2017年上海市中学生业余数学学校招生试题(含答案)

2017年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试试题（10月21日上午8:30~9:30）得分评分复核本卷满分100分（10’×10=100’）1、计算：（1）2017 × 20162016 - 2016 × 20172017=________（2）13312155132642586538++++++=________2、有一个四位正整数，在它的某位数字前加上一个小数点，再与这个四位数相加，得到数2037、17，则这个四位数是________3、已知一列数：2017，2016，1，2015，2014，1，2013，2012，1，…，3，2，1，则这一列数中，从左向右数，第2017个数是________4、五年级某班有26名男生、在一次考试中，该班有30人得分超过85分，则这次考试中，该班女生中得分超过85分的人数比男生中得分没有超过85分的人数多________人5、某人工作一月（按30天计算）的酬金是1800元加一台自动洗衣机、实际上，他做了12天，得到60元和一台自动洗衣机，则这台自动洗衣机的价值为________元6、如图，在四边形ABCD中，已知AB=BC=a cm，AD=DC=b cm（a，b 为整数），∠DAB=∠BCD=90°，且四边形ABCD的面积为385cm2，则四边形ABCD周长的最小值是________cm7、有三堆棋子，每堆棋子一样多，且都由黑白两色棋子组成、已知第一堆的黑棋和第二堆的白棋数目相等，第三堆的黑棋占三堆全部黑棋的25、若把三堆棋子并成一堆，则在这一堆棋子中，白棋占全部棋子的________（填一个分数）8、如图，由12条线段搭成一个空间框架、框架中两条没有公共端点的线段是不相交的，例如AC与BD是一对不相交的线段（这里AC，BD没有次序之分），则这个框架的12条线段中，不相交的线段有________对9、在如图的10个小方格里分别填上1，2，3，4，5，11，12，13，14，15十个数，使三个2×2的正方形中的四个数的和都相等，则这个和的最大值是________10、有64个1×1×1的小正方体，其中34个是白色的，30个是黑色的、现将它们拼成一个4×4×4的大正方体，则大正方体表面黑色部分面积的最小是________2017年上海市中学生业余数学学校招生试题答案 预备年级1、（1）0;（2）242、20173、6734、45、11006、927、948、36 9、33 10、22。

2017年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列实数中，无理数是（ ）.A ． 0；BC ．2-；D ．27.2.下列方程中，没有实数根的是（ ）.A ．220x x -=； B ．2210x x --=； C ．2210x x -+=；D ．2220x x -+=.3. 如果一次函数y kx b =+（k b 、是常数，0k ≠）的图像经过第一、二、四象限，那么k b 、应满足的条件是( ).A ．0k > ，且0b >；B ．0k <，且0b >；C ．0k >，且0b <；D ．0k <，且0b <. 4.数据2 5 6 0 6 1 8、、、、、、的中位数和众数分别是( ).A ．0和6；B ．0和8；C ．5和6；D ．5和8. 5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.A ．菱形；B ．等边三角形；C ．平行四边形；D ．等腰梯形.6.已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）.A ．BAC DCA ∠=∠；B ．BAC DAC ∠=∠； C ．BAC ABD ∠=∠； D ．BAC ADB ∠=∠.二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：22a a ⋅= .8. 不等式组2620x x >⎧⎨->⎩的解集是 .9.1=的根是 . 10.如果反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像经过点(2 3)，，那么在这个函数图像所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而 .（填“增大”或“减小”）11.某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%.如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是 微克/立方米. 12.不透明的布袋里2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是 .13.已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(0 1)-，，那么这个二次函数的解析式可以是 .（只需写一个）14.某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图1所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是 万元.15. 如图2，已知//AB CD ，2=CD AB ，AD 、BC 相交于点E ，设=u u u r r AE a ，=u u u r rCE b ，那么向量u u u r CD 用向量设 r ra b 、表示为 .16. 一副三角尺按图3的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点 B C D 、、在一条直线上）.将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转︒n 后(0180<<n )，如果//EF AB ，那么n 的值是 .17.如图4，已知Rt ABC ∆，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，分别以点 A B 、为圆心画圆，如果点C 在A e 内，点B 在A e 外，且B e 与A e 内切，那么B e 的半径r 的取值范围是 .18.我们规定：一个正n 边形（n 为整数，4n ≥）的最短对角线与最长对角线的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为n λ，那么6λ= .图 1 45%25%一月份三月份二月份图 3(F )EDC B A图 2图 4BC A三、简答题：（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10121211)9()2--+.20. （本题满分10分）解方程：231133x x x -=--.21. （本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分）如图5，一座钢结构桥梁的框架ABC ∆，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD BC ⊥. (1) 求sin B 的值；(2) 现需要加装支架 DE EF 、，其中点E 在AB 上，2BE AE =，且EF BC ⊥，垂足为点F . 求支架DE 的长．22. （本题满分10分，每小题满分各5分）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案.甲公司方案：每月的养护费用y (元)与绿化面积x (平方米)是一种函数关系，如图6所示. 乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取费用5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元. (1) 求图6所示的y 关于x 的函数解析式；（不要求写出定义域）(2) 如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少.23. （本题满分10分，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分5分）已知：如图7，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD CD =，E 是对角线BD 上一点，且EA EC =. (1) 求证：四边形ABCD 是菱形；(2) 如果BE BC =，且:2:3CBE BCE ∠∠=，求证：四边形ABCD 是正方形.图 5F E D CBA)图 6图 7EDCBA24. （本题满分12分，每小题满分各4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线2y x bx c =-++经过点(2 2)A ，，对称轴是直线=1x ，顶点为B .(1) 求这条抛物线的表达式和点B 的坐标；(2) 点M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m ，联结AM ,用含m 的代数式表示AMB ∠的余切值；(3) 将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C 在x 轴上. 原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q ，如果OP OQ =，求点Q 的坐标.25. （本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图9，已知O e 的半径长为1， AB AC 、是O e 的两条弦，且AB AC =，BO 的延长线交AC 于点D ，联结 OA OC 、. (1) 求证：OAD ∆∽ABD ∆；(2) 当OCD ∆是直角三角形时，求 B C 、两点的距离；(3) 记 AOB AOD COD ∆∆∆、、的面积分别为123 S S S 、、，如果2 S 是1S 和3 S 的比例中项，求OD 的长.图 8图 9DCABO 备用图。

2017年上海市数学中考真题(含答案)2017年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷注意事项：1.本试卷共25题；2.试卷满分150分，考试时间100分钟；3.答题时，考生务必按照答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；4.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列实数中，无理数是A。

√2；B。

2；C。

-2；D。

(2/7)²。

2.下列方程中，没有实数根的是A。

x²-2x=0；B。

x²-2x-1=0；D。

x²-2x+2=0.3.如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是C。

k>0，且b<0.4.数据2、5、6、6、1、8的中位数和众数分别是D。

5和8.5.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是D。

等腰梯形。

6.已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是D。

∠BAC=∠ADB。

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：2a·a²=____▲____。

8.不等式组{2x>6.x-2>0}的解集是____▲____。

9.方程2x-3=1的根是____▲____。

10.如果反比例函数y=k/x（k是常数，k≠0）的图像经过点(2,3)，那么在这个函数图像所在的每个象限内，y的x值随x的值增大而___▲___。

（填“增大”或“减小”）11.某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%。

如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是___▲___微克/立方米。

12.从不透明的布袋中摸出一个红球的概率可以通过红球的数量除以总球数来计算，即3/(2+3+5)=3/10.13.二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c，其中a决定了开口方向和大小，由于题目中开口向上，所以a>0.又因为顶点坐标为(0,-1)，所以c=-1.因此二次函数的解析式为y=ax^2-1.14.根据图1可知，第一季度总产值为100万元，二月份产值为72万元，因此其他两个月份的产值之和为100-72=28万元。

2017年上海市普通高等学校招收应届中等职业学校毕业生统一文化考试数学试卷考生注意：1．本试卷满分100分．考试时间100分钟．2．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求；所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，作图使用铅笔，在草稿纸和试卷上答题一律无效． 3．答题前，考生务必用签字笔、钢笔或圆珠笔在答题纸上清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上．4．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么A B =（A ）∅；（B ）{1,4}；（C ）{2,3}；（D ）{1,2,3,4}．2．不等式217x -≤的解集为 （A ）]3,4[-；（B ）]4,3[-；（C ）),3[]4,(+∞--∞ ；（D ）),4[]3,(+∞--∞ ．3．函数()cos 1f x x =-在区间(,)-∞+∞上的最大值为 （A ）1-；（B ）0；（C ）1；（D ）2．4．若命题甲：5=x ，命题乙：0252=-x ，则命题甲是命题乙的 （A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充要条件；（D ）既非充分又非必要条件．5．若3log 1x >，则x 的取值范围为 （A ）(0,1)；（B ）(0,3)；（C ）(1,)+∞；（D ）(3,)+∞．6．小明所在的篮球队共有10名同学，若从中选出包括小明在内的3名同学逐一上场参加投篮比赛，则不同的安排方法有 （A ）108种； （B ）120种； （C ）216种；（D ）720种．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上．】 7．函数()f x =的定义域为 ▲ ．8．某景区门票的价格y （元）与游客年龄x （岁）之间的关系如图1所示．若30岁的小张陪年龄分别为66岁和63岁的父母一起游览该景区，则他们三人共需支付门票的金额为 ▲ 元．9．某厂生产甲、乙两种产品，生产每件产品的原料费、人工费（单位：万元/件）如表1所示．上个月该厂生产了4件甲产品和6件乙产品，由此产生的原料总费用和人工总费用可以用一个列矩阵表示为 ▲ ．10．已知向量(2,1)a =-，那么||a = ▲ ．11．若y x ,满足约束条件2,4,0,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥则目标函数y x z 3+=的最小值为 ▲ ．12．若一个等比数列的前四项依次为1,,,27x y ，则xy = ▲ ． 13．某凉亭的顶棚可以看成如图2所示的正四棱锥P ABCD -的侧面．已知的底面边长为4米P ABCD -，高为1.5米，那么该正四棱锥的侧面积为 ▲ 平方米．14．若()(1)()f x x x a =+-为定义在R 上的偶函数，则实数a = ▲ ．15．若直线3420x y ++=与圆222(2)(3)(0)x y r r -+-=>相切，则r = ▲ ． 16．已知4cos 5α=，3(,2)2απ∈π，那么cos()4απ+= ▲ ． 17．某同学参加知识竞赛，他将从6道物理题、5道化学题和4道生命科学题中任意抽取2道题进行解答，假设每道题被抽中的可能性相等．若该同学擅长的学科是物理和化学，则他抽到的2道题都是自己擅长的学科的概率为 ▲ ．（结果用最简分数表示） 18．甲、乙两人从汽车站前往火车站，甲乘定时发车的直达车，乙沿直达车行驶的路线骑自行车．甲乘上直达车后，其路程y （千米）关于时间x （小时）的函数关系如图3所示；在甲上车的同一时刻，乙骑自行车出发，其路程y （千米）关于时间x （小时）的函数表1图1输出y 36y 40y0yP D CBA图2关系式为20y x =，[0,0.5]x ∈．当两人在途中相遇时，乙骑行的路程为 ▲ 千米．三、解答题（本大题共6题，满分46分）【解答下列各题必须在答题纸的相应位置上写出必要的步骤．】 19．（本题满分6分）每小题满分各为3分．已知复数112i =-+z ，设复数2i =+z a b ，其中,a ∈b R ，i 为虚数单位．（1）若1=a ，12⋅z z 为实数，求b 的值；（2）设复数12,z z 在复平面内对应的向量分别为12,OZ OZ ，且12OZ OZ OP +=，其中向量OP 如图4所示，求复数2z ．20．（本题满分6分）每小题满分各为3分．如图5，在正三棱柱111ABC A B C -中，3AB =，14AA =．（1）在答题纸的图6中画出该几何体的主视图； （2）求异面直线1AA 与1BC 所成的角的正切值．1A1B1CA BC主视方向 图5图621．（本题满分8分）每小题满分各为4分．设函数()sin()6f x x ωπ=-，其中0>ω．（1）若(,0)127π和(,0)1213π是函数()y f x =的图像与x 轴的两个相邻交点的坐标，求ω的值；（2）在ABC △中，三个内角,A ,B C 所对的边长分别为,a ,b c ，若a ，2b =， 且cos (0)=A f ，求B ．22．（本题满分8分）每小题满分各为4分．某图书馆拟在今年7月1日至7月31日期间开展“你阅读，我送书”的读书月活动，规则如下：参加活动的读者在一天内阅读的时间超过一小时认定为他完成一天阅读．每位读者完成第一天阅读获得50分，从完成第二天阅读起，每完成一天阅读获得的分数比上一次完成一天阅读多4分．活动结束后，计算每位读者的总分，每1000分可兑换一本书． 若小丽同学参加该活动．（1）写出小丽完成第2天阅读的当天可获得的分数，并求她完成第n 天阅读的当天可获得的分数关于n 的表达式；（2）按此规则，小丽最多可以兑换到多少本书？23．（本题满分9分）第（1）小题满分为3分，第（2）小题满分为6分．设椭圆E ：22215+=x y a (0)a >的两个焦点分别为1,F 2F ，其中1F 的坐标为(2,0)-．（1）设椭圆E 与y 轴正半轴的交点为B ，若直线l 经过坐标原点且平行于直线1BF ，求直线l 的方程；（2）若椭圆E 上一点P 与点1F 的距离等于椭圆E 的焦距，求2||PF 及12PF F △的面积．24．（本题满分9分）第（1）小题满分为2分，第（2）小题满分为7分．设函数()x f x a =，其中0a >且1a ≠．（1）函数()1y f x =+的图像都经过同一个点，写出该点的坐标；（2）若函数()f x 在闭区间[1,2]上的最大值与最小值之差不小于2，且(1)1f b -=+，分别求a 和b 的取值范围．2017年上海市普通高等学校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试数学试卷答案要点一、选择题（本大题满分18分）1．C ；2．B ；3．B ；4．A ；5．D ；6．C ．二、填空题（本大题满分36分）7．1[,)5+∞；8．76；9．22036⎛⎫ ⎪⎝⎭；1011．2； 12．27； 13．20；14．1； 15．4； 16；17．1121；18．103． 三、解答题（本大题满分46分）19．【解】（1）由题意，21i =+z b ，12(12i)(1i)(12)(2)i ⋅=-++=--+-z z b b b ． 因为12⋅z z 为实数，所以20-=b ，解得2=b ． （2）由题意，1(1,2)=-OZ ，(2,3)=OP ．由21(2,3)(1,2)(3,1)OZ OP OZ =-=--=，得23i =+z ． 20．【解】（1）（2）在正三棱柱111ABC A B C -中，因为11//AA BB ， 所以11∠B BC 为异面直线1AA 与1BC 所成的角（或其补角）． 在11Rt B BC △中，111113tan 4B C B BC BB ∠==． 因此，异面直线1AA 与1BC 所成的角的正切值为34． 21．【解】（1）设函数()f x 的周期为T ，由题意，212122T 13π7ππ=-=，得T =π． 因此，Tω2π==2． 主视图（2）由题意，得1cos 2=-A ，于是sin A ．由正弦定理sin sin =a bA B，得sin sin ==b A B a ， 解得4π=B 或4B 3π=，又因为a b >，所以4π=B ．22．【解】（1）小丽完成第2天阅读的当天可获得54分． 设小丽完成第n 天阅读的当天可获得的分数为n a ，由题意，数列{}n a 是一个等差数列，首项150a =，公差4d =．因此，446=+n a n ． （2）设小丽完成前n 天阅读可获得的总分为n S ，于是2248=+n S n n ． 小丽最多可获得的总分为23123148313410S =⨯+⨯=． 因此，小丽最多可以兑换到3本书．23．【解】（1）由题意，点B 的坐标为，再由1(2,0)F -，可得直线1BF ．又因为直线l 经过坐标原点且平行于直线1BF ，所以直线l 的方程为=y x ． （2）由题意，112||||4PF F F ==．又22529=+=a ，得3a =． 12||||26PF PF a +==，于是2||2PF =．在等腰12PF F △中，可求得底边2PF因此，12PF F △的面积122S =⨯=24．【解】（1）该点坐标为(0,2)．（2）①当1>a 时，函数()f x 在闭区间[1,2]上单调递增， 由题意，2(2)(1)2f f a a -=-≥．可得2a ≥． ②当01<<a 时，函数()f x 在闭区间[1,2]上单调递减， 由题意，2(1)(2)2f f a a -=-≥．此时，满足条件的a 不存在． 综上所述，a 的取值范围为[2,)+∞． 由(1)1f b -=+，得11b a=-． 又因为[2,)a ∈+∞，所以b 的取值范围为1(1,]2--．双向细目表。

上海市中学生业余数学学校历年初中招生试题汇编（含参考答案）目录01．1987年初一年级招生试题 ------------------------------------ 03 02．1988年初一年级招生试题------------------------------------- 05 03．1989年初一年级招生试题------------------------------------- 07 04．1990年初一年级招生试题--------------------------------------09 05．1991年初一年级招生试题------------------------------------- 1106．1992年初一年级招生试题------------------------------------- 13 07．1993年初一年级招生试题------------------------------------- 15 08．1994年初一年级招生试题------------------------------------- 17 09．1995年初一年级招生试题------------------------------------- 19 10．1996年初一年级招生试题------------------------------------- 21 11．1997年初中预备年级招生试题--------------------------------- 23 12．1997年初一年级招生试题------------------------------------- 25 13．1998年初中预备年级招生试题--------------------------------- 2714．1998年初一年级招生试题------------------------------------- 29 15．1999年初中预备年级招生试题--------------------------------- 3116．2000年初中预备年级招生试题--------------------------------- 3317．2001年初中预备年级招生试题--------------------------------- 3518．2002年初中预备年级招生试题--------------------------------- 3719．2003年初中预备年级招生试题--------------------------------- 3920．2004年初中预备年级招生试题--------------------------------- 4121．2005年初中预备年级招生试题--------------------------------- 4322．2006年初中预备年级招生试题--------------------------------- 4523．2007年初中预备年级招生试题--------------------------------- 4724．2008年初中预备年级招生试题--------------------------------- 4925．参考答案---------------------------------------------------- 512005年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题本卷满分100分（7/×4+8/×4+10/×4 =100/）1、 在平面上画一个长方形能把平面分成两个部分，如果画三个长方形，那么最多能把平面分成部分。

2010年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试2010年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试【第1题】若分数15的分子、分母各加X ，分数变成23，则X 的值是_______。

【分析与解】（方法一）()()125331257X X X X X +=++=+=即X 的值是7。

（方法二）约分之前，分母比分子大514-=；分数15的分子、分母各加X ，分数的分子为()43228÷-⨯=，分母为()432312÷-⨯=；即18512X X +=+； 故X 的值是7。

【第2题】数30可以写成三个不同正整数的平方和：22230125=++试将数42，46也写成三个不同正整数的平方和： 42_____________=；46_____________=。

【分析与解】211=，224=，239=，2416=，2525=，2636=； 先考虑最大的整数的平方；经尝试，22242145=++，22246136=++。

2010年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试【第3题】如图，'x ，'y ，'z 和x ，y ，z 分别是三角形的三个外角和三个内角，若':':'4:5:6x y z =，则::_______x y z =。

z' y'x'yx z【分析与解】因为':':'4:5:6x y z =；所以设'4x k = ，'5y k = ，'6z k = （0k ≠）；则()180'1804x x k =-=-，()180'1805y y k =-=-，()180'1806z z k =-=-； 三角形内角和等于180 ；()()()180418051806180k k k -+-+-=； 三角形外角和等于360 ；456360k k k ++=； 24k =；84x = ，60y = ，36z = ； ::84:60:367:5:3x y z == 。

2017年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1. 本试卷共25题；2. 试卷满分150分，考试时间100分钟；3. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；4. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必修在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列实数中，无理数是……………………………………………………………………（ ）（A ）0； （B ； （C ）-2； （D ）27. 2.下列方程中，没有实数根的是…………………………………………………………（ ）（A ）220x x -=； （B ）2210x x --=； （C ）2210x x -+=； （D ）2220x x -+=.3.如果一次函数y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）的图像经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是…………………………………………………………………………（ ）（A ）0k ＞，且0b ＞； （B ）0k ＜，且0b ＞； （C ）0k ＞，且0b ＜； （D ）0k ＜，且0b ＜.4.数据2，5，6，0，6，1，8的中位数和众数分别是……………………………………（ ）（A ）0和6； （B ）0和8； （C ）5和6； （D ）5和8.5.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是……………………………………（ ）（A ）棱形； （B ）等边三角形； （C ）平行四边形； （D ）等腰梯形. 6.已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是…………………………………………………………………………（ ）（A ）∠BAC =∠DCA ； （B ）∠BAC =∠DAC ； （C ）∠BAC =∠ABD ； （D ）∠BAC =∠ADB .二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.计算：22a a ⋅= ▲ . 8.不等式组{26;x ＞20.x -＞的解集是 ▲ .9.方程231x -=的根是 ▲ .10.如果反比例函数（k 是常数，0k ≠）的图像经过点（2，3），那么在这个函数图像所在的每个象限内，的值随的值增大而 ▲ .（填“增大”或“减小”）11.某市前年PM2.5的年均浓度为50 μg/m 3，去年比前年下降了10%，如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是 ▲ μg/m 3. 12.不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是 ▲ .13.已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（0，-1），那么这个二次函数的解析式可以是 ▲ .（只需写一个） 14.某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图1所示。

2017年上海市春季高考数学试卷　一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为 ．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{a n}的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 ．8．已知数列{a n}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为 ．　二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ ）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ ）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{x n}中，x1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥x n对任意n∈N*成立．2017年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B=　{1，2，3，4}　．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为　（﹣2，4）　．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z=　2﹣3i　．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a=　6　．6．若等差数列{a n}的前5项的和为25，则a1+a5=　10　．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为　2　．8．已知数列{a n}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为　160　．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是　6　．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为　48　．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为　（0，1）　．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（　B　）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（　C　）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（　A　）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（　B　）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），k PQ=k0，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2k0nx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b2=k2+k02，由，得，即Q（，），代入x2﹣=1，化简，得：，解得b2=4或b2=kk0，当b2=4时，满足n=，当b2=kk0时，由2b2=k2+k02，得k=k0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{x n}中，x1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n∈N *成立．解：（1）∵f（x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=， ax a a x g --+-=21)(∵a∈（1，+∞），∴g（x ）在（﹣1，1）上是增函数，又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f（x ）﹣f（）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f（）=f （x ）﹣f（），∴f（）﹣f（x ）=﹣f（）．（3）∵f（x ）的定义域为（﹣1，1），f （﹣x）=log 2=﹣log 2=﹣f（x ），∴f（x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f（）=f （x n ）﹣1，∴f（x n+1）=f （x n ）﹣1；②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f（）=1﹣f（x n ），∴f（x n+1）=1﹣f（x n ）．∴f（x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f（x 2）=2﹣f（x 1），f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f（x 1），f （x 5）=1﹣f（x 4）=f （x 1），f （x 6）=f （x 5）﹣1=f（x 1）﹣1，…∴f（x n ）=f （x n+4），n∈N +．设12111)(---=-+=x x x x h ∴h（x ）在（﹣1，1）上是增函数，∴f（x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n∈N *成立，∴f（x 3）≥f（x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．。