北京交通大学《复变函数和积分变换》期末试卷及其答案

2009-2010学年第一学期复变函数与积分变换A 卷答案及评分标准一、解方程（10分） 根据正弦函数定义)(21sin iz ize e iz --=，原方程变为 i e e iz iz 4=-- （4分）从而i e iz )32(±=。

（2分） 于是Z Ln ∈±-+=±-=k i k i i z ),32ln()22()32(ππ。

（4分）评分标准：第一步中，z sin 的定义式与转化后的方程出现其一即可；第三步中出现对数函数但是化简不正确，得2分。

以正弦函数为有界函数为由直接得出方程无解的，0分。

二、计算与证明（20分）1．第一小题7分，第二小题8分，共15分1）评分标准：根据Cauchy-Riemann 方程证明的，Cauchy-Riemann 方程写对的即可得4分（每个方程2分），求导运算正确再得3分（每错一处减1分）。

直接通过zz f 1)(=得出结论的，得满分。

2）i i 2ln π==积分。

上述两种答案形式均算正确评分标准：通过复积分的定义计算，曲线参数选择正确即可得4分，计算正确得满分。

通过Newton-Leibniz 公式计算，指出积分与路径无关的，即可得4分，正确写出原函数的，再得2分，计算正确得满分。

2．本题5分评分标准：指出),(y x u 非调和函数，从而),(y x v 不存在，得满分。

通过求解Cauchy-Riemann 方程证明的，方程写对得3分，结论正确得2分。

三、计算（20分） 1．本题7分⋯⋯+--+--=21)1(21sin 1cos 2)1(1cos 1sin sin z z z ，收敛半径为1。

评分标准：收敛半径和3个系数每错一个减2分，展开式中将)1(-z 误写作z 的，减2分。

2．本题8分0为本性奇点，∞为可去奇点。

评分标准，指出0点类型判断正确，得5分，指出0为奇点或出现0点邻域内的Laurant 级数表达式，但类型判断错误，得3分；∞类型判断正确3分，指出∞为孤立奇点，但类型判断错误，得1分。

20**-20** 1 复变函数与积分变换（A 卷）（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设 复数1z i =-，则arg z =（ ）A ．4π-B ．4πC ．34πD ．54π 2．设z 为非零复数，,a b 为实数且z a bi z=+，则22a b +（ ）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于1 3．函数()f z z =在0z =处（ ）A ．解析B ．可导C ．不连续D ．连续 4．设z x iy =+，则下列函数为解析的是（ ）A 22()2f z x y i xy =-+ B ()f z x iy =- C ()2f z x i y =+ D ()2f z x iy =+ 5．设C 为正向圆周||1z =，则积分Czdz =⎰（ ）A ．6i πB ．4i πC ．2i πD ．0 6. 设C 为正向圆周||1z =，则积分(2)Cdzz z =-⎰( ).A ．i π-B ．i πC ．0D ．2i π7. 设12,C C 分别是正向圆周||1z =与|2|1z -=，则积分121sin 222z C C e z dz dz i z z π⎛⎫+= ⎪--⎝⎭⎰⎰ A ．2i π B ．sin 2 C ．0 D ．cos2 8．幂级数1(1)nnn z i ∞=+∑的收敛半径为 ( ) A.0 B.12C. 2D. 2课程考试试题学期 学年 拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:9. 0z =是函数2(1)sin ()(1)z e zf z z z -=-的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一级极点 D ．二级极点10.已知210(1)sin (21)!n n n z z n ∞+=-=+∑，则4sin Re [,0]zs z =（ ）A ．1B ．13!C ．13!-D ．1-二、填空题(每空3分，共15分)1 复数1i -+，的指数形式为__________。

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B ）学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一．（1） 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数3i 1+的指数形式是 ； （3） 函数()224z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点；（4）（5） 若∑==0n n n2nz )(z f ，则其收敛半径 ；（6） 计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；（7） 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为；（8） 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ；（9） C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数）； （10） 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为：①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r（4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。

（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =.（7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22y x ∂∂+∂∂=∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分）六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分） 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为：z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idt it 1Re Retdt=⎰⎰+110dt i tdt=i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ）4.34arctan3A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（ ）.ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ）12.iA z e π=34.i B z π=712.i C z eπ=3.iD z π=9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（ ） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A. 0.1B C.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________.20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f = 23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数.25. 计算2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分） 25. 计算201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =，arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。

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«复变函数与积分变换»期末试题(A）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是（）;2。

)1(iLn+-的主值是（ )；3. 211)(zzf+=,=)0()5(f（）;4．0=z是4sinzzz-的( )极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs( )；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；（A) yxiuuzf+=')(； (B）yxiuuzf-=')(;（C）yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B)2)1(3--zz; （C）2)2()1(3--zz；（D)2)2(3-z.3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在（A）2-=z点条件收敛； (B）iz2=点绝对收敛；（C）iz+=1点绝对收敛； (D）iz21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数)(zf在z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B) 如果)(zf在C所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dzzf)(=dzzf（D)函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A ） 的可去奇点；为z1sin ∞(B ） 的本性奇点；为z sin ∞ （C) ;1sin 1的孤立奇点为z ∞（D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）(1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a(2）．计算⎰-Cz z z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3)计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4)函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点,请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; （1）110<-<z ，（2）10<<z ,（3）∞<<z 1五．(本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分)求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明：ted tββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题(A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分,共计15分)1．231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2。

一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（ 一级 ）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B ）学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一．（1） 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数3i 1+的指数形式是 ； （3） 函数()224z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点；（4）（5） 若∑==0n n n2nz )(z f ，则其收敛半径 ；（6） 计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；（7） 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为；（8） 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ；（9） C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数）； （10） 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为：①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r（4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。

（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =.（7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22y x ∂∂+∂∂=∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分）六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分） 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y(9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为：z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idt it 1Re Retdt=⎰⎰+110dt i tdt=i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。