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河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−3<x<1}，B={x|(x+1)(x−3)≤0}，则A∩B=()A. (−3,3]B. [−3,1)C. (−1,3)D. [−1,1)2.若复数(a+i)(2+i)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a=()A. −2B. 2C. −12D. 123.已知直线l:3x+4y+m=0(m>0)被圆C:x2+y2+2x−2y−6=0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m=()A. 6B. 8C. 9D. 114.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD//BC，AB=BC=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点，设PEED=m，则“0<m<2”是“三棱锥C−ABE的体积不小于1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.双曲线C：x24−y22=1的离心率为()A. √22B. √62C. √24D. √646.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是()A. 2cm 3B. √3cm 3C. 3√3cm 3D. 3cm 37. 已知sin (α+π3)+sinα=−4√35，则cos (α−π3)=( )A. −45B. −35C. 45D. 358. 设实数x ，y 满足{x −y ≥0x +y ≤1x +2y ≥1则z =2x −3y 的最大值为( )A. −13B. −12C. 2D. 39. 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a10. 若函数f (x )=sinωx (ω>0)在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=( )A. 3B. 2C. 23D. 3211. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1，点F 1，F 2是椭圆的左右焦点，点A 是椭圆上的点，▵AF 1F 2的内切圆的圆心为M ，若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22 C. √32D. √2−112. 已知函数，若关于x 的方程f(x)−t =0有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围是( )A. [0,1]B. (0,1)C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 6+a 5=4，a 4+a 3−a 2−a 1=1，则a 1的值为______．15.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P是面对角线BC1的中点，Q是底面ABCD上一动点，则D1P+PQ的最小值为．16.若函数在在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28.记b n=[lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{b n}的前1000项的和．18.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且2asin(C+π)=√3b．3(1)求角A的值．(2)若b=3,c=4，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=2，AD=4，DC=3，PA=5，E∈PC，AC∩BD=F．(1)若CEEP =32，求证：EF//平面PAB；(2)若FE⊥PC，求二面角E−DB−C的平面角的余弦值．20.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，M(−2,y0)是C上一点，且|MF|=2．(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B两点作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx，其中a∈R．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若对于任意x2>x1>0，f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立，求a的取值范围22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ，点P的曲线C上运动．(I)若点Q在射线OP上，且|OP|⋅|OQ|=4，求点Q的轨迹的直角坐标方程；)，求△MOP面积的最大值．(Ⅱ)设M(4,3π423.已知函数f(x)=|x−a|+m|x+a|．(Ⅰ)当m=a=−1时，求不等式f(x)≥x的解集；(Ⅱ)不等式f(x)≥2(0<m<1)恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤−3或a≥3}，求实数m 的集合．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|−3<x<1}，B={x|(x+1)(x−3)≤0}={x|−1≤x≤3}，∴A∩B={x|−1≤x<1}=[−1,1)．故选：D．先求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解：由题意可知：(a+i)(2+i)=(2a−1)+(2+a)i，∵复数为纯虚数，∴2+a≠0，2a−1=0，∴a=12.故选D．3.答案：C解析：本题考查直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离，求出圆心为(−1,1)，半径为2√2，利用圆心到直线的距离d=|−3+4+m|5=2√2×√22，即可求出结论．解：圆C:x2+y2+2x−2y−6=0，可化为(x+1)2+(y−1)2=8，圆心为(−1,1)，半径为2√2．由题意得，圆心到直线的距离d=|−3+4+m|5=2√2×√22．∵m>0，∴m=9．故选C．4.答案：B解析：本题考查充要条件的判断及棱锥体积的求解，过E作EH⊥AD得到V C−ABE=V E−ABC=23EH即可求解．解析：解：过E作EH⊥AD，H为垂足，则EH⊥面ABCD∴V C−ABE=V E−ABC，所以三棱锥C−ABE的体积为23EH，若三棱锥C−ABE的体积不小于1，则EH≥32，又PA=3，∴PEED=m≤1．即“0<m<2”是“三棱锥C−ABE的体积不小于1”的必要不充分条件．故选B．5.答案：B解析：解：双曲线C：x24−y22=1，可得a=2，b=√2，则c=√6．双曲线的离心率为：√62．故选：B．利用双曲线方程求出a，b，c，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．。
洛 阳 市 ２０１９ ——— ２０２０ 学 年 第 一 学 期 期 中 考 试高 二 数 学 试 卷本 试 卷 分 第 Ⅰ 卷 （选 择 题 ）和 第 Ⅱ 卷 （非 选 择 题 ）两 部 分 ．第 Ⅰ 卷 １ 至 ２ 页 ，第 Ⅱ 卷 ３ 至４ 页 ．共 １５０ 分 ．考 试 时 间 １２０ 分 钟 ．第 Ⅰ 卷 （选 择 题 ，共 ６０ 分 ）注 意 事 项 ：１ ．答 卷 前 ，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 、考 号 填 写 在 答 题 卡 上 ． ２ ．考 试 结 束 ，将 答 题 卡 交 回 ．一 、选 择 题 ：本 大 题 共 １２ 小 题 ，每 小 题 ５ 分 ，共 ６０ 分 ．在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ．１ ．若 犪 ＜ 犫 ＜ ０ ，那 么 下 列 不 等 式 中 不 正 确 的 是Ａ ．犪犫 ＞ 犫 ２ Ｂ ．犪犫 ＜ 犪 ２ Ｃ ．１ ＜ 犪１ 犫 犫 Ｄ ． 犪 ＜ 犪 犫２ ．在 △ 犃 犅 犆 中 ，内 角 犃 ，犅 ，犆 的 对 边 分 别 为 犪 ，犫 ，犮 ，若 犫 犮 ＝ ｃｏｓ犅 ｃｏｓ犆 ，则 △ 犃 犅 犆一 定 是 Ａ ．等 边 三 角 形 Ｂ ．等 腰 三 角 形Ｃ ．直 角 三 角 形Ｄ 等 腰 直 角三 角 形３ ．若 数 列 ｛犪 狀 ｝ 的 通 项 公 式 犪 狀 ＝ ２狀 狀 ＋ １ ，则 此 数 列 是Ａ ．递 增 数 列Ｂ ．递 减 数 列Ｃ ．摆 动 数 列Ｄ ．以 上 都 不 是４ ．下 列 函 数 中 ，狔 的 最 小 值 为 ２ 的 是Ａ ．狔 ＝狓 ＋１ 狓 Ｂ ．狔 ＝ 狓２ ＋ ３槡狓 ２＋ ２Ｃ ．狔 ＝ 犲 狓 ＋ 犲 － 狓 Ｄ ．狔 ＝ ｓｉｎ狓 ＋１ｓｉｎ狓 （０ ＜ 狓 ＜ π ２）５ ．已 知 等 比 数 列 ｛犪 狀 ｝ 满 足 ：犪 １ ＋ 犪 ７ ＝ ９ ，犪 ２犪 ６ ＝ ８ ，且 犪 狀 ＜ 犪 狀 ＋ １ ，则 犪 １０ 等 于 Ａ ．１６ 槡２Ｂ ．１６Ｃ ．８ 槡２Ｄ ．８６ ．已 知 锐 角 三 角 形 的 三 边 分 别 为 ５ ，１２ ，狓 ，则 狓 的 取 值 范 围 是高 二 数 学 第 １ 页 （共 ４ 页 ） （２０１９ ．１１ ）Ａ ．（７ ，１７ ） Ｂ ．（７ ，１３ ） Ｃ ．（７ ， 槡１１９ ）Ｄ ．（ 槡１１９ ，１３ ）７ ．若 ｌｇ （３犪 ） ＋ ｌｇ犫 ＝ ｌｇ （犪 ＋ 犫 ＋ １ ），则 犪犫 的 最 小 值 为 Ａ ．１Ｂ ．槡２Ｃ ．槡３Ｄ ．２８ ．已 知 数 列 ｛犪 狀 ｝ 的 前 狀 项 积 为 犜 狀 ，且 满 足 犪 狀 ＋ １＝１ ＋ 犪 狀 １ － 犪 狀（狀 ∈ 犖 ） ，若 犪 １＝ １ ３ ，则 犜 ２ ０ １ ９为１ ３Ａ ． － ３ Ｂ ． － ２Ｃ ．２ ３ Ｄ ．９ ．如 图 ，在 △ 犃 犅 犆 中 ，犅 ＝ ４ ５° ，犃 犆 ＝ ８ ，犇 是 犅 犆 边 上 一 点 ， 犇 犆 ＝ ５ ，犇 犃 ＝ ７ ，则 犃 犅 的 长 为 Ａ ．４ 槡２ Ｂ ．４ 槡３ Ｃ ．８Ｄ ．４ 槡６１０ ．实 数 狓 ，狔 满 足 条 件狓 － 狔 － １ ≤ ０ ， 烄烅 当 目 标 函 数 狕 ＝ 犪狓 ＋ 犫狔 （犪 ，犫 ＞ ０ ） 在 该 约 束烆２狓 － 狔 － ３ ≥ ０ ．条 件 下 取 到 最 小 值 ４ 时 ，１ 犪＋ ２ 犫 的 最 小 值 为Ａ ．６Ｂ ．４Ｃ ．３Ｄ ．２１１ ．设 等 差 数 列 ｛犪 狀 ｝，｛犫 狀 ｝ 的 前 狀 项 和 分 别 为 犛 狀 ，犜 狀 ，若 犛 狀 犜 狀＝ ３狀 ＋ ３３ 狀 ＋ ３，则 使 犪 狀犫 狀∈ 犣 的 狀 的 个 数 为 Ａ ．３Ｂ ．４Ｃ ．５Ｄ ．６１２ ．在 △ 犃 犅 犆 中 ，角 犃 ，犅 ，犆 的 对 边 分 别 为 犪 ，犫 ，犮 ，已 知 犮 ＝ ２槡２ ，点 犘 是 犃 犅 的 中 点 ，若 犘 犆 ＝ 犪 － 犫 ，则 △ 犃 犅 犆 面 积 的 最 大 值 为 Ａ ．槡３Ｂ ．３Ｃ ．２ 槡３犇 ．１２高 二 数 学 第 ２ 页 （共 ４ 页 ） （２０１９ ．１１ ）。
洛阳市2019—2020学年高中三年级上学期期中考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数z 满足12iz i ，则z 等于（）A. 2i B. 2i C. 12i D. 12i【答案】 B【解析】【分析】在等式12iz i 两边同时除以i ，可求出复数z .【详解】12iz i Q ，212iz i i ，故选：B.【点睛】本题考查复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 2.已知集合3log 22Ax x ，29B x x ，则A B （）A.,32,U B. 3,11C. 2, D. ,32,3【答案】A【解析】【分析】解出集合A 、B ，再利用并集的定义可得出集合A B . 【详解】3log 220292,11Ax x x x ，29,33,B x x ，因此，,32,A B U U .故选：A.【点睛】本题考查集合并集的运算，同时也考查了对数不等式以及一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知实数x 、y 满足1341yx xy y ，则3x y 的最大值为（）A. 7B. 4C. 3D. 0【答案】A【解析】【分析】设3z x y ，作出不等式组所表示的可行域，平移直线3z x y ，观察该直线在x 轴上取得最大值时对应的最优解，再将最优解代入目标函数计算即可. 【详解】设3z x y ，作出不等式组1341yx x yy所表示的可行域如下图所示：联立13y xx y ，解得12x y ，得点1,2A ，平移直线3z x y ，当直线3z x y 经过点1,2A 时，直线3zx y 在x 轴上的截距最大，此时3z x y 取得最大值，即max 1327z . 故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出线性目标函数取得最值时的最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.。
洛阳市2019—-2020学年第一学期期中考试高二数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页.共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A = {x|62--x x ＜0} ，B={x|822-+x x ＞0}，则A ∪B =A. {x |2＜x ＜3}B. {x |-2＜x ＜3}C. {x |x ＞-4或 x ＞2}D. {x |x ＜-4或 x ＞-2}2.在△ABC 中，Cc B b A a cos cos cos ==,则△ABC 一定是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形3.若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是 A. 2cb a -＞0 B. 2)(c b a -＞0 C. ac ＞bc D.a+c ≥b-c 4.在等比数列{a n }中，a n ＞0，已知a 1=6,a 2 +a 2+a 3=78,则 a 2 =A.12B. 18C. 24D. 365.设正实数a ，b 满足2a+3b=1,则ba 32+的最小值是 A.25 B.24 C.22 D.16 6.海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°,航行8 n mile 以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（ ）n mile. A.8 B.4 C. 34 D. 334 7.设等差数列{a n }的公差d≠0,且a 2 =-d ，若a 6= a k-6等比中项，则是A.5B.6C.9D.368.若函数12)(12-=++ax x x f 的定义域是R,则实数a 的取值范围是A. (-2，2)B.(一∞，一2) ∪(2，+∞)C.（一∞, -2]∪[2，+ ∞) a [-2，2]9.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a= bcos C + csin B ，且△ABC 的面积为21+，则b 的最小值为A. 3B. 2C. 3D. 210.设等差数列{a n }的前n 项和为S,S 15＞0, a 8+ a 9＜0,则使nS n ＜0成立的最小z 自然数n 的值为A.15B.16C.17D.18 11.在平而直角坐标系中,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≤+≤+,,0,022222r y x y x y x y x 表示的平面区域面积为π,若y x ,满足上述约束条件，则31+++=x y x z 的最小值为 A. -1 B. 7125+- C. 57- D. 512- 12.已知数列{a n }中，21=a ，若21n n n a a a =-+，设1....112211++++++=m m m a a a a a a T ，若m T ＜2018,则正整数m 的最大值为A. 2019B. 2018C. 2017D. 2016 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
洛阳市2019-2020学年第二学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin510︒=（ ）.A. 12B. 12- C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】()1sin 510sin 360150sin150sin 302︒=︒+︒=︒=︒=. 故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式化简求值，属于简单题. 2.函数()44cos sin 22x xf x =-的最小正周期为（ ）. A.π2B. πC. 2πD. 4π【答案】C 【解析】 【分析】先化简函数得()cos f x x =，即得函数的最小正周期. 【详解】由题得()442222cossin (cos sin )(cos sin )cos 222222x x x x x xf x x =-=+-=. 所以函数的最小正周期为2π. 故选：C.【点睛】本题主要考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的应用，考查余弦函数的最小正周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.若2πk αθ=+,()21πk βθ=+-,其中k ∈Z ,则角α与β的终边（ ）.A. 关于原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于y x =对称【答案】C 【解析】 【分析】根据角度的终边周期性分析即可.【详解】根据角度的性质有2πk αθ=+与θ的终边相同,()21πk βθ=+-与πθ-的终边相同,且θ的终边与πθ-的终边关于y 轴对称,故角α与β的终边关于y 轴对称. 故选：C【点睛】本题主要考查了角度性质辨析.属于基础题.4.如果单位向量a r 与b r的夹角为π3，则+=r r a b （ ）.A. 1B.C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】利用a b →→+==，结合,a b →→的模长和数量积进行求解.【详解】因为a b →→+==， 又,a b →→为单位向量，且,a b →→的夹角为π3， 所以1cos32a b a b π→→→→⋅==，所以a b →→+====故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的概念：cos ,a b a b a b →→→→→→⋅=，向量的模一般要转化为a →=来求，属于基础题.5.下面结论正确是（ ）.A. 若a r ，b r 是单位向量，a b =r rB. 若四边形ABCD 内一点O 满足OA OC OB OD +=+u u u r u u u ru u u r u u u r，则ABCD 是平行四边形C. 若向量a r ，b r共线，则a b a b +=+r r r r D. 若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r r【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，分别对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】选项A 中，a r，b r是单位向量，而单位向量也是有方向的，只有a r ，b r是单位向量且方向相同时，才有a b =r r，所以错误；选项B 中，因为点O 为四边形ABCD 内一点，OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u ru u u r u u u r ，所以BA CD =u u u r u u u r，又BA u u u r与CD uuu r不共线，所以可得BA CD =且∥BA CD ， 所以ABCD 是平行四边形，所以正确；选项C 中，当向量a r ，b r 同向时，有a b a b +=+r r r r ，当向量a r ，b r反向时，有a b a b +=-r r r r ，所以错误；选项D 中，因为a c b c ⋅=⋅r r r r，所以cos ,cos ,a c a c b c b c ⋅=⋅r r r r r r r r 即cos ,cos ,a a c b b c =r r r r r r，不能得到a b =r r，所以错误.故选：B.【点睛】本题考查单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，属于简单题.6.满足tan cos sin ααα<<的α一个可能值为（ ）.的A.π12B.3π8C.9π16D.13π12【答案】C 【解析】 【分析】借助三角函数的单调性，采用中间值法，逐一判断四个选项，即可得到答案.【详解】当12πα=时，coscos1242ππ>=，sin sin 1242ππ<=，不满足cos sin αα<，所以A 选项错误； 当38πα=时，3tan tan 184ππ>=，3cos 18π<，不满足tan cos αα<，所以B 选项错误； 当916πα=时，93tantan 1164ππ<<-，91cos 016π-<<，9sin 016π>，满足tan cos sin ααα<<，所以C 选项正确；当1312πα=时，135cos cos 124ππ<=135sin sin 124ππ>=，不满足cos sin αα<，所以D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的单调性，熟记特殊三角函数值是本题的解题关键，属于基础题. 7.下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）. A. sin y x x =B. 2cos y x x =-C. 1tan tan y x x=+D. sin cos y x x =+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用函数奇偶性的定义逐一判断四个选项，即可得到答案.【详解】对于A ，()sin y f x x x ==，定义域为R ，关于原点对称，()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，则sin y x x =为偶函数；对于B ，()2cos y f x x x ==-，定义域为R ，关于原点对称，()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，则2cos y x x =-为偶函数；对于C ，()1tan tan y f x x x ==+，定义域为(),2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，()()()()11tan tan tan tan f x x x f x x x -=-+=--=--，则1tan tan y x x=+为奇函数；对于D ，()sin cos y f x x x ==+，定义域为R ，关于原点对称，()()()sin cos sin cos f x x x x x -=-+-=-+，()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，则sin cos y x x=+既不是奇函数，也不是偶函数. 综上，D 选项符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题.定义法判断函数的奇偶性，分为三步：（1）定义域关于原点对称，若不对称，则函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，若对称，则进行下一步；（2）求()f x -；（3）若()()f x f x -=，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数. 8.已知函数()ππsin 4cos 4136f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断错误的是（ ）.A. ()f x 的最小正周期为π2B. ()f x 的图象关于直线π24x =-对称 C. ()f x 的值域为[]1,3- D. ()f x 的图象关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换进行化简，再根据正弦型函数的图象和性质，即可得出答案.【详解】()ππsin 4cos 4136f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sincos 4cossin 4cos 4cossin 4sin13366x x x x ππππ=++++11cos 4sin 4cos 4sin 412222x x x x =++++4sin 41x x =++2sin 413x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭242T ππ==，所以，()f x 的最小正周期为π2，A 选项正确；()432x k k Z πππ+=+∈，解得()244k x k Z ππ=+∈，所以，B 选项错误； 由1sin 413x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 得12sin 4133x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为[]1,3-，故C 选项正确； ()43x k k Z ππ+=∈，解得()124k x k Z ππ=-+∈，所以()f x 的对称中心为,1124k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，故D 选项正确. 故选：B【点睛】本题考查了三角恒等变换及正弦型函数的图象和性质，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.9.在边长为1的正方形ABCD 内,以AB 为直径作半圆,若点M 为半圆（包括端点A ,B ）上任意点,则MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是（ ）.A. 0,⎡⎣B. (0,C. 0,⎡⎣D. (0,【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的中心为O ,再根据平面向量的加法法则,将MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r 转换为MO u u u u r的关系表达,再分析取值范围即可.【详解】设,AB DC 的中点分别为,Q P ,正方形的中心为O .根据正方形的对称性可知O 为,Q P 中点..根据平面向量的加法有22224MA MB MC MD MQ MP MO MO +++=+==u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r.易得当M 在O 处4MO u u u u r 取最小值0；当M 在,A B 处4MO u u u u r 均可取最大值为4AO =u u u r.故MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是0,⎡⎣.故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的加法运用,需要根据题意结合平面向量的线性运算转换.属于中档题.10.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称，将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为()g x ，若()g x 的最小正周期是2π，且π12g ⎛⎫=⎪⎝⎭，π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）.A. 3-B. 3-C.3D.3【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换及最小正周期，求出ω值，再利用三角函数的对称轴及ϕ的范围，求出ϕ值，利用π12g ⎛⎫=⎪⎝⎭，求出A 值，进而求出π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为()sin 2x g x A ωϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期是2π，所以222ππω=，解得2ω=，所以()()sin g x A x ϕ=+，()()sin 2f x A x ϕ=+，()22x k k Z πϕπ+=+∈，解得()242k x k Z πϕπ-=+∈， 所以，函数()f x 关于()242k x k Z πϕπ-=+∈对称，所以()2342k k Z ππϕπ-=+∈，且π2ϕ<，解得6πϕ=-，所以()sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即sin 126A ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 13A π=，解得A =，所以()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π16336323f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换、利用最小正周期求参数、利用三角函数的对称轴求参数及特殊角的三角函数值，考查学生的运算求解能力，属于中档题. 11.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点(,且在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调,把()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合,若13π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,直线y t =与()y f x =有三个不同的交点,则实数t 的取值范围是（ ）.A. (-B. []0,2C. [)0,2D.)2【答案】D 【解析】根据()f x 过点(可得3πϕ=,再根据()f x 在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调,且()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合可得2ω=.进而求得()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.再根据三角函数图像性质数形结合分析实数t 的取值范围即可. 【详解】因为函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象过点(,故sin ϕ=,又π2ϕ<,故3πϕ=.又()f x 在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调且0>ω,故12521212πππω⋅≥-,即03ω<≤. 又因为()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合,故2,k k Z ππω⋅=∈,所以2ω=.故()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 当13π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,52,332x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.再分析()52sin ,,32g x x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭可得：2sin 33g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭数形结合可知当直线y t =与()g x 有三个交点时,)2t ∈.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质综合运用,包括三角函数解析式的求解、数形结合求解参数范围的问题等,需要结合三角函数的单调性与周期性等分析.属于难题. 12.已知点O 为ABC V 内一点，满足3OA OB OC λ+=u u u r u u u r u u u r，若13AOB ABC S S =△△，则λ=（ ）. A. 2- B. 12-C.12D. 2【答案】A 【解析】【利用数乘的定义作图，作13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r，构造出O 是11AB C △的重心，根据重心性质，及三角形面积比得出结论．【详解】∵点O 为ABC V 内一点，满足3OA OB OC λ+=u u u r u u u r u u u r，∴0λ<，如图，作13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r ，则110OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u u r r，∴O 是11AB C △的重心，∴11111113OAB OB C OAC AB C S S S S ===V V V V ， 由13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r，知113OABOAB S S =V V ，111111133OBC OB C OB C S S S λλ=⨯=--V V V ，11OAC OAC S S λ=-V V ， ∴111:::():()33OAB OBC OCA S S S λλ=--V V V ， ∴113111333OAB ABCS S λλ==--V V ，解得2λ=-．故选：A ．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是利用数乘定义构造出以O 为重心的11AB C △，然后利用面积比得出结论．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：13.若tan α=，则cos2α________．【答案】13- 【解析】 【分析】先由二倍角公式将cos2α化为22cos sin αα-，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.【详解】因为tan α=，所以2222221tan 1cos21tan 3cos sin cos sin ααααααα--===-++. 【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型. 14.在平面直角坐标系中，已知()3,4A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转45︒到OB ，则点B 的横坐标为______.【答案】2-. 【解析】 【分析】作出图形，求出OA ，以及sin AOC ∠，cos AOC ∠，利用两角和与差的三角函数求出点B 的横坐标，即可得解.【详解】如图，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，作AD y ⊥轴于点D ，作BE x ⊥轴于点E ，作BF y ⊥轴于点F ，由()3,4A ，则5OA =，4sin 5AOC ∠=，3cos 5AOC ∠=，将OA 绕原点O 逆时针旋转45︒到OB ，所以，点B 的横坐标为：()345cos 45552522AOC ︒⎛∠+=⨯⨯-⨯=- ⎝⎭.故答案为：2-. 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观.15.在梯形ABCD 中，//AB CD ，AC 为DAB ∠的平分线，且30CAB ∠=︒，若10AB =，AC =则AD CB ⋅=u u u r u u u r______.【答案】4- 【解析】【分析】由题意画出图形，由平面几何的知识可得4=AD ，利用平面向量线性运算法则可得()AD CB AD AB AC ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，再利用平面向量数量积的运算律及定义即可得解.【详解】由题意画出梯形ABCD 的图形，如图：Q //AB CD ，AC 为A ∠的平分线，且30CAB ∠=︒，∴30CAD DCA CAB ∠=∠=∠=︒，60DAB ∠=︒，∴AD CD =，又10AB =，AC =取AC 的中点E ，连接DE，则4cos AE AD EAD ===∠， ∴()AD CB AD AB AC AD AB AD AC ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rcos cos AD AB DAB AD AC DAC =⋅⋅∠-⋅⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r1410442=⨯⨯-⨯=-.故答案为：4-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量数量积的运算律及定义，关键是对于条件进行合理转化，属于基础题. 16.已知函数()()π02f x x x =≥，设函数()f x 图象的最高点从左至右依次为0A ，1A ，2A ，…，()f x 与x 轴的交点从左至右依次为0B ，1B ，2B ，…，在线段22A B 上取10个不同的点1C ，2C ，3C ，…，10C ，则1112110OA OC OA OC OA OC ⋅+⋅++⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u rL ______.【答案】100 【解析】 【分析】由题意结合三角函数的性质画出函数图象，进而可得(1A，(2A ，()25,0B ，利用平面向量数量积的坐标运算可得1220OA B A ⋅=u u u r u u u u u r 即120n OA A C ⋅=u u u r u u u u u r，连接2OA ，由平面向量线性运算法则可得()1122n n OA OC OA OA A C ⋅=⋅+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u u r，再利用平面向量数量积的运算律及坐标运算即可得解.【详解】函数()π02y x x =≥的最小正周期242T ππ==，将函数()π02y x x =≥位于 x 轴上方的图象不变、位于 x 轴下方的图象翻折到x 轴上方后即可得函数()()π02f x x x =≥的图象，如图所示：可得(1A，(2A ，()25,0B ，所以(1OA =u u u r，(221,B A =u u u u u r ，所以122220OA B A ⋅=-=u u u r u u u u u r ， 由()1,2,310n C n =⋅⋅⋅在线段22A B 上可得120n OA A C ⋅=u u u r u u u u u r， 连接2OA，则(2OA =u u u u r，所以()11221212n n n OA OC OA OA A C OA OA OA A C ⋅=⋅+=⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u r24010=⨯+=，1,2,310n =⋅⋅⋅，所以11121101010100OA OC OA OC OA OC ⋅+⋅++⋅=⨯=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u rL . 故答案为：100.【点睛】本题考查了三角函数图象的应用，考查了平面向量线性运算、数量积的应用与运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）求值：sin 20cos110cos200sin70︒︒+︒︒；（2）已知α.【答案】（1）1-；（2）2cos α-. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用22sin cos 1αα+=即可得到结论；（2）根据α是第二象限角，得到sin α与cos α的符号，再利用二次根式的性质即可得到结论. 【详解】（1）原式()()()sin 20cos 9020cos 18020sin 9020︒︒︒︒︒︒︒=+++-()22sin 20sin 20cos 20cos 20sin 20cos 201︒︒︒︒︒︒=--=--=-（2）由α是第二象限角，则sin 0α>，cos 0α<，=2cos cos cos sin cos cos sin cos 21sin 1sin cos cos αααααααααααα-----+=+==--+. 【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键． 18.已知(),2A x ，()2,3B ，()2,5C -.（1）若1x =，判断ABC V 的形状，并给出证明；（2）求实数x 的值，使得CA CB +u u u r u u u r最小；（3）若存在实数λ，使得CA CB λ=u u u r u u u r，求x 、λ的值. 【答案】（1）ABC ∆为直角三角形；（2）5；（3）34,2x λ==. 【解析】 【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明；（2）根据题意可得()6,5CA CB x +=+-u u u r u u u r，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；（3）利用向量共线可得方程组，解得即可.【详解】（1）当1x =时，ABC ∆为直角三角形.证明如下：当1x =时，由()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则()3,3AC =-u u u r ，()1,1AB =u u u r，此时31310AC AB ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r ，即AC AB ⊥u u u r u u u r ，即2A π∠=，所以，ABC ∆为直角三角形.（2）由题意，()2,3CA x =+-u u u r ，()4,2CB =-u u u r ，则()6,5CA CB x +=+-u u u r u u u r，所以，5CA CB +=≥u u u r u u u r，当且仅当6x =-时取等号.故当6x =-时，CA CB +u u u r u u u r取得最小值为5.（3）由题意，()2,3CA x =+-u u u r ，()4,2CB =-u u u r ，因CA CB λ=u u u r u u u r， 所以2432x λλ+=⎧⎨-=-⎩，解得432x λ=⎧⎪⎨=⎪⎩.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为3π，图象上一个最低点为()5π,2-.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,3πx ∈时，求()f x 的最值，以及取得最值时的x 值.【答案】（1）()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当0x =时，()f x 取最小值1-；当2x π=时，()f x 取最大值2. 【解析】 【分析】（1）由函数的最低点可求得2A =，由函数图象与x 轴相邻两个交点的距离为3π可得6T π=，由2T πω=可得ω，再代入点()5π,2-求出ϕ后即可得解； （2）由[]0,3πx ∈可得15,3666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）Q 函数()f x 图像上的一个最低点为()5π,2-，0A >，∴2A =， 又函数()f x 的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为3π，∴函数的最小正周期6T π=即26ππω=，解得13ω=， ∴()12sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()15π2sin 5π23f ϕ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭，∴5sin π13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴5π2,32k k Z πϕπ+=-+∈即132,6k k Z πϕπ=-+∈，又π2ϕ<，∴令1k =，6πϕ=-， ∴()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当[]0,3πx ∈时，15,3666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当1366x ππ-=-即0x =时，()f x 取最小值，()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当1362x ππ-=即2x π=时，()f x 取最大值，()max 2sin 22f x π==. ∴当0x =时，()f x 取最小值1-；当2x π=时，()f x 取最大值2.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了三角函数图象的确定与运算求解能力，关键是对于知识点的熟练应用，属于中档题.20.已知3a =r，(2,b =-r ，且a r 与b r夹角为2π3. （1）求2a b +r r；（2）若()()43a kb a b +⊥+r r r r，求实数k值.【答案】（1）7；（2）34-. 【解析】 【分析】（1）由题意结合平面向量模的坐标表示可得4b =r ，利用平面向量数量积的定义可得a b ⋅r r ，再利用2a b +=r r化简即可得解；（2）由题意结合平面向量垂直的性质可得()()430a kb a b +⋅+=r r r r，由平面向量数量积的运算律化简即可得解.【详解】（1）Q (2,b =-r ，∴4b ==r，的又3a =r ，a r 与b r夹角为2π3，∴21cos 34632a b a b π⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭r r r r ， ∴27a b +====r r ；（2）Q ()()43a kb a b +⊥+r r r，∴()()()2243443324180a kb a b a k a b kb k +⋅+=++⋅+=+=r r rr r r r r ，∴34k =-.【点睛】本题考查了平面向量数量积的求解与应用，考查了运算求解能力，关键是对于条件的合理转化，属于基础题.21.已知正方形ABCD 的边长为1，P ，M ，N 分别为AB ，BC ，DA 上的点. （1）如图，当AP PB =uu u r uu r ，0PM PN ⋅=u u u u r u u u r时，求MPN △面积的最小值；（2）如图，当APN V 周长为2时，求PCN ∠的大小.【答案】（1）14；（2）4π. 【解析】 【分析】（1）设MPB α∠=，则ANP α∠=，由题意结合三角函数的概念、正弦的二倍角公式可得1124sin 2MPN S PN PM α=⋅=△，求得sin 2α的最大值即可得解；（2）设AP x =，AN y =，PCB β∠=，DCN γ∠=，由题意结合正切的概念及和角公式可得()()2tan x y x y xyβγ-++=+-，再结合三角形周长即可得解.【详解】（1）由题意可得12AP PB ==，PM PN ⊥， 设MPB α∠=，则ANP α∠=，∴1sin 2sin AP PN ANP α==∠，1cos 2cos PB PM MPB α==∠，∴11128sin cos 4sin 2MPN S PN PM ααα=⋅==△，当sin21α=即4πα=时，MPN △的面积取最小值，最小值为14；（2）设AP x =，AN y =，PCB β∠=，DCN γ∠=， 则tan 1PB x BC β==-，tan 1DNy DCγ==-， 则()()2tan tan tan 1tan tan x y x y xyβγβγβγ-+++==-⋅+-，Q APN V 周长为2，∴2x y ++=，化简得()22xy x y =+-，∴()()()()22tan 122x y x y x y xy x y x y βγ-+-++===+-+-+-⎡⎤⎣⎦，又02πβγ<+<，∴4πβγ+=，∴()24PCN ππβγ∠=-+=.【点睛】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.22.已知()4422sin2cos cos 2442x x xf x =++-. （1）试用五点作图法画出函数()f x 在[]0,2πx ∈上的简图； （2）定义在(],5-∞上的减函数()g x ，若()22π12g a f x g a f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++≤++⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）⎡-⎢⎣⎦.【解析】【分析】（1）由题意结合降幂公式可得()cos f x x =，利用五点法即可得解；（2）由题意结合函数的单调性和定义域可得221cos sin 5a x a x ++≤-≤对x ∈R 恒成立，转化条件为22151sin 24a a x ⎛⎫--≥--+ ⎪⎝⎭、25sin a x -≤对x ∈R 恒成立，利用恒成立问题的解决方法结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）由题意可得()4422sin2cos cos 2442x x xf x =++- 22221cos 1cos 2222cos 22cos 1cos 2222x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪=⋅+⋅+-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 列表如下：则函数()f x 在[]0,2πx ∈上简图如下：；（2）Q ()g x 为定义在(],5-∞上的减函数，()22π12g a f x g a f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++≤++⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦对x ∈R 恒成立， ∴()22π152a f x a f x ⎛⎫++≤++≤ ⎪⎝⎭即22π1cos cos 52a x a x ⎛⎫++≤++≤ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立，∴221cos sin 5a x a x ++≤-≤对x ∈R 恒成立，的∴2222151cos sin 1sin sin sin 24a a x x x x x ⎛⎫--≥+=-+=--+ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立， 25sin a x -≤对x ∈R 恒成立，又x ∈R 时，2max 155sin 244x ⎡⎤⎛⎫--+=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()min sin 1x =-， ∴2251451a a a ⎧--≥⎪⎨⎪-≤-⎩，解得122a --≤≤， ∴实数a的取值范围为12,2⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查了降幂公式在三角函数化简上的应用，考查了函数的单调性、定义域及三角函数性质的应用，属于中档题.。
洛阳市2019—2020学年高中三年级上学期期中考试数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足iz ＝1＋2i ，则z 等于A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i2．已知集合A ＝{x ｜log 3（x －2）≤2}，B ＝{x ｜x 2＞9}，则A ∪B ＝A ．（－∞，3）∪（2，＋∞）B ．（3，11]C ．（2，＋∞）D ．（－∞，－3）∪（2，3）3．已知实数x ，y 满足1341y x x y y －≤，＋≤，≥则x ＋3y 的最大值为A ．7 B ．4 C ．3D ．04．执行右边的程序框图，则输出的结果是A ．1132B ．833C ．1112D ．145．已知单位向量a ，b 满足｜a －b ｜＝｜a ＋2b ｜，则a ，b 夹角为A ．6B ．3C ．23D ．566．已知35a ＝，02log 01b ．＝．，3log 2c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a7．已知点P 是圆C ：（x －3－cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1上任意一点，则点P 到直线x ＋y ＝1距离的最大值为A ．2B ．22C ．21＋D ．22＋8．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q ，R 分别为棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，经过P ，Q ，R 三点的平面为，平面被此正方体所截得截面图形的周长为A ．2B ．62C ．32D ．339．已知p ：函数y ＝ln （x 2－ax ＋1）的定义域为R ，q ：e x＞ax 对任意实数x 恒成立，若p ∧q 真，则实数a 的取值范围是A ．[0，2）B ．[2，e ）C ．（－2，e ）D ．[0，e ）10．双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为A ．62B ．2C ．3D ．211．已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，若9n n S S －＝（nN ∈且n ＜9），有以下结论：①9S ＝0；②5a ＝0；③{n a }为递增数列；④9a ＝0．则正确的结论的个数为A ．1 B ．2C ．3D ．412．已知三棱锥P －ABC 的侧棱长相等，底面正三角形ABC 的边长为2，PA ⊥平面PBC 时，三棱锥P－ABC 外接球的表面积为A ．32B ．32C ．D ．3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知tan （x ＋4）＝2，则tan （x －4）＝__________．14．已知函数f （x ）的导函数为f x，222f x x xf ＝＋，则不等式f （x ）＜0的解集为__________．15．已知函数f （x ）＝sinx ＋2cosx 在x 0处取得最小值，则f （x ）的最小值为__________，此时cosx 0＝__________．16．若命题“0x ∈[0，e]，使得0121ax x e－＞成立．”为假命题，则实数a 的最大值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC 为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB ⊥AC ，AC ＝12BC ，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ；（2）若AC ＝2，求三棱锥P －BMC 的体积．18．（本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝21n－，数列{n b }满足1b ＝2，1n b ＋－2n b ＝8n a ．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）求数列{n b }的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7．（1）求边BC 的长；（2）求△ABC 的面积．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y ab＋＝（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），点P （1，32）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）圆x 2＋y 2＝1的切线l 与椭圆C 相较于M ，N 两点，证明：∠MON 为钝角．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝e x－cosx ．（1）求f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求证：f （x ）在（－2，＋∞）上仅有2个零点．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为113x t y t＝＋，＝－（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos30－－＝．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设M（1，1），求11MA MB＋的值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）＝｜x－3｜－2｜x｜．（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）的最大值为m，a，b，c为正数且a＋b＋c＝m，求证：a2＋b2＋c2≥3．。
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中考试数学（理)试题第I 卷（选择题)评卷人 得分一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数z 满足12iz i =+，则z 等于（ ） A ．5 B ．5C ．1D ．32．已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，）C ．22∞（-，）D ．22]∞（-， 3．已知实数,x y 满足1341y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，．则3x y +的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．74．执行如图所示的程序框图，若输出的14S =，则输入的n 值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知35a =，02log 01b =．．，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<6．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q ，R 分别为棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，经过P ，Q ，R 三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为（ ） A．B．CD7．已知偶函数()f x 的图象关于(1,0)对称，且当01x ∈（，）时，2()f x x =，则910x ∈（，）时，()f x ＝（ ） A ．2xB ．2x -C ．28x -（）D ．2(10)x --8．已知:p 函数()2ln 1y x ax =-+的定义域为R ，:x q e ax >对任意实数x 恒成立，若p q ∧真，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,2B ．[)2,eC ．()2,e -D ．[)0,e9．双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A．y =B．y =或2y x =±C．y = D．y x =或y = 10．已知函数()(]201lg (1,)x x x f x x x ⎧-+∈⎨∈+∞⎩，，，＝，，若()f x a =有三个不等实数根123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．（2，＋∞）B ．[2，＋∞）C ．（2，1 D ．[2，1+11．已知数列{n a }满足11a =，22a =，2221cossin 22n nn n a a ππ+⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=，n *∈N 则2019a ·22020log a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．10102D ．1010101012．菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 将三角形ACD 折起，当三棱锥D －ABC 体积最大时，其外接球表面积为（ ）A ．3B C ．209π D ．203π第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知平面向量a ，b r 满足2a b ⋅=v v ，1=r b ，22a b -=v v ，则a r ＝__________．14．已知数列{n a }的通项公式为631317n n a n －＝－，若i a ，j a 分别是该数列的最大项和最小项，则i ＋j ＝__________．15．已知函数()sin 2cos f x x x =+在0x 处取得最小值，则()f x 的最小值为__________，此时0cos x =__________． 16．已知点P 是曲线214x y =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线xy e =上任意一点，则｜PH ｜＋｜PQ ｜的最小值为__________．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =－，数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，AC AD ． （1）求边BC 的长； （2）求△ABD 内切圆半径．19．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB AC ⊥，AC AB =，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ； （2）若Q 是棱AB 上一点，14Q BMC P ABC V V =－－，求二面角Q MC A --的大小．20．已知椭圆C ：22221x y a b +＝（a ＞b ＞0）的离心率为6，且经过点P （2，2）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点Q （1，－1）的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点（与点P 不重合），试判断点P 与以MN 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 21．已知函数()2x f x e cosx x -=-． （1）求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求证：()f x 在(,)2π-+∞上仅有2个零点．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设()1,1M ，求11MA MB＋的值． 23．已知函数()32f x x x =--． （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若()f x 的最大值为m ，a 、b 、c 为正数且a b c m ++=，求证：2223a b c ++≥．参考答案1．B 【解析】 【分析】先化简得到2z i =-，再计算z =【详解】=1+2iz i 则1+2=2iz i i=-,z 故选B 【点睛】本题考查了复数的模，属于简单题. 2．A 【解析】 【分析】先计算集合A 和集合B ，再根据A B ⊆关系解得答案. 【详解】{}{}3log (2)2211A x x x x =-≤=<≤{}202m B x x m x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭A B ⊆，则2,42mm ≤≤ 故选：A 【点睛】本题考查了集合的包含关系，属于基础题型. 3．D 【解析】 【分析】画出可行域，根据平移得到答案. 【详解】 画出可行域：如图所示，取30x y +=画出图像通过平移：当目标函数过直线1y x -=和3x y +=的交点(1,2)A 时，有最大值 即1,2x y ==时，有最大值为7 故选：D 【点睛】本题考查了线性规划，准确作图是解题的关键. 4．C 【解析】 【分析】 设数列111(1)1n a n n n n ==-++，则程序框图表示的是从n 项到11项之和，利用裂项相消法得到答案. 【详解】 设数列111(1)1n a n n n n ==-++则程序框图表示的是数列从n 项到11项之和 即111111111 (1121112124)S n n n n n =-+-++-=-=+++ 3n =故选C 【点睛】本题考查了程序框图，确定程序框图所表示的数列关系是解题的关键. 5．A 【解析】 【分析】先根据函数的单调性判断b c >，再判断c a >得到答案. 【详解】0202log 01log 0.21b =>=．．． 33log 2log 31c =<=故b c >3353553332323log 2log 35>∴>∴>= ，即c a >故b c a >> 故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，意在考查学生的计算能力. 6．A 【解析】 【分析】先确定平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形HPFQGR ，再计算机其面积为得到答案. 【详解】如图所示：,,F G H 是对应线段的中点. 易知：RF 与HQ 相交，确定一个平面HQ ‖RG ，故G 在平面内，同理P 在平面内故平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形HPFQGR12623S π=⨯=故选A【点睛】本题考查了截面图形的面积，确定截面为正六边形是解题的关键. 7．D 【解析】 【分析】根据对称和偶函数得到周期为4，设910x ∈（，），则10(0,1)x -∈，代入化简得到答案. 【详解】偶函数f x （）的图象关于10（，）对称 则()(),(1)(1)f x f x f x f x =--=-+得到()()(2)f x f x f x =-=-+，(2)(4)f x f x +=-+，故(4)()f x f x +=周期为4 设910x ∈（，），则10(0,1)x -∈ 2()(2)(10)(10)(10)f x f x f x f x x =-+=--=--=--故选：D 【点睛】本题考查函数的对称性和奇偶性，利用代换得到函数的周期是解题的关键. 8．A【分析】由p q ∧真得出两个命题均为真命题，求出p 、q 均为真命题时对应的参数a 的取值范围，取交集即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由于命题p q ∧为真命题，则命题p 、q 均为真命题. 若命题p 为真命题，则240a ∆=-<，解得22a -<<.若命题q 为真命题，构造函数()xf x e ax =-，则()min 0f x >，且()xf x e a '=-.（1）当0a <时，()0f x '>对任意的x ∈R 恒成立，此时，函数()y f x =单调递增， 且当x →-∞时，()f x →-∞，不合乎题意； （2）当0a =时，()0xf x e =>恒成立；（3）当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =.当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>.()()()ln min ln ln ln 1ln 0a f x f a e a a a a a a a ∴==-=-=->，即1ln 0a ->，解得0a e <<.所以，当命题q 为真命题时，0a e ≤<. 因此，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：A. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了对数型函数的定义域与不等式恒成立问题，解题时要根据复合命题的真假判断出简单命题的真假，考查运算求解能力，属于中等题. 9．B 【解析】 【分析】根据题意得到a =，再讨论焦点在x 轴，y 轴两种情况得到答案.12AF F ∆是顶角为120︒的等腰三角形：则=c故a =当焦点在x轴上时：渐近线方程为y x = 当焦点在y轴上时：渐近线方程为y =综上所述：渐近线方程为y =或y x = 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，遗漏一种情况是容易发生的错误. 10．C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据对称性得到121x x =+，再计算31x <. 【详解】()(]201lg (1,)x x x f x x x ⎧-+∈⎨∈+∞⎩，，，＝，， ，()f x a =有三个不等实数根123,,x x x 设123x x x << 画出函数图像得：根据对称性知：121x x =+取1lg ,4x x ==，则31x <<综上所述：21312x x x ++<<故选：C【点睛】本题考查了函数零点的范围，画出图像得到临界点是解题的关键.11．C【解析】【分析】讨论n 的奇偶性分别计算得到21k a k -=，22k k a =代入数据计算得到答案.【详解】11a =，22a =，2221cos sin 22n n n n a a ππ+⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=，n *∈N 当n 为奇数时：化简得到21n n a a +=+，隔项成等差数列.设21n k =-，21k a k -=，故20191010a =当n 为偶数时：化简得到22n n a a +=，隔项成等比数列.设2n k =，22k k a =，故202010102a =故2019a ·02220210101010l 010og 1a =⨯= 故选：C【点睛】本题考查了数列的求值，讨论n 的奇偶性分别计算是解题的关键.12．D【解析】【分析】当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到222)()3R OG =+和222(3R OG =+，计算得到答案. 【详解】易知：当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大.如图所示：E 为AC 中点，连接,DE BE ，外接球球心O 的投影为G 是ABC ∆中心，在BE 上BE =DE =EG = ，BG =设半径为R ，则222)3R OG =-+，222(3R OG =+解得：3R =，表面积22043S R ππ== 故选：D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，利用勾股定理求出半径是解题的关键.13．【解析】【分析】 对22a b -=r r 两边平方得到，计算得到答案.【详解】22a b -=r r 两边平方得到：22444a a b b -⋅+=r r r r ，即28,a a ==r r故答案为：【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.14．11【解析】【分析】 变形32317n a n =+-，构造函数3()2317f x x =+-，根据函数的单调性，得到答案. 【详解】 6312(317)332317317317n n n a n n n --+=+-==-- 易知对应函数3()2317f x x =+- 在17(,)3+∞上单调递减，对应函数值大于零 在17(,)3-∞上单调递减，对应函数值小于零 故32317n a n =+-的最大项为6a ，最小项为5a 即11i j +=故答案为11【点睛】 本题考查了数列的最大项和最小项，构造函数3()2317f x x =+-得到单调区间是解题的关键，可以简化运算.15． 【解析】【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()()f x x ϕ=+，可得出函数()y f x =的最小值，根据题中条件得出0x 与ϕ之间的关系，然后利用诱导公式可求出0cos x 的值.【详解】())sin 2cos sin cos cos sin f x x x x x x x ϕϕ⎫=+=+=+⎪⎪⎭Q()x ϕ+，锐角ϕ满足cos ϕ=，sin ϕ=()y f x =的最小值为由题意可得()()00f x x ϕ=+=()0sin 1x ϕ∴+=-，得()0322x k k Z πϕπ+=+∈，()0322x k k Z πϕπ∴=-+∈，则03cos cos 2sin 2x k πϕπϕ⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭.故答案为. 【点睛】本题考查三角函数的最值，解题时首先要利用辅助角公式将三角函数解析式化简，同时要注意取最值时对应角与辅助角之间的关系，并借助诱导公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.161【解析】【分析】 利用抛物线性质得到11PH PQ PQ PF QF +=+-≥-设(,)x Q x e ，则22221x QF e x x =+-+，22()21x f x e x x =+-+，求导，得到函数的单调性，进而求得最小值.【详解】如图所示：1PH PF =- ，11PH PQ PQ PF QF +=+-≥- 即求QF 最小值设(,)x Q x e ，则22222(1)()21x x QF x e e x x =-+=+-+设函数222()21,'()222x x f x e x x f x e x =+-+=+-，'(0)0f =2''()420x f x e =+>，'()f x 单调递增故()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.min ()(0)2f x f ==，QF当(0,1)Q ，,,P Q F 共线时，PH PQ +11【点睛】 本题考查了距离的最小值，变换11PH PQ PQ PF QF +=+-≥-是解题的关键.17．（1）12n n a -=；（2）()12326n n +-⋅+【解析】【分析】（1）令1n =，由11a S =计算出1a 的值，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-计算出n a ，再验证1a 是否满足()2n a n ≥的表达式，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得出21282n n n n b b a ++-==，然后在等式两边同时除以12n +可得出11222n n n n b b ++-=，可知数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列，由此求出数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，可解出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n =时，111211a S ==-=；当2n ≥时，()()11112121222n n n n n n n n a S S ----=-=---=-=.11a =也适合12n n a -=，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=；（2）21282n n n n b b a ++-==Q ，在等式两边同时除以12n +得11222n n n n b b ++-=，且112b =. 所以，数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，()121212n n b n n ∴=+-=-， ()212n n b n ∴=-⋅.()123123252212n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，得()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，上式-下式得()12312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅L ()()()31112122212322612n n n n n -++-=+--⋅=-⋅--，因此，()12326n n T n +⋅=-+.【点睛】 本题考查由前n 项和n S 求数列通项n a ，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位相减法求和，在利用前n 项和n S 求数列通项n a 时，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来计算，但需对1a 是否满足()2n a n ≥的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题. 18．（1）4；（2【解析】【分析】（1）设BD BC m ==，利用两次余弦定理和ADB ADC π∠+∠=，化简计算得到答案. （2）利用余弦定理得到cos ADB ∠=，sin 14ADB ∠=，再利用面积公式得到ABD S ∆=，再利用1()2ABD S r AB BD AD ∆=++计算得到答案. 【详解】（1）设BD BC m ==，在,ABD ACD ∆∆中利用余弦定理得到：297cos m ADB =+-∠，2137m ADC =+-∠ADB ADC π∠+∠=解得2m =，则24BC m ==（2）在ABD ∆中，利用余弦定理得到：2972ADB =+-∠，cos 14ADB ∠=，sin 14ADB ∠=12sin 22ABD S ADB ∆=⨯∠=又1()2ABD S r AB BD AD ∆=++=即1(52r =解得6r =【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，内切圆半径，其中1()2ABD S r AB BD AD ∆=++是一个求内切半径的常用方法，需要熟练掌握. 19．（1）见解析；（2）4π 【解析】【分析】 （1）先证明CM ⊥平面PAB 得到CM AB ⊥，再根据AB AC ⊥得到AB ⊥平面PAC .（2）根据14Q BMC P ABC V V －－＝确定Q 为AB 中点，再根据定义得到QMA ∠为面角 Q MC A --的平面角，计算得到答案.【详解】（1）PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，故CM PA ⊥Q 平面PAB ⊥平面PAC ，CM PA ⊥，故CM ⊥平面PABAB ⊆平面PAB ，故CM AB ⊥，又Q AB AC ⊥，,AC CM 相交，故AB ⊥平面PAC ；（2）Q 是棱AB 上一点，设h 为三棱锥P ABC -的高132M BCQ Q B C MC B Q h V V S -∆==⨯⨯－ 13A ABCB PC V S h ∆=⨯⨯－ 14Q BMC P ABC V V －－＝，即12BCQ ABC S S ∆∆=，故Q 为AB 中点. 由（1）知：AM MC ⊥，QM MC ⊥故QMA ∠即为面角Q MC A --的平面角.在Rt QAM ∆中，12AM AC =，1122AQ AB AC ==故AM AQ = QAM ∆为等腰直角三角形，4QMA π∠=故二面角Q MC A --为4π 【点睛】 本题考查了线面垂直，二面角，找出二面角对应的平面角是解题的关键，也可以利用空间直角坐标系求解.20．（1）22116163x y +=；（2）点P 在以MN 为直径的圆上【解析】【分析】（1，过点22P （，），代入计算得到答案案. （2）设直线(1)1y k x =--，联立方程组得到222(31)6(1)3(1)160k x k k x k +-+++-=，根据韦达定理计算0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，验证斜率不存在的情况，得到答案.【详解】 （1）22221x y a b +＝c a = 经过点22P （，），则22441a b +=，解得4,a b == 故椭圆C 的方程为：22116163x y +=（2）当MN 斜率存在时：设直线方程为(1)1y k x =--，1122(,),(,)M x y N x y 则22(1)1116163y k x x y =--⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得到：222(31)6(1)3(1)160k x k k x k +-+++-=1,1Q -（）在椭圆内，恒有两个交点.12221226(1)313(1)1631k k x x k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩11221122(2,2)(2,2)(2,(1)3)(2,(1)3)PM PN x y x y x k x x k x ⋅=--⋅--=---⋅---u u u u r u u u r 1212(2)(2)[(1)3][(1)3]x x k x k x =--+----22121212122()4(3)()(3)x x x x k x x k k x x k =-+++-++++222223(1)166(1)(1)(2(3))4(3)3131k k k k k k k k k --+=+-+++++++ 222222(1)(3613)6(32)(1)(613)(3+1)=031k k k k k k k k k k k +---++++++=+即PM PN ⊥u u u u r u u u r当MN 斜率不存在时：(1,M N 0PM PN ⋅=u u u u r u u u r即PM PN ⊥u u u u r u u u r综上所述：点P 在以MN 为直径的圆上【点睛】本题考查了椭圆方程，直线的椭圆的关系，将点P 在以MN 为直径的圆上转化为 0PM PN ⋅=u u u u r u u u r 是解题的关键，意在考查学生的计算能力.21．（1）y x =-，（2）见解析【解析】【分析】（1）求导得到'(0)1k f ==-，代入切点得到切线方程y x =-. （2）先验证0是函数的1个零点，再求导得到当02x x π-<<时，函数()f x 单调递减.当0x x >时，函数()f x 单调递增，得到0()0f x <，根据零点存在定理得到证明.【详解】（1）()2x f x e cosx x -=-，s '()2in x f x e x +=-'(0)1k f ==-，(0)0f =故切线方法为：y x =-（2）()2x f x e cosx x -=-，易知：(0)0f = ，0是函数的1个零点s '()2in x f x e x +=-取'()20sin xf x e x +=-=，即sin 2x e x -=-画出函数图像：知两函数有一个交点设为00(,)x y ，001x << 当02x x π-<<时，'()0f x <，函数()f x 单调递减.(0)0f =，所以0()0f x <当0x x >时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.x →+∞时,()f x →+∞，根据零点存在定理：当0x x >时有且仅有一个零点综上所述：()f x 在(,)2π-+∞上仅有2个零点 【点睛】本题考查了函数的切线问题，零点问题，根据单调性判断存在0()0f x <是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.22．（1）22:230C x y x +--=，10l y +=；（2）3. 【解析】【分析】（1）在曲线C 的极坐标方程中，由222x y ρ=+，cos x ρθ=可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线l 的参数方程中消去参数t ，可得出直线l 的普通方程；（2）将直线l的参数方程表示为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），并设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，得出关于t的二次方程，并列出韦达定理，可计算出121211t t MA MB t t ++=的值. 【详解】（1）在曲线C 的极坐标方程中，由222x y ρ=+，cos x ρθ=可得出曲线C 的普通方程为22230x y x +--=，即()2214x y -+=. 在直线l 的参数方程中消去t1y +=10y +=；（2）直线l的参数方程表示为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），并设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，消去x 、y得230t --=.由韦达定理得12t t +=1230t t =-<. 因此，1212121211t t t t MA MB t t t t +-+=====.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义，对于这类问题，常将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.23．（1）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）分0x ≤、03x <<、3x ≥去绝对值，分段解不等式()2f x ≥，可得出该不等式的解集；（2）由（1）可将函数()y f x =表示为分段函数，可求出函数()y f x =的最大值为3m =，可得出3a b c ++=，然后利用柯西不等式得出()()()2222111a b c a b c ++++≥++，由此可证明出2223a b c ++≥.【详解】（1）当0x ≤时，()()32323f x x x x x x =--=-+=+，由()2f x ≥，得32x +≥， 解得1x ≥-，此时10x -≤≤；当03x <<时，()()323233f x x x x x x =--=--=-，由()2f x ≥，得332x -≥， 解得13x ≤，此时103x <≤； 当3x ≥时，()()323236f x x x x x x =--=--=--≤-，此时不等式()2f x ≥无解. 综上所述，不等式()2f x ≥的解集为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）由（1）可知()3,033,033,3x x f x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪--≥⎩.当0x ≤时，()33f x x =+≤；当03x <<时，()()336,3f x x =-∈-；当3x ≥时，()36f x x =--≤-.所以，函数()y f x =的最大值为3m =，则3a b c ++=.由柯西不等式可得()()()2222111a b c a b c ++++≥++，即()222233a b c ++≥， 即2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.因此，2223a b c ++≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值函数的最值以及利用柯西不等式证明不等式，在求解绝对值不等式时，一般利用零点分段法去绝对值来求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.。
2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合M＝[1,2]，N＝{x∈Z|-1A．[1,2]B．(－1,3)C．{1}D．{1,2}【答案】D【解析】集合N为整数集，所以先用列举法求出集合N，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：，.故选：D.【点睛】本题考查交集的概念和运算，解题的关键是先分析出集合中的代表元素是整数，属于基础题.2．已知集合A＝{x|x>2}，B＝，则B∩∁RA等于（）A．{x|2≤x≤5}B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1≤x≤2}D．{x|x≤－1}【答案】C【解析】已知集合A，B，则根据条件先求出，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：集合A＝{x|x>2}，所以，又集合，则.故选：C.【点睛】本题考查交集和补集的概念和计算，属于基础题.3．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是（）A．(－∞，1)B．C．【答案】B【解析】函数f(x)的定义域即：即被开方数大于等于0，分母不为0，且对数函数的真数有意义，根据条件列出方程组，解出的范围即为所求.【详解】解：函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是，解得：，所以函数f(x)的定义域是.故选：B.【点睛】本题考查求复合函数的定义域，解题的关键是保证每部分都有意义，属于基础题.4．已知f()＝x－x2，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)＝x2－x4B．f(x)＝x－x2C．f(x)＝x2－x4(x≥0)D．f(x)＝－x(x≥0)【答案】C【解析】令（），解出，利用换元法将代入解析式即可得出答案.【详解】解：令（），则，所以（），所以f(x)＝x2－x4（）.故选：C.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，解题的关键是注意换元之后的定义域，属于基础题.5．与函数相同的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数【考点】函数是同一函数的标准6．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C。
