[北京交通大学信号与系统课件]第七章连续时间信号与系统的S域分析

六拉普拉斯反变换部分分式展开法计算拉普拉斯反变换方法 1 利用复变函数中的留数定理 2 采用部分分式展开法 [例] 采用部分分式展开法求下列的反变换解 Fs为有理真分式极点为一阶极点解解 Fs为有理假分式将Fs化为有理真分式归纳 1 Fs为有理真分式m n极点为一阶极点 2 Fs为有理真分式 m n极点为r重阶极点 3 Fs为有理假分式 m n 为真分式根据极点情况按1或2展开[例] 求下列Fs的反变换解解令s2q 解 k2 k3用待定系数法求信号的复频域分析小结信号的复频域分析实质是将信号分解为复指数信号的线性组合信号的复频域分析使用的数学工具是拉普拉斯变换利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换的性质可对任意信号进行复频域分析复频域分析主要用于线性系统的分析连续系统响应的复频域分析微分方程描述系统的S域分析电路的S域模型微分方程描述系统的S域分析时域微分方程时域响应yt S域响应Ys 拉氏变换拉氏反变换解微分方程解代数方程 S域代数方程二阶系统响应的S域求解已知 f ty0-y 0- 求yt 1 经拉氏变换将域微分方程变换为域代数方程 2 求解s域代数方程求出Yxs Yf s 3 拉氏反变换求出响应的时域表示式求解步骤 Yxs Yfs yt a1yt a2y t 系统的微分方程为 yt5yt6yt2ft8ft 激励fte-tut初始状态y0-3 y0-2求响应yt 例1 解对微分方程取拉氏变换可得电路的s域模型时域复频域 RLC串联形式的s域模型 [例2]图示电路初始状态为vc0--E 求电容两端电压 vct 解建立电路的s域模型由s域模型写回路方程求出回路电流电容电压为系统函数Hs与系统特性系统函数Hs 系统函数的定义Hs与ht的关系s域求零状态响应求Hs的方法零极点与系统时域特性零极点与系统频响特性连续系统的稳定性一系统函数Hs 1定义系统在零状态条件下输出的拉氏变换式与输入的拉式变换式之比记为Hs 2 Hs与ht的关系 ht t yft tht 一系统函数Hs 3求零状态响应 4求Hs的方法①由系统的冲激响应求解HsL[ht] ③由系统的微分方程写出Hs ht Hs ft yftftht Fs YfsFsHs ②由定义式第七章连续时间信号与系统的S域分析连续时间信号的复频域分析连续时间系统的复频域分析连续时间系统函数与系统特性连续时间系统的模拟 71 连续时间信号的复频域分析从付立叶变换到拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换及其存在的条件常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换反变换一从傅里叶变换到拉普拉斯变换f teatut a 0的傅里叶变换不存在将ft乘以衰减因子推广到一般情况令s j 定义对 fte-t求傅里叶反变换可推出拉普拉斯正变换拉普拉斯反变换拉普拉斯变换符号表示及物理含义符号表示物理意义信号ft可分解成复指数est的线性组合 Fs为单位带宽内各谐波的合成振幅是密度函数 s是复数称为复频率Fs称复频谱关于积分下限的说明二单边拉普拉斯变换及其收敛条件积分下限定义为零的左极限目的在于分析和计算时可以直接利用起始给定的0-状态单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换的收敛域对任意信号ft 若满足上式则 ft应满足 0 拉氏变换存在的充要条件为绝对可积 0称收敛条件收敛区 j 0 0称收敛坐标 S平面右半平面左半平面 [例] 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域分析求收敛域即找出满足的取值范围收敛域为全S平面不存在 1指数型函数e t ut 三常用信号的拉普拉斯变换同理正弦信号 2 阶跃函数ut 4 t的正幂函数t nn为正整数根据以上推理可得四拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 [例] 计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换解时域信号傅里叶变换拉普拉斯变换不存在结论 1当收敛域包含纵轴时拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在2当收敛域不包含纵轴时拉普拉斯变换存在而傅里叶变换不存在 3当收敛域的收敛边界位于纵轴时拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在五拉普拉斯变换的性质 1线性特性若则 2展缩特性若则 3时移右移特性若则例题p241 4卷积特性 5乘积特性乘积性质两种特殊情况 1 指数加权性质s域平移特性若则 2线性加权性质s域微分特性 6微分特性 [证明] 重复应用微分性质求得若ft0 t 0则有 f r0 - 0r012 7积分特性若 f -10- 则有 [证明] 其中右边第一项第二项按部分分式得 8初值定理和终值定理若注意事项p247。

【关键字】实验实验七连续时间系统S域零极点分析一、目的（1）掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系（2）掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系（3）掌握利用MATLAB进行S域分析的方法二、零极点分布与系统稳定性根据系统函数的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一。

稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。

对任意有界信号，若系统产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统，否则，则称为不稳定系统。

上述稳定性的定义可以等效为下列条件：●时域条件：连续系统稳定充要条件为，即冲激响应绝对可积；●复频域条件：连续系统稳定的充要条件为系统函数的所有极点位于S平面的左半平面。

系统稳定的时域条件和频域条件是等价的。

因此，只要考察系统函数的极点分布，就可判断系统的稳定性。

对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便地求出极点位置，从而判断系统稳定性，但对于告阶系统，手工求解极点位置则显得非常困难。

这时可利用MATLAB来实现这一过程。

例7-1：已知某连续系统的系统函数为：试用MATLAB求出该系统的零极点，画出零极点图，并判断系统是否稳定。

解：调用实验六介绍的绘制连续系统零极点图函数sjdt即可解决此问题，对应的MATLAB命令为：a=[8 2 3 1 5];b=[1 3 2];[p,q]=sjdt(a,b)运行结果为：p =-0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i 0.4905 - 0.7196i 0.4905 + 0.7196iq =-2 -1绘制的零极点图如图7-1所示。

由程序运行结果可以看出，该系统在S平面的右半平面有一对共轭极点，故该系统是一个不稳定系统。

三、零极点分布与系统冲激响应时域特性设连续系统的系统函数为，冲激响应为，则显然，必然包含了的本质特性。

对于集中参数的LTI连续系统，其系统函数可表示为关于s的两个多项式之比，即（7-1）其中为的M个零点，为的N个极点。

【研讨题目2】 信号与系统时域分析专题研讨【目的】1.研究用离散方法近似计算连续信号的卷积积分；2.通过分析近似计算卷积积分过程中出现的问题，锻炼学生分析问题和解决问题的能力； 【知识点】信号时域分析，卷积积分，卷积和 【研讨题目】连续信号卷积积分的数值近似计算 两个连续信号的卷积积分定义为τττd )()()(-=⎰∞∞-t h x t y为了能用数值方法进行计算，需对连续信号进行抽样。

记x [k ]=x (k), h [k ]=h (k ),为进行数值计算所选定的抽样间隔，可以证明连续信号卷积积分可近似的表示为(Δ)Δ([][])y k x k h k ≈⨯*(1)由式(1)可知，可以利用Matlab 提供的conv 函数近似计算连续信号的卷积积分。

一、(*)理论分析为了对近似计算的结果进行分析，用解析的方法计算下列卷积积分，推出卷积积分的解析表达式； (1) 时限信号卷积积分x 1(t )=u (t )u (t 1)，y 1(t )=x 1(t )x 1(t );卷积结果为：y1(t)= x 1(t )x 1(t )=r(t)-2*r(t-1)+r(t-2) (2) 分段常数信号卷积积分x 2(t )= x 1(t )+2 x 1(t 1)+ x 1(t 2)，h 2(t )= x 1(t ) x 1(t 1)， y 2(t )=x 2(t )h 2(t );卷积结果为：y2(t)= x 2(t )h 2(t )=y1(t)+y1(t-1)-y1(t-2)-y1(t-3)=r(t)-r(t-1)-2*r(t-2)+2*r(t-3)+r(t-4)-r(t-5) (3) 非时限信号卷积积分x 3(t )=u (t )，h 3(t )=e t u (t ), y 3(t )=x 3(t )h 3(t )卷积结果为：y3= x 3(t )h 3(t ) =[1-exp(-t)]*u(t) 二、(*)时限信号卷积积分的近似计算取不同的△值，用Matlab 函数conv 近似计算卷积积分y 1(t )并画出其波形，讨论的取值对计算结果的影响。