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第六章_一阶电路

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电路讲义第六章_new

电路讲义第六章_new

f (t ) f (0 ) e

t

2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 3） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电 路τ=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 4） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
【例6-5】 电路中开关SW闭合已久， t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0。
diL (t ) d u L (t ) L dt dt
C R ） (1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大
1 1 t uc (t ) ic d uc (t 0 ) ic d C C t0
1 t 1 t iL (t ) u L d iL (t 0 ) u L d L L t0
§6-1 动态电路的方程及其初始条件

跳变（跃变）：
换路定则：
当 i C 和 u L 为有限值时，状态变量电容电压 u C 和电感电流 i L 无跳变， 即有 u C ( 0 )

u C ( 0 ) ； i L (0 ) i L (0 ) ；
过渡过程：动态电路的特点是，当电路状态发生改变后（换 路后）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个 变化过程称为电路的过渡过程。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
基本概念：

动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 一阶电路：用一阶微分方程描述的电路（或只含一个独立 的动态元件的电路）



换路：电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电 路参数变化； 若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- ；换 路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-～0+ ；

第六章 一阶电路

第六章 一阶电路

20 - 3 + t=0 2 3v -
+
uR2
C 0.1F
0.5i1 1F
i1
uc -
§6-3完全响应
N uc(0)=U0 N0 Uc(0)=U0 N Uc(0)=0
初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 一,完全响应 du + R0 c uc(t) + Us - - uc (t ) = (U 0 uc(0)=U0 τ=R0C
§6-1零输入响应
初始值的计算: 时的值称初始值. 4,初始值的计算:t=0+时的值称初始值. u(0+),i(0 (0+)和 如:u(0+),i( +), uc(0+), iL(0+).而uc(0+)和 又可称为初始状态. iL(0+)又可称为初始状态. 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, + + _ 即
t
i +
+ R C-
uc
τ
) = uc (∞)(1 e τ ) t ≥ 0
t
称为电容电压的稳态值. 称为电容电压的稳态值.
uc(t)
u c( ∞) 0 4τ τ t
Us/R 0
i(t)
4τ 稳态 过程
暂态 过程
稳态 过程
暂态 过程
t
t
t
Us e 后再求i(t): 求出uc(t)后再求 : i ( t ) = 后再求 R 的讨论: 二,对uc(t)的讨论: 的讨论
得:l (t ) = il (0 )e i
+

第6章 一阶电路

第6章 一阶电路
iL(0)= 0
C + U0– L L L
L L
+ uL–
iL(0)=I0
+ uL–
I0
第6章 一阶电路
6- 3
例：求电路初始值 iL(0+)，uL(0+)。
t=0
R3
R3
IS 5A
R1 20
K b 30 iL + uL L R2 – 15
a
IS 5A
R1 20
30
iL(0-)
+
uL(0-)

t RC
代入初始条件 uC(0) = U0， uC (0) K e 最终得
K U0
uC ( t ) U 0 e

t RC
t≥0
uC(t) 的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。
第6章 一阶电路
6- 4
1. 响应的形式
t≥0 由电容VCR、KVL可得响应
R
i(t)
+ u1(t) – + uC(0) –
第6章 一阶电路
6-1
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) i(t) + uOC(t) – C i(t) iSC(t) + uC(t) – R0 + uC(t) – C
N
+ uC(t) –
G0
C
第6章 一阶电路
6-1
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) + uR0(t)– i(t) + uC(t) – C

第六章 一阶电路

第六章 一阶电路

第六章 一阶电路例6－1如图所示电路，t =0时闭合开关k ，求 u L (0+)（a ） （b ）解：先求 A i L 24110)0(=+=-由换路定律：i L (0+)= i L (0-) =2A0＋等效电路如图(b)所示，则V u L 842)0(-=⨯-=+。

注意： 电感电压在换路瞬间发生了跃变，即：例 6-2 如图所示电路，t =0时打开开关k ，求)0(+li ，)0(+l u，)0(+R u 。

（a ） （b ）解： （1）30j 60-∠=∠=LE L E I m m Lmωω )30sin( -=t LE i mL ωω LE t L E i m t m L ωωω2)30sin()0(0-=-==- （2） LE i i mL L ω2)0()0(-==-+LE i i t E u m l l o m s ωω2)0()0(V )60sin(-==+=-+（3）0＋等效电路如右图所示，则LRE R i u mL R ω2)0()0(-==++LRE E u mm L ω223)0(--=+例6-3 图示电路在t ＜0时处于稳态，t =0时闭合开关,求电感电压u L (0+)和电容电流i C (0+)（a ） (b) (c)解：(1) 把图(a)t=0－电路中的电感短路，电容开路，如图（b ）所示，则：(2) 画出0+等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：注意： 直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。

例6-4 求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。

（a ） (b) （c ）解：(1) 把图 (a) t=0－电路中的电感短路，电容开路，如图（b ）所示，则：(2) 画出0+等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：例6-5 图示电路中的电容原本充有 24V 电压，求开关闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。

第六章一阶电路

第六章一阶电路

R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。

《电路分析基础》第六章：一阶电路

《电路分析基础》第六章：一阶电路
us(t) +
t ≥ t0 -
R i''(t) a
+
C
uC'' (t)
b
+-u1''(t)
零输入响应
零状态响应
信息学院电子系
6
2. RC电路的零状态响应
t=0时，开关由打开到闭合
中uC(0−) =0
¾ 定性分析
国 uC
i
K (t = 0)
R
i+
+
C
Us
uC
−
−
海洋 O τ 2τ 3τ 4τ t O τ
uC
(t
)
=
uC
−1
(0)e τ
t
t ≥ 0 τ=RC
−1t
iL (t) = iL (0)e τ
t ≥ 0 τ=L/R
¾ 零输入响应线性 ¾零输入响应形式也适用于非状态变量
信息学院电子系
18
6.5 线性动态电路的叠加定理
中全响应
电路的初始状态不为零，同时又有外加激励 源作用时电路中产生的响应。
国 线性动态电路的叠加定理
中电容储存能量：WC
=
1 2
CU
2 S
+
C
Us
uC
−
−
国 ∫ ∫ e 电阻消耗能量：WR =
∞i2Rdt =
0
∞ (US 0R
−
t
RC
)2
R
dtΒιβλιοθήκη =1 CU 22 S
海 电源提供能量：WS = WC + WR = CUS2
注意
洋 •电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能 大 量储存在电容中。 学 • uc由0开始按照指数规律上升趋向稳态值

一阶电路


d
由KVL，得
i1(t) 4 uab (t) i2 (t) 3 0
uab (t)
25 24
t
e 12
t0
2020年4月19日星期信日息学院
24
结束结束
第6章 一阶电路
电路分析基础
6-2 零状态响应 定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时的外加激励 所产生的响应。
一、一阶RC电路的零状态响应 t<0时，电路处于稳定状态，t=0 时，开关闭合，求t≥0时电容两端 的电压。
2020年4月19日星期信日息学院
6
结束结束
第6章 一阶电路
三、过渡过程的定性分析
电路分析基础
电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t = 0） i
i U S / R2
i U S ( R1 R2 )
t 0
2020年4月19日星期信日息学院
过渡期为零
7
结束结束
第6章 一阶电路
电容电路
(t = 0) R i
2)做出t=0+时的初始值等效电路。 在t=0+瞬间，电容元件可用电压等于uC(0+)的电压源代替； 电感元件可用电流等于iL(0+) 的电流源代替。画出t=0+的初 始值等效电路如图所示。
2020年4月19日星期信日息学院
12
结束结束
第6章 一阶电路
3)由0+等效电路可求得 uL (0 ) Us uC (0 ) 10 10 0
t
uc (0)e
其中uc(0)为电容电压的初始值，τ＝RC
一阶电感电路的零输入响应
1t
iL (t) I0e

第 六 章 一 阶 电 路


t0
uV (0+)= - 10000V
造成
V 损坏。
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t ) y(0 )e

t

2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路
= L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。

1 uC (0 ) uC (0 ) C
结论
1 0 ( )d uC (0 ) C
0
uC (0 )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
iL
+
u
L
-
1 t i L u( )d L 1 0 1 t i L u( )d u( ))d L L 0
§6-3 电路的初始条件
一. 关于 t = 0+与t = 0-
换路在 t=0时刻进行
00+ t = 0 的前一瞬间 t = 0 的后一瞬间
二. 换路定律
i
+ uc -
C
1 t uC ( t ) i ( )d C 1 0 1 t i ( )d i ( )d C C 0 1 t uC (0 ) i ( )d C 0
3
U0 e -3
5
U0 e -5 0.007 U0
uc U 0 e

U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
0.135 U0 0.05 U0
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。

电路分析第六章 一阶电路

放电结束，电路达到稳态。 放电结束，电路达到稳态。
6
2. 电路的微分方程及其求解 设响应为 uc(t) Q uc− u R = 0
i C + uc + R uR -
duc uR =R i = − RC t ≥ 0, u c (0) = U 0 dt du c ∴ RC + uc = 0 ，≥ 0 （齐次微 t dt 分方程） 分方程） 及 u c (0 ) = U 0
14
根据公式得到
uC (t ) = U 0e
− t
τ
= 6e −20t V
t
(t ≥ 0)
duC U0 − τ iC (t ) = C =− e dt R 6 e −20t mA =− 10 ×103 = −0.6e −20t mA
(t > 0)
电阻中的电流i 可以用与 可以用与i 同样数值的电流源代替 电阻中的电流 R(t)可以用与 C(t)同样数值的电流源代替 电容， 电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
12
电路如图(a)所示 已知电容电压u 所示， 例 电路如图 所示，已知电容电压 C(0-)=6V。 。 t=0闭合开关，求t > 0的电容电压和电容电流。 闭合开关， 的电容电压和电容电流。 闭合开关 的电容电压和电容电流
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 6V
13
将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 等效于一个电阻 其电阻值为
6×3 Ro = (8 + )kΩ = 10kΩ 6+3

第六章 一阶电路

（1）电感的储能只与当时的电流值有关，电感 ）电感的储能只与当时的电流值有关， 表 明 电流不能跃变，反映了储能不能跃变； 电流不能跃变，反映了储能不能跃变； （2）电感储存的能量一定大于或等于零。 ）电感储存的能量一定大于或等于零。
电感的串联
Leq = L1 + L2 + L3 + ... + LN
电感元件VCR的积分关系： 的积分关系： 电感元件 的积分关系 1 0 1 t i (t ) = ∫ u (ξ ) dξ + ∫ u (ξ ) d ξ L −∞ L 0
1 t = i(0) + ∫ u(ξ )dξ L 0
式中，i(0) 称为初始电流； 称为初始电流； 式中， 后一项是在t=0以后电感上形成的电流， 后一项是在 以后电感上形成的电流，它体 以后电感上形成的电流 现了在0-t 的时间内电压对电流的贡献。 现了在 的时间内电压对电流的贡献。 上式说明：任一时刻的电感电流， 上式说明：任一时刻的电感电流，不仅取决于 该时刻的电压值，还取决于-∞~t 所有时间的电压 该时刻的电压值，还取决于 即与电压过去的全部历史有关。 值，即与电压过去的全部历史有关。可见电感有 记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件 记忆元件。 “记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件。
1 t u(t ) = u(0) + ∫ i(ξ )dξ C 0
有限时， 当i有限时，电容电压不能突变， 有限时 电容电压不能突变，
注意
而是连续变化的。 而是连续变化的。
duc (t ) 能突变， ∵ 若uc(t)能突变，则 ic (t ) = c 能突变 dt
这与“ 为有限值” 这与“ ic(t)为有限值”的前提相矛盾。 为有限值 的前提相矛盾。 ∞，
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uc
R2 L2 u2
IS
i0()= i3()=1A i1()=0A
i0()
i3()
12
+ 36V–
i1() uc()
u3() i2() 6
6
u2()
i2()=4A u2()=0V 3A u3()=0V uc()=24V
§6—2 一阶电路的零输入响应
零输入响应：
电路在无输入情况下，
仅由储能元件的初始能量 作用于电路而引起的响应。
R0 +
R1
–US C
L3 i3
u3
i2
R2
uc
L2 u2
t<0时
i3(0–)
R1 uc(0–)
i2(0–) R2 6
1：由(t<0)的电路
IS
求出uc(0–)、iL(0–)。 进而得到换路后的
uc(0+)、iL(0+)。
i3(0+)= i3(0–)=0A 3A
i2(0+)=i2(0–)=IS=3A
+
0.6uc(t)
+ i(t) uc(t) 0.1F
–
从t<0电路可以求出：
2 试求零输入响应i(t)。
+ 1、求uc(0+)
5V
–
+ 4 +
2
0.6uc(0–)
uc(0–)
+
–
5V
uc(0+)=uc(0–)=4.17V
2、求
+ 4
0.6U
I
I=
U–0.6U 4
U
Req=
U I
=10
–
3、求t≥0时响应
设：uc=Aept 代入微分方程 RCApept+Aept=0
特征方程 RCp+1=0
p=–
1 RC
由初始条件 uc(0+)=U0 uc=Aept t==0U0
A=U0
RC零输入响应
uc
uc(t)=U0e–
1 RC
t
–
=uc(0+)e
1 RC
t
U0
i
(t)=–C
duc dt
=
U0 R
–
e
1 RC
t
i
第六章 一阶电路
内容提要
本章讨论可以用一阶微分方程描述的电路， 主要是RC电路和RL电路。介绍一阶电路的经 典法，以及一阶电路的时间常数的概念。还介 绍零输入响应、零状态响应、全响应、瞬态分 量、稳态分量、阶跃响应、冲击响应等重要概 念。
目录
§6—1 动态电路的方程及其初始条件
§6—2 一阶电路的零输入响应
动态电路初始值及稳态值的确定：
i0 S
L3 i3
(t=0) i1 u3
i2
R0 +
R1
–US C
uc
R2 L2 u2
IS
已知:开关S闭合前电路已达稳态， US=36V,R0=12, R1=R2=6,IS=3A。求: 开关闭合瞬间及电路重新达到稳态后各 支路电流及储能元件上的电压值。
i0 S (t=0) i1
一种稳态 过渡过程 另一种稳态
变？
暂态分量 稳态分量
换路定则
i
C=
C
duC dt
uC(t)=uC(t0) +
1 C
tt0iC(t)dt
电路结构变化(换路)瞬间 令：t0=0–，t=0+
uC(0+)=uC(0–)+
1 C
0+
0–
iC(ξ)dξ
因此：
uc(0+)=uc(0–)
即：在换路的瞬间电容两端的电压不会发生跳变， 但流过电容的电流可以发生跳变。
uc(0+)=uc(0–)= i2(0–)R2 =18V
2、把t=0+时的uc(0+)、 iL(0+)分别以电压源、电流 源代替，画出0+等效电路。
i0 S
L3 i3
(t=0) i1
R0 +
R1
–US C
u3
i2
R2
uc
L2 u2
i3(0+)= 0A
IS i2(0+)=3A uc(0+)=18V
i0(0+) S
–
uc(t)=uc(0+)e
t
=4.17e–tV
=ReqC =1s
i
(t)=C
duc dt
=–0.42e–tA
二、RL电路
已知:电路原已达稳
R1
R2
态，t=0时将开关S闭合。
+
S uR
iL
求：t≥0时iL(t)、uL(t)
US–
(t=0)
uL
L
解：iL(0+)=iL(0–)=
US R1+R2
=I0
同理： R1
+
US–
R2
US iL
R1 ?
L
S
S打开时：iL=0
(t=0) S闭合，达到稳态(t)时：
iL
iL=
US R1
t
iL(0+)=iL(0–)
t<0
t
换路的瞬间流过电感的电流不能跳变，电 感两端的电压可以跳变。
全响应=暂态响应+稳态响应
求全响应的电路为动态电路，由动态电路所 列的方程叫动态方程。
一、RC电路
S
+ (t=0)
C –uc
R
已知：uc(0–)=U0，t=0时将S闭合。
i
求：t<0时的uc(t)、ic(t)
uR
解： uc(0+)= uc(0–)=U0
t>0:
i R – uc =0
i
=–C
duc dt
一阶常系数齐 次微分方程
RC
duc dt
+uc=0
解微分方程
RC
duc dt
+uc=0
+
36V
–
i1(0+) 12
6
+
18V
–
i3(0+) u3(0+)6
i2(0+)
3A uc(0+)
u2(0+)
i0(0+)=i1(0+)= 1A
u2(0+)= –9V
3A
u3(0+)=15V
3、画出S闭合后的稳态电路，求电压、电流的稳态值。
i0 S
L3 i3
(t=0) i1 u3
i2
R0 +
R1
–US C
t=5 uc=0.007uc(0+)
RC电路零输入响应的一般表达式：
–
uc(t)=uc(0+)e
t
求RC电路零输入响应的关键是：求电路的 初始值uc(0+)和电路的时间常数。
=RC
R：令换路后电路中独立电源为零时从电容C两 端看进去的等效电阻。
例： 4
S (t=0)
图示电路换路前已达稳态，
–
– –
U0 R
t
t
–
uc(t)=uc(0+)e
1 RC
t
uc以指数形式衰减，其衰减的速度与RC的乘 积有关。
uc 时间常数： =RC 单位：S uc(0+)
可见：越小，曲线衰减越快， 暂态时间越短。
t= uc=0.368uc(0+)
t 1< 2 < 3
t=2 uc=0.135uc(0+) 一般取t=(35)时，电路 t=3 uc=0.05uc(0+) 达到稳定状态。
uL+iLR2 =0
uL=L
diL dt
L
diL dt
+iLR2
=0
令：iL=Aept
代入方程可解出：
p=–
R LHale Waihona Puke 由初始条件可解出：A=I0
iL(t)=I0e–
R L
t
–
uL(t)=–I0R2e
R L
t
RL电路零输入响应的一般表达式：
–
iL(t)=iL(0+)e
t
求RL电路零输入响应的关键是：求电路的 初始值iL(0+)和电路的时间常数。
§6—3 一阶电路的零状态响 应 §6—4 一阶电路的全响 应 §6—5 一阶电路的阶跃响 应
§6—1 动态电路的方程及其初始条件
若 us=U，直流电路，uc=U
+ –uUs 若：
R C
若 uc
us=Umcost，正弦交流电路
uc=
Um
R2+(
1 C
)2
1 C
cos(t+ )
uc
U?
t<0
t t
问题： uc能否发生跳