8圆内接正多边形(20200719183232)

8 圆内接正多边形1.有一个边长为40 cm的正方形洞口,要用一个圆盖去盖住这个洞口,那么圆盖的直径至少应为( C )(A)40 cm (B)20 cm(C)40 cm (D)40 cm2.已知圆内接正三角形的面积为,则该圆的内接正六边形的边心距是( B )(A)2 (B)1 (C) (D)3.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( A )(A)(B)(C) (D)4.如图,在边长为2的正八边形中,把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD,则四边形ABCD的周长是8+8.5.(2019青岛)如图,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,AF是☉O的直径,则∠BDF的度数是54 °.6.同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为∶1 .7.已知☉O和☉O上的一点A.作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH.解:作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC;③依次连接A,B,C,D四点,四边形ABCD 即为☉O的内接正方形;④分别以A,C为圆心,以OA长为半径作弧,交☉O于E,H,F,G;⑤顺次连接A,E,F,C,G,H,A各点.六边形AEFCGH即为☉O的内接正六边形.8.(规律探究题)如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切,…按这样的规律进行下去,A10B10C10D10E10F10的边长为( D )(A) (B)(C) (D)9.(2018玉林)如图,正六边形ABCDEF的边长是6+4,点O 1,O2分别是△ABF,△CDE的内心,则O 1O2= 12+4.10.如图,①②③中,点E,D分别是正三角形ABC、正方形ABCM、正五边形ABCMN中以点C为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,DB交AE于点P.(1)求图①中,∠APD的度数;(2)图②中,∠APD的度数为,图③中,∠APD的度数为;(3)根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形中?若能,写出推广问题与结论;若不能,请说明理由.解:(1)正三角形ABC中,AB=BC,∠ABC=∠C=60°,又BE=CD,所以△ABE≌△BCD,所以∠BAE=∠CBD,因为∠ABD+∠DBC=60°,所以∠ABD+∠BAE=60°,所以∠APD=60°.(2)在正方形ABCM中,AB=BC,∠ABE=∠BCD=90°,又BE=CD,所以△ABE≌△BCD,所以∠BAE=∠CBD,因为∠ABD+∠DBC=90°,所以∠ABD+∠BAE=90°,所以∠APD=90°;同理可证,在正五边形ABCMN中,△ABE≌△BCD,所以∠BAE=∠CBD, 因为∠ABD+∠DBC=108°,所以∠ABD+∠BAE=108°,即∠APD=108°.(3)能.推广的问题与结论为:点E,D分别为正n边形中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,BD与AE相交于点P,则∠APD的度数为.11.(分类讨论思想)如图,已知:边长为1的正方形ABCD内接于圆中,P 为边CD的中点,直线AP交圆于点E.(1)求弦DE的长;(2)若Q是线段BC上一动点,当BQ长为何值时,三角形ADP与以Q,C,P 为顶点的三角形相似?解:(1)如图1,过点D作DF⊥AE于点F.在Rt△ADP中,AP==,又因为S△ADP=AD·DP=AP·DF,所以DF=.因为所对圆心角的度数为90°.所以∠DEA=45°,所以DE=DF=.(2)如图2,当Rt△ADP∽Rt△QCP时,有=,得QC=1.即点Q与点B重合,所以BQ=0.如图3,当Rt△ADP∽Rt△PCQ时,有=,得QC=,所以BQ=BC-CQ=.所以当BQ=0或BQ=时,三角形ADP与以点Q,C,P为顶点的三角形相似.。