牛吃草问题讲义

牛吃草问题（讲义）一、教学目标1、知识与技能：（1）能够理解牛吃草问题的实质，掌握该类问题的解法。

（2）通过问题的解法，可以根据所给条件图示或思维图，finding the answer。

2、过程与方法：通过引领学生自主探究、合作学习等方式，激发学生的问题意识和探究欲望，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容牛吃草问题的讲解三、教学方法1、解释法2、举例法3、归纳法四、教学过程Step1、引入（1）学生在小组中集思广益，思考有没有什么常识可以与牛吃草问题相关联。

比如：牛一定会一口一口地吃草，不会一口吃掉。

（2）老师引入牛吃草问题。

如果有一头牛在一片长满草的牧场上吃草，它平均每天可以吃掉牧场上草的90%。

那么如果这头牛吃了2天，牧场上还剩下多少草？Step2、探究（1）老师让学生分组探究。

思考：如果牛吃了1天，牧场上还剩下多少草？如果牛连续吃了两个周六（即2天），又会吃掉多少？如果吃了3天、4天呢？请你们探究该问题的解法。

（2）学生分享与总结。

学生展示自己的解法，并总结出如下规律：n 天后还剩1 ($ 1 \div 10 $) $\times 10 = 1$2 ($ 1 \div 10 $) $\times 9 = 0.9$3 ($ 1 \div 10 $) $\times 8 = 0.8$……n ($ 1 \div 10 $) $\times (10-n) $Step3、引申（1）如上所述，牧场的草只剩10%。

如果这时再入一只牛来吃草，那么还能支撑多少天？（2）如果现在牛吃1天最多能吃掉30%草，那么还能支撑多少天？Step4、总结回顾笔记，让学生总结解决牛吃草问题的方法。

五、教学总结本节课学习到了牛吃草问题。

引入问题后，老师呈现出其解决方式，学生自主学习和合作学习，掌握相关知识与技能。

通过此类问题的引导，学生可以从一系列看似简单的问题中，慢慢发展出自己的数学思维和解题方法，从而增加解决问题的能力。

牛吃草问题
例1 有一片牧场长满牧草，牧草每天均匀增长。

这片牧场可供27头牛吃6天；可供21头牛吃9天。

如果养牛18头，那么几天能把牧场上的草吃尽？
例2 一片牧草，每天生长的速度相同。

现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量。

那么多少头牛6天可以吃完？
例3 有一片牧场，草每天都匀速生长，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草。

（1）要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？
（2）多少头牛12天可以吃完？
例4 一水池有一根进水管，有若干根相同的抽水管。

进水管不间断地进水，若用24根抽水管抽水，6小时可把池中的水抽干；若用21根抽水管抽水，8小时可将池中的水抽干。

那么用16根抽水管，几小时可将水池中的水抽干？
例 5 火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人通过检票进站。

如果只有一个检票口，检票开始16分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票开始后几分钟就没有人排队检票？
例6 因天气转冷，牧场上的草以固定速度减少。

已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。

照此计算，这个牧场上的草可供多少头牛吃10天？。

牛吃草问题教学目的：1、学会在草生长或枯萎时，计算牛吃草的天数或牛的头数。

2、通过吃草的天数和牛的头数，来计算草地的生长或枯萎速度及原有的草量。

3、掌握典型牛吃草问题的求解方法。

4、掌握草地面积变化的牛吃草问题解法。

教学重难点：1、计算草生长速度和原有草量2、归一法解决草地面积变化类牛吃草问题1、牛吃草，看似主角是牛，其实主角是草，草原上的草到了春天，春意盎然，“蹭蹭”的长，长的比牛吃的还快；到了秋天，就算没有牛，草地自己也会慢慢枯萎。

所以草地自身草量的变化非常关键。

草生长情况下吃草天数的计算，最关键的一步是求出“草地每天真正的减少量。

”牛吃草问题，只要抓住草地每天的减少量，其他问题都好办！2、通过吃草的天数和牛的头数，来计算草地的情况，关键还是围绕草地进行分析。

主要计算三个量：①草地在多少天内提供了多少草？②多少是新草？③多少是老草？3、解决典型的牛吃草问题，要紧紧抓牢两个关键的量：①草的生长速度②原有的草量4、解决草地面积变化牛吃草问题，最关键的一步是“归一”。

先把已知条件归为一公顷草地提供草的情况，再通过对比算出一公顷草地的草的生长速度和原有草量。

归一运算的步骤：先算出整块草地在多少天内提供了多少草，再除以草地面积，求出一公顷草地在多少天内提供了多少草。

草量变化时求牛数与天数例题1 1头牛1天吃“1份草”，草地一开始有60份草，每天新生长2份草，问8头牛几天可以吃完整片草地的草？例题2 1头牛1天吃“1份草”，草地一开始有60份草，每天枯萎2份草，问8头牛几天可以吃完整片草地的草？每天减少量：8×1+2=10份60÷10=6天草地6天被吃完！计算草速与原有草量例题3 一片草地8头牛吃10天，4头牛吃18天，你觉得这片草地是在生长还是枯萎呢？如果一头牛一天吃的草量为1份，那这片草地每天枯萎或者减少的草量是多少份？例题4 一片草地8头牛吃10天，6头牛吃15天，如果一头牛一天吃的草量为1份，那这片草地原有多少份草呢？总草量：6×15=90份新草：15×2=30份老草：90-30=60份典型牛吃草问题例题5 一片草地，8头牛吃10天，6头牛吃15天，4头牛吃几天？草地面积变化牛吃草问题例题6 同样一片草地，15头牛20天吃了其中的5公顷，24头牛30天吃了其中的9公顷，40头牛多少天可以吃其中的10公顷？训练1 1头牛1天吃“1份草”，草地开始有60份草，每天新生长2份草，问几头牛5天可以吃完整片草地的草？训练2 有一片牧场，草地上现有20 0份草，草地每天都均匀地生长5份草．若一开始放25头牛，每头牛每天吃1份草，一共可以吃几天？训练3 一片草地8头牛吃10天，6头牛吃15天，你觉得这片草地是在生长还是枯萎呢？如果一头牛一天吃的草量为1份，那这片草地每天枯萎或者减少的草量是多少份？训练4 有一片牧场，每天都在均匀地生长草，每头牛每天吃1份草．如果在牧场上放养14头牛，那么15天能把草吃完；如果只放养19头牛，那么10天能把草吃完．那么每天均匀长几份草？草地一开始原有几份草？训练5 有一片牧场，每天都在均匀地生长草，每头牛每天吃1份草．如果在牧场上放养20头牛，那么10天能把草吃完；如果只放养15头牛，那么15天能把草吃完．如果要想一直有草吃，那么最多放几头牛？（思考：一直有草吃的含义是什么？）训练6 一片面积为7公顷的草地，可供10头牛吃70天。

列方程
根据图表分析，列出表示 草量减少速度与牛的数量 和吃草速度之间关系的方 程。
方程法解题步骤
设定变量
设定表示牛的数量、吃草 速度及草量的变量。
建立方程
根据题目描述，建立关于 这些变量的方程，通常包 括草的总量、每头牛每天 吃的草量等。
解方程
通过代数方法解方程，找 出牛的数量或吃草速度等 未知量。
相关数学知识点回顾
线性方程
牛吃草问题中涉及的数学知识点包括线性方程的建立和求解。通过 设定变量和建立方程，可以计算出牛吃草的速度和草场恢复的速度 。
代数运算
在解决牛吃草问题的过程中，需要进行代数运算，如加法、减法、 乘法和除法等。这些运算有助于简化问题和求解方程。
逻辑推理
除了数学计算外，解决牛吃草问题还需要进行逻辑推理。通过分析问 题的条件和限制因素，可以推导出合理的解决方案。
特殊情况处理技巧
考虑草的生长速度
利用单位换算简化问题
如果题目中提到草会生长，需要在方 程中加入表示草生长速度的项。
如果题目中的单位不统一，可以通过 单位换算将它们统一，从而简化问题 。
考虑不同种类的牛
如果题目中有不同种类的牛，它们吃 草的速度可能不同，需要分别设定变 量并建立方程。
04
典型例题解析
能够运用所学知识解决实际生 活中的相关问题
培养分析问题、解决问题的能 力以及数学思维的严谨性
02
牛吃草问题数学模型
假设与定义
假设草地上草的总量为C，每头牛每天吃草的数量为G，草地上牛的数量为N，经 过时间T后，剩余的草量为R。
定义每天草地上草的净增长量为D（可能为负数，表示草在减少），则D = (C R) / T。
复杂牛吃草问题举例

所以，这片草地可供25头牛吃5天。
在例1的解法中要注意三点：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情 况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中 几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草， 根据吃的天数可以计算出原有的草量。
（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草， 其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出 能吃几天。
（20＋10）×5＝150（份）。
由 150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃 10 天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。
变式训练-1： 一个水池装一个进水管和三个同样 的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水 后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管， 那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管， 那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开
变式训练3：某车站在检票前若干分钟就开始 排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始 检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票 口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。 如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
分析与解：等候检票的旅客人数在变化， “旅客”相当于“草”，“检票口”相当于 “牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
解:设出水管每分钟排出得水为1份,每分钟进 水量(2×8-3×5)/(8-5)=1/3(份)
进水管提前开了(2-1/3)×8÷1/3=40(分)
答：出水管比进水管晚开40分钟。
变式训练2： 自动扶梯以均匀速度由下往上 行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已 知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15 级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩 用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
200－150＝50（份），20—10＝10（天），

草地上的草分布不均匀，不同区域的草量不同，需要考虑牛在不同 区域的吃草效率。
多块草地上的牛吃草问题
多块草地上的草量和分布各不相同，需要合理安排牛群在不同草地 上的吃草顺序和时间。
考虑天气因素的牛吃草问题
1 2
晴天和雨天对草地生长的影响 晴天草地生长快，雨天草地生长慢，需要考虑不 同天气条件下草地的生长速度。
学习方法建议
深入理解基本概念和原理
建议学生反复阅读教材和相关资料，加深对牛吃草问题基 本概念和原理的理解，为后续学习打下坚实基础。
多做练习题，提高解题能力 鼓励学生多做各种类型的牛吃草问题练习题，通过不断练 习，熟练掌握解题技巧和方法，提高解题速度和准确性。
善于总结和归纳 建议学生在学习过程中及时总结和归纳所学知识点和解题 方法，形成自己的知识体系和解题思路，以便更好地应对 考试和实际问题。
介绍了牛吃草问题的定义、特点以及解决该问题的基本思路和方法。
02
不同类型的牛吃草问题及其解法
详细讲解了匀速吃草、变速吃草、多块草地等多种类型的牛吃草问题，
以及相应的解题技巧和策略。
03
方程法在牛吃草问题中的应用
通过实例演示了如何运用方程法解决复杂的牛吃草问题，包括如何设立
未知数、建立方程、求解方程等步骤。
该问题被抽象为数学模型，成为数 学领域中的经典问题，用于探讨资 源消耗与再生的关系。
现实意义与应用场景
01
02
03
牧场管理
在畜牧业中，牛吃草问题 直接关系到牧场的经济效 益和可持续发展。
资源分配
问题涉及到资源的合理分 配和利用，对于环境保护 和可持续发展具有重要意 义。
生态系统建模
牛吃草问题可以作为生态 系统建模的基础，用于研 究生态系统的稳定性和可 持续性。

练习

草场上有一片草，每天草都匀速的 生长，这片草场可供１０头牛吃２ ０天，可供可１５头牛吃１０天， 问可供２０头吃几天？
Байду номын сангаас
练习

牧场上的青草每天都匀速生长，这片 青草可供２７头牛吃６周，或供２３ 头吃９周．那么可供几头牛吃１２周？
牛吃草
范例１

牧场上长满牧草，每天牧草都均匀 地生长，这片牧草可供２７头牛吃 ６天，可供２３头牛吃９天，那么， 供２１头牛吃几天？
解答“牛吃草问题”的三个步骤：

（１）通过两种不同情况吃掉的总草量的差 与吃的天数的差计算每天新生长的草量． （２）求出原有的草量． 在所求问题中，让几头牛专吃新长的草，其 余的牛吃原有的草．

实验原理
牛吃草问题是一个经典的数学问题，涉及到速度、时间和数量的关系。通过实验， 可以直观地展示这些关系，帮助学生更好地理解和应用相关知识。
实验步骤及操作要点
实验步骤
1. 准备实验材料：一定数量的草、计时器、测量工具（如天平、尺子） 等。
2. 将草均匀铺设在实验场地上，并记录初始草量。
实验步骤及操作要点
通过建立数学模型和优化算法，对牛吃草问 题进行定量分析和优化求解，为实际问题的 解决提供科学依据。
02
牛吃草问题数学建模
模型假设与参数设定
假设草场是均匀的，草的生长速 度也是均匀的。
设牛吃草的速度为v（单位：单 位草量/单位时间），草的生长 速度为g（单位：单位草量/单位
时间）。
设初始时刻草场的草量为C0 （单位：单位草量），经过时间 t后，草场的草量为Ct（单位：
定期驱虫
精细化管理
加强对牛的饲养管理，包括饲料配方、 饲喂量、饲喂时间等方面的精细化管 理，可以提高饲料的利用效率和牛的 生产性能。
定期对牛进行驱虫处理，可以减少寄 生虫对饲料的消耗，提高饲料的利用 率。
提高饲料利用效率
选用优质饲料
选用优质、高营养价值的饲料， 可以提高饲料的利用效率和牛的
生产性能。
如果放养的牛数量过多，超过了草地的承载能力，草地就会被破坏，导致生态失衡。
牛吃草问题实际上是一个动态平衡问题，涉及到牛的数量、草的生长速度、草的总 量等多个因素。
问题提出及意义
问题提出
如何确定一个草地上最多能放养多少头牛，以保证草地的生态平衡和可持续发 展？
研究意义
牛吃草问题不仅关系到草地生态系统的平衡和稳定，还涉及到畜牧业的发展、 经济效益和环境保护等多个方面。通过解决牛吃草问题，可以实现草地资源的 合理利用和畜牧业的可持续发展。

牛吃草问题(一)“牛吃草”问题又称牛顿问题，是因牛顿提出而得名的。

解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就容易解决了。

例1：一片草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9 周，那么，这片草地可供21头牛吃几周？分析：这片草地上的草的数量每天都在变化，但是原来的草的数量是不变的。

牛在一段时间内吃的总草量=原有的草的数量+这段时间内新长出的草的数量新长出的草是匀速生长的，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6 周需要吃草(份)，此时新长出的草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃草(份)，此时新长出的草与原有的草也均被吃完。

所以，162份是与的总和，207份是与的总和。

因此每周新长出的草的份数为( 份)，原有的草的数量为(份）或(份)。

这片草地每周新长出的15 份草，可以安排15 头牛专吃新长出来的草，这样相当于没有新的草长出。

于是这片草地可供21 头牛吃(周）。

同样是这片草地，可供24头牛吃几周？例2：一片草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9 周，那么，这片草地可供多少头牛吃12周？同样是这片草地，可供多少头牛吃8周？方法分享：每天长草量=(对应的牛的数量×吃的较多天数一对应的牛的数量×吃的较少天数)÷（吃的较多天数一吃的较少天数）原有草量=(牛的数量一每天长草量)x可吃天数可吃天数=原有草量÷（牛的数量一每天长草量）牛的数量=原有草量÷可吃天数+每天长草量作业：1.一片草地，每天都匀速长出青草，如果这片青草可供24头牛吃6天或可供20头牛吃10天。

那么，可供19头牛吃多少天？2.一片草地，每天都匀速长出青草，如果这片青草可供24头牛吃6天或可供20头牛吃10天。

2024/1/29
22
06
总结与展望
2024/1/29
23
问题解决思路回顾
01
02
03
04
引入问题
通过具体实例引入5牛吃草问 题，明确问题的背景和研究意
义。
分析问题
对问题进行深入分析，识别问 题的关键要素和变量，建立数
学模型。
解决问题
运用数学方法和计算工具对模 型进行求解，得出问题的解决
方案。
验证问题
每头牛的食量和吃草速度
牛的数量和初始位置
2024/1/29
16
数值计算方法介绍
有限差分法
将连续的时间和空间离散化，通过差分方程近似求解。
2024/1/29
有限元法
将求解域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内选择合适的节点作为求解函数的插 值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的 线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
探索更高效的求解算法
针对牛吃草问题的求解算法可 以进一步优化和改进，以提高 求解效率和准确性。
拓展应用领域
牛吃草问题不仅仅局限于牧场 管理领域，未来可以将其拓展 应用到更多相关领域，如生态 保护、农业规划等。
加强跨学科合作研究
牛吃草问题涉及到数学、生态 学、农业等多个学科领域，未 来可以加强跨学科合作研究， 以更全面地揭示问题的本质和 规律。
。
2024/1/29
6
02
数学模型建立
2024/1/29
7
假设与定义
假设每头牛每天吃草 的量是一定的，设为 x单位。
定义n为需要的天数 ，即牛吃完草地上的 草所需的时间。

牛吃草问题教学目标：1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识点拨：英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量每天生长量天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定 1 头牛1 天吃草量为“1 ”；⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数) (较多天数较少天数)；⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲：板块一、一块地的“牛吃草问题”【例1】青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。

改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。

“廿”即二十之意。

）【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27 头牛6 个星期可以吃完，或者23 头牛9 个星期可以吃完。

若是21 头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，27 头牛吃 6 周共吃了27 6 162 份；23 头牛吃9 周共吃了23 9 207 份．第二种吃法比第一种吃法多吃了207 162 45 份草，这45 份草是牧场的草9 6 3 周生长出来的，所以每周生长的草量为45 3 15 ，那么原有草量为：162 6 1572 ．供21 头牛吃，若有15 头牛去吃每周生长的草，剩下 6 头牛需要72 6 12 (周)可将原有牧草吃完，即它可供21 头牛吃12 周．27头牛6个星期23头牛9个星期3个星期21头牛？个星期【巩固】牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10 头牛吃20 天，可供15 头牛吃10 天．供25 头牛可吃几天？【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1 ，”10 头牛吃20 天共吃了10 20 200份；15 头牛吃10 天共吃了15 10 150 份．第一种吃法比第二种吃法多吃了200 150 50 份草，这50 份草是牧场的草20 10 10 天生长出来的，所以每天生长的草量为50 10 5 ，那么原有草量为：200 5 20 100 ．供25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天生长的草，剩下20 头牛需要100 20 5 (天)可将原有牧草吃完，即它可供25 头牛吃5 天．【例2】牧场上有一片匀速生长的草地，可供27 头牛吃 6 周，或供23 头牛吃9 周，那么它可供多少头牛吃18 周？【解析】设 1 头牛 1 周的吃草量为“ 1 ”，草的生长速度为(23 9 27 6) (9 6) 15 ，原有草量为(27 15) 6 72 ，可供72 18 15 19 （头）牛吃18 周【巩固】有一块匀速生长的草场，可供12 头牛吃25 天，或可供24 头牛吃10 天．那么它可供几头牛吃20 天？【解析】设1 头牛1 天的吃草量为“1 ”，那么25 10 15天生长的草量为12 25 24 10 60 ，所以每天生长的草量为60 15 4 ；原有草量为：24 4 10 200 ．20 天里，草场共提供草200 4 20 280 ，可以让280 20 14 头牛吃20 天．【巩固】一牧场放牛58 头，7 天把草吃完；若放牛50 头，则9 天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛 6 天可以把草吃完?【解析】设1 头牛1 天的吃草量为 1 个单位，则每天生长的草量为：(50 9 58 7) (9 7) 22 ，原有草量为：50 9 22 9 252 ，(252 22 6) 6 64 (头)【巩固】林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在9 周内吃光，21 只猴子可在12 周内吃光，问如果要4 周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）【解析】设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(21 12 23 9) (12 9) 15 ，原有的野果为(23 15) 9 72 ，如果要 4 周吃光野果，则需有72 4 15 33 只猴子一起吃【例3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20 头牛吃 5 天，或可供15 头牛吃 6 天．照此计算，可以供多少头牛吃10 天？【解析】设1 头牛1 天的吃草量为“1 ，”那么每天自然减少的草量为：20 5 15 6 6 5 10 ，原有草量为：20 10 5 150 ；10 天吃完需要牛的头数是：150 10 10 5 (头)．【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。

变式训练3:某车站在检票前若干分钟就开始 排队,每分钟来得旅客人数一样多。从开始检 票到等候检票得队伍消失,同时开4个检票口 需30分钟,同时开5个检票口需20分钟。如果 同时打开7个检票口,那么需多少分钟？
分析与解:等候检票得旅客人数在变化,“旅客” 相当于“草”,“检票口”相当于“牛”,可以 用牛吃草问题得解法求解。
《牛吃草问题》课件讲解
导入:“一堆草可供10头牛吃3天,这堆草可供 6头牛吃几天？”这道题太简单了,同学们一 下就可求出:3×10÷6＝5(天)。如果我们把 “一堆草”换成“一片正在生长得草地”,问 题就不那么简单了,因为草每天都在生长,草得 数量在不断变化。这类工作总量不固定(均匀 变化)得问题就就是牛吃草问题,牛吃草问题就 是牛顿问题得俗称。
英国大数学家牛顿曾编过这样一道数 学题:牧场上一片青草,每天牧草都匀速 生长。这片牧草可供10头牛吃20天,或 者可供15头牛吃10天。问:可供25头牛
吃几天？
设1头牛一天吃得草为1份。那么,10头牛20天吃200份, 草被吃完;15头牛10天吃150份,草也被吃完。前者得 总草量就是200份,后者得总草量就是150份,前者就是 原有得草加 20天新长出得草,后者就是原有得草加10 天新长出得草。
分析:上楼得速度可以分为两部分:一部分就是 男、女孩自己得速度,另一部分就是自动扶梯 得速度。
男孩5分钟走了20×5＝ 100(级),
女孩6分钟走了15×6＝90(级),
女孩比男孩少走了100－90＝10(级),多用了6 －5＝1(分),说明电梯1分钟走10级。所以扶梯 共有(20＋10)×5＝15 Nhomakorabea(级)。
200－150＝50(份),20—10＝10(天),
说明牧场10天长草50份,1天长草5份。也就就是说,5 头牛专吃新长出来得草刚好吃完,5头牛以外得牛吃得 草就就是牧场上原有得草。由此得出,牧场上原有草

数学模型的建立
假设与定义
设牛每天吃掉的草量为x，草地原有的草量为y，草地每天增 长的草量为z。
方程的解
通过解这个方程，我们可以得到牛吃完这片草地所需的时间t 。
变量与参数的解释
变量
在这个问题中，变量包括牛每天 吃掉的草量x、草地原有的草量y 、草地每天增长的草量z以及时
间t。
参数
参数是问题中给定的常数或已知 量，如牛每天吃掉的草量和草地
维护农业生态系统的稳定性和可持续性具有重要意义。
生态领域的应用
物种多样性保护
通过研究牛吃草问题，可以了解不同物种之间的竞争和共生关系， 为保护物种多样性提供科学依据。
生态系统恢复
在生态系统受到破坏的情况下，通过调整牛吃草的方式和强度，可 以促进生态系统的恢复和重建。
生物入侵防控
某些外来植物可能会通过竞争或化感作用抑制本地植物的生长，通过 研究牛吃草问题，可以探索生物入侵的防控策略。
经济学领域
在经济学中，牛吃草问题涉及到边 际效益和边际成本的概念，对于理 解市场供需关系和资源配置有重要 意义。
问题研究的意义和价值
01
02
03
数学建模能力
通过研究和解决牛吃草问 题，可以提高学生的数学 建模能力和解决问题的能 力。
跨学科应用
牛吃草问题不仅局限于数 学领域，还可以应用于物 理、化学、生物等多个学 科领域。
经济领域的应用
畜牧业经济
牛吃草问题直接关系到畜牧业的经济效益和可持续发展，通过优化放牧管理和饲料配方，可以提高畜牧业的生产效率 和经济效益。
草业经济
草业作为一个新兴产业，其发展与牛吃草问题密切相关。通过研究牛吃草问题，可以推动草业的技术创新和管理升级 ，提高草业的经济效益和生态效益。

- 1 -数量关系系统课讲义第三章 自学提高篇第十五节 牛吃草问题 例题解法：设每头牛吃草的速度为V 1，草生长的速度为V 2S=6*(240V 1-V 2)=10*(200V 1-V 2)=T*(190V 1-V 2)→V 2=140V 1→T=12第二步，假设草场原有 y 份草，每天自然生长 x 份草。

第三步，代入第一个条件“240 头牛可以吃 6 天”，240 头牛一天可以吃掉 240 份草，于是草场每天减少（240-x ）份，y ÷（240-x ）=6；代入第二个条件“200 头牛可以吃 10 天”，草场每天减少（200-x ）份草，y ÷（200-x ）=10。

第四步，解方程 y=600，x=140，即原草场有 600 份草，每天长 140 份草。

第五步，分析计算，190 头牛每天吃 190 份草，每天长 140 份，于是草场每天实际减少 50 份草，600÷50=12 天。

核心公式：T = y (N−x ) y 代表原有草量x 代表草的生长速度N 代表“牛数”T 代表时间。

以吃 10 天，则这片草原可供 190 头牛吃的天数是（12）第一步，假设每头牛每天吃 1 份草。

题型特征：双排比句，有一定存量的同时又在变化牛吃草：240 头牛吃 6 天，200 头牛吃 10 天挖沙子：80 人连续开采 6 个月，60 人连续开采 10 个月检票：同时开 4 个检票口需 50 分钟，同时开 6 个检票口需 30 分钟水池：5 台抽水机 40 小时可以抽完，10 台抽水机 15 小时可以抽完 泄洪：打开 10 个泄洪闸 8 小时可以恢复安全水位，打开 6 个需要 24 小时解题策略：（例）一片草地（草以均匀的速度生长），240 头牛可以吃 6 天，200 头牛可【例1】某河段中的沉积河沙可供80 人连续开采6 个月或60 人连续开采10 个月。

如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）A．25 B．30C．35 D．40S=6*(80V1-V2)=10*(60V1-V2)→V2=30V1当30个人连续开采时，S=0【例2】有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。

数学公开课体验课《牛吃草问题》学生讲义及答案【牛吃草问题】牛吃草问题的关键：原有草量、每天新长出草量学会通过画辅助图解决实际问题【例1】一块草地有草240份，每天长6份，如果每头牛每天吃1份草，那么：（1）要使草永远吃不完，那么最多放养（6）头牛；（2）10头牛，吃（60）天；18头牛，吃（20）天；（3）（24）头牛，吃12天；（14）头牛，吃24天【练1】一块草地有草150份，每天长2份，如果每头牛每天吃1份草，那么：（1）要使草永远吃不完，那么最多放养（2）头牛；（2）8头牛，吃（25）天；（3）17头牛，吃（10）天；（4）（12）头牛，吃15天；（5）（7）头牛，吃30天。

【例2】一片草地，每天都匀速长出青草。

现在这块草地可供37头牛吃7天，27头牛吃17天，可供21头牛吃多少天？解：设一头牛一天吃1份草37头牛7天吃：37×7=259（份）27头牛17天吃：27×17=459（份）每天长草：（459-259）÷（17-7）=20（份）原来有草：259-20×7=119（份）或459-17×7=119（份）能吃：119÷（21-20）=119（天）答：那么可供21头牛吃119天。

【练2】有一个牧区长满草，每天匀速生长。

这个牧区的草可供27头牛食用6周，或供23头牛食用9周，可供多少头牛食用12周？（2014广东公务员考试）解：假设一头牛一周吃草量是1份，则草的生长速度：（23×9－27×6）÷（9－6）=（207－162）÷3=15（份）原有的草量为：27×6－6×15=72（份）能吃：72÷（21－15）=12（周）答：那么可供21头牛吃12周。

第八讲牛吃草问题牛吃草问题概念及公式问题又称为消长问题或牛顿牧场;牛吃草问题的历史起源是17世纪英国伟大的科学家牛顿1642—1727提出来的..典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变;不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同;求若干头牛吃这片草地可以吃多少天..由于吃的天数不同;草又是天天在生长的;所以草的存量随牛吃的天数不断地变化..解决牛吃草问题常用到四个基本公式;分别是︰五大基本公式:1 设定一头牛一天吃草量为“1”2草的生长速度＝草量差÷时间差；3原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`4吃的天数＝原有草量÷牛头数－草的生长速度；5牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度..这五个公式是解决牛吃草问题的基础..首先一般假设每头牛每天吃草量不变;设为"1";解题关键是弄清楚已知条件;进行对比分析;从而求出每日新长草的数量;再求出草地里原有草的数量;进而解答题总所求的问题..牛吃草问题是经典的奥数题型之一;这里我先介绍一些比较浅显的牛吃草问题;后面给大家开拓一下思维;首先;先介绍一下这类问题的背景;大家看知识要点求天数例1、牧场上长满了牧草;牧草每天匀速生长;这片牧草可供10头牛吃20天;可供15头牛吃10天..问：这片牧草可供25头牛吃多少天解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：200-150÷20-10=5份10×20=200份=原草量+20天的生长量原草量：200-20×5=100份或15×10=150份=原草量+10天的生长量原草量：150-10×5=100份100÷25-5=5天答：这片牧草可供25头牛吃5天练习1求时间1．1.一块牧场长满了草;每天均匀生长..这块牧场的草可供10头牛吃40天;供15头牛吃20天..可供25头牛吃＿＿天..A. 10B. 5C. 20答案：A 假设1头牛1天吃草的量为1份..每天新生的草量为：10×40-15×20÷40-20=5份..那么愿草量为：10×40-40×5=200份;安排5头牛专门吃每天新长出来的草;这块牧场可供25头牛吃：200÷25-5=10天..2．一个牧场长满青草;牛在吃草而草又在不断生长;已知牛27头;6天把草吃尽;同样一片牧场;23头牛9天把草吃尽..如果有牛21头;几天能把草吃尽3．有一片草地;草每天生长的速度相同..这片草地可供5头牛吃40天;或6供头牛吃30天..如果4头牛吃了30天后;又增加2头牛一起吃;这片草地还可以再吃几天4．牧场上长满了青草;而且每天还在匀速生长;这片牧场上的草可供9头牛吃20天;可供15头牛吃10天;如果要供18头牛吃;可吃几天5．由于天气逐渐寒冷;牧场上的牧草每天以均匀的速度减少;经测算;牧场上的草可供30头牛吃8天;可供25头牛吃9天;那么可供21头牛吃几天6．由于天气逐渐冷起来;牧场上的草不仅不长;反而以固定的速度在减少;如果某块草地上的草可供25头牛吃4天;或可供16头牛吃6天;那么可供10头牛吃多少天7．一片草地;每天都匀速长出青草;如果可供24头牛吃6天;或20头牛吃10天;那么可供18头牛吃几天8．有一块牧场;可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供25头牛吃多少天9．牧场上长满牧草;每天匀速生长;这片牧草可供10头牛吃20天;可供15头牛吃10天..可供25头牛吃几天10.有一块牧场;可供10头牛吃20天;15头牛吃10天;则它可供25头牛吃多少天A.3B.4C.5D.6牛老师答案C牛老师解析设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天;这片草场可供25头牛吃Y天根据核心公式代入200-150/20-10=5 1020-520=100 100/25-5=5天牛老师例5A.16B.20C.24D.28牛老师答案C林子里有猴子喜欢吃的野果;23只猴子可在9周内吃光;21只猴子可在12周内吃光;问如果有33只猴子一起吃;则需要几周吃光假定野果生长的速度不变A.2周B.3周C.4周D.5周牛老师答案C一片牧草;每天生长的速度相同．现在这片牧草可供20头牛吃12天;或可供60只羊吃24天．如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量;那么12头牛与88只羊一起吃可以吃多少天8．有一片草地;每天都在匀速生长;这片草可供16头牛吃20天;可供80只羊吃12天..如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量;那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天8天1按牛的吃草量来计算;80只羊相当于80÷4=20头牛..2设1头牛1天的吃草量为1份..3先求出这片草地每天新生长的草量：16×20-20×12÷20-12=10份4再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120份5最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：120÷10+60÷4-10=8天1、牧场上有一片牧草;可供27头牛吃6周;或者供23头牛吃9周..如果牧草每周匀速生长;可供21头牛吃几周求牛的数量例2、由于天气逐渐冷起来;牧场上的草不仅不长大;反而以固定速度在减少..已知某块草地上的草可供20头牛吃5天;或可供15头牛吃6天..照此计算;可供多少头牛吃10天解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的减少量：100-90÷6-5=10份20×5=100份……原草量-5天的减少量原草量：100+5×10=150 或15×6=90 份……原草量-6天的减少量原草量：90+6×10=150份150-10×10÷10=5头答：可供5头牛吃10天总结：想办法从变化中找到不变的量..牧场上原有的草是不变的;新长出的草虽然在变化;但是因为是匀速生长;所以每天新长出的草量也是不变的..正确计算草地上原有的草及每天新长出的草;问题就会迎刃而解..练习2求牛数1)有一片草地;可供8只羊吃20天;或供14只羊吃10天．假设草的每天生长速度不变．现有羊若干只;吃了4天后又增加了6只;这样又吃了2天便将草吃完;问有羊多少只2)有一牧场长满草;每天牧草匀速生长..12头牛4周吃完6公顷的牧草;20头牛6周吃完12公顷的牧草．假设每公顷原有草量相等;草的生长速度不变．问多少头牛8周吃完16公顷的牧草3)有一牧场长满草;每天牧草匀速生长..这个牧场可供17头牛吃30天;可供19头牛吃24天..现有牛若干头在吃草;6天后;杀了4头牛;余下的牛吃了2天将草吃完..问原来有牛多少头4)有3个牧场长满草;第一牧场33公亩;可供牛22头吃54天；第二牧场28公亩;可供17头牛吃84天;第三牧场40公亩;可供多少头牛吃24天每块地每公亩草量相同且都是匀速生长5)有一牧场长满牧草;牧草每天匀速生长;这个牧场可供17头牛吃30天;可供19头牛吃24天;现在有若干头牛在吃草;6天后;4头牛死亡;余下的牛吃了2天将草吃完;问原来有牛多少头6)有一块匀速生长的草场;可供12头牛吃25天;或可供24头牛吃10天;那么它可供几头牛吃20天7)一片匀速生长的草地;可以供18投牛吃40天;或者供12头牛与36只羊吃25天;如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量..请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃;刚好16天吃完8)有一口水井;如果水位降低;水就不断地匀速涌出;且到了一定的水位就不再上升..现在用水吊水;如果每分吊4桶;则15分钟能吊干;如果每分钟吊8桶;则7分吊干..现在需要5分钟吊干;每分钟应吊多少桶水9)有一片牧草;每天以均匀的速度生长;现在派17人去割草;30天才能把草割完;如果派19人去割草;则24天就能割完..如果需要6天割完;需要派多少人去割草10)有一桶酒;每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒;现在这桶酒如果给6人喝;4天可喝完；如果由4人喝;5天可喝完..这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天11)一水库存水量一定;河水均匀入库..5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干..若要6天抽干;需要多少台同样的抽水机12)有一块牧场;可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供多少头牛吃4天22头牛吃33公亩牧场的草;54天可以吃尽； 17头牛吃28公亩牧场的草;84天可以吃尽；多少头牛吃40公亩牧场的草;24天可以吃尽有一块牧场;可供10头牛吃20天;15头牛吃10天;则它可供多少头牛吃4天A.20B.25C.30D.35牛老师答案C牛老师解析设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天;根据核心公式代入20×10-15×10=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30头如果22头牛吃33公亩牧场的草;54天后可以吃尽;17头牛吃28公亩牧场的草;84天可以吃尽;那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草;需要多少头牛A.50B.46C.38D.35牛老师答案D牛老师解析设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天;每公亩草场原有牧草量为Y ;24天内吃尽40公亩牧场的草;需要Z头牛根据核心公式：;代入;因此 ;选择D牛老师注释这里面牧场的面积发生变化;所以每天长出的草量不再是常量..下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法;在真题中的应用.. 、一块草地上的草以均匀的速度生长;如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光;而14只羊则要10天吃光..那么想用4天的时间;把这块草地的草吃光;需要＿＿只羊..A. 22B. 23C. 24假设1只羊1天吃草的量为1份..每天新生草量是：14×10-20×5÷10-5=8份原草量是：20×5-8×5＝60份安排8只羊专门吃每天新长出来的草;4天时间吃光这块草地共需羊：60÷4+8＝23只练习：因天气寒冷;牧场上的草不仅不生长;反而每天以均匀的速度在减少..已知牧场上的草可供33头牛吃5天;可供24头牛吃6天;照此计算;这个牧场可供多少头牛吃10天13.有一牧场;牧草每天匀速生长;可供9头牛吃12天;可供8头牛吃16天;现在开始只有4头牛吃;从第7天开始;又增加了若干头牛;再用6天吃光所有的草;问增加了几头牛有一片匀速生长的牧草;可供17头牛吃30天;或可供19头牛吃24天..原来有若干头牛在草地上吃草;吃6天后卖了4头;余下的牛再吃2天便将草吃完;问原来有牛多少头3、有一片牧草;每天以均匀的速度生长;现在派17人去割草;30天才能把草割完;如果派19人去割草;则24天就能割完..如果需要6天割完;需要派多少人去割草牛的数量变化例3：一个牧场上的青草每天都匀速生长..这片青草可供27头牛吃6天;或供23头牛吃9天;现有一群牛吃了4天后卖掉2头;余下的牛又吃了4天将草吃完..这群牛原来有多少头解：设每头牛每天的吃草量为1份..每天新生的草量为：23×9-27×6÷20-10=15份;原有的草量为27-15×6=72份..如两头牛不卖掉;这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份..所以这群牛原来有200÷8=25头草地大小变化例4：有三块草地;面积分别是5;15;24亩..草地上的草一样厚;而且长得一样快..第一块草地可供10头牛吃30天;第二块草地可供28头牛吃45天;问第三块地可供多少头牛吃80天这是一道牛吃草问题;是比较复杂的牛吃草问题..把每头牛每天吃的草看作1份..因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份所以45－30＝15天;每亩面积长84－60＝24份所以;每亩面积每天长24÷15＝1.6份所以;每亩原有草量60－30×1.6＝12份第三块地面积是24亩;所以每天要长1.6×24＝38.4份;原有草就有24×12＝288份新生长的每天就要用38.4头牛去吃;其余的牛每天去吃原有的草;那么原有的草就要够吃80天;因此288÷80＝3.6头牛所以;一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃..解法一：设每头牛每天的吃草量为1;则每亩30天的总草量为：1030/5=60；每亩45天的总草量为：2845/15=84那么每亩每天的新生长草量为84-60/45-30=1.6每亩原有草量为60-1.630=12;那么24亩原有草量为1224=288;24亩80天新长草量为241.680=3072;24亩80天共有草量3072+288=3360;所以3360/80=42头解法二：根据10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩;根据28头牛45天吃15亩;可以推出15亩每天新长草量28×45-30×30/45-30=24；15亩原有草量：28×45-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24头24亩需牛：180/80+2424/15=42头练习：有三块草地;面积分别为5公顷;6公顷和8公顷..每块地每公顷的草量相同而且长的一样快;第一块草地可供11头牛吃10天;第二块草地可供12头牛吃14天..第三块草地可供19头牛吃多少天有三片草地;面积分别为4公顷;8公顷和10公顷．草地上的草一样厚;而且长得一样快．第一片草地上的草可供24头牛吃6周;第二片草地上的草可供36头牛吃12周．问：第三片草地上的草可供50头牛吃几天求最大量例5：经测算;地球上的资源可供100亿人生活100年;或可供80亿人生活300年..假设地球新生成的资源增长速度是一样的..那么;为了满足人类不断发展的要求;地球最多只能养活亿人.. 70解：设1亿人1年所消耗的资源为1份那么地球上每年新生成的资源量为：80×300-100×100÷300-100=70份只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时;地球上的资源才不至于逐渐减少;才能满足人类不断发展的需要..所以地球最多只能养活：70÷1=70亿人练习3求最多1)有一片牧场;操每天都在匀速生长每天的增长量相等;如果放牧24头牛;则6天吃完草;如果放牧21头牛;则8天吃完草;设每头牛每天的吃草量相等;问：要使草永远吃不完;最多只能放牧几头牛假设地球上新增长资源的增长速度是一定的;照此推算;地球上的资源可供110亿人生活90年;或可供90亿人生活210年;为了人类不断繁衍;那么地球最多可以养活多少亿人有一片牧场;24头牛6天可以将草吃完;或21头牛8天可以吃完..要使牧草永远吃不完;至多可以放牧几头牛新型牛吃草检票口吃人例1：旅客在车站候车室等车;并且排队的乘客按一定速度增加;检查速度也一定;当车站放一个检票口;需用半小时把所有乘客解决完毕;当开放2个检票口时;只要10分钟就把所有乘客OK了求增加人数的速度还有原来的人数解：设一个检票口一分钟一个人1个检票口30分钟30个人2个检票口10分钟20个人30-20÷30-10=0.5个人原有1×30-30×0.5=15人或2×10-10×0.5=15人练习：一游乐场在开门前有100人排队等候;开门后每分钟来的游客是相同的;一个入口处每分钟可以放入10名游客;如果开放2个入口处20分钟就没人排队;现开放4个入口处;那么开门后多少分钟后没人排队物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款;每一个收银台每小时能应付80名顾客付款..某天某时刻;超市如果只开设一个收银台;付款开始4小时就没有顾客排队了;问如果当时开设两个收银台;则付款开始几小时就没有顾客排队了 D画展9时开门;但早有人来排队等候入场..从第一个观众来到时起;每分钟来的观众人数一样多..如果开3个入场口;9点9分就不再有人排队了;那么第一个观众到达的时间是8点＿＿分..A. 10B. 12C. 15C假设每个人口每分钟进入的观众量是1份..每分钟来的观众人数为3×9-5×5÷9-5=0.5份到9时止;已来的观众人数为：3×9-0.5×9＝22.5份第一个观众来到时比9时提前了：22.5÷0.5＝45分所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分..禁毒图片展8点开门;但很早便有人排队等候入场..从第一个观众到达时起;每分钟来的观众人数一样多..如果开3个入场口;8点9分就不再有人排队；如果开5个入场口;8点5分就没有人排队..第一个观众到达时距离8点还有多少分钟画展9点开门;但早就有人排队入场..以第一个观众来到时起;每分钟来的观众人数一样多..如果开3个入场口;则9分钟后就不再有人排队；如果开5个入场口;则5分钟后就不再有人排队..那么第一个观众到达的时间是几点几分电梯吃人例1、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着;两位性急的孩子要从扶梯上楼..已知男孩每分钟走20级梯级;女孩每分钟走15级梯级;结果男孩用了5分钟到达楼上;女孩用了6分钟到达楼上..问：该扶梯共有多少级解析：男孩：20×5 =100级自动扶梯的级数-5分钟减少的级数女孩;15×6=90级自动扶梯的级数-6分钟减少的级数每分钟减少的级数= 20×5-15×6 ÷6-5=10级自动扶梯的级数= 20×5+5×10=150级例两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走;男孩每秒可走3级阶梯;女孩每秒可走2级阶梯;结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒;女孩走了300秒..问该扶梯共有多少级3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数每秒新增的级数：2×300-3×100÷300-100=1.5级自动扶梯级数= 3×100-100×1.5=150级自动扶梯以均匀速度由下往上行驶;小明和小丽从扶梯上楼;已知小明每分钟走25级台阶;小丽每分钟走20级台阶;结果小明用了5分钟;小丽用了6分钟分别到达楼上..该扶梯共有多少级台阶商场的自动滚梯以均匀的速度由下往上行驶着;两个孩子嫌滚梯走的太慢;于是在行驶的滚梯上;男孩每秒钟向上走1 级台阶;女孩每3秒向上走2级台阶;结果男孩用50秒到达搂上;女孩用了60秒到达搂上..问商场的自动滚梯共有多少级水管抽水例1、水库原有存水量一定;河水每天入库..5台抽水机连续20天抽干;6台同样的抽水机连续15天可抽干;若要6天抽干;要多少台同样的抽水机分析：5台 20天原有水+20天入库量6台 15天原有水+15天入库量台 6天 -原有水+6天入库量解答：设1台1天抽水量为"1";第一次总量为5×20=100;第二次总量为6×15=90每天入库量100-90÷20-15=220天入库2×20=40;原有水100-40=606天的总水量60+2×6=7272÷6=12台练习：一个水池;池底有水流均匀涌出．若将满池水抽干;用10台水泵需2小时;用5台同样的水泵需7小时;现要在半小时内把满池水抽干;至少要这样的水泵多少台设每台水泵每小时抽水量为一份．1水流每小时的流入量：5×7-10×2÷7-2=3份2水池原有水量：5×7-3×7=14份或 10×2-3×2=14份3半小时内把水抽干;至少需要水泵：14+3×0.5÷0.5=31台练习：有一水井;继续不断涌出泉水;每分钟涌出的水量相等..如果使用3架抽水机来抽水;36分钟可以抽完;如果使用5架抽水机来抽水;20分钟可抽完..现在12分钟内要抽完井水;需要抽水机多少架有一个灌溉用的中转水池;一直开着进水管往里灌水;一段时间后;用2台抽水机排水;则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水;则用16分钟排完..问如果计划用10分钟将水排完;需要多少台抽水机牛老师答案BA.5台B.6台C.7台D.8台一条船有一个漏洞;水以均匀的速度漏进船内;待发现时船舱内已进了一些水..如果用12人舀水;3小时舀完..如果只有5个人舀水;要10小时才能舀完..现在要想在2小时舀完;需要多少人例：有一水池;池底有泉水不断涌出..要想把水池的水抽干;如用10台抽水机需抽8小时；如用8台抽水机需抽12小时..那么;如果用6台抽水机;需抽多少小时解答：设一台抽水机一小时抽水一份..则每小时涌出的水量是：20×10-15×10÷20-10=5份;池内原有的水是：10-5×20=100份.所以;用25部抽水机需要:100÷25-5=5小时练习：一个水池;池底有泉水不断涌出;用10部抽水机20小时可以把水抽干;用15部相同的抽水机10小时可把水抽干..那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干有一水池;池底有泉水不断涌出;要想把水池的水抽干;10台抽水机需抽8小时;8台抽水机需抽12小时;如果用6台抽水机;那么需抽多少小时蜗牛爬山例：两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底..白天往下爬;两只蜗牛的爬行速度是不同的;一只每天爬行20分米;另一只每天爬行15分米..黑夜往下滑;两只蜗牛滑行的速度却是相同的;结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底;另一只恰好用了6个昼夜到达井底..那么;井深多少米蜗牛每夜下降：20×5-15×6÷6-5=10分米所以井深： 20+10×5=150分米=15米点评：此题按牛吃草问题来处理;考察了学生的思维和推理能力．5. 快、中、慢三车同时从A地出发;追赶一辆正在行驶的自行车..三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米..快车追上自行车用了6小时;中车追上自行车用了10小时;慢车追上自行车用小时..自行车的速度是：20×10-24×6÷10-6=14千米/小时三车出发时自行车距A地：24-14×6==60千米慢车追上自行车所用的时间为：60÷19-14=12小时甲、乙、丙三辆车同时从A地出发;出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员;过了2分钟后乙车也超过去了;又过了2分钟丙车也超了过去．已知甲车每分钟走1000米;乙车每分钟走800米;求丙车的速度.10. 现有速度不变的甲、乙两车;如果甲车以现在速度的2倍去追乙车;5小时后能追上;如果甲车以现在的速度去追乙车;3小时后能追上..那么甲车以现在的速度去追;几小时后能追上乙车15小时设甲车现在的速度为每小时行单位“1”;那么乙车的速度为：2×5-3×3÷5-3=0.5乙车原来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5所以甲车以现在的速度去追;追及的时间为：7.5÷1-0.5=15小时6. 一水池中原有一些水;装有一根进水管;若干根抽水管..进水管不断进水;若用24根抽水管抽水;6小时可以把池中的水抽干;那么用16根抽水管; 小时可将可将水池中的水抽干..设1根抽水管每小时抽水量为1份..1进水管每小时卸货量是：21×8-24×6÷8-6=12份2水池中原有的水量为：21×8-12×8＝72份316根抽水管;要将水池中的水全部抽干需：72÷16-12=18小时7. 某码头剖不断有货轮卸下货物;又不断用汽车把货物运走;如用9辆汽车;12小时可以把它们运完;如果用8辆汽车;16小时可以把它们运完..如果开始只用3辆汽车;10小时后增加若干辆;再过4小时也能运完;那么后来增加的汽车是辆..1设每两汽车每小时运的货物为1份..1进水管每小时的进水量为：8×16-9×12÷16-12=5份2码头原有货物量是：9×12-12×5＝48份33辆汽车运10小时后还有货物量是：48+5-3×10=68份4后来增加的汽车辆数是：68+4×5÷4-3=19辆9. 某水库建有10个泄洪闸;现在水库的水位已经超过安全警戒线;上游的河水还在按一不变的速度增加..为了防洪;需开闸泄洪..假设每个闸门泄洪的速度相同;经测算;若打开一个泄洪闸;30小时水位降到安全线;若打开两个泄洪闸;10小时水位降到安全线..现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线;问：至少要同时打开几个闸门4个设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份..1水库中每小时增加的上游河水量：1×30-2×10÷30-10=0.5份2水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15份3在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75份4至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4个采用“进1”法取值其它情形漏水问题;排队等候问题...等均可看作这种问题.. “牛吃草”问题分析5．答案仅供参考：1．设1头牛吃一天的草量为一份． 60只羊相当于60÷4=15头牛1每天新长的草量：15×24-20×12÷24-12=10份2原有草量：20×12-10×12=120份或 15×24-10×24=120份312头牛与88只羊吃的天数：120÷12＋88÷4-10=5天3．设一只羊吃一天的草量为一份．1每天新长的草量：8×20-14×10÷20-10=2份2原有的草量：8×20-2×20=120份3若不增加6只羊;这若干只羊吃6天的草量;等于原有草量加上4＋2=6天新长草量再减去6只羊2天吃的草量：120＋2×4＋2-1×2×6=120份4羊的只数：120÷6=20只4．设1头牛吃一周的草量为一份．1每公顷每周新长的草量：20×6÷12-12×4÷6÷6-4=1份2每公顷原有草量：12×4÷6-1×4=4份316公顷原有草量：4×16=64份416公顷8周新长的草量：1×16×8=128份58周吃完16公顷的牧草需要牛数：128+64÷8=24只5．1长跑运动员的速度：800×6+2-1000×6÷2=200米/分2三车出发时;长跑运动员与A地的距离：1000×6-200×6=4800米3丙车行的路程：4800+200×6+2+2=6800米4丙车的速度：2、有一口水井;如果水位降低;水就不断地匀速涌出;且到了一定的水位就不再上升..现在用水吊水;如果每分吊4桶;则15分钟能吊干;如果每分钟吊8桶;则7分吊干..现在需要5分钟吊干;每分钟应吊多少桶水4、有一桶酒;每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒;现在这桶酒如果给6人喝;4天可喝完；如果由4人喝;5天可喝完..这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天5、一水库存水量一定;河水均匀入库..5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干..若要6天抽干;需要多少台同样的抽水机6800÷10=680米/分。

第1讲牛吃草问题课堂例题与练习例题1有一片草地上原有300千克草，这片草每天长10千克，每头牛每天吃5千克草，问6头牛几天会把这片草地吃完？例题2有一片匀速生长的草地，可供10头牛20天吃完，或者15头牛10天吃完。

那么这片草地每天长出的草可以提供几头牛吃1天。

练习2一个牧场的草每天都在均匀的生长。

如果在牧场上放养24头牛，6天吃完，如果放养21头牛，8天吃完。

请问（1）要使草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？（2）如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？例题3有一片草场，草每天都在均匀生长。

如果在这片草场上放养20头牛和24只羊，那么18天可以吃完。

如果在这片草场上放养15头牛和54只羊，那么15天就把草吃完。

已知一头牛每天吃的草量相当于3只羊每天吃的草量。

问如果在这片草地上放养12头牛和18只羊可以吃几天。

练习3有一片均匀生长的草地可供18头牛吃40天，或者12头牛加上36只羊吃25天。

1头牛每天的食草量与3只羊的每天的食草量相同。

问这片草地可供17头牛加上几只羊吃16天。

例题4一片草地，草每天都在均匀生长。

最初由15头牛吃草，8天可以把草全部吃完。

如果起初这15头牛吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完。

如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，则总共需要多少天可以把草吃完？练习4有一片草地，草每天都在均匀生长。

如果有9头牛来吃，那么12天可以把草吃完；如果有8头牛来吃，那么16天可以把草吃完。

现在有3头牛先吃了10天，然后又来了几头牛，结果又用了4天就把草吃完了，那么后来又来了多少头牛？例题5进入冬季后，有一片牧场的草开始枯萎，因此草会均匀的减少。

现在开始在这片牧场上放羊，如果放38只羊，需要25天把草吃完；如果放30只羊，需要30天把草吃完。

如果放20只羊，这片牧场可以吃多少天？练习5进入冬季，有一片牧场的草开始枯萎，因此草会均匀的减少。

若在这儿放牛，草地上的草可以供32头牛吃24天，或者供27头牛吃28天。