第二节标准正交基
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§5 子空间一、 欧氏空间中的正交子空间 1.定义:1) 1V 与2V 是欧氏空间V 中的两个子空间,如果对1V α∀∈,V β∈,恒有(),0αβ=,则称子空间1V 与2V 为正交的,记作12V V ⊥. 2) 对给定向量V α∈,如果对∀1V β∈,恒有(),0αβ=,则称向量α 与子空间1V 正交,记作1V α⊥. 注:① 12V V ⊥当且仅当1V 中每个向量都与2V 正交. ② {}12120V V V V ⊥⇒⋂=.( ()12,00V V αααα∀∈⋂⇒=⇒=.) ③ 当1V α⊥且V α∈时,必有0α=. 2.两两正交的子空间的和必是直和. 证明:设子空间12,,,s V V V 两两正交, 要证明12s V V V ⊕⊕⊕,只须证: 12s V V V +++中零向量分解式唯一. 设 12s ααα+++=0, i i V α∈, 1,2,,i s = 12V V ⊥, i j ≠∴ ()()()12,0,,0i i s i i ααααααα=+++==由内积的正定性,可知 0,i α= 1,2,,i s = 二、子空间的正交补 1.定义:如果欧氏空间V 的子空间12,V V 满足12V V ⊥,并且12V V V +=, 则称 2V 为1V 的正交补.2.n 维欧氏空间V 的每个子空间1V 都有唯一正交补. 证明:当{}10V =时,V 就是1V 的唯一正交补. 当{}10V ≠时,1V 也是有限维欧氏空间. 取1V 的一组正交基12,,,,m εεε 由定理1,它可扩充成V 的一组正交基 121,,,,,,,m m n εεεεε+ 记子空间()12,,.m n L V εε+= 显然, 12V V V +=.又对 11221m m x x x V αεεε∀=+++∈,112m m n n x x V βεε++=++∈,()()1111,,,0m n m ni i j j i j i j i j m i j m x x x x αβεεεε==+==+⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑∴ 12V V ⊥. 即2V 为1V 的正交补. 再证唯一性. 设23,V V 是1V 的正交补,则1213V V V V V =⊕=⊕对2,V α∀∈由上式知 13V V α∈⊕ 即有 13,ααα=+ 1133,V V αα∈∈ 又 1213,V V V V ⊥⊥ ∴ 131,,αααα⊥⊥从而有 ()()()()()1131113111,,,,,0ααααααααααα=+=+== 由此可得 10α=,即有 3V α∈ ∴ 23V V ⊆. 同理可证 32V V ⊆, ∴ 23.V V = 唯一性得证. 注:① 子空间W 的正交补记为W ⊥.即{}|W V W αα⊥=∈⊥② n 维欧氏空间V 的子空间W 满足: i) ()WW ⊥⊥=ii) dim dim dim W W V n ⊥+== iii) W W V ⊥⊕=ⅳ) W 的正交补W ⊥必是W 的余子空间. 但一般地,子空间W 的余子空间未必是其正交补. 3.内射影设W 是欧氏空间V 的子空间,由,V W W ⊥=⊕对,V α∀∈有唯一的12,W W αα⊥∈∈,使12ααα=+称1α为α在子空间W 上的内射影. 小结:两空间正交、直和、正交补。
§9-2 标准正交基复习欧氏空间的概念、两向量正交的定义、度量矩阵的定义及性质。
一、概念定义5: 欧氏空间中一组非零的向量,如果它们两两正交,则称为一个正交向量组。
例1: 向量(),0101=α()1012=α,()1013-=α构成3R 的一个正交组。
事实上,很容易验证 ()0=j iαα3,2,1,=j i例2: 在()π20C 上,函数组 1,cosx, sinx, … cos nx, sin nx … 构成()π20C 上的一个正交组。
事实上,我们有ππ2120=⎰dx ;⎩⎨⎧≠==⎰nm nm nxdx mx ,0,cos cos 20ππ; ⎩⎨⎧≠==⎰nm nm n x d x mx 0,sin sin 20ππ; 0sin cos sin cos 202020===⎰⎰⎰πππnxdx nxdx nxdx mx所以 ()()0sin 1cos 1==nx nx ;()()()0sin ,sin ,cos sin ,cos ===nx mx coxnx mx nx mx , 当n m ≠时一般情况下,正交向量组是对两个或两个以上的向量而言,对于特殊情况我们规定:单个非零向量所成的向量组是正交向量组。
由正交向量组的定义很容易得出以下结论: 1、正交向量组一定是线性无关的。
证明:设m ααα ,,21正交,欲证其无关设有关系式 02211=+++m m k k k ααα 用i α与等式两边做内积,由于()0=j iαα当j i ≠时所以可得 ()0i=i i k αα 而()i i αα﹥0 所以()m i k i 2,1,0==注①:此定理的逆不成立,即无关的向量组不一定是正交的。
如()3,2,11=α,()0,1,22=α无关(不成比例),但()0421≠=αα注②:相关的向量组一定是不正交的。
于是可得2、在n 维欧氏空间中,两两正交的非零向量不超过n 个。
事实上,在n 维空间中,任何n+1个向量都是相关的。
§2 标准正交基一、正交向量组 定义:设V为欧氏空间,非零向量12,,,m V ααα∈,如果它们两两正交,则称之为正交向量组. 注:① 若0α≠,则α是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 证:设非零向量12,,,m V ααα∈两两正交. 令 11220m m k k k ααα+++=, i k R ∈则 ()()11,,,0m mi j j j i j i i i j j k a k a a k a a α==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑由 0i a ≠知 (),0i j a a >, ∴ 0i k =, 1,2,,i m = 故 12,,,m ααα线性无关.③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组. 例如:3R 中 ()11,1,0α=,()21,0,1α=线性无关. 但12,αα不是正交向量组.()12,10αα=≠.④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n 二、标准正交基 1. 几何空间3R 中的情况在直角坐标系下()1,0,0i =,()0,1,0j =,()0,0,1k =是由单位向量构成的正交向量组,即()()(),,,0i j j k k i ===1i j k ===i ,j ,k 是3R 的一组基.设 111x i y j z k α=++,3222x i y j z k R β=++∈ ① 从 ()1,i x α=,()1,j y α=,()1,k z α= 得 ()()(),,,i i j j k k αααα=++ ② ()121212,x x y y z z αβ=++③ α=④,arccos βθ=即在基,,i j k 下,3R 中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式. 2. 标准正交基的定义n 维欧氏空间中,由n 个向量构成的正交向量组称为正交基; 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注:① 由正交基的每个向量单位化,可得到一组标准正交基. ② n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基()1,,1,2,0i j i ji j n i j εε=⎧⇔==⎨≠⎩③ n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基当且仅当其度量矩阵 ()(),i j n A E εε==.④ n 维欧氏空间V 中的标准正交基的作用: 设1,,n εε为V 的一组标准正交基,则 (i) 设 1122n n x x x V αεεε=+++∈ 由(1) ,(),i i x αε= .有 ()()()1122,,,n n ααεεαεεαεε=+++ (2) (ii) ()11221,nn n i i i x y x y x y x y αβ==+++=∑ (3)这里 1122n n x x x αεεε=+++ , 1122n n y y y βεεε=+++ .(iii) α=3. 标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程1) (定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证:设 12,,,m ααα欧氏空间V中的正交向量组,对n m -作数学归纳法. 当0n m -=时, 12,,,m ααα就是一组正交基了.假设n m k -=时结论成立,即此时可找到向量12,,k βββ 使 12,,m ααα,12,,k βββ 成为一组正交基.现在来看()11n m k -=+≥的情形. 因为m n <,所以必有向量β不能被12,,m ααα线性表出, 作向量 ()111220m m mk k k αβααα+=---≠ i k R ∈ 待定. 从正交向量组的性质知()()()1,,,,i m i i i i k ααβααα+=-1,2,.i m = 于是取 ()(),,i i i i k βααα=1,2,.i m =可得()1,0,i m αα+= 1,2,.i m = 即 121,,,,m m αααα+ 为正交向量组.由归纳法假设知,对这1m +个向量构成的正交组可扩充得正交基. 于是定理得证.2)(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基12,,n εεε都可找到一组标准正交基12,,,n ηηη,使()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,,i n = 证:(基本方法─逐个构成出满足要求的12,,,n ηηη.)首先,可取 1111ηεε=.一般地,假定已求出12,,,m ηηη是单位正交的 ,且()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,i m = (4)当m<n 时,因为有 ()112,,,m m L εεεε+∉ 由(4)知 1m ε+不能被12,,,m ηηη线性表出. 按定理1证明中的方法,作向量111122m m m m k k k ξεηηη++=---, ()()1,,m i i i i k εηηη+=即 ()1111,mm m m i i i ξεεηη+++==-∑ (5)则 10m ε+≠ 且 ()1,0m i εη+=, 1,2,i m = 再设 1111m m m ηξξ+++=.可知 121,,,,m m ηηηη+ 是单位正交向量组.从(4)和(5)知 121,,,,m m ηηηη+与121,,,m m εεεε+是等价向量组,因此,有()()121121,,,,,,m m L L εεεηηη++=由归纳原理,定理2得证. 注:① 由()()1212,,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,i n = 知,若 ()()1212,,,,,,i n T ηηηεεε=,则过渡矩阵()ij T t =是上三角形(即0,ij t i j =>) 且 0,ij t > 1,2,i n = ②Schmidt 正交化过程:1。