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大学物理动量与角动量描述

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第3章_动量与角动量

第3章_动量与角动量
m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2

a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P

m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt


dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m

120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N

大学物理第4章-动量和角动量

大学物理第4章-动量和角动量

与地面碰撞的时间为t
由动量定理得：
F
，重tt12心F下dt移了ps2
。
p1
ห้องสมุดไป่ตู้
F Mv0
t2 t1
t
t
设人落地后作匀减速运动到静止，则：
讨论
v v0 at ,v2 v02 2as
F Mv02 2s
v02 2gh
t 2s v0 h
F Mg s
设人从 2m 处跳下，重心下移 1cm，则：
称质心：质点系的质量中心)的概念。 N个质点组成的系统∶
• • •• • m1, m2 ,, mi ,, mN
y
m1 m2
• • •• 位矢分别为 • • • •• • •
•C
m3
mi
x
• • r1 , r2 ,..., ri ,..., rN
mN
• 质点系的动量为∶
p m1v1 m2v2 ... mN vN
F1
m1
: F1
f1
dp1 dt
f1 f2 0
f1
f2
F2
m1
m2
m2
: F2
f2
dp2 dt
F1
F2
d(
p1
dt
p2
)
n 个质点组成的质点系：
即：
F
外
dp dt
n
Fi
i 1
d dt
n i 1
pi
— 质点系的动力学方程
即∶质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。
说明
内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量 的改变无贡献。
四、质点系的动量定理： 1、微分形式： 由
F

大学物理课件 第3章 动量 角动量

大学物理课件 第3章 动量 角动量

例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin

大学物理动量与角动量

大学物理动量与角动量
恒力的冲量：
I F (t2 t1)
运动员在投掷标 枪时，伸直手臂，尽 可能的延长手对标枪 的作用时间，以提高 标枪出手时的速度。
变力的冲量：
I
t
2
F
(
t
)

dt
单位：N·s
t1
牛顿运动定律：
F

ma
F

d(mv)

dp
dt dt
动量定理的微分式：
dp
解：(1) 设沙袋抛到船上后，共同运动的初速度为V， 并设此运动方向为x轴正方向，忽略沙袋撞击船时受 水的阻力，则可认为沙袋+船在沙袋落到船上前后水 平方向动量守恒，因而有
(M m)V mv0
3分
V m v0
2分
Mm
(2) 由 k d x (M m) d v 得 d x M m d v
动量与角动量
研究： 力的时间积累作用
对平动——动量定理 对转动——角动量定理
基础：牛顿定律（牛顿力学）
1 动量
2 动量定理
3 动量守恒定律
*4 火箭飞行原理
*5 质心与质心运动定理 6 质点的角动量
7 力矩
8 角动量定理 角动量 守恒定律
2-2 动量守恒定律
动量
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
t
v2 x
mv 2
sin

Ft sin105
sin 0.7866 51.86 51.86 45 6.86
动量守恒定律
质点系的动量定理： t t0
Fidt P P0

当 Fi 0 时,

大学物理学上册资料09 动量和角动量

大学物理学上册资料09 动量和角动量

冲量的方向就不能决定于某一瞬时外力的方向，然而总 决定于这段时间内动量增量的方向。 而冲量的量值，尽管在运动过程中外力随时改变， 质点的速度也逐点不同，冲量大小却完全决定于质点在 始末两点动量矢量差的绝对值，而与运动过程中物体在 各点处的动量无关。 ② 定理在碰撞、打击问题中的应用：求平均力 碰撞：力的作用时间很短 t 冲力：随时间变化很大又很复杂 t F d t 平均冲力：冲力对碰撞时间的平均值 F
例2 两个相互作用的物体A和B，无摩擦地在一条水平直 线上运动，A的动量是PA=P0-bt。在下列两种情况下，写 出B的动量：⑴开始时，若B静止,则PB1=＿＿＿＿＿＿; ⑵开始时，若B的动量为－P0 , 则PB2=＿＿＿＿。 易知 (A+B)系统动量守恒： 解：
P A PB P A 0 PB 0 P B P A 0 P B 0 P A
Px F x t Py F y t Pz F z t
p1 x t1
④ 当t 很小时，由于冲力很大，有时有的有限大小的 力（如重力）可忽略不计。 ⑤ 动量与参考系有关，但动量差值与参考系无关。因 此，动量定理适用于所有惯性系。
例1：质量为 2. 5g 的乒乓球以10 m/s v2 y 的速率飞来，被板推挡后，又以 20 m/s的速率飞出。设两速度在垂直于 板面的同一平面内，且它们与板面法 30o x ˆ O n 线的夹角分别为45o和30o，求： o 45 （1）乒乓球得到的冲量； （2）若撞击时间为0.01s，求板施于 v1 球的平均冲力的大小和方向。 解： （1）分量式法取挡板和球为研究对象，忽 略重力。 设挡板对球的冲力为F 则有： I m v 2 m v 1 取坐标系，将上式投影，有：

物理学概念知识：动量定理和动量角动量定理

物理学概念知识：动量定理和动量角动量定理

物理学概念知识：动量定理和动量角动量定理动量定理和动量角动量定理是物理学中非常基本的两个概念。

它们的内容涉及到我们对物体运动规律的认识，不仅有助于我们更好地理解物理学知识，还可以应用于现实生活中的一些问题。

下面，我们将分别介绍这两个概念及其应用。

一、动量定理动量定理是描述物体运动过程中动量变化的一个基本定理。

它指出：在总外力作用下，物体的动量就会发生变化，这种变化的大小跟作用力和时间的乘积成正比。

这个定理的表达方式为：Δp=Ft其中，Δp表示物体动量的变化量，F表示物体所受的总外力，t 表示外力作用的时间。

式子的意义是：在总外力作用下，物体动量的变化量等于总外力作用时间的乘积。

重物移动时，如果外力越大，或者作用时间越长，那么物体的动量就会发生更大的变化。

从而可以更快地推动物体运动起来。

同样，如果要让运动中的物体停下来，也可以利用动量定理的知识。

通过对物体施加一个与它的运动方向相反的恒定力，也就是反向加速度，可以让物体的动量逐渐减小，直到物体停下来。

二、动量角动量定理动量角动量定理是物理学中另一个基本的概念。

它是通过描述物体绕某一点旋转的行为，来了解物体运动过程中动量变化的定理。

它指出：在物体绕某一点旋转时，物体的角动量就会发生变化，这种变化的大小跟作用力矩和时间的乘积成正比。

这个定理的表达方式为：ΔL=Mt其中，ΔL表示物体角动量的变化量，M表示作用力矩，t表示外力作用的时间。

式子的意义是：在物体绕某一点旋转时，物体角动量的变化量等于力矩作用时间的乘积。

个陀螺时，如果外力越大，或者作用时间越长，那么陀螺的角动量也会发生更大的变化。

从而可以更快地让陀螺旋转。

同样，如果要让旋转中的陀螺停下来，也可以利用动量角动量定理的知识。

通过对陀螺施加一个与它的旋转方向相反的外力矩，也就是反向加速度矩，可以让陀螺的角动量逐渐减小，直到陀螺停下来。

总之，动量定理和动量角动量定理是物理学中非常重要的两个概念。

它们既可以帮助我们更好地理解物理学知识，也可以用于实际生活中的问题解决。

物理动量和角动量


02
角动量
定义
总结词
角动量是描述旋转运动的物理量，表示物体转动惯量和角速度的乘积。
详细描述
角动量是描述旋转运动的物理量，它等于物体转动惯量和角速度的乘积。转动惯量是描述物体转动惯 性的物理量，与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。角速度是描述物体旋转快慢的物理量，等于物 体转过的角度与时间的比值。
乒乓球的旋转速度和方向决定了球的 轨迹和落点，对于比赛结果具有重要 影响。因此，乒乓球运动员需要熟练 掌握各种旋转球技术，以提高比赛水 平。
感谢您的观看
THANKS
动量的计算公式
总结词
动量的计算公式是质量与速度的乘积 。
详细描述
动量的计算公式为 P=mv，其中 P 表示 动量，m 表示质量，v 表示速度。这个 公式用于计算物体的动量，是物理学中 常用的基本公式之一。
动量的矢量性
总结词
动量是一个矢量，具有方向和大小。
详细描述
动量具有矢量性，表示物体运动的方向和大小。在物理学中，动量的方向与速度 的方向一致，大小等于质量与速度的乘积。矢量性是动量最基本的性质之一，对 于描述物体的运动状态和变化趋势非常重要。
角动量的计算公式
总结词
角动量的计算公式为 L = Iω，其中 L 是角动 量，I 是转动惯量，ω 是角速度。
详细描述
角动量的计算公式为 L = Iω，其中 L 是角动 量，I 是转动惯量，ω 是角速度。转动惯量 I 是由物体的质量分布和旋转轴的位置决定的， 可以通过质心坐标系和刚体转动轴的垂直距 离计算得出。角速度 ω 是描述物体旋转快慢 的物理量，等于物体转过的角度与时间的比
动量的守恒定律
总结词
在没有外力作用的情况下，封闭系统中的总动量保持不变。

大学物理质点的角动量


vi ri
L守 恒
L ( mi ri2 ) J
两臂伸开 J
两臂收回 J
＊花样滑冰、跳水、体操。。。 ＊物理学三大守恒定律：能量、动量、角动量 当过程细节不清楚时应利用守恒定律求解。
作业：习题4-14 练习：学习指导“力学” 二、33—36，44 三、73 五、93
L
v

日心
r
m
dr L rmv sin rm sin dt 1 r dr sin dS 2 2m 2m r 、v决定的平面不变 dt dt dS 不变 dt 行星作平面运动
近日点快还是远日点快？
例6：茹可夫斯基凳实验： 各质点绕定轴作圆周运动： L ri mi vi
dL dL M 外 dt 2、 由M 外 dt t2 L2 M 外 dt dL L2 L1
t2

t1
Md t — — M在t1 t 2内的冲量矩（角冲量
（力矩对时间的累积效应）
பைடு நூலகம்
t1
L1
t2

t1
M 外 dt L ——积分形式
若M＝0 L 恒 量
若质点所受的合力对某固定点（轴）的力矩为0， 则此质点对该固定点（轴）的角动量守恒 ——质点的角动量守恒定律 1、质点对固定点（轴）的角动量定理和角动量 守恒定律可推广到质点系（证明略）。
对质点系：内力矩抵消 dp F外 d t dL ——微分形式 比 M外 较 若F外＝0 dt p 恒量 若M外＝ 0 L 恒量
二、质点对固定点（轴）的动量矩（角动量） 质点m绕固定点O运动，则定 L 义质点对O点(或：过O点⊥r p 和 p 决定平面的轴)的角动 r 量为 O m

大学物理12.7动量和轨道角动量

12.7.1 动量
自由粒子的动量取确定值，其波函数(x)应
该是动量算符的属于本征值 p 的本征波函数。
用 pˆ x代表动量算符的 x 轴分量，应有
pˆ x (x) p (x)
为寻找动量的算符形式提供了线索
假设动量算符的xຫໍສະໝຸດ 轴分量：pˆ xi
x
pˆ x (x)
i
x
i
Ae
px
p (x)
量子力学假设动量算符的形式：
0
0
A 1
2
2. lˆ2和 lˆz 的共同本征值问题的解 球谐函数 lˆ2 的本征方程的求解比较复杂，我们不加证
明地给出 lˆ2 和 lˆz 的共同本征值问题的解：
lˆ2Ylm ( ,) l(l 1) 2Ylm ( ,) lˆzYlm ( ,) mYlm ( ,)
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
l：角量子数，m：磁量子数，Ylm ：球谐函数
Ylm ( , ) NPlm (cos )eim
Ylm ( ,)是 lˆ2 和 lˆz 的共同本征态 如果粒子处于用Ylm ( ,)描述的转动态上
测量粒子的 lˆ 2，结果：l(l 1) 2
测量粒子的 lˆz ，结果： m
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
,l
0,1,2,
本征波函数：Ylm ( ,)
如果一个能级对应两个或两个以上的互相独 立的本征波函数，则称该能级是简并的。
互相独立的本征波函数的个数，叫做简并度。
El
l(l 1) 2 2I
(2l
1) 个独立波函数 Ylm ( ,)
分子转动能级的简并度：
2l 1
lˆz () ()， i

大学物理 动量与角动量解读


t2 t1
F外
dt
P2
P1
—质点系动量定 理（积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
用质点系动量定理处理问题可避开内力。 8
§3.2动量守恒定律 （law of conservation of momentum）
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。
zC
mi zi m
质量为权重的平均值。 17
二.几种系统的质心
● 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
● 连续体
z
dm
r
×C
rc m
0

x
m1 r1 = m2 r2
rC
r dm
m
xC
xdm
……m
18
● 均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
● “小线度”物体的质心和重心是重合的。
[例]如图示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在x轴上。
2
3.1 冲量与动量定理
冲量：力和力作用时间的乘积 （单位：牛顿·秒 (N·s)）
恒力 变力
在 dt 时间内的元冲量： dI Fdt
在 t1至 t2 时间段内的冲量：
（力对时间的积累效应）
动量：质点质量 m 和速度 的乘积
P mv
单位：千克·米·秒-1 (kg·m·s-1) 3
一、质点的动量定理
经整理得： Mdv = -udM
d v u d M M
f
Mf dM
d v u
i
M Mi
速度公式：
vf
vi
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A

F

d
r
变化量与力在空间上的 累积作用相关
机械运动与机械运动转换时，数量关系可以用动量 或动能来量度。
机械运动与非机械运动转换时，只能用动能来量度。
6
二 质点系动量定理
（theorem of momentum of particle system）
pi
· i
r vFi
为质点
i
受的合外力，
······ Fi fij
fj i j
fij为质点 i 受质点 j 的内力，
r pi
为质点 i 的动量。
· 质点系
r
对质点 i ： （Fi
r fij）d t

d
r pi
对质点系：
r ji r (Fi fij）d t
r d pi
i
ji r
i
由牛顿第三定律有： fij 0
mv1y
t2
t1
Fz dt

mv2 z

mv1z
质点动量定理只适用于惯性系
5
动量：与动力学有密切的关系，是动力学参量。 速度：只是从运动学角度描述物体的运动状态。 动量比速度更能反映物体的运动状态。

动量 P： P Fdt 变化量与力在时间上的 累积作用相关
动能
Ek：
Ek

F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt 由此得火箭所受燃气的反推力为
dm
F F气对箭 u d t
15
二. 重力场中的火箭发射 忽略地面附近重力加速度 g 的变化，
可得 t 时刻火箭的速度：
v(t)

vi

gt

u ln
Mi Mt
Mt ： t 时刻火箭壳和尚余燃料的质量
第3章 动量与角动量
1
力的瞬时效应：牛顿第一、第二、第三定律
与力的累积效应（空间累积、时间累积）相关的 三个定理：动量定理、动能定理、角动量定理
特殊情况下就有：动量守恒定律、机械能守 恒定律、角动量守恒定律
守恒量：对于物体系统内发生的各种过程，如果某 物理量始终保持不变，则称其为守恒量。
表面上看，能量、动量和角动量三个定律仅是牛顿 第二定律的数学变形，但是实际上它们是更为基本 的物理量，它们的守恒定律具有更广泛、更深刻的 意义。
牛顿第二定律 F
ma

F

m
d
v

d
mv

d
p
dt dt dt
微分形式
积分形式
作用于质点上的合力的冲量等于同一时间内 质点动量的增量 质点的动量定理
4
方向：I的方向与(mv) 的方向相同
t2
t1
Fxdt

mv2 x

mv1x
分量表示式：
t2
t1
Fy dt

mv2 y

2
3.1 冲量与动量定理
冲量：力和力作用时间的乘积 （单位：牛顿·秒 (N·s)）
恒力 变力
在 dt 时间内的元冲量： dI Fdt
在 t1至 t2 时间段内的冲量：
（力对时间的积累效应）
动量：质点质量 m 和速度 的乘积
P
mv
单位：千克·米·秒-1 (kg·m·s-1) 3
一、质点的动量定理
(2)增大 N（受一定限制）
为提高N，采用多级火箭（一般为三级） v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3
资料：长征三号（三级大型运载火箭）
全长：43.25m， 最大直径：3.35m，
14
2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u) 由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
用质点系动量定理处理问题可避开内力。 8
§3.2动量守恒定律 （law of conservation of momentum）
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。
即
r
Fi
0
时，
v Pi
常矢量
i
i
几点说明：
1.动量守恒定律是牛顿第二定律的必然推论。
喷出燃料的质量：dm = - dM，
喷出燃料速度(对地)： v - u
12
火箭壳体 +尚存燃料的质量： M - dm 火箭壳体 +尚存燃料的速度(对地)：v + d v 系统动量： ( M- dm)(v + d v) + - dM(v - u)
由动量守恒，有
M v = - dM(v - u) +( M- dm)(v + d v )
2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。9
3. 动量若在某一惯性系中守恒， 则在其它一 切惯性系中均守恒。
4.若某个方向上合外力为零， 则该方向上动 量守恒，尽管总动量可能并不守恒。
5.当外力<<内力 且作用时间极短时（如碰撞）， 可认为动量近似守恒。
6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的定律，它在宏观和微观领域均适用。
经整理得： Mdv = -udM
d v u d M M
f
Mf dM
d v u
i
M Mi
速度公式：
vf
vi
u ln Mi Mf
13
引入火箭质量比：N Mi Mf
得 v f vi u ln N
讨论：提高 vf 的途径 (1)提高 u（现可达 u = 4.1 km/s）
7.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统
和条件。
10
§3.3 变质量系统、火箭飞行原理
低速（v << c）情况下的两类变质量问题：
▲ 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲ 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）
还有另一类变质量问题是在高速（v c） 情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可 以随速度改变 — m = m(v)，这是相对论情形， 不在本节讨论之列。
16
§3.4质心（center of mass）
下面以火箭飞行为例，讨论变质量问题。11
一. 火箭不受外力情形（在自由空间飞行）
1.火箭的速度
v
系统： 火箭壳体 + 尚存燃料 条件：燃料相对箭体以恒速u喷出
总体过程：i (点火) f (燃料烧尽)
先分析一微过程： t t +dt
u
初态：系统质量 M，速度v (对地)，动量 M v
末态：喷出燃料后
7
i ji
所以有：
(
r Fi）d t

d
r pi
令
ri r
i
Fi F外 ，
r pi

r P
i
i
则有： 或r
r dP
F外 d t
质点系动量定理 （微分形式）
t2 t1
r F外
dt

r P2

r P1
—质点系动量定 理（积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。