九年级数学下册第三章圆8圆内接正多边形练习无答案新版北师大版

3.8圆内接正多边形课后小练习一、选择题1．如图，圆O的内接正六边形的边长是12，则边心距是（）A．6 B．12 C．6D．62．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（）A．cm B．2cm C．2cm D．4cm3．已知正六边形的边长为3，则这个正六边形的半径是（）A．B．2C．3 D．34．已知正六边形的边心距为，则它的半径为（）A．2 B．4 C．2D．45．半径为a的正六边形的面积等于（）A．B．C．a2D．6．一个圆的内接正六边形的边长为2，则该圆的内接正方形的边长为（）A．B．2C．2D．47．已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为（）A．2 B．C．4 D．8．同圆的内接正三角形、正方形、正六边形边长的比是（）A．1：2：3 B．1：C．D．3：4：6 9．在半径为r的圆中，圆内接正六边形的边长为（）A．r B．r C．r D．2r10．要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是（）A．2a B．a C．a D．a11．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．二、填空题12．正六边形的边心距与边长之比为．13．如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为．14．半径为2的圆的内接正方形的面积是．15．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是cm．16．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的半径是，内接圆的半径为．17．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为．三、解答题18．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．19．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．。

第三章圆第8节圆内接正多边形课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD⊙BC，BD平分⊙ABC，⊙A＝130°，则⊙BDC 的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．115°2．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．38B．34C．24D．283．如图，在⊙O中，已知⊙OAB=22.5°，则⊙C的度数为（）A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°4．如图，O是ABC的内切圆，切点分别是D、DF，连接DF EF OD OE、、、，若100,30A C∠=∠=，则DFE∠的度数是()A．55B．60C．65D．705．一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过()A．12 mm B．123mm6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙BOD=88°，则⊙BCD的度数是A．88°B．92°C．106°D．136°8．如图所示，在⊙O中，OA＝AB，OC⊙AB，则下列结论正确的是⊙AB的长等于圆内接正六边形的边长⊙弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长⊙弧AC=弧CB⊙⊙BAC=30°A．⊙⊙⊙B．⊙⊙⊙C．⊙⊙⊙D．⊙⊙⊙9．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则CPD∠的度数为（）A．30B．36︒C．60︒D．72︒10．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，⊙CAD=100°，则⊙B的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°评卷人得分二、填空题11．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．12．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是CD弧的中点，则⊙CBF的度数为_____．13．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心作⊙O，点A、C分别是⊙O与x轴负半轴、y轴正半轴的交点，点B、D在⊙O上，那么⊙ADC的度数是__________________.14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙C=130°，求⊙BOD=___°．15．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，⊙C=130°，则⊙ADB的度数为____．16．如图，已知O为四边形ABCD的外接圆，若0120BCD∠=，则BOD∠度数为_____________．17．圆内接正六边形的边长是8cm，则该正六边形的半径为____．18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙B＝135°，则⊙AOC的度数为_____．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若⊙ADC=130°，则⊙AOC的大小为______度．20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙CBE是它的一个外角，若⊙D=80°，则⊙CBE的度数是_________°．评卷人得分三、解答题21．如图，AB，AC是⊙O的弦，过点C作CE⊙AB于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊙AC于点F，交CE于点G，连接BE．（1）求证：BE=BG；（2）过点B作BH⊙AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH=4，AC=27，求CE的长．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙ABC=130°，求⊙OAC的度数．23．已知四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，148BCD ∠=︒.（⊙）如图⊙，若E 为AB 上一点，延长DE 交O 于点P ，连接AP ，求APD ∠的大小；（⊙）如图⊙，过点A 作O 的切线，与DO 的延长线交于点P ，求APD ∠的大小.24．如图，半径为R 的圆内，ABCDEF 是正六边形，EFGH 是正方形．（1）求正六边形与正方形的面积比；（2）连接OF ，OG ，求⊙OGF ．25．如图，⊙O过⊙ABCD的三顶点A、D、C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H，射线AD交边CD于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且⊙PCD=2⊙DAF．（1）求证：⊙ABH是等腰三角形；（2）求证：直线PC是⊙O的切线；（3）若AB=2，AD=，求⊙O的半径．26．(1)方法选择==．求证：如图⊙，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，AB BC AC=+.BD AD CD小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM AD=，连接AM…=…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN AD请你选择一种方法证明．(2)类比探究【探究1】如图⊙，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O的直径，=．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．AB AC【探究2】如图⊙，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，ABC∠=︒，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是______．30(3)拓展猜想如图⊙，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，=，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是______．::::BC AC AB a b c参考答案：1．B【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得出⊙C的度数，进而利用平行线的性质得出⊙ABC的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可．【详解】⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙A=130°，⊙⊙C=180°-130°=50°，⊙AD⊙BC，⊙⊙ABC=180°-⊙A=50°，⊙BD平分⊙ABC，⊙⊙DBC=25°，⊙⊙BDC=180°-25°-50°=105°，故选B．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出⊙C的度数．2．D【解析】【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．【详解】如图1，⊙OC=1，⊙OD=1×sin30°=12；如图2，⊙OB=1，⊙OE=1×sin45°=22；如图3，⊙OA=1，⊙OD=1×cos30°=32，则该三角形的三边分别为：12、22、32，⊙（12）2+（22）2=（32）2，⊙该三角形是以12、22为直角边，32为斜边的直角三角形，⊙该三角形的面积是11222228⨯⨯=，故选D．【点睛】考查正多边形的外接圆的问题，应用边心距，半径和半弦长构成直角三角形，来求相关长度是解题关键．3．D【解析】【详解】分析：⊙OA=OB，⊙⊙OAB=⊙OBC=22.5°．⊙⊙AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．如图，在⊙O取点D，使点D与点O在AB的同侧．则1D AOB67.52∠=∠=︒．⊙⊙C与⊙D是圆内接四边形的对角，⊙⊙C=180°﹣⊙D =112.5°．故选D．4．C【解析】【分析】由已知中⊙A＝100°，⊙C＝30°，根据三角形内角和定理，可得⊙B的大小，结合切线的性质，可得⊙DOE的度数，再由圆周角定理即可得到⊙DFE的度数．【详解】解：⊙B＝180°−⊙A−⊙C＝180−100°−30°＝50°⊙BDO＋⊙BEO＝180°⊙B、D、O、E四点共圆⊙⊙DOE＝180°−⊙B＝180°−50°＝130°又⊙⊙DFE是圆周角，⊙DOE是圆心角⊙DFE＝12⊙DOE＝65°故选：C．【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理，切线的性质，其中根据切线的性质判断出B、D、O、E 四点共圆，进而求出⊙DOE的度数是解答本题的关键．5．A【解析】【详解】试题解析：已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，⊙BD=OB•sin30°=12×12=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．故选A．6．A【解析】【分析】根据正六边形的内角和求得⊙BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】⊙在正六边形ABCDEF中，⊙BCD＝(62)1806-⨯＝120°，BC＝CD，⊙⊙CBD＝12（180°﹣120°）＝30°，故选A．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．7．D【解析】【分析】首先根据⊙BOD=88°，应用圆周角定理，求出⊙BAD的度数；然后根据圆内接四边形的性质，可得⊙BAD+⊙BCD=180°，据此求出⊙BCD的度数【详解】由圆周角定理可得⊙BAD=12⊙BOD=44°，根据圆内接四边形对角互补可得⊙BCD=180°-⊙BAD=180°-44°=136°，故答案选D．考点：圆周角定理；圆内接四边形对角互补．8．D【解析】【分析】首先由垂径定理确定⊙正确，再由在⊙O 中，OA=AB ，确定△OAB 是等边三角形，即可得到⊙AOB=60°，得到⊙正确，又由垂径定理，求得⊙AOC=30°，得到⊙正确，根据同弧所对圆周角等于其对圆心角的一半，即可求得⊙BAC=15°，则问题得解．【详解】解：⊙在⊙O 中，OC⊙AB ，⊙弧AC=弧BC ，故⊙正确；12AOC BOC AOB ∠=∠=∠, ⊙OA=OB ，OA=AB ，⊙OA=OB=AB ，⊙⊙AOB=60°，⊙弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长，故⊙正确；1302AOC BOC AOB ∠=∠=∠=︒ ⊙弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长，故⊙正确；1152BAC BOC ∴∠=∠=︒,故⊙错误. ⊙结论正确的有⊙⊙⊙．故选：D ．9．B【解析】【分析】根据圆周角的性质即可求解.【详解】连接CO 、DO ，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即⊙COD=72°，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故⊙CPD=172362︒⨯=︒,【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 10．C【解析】【分析】先求出⊙A'=100°，再利用圆内接四边形的性质即可．【详解】如图，翻折△ACD，点A落在A'处，⊙⊙A'=⊙A=100°，⊙四边形A'CBD是⊙O的内接四边形，⊙⊙A'+⊙B=180°，⊙⊙B=80°，故选C．【点睛】折叠问题，主要考查了折叠的性质，圆内接四边形的性质，解本题的关键是得出⊙A'=100°．11．34πa2【解析】边长是a,则利用特殊三角形知内切圆半径是32a,233Sπ24a⎛⎫==⎪⎪⎝⎭πa212．18°【解析】【分析】设圆心为O，连接OC，OD，BD，根据已知条件得到⊙COD=3605︒=72°，根据圆周角定理即可得到结论．【详解】设圆心为O，连接OC，OD，BD．⊙五边形ABCDE为正五边形，⊙⊙COD=3605︒=72°，⊙⊙CBD=12∠COD=36°．⊙F是CD弧的中点，⊙⊙CBF=⊙DBF=12∠CBD=18°．故答案为：18°．【点睛】本题考查了正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键．13．135°【解析】【分析】利用“在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”求得⊙ABC=12⊙AOC=45°；然后由圆内接四边形的对角互补来求⊙ADC的度数．【详解】⊙⊙AOC=90°，⊙AOC=45°，⊙⊙ABC=12又⊙点A、B、C、D共圆，⊙⊙ADC+⊙ABC=180°，⊙⊙ADC=135°．故答案是：135°．14．100°【解析】【详解】试题分析：根据圆内接四边形的性质可得：⊙A=180°－130°=50°，根据圆周角和圆心角的关系可得：⊙BOD=2⊙A=100°.考点：(1)、圆的内接四边形；(2)、圆心角；(3)、圆周角15．40°．【解析】【分析】由AD是直径，可得⊙ABD＝90°，又由ABCD是⊙O的内接四边形，⊙C＝130°，可求得⊙A 的度数，根据三角形内角和定理，即可求得答案．【详解】解：⊙AD是直径，⊙⊙ABD＝90°，又⊙ABCD是⊙O的内接四边形，⊙C＝130°，⊙⊙A＝180°﹣130°＝50°，⊙⊙ADB＝180°﹣90°﹣50°＝40°．故答案为40°．【点睛】此题考查了圆周角定理以及弧、弦与圆心角的关系，圆内接四边形的性质．注意掌握数形结合思想的应用．【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出⊙A，根据圆周角定理计算即可．【详解】⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙⊙A=180°-⊙BCD=60°，由圆周角定理得，⊙BOD=2⊙A=120°，故答案为120°．【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 17．8【解析】【分析】求出正六边形的中心角，连接两个顶点，可得等边三角形，于是可得到正六边形的边长．【详解】连接OA，OB，⊙正六边形，⊙⊙AOB=3606=60°，又OA=OB，⊙⊙AOB是等边三角形，⊙AB=OA=8．故答案为8．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60°，得到等边三角形是正确解答本题的关键；求得中心角的度数是此类题目常用的，比较重要，应注意掌握．【解析】【分析】由圆内接四边形的性质先求得⊙D的度数，然后依据圆周角定理求解即可.【详解】⊙四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙⊙B＋⊙D＝180°，⊙⊙D＝180°－135°＝45°，⊙⊙AOC＝90°，故答案为90°.【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的基本性质以及圆周角定理.19．100【解析】【详解】根据圆内接四边形的对角互补，可求得⊙B=180°-⊙ADC=50°，由圆周角定理可求得⊙AOC=2×50°=100°.故答案为100°.20．80【解析】【详解】试题分析：如图连接AC，⊙CBE是∆ABC的外角，所以⊙CBE=⊙CAB+⊙ACB，⊙CAB是BC所对的圆周角，⊙ACB是AB所对的圆周角，由图可知AB+BC=AC，且AC所对的圆周角为⊙D,所以⊙D=⊙CAB+⊙ACB，所以⊙CBE=⊙D=80°【结束】21．（1）见解析；（2）6【解析】（1）利用圆周角定理、等角的余角相等、等角对等边即可解答；（2）连接OB ，OE ，AE ，CH ，利用平行线性质、圆内接四边形性质证出四边形BGCH 是平行四边形，有平行四边形的性质证明OBE ∆是等边三角形，再证明1302BAE BOE ∠=∠=︒. 设DE x =，则AE=2x ，因为BE BG =，AB CD ⊥，所以DG DE x ==，4CD x =+，又因为在Rt ADE ∆中，AD=22AE DE -=3x.在Rt ADC ∆中，222AD CD AC +=，即()()()2223427x x ++=，解得11x =，230x =-<（舍去），所以1DG =，即6CE CG GD DE =++=.【详解】（1）证明：⊙BC BC =，⊙BAC BEC ∠=∠.⊙BF AC ⊥于点F ，CE AB ⊥于点D ，⊙90BFA BDG BDE ∠=∠=∠=︒.⊙ABF ABE ∠=∠，⊙BGD BEC ∠=∠，（等角的余角相等）⊙BE BG =.（2）解：连接OB ，OE ，AE ，CH .⊙BH AB ⊥，⊙90ABH BDE ∠=︒=∠，⊙//BH CD .⊙四边形ABHC 内接于O ，⊙180ACH ABH ∠+∠=︒，⊙90ACH AFB ∠=︒=∠，⊙//BF CH ，⊙四边形BGCH 是平行四边形，⊙4CG BH ==.⊙BE OB OE ==，⊙OBE ∆是等边三角形，⊙60BOE ∠=︒.⊙BE BE =，⊙1302BAE BOE ∠=∠=︒. ⊙90ADE ∠=︒，⊙12DE AE =. 设DE x =，则2AE x =，⊙BE BG =，AB CD ⊥，⊙DG DE x ==，⊙4CD x =+，在Rt ADE ∆中，223AD AE DE x =-=.在Rt ADC ∆中，222AD CD AC +=， 即()()()2223427x x ++=，解得11x =，230x =-<（舍去）， ⊙1DG =，⊙6CE CG GD DE =++=.【点睛】本题考查圆内接四边形性质、平行四边形的判定和性质、含30°角的直角三角形性质、等边三角形的判定与性质的综合运用，难度较大.22．40°.【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质推出⊙ADC=50°，再根据圆周角定理推出⊙AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出⊙OAC 的度数．【详解】⊙四边形ABCD 内接于⊙O ，⊙⊙ADC+⊙ABC=180°，⊙⊙ABC=130°，⊙⊙ADC=180°﹣⊙ABC=50°，⊙⊙AOC=2⊙ADC=100°．⊙OA=OC ，⊙⊙OAC=⊙OCA ，⊙⊙OAC=12（180°﹣⊙AOC ）=40°． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出⊙AOC 的度数．23．（⊙）；58APD ∠=︒；（⊙）26APD ∠=︒.【解析】【分析】（⊙）连接BD ，根据圆内接四边形的对角互补得出BAD 32∠=︒，再根据直径所对的圆周角是直角得出ADB 90∠=︒，从而求出ABD ∠，再根据同弧所对的圆角角相等即可得出APD ∠的度数. （⊙）连接AD,根据等腰三角形的性质，可得ADO OAD 32∠∠==︒，再根据切线的性质和三角形即可得出APD ∠度数.【详解】解：（⊙）连接BD ，⊙四边形ABCD 是圆内接四边形，⊙BCD BAD 180.∠∠+=︒⊙BCD 148,∠=︒⊙BAD 32.∠=︒又AB 是O 的直径，⊙BDA 90.∠=︒⊙BADABD 90,∠∠+=︒⊙ABD 58.∠=︒⊙APD ABD 58.∠∠==︒（⊙）连接AD,由（⊙）可知：BAD 32,∠=︒又OA OD =，可得ADO OAD 32,∠∠==︒⊙DP 切O 于点A,⊙OA PA ⊥，即PAO 90.∠=︒则PAD PAO OAD 122,∠∠∠=+=︒在APD 中，⊙PAD ADO APD 180,∠∠∠++=︒⊙APD 26∠=︒.【点睛】本题考查了圆内接四边形定理、圆周角定理、切线的性质等知识，熟练掌握相关的定理定义是解题的关键.24．（1）正六边形与正方形的面积比33︰2；（2）⊙OGF=15°．【解析】【分析】（1）设正六边形的边长为a ，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可； （2）根据正六边形的边长等于外接圆的半径，可得出三角形OFG 是正三角形，即可得出答案．【详解】（1）设正六边形的边长为a，则三角形OEF的边EF上的高为32a，则正六边形的面积为：6×12×a×32a=332a2，⊙正方形的面积为：a×a=a2，⊙正六边形与正方形的面积比332a2：a2=33︰2；（2）⊙OF=EF=FG，⊙⊙OGF=12×（180°-60°-90°）=15°．【点睛】本题考查了正多边形和圆，求得三角形的面积是解题的关键．25．(1)见解析；（2）见解析；（3）178．【解析】【分析】（1）要想证明△ABH是等腰三角形，只需要根据平行四边形的性质可得⊙B=⊙ADC，再根据圆内接四边形的对角互补，可得⊙ADC+⊙AHC=180°，再根据邻补角互补，可知⊙AHC+⊙AHB=180°，从而可以得到⊙ABH和⊙AHB的关系，从而可以证明结论成立；（2）要证直线PC是⊙O的切线，只需要连接OC，证明⊙OCP=90°即可，根据平行四边形的性质和边AB与⊙O相切于点A，可以得到⊙AEC的度数，又⊙PCD=2⊙DAF，⊙DOF=2⊙DAF，⊙COE=⊙DOF，通过转化可以得到⊙OCP的度数，从而可以证明结论；（3）根据题意和（1）（2）可以得到⊙AED=90°，由平行四边形的性质和勾股定理，由AB=2，AD=17，可以求得半径的长．【详解】（1）证明：⊙四边形ADCH是圆内接四边形，⊙⊙ADC+⊙AHC=180°，又⊙⊙AHC+⊙AHB=180°，⊙⊙ADC=⊙AHB，⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙⊙ADC=⊙B，⊙⊙AHB=⊙B，⊙AB=AH，⊙⊙ABH是等腰三角形；（2）证明：连接OC，如右图所示，⊙边AB与⊙O相切于点A，⊙BA⊙AF，⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙AB⊙CD，⊙CD⊙AF，又⊙FA经过圆心O，⊙DF CF=，⊙OEC=90°，⊙⊙COF=2⊙DAF，又⊙⊙PCD=2⊙DAF，⊙⊙COF=⊙PCD，⊙⊙COF+⊙OCE=90°，⊙⊙PCD+⊙OCE=90°，即⊙OCP=90°，⊙直线PC是⊙O的切线；（3）⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙DC=AB=2，⊙FA⊙CD，⊙DE=CE=1，⊙⊙AED=90°，AD=17，DE=1，⊙AE=22(17)11714-=-=，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OE=AE﹣OA=4﹣r，⊙⊙OED=90°，DE=1，⊙r2=（4﹣r）2+12,解得，r=，即⊙O的半径是178．考点：1.圆的综合题；2.平行四边形的性质；3.勾股定理；4同弧所对的圆心角和圆周角的关系.26．(1)方法选择：证明见解析；(2)【探究1】：2BD CD AD =+；【探究2】32BD CD AD =+；(3)拓展猜想：c a BD CD AD b b=+. 【解析】【分析】（1）方法选择：根据等边三角形的性质得到⊙ACB=⊙ABC=60°，如图⊙，在BD 上截取DM=AD ，连接AM ，由圆周角定理得到⊙ADB=⊙ACB=60°，得到AM=AD ，根据全等三角形的性质得到BM=CD ，于是得到结论；（2）类比探究：如图⊙，由BC 是⊙O 的直径，得到⊙BAC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到⊙ABC=⊙ACB=45°，过A 作AM⊙AD 交BD 于M ，推出△ADM 是等腰直角三角形，求得DM=2AD 根据全等三角形的性质得到结论；【探究2】如图⊙，根据圆周角定理和三角形的内角和得到⊙BAC=90°，⊙ACB=60°，过A 作AM⊙AD 交BD 于M ，求得⊙AMD=30°，根据直角三角形的性质得到MD=2AD ，根据相似三角形的性质得到BM=3CD ，于是得到结论；（3）如图⊙，由BC 是⊙O 的直径，得到⊙BAC=90°，过A 作AM⊙AD 交BD 于M ，求得⊙MAD=90°，根据相似三角形的性质得到BM=c b CD ，DM=a bAD ，于是得到结论． 【详解】(1)方法选择：⊙AB BC AC ==，⊙60ACB ABC ∠=∠=︒，如图⊙，在BD 上截取=DM AD ，连接AM ，⊙60ADB ACB ∠=∠=︒，⊙ADM ∆是等边三角形，⊙AM AD =，⊙ABM ACD ∠=∠，⊙120AMB ADC ∠=∠=︒，⊙()ABM ACD AAS ∆≅∆，⊙BM CD =，⊙BD BM DM CD AD =+=+；(2)类比探究：如图⊙，⊙BC 是O 的直径，⊙90BAC ∠=︒，⊙AB AC =，⊙45ABC ACB ∠=∠=︒，过A 作AM AD ⊥交BD 于M ，⊙45ADB ACB ∠=∠=︒，⊙ADM ∆是等腰直角三角形，⊙AM AD =，45AMD ∠=︒，⊙2DM AD =，⊙135AMB ADC ∠=∠=︒，⊙ABM ACD ∠=∠，⊙()ABM ACD AAS ∆≅∆，⊙BM CD =，⊙2BD BM DM CD AD =+=+；[探究2]如图⊙，⊙若BC 是O 的直径，30ABC ∠=︒，⊙90BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，过A 作AM AD ⊥交BD 于M ，⊙60ADB ACB ∠=∠=︒，⊙30AMD ∠=︒，⊙2MD AD =，⊙ABD ACD ∠=∠，150AMB ADC ∠=∠=︒，⊙ABM ACD ∆∆，⊙3BM AB CD AC==， ⊙3BM CD =，⊙32BD BM DM CD AD =+=+；故答案为32BD CD AD =+；(3)拓展猜想：c a BD BM DM CD AD b b=+=+； 理由：如图⊙，⊙若BC 是O 的直径，⊙90BAC ∠=︒，过A 作AM AD ⊥交BD 于M ，⊙90MAD ∠=︒，⊙BAM DAC ∠=∠，⊙ABMACD ∆∆， ⊙BM AB c CD AC b==， ⊙c BM CD b=， ⊙ADB ACB ∠=∠，90BAC NAD ∠=∠=︒， ⊙ADMACB ∆∆， ⊙AD AC b DM BC a==， ⊙a DM AD b=， ⊙c a BD BM DM CD AD b b=+=+. 故答案为c a BD CD AD b b=+. 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

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课时作业(二十八）[第三章8 圆内接正多边形]一、选择题1．2017·株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形2．2017·滨州若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为错误!（)A.错误! B．2 错误!C。

错误! D．13．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( ）A。

错误! B。

错误! C。

错误! D。

错误!4．若正六边形的两条平行边相距12 cm，则它的边长为(）A．6 cm B．12 3 cmC．4 错误! cm D。

错误! cm5．2017·慈溪市期末如图K－28－1，A,B，C三点在⊙O上，AB是⊙O内接正六边形的一边，BC是⊙O内接正十边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n等于（)图K－28－1A．12 B．15 C．18 D．206．如图K－28－2，在⊙O中，OA＝AB,OC⊥AB,交⊙O于点C,那么下列说法错误的是（）链接听课例1归纳总结图K－28－2A．∠BAC＝30°B.错误!＝错误!C．线段OB的长等于圆内接正六边形的半径D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长二、填空题7．2017·邗江区一模如图K－28－3，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a应是________.错误!图K－28－38．正六边形的面积是18 错误!，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为________．9．如图K－28－4，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON的度数为________．图K－28－410．2017·广东模拟为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图K－28－5所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为________．图K－28－5三、解答题11．已知:如图K－28－6,△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC,∠BAC＝36°，弦BD，CE 分别平分∠ABC,∠ACB.求证:五边形AEBCD是正五边形．图K－28－612．2018·平房区二模如图K－28－7，在正六边形ABCDEF中,对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N.(1)求证:AE＝BF;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△ABM全等的三角形．图K－28－713．用一个长60米的篱笆围成一个羊圈,分别计算所围羊圈是正三角形、正方形、正六边形、圆时的面积（结果精确到1平方米)．（1)比较这些面积的大小；（2)归纳出周长相等的正多边形、圆面积大小的规律（不需证明)．探究题（1）如图K－28－8①所示，M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，求∠MON的度数；(2M，N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM,ON，则图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________中，∠MON的度数是________．图K－28－8详解详析【课时作业】[课堂达标]1．［解析] A ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°,正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°,∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．故选A。

《圆内接正多边形》分层练习◆基础题1．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定2．正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（）A．3：2：1 B．4：3：2 C．4：2：1 D．6：4：33）A．1 B．2 C．D．4．如图，⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC，且AB的面积为（）A．6 B．C．12 D．5．正八边形的中心角等于度．6．如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为．7．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形BCFG的面积是12cm2，则正八边形的面积为cm2．8．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则∠ACG= °．9．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB，求⊙O的半径．10．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH 于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．◆能力题1．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A B．C D．2．若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．古代数学家祖冲之和他的儿子根据刘徽的“割圆术”（用圆内接正多边形的周长代替圆周长），来计算圆周率π的近似值．他从正六边形算起，一直算到正24576边形，将圆周率精确到小数后七位，在世界上领先一千多年．根据这个办法，由圆内接正六边形算得的圆周率π的近似值是（）A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.144．如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为．（用锐角α的三角比表示）5．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于．6．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．7．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．8．（1）如图1，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，求正六边形的边长．（2）如图2，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12．求证：AB=AC．◆提升题1．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFDC．AC2+BF2=4CD2D．DE2=EF•CE2．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为何（）A．40 B．50 C．60 D．80【答案】A3．小刚在纸上画了一个面积为6分米2的正六边形，然后连接相隔一点的两点得到如图所示的对称图案，他发现中间也出现了一个正六边形，则中间的正六边形的面积是分米2．4．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．已知长宽分别为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，则r的最小值是cm．5．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、A E．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．6．教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠：请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：（1）如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO= （用含a的式子表示）；（2）根据折叠性质可以知道△CDE的形状为三角形；（3）请同学们利用（1）、（2）的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．答案和解析◆基础题1．【答案】B解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360n，正多边形的一个外角等于360 n ︒，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．2．【答案】A解：如图，△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，∴BO=2OD，而OA=OB，∴AD=3OD，∴AD：OA：OD=3：2：1．3．【答案】B，∴OB AB=12OA，∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（12OA）2+2，解得OA=2．4．【答案】C解：如图，连接OA；取AC的中点D，连接AD、CD、OD；过点D作DE⊥OC于点E；∵OF=12OA，且∠OFA=90°，∴∠OAF=30°，∠AOC=60°，∠AOD=∠COD=30°；∵圆的内接正十二边形的中心角=36012︒=30°，∴AD、DC为该圆的内接正十二边形的两边；∵OC⊥AB，且AB∴AF；在△AOF中，由勾股定理得：2R==；在△ODE中，∵∠EOD=30°，∴DE=12OD=1，112OCDS OC DE∆=⋅=，∴这个圆的内接正十二边形的面积为12．5．【答案】45解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°．6．【答案】cm解：设正多边形的中心是O ，其一边是AB ，∴∠AOB =∠BOC =60°，∴OA =OB =AB =OC =BC ，∴四边形ABCO 是菱形，∵AB =6cm ，∠AOB =60°，∴cos ∠BAC =AMAB，∴AM =6cm ），∵OA =OC ，且∠AOB =∠BOC ，∴AM =MC =12AC ，∴AC =2AM （cm ）．7．【答案】24解：连接HE ，AD ，在正八边形ABCDEFGH 中，可得：HE ⊥BG 于点M ，AD ⊥BG 于点N ，∵正八边形每个内角为：()821808-⨯︒=135°，∴∠HGM =45°，∴MH =MG ，设MH =MG =x ，则HG =AH =AB =GF ，∴BG ×GF =2+1）x 2=12，∴四边形ABGH 面积=12（AH +BG ）×HM =+1）x 2=6，∴正八边形的面积为：6×2+12=24（cm 2）．8．【答案】45°解：设正八边形ABCDEFGH 的外接圆为⊙O ；∵正八边形ABCDEFGH 的各边相等，∴18AH GH ==圆周长，∴AHG 的度数为23608⨯︒=90°，∴圆周角∠ACG =190452⨯︒=︒．9．解：过点O 作OD ⊥BC 于点D ，连接BO ，∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴点O 即是三角形内心也是外心，∴∠OBD =30°，BD =CD =12BC =12AB∴cos 30°=2BD BO BO ==，解得：BO =2，即⊙O 的半径为2cm ．10．（1）证明：∵在正六边形ABCDEF 中，AB =BC ，∠ABC =∠C =120°，在△ABG 与△BCH 中120AB BCABC C BG CH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△BCH ；（2）解：由（1）知：△ABG ≌△BCH ，∴∠BAG =∠HBC ，∴∠BPG =∠ABG =120°，∴∠APH =∠BPG =120°． ◆ 能力题1．【答案】B解：延长AB ，然后作出过点C 与格点所在的直线，一定交于格点E ．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE =4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离则△BCE 的边EC，△ACE 边EC，则S △ABC =S △AEC ﹣S △BEC =12×42．【答案】B解：360°÷n =()2180n n-⨯︒．故这个正多边形的边数为4．3．【答案】B解：由题意n =6时，π≈62l rd r==3． 4．【答案】52tan α解：如图所示：∵正n 边形的中心角为2α，边长为5，∵边心距OD =52tan α．5．【答案】12解：连接AO ，BO ，CO ．∵AB 、AC 分别为⊙O 的内接正六边形、内接正方形的一边，∴∠AOB =3606︒=60°，∠AOC =3604︒=90°，∴∠BOC =30°，∴n =36030︒=12．6．【答案】72°解：连接OA 、OB 、OC ，∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠AOB =∠BOC =72°，∵OA =OB ，OB =OC ，∴∠OBA =∠OCB =54°，在△OBP 和△OCQ 中，OB OCOBP OCQ BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OBP ≌△OCQ ，∴∠BOP =∠COQ ，∵∠AOB =∠AOP +∠BOP ，∠BOC =∠BOQ +∠QOC ，∴∠BOP =∠QOC ，∵∠POQ =∠BOP +∠BOQ ，∠BOC =∠BOQ +∠QOC ，∴∠POQ =∠BOC =72°．7．（1）证明：∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴AB =BC =CD =DE =EF =FA ，∠A =∠ABC =∠C =∠D=∠DEF=∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，在△ABP和△DEQ中，AB DE A D AP DQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP=EQ，同理可证PE=QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．8．（1）解：连接OD，如图所示：∵六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，∴∠O=3606︒=60°，∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=4，即正六边形的边长为4；（2）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=12BC=5，∵AB=13，AD=12，∴BD2+AD2=52+122=169=132=AB2，∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，又∵BD=CD，∴AB=AC．◆提升题1．【答案】B解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，∴四边形ABCF是菱形，∴CF=AF，∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，即△CDF的周长等于AD+CD，故A选项正确；∵四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，设AC与BF交于点O，由勾股定理得OB2+OC2=BC2，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，∴AC2+BF2=4CD2．故C选项正确；由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，∴∠DCE=∠EDF，∴△CDE∽△DFE，∴C E D ED E E F，∴DE2=EF•CE，故D选项正确．2．【答案】A解：取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40．3．【答案】2解：设O是原正六边形的中心，连接AO，FO，MO，设FO与AE交于点Q，AO与BE交于P，∵一个面积为6分米2的正六边形，连接相隔一点的两顶点得到如图所示的对称图案，∴∠AOF=16×360°=60°，S△AOF=16×6=1（分米2），∴△OAF是等边三角形，∵AB=AF，∴OA⊥BF，∴AP=OP，∴AM=OM，同理：OF⊥AE，OQ=FQ，∴OM=FM，∴点M是△AOF的外心，∴S△OAM=13S△AOF=13（分米2），∴S△OPM=12S△OAM=16（分米2），∴中间的正六边形的面积是：12×S△OPM=2（分米2）．4．【答案】2解：如图：矩形ABCD 中AB =1，BC =2，则覆盖ABCD 的两个圆与矩形交于E 、F 两点，由对称性知E 、F 分别是AD 和BC 的中点，则四边形ABFE 、EFCD 是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r =2，两圆心距=1． 5．解：（1）如图1中，连接OA 、OD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOD =90°，∴∠AED =12∠AOD =45°． （2）如图2中，连接CF 、CE 、CA ，作DH ⊥AE 于H ．∵BF ∥DE ，AB ∥CD ，∴∠ABF =∠CDE ，∵∠CFA =∠AEC =90°，∴∠DEC =∠AFB =135°，∵CD =AB ，∴△CDE ≌△ABF ，∴AF =CE =1，∴AC =AD AC ，∵∠DHE =90°，∴∠HDE =∠HED =45°，∴DH =HE ，设DH =EH =x ，在Rt △ADH 中，∵AD 2=AH 2+DH 2，∴344=（4﹣x ）2+x 2，解得x =32或52，∴DE DH =2或2． 6．解：（1）∵正三角形ABC 的边长为a ，由折叠的性质可知，点O 是三角形的重心，∴CO ； （2）△CDE 为等边三角形；（3）由（2）知△CDE 为等边三角形，∴CD =CE =DE =12CO ÷cos 30°=13a ，∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=13a，BG=BF=GF=13a，∠CKH=∠BHK=120°，∵AB=BC=AC=a，∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=13a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，∴六边形KHGFED是一个正六边形．。

北师大版数学九年级下册第3章第8节圆内接正多边形同步检测一、选择题1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A．10 B．8 C．6 D．5答案：A解析：解答：设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴360°n =36°，解得n=10．故选A．分析：设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．2.下列正多边形中，中心角等于内角的是（）A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形答案：B解析：解答：设正边形的边数是n．根据题意得：180-360360n n，解得：n=4．故选B．分析：设正边形的边数是n，根据内角根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值3.半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）A．8√3cm B．4√3cm C．8cm D．4cm答案：A解析：解答：如图所示：∵半径为8cm的圆的内接正三角形，∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，∴BD=cos30°×OB= √32×8=4√3（cm），∵BD=CD，∴BC=2BD=8√3cm．故它的内接正三角形的边长为8√3cm．故选：A．分析：欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长．4.圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r．下列等式成立的是（）A．a=2rsin36° B．a=2rcos36° C．a=rsin36° D．a=2rsin72°答案：A解析：解答：作OF⊥BC．∵∠COF=72°÷2=36°，∴CF=r•sin36°，∴CB=2rsin36°．故选A．分析：作OF⊥BC，在Rt△OCF中，利用三角函数求出a的长．5.正八边形的中心角是（）A．45° B．135° C．360° D．1080°答案：A解析：解答：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故选A．分析：根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．6.顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（）A．△ACE是等边三角形B．既是轴对称图形也是中心对称图形C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDCD．图中一共能画出3条对称轴答案：B解析：解答： A.∵多边形ABCDEF是正六边形，∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；B.∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C.∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；D.∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．故选B．分析：根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．7.若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（）A．30° B．60° C．90° D．120°答案：B解析：解答：∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为360 ÷60 =6，其中心角为360° ÷6 =60°．故选B．分析：根据正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出其中心角．8.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（）A．3 B．2√2 C．3√2 D．6答案：C解析：解答：如图所示：⊙O的半径为3，∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，∴AC是⊙O的直径，∴AC=2×3=6，AB BC AC，AB=BC，∵222∴22AB BC=36，解得：AB=3√2，即⊙O的内接正方形的边长等于3√2，故选C．分析：根据正方形与圆的性质得出AB=BC，以及AB2+BC2=AC2，进而得出正方形的边长即可．9.如图，在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片ABCDEF，它的边长是24cm，AB的长度是（）A．6πcm B．8πcm C．36πcm D．96πcm答案：B解析：解答：连接OB、OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6 =60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OB=AB=24cm，∴60248 180ππ故选B分析：连接OA、OB，得出等边三角形AOB，求出OB长和∠AOB度数，根据弧长公式求出即可．A．2 B．1 C．√3 D．2√3答案：C解析：解答：已知正六边形的半径为2，则正六边形ABCDEF的外接圆半径为2，如图：连接OA，作OM⊥AB于点M，得到∠AOM=30°，则OM=OA•cos30°=√3．则正六边形的边心距是√3．故选C．分析：根据正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．11.已知圆的半径是2√3，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3√3 B．9√3 C．18√3 D．36√3答案：C解析：解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2√3，高为3，因而等边三角形的面积是3√3，∴正六边形的面积=18√3，故选C．分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．12.已知某个正多边形的内切圆的半径是√3，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（）A．八 B．六 C．四 D．三答案：B解析：解答：根据勾股定理得：22−(√3)2=1，∴正多边形的边长为2，∴正多边形的中心角为60°，∴此正多边形是正六边形，故选B．分析：根据正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数即可．13.正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（）A．1：2 B．1：√ 3 C．√3：1 D．2：12答案：D解析：解答：如图，△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，∴BO=2OD，而OA=OB，∴OA：OD=2：1．故选D．分析：先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可．14、已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．23 B．33 C．43 D．63答案：B解析：解答：如图所示：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，∵△ABC是等边三角形，∴BD=CD，∠OBD=12∠ABC=30°，∴OA=OB=2OD=2，∴AD=3，BD3∴BC3，∴△ABC的面积=12BC•AD=12×23×3=33；故选：B．分析：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=12∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=12BC•AD，即可得出结果．15.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°答案：B解析：解答：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，∵AB=AE，∴∠BEA=12×（180°-150°）=15°，∵∠DAE=120°，AD=AE，∴∠AED=(180°−120°)÷ 2 =30°，∴∠BED=15°+30°=45°．故选B分析：根据正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，求出∠BEA，∠AED，据此即可解答．二、填空题16.利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形是 .答案：正七边形解析：解答：直接利用圆的半径即可将圆等分为6份，这样即可得出正三角形，也可以得出正六边形，作两条互相垂直的直径即可将圆4等分，可得出正方形，但是无法利用圆规与直尺7等分圆，故无法得到正七边形．故答案为：正七边形．分析：利用直尺和圆规可以将圆等分为6份、4份，这样即可得出正三角形、正方形、正六边形等，但是无法得到正七边形．17.一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm，则边心距是 .答案：8cm解析：解答：∵一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm，∴设边心距是hcm，则12×60×h=240，解得：h=8（cm），即边心距为8cm.分析：根据正n边形的面积=12周长×边心距，进而得出答案．18.若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是 . 答案：√3：2．解析：解答：∵一个正多边形的一个外角为60°，∴360°÷60°=6，∴这个正多边形是正六边形，设这个正六边形的半径是r，则外接圆的半径r，∴内切圆的半径是正六边形的边心距，即是32r，∴它的内切圆半径与外接圆半径之比是：3：2．分析：由一个正多边形的一个外角为60°，可得是正六边形，然后从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的三边引垂线，构建直角三角形，解三角形即可．19.如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为答案：33 2解析：解答：连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，∵∠C=30°，∴∠AOB=60°，∵AO=BO，∴△AOB是等边三角形，∴AO=BO=AB=1，∴EO=sin60°×1=3 2，∴S△AOB=12×EO×AB=34，∴⊙O的内接六边形的面积为：6×34=332．分析：利用圆周角定理以及等边三角形的判定与性质得出△AOB的面积，进而得出答案．20.人民币1993年版的一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果设这个正九边形的半径为R，那么它的周长是 .答案：18Rsin20°解析：解答：连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，则OA=OB=R，∵九边形ABCDEFGHI是正九边形，∴AB=BC=CD=DE=EF=GF=GH=HI=AI，∠AOB=360°÷9 =40°，在△AOM中，sin∠AOM=AM OA，AM=OAsin20°=Rsin20°，∵OA=OB，OM⊥AB，∴AB=2AM=2Rsin20°，即正九边形的周长是9×2Rsin20°=18Rsin20°.分析：连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，根据正九边形得出AB=BC=CD=DE=EF=GF=GH=HI=AI,∠AOB=40，在△AOM中求出AM=OAsin20°=Rsin20°，根据三线合一定理得出AB=2AM=2Rsin20°，即可求出正九边形的周长．三、证明、计算题21.已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O 于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．答案：见解析解析：解答：连接BF，CE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，∴AF=CF，AE=BE，∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，̂=AF̂=BÊ=BĈ=FĈ，∴AE∴AE=AF=BE=BC=FC，∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．∴五边形AEBCD为正五边形．分析：要求证五边形AEBCD是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等进而得出即可．22.如图，正方形EFGH的外接圆⊙O是正方形ABCD的内切圆，试求AB：EF的值．答案：√2解析：解答：如图，设大正方形的边长为1，则HF=1，则S正方形ABCD=1，S正方形EFGH=2S△HGF=2×1×（1÷2）÷2=0.5，∵正方形ABCD∽正方形EFGH，∴AB：EF=√2:1=√2．分析：设大正方形的边长为1，那么圆的直径为1，根据“正方形的面积=边长×边长”求出大正方形的面积，从而得出△HGF的面积：1×（1÷2）÷2=0.25，即可得出正方形EFGH的面积：0.25×2=0.5，再根据相似得出边之比．23.如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH 于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．答案：(1)略；(2)120°解析：解答：（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG与△BCH中AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，BG＝CH，∴△ABG≌△BCH；（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．分析：（1）根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可证出△ABG≌△BCH；（2）由△ABG≌△BCH，得到∠BAG=∠HBC，然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果．24.如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？答案：63cm解析：解答：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6cm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=AM :AB，∴AM=6×33（cm），∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=12 AC，∴AC=2AM3cm）．扳手张开的开口b至少为3.分析：根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．25.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．答案：(1)45°；(2)8√2解析：解答：：（1）连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，ssssss∴∠P=12∠BOC=45°；（2）过点O作OE⊥BC于点E，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE23242 2OB∴BC=2BE=2×4282分析：（1）连接OB，OC，由正方形的性质知，△BOC是等腰直角三角形，根据∠BOC=90°，由圆周角定理可以求出；（2）过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．。

13.8 圆内接正多边形1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ． (2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2．以下说法正确的是A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．3.若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．B ．C ．D ．4.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为，则⊙O 的半径为______________________．第5题图 第6题图6．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在上，则∠BEC= ．7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．E A9．如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E．求证：五边形ABCDE是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。

(1)求图10－1中∠APN的度数；(2)图10－2中，∠APN的度数是_______，图10－3中∠APN的度数是________。

3.8圆内接正多边形一、夯实基础1．方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．2．正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．3．正多边形都是对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是，又是对称图形。

4．如图，将若干全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要五边形（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个5．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A正三角形 B正五边形 C正六边形 D正七边形．二、能力提升6．用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片半径最小应为__ cm7．正方形ABCD的内切圆⊙O的面积是81π，正方形ABCD的周长是______．8．要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____________cm．9．如图，有一个边长为3cm的正六边形，如果要在正六边形纸片中剪出一个最大的圆，则这个圆的半径是___________cm．10．如图，五个相同的圆的圆心连成一个边长为10cm的正五边形，五边形内阴影部分的面积为_____.11．已知两个正多边形的边数之比为2：1，而它们的内角和之比为8：3，求这两个正多边形的边数．三、课外拓展12．求出半径为R的圆内接正三角形的边长，边心距和面积.13．足球面是由若干个正五边形和正六边形拼接而成，已知有12块正五边形，则正六边形的块数是多少？14．将固定宽度的纸条打一个简单的结，然后系紧，使它成为一个平面的结，如图所示，求证：这个五边形是正五边形.15．图①是“口子窖”酒的一个由铁片制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子（如图②），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9cm，有三条边长是3cm，每个内角都是120，六棱柱的高为3cm．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图③的平面展开图．（1）制作这种底盒时，可以按图④中虚线裁剪出如图③的模片．现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁片，请问能否按图④的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请说明理由；（2）如果用一块正三角形铁皮按图⑤中虚线剪出如图③的模片，那么这个正三角形的边长至少应为________________cm．（说明：以上裁剪不计接缝处损耗）四、中考链接1．（2016·山东省德州市·4分）正六边形的每个外角是度．2．（2016·广西桂林·3分）正六边形的每个外角是度．6．（2016广西南宁3分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）。

第三章圆8.圆内接正多边形课后练习2020-2021学年下学期九年级下册初中数学北师大版一、单选题（共12题）⌢上，则∠P的度数为（）1.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在ABA. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n多边形的边长相等，则n的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 63.已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（）A. 2B. 1C. √3D. √324.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（）A. 18°B. 36°C. 54°D. 72°5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A. 8B. 10C. 12D. 156.正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为√2，则这个正多边形为（）2A. 正十二边形B. 正六边形C. 正四边形D. 正三角形7.一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A. 3：2B. 1:√3C. 1:√2D. √2:√38.正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（）A. 2 √2B. √2C. 1D. √229.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的直径为2，则该正六边形的周长是（）A. 12B. 6√3C. 6D. 3√310.半径为a的圆的内接正六边形的边心距是（）A. a2B. √2a2C. √3a2D. a11.半径为R的圆内接正三角形的面积是（）A. √32R2 B. πR2 C. 3√32R2 D. 3√34R212.如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15cm，则线段GH 的长为（）A. √5cmB. 5 √3cmC. 3 √5cmD. 10 √3cm二、填空题（共6题）13.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧CD上，则∠BFE的度数为________14.如图，正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O，连接HD；若线段HD恰好是⊙O 的一个内接正n边形的一条边，则n=________．15.若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为________.16.数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________.17.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若AB=3cm，则⊙O的半径为________.18.我国古代数学家刘徽创造的“割圆术”，利用了圆内接正多边形和外切正多边形的面积或周长，无限逼近圆来近似估计圆的面积或周长，从而估算出π的范围.如图1，用圆内接正方形和外切正方形周长可得2 √2<r<4，那么利用图2中的圆内接正六边形和外切正六边形周长可进一步将π的范围缩小到________(结果保留根号)三、综合题（共4题）19.如图，已知圆O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距n，面积S ．20.如图，ABCDE是⊙O的内接正五边形．求证：AE∥BD.21.试比较图中两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-8圆内接正多边形》同步练习题（附答案）1．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（）A．72°B．54°C．36°D．64°2．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（）A．30°或150°B．60°或120°C．30°D．60°3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．2π﹣4B．4π﹣4C．8π﹣4D．16π﹣44．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°5．如图，边长为2+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（）A．0.5B．C．1D．6．半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（）A．2B．1C．D．7．如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（）A．B．C．D．8．如图，在边长为4cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．9．若点O是正六边形ABCDEF的中心，∠MON＝120°且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点．若多边形AMONF的面积为，则正六边形ABCDEF的边长是．10．如图，在正五边形ABCDE中，点F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF ＝°．11．如图，在正六边形ABCDEF中，连接CE，AD，AD与CE交于点O，连接OB，若正六边形边长为4，则OB的长为．12．如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则∠AFO的度数为．13．如图，在边长为6cm的正六边形中，点P在边AB上，连接PD、PE．则△PDE的面积为cm2．14．如图，若正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，连接对角线BG，则线段BG的长为．15．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG ＝．16．如图，正六边形ABCDEF中，AB＝1，连接AD，则AD的长为．17．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．（1）求∠CPD的度数；（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．19．如图，在正六边形ABCDEF中，以AD为对角线作正方形APDQ，AP、DP与BC分别交于M、N．（1）∠BAM＝°；（2）若AB＝4，求MN的长．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.1，可以直接利用（1）的结论）20．如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．（1）求∠CDF的度数；（2）求证：AF＝BF．参考答案1．解：连接OC，OD．在正五边形ABCDE中，∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，∵DG⊥PC，∴∠PGD＝90°，∴∠PDG＝90°﹣36°＝54°，故选：B．2．解：连接OA，OB，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝＝60°，当点P不在上时，∠APB＝∠AOB＝30°，当点P在上时，∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣30°＝150°，故选：A．3．解：连接OC、OB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠COB＝90°，∠OCB＝45°，∴OC＝CB cos45°＝4×＝2．所以阴影部分的面积＝（S⊙O﹣S正方形ABCD）÷4＝π×（2）2﹣4×4]÷4＝2π﹣4．故选：A．4．解：连接OC、OD，如图，∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，∴∠COD＝60°，当P点在弧CAD上时，∠CPD＝∠COD＝30°，当P点在弧CD上时，∠CPD＝180°﹣30°＝150°，综上所述，∠CPD的度数为30°或150°．故选：B．5．解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x，∵正方形的边长为2+，∴x+x+x＝2+，解得x＝＝，∴正八边形的边长为，故选：D．6．解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，而正多边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，∴正六多边形的边心距等于2×sin60°＝，故选：C．7．解：连接OA，OB，OE，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，∵∠CBE＝15°，∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，∴△OBE是等边三角形，∴OB＝BE＝3，∴OA＝3，∴AB＝＝3，∴BC＝3，故选：D．8．解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BF，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°＝2（cm），∴BF＝2BT＝4（cm），∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF＝•EF•BF＝×4×4＝8（cm2），故答案为8．9．解：连接OF、OA，作OG⊥AF于点G，如图正六边形中心角∠AOB＝＝60°，∴∠BOF＝60°×2＝120°，∠OFE＝∠OBA＝60°，OF＝AF＝OA，∴∠MON﹣∠MOF＝∠BOF﹣∠MOF，即∠FON＝∠BOM，在△FON和△BOM中，∴△FON≌△BOM（AAS），∴S△FON＝S△BOM，∴S多边形AMONF＝S四边形ABOF＝2S△OAF，在Rt△OFG中，∠OFG＝60°，sin60°＝，∴OG＝OF＝AF，∴S△OAF＝AF•OG＝AF2，即2×AF2＝2，解得AF＝2，故答案为2．10．解：连接BE，BD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴BE＝BD，DE＝DC，∠CDE＝108°，∴∠DCE＝∠DEC＝36°，∵BE＝BD，DF＝EF，∴BF⊥DE，∴∠BFE＝90°，∴∠CGF＝∠GFE+∠GEF＝90°+36°＝126°，故答案为：126．11．解：在正六边形ABCDEF中，BC＝CD＝DE＝4，∠BCD＝∠CDE＝120°，∴∠DCE＝∠DEC＝30°，∵AD⊥CE，∴OC＝OE＝CD•cos30°＝2，∵∠BCO＝∠BCD﹣∠DCO＝90°，∴OB＝＝＝2，故答案为：2．12．解：作正八边形ABCDEFGH的外接圆O．连接OA、OB，∵八边形ABCDEFGH是OO内接正八边形，∴∠AOB＝＝45°，由圆周角定理得，∠AFO＝∠AOB＝＝22.5°，故选答案为22.5°．13．解：如图所示，连接OD、OE，此正六边形中DE＝6，则∠DOE＝60°；∵OD＝OE，∴△ODE是等边三角形，∵OG⊥DE，∴∠DOG＝30°，∴OG＝OD•cos30°＝6×＝3（cm），∴△PDE边DE上的高为2OG＝6（cm），∴S△PDE＝×6×6＝18（cm2），故答案为18．14．解：连接BE，过A作AM⊥BE于M，过F作FN⊥BE于N，过G作GH⊥BE于H，则AF∥BE，∴四边形AMNF是矩形，∴MN＝AF＝2，∠F AM＝90°，∵∠BAF＝＝120°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝1，同理：EN＝1，∴BE＝4，EH＝，GH＝，∴BH＝BE﹣EH＝4﹣＝，∴BG＝＝＝，方法二：连接BD，∵正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，∴BC＝CD＝2，DG＝DE＝1，∠C＝∠CDG＝120°，∴∠CDB＝30°，∴∠BDG＝90°，过C作CH⊥BD于H，∴∠CHD＝90°，∴DH＝CD＝，∴BD＝2，∴BG＝＝，故答案为：．15．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝108°，∵四边形ABFG是矩形，∴∠BAG＝90°，∴∠EAG＝∠EAB﹣∠GAB＝108°﹣90°＝18°，故答案为：18°．16．解：连接AC，∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC＝CD，∠B＝∠BCD＝∠BAF＝120°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∵∠BAD＝∠F AD＝60°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝2AB＝2，故答案为：2．17．（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝∠BAF﹣∠F AE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．18．解：（1）连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°．∴；（2）连接PO，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为BC的中点，∴＝，∴，∴n＝360÷45＝8．19．解：（1）在正六边形ABCDEF中，∠DAB＝60°，在正方形AQDP中，∠DAP＝45°，∴∠BAM＝∠DAB﹣∠DAP＝60°﹣45°＝15°，故答案为：15．（2）连接BE交AD于点O，连接OP交BC于H．在正六边形ABCDEF中，CD＝BC＝AB＝4，∠BAF＝∠ABC＝∠C＝∠CDE＝120°，AO、BO平分∠BAF、∠ABC，OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝∠CBO＝×120°＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴BC∥AD，AO＝BO＝AB＝4，∴AD＝2AO＝8，在正方形APDQ中，AP＝DP，∠APD＝90°，∵AO＝DO，∴PO＝AD＝4，PO⊥AD，∠APO＝∠DPO＝∠APD＝45°，∵AD∥BC，∴∠MHP＝∠AOP＝90°，∴∠BHO＝90°，∴sin∠OBH＝，∵∠OBH＝60°，BO＝4，∴OH＝4×sin60°＝2，∵PH＝MH＝OP﹣OH＝4﹣2，∴MN＝2MH＝8﹣4≈1.1．20．（1）解：在正五边形中，∠ABC＝∠C＝540°÷5＝108°，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，在四边形BCDF中，∵∠ABC+∠C+∠DFB+∠CDF＝360°，∴∠CDF＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠DFB＝360°﹣108°﹣108°﹣90°＝54°；（2）证明：如图，连接DB、AD，∵ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠C，DE＝AE＝DC＝BC，在△AED和△BCD中，，∴△AED≌△BCD（SAS），∴AD＝BD，∵DF⊥AB，∴∠DF A＝∠DFB＝90°，Rt△DAF和Rt△DFB，，∴Rt△DAF≌Rt△DFB（HL），∴AF＝BF．。

3.8圆内接正多边形一、选择题1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（）A. 10B. 8C. 6D. 52.正六边形的半径是6，则这个正六边形的面积为（）A. 24B. 54C. 9D. 543.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是A. 115°B. l05°C. 100°D. 95°4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=110°，则∠BOD的度数为（）A. 35°B. 70°C. 110°D. 140°5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE的度数为（）A. 55°B. 70°C. 90°D. 110°6.如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A. 10B. 20C. 18D. 207.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，若∠BAD ＝105°，则∠BCD的度数是（）A. 105°B. 95°C. 75°D. 60°8.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠BCD的度数是（）A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°9. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（）A. 110°B. 90°C. 70°D. 50°10.已知正方形的内切圆O半径为2，如图，正方形的四个角上分别有一个直角三角形，如果直角三角形的第三边与圆O相切且平行于对角线．则阴影部分的面积为（）A. 32﹣32﹣4πB.C. 1D. 16﹣4π二、填空题11. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=________．12.如图，要拧开一个正六边形螺帽，已知扳手张开的开口b长为2cm，螺帽的边长为a为 ________cm．13.如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则= ________14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=75°，则∠C=________ ．15.如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为 ________m．16.在圆的内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：3：4，则∠D的度数是________°．17.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C =65°，则∠A =________°．18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=________°．三、解答题19.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB=CD．20.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若DA=DE，求证：△BCE是等腰三角形．21.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD•DC=PA•BC．。

3.8圆内接正多边形同步练习一、选择题1．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 2．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3B．9C．18D．363．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2D．24．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．25．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A．B．2C．D．36．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）A．3 B．4﹣C．4 D．6﹣27．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）8．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：二、填空题9．边心距为2的正六边形的面积为．10．已知⊙O的内接正方形的面积为8，则⊙O的内接正八边形的面积为．11．如图，⊙O的半径为10，则⊙O的内接正三角形ABC的边长为．12．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则这个正八边形的面积为．13．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，连接AE、BD、CF，则图中灰色四边形的周长为．三、解答题14．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R．15．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．16．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：ABr1+ACr2＝ABh，∴r1+r2＝h（1）理解与应用如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：．（2）类比与推理边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于；（3）拓展与延伸若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…r n，请问r1+r2+…r n是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》同步达标训练（附答案）1．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°2．一个圆的内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的边长为（）A．2B．4C．4D．83．若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（）A．4B．4C．2D．24．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（）A．B．C．2D．5．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4C．1：：2D．1：2：36．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．7．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（）A．cm B．5cm C．3cm D．10cm8．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（）A．S变化，l不变B．S不变，l变化C．S变化，l变化D．S与l均不变9．如图，已知正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为（）A．36°B．45°C．54°D．60°10．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2B．1C．D．11．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（）A．2B．4C．6D．412．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．213．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝，边长＝，边心距＝．14．如图，圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，圆O从A点出发，沿A →B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，当回到出发点时，则圆O共滚动了周．15．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为．16．如图拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝mm．17．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积．18．如图，边长为a的正六边形内有斜边为a、锐角为60°两个直角三角形，则＝19．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，两顶点A，B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到原点O的距离的最大值为；最小值为．20．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．21．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．22．如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON．（1）求图1中∠MON的度数；（2）图2中∠MON的度数是，图3中∠MON的度数是；（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．参考答案1．解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．2．解：∵圆内接正六边形的边长是4，∴圆的半径为4．那么直径为8．圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于8．∴圆的内接正方形的边长是4．故选：B．3．解：连接OA、OB，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝4，∴OA＝OB＝AB＝4，即正六边形ABCDEF的外接圆的半径是4，故选：B．4．解：如图，连接OB、OC．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝4，∵OM⊥BC，∴BM＝CM＝2，在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，故选：A．5．解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，因而AD＝OC+OD；在直角△OCD中，∠DOC＝60°，则OD：OC＝1：2，因而OD：OC：AD＝1：2：3，所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选：D．6．解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，∴S阴影＝S△OAB﹣S扇形OMN＝×2×﹣＝﹣．故选：A．7．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∴AG＝BG，BH＝CH，∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，连接OA，OB交AC于N，则OB⊥AC，∠AOB＝60°，∵OA＝15cm，∴AN＝OA＝（cm），∴AC＝2AN＝15（cm），∴GH＝AC＝5（cm），故选：B．8．解：如图，连接OA，OC．∵∠HOB＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，∴∠HOC＝∠GOA，在△OHC和△OGA中，，∴△HOC≌△GOA（ASA），∴AG＝CH，∴S阴＝S四边形OABC＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，故选：D．9．解：如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P′，连接BP′．∵正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，∵EF⊥BC，∴B，C关于EF对称，∴PB＝PB，∵P A+PB＝P A+PC≥AC，∴当点P与P′重合时，P A+PB的值最小，∵ABCDE是正五边形，∴BA＝BC，∠ABC＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∵P′B＝CP′，∴∠P′BC＝∠P′CB＝36°，∵∠EFB＝90°，∴∠BP′F＝90°﹣36°＝54°．故选：C．10．解：如图（1），O为△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，∴∠BAD＝30°，又∵AO＝BO，∴∠ABO＝∠BAD＝30°，∴∠OBD＝60°﹣30°＝30°，在Rt△OBD中，BO＝2DO，即AO＝2DO，∴OD：OA：AD＝1：2：3．在正△ABC中，AD是高，设BD＝x，则AD＝BD•tan60°＝BD＝x．∵正三角形ABC面积为cm2，∴BC•AD＝，∴×2x•x＝，∴x＝1．即BD＝1，则AD＝，∵OD：OA：AD＝1：2：3，∴AO＝cm．即这个圆的半径为cm．所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝，故选：B．11．解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠OCM＝60°，∴OM＝OC•sin∠OCM，∴OC＝＝．∵∠OCN＝30°，∴ON＝OC＝，CN＝2，∴CE＝2CN＝4，∴该圆的内接正三角形ACE的面积＝3×＝4，故选：D．12．解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，∵OA＝OF，∴∠OF A＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r•sin60°＝，∴EF＝，∵AO＝2OI，∴OI＝，CI＝r﹣＝，∴，∴，∴＝，即则的值是．故选：C．13．解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴BC＝CD＝OC＝4，∵OG⊥BC，∴CG＝BC＝2，∵∠COG＝∠COD＝30°，∴OG＝CG＝2，故答案为：60°，4，2．14．解：圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，∵圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，∴圆在边上转了4×5＝20圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕五边形的一个顶点旋转了五边形的一个外角的度数，∴圆绕五个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了21圈．故答案为：21．15．解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，∵∠ADB＝20°，∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，而360°÷40°＝9，∴这个正多边形为正九边形，故答案为：九．16．解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，∵OH⊥CD，∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝10（mm），∴CH＝10×tan30°＝（mm），∴a＝2CH＝（mm），故答案为：．17．解：如图，∵△ABG≌△BCH，∴AG＝BH，∵∠ABG＝30°，∴BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，∴HG＝AG＝1，∴中间正六边形的面积＝6××12＝，故答案为：．18．解：∵S正六边形＝6וa2＝a2，S空白＝2ו•a••a＝a2，∴S阴＝a2，∴＝，故答案为：．19．解：当O、D、AB中点共线时，OD有最大值和最小值，如图，BD＝4，BK＝2，∴DK＝＝＝2，OK＝BK＝2，∴OD的最大值为：2+2，同理，当O、D、AB中点共线时，将正六边形绕AB中点K旋转180°取得最小值为：2﹣2，故答案为：2+2，2﹣2．20．（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，在△ABG与△BCH中，∴△ABG≌△BCH；（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG＝∠HBC，∴∠BPG＝∠ABG＝120°，∴∠APH＝∠BPG＝120°．21．解：（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝∠AOD＝45°．（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，∴∠ABF＝∠CDE，∵∠CF A＝∠AEC＝90°，∴∠DEC＝∠AFB＝135°，∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF＝CE＝1，∴AC＝＝，∴AD＝AC＝，∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°，∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，∴＝（4﹣x）2+x2，解得x＝或（舍弃），∴DE＝DH＝22．解：分别连接OB、OC，（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OC＝OB，O是外接圆的圆心，∴CO平分∠ACB∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∵BM＝CN，OC＝OB，∴△OMB≌△ONC，∴∠BOM＝∠NOC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°；∴∠MON＝∠BOC＝120°；（2）同（1）可得∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；（3）由（1）可知，∠MON＝＝120°；在（2）中，∠MON＝＝90°；在（3）中∠MON＝＝72°…，故当n时，∠MON＝．。

3.8 圆内接正多边形
【自主学习】
（一）复习巩固
1. 等边三角形的边、角各有什么性质？
2. 正方形的边、角各有什么性质？
（二）新知导学
1.各边，各角的多边形是正多边形.
2.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做，外接圆的半径叫做，内切圆的半径做．
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做．正n 边形的每个中心角都等于．
3. 正多边形都是对称图形，正n边形有条对称轴；正数边形是中心对称图形，对称中心就是正多边形的，正数边形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
【合作探究】
1.问题：用直尺和圆规作出正方形，正六边形.
【自我检测】
1．正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
2．正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
3．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
4．正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
5.已知三角形的两边长分别是方程的两根，第三边的长是方程的根，求这个三角形的周长. 6．如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，
CB．求证：OP∥CB；。

3.8圆内接正多边形一、选择题1.以下说法正确的选项是 〔 〕A.各边相等的多边形是正多边形B.各角相等的多边形是正多边形C.各边相等的圆内接多边形是正多边形D.各角相等的圆内接多边形是正多边形2.〔2022•天津〕正六边形的边心距与边长之比为 〔 〕A ． ：3B ． ：2C ． 1：2D ． ：23.(2022山东滨州)假设正方形的边长为6，那么其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )A ．6，32B ．32，3C ．6，3D ．62，324. 如下图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，那么∠ADB 的度数是〔 〕．A ．60°B ．45°C ．30°D ．22．5°5.半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为 〔〕 A.1:2:3 B.3:2:1C.3:2:1D.1:2:36. 圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，那么∠APB 的度数是〔 〕．A ．36°B ．60°C ．72°D ．108°7.〔2022•自贡〕如图，点O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O 〔使该角的顶点落在点O 处〕，把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的个数是〔 〕A.4B.5C.6D.78.如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O的内接正方形，BC ∥QR ，那么∠AOQ 的度数是 〔 〕A.60°B.65°C.72°D.75°二、填空题9.一个正n 边形的边长为a ，面积为S ，那么它的边心距为__________.10.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于__________度. 11.假设正六边形的面积是243cm 2，那么这个正六边形的边长是__________.12.正六边形的边心距为3，那么它的周长是_______. 第4题 第6题 第7题 第8题 第13题13.点M 、N 分别是正八边形相邻的边AB 、BC 上的点，且AM=BN ，点O 是正八边形的中心，那么∠MON =_____________.14.边长为a 的正三角形的边心距、半径〔外接圆的半径〕和高之比为_________________. 15.要用圆形铁片截出边长为4cm 的正方形铁片，那么选用的圆形铁片的直径最小要__________cm.16.假设正多边形的边心距与边长的比为1:2，那么这个正多边形的边数是__________.17.一个正三角形和一个正六边形的周长相等，那么它们的面积比为__________. 18.(2022•徐州)如图，在正八边形ABCDEFGH 中，四 边形BCFG 的面积为20cm 2，那么正八边形的面积为________cm 2.三、解答题19.比拟正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点. 正五边形 正六边形例如 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等. 它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点.相同点：〔1〕____________________________________________________________________;〔2〕___________________________________________________________________. 不同点：〔1〕____________________________________________________________________; 〔2〕____________________________________________________________________.20.，如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，求这个正六边形的外接圆半径R 、边心距r 6、面积S 6.21.如图，⊙O 的半径为2，⊙O 的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积.22.⊙O 和⊙O 上的一点A. 〔1〕作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；〔2〕在〔1〕题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边. 23.如图1、图2、图3、…、图n ，M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE…的边AB 、BC 上的点，且BM=CN ，连结OM 、ON.(1)求图1中∠MON 的度数；(2)图2中∠MON 的度数是_________，图3中∠MON 的度数是_________；(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系(直接写出答案). 第18题 第20题 第21题 第22题。

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
圆内接正多边形
练习时间:40分钟，总分100分 【必做部分】
一、 选择题：（共30分）
1．正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是（ ）
A ．
B ．2
C ．2
D ．2
2．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为5，则
的长度为（ ） A ．π B ．2π C ．5π D ．10π
3．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB 为（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．45°
D ．60°
1题 2题 3题
二、 填空题：（共30分）
1．要在一个圆形钢板上，截出一块面积为8cm 2的正方形，如图所示，圆形钢板的直径最少是
2．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为1，则的长为 3．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠OAB 的度数为
1题 2题 3题
三、简答题：（共40分）
1．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
2．如图，⊙O的半径为，⊙O的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积．
【选做部分】
1．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形
的边心距OM和弧BC的长分别为， .
2．已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r6、面积S6．。

3.8 圆内接正多边形单元测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 正六边形的边心距是√3，则它的边长是（）A.1B.2C.2√3D.3√32. 两个边数相同的正多边形周长的比不等于（）A.边长的比B.半径的比C.边心距的比D.面积的比3. 正三角形内切圆半径与外接圆半径及高线之比为（）A.1:2:3B.2:3:4C.1:√2:√3D.1:√3:24. 半径相等的圆的内接正三角形和正方形，正三角形与正方形的边长之比为（）A.1:√2B.√3:√2C.3:2D.1:25. 正六边形的外接圆半径为1，则它的内切圆半径为（）A.√3B.√32C.12D.16. 两圆半径之比为2:3，小圆外切正六边形与大圆内接正六边形面积之比为（）A.2:3B.4:9C.16:27D.4:3√37. 下列说法错误的是（）A.正多边形每个内角都相等B.正多边形都是轴对称图形C.正多边形都是中心对称图形D.正多边形的中心到各边的距离相等8. 既有外接圆，又有内切圆的四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形9. 一个边长为1的正方形的边心距和中心角分别是（）A.1 2;90∘B.12;45∘C.√2;90∘D.√2;45∘10. 有一个长为12cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是（）A.10cmB.12cmC.14cmD.16cm二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 正多边形的边长为2，中心到边的距离为√3，则这个正多边形的边数为________．12. 已知正方形ABCD的边长为1，对角线AC，BD交于点O，E为AB的中点，DE与AC交于点M，CE交BD于点N，则四边形OMEN的内切圆的半径等于________．13. 周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别为S1、S2、S3，则其三者的大小关系为：________．14. 正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的周长为________cm．15. 圆内接正方形的边长为1，则该圆内接正三角形的边长为________．16. 正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为________．17. 正n边形的边长与半径的夹角为75∘，那么n＝________．18. 如图，在正九边形ABCDEFGHI中，若AB+AC=3，则对角线AE=________．19. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，如果圆的半径为6，那么这个正方形的边长为________．20. 已知⊙O过正方形ABCD顶点A、B，且与CD相切，若正方形边长为2，则圆的半径为________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知边长为1的正七边形ABCDEFG中，对角线AD，BG的长分别为a，b(a≠b)，求证：(a+b)2(a−b)=ab2．22. 如图，一个正多边形的半径为√2，边心距为1，求该正多边形的中心角、边长、内角、周长和面积．23. 如图，已知⊙O是边长为2的等边三角形ABC的外接圆，求⊙O的半径．24. 如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径为R，求等边三角形ABC的边长，边心距、周长和面积．25. 如图，两个同心圆的圆心为O，正六边形ABCDEF的顶点在大圆上，六条边分别与小圆相切，大圆的半径OA、OB分别与小圆相交于点G、H，正六边形的边长为2a．（1）求AB^与GH^的弧长之差；（2）求阴影部分的面积．26. 某课题学习在探讨一团周长为4a的线圈时，发现了如下两个命题：命题1：如图①，当线圈做成正三角形ABC时，能被半径为a的圆形纸片完全盖住．命题2：如图②，当线圈做成正方形ABCD时，能被半径为a的圆形纸片完全盖住．请你继续探究下列几个问题：（1）如图③，当线圈做成正五边形ABCDE时，请说明能被半径为a的圆形纸片完全盖住；（2）如图④，当线圈做成平行四边形ABCD时，能否被半径为a的圆形纸片完全盖住请说明理由；（3）如图⑤，当线圈做成任意形状的图形时，是否还能被半径为a的圆形纸片完全盖住？若能盖住，请通过计算说明；若不能盖住，请你说明理由．。