典型共点力平衡问题例题

典型共点力作用下物体的平衡例题

[［例1]如图1所示，挡板AB和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m，问当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时，AB板及墙对球压力如何变化。

极限法

[例2]如图1所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求

（1）物体A所受到的重力；

（2）物体B与地面间的摩擦力；

（3）细绳CO受到的拉力。

例3]如图1所示，在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳，细绳的另一端连着圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的静摩擦因数为0.75，另有一条细绳，在其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方。当细绳的端点挂上重物G，而圆环将要开始滑动时，试问

（1）长为30cm的细绳的张力是多少？

（2）圆环将要开始滑动时，重物G的质量是多少？

（3）角φ多大？

[分析]选取圆环作为研究对象，分析圆环的受力情

况：圆环受到重力、细绳的张力T、杆对圆环的支持力N、

摩擦力f的作用。

[解]因为圆环将要开始滑动，所以，可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题。由牛顿第二定律给出的平衡条件∑F x=0，∑F y=0，建立方程有

μN-Tcosθ=0，

N-Tsinθ＝0。

设想：过O作OA的垂线与杆交于B′点，由AO=30cm，tgθ=，得B′O的长为40cm。在直角三角形中，由三角形的边长条件得AB′=50cm，但据题述条件AB=50cm，故B′点与滑轮的固定处B点重合，即得φ=90°。

（1）如图2所示选取坐标轴，根据平衡条件有

Gcosθ+Tsinθ-mg=0，

Tcosθ-Gsinθ=0。

解得T≈8N，

（2）圆环将要滑动时，得m G g＝Tctgθ，m G=0.6kg。

（3）前已证明φ为直角。

例4]如图1所示，质量为m＝5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数求当物体做匀速直线运动时，牵引力F的最小值和方向角θ。

[分析]本题考察物体受力分

析：由于求摩擦力f时，N受F制约，

而求F最小值，即转化为在物理问

题中应用数学方法解决的实际问

题。我们可以先通过物体受力分析。

据平衡条件，找出F与θ关系。进

一步应用数学知识求解极值。

[解]作出物体m受力分析如图2，由平衡条件。

∑F x=Fcosθ-μN=0（1）

∑F y=Fsinθ+N-G=0（2）

由cos（θ-Ф）=1即θ—Ф=0时

∴Ф=30°，θ=30°

[说明]本题中我们应用了数学上极值方法，来求解物理实际问题，这是在高考中考察的一项重要能力。在以后解题中我们还会遇到用如：几何法、三角形法等数学方法解物理问题，所以，在我们学习物理时，逐步渗透数学思想，对解决物理问题是很方便的。但要注意，求解结果和物理事实的统一性。

[例5]如图1，A、B两物体质量相等，B用细绳拉着，绳与倾角θ的斜面平行。A 与B，A与斜面间的动摩擦因数相同，若A沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。

例6、如图7，半径为R的光滑半球的

正上方，离球面顶端距离为h的O点，用

一根长为l的细线悬挂质量为m的小球，

小球靠在半球面上．试求小球对球面压力

的大小．

题

[例题1]一个光滑的圆球搁在光滑的斜面和竖直的档板之间（图1），斜面和档板对圆球的弹力随斜面倾角α变化而变化的范围是：

A．斜面弹力N1变化范围是（mg，＋∞）

B．斜面弹力N1变化范围是（0，＋∞）

C．档板的弹力N2变化范围是（0，+∞）

D．档板的弹力N2变化范围是（mg，＋∞）

答：[A、C]

解：圆球受三个力，其中重力的大小和方向均为确定的，档板对圆球的弹力N2

的方向始终是水平的，亦为确定的。而斜面对圆球的作用力的大小和方向均在变化中，但不论α如何变动，只要α取一个确定的值，圆球就在三力作用下处于平衡状态，则此三力就组成一个封闭的三角形，如图2所示：

由于0＜α＜90°，所以mg＜N1＜＋∞，0＜N2＜＋∞

解出。

[例题2]如图3所示,用两根绳子系住一重物,绳OA与天花板夹角θ不变,且θ＞45°,当用手拉住绳OB，使绳OB由水平慢慢转向OB′过程中，OB绳所受拉力将

A．始终减少B．始终增大

C．先增大后减少D．先减少后增大

答：[D]

解：重物受三个力，其中重力大小方向确定，OA方向不变，OB绳受力的大小方向变化。在变化过程中，重物所受三力平衡，可组成一个封闭三角形，现图示如下：

从图中可很直观地得出结论。由于θ＞45°,θ+α=90°所以α＜45°,此时T OB 取得最小值。

[例题3]如图4所示，一重球用细线悬于O点，一光滑斜面将重球支持于A点，现将斜面沿水平面向右慢慢移动，那么细线对重球的拉力T及斜面对重球的支持力N 的变化情况是：

A．T逐渐增大，N逐渐减小；

B．T逐渐减小，N逐渐增大；

C．T先变小后变大，N逐渐减小；

D．T逐渐增大，N先变大后变小。

．

例7、一质量为50kg的均匀圆柱体，放在台阶旁，台阶高度

（r为柱体半径）。柱体最

上方A处施一最小的力F，使柱体刚能开始以P轴向台阶上滚，求此

最小力．

析：圆柱体不能看作质点，选其为研究对象，分析其受力如图13（a）所示．

先将圆柱体在P点所受的支持力N和静摩擦

力f合成，得到合力Q，则圆柱体受mg、Q、F三

个力作用，这三个力必为共点力，且Q、F二力的

合力为定值，如图13（b）所示，显然当F与Q

垂直时，F有最小值，由题给条件知，∠OAP=30°，

则：

F min=T·sin30°=mg·sin30°=250N

由以上两例可以发现，将多力问题转化为三力问题时，常先将同一接触面上的弹力和摩擦力合成，在求解时用的较多的分析思路是三力的动态平衡问题的分析思路，请读者再进一步加以体会．

（2）利用正交分解法分析求解

当受力较多时，利用合成法需要几次合成才能得出结论，分析起来较繁琐．最常见的多力平衡问题就是直接建立正交坐标系，在分析物体受力后，利用正交分析法求解．

例8、如图14为一遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端

固定于天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的

水平地面上的滑块A相连．当绳处在竖直位置时，滑块A对

地面有压力作用．B为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花

板的距离BO等于弹性绳的自然长度．现用一水平力F作用

于A，使它向右作直线运动．在运动过程中，作用于A的摩擦

力

A、逐渐增大

B、逐渐减小

C、保持不变

D、条件不足，无法判断