驶的时间为20a 小时.依题意,得:21020a a x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 化简得: 340ax a =.显然a ≠0,解得1133x =.答:汽车的平均速度为1133千米/时.2.相遇问题(相向问题)例3. A 、B 两地相距100km ,甲、乙两人骑自行车分别从A 、B 两地出发相向而行,甲的速度是23km/h ,乙的速度是21km/h ,甲骑了1h 后,乙从B 地出发,问甲经过多少时间与乙相遇?【答案解析】解:设甲经过x 小时与乙相遇.由题意得:()2312321(1)100x ⨯++-=.解得,x=2.75.答:甲经过2.75小时与乙相遇.【总结升华】等量关系:甲走的路程+乙走的路程=100km举一反三:【变式】甲、乙两人骑自行车,同时从相距45km 的两地相向而行,2小时相遇,每小时甲比乙多走2.5km ,求甲、乙每小时各行驶多少千米?【答案解析】解:设乙每小时行驶x 千米,则甲每小时行驶(x +2.5)千米,根据题意,得:2( 2.5)245x x ++=.解得:10x =.2.510 2.512.5x +=+=(千米)答:甲每小时行驶12.5千米,乙每小时行驶10千米3.追及问题(同向问题)例4.一队学生去校外进行军事野营训练,他们以5千米/时的速度行进,走了18分钟时,学校要将一紧急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去,通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?【答案解析】解:设通讯员x 小时可以追上学生队伍,则根据题意, 得18145560x x =⨯+. 得:16x =, 16小时=10分钟. 答:通讯员用10分钟可以追上学生队伍.【总结升华】追及问题:路程差=速度差×时间,此外注意:方程中x 表示小时,18表示分钟,两边单位不一致,应先统一单位.4.航行问题(顺逆流问题)例5.一艘船航行于A 、B 两个码头之间,轮船顺水航行需3小时,逆水航行需5小时,已知水流速度是4千米/时,求这两个码头之间的距离.【答案解析】解法1:设船在静水中速度为x 千米/时,则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时,逆水航行的速度为(x-4)千米/时,由两码头的距离不变得方程:3(x+4)=5(x-4),解得:x=16,(16+4)×3=60(千米).答:两码头之间的距离为60千米.解法2:设A 、B 两码头之间的距离为x 千米,则船顺水航行时速度为3x 千米/时,逆水航行时速度为5x 千米/时,由船在静水中的速度不变得方程:4435x x -=+,解得:60x =.答:两码头之间的距离为60千米.【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度;逆流速度=静水速度-水流速度,根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程.类似地,当物体在空中飞翔时,常会遇到顺风逆风问题,解题思路类似顺逆流问题.类型三、工程问题例6.一个水池有两个注水管,两个水管同时注水,10小时可以注满水池;甲管单独开15小时可以注满水池,现两管同时注水7小时,关掉甲管,单独开乙管注水,还需要几小时能注满水池?【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”,设乙管还需x 小时可以注满水池;那么甲乙合注1小时注水池的110,甲管单独注水每小时注水池的115,合注7小时注水池的710,乙管每小时注水池的111015⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【答案解析】解:设乙管还需x 小时才能注满水池.由题意得方程:1171101510x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 解此方程得:x =9.答:单独开乙管,还需9小时可以注满水池.【总结升华】工作效率×工作时间=工作量,如果没有具体的工作量,一般视总的工作量为“1” .举一反三:【变式】修建某处住宅区的自来水管道,甲单独完成需14天,乙单独完成需18天,丙单独完成需12天,前7天由甲、乙两人合作,但乙中途离开了一段时间,后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?【答案解析】解:设乙中途离开x 天,由题意得:1117(72)21141812x ⨯+-++⨯=. 解得:3x =.答:乙中途离开了3天.类型四、调配问题(比例问题、劳动力调配问题)例7.(2015春•衡阳校级月考)某班分两组去两处植树,第一组22人,第二组26人.现第一组在植树中遇到困难,需第二组支援.问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍?设抽调x 人,则可列方程( )A . 22+x=2×26B . 22+x=2(26﹣x )C . 2(22+x )=26﹣xD . 22=2(26﹣x )【思路点拨】设抽调x 人,则调后一组有(22+x )人,第二组有(26﹣x )人,根据关键语句:使第一组的人数是第二组的2倍列出方程即可.【答案解析】B .解:设抽调x 人,由题意得:(22+x )=2(26﹣x ),【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程,关键是正确理解题意,表示出调后两个组的人数.举一反三:【变式】甲队有72人,乙队有68人,需要从甲队调出多少人到乙队,才能使甲队恰好是乙队人数的34.【答案解析】:设从甲队调出x 人到乙队.由题意得,()372684x x -=+. 解得,x=12. 答:需要从甲队调出 12人到乙队,才能使甲队恰好是乙队人数的34 .【巩固练习】一、选择题1. 一个长方形的周长为26 cm, 这个长方形的长减少1 cm, 宽增加2 cm, 就可成为一个正方形, 设长方形的长为 x cm, 则可列方程 ( ) .A. ()2261+-=-x xB. ()2131+-=-x xC. ()2261--=+x xD. 2)13(1--=+x x2.飞机逆风时速度为x 千米/小时,风速为y 千米/小时,则飞机顺风时速度为 ( ) .A .()x y +千米/小时B .()x y -千米/小时C .(2)x y +千米/小时D .(2)x y +千米/小时3.(2016•聊城)在如图的2016年6月份的月历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的和不可能是()A.27 B.51 C.69 D.724. 甲能在11天内独立完成某项工作, 乙的工作效率比甲高10%, 那么乙独立完成这项工作的天数为 ( ) .A.10天 B. 12.1天C.9.9天D.9天.5.甲列车从A地以50千米/时的速度开往B地,1小时后,乙列车从B地以70千米/时的速度开往A地,如果A,B两地相距200千米,则两车相遇点距A地( )千米.A. 100B. 112C. 112.5D. 114.56.(2015春•宁波期中)某班同学去划船,若每船坐7人,则余下5人没有座位;若每船坐8人,则又空出2个座位.这个班参加划船的同学人数和船数分别是()A. 47,6 B. 46,6 C. 54,7 D. 61,8二、填空题7.湘潭历史悠久,因盛产湘莲,被誉为“莲城”.李红买了8个湘莲,付50元,找回38元,设每个湘莲的价格为x元,根据题意,列出方程为______________.8.某校用56m长的篱笆围成一个长方形的生物园,要使长为16 m,则宽为________m.9.小明和他父亲的年龄之和为54,又知父亲年龄是小明年龄的3倍少2岁,则他父亲的年龄为____岁.10.甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步,已知甲每秒钟跑9米,乙每秒钟跑7米.(1)当两人同时同地背向而行时,经过________秒钟两人首次相遇;(2)两人同时同地同向而行时,经过________秒钟两人首次相遇.11.(2016春•原阳县校级月考)某水池有甲进水管和乙出水管,已知单开甲注满水池需6h,单开乙管放完全池水需要9h,当同时开放甲、乙两管时需要h水池水量达全池的.12.王会计在结账时发现现金少了153.9元,查账时得知是一笔支出款的小数点看错了一位.王会计查出这笔看错了的支出款实际是________元.三、解答题13. A、B两地相距216千米,甲、乙分别在A、B两地,若甲骑车的速度为15千米/时,乙骑车的速度为12千米/时。
一元一次方程的应用劳力调配问题一、目的要求1.使学生能分析劳力调配问题中已知数和未知数的相等关系,列出一元一次方程解简单的应用题。
2.使学生能从应用题所求的两个未知数中选择一个,通过列方程求出这个未知数的值后,再利用它与另一个未知数以及某些已知数的关系,求得另一个未知数的值。
二、内容分析例5、例6是本小节的第三个小阶段。
例5的要求与例1~例4稍有不同:题目要求出两个未知数;这两个未知数被合在一起提问,虽然在实质上与分开提问是等同的,但是这两个未知数必须合在一起考虑,也就是说不论设哪一个未知数为X,所列出的一元一次方程中必然同时包含这两个未知数。
这就使得例5比起例1~例4稍微复杂一些。
为了更好地实现这一过渡,我们已在第19;20课课外作业的习题和补充题中作了一些孕伏。
这类题也可暂时看作B组题,但很快就会变成A组题。
例5的内容很有实际意义,题意不难理解。
在所问的两个未知数中,不论设哪一个为x,方程都容易列出。
所以对于例5来说,只要求学生弄清题意,随便设所问两个未知数中的一个为x,根据相等关系列出一元一次方程来解决它。
这显然是为今后正确选元使得列方程和解方程较为简单作好准备。
三、教学过程复习提问:1.列出一元一次方程解应用题的五个步骤中,第一个步骤是什么?(弄清题意和题目中的数量关系,用字母表示题目中的一个未知数。
)2.这里“一个”两字说明:未知数可能只有一个,也可能不止一个。
如果题目要求出两个未知数的值,我们如何通过列出一元一次方程去解决它们呢?(可以先设这两个未知数中的一个为x,根据相等关系列出一元一次方程求出x的值,再根据x的值求出另一个未知数的值。
)注意:学生在学例5前,一般不可能想到,在“先设这两个未知数中的一个为x”与“根据相等关系列出一元一次方程求出x的值”之间,应插入“把另一个未知数用x的代数式表示出来”这句话。
但没有这句话也无关系,不犯科学性错误,所以不应要求学生说全说好。
新课讲解:让学生阅读例5的题目,帮助学生分析题意,然后提问:1.这道题已知的是什么?相等关系是什么?(把相等关系写在大黑板上。
实际问题与一元一次方程(一)(提高)知识讲解【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤;2.熟悉行程,工程,配套及和差倍分问题的解题思路.【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为:问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答.由此可得解决此类 题的一般步骤为:审、设、列、解、检验、答.要点诠释:(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系;(2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x ,但有时也可以间接设未知数;(3)“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量,列出方程,同时注意方程两边是同一类量,单位要统一;(4)“解”就是解方程,求出未知数的值;(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,及时指出,舍去即可;(6)“答”就是写出答案,注意单位要写清楚.要点二、常见列方程解应用题的几种类型(待续)1.和、差、倍、分问题(1)基本量及关系:增长量=原有量×增长率,现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量.(2)寻找相等关系:抓住关键词列方程,常见的关键词有:多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等.2.行程问题(1)三个基本量间的关系: 路程=速度×时间(2)基本类型有:①相遇问题(或相向问题):Ⅰ.基本量及关系:相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ.寻找相等关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离. ②追及问题:Ⅰ.基本量及关系:追及路程=速度差×追及时间Ⅱ.寻找相等关系:第一, 同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;第二, 第二,同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.③航行问题:Ⅰ.基本量及关系:顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度,顺水速度-逆水速度=2×水速;Ⅱ.寻找相等关系:抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析.3.工程问题如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式:(1)总工作量=工作效率×工作时间;(2)总工作量=各单位工作量之和.4.调配问题寻找相等关系的方法:抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.【典型例题】类型一、和差倍分问题1.旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%,第二次旅程中用去剩余汽油的40%,这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤,求油箱里原有汽油多少公斤?【答案与解析】解:设油箱里原有汽油x 公斤,由题意得:x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%解得:x=10答:油箱里原有汽油10公斤.【点评】等量关系为:油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.举一反三:【变式】某班举办了一次集邮展览,展出的邮票若平均每人3张则多24张,若平均每人4张则少26张,这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?【答案】解:设这个班有x 名学生,根据题意得:3x+24=4x -26解得:x =50所以3x+24=3×50+24=174答:这个班有50名学生,一共展出了174张邮票.类型二、行程问题1.车过桥问题2. 某桥长1200m ,现有一列匀速行驶的火车从桥上通过,测得火车从上桥到完全过桥共用了50s ,而整个火车在桥上的时间是30s ,求火车的长度和速度.【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义.【答案与解析】解:设火车车身长为xm ,根据题意,得:120012005030x x +-=, 解得:x =300,所以12001200300305050x ++==. 答:火车的长度是300m ,车速是30m/s .【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况,借助线段图分析如下(注:A 点表示火车头):(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示,此时火车走的路程是桥长+车长.(2)火车完全在桥上如图(2)所示,此时火车走的路程是桥长-车长.由于火车是匀速行驶的,所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度=整个火车在桥上的速度.举一反三:【变式】某要塞有步兵692人,每4人一横排,各排相距1米向前行走,每分钟走86米,通过长86米的桥,从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟?【答案】解:设从第一排上桥到排尾离桥需要x 分钟,列方程得:6928611864x ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭, 解得:x =3答:从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟.2.相遇问题(相向问题)3.小李骑自行车从A 地到B 地,小明骑自行车从B 地到A 地,两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12点,两人又相距36千米.求A 、B 两地间的路程.【答案与解析】解:设A 、B 两地间的路程为x 千米,由题意得:363624x x -+= 解得:x =108.答:A 、B 两地间的路程为108千米.【点评】根据“匀速前进”可知A 、B 的速度不变,进而A 、B 的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和/时间可得方程.举一反三:【高清课堂:实际问题与一元一次方程(一)388410二次相遇问题】【变式】甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两站同时开出,相向而行,途中相遇后继续沿原路线行驶,在分别到达对方车站后立即返回,两车第二次相遇时距A 站34km ,已知甲车的速度是70km/h ,乙车的速度是52km/h ,求A 、B 两站间的距离.【答案】解:设A 、B 两站间的距离为x km ,由题意得:234347052x x -+= 解得:x=122答: A 、B 两站间的距离为122km. 3.追及问题(同向问题)4.一辆卡车从甲地匀速开往乙地,出发2小时后,一辆轿车从甲地去追这辆卡车,轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米,但轿车行驶一小时后突遇故障,修理15分钟后,又上路追这辆卡车,但速度减小了13,结果又用两小时才追上这辆卡车,求卡车的速度. 【答案与解析】解:设卡车的速度为x 千米/时,由题意得:1122(30)(1)(30)243x x x x x x +++=++-⨯+⨯ 解得:x=24答:卡车的速度为24千米/时.【点评】采用“线示”分析法,画出示意图.利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程,理清两车行驶的速度与时间.4.航行问题(顺逆风问题)5.(武昌区联考)盛夏,某校组织长江夜游,在流速为2.5千米/时的航段,从A 地上船,沿江而下至B 地,然后溯江而上到C 地下船,共乘船4小时.已知A 、C 两地相距10千米,船在静水中的速度为7.5千米/时,求A 、B 两地间的距离.【思路点拨】由于C 的位置不确定,要分类讨论:(1)C 地在A 、B 之间;(2)C 地在A 地上游.【答案与解析】解:设A 、B 两地间的距离为x 千米.(1)当C 地在A 、B 两地之间时,依题意得.1047.5 2.57.5 2.5x x -+=+- 解这个方程得:x =20(千米)(2)当C 地在A 地上游时,依题意得:1047.5 2.57.5 2.5x x ++=+- 解这个方程得:203x = 答:A 、B 两地间的距离为20千米或203千米. 【点评】这是航行问题,本题需分类讨论,采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示),然后利用“共乘”4小时构建方程求解.5.环形问题6.环城自行车赛,最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人,已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍,环城一周是20千米,求两个人的速度.【答案与解析】解;设最慢的人速度为x 千米/时,则最快的人的速度为x 千米/时, 由题意得:x×-x×=20 解得:x=10答:最快的人的速度为35千米/时,最慢的人的速度为10千米/时.【点评】这是环形路上的追及问题,距离差为环城一周20千米.相等关系为:最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米.举一反三:【变式】两人沿着边长为90m 的正方形行走,按A →B →C →D →A …方向,甲从A 以65m/min 的速度,乙从B 以72m/min 的速度行走,如图所示,当乙第一次追上甲时,在正方形的哪一条边上?【答案】解:设乙追上甲用了x 分钟,则有:72x -65x =3×902707x =(分) 答:乙第一次追上甲时走了2707227777⨯≈(m ) 此时乙在AD 边上 类型三、工程问题7.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池;单独开乙管8小时可注满水池,单独开丙管9小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时开放2小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池?【答案与解析】解:设再过x 小时可把水注满.由题意得:11111()2()168689x +⨯++-= 解得:30421313x ==. 答:打开丙管后4213小时可把水放满. 【点评】相等关系:甲、乙开2h 的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1.举一反三:【变式】收割一块水稻田,若每小时收割4亩,预计若干小时完成,收割23后,改用新式农机,工作效率提高到原来的112倍,因此比预计时间提早1小时完成,求这块水稻田的面积.【答案】解:设这块水稻田的面积为x 亩,由题意得:21331144142x x x =++⨯ 解得:36x =.答:这块水稻田的面积为36亩.类型四、配套问题(比例问题、劳动力调配问题)8.某工程队每天安排120个工人修建水库,平均每天每个工人能挖土5 m 3或运土3 m 3,为了使挖出的土及时被运走,问:应如何安排挖土和运土的工人?【答案与解析】解:设安排x 人挖土,则运土的有(120-x )人,依题意得:5x =3(120-x ),解得x =45.120-45=75(人).答:应安排45人挖土,75人运土.【点评】用参数表示挖土数与运土数,等量关系:挖土与运土的总立方米数应相等.举一反三:【高清课堂:实际问题与一元一次方程(一) 388410 配制问题】【变式】某商店选用A 、B 两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售,为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元,要配制这种杂拌糖果100千克,问要用这两种糖果各多少千克?【答案】解:设要用A 种糖果x 千克,则B 种糖果用(100-x)千克.依题意,得:28x+20(100-x)=25×100解得:x=62.5.当x=62.5时,100-x=37.5.答:要用A 、B 两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.。
实际问题与一元一次方程1(配套问题与工程问题)一、要点探究探究点1:产品配套问题填一填:1.某厂欲制作一些方桌和椅子,1张方桌与4把椅子刚好配成一套,为了使桌椅刚好配套,商家应制作椅子的数量是桌子数量的倍. 方桌与椅子的数量之比是.2.一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套.某车间有工人42人,每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片.设安排x名工人生产圆形铁片,可使圆形铁片和长方形铁片刚好配套,请填写下表:人数每小时生产铁片的数量生产的套数生产圆形铁片x生产长方形铁片等量关系:(1)每小时生产的圆形铁片=_____×每小时生产的长方形铁片.(2)生产的套数相等.方法总结:生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系,建立方程.解决配套问题的思路:1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据;2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.典型例题例1:机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?针对训练1.某车间有28名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个,应如何分配生产螺栓和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母)?2.包装厂有工人42人,每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片,或长方形铁片80片,将两张圆形铁片与和一张可配套成一个密封圆桶,问如何安排工人生产圆形或长方形铁片能合理地将铁片配套?3.用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制作盒身25个,或40个盒底,一个盒身与两个盒底配成一套盒。
现有36张白铁皮,用多少张制作盒身,多少张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套?4.某车间加工机轴和轴承,一个工人每天平均可加工15个机轴或10个轴承。
该车间共有80人,一根机轴和两个轴承配成一套,问应分配多少个工人加工机轴或轴承,才能使每天生产的机轴和轴承正好配套。
人教版七年级上册数学3.4实际问题与一元一次方程--人员调配问题训练一、选择题1.学校春游,如果每辆汽车坐45人,则有28人没有上车;如果每辆坐50人,则空出一辆汽车,并且有一辆车还可以坐12人,设有x辆汽车,可列方程()A.45x−28=50(x−1)−12B.45x+28=50(x−1)+12C.45x+28=50(x−1)−12D.45x−28=50(x−1)+122.我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题,其原文如下:今有三人共车,二车空,二人共车,九人步,问人与车各几何?其大意为:若3个人乘一辆车,则空2辆车;若2个人乘一辆车,则有9个人要步行,问人与车数各是多少?若设有x个人,则可列方程是( )A.3(x+2)=2x−9B.3(x−2)=2x+9C.x3+2=x−92D.x3−2=x+923.《孙子算经》中有个问题:今有四人共车、一车空;二人共车,八人步,问人与车各几何?这道题的意思是:今有若干人乘车,每4人乘一车,最终剩余1辆车,若每2人共乘一车,最终剩余8个人无车可乘,问有多少人,多少辆车?如果我们设有x辆车,则可列方程( )A.4(x−1)=2x+8B.4(x+1)=2x−8C.x4+1=x+82D.x4−1=x−824.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙子算经》中有个问题:今有若干人乘车,每三人乘一车,最终剩余2辆车;若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘.问有多少人,多少辆车?如果我们设有x辆车,则可列方程( )A.3(x−2)=2x+9B.3(x+2)=2x−9C.x3+2=x−92D.x3−2=x+925.学校组织植树活动,已知在甲处植树的有23人,在乙处植树的有17人.现调20人去支援,使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍,问应调往甲、乙处各多少人?若设调往甲处x人,则可以列出方程( )A.23+x=17+20−x B.23+20−x=17+xC.23+x=2(17+20−x)D.2(23+x)=17+20−x6.甲班有54人,乙班有48人,要使甲班人数是乙班的2倍,设从乙班调往甲班人数x,可列方程( )A.54+x=2(48−x)B.48+x=2(54−x)C.54−x=2×48D.48+x=2×547.在一次美化校园活动中,先安排32人去拔草,18人去植树,后又增派20人去支援他们,结果拔草的人数是植树的2倍,支援拔草和支援植树的分别有多少人?若设支援拔草的有x人,则下列方程中正确的是( )A.32+x=2×18B.32+x=2(38−x)C.52−x=2(18+x)D.52−x=2×188.某班原分成两个小组活动,第一组26人,第二组22人,根据学校活动器材的数量,要将第一组人数调整为第二组人数的一半,设应从第一组调x人到第二组去,下面所列方程正确的是( ) A.26+x=22−x B.26−x=22+xC.12(26−x)=22+x D.26−x=12(22+x)二、填空题9.在植树节活动中,A班有35人,B班有16人,现要从A班调一部分人去支援B班,使B班人数为A班人数的2倍,那么应从A班调出多少人?如设从A班调x人去B班,根据题意可列方程:.10.某中学进行义务劳动,去甲处劳动的有30人,去乙处的有24人,从乙处调一部分人到甲处,使甲处的人数是乙处人数的2倍.若设从乙处调x人到甲处,则所列方程为.11.有一所寄宿制学校,开学安排宿舍时,如果每间宿舍安排住4人,将会空出5间宿舍;如果每间宿舍安排住3人,就有100人没床位.如果设学校宿舍有x间,则根据题意,可列出的方程为:.三、解答题12.在甲处劳动的有27人,在乙处劳动的有19人,现在另调20人去支援,使在甲处人数为在乙处的人数的2倍,应调往甲、乙两处各多少人?13.某班40名同学去公园划船游湖,一共租了8条小船,其中有可坐4人的小船和可坐6人的小船,40名同学刚好坐满8条小船.问:坐4人的小船租了几条?14.在甲处劳动的有44人,在乙处劳动的有16人.现在另调20人去支援,使在甲处的劳动人数是乙处的3倍,则应调往甲、乙两处各多少人?15.学校组织植树活动,已知在甲处植树的有23人,在乙处植树的有17人.现调20人去支援,使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍,问应调往甲、乙两处各多少人?16.甲,乙两队共有80人,如果从甲队调8人去乙队,又从其他地方调入4人到乙队,则两队人数相等.甲队原有多少人?乙队原有多少人?17.甲、乙两队共有80人,如果从甲队调4人去乙队,则两队人数相等.甲队原有多少人?乙队原有多少人?18.在一次美化校园活动中,先安排了31人去拔草,18人去植树,后又派20人去支援他们,结果拔草人数是植树人数的2倍,问支援拔草的有多少人?19.一家服装厂,有25个工人加工镜片和镜架,每人每天可加工镜架72副或镜片96片,为了使每天加工的镜架和镜片能配套,应如何分配工人?20.某区期末考试一次数学阅卷中,阅B卷第28题(简称B28)的教师人数是阅A卷第18题(简称A18)教师人数的3倍,在阅卷过程中,由于情况变化,需要从阅B28的教师中调12人到A18阅卷,调动后阅B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人,求阅B28和阅A18原有教师的人数.答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】C3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】C6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】D二、填空题9. 【答案】2(35−x)=16+x10. 【答案】30+x=2(24−x)11. 【答案】4(x−5)=3x+100三、解答题12. 【答案】方法一:设应调往甲处x人,根据题意列方程得:27+x=2×[19+(20−x)].解得:x=17.应调往甲处17人,调往乙处20−17=3人.13. 【答案】设坐4人的船租了x条,则坐6人的船租了(8−x)条.依题意,得4x+6(8−x)=40,解得x=4(条).答:坐4人的小船租了4条.14. 【答案】设应调往甲处x人,调往乙处(20−x)人,列方程,得44+x=3[16+(20−x)].解得x=16.20−x=20−16=4(人).答:应调往甲处16人,调往乙处4人.15. 【答案】设应调往甲处x人,根据题意,得23+x=2(17+20−x).解这个方程,得x=17.所以20−x=20−17=3.答:应调往甲处17人,乙处3人.16. 【答案】50人;30人17. 【答案】44人;36人.18. 【答案】设支援拔草的有x人,则支援植树的有(20−x)人,由题意得31+x=2(18+20−x).解得x=15.答:支援拔草的有15人.19. 【答案】15人加工镜片,10人加工镜架.20. 【答案】设阅A18原有教师的人数为x,则阅B28原有教师的人数为3x,由题意得3x−12=0.5x+3,解得x=6,所以3x=18.所以阅A18原有教师的人数为6,阅B28原有教师的人数为18.。
3.4(4)实际问题与一元一次方程--劳力调配问题
一.【知识要点】
1.劳力调配问题:这类问题要搞清人数的变化.
二.【经典例题】
1..甲、乙两车间各有工人若干,如果从乙车间调100人到甲车间,那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍;如果从甲车间调100人到乙车间,这时两车间的人数相等,求原来甲乙车间的人数。
2.41人参加运土劳动,有30根扁担,要安排多少人抬土,多少人挑土,可使扁担和人数相配?若设有x人挑土,则列出的方程是( )
A.
41
)
30
(
2=
-
-x
x B.30
)
41
(
2
=
-
+x
x
C.30
2
41
=
-
+
x
x D.x
x-
=
-41
30
3.今A城有化肥200吨,B城有化肥300吨,现要把化肥运往C、D两农村,如果从A 城运往C、D两地,运费分别为20元/吨与25元/吨;从B城运往C、D两地运费分别是15元/吨与22元/吨,现已知C村需要220吨化肥。
⑴设从A城运往C农村x吨,请把下表补充完整;
⑵若某种调运方案的运费是10200元,那么从A、B两城分别调运C、D两村各多少吨?
三.【题库】
【A】
1. 第二中学进行义务劳动,去甲处劳动的有30人,去乙处劳动的有24人,从乙处调一部分人到甲处,使甲处人数是乙处人数的2倍,若设应从乙处调x人到甲处,则所列方程是( )
A.2(30+x)=24-x B.2(30-x)=24+x C.30-x=2(24+x) D.30+x=2(24-x)2.某厂一车间有64人,二车间有56人。
现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间?
3.如图所示,天平的两个盘内分别盛有50克,45克盐,问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内,才能使两盘内所盛盐的质量相等.
【B】
1.某车间有16名工人,每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这16名工人中,一部分人加工甲种零件,其余的加工乙种零件.•已知每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种零件可获利24元.若此车间一共获利1440元,•求这一天有几个工人加工甲种零件.
【C】
【D】。