人教版高中数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案

描述：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算一、学习任务1. 了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程．2. 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；理解空间向量的正交分解及其坐标表示．3. 理解空间向量的线性运算及其性质；理解空间向量的坐标运算．4. 理解空间向量的夹角的概念；理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断两非零向量是否垂直．二、知识清单空间向量的概念与表示空间向量的坐标运算三、知识讲解1.空间向量的概念与表示空间向量的概念及表示方法与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector），向量的大小叫做向量的长度或模（modulus）．向量可以用有向线段来表示，也可用 ， 等表示，还可以用有向线段的起点与终点字母表示，如 ．长度为 的向量叫做零向量（zero vector），记为 ．模为 的向量称为单位向量（unitvector）．与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 ．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector）．空间向量的加减运算①空间向量的加减运算满足三角形法则和平行四边形法则；②空间向量的加 减运算满足交换律及结合律：，．空间向量的数乘运算与平面向量一样，实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vector by scalar）．当 时， 与向量 方向相同；当 时， 与向量 方向相反； 的长度是 的长度的 倍．空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：，结合律：．空间向量基本定理（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）．a →b →AB −→−00→1a →a →−a →+=+a →b →b →a →(+)+=+(+)a →b →c →a →b →c →λa →λa →λ>0λa →a →λ<0λa →a →λa →a →|λ|λ(+)=λ+λa →b→a →b →λ(μ)=(λμ)a →a →vector）．（1）；（2）；（3）AP N A 1，则 ∠BA =∠DA =A 1A 16013−−√23−−√高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

第3课时 用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( ) A.120° B.60°C.30°D.以上均错l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2设四边形ABCD ,ABEF 都是边长为1的正方形,FA ⊥平面ABCD ,则异面直线AC 与BF 所成的角等于 ( )A.45°B.30°C.90°D.60°,则A (0,0,0),F (0,0,1),B (0,1,0),C (1,1,0), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1). ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =-1. 设异面直线AC 与BF 所成的角为θ, ∴cos θ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12. 又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.3若a =(λ,1,2)与b =(2,-1,-2)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为( ) A.λ<52B.λ<52,且λ≠-2C.λ≥52,且λ≠4D.λ≥52,得a ·b =2λ+(-1)-4<0,即λ<52.而|a |=√5+λ2,|b |=3,又<a ,b >为钝角,∴3√5+λ≠-1,即λ≠-2.4若斜线段与它在平面α内射影的长之比是2∶1,则AB 与平面α所成角为( ) A.π6 B.π3C.23πD.56πAB 与平面α所成角为θ,由题意知cos θ=12,则AB 与平面α所成角为π3.5若平面α的一个法向量为n =(4,1,1),直线l 的一个方向向量为a =(-2,-3,3),则l 与α所成角的余弦值为 ( )A.-√11B.√11C.-√110D.√913<a ,n >=√4+9+9√16+1+1=3√11=-4√1133, 故l 与α所成角的余弦值为√1-(-4√1133)2=√91333.6在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,二面角A-BD 1-B 1的大小为 .,以点C 为原点建立空间直角坐标系.设正方体的边长为a ,则A (a ,a ,0),B (a ,0,0),D 1(0,a ,a ),B 1(a ,0,a ), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,a ),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a ). 设平面ABD 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,a ,0)=ay=0, n ·BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,a )=-ax+ay+az=0. ∵a ≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,则n =(1,0,1),同理,求得平面B 1BD 1的法向量m =(1,1,0),∴cos <n ,m >=n ·m |n ||m |=12,∴<n ,m >=60°.而二面角A-BD 1-B 1为钝角,故为120°.°7在正四棱锥P-ABCD 中,高为1,底面边长为2,E 为BC 的中点,则异面直线PE 与DB 所成的角为 .,则B (1,1,0),D (-1,-1,0),E (0,1,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1). ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√8×√2=12.∴<DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π.∴PE 与DB 所成的角为π.8在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知DA=DC=4,DD 1=3,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为 .9如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°,试确定此时动点E 的位置.DA 所在直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系.设E (1,t ,0)(0≤t ≤2),则A (1,0,0),D (0,0,0),D 1(0,0,1),C (0,2,0),D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t-2,0), 根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0=√2×√1+(t -2)2·cos 60°, 所以t=1.所以点E 的位置是AB 的中点. 10如图,在四棱锥P-ABCD 中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则各点的坐标为B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).因为AD ⊥平面PAB ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0).因为PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2).设平面PCD 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即{x +y -2z =0,2y -2z =0. 令y=1,解得z=1,x=1.所以m =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量.从而cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m |=√33,所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为√33.能力提升1已知E ,F 分别是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1的中点,则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( ) A.23B.√23C.√53D.2√33D 为坐标原点,以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A (1,0,0),E (12,1,0),F (0,1,12),D 1(0,0,1),∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,1,0). 设平面AEFD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 {n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{-x +z =0,-x 2+y =0,∴x=2y=z. 取y=1,则n =(2,1,2),而平面ABCD 的一个法向量为u =(0,0,1),∴cos <n ,u >=2,∴sin <n ,u >=√5.2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是A 1B 1,BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )A.√32B.√1010C.35D.25,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),M (1,12,1),C (0,1,0),N (1,1,12),∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1),CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,12).∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52. ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ >=1252×52=25.3在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,则EF 与BD 1所成的角是( ) A.90°B.60°C.30°D.0°,以D 为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a ,则A 1(a ,0,a ),D (0,0,0),A (a ,0,0),C (0,a ,0),B (a ,a ,0),D 1(0,0,a ), ∴DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,a ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,-a ,a ). ∵EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z ), ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(a ,0,a )=ax+az=0, EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,0)=-ax+ay=0.∵a ≠0,∴x=y=-z (x ≠0).∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,x ,-x ).∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-aEF ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BD 1∥EF. 故EF 与BD 1所成的角是0°.4二面角α-l-β内有一点P ,若点P 到平面α,β的距离分别是5,8,且点P 在平面α,β内的射影间的距离为7,则二面角的度数是( ) A.30°B.60°C.120°D.150°,PA ⊥α,PB ⊥β,∠ADB 为二面角α-l-β的平面角.由题意知PA=5,PB=8,AB=7, 由余弦定理,可得cos ∠APB=52+82-72=1,则∠APB=60°,故∠ADB=120°.5在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0,a )(a>0),若平面α与平面xOy 的夹角为45°,则a= .6在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 .,可知∠CB 1C 1=60°,∠DC 1D 1=45°.设B 1C 1=1,则CC 1=√3=DD 1.∴C 1D 1=√3,则有B 1(√3,0,0),C (√3,1,√3),C 1(√3,1,0),D (0,1,√3).∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√3). ∴cos <B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√64.7如图,在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=PC=BC ,且∠BAC=π2,则PA 与底面ABC 所成角的大小为 .,∵PA=PB=PC ,∴P 在底面上的射影O 是△ABC 的外心.又∠BAC=π2,∴O 在BC 上且为BC 的中点.∴AO 为PA 在底面上的射影,∠PAO 即为所求的角.在△PAO 中,PO=√32PB=√32PA ,∴sin ∠PAO=PO =√3.∴∠PAO=π3.8在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值是 .,设棱长为1,则B (1,1,0),C 1(0,1,1),A 1(1,0,1),D (0,0,0). BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0). 设平面A 1BD 的一个法向量为n =(1,x ,y ),设BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ,n ⊥A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以{-1-y =0,-1-x =0,解得{x =-1,y =-1.所以n =(1,-1,-1),则cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n |=-√63,所以sin θ=√63.所以cos θ=√1-(√63)2=√33.9如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=BC=AB=2,AB ⊥BC ,求二面角B 1-A 1C-C 1的大小.,则A (2,0,0),C (0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(0,0,2),C 1(0,2,2).设AC 的中点为M ,连接BM.∵BM ⊥AC ,BM ⊥CC 1,∴BM ⊥平面AA 1C 1C ,即BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)是平面AA 1C 1C 的一个法向量.设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(x ,y ,z ).A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,-2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),∴n ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x=0,n ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n =(0,1,1).设法向量n 与BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为φ,二面角B 1-A 1C-C 1为θ,显然θ为锐角.∴cos θ=|cos φ|=|n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,解得θ=π3.∴二面角B 1-A 1C-C 1的大小为π3.★10四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD=AB=AA 1=2BC ,E 为DD 1的中点,F 为A 1D 的中点. (1)求证:EF ∥平面A 1BC ;(2)求直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值.E ,F 分别是DD 1,DA 1的中点,∴EF ∥A 1D 1.又A 1D 1∥B 1C 1∥BC ,∴EF ∥BC ,且EF ⊄平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC , ∴EF ∥平面A 1BC.AB ,AD ,AA 1两两垂直,以AB 所在直线为x 轴,以AD 所在直线为y 轴,以AA 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图.设BC=1,则A (0,0,0),A 1(0,0,2),C (2,1,0),D (0,2,0),D 1(0,2,2),F (0,1,1),E (0,2,1), 故FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0). 设平面A 1CD 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,2,-2)=2y -2z =0,n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-2,1,0)=-2x +y =0.取n =(1,2,2),则sin θ=|cos <n ,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√1+4+4·√0+1+0|=23,故直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值等于23.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14.【答案】 D3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD→与AB → D.P A →与CD→ 【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD→＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C.【答案】 A4.如图3-1-25，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )图3-1-25A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG→·AC → D ．2EF→·CB → 【解析】 2BA→·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错；2FG→·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确． 【答案】 C5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中正确命题的个数是( ) 【导学号：18490091】 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°.【答案】 B 二、填空题6．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________． 【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】617．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，（a ＋λb ）·（λa －2b ）≠－|a ＋λb ||λa －2b | 得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.【答案】 (－1－3，－1＋3)8.如图3-1-26，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3-1-26【解析】 不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.【答案】 90° 三、解答题9．如图3-1-27，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面BDG .图3-1-27【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.而A 1O →＝A 1A →＋AO → ＝A 1A →＋12(AB →＋AD →) ＝c ＋12(a ＋b )， BD→＝AD →－AB →＝b －a ， OG→＝OC →＋CG → ＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→ ＝12(a ＋b )＋12c .∴A 1O →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面BDG .10．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→. 【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB→）＋AD → ＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→) ＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C.【答案】 C2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【解析】 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD→＝CD →2＝1. cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB→，CD →〉＝60°. 【答案】 B3．已知正三棱柱ABC -DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CNCF ＝________. 【导学号：18490092】【解析】 设CN CF ＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →，MN →＝12BC →＋mAD →，又AE→·MN →＝0， 得12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4m ＝0，解得m ＝116. 【答案】 1164.如图3-1-28，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图3-1-28【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝（AB →＋AD →＋AA 1→）2＝ AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2（AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→）. ∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→| ＝1＋4＋9＋2（1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°） ＝23.。

描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角 线面角 二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体 中，求：（1）异面直线 与 所成的角；（2） 与 所成的角．解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ．（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为 与 所成的角．又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ，即 与 所成的角为 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线 与 平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱 、面分别为 ， 的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ， ，将这个二面角记作二面角．如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体 中，，，， 分别是 ，， 和 的中点．（1）求证：；（2）求二面角 的平面角的正切值．解：（1）因为 ， 均为所在棱的中点，所以 ．而 ，所以 ．又因为 ， 均为所在棱的中点，所以 和 均为等腰直角三角形．所以 ，所以 ， ，故．而 ，所以 ．（2）在平面 中，过点 作 于点 ，连接 ．由（1）知 ，又 ，所以 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。

2021年09月30日试卷一、单选题(共25题；共0分)1、(0分)如图，已知二面角 α－ PQ － β的大小为60°，点 C 为棱 PQ 上一点， A ∈ β ， AC ＝2，∠ ACP ＝30°，则点 A 到平面 α的距离为( )A. 1B. 12C.√32D. 322、(0分)在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1中，若AB=2, AA 1=1,则点A 到平面 A 1BC 的距离为（ ）A.√34B.√32C.3√34D. √33、(0分)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为( )A.√23B.√33C. 23D.√634、(0分)已知m 、n 、l 是三条不同的直线， α、 β、 γ是三个不同的平面，给出以下命题：①若 m ⊂α,n ∥α ， 则 m ∥n ； ②若 m ⊂α,n ⊂β,α⊥β,α∩β=l,m ⊥l ， 则 m ⊥n ；③若 n ∥m ， m ⊂α ， 则 n ∥α；④若 α∥γ,β∥γ ， 则 α∥β 其中正确命题的序号是（ ）A. ②④B. ②③C. ③④D. ①③5、(0分)下列各组向量不平行的是（ ） A. a →=(1,0,0),b →=(−3,0,0) B. a →=(0,1,0),b →=(1,0,1)C. a →=(0,1,−1),b →=(0,−1,1)D. a →=(1,0,0),b →=(0,0,0)6、(0分)若平面α，β的法向量分别为n 1=(2，-3，5)，n 2=(-3，1，-4)，则( ). A. α∥βB. α⊥βC. α，β相交但不垂直D. 以上均不正确7、(0分)如图,半径为√3的扇形AOB 的圆心角为120∘,点C 在AB 上,且∠COB =30∘,若OC →=λOA →+μOB →,则λ+μ=( )A. √3B.√33C.4√33D. 2√38、(0分)已知a=(cos θ，1，sin θ)，b=(sin θ，1，cos θ)，则向量a+b 与a-b 的夹角是( ).A. 0°B. 30°C. 60°D. 90°9、(0分)正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在A 1C 上运动（包括端点），则BP 与AD 1所成角的取值范围是（ ）A. [π4,π3]B. [π4,π2]C. [π6,π2]D. [π6,π3]10、(0分)点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的底面 ABCD 上一点，则 PA →⋅PC 1→的取值范围是 ( )A. [−1,−14] B. [−12,−14]C. [−1,0]D. [−12,0]11、(0分)在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1中，若AB=2， AA 1=1则点A 到平面 A 1BC 的距离为（ ）A.√34B.√32C.3√34D. √312、(0分)已知平面向量a 、b ，|a|＝1，|b|＝ √3 ， 且|2a ＋b|＝ √7 ， 则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A. π2B. π3C. π6D. π13、(0分)设 α、 β是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题：①若 l ⊥α ， α⊥β ， 则 l ⊂β；②若 l ∥α ， α∥β ， 则 l ⊂β； ③若 l ⊥α ， α∥β ， 则 l ⊥β；④若 l ∥α ， α⊥β ， 则 l ⊥β。

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §.1.2空间向量的数乘运算1.下列命题中不正确的命题个数是 （）①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有 AB +BC + CD +DA =0 ；A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。

A .1B .2C .3D .4r 4 * r 4 t 44.已知四边形 ABCD 中，AB =a — 2C , CD =5 a +6 b — 8C ，对角线AC 、BD 的中点分别为 E 、F ，则EF = __________5.已知矩形 ABCD , P 为平面ABCD 外一点，且 PA 丄平面 ABCD , M 、N 分别为 PC 、PD 上的点，且 M N 分PD 成定比1，求满足 MN =xAB - yAD - zAP 的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱 ABCD-ABC 1D 1中，AA = 2AB , E 为AA 重点，则异面直线BE 与C0所形成角的(x , y , z ) 为（)A . ( 1,1 1)B . ( 3 ,-,-)C .( 1 1I ) D .(2 ,2 2) 4 444 4 43 3333 3T T T3 •在平行六面ABC D—EFGHAG 二 xAC yAFzAH , 则x + y + z =2.设OABC 是四面体，G i 是厶ABC 的重心，G 是OG i 上一点，且OG=3GG i,若 10 A . 10 13.10 B . C . 5 10 3 D .52•如图，设 A , B , C , D 是空间不共面的四点， 且满足 丿 ABR ,余弦值为（） ②对空间任意点0与不共线的三点A 、B 、C ,若 OP =x OA +y OB +z OC（其中 x 、y 、z € R ）,则 P 、OG =x OA +y OB +z OC ,分PC 成定比2,NACAD.0 , ABAD =0,则厶BCD 的形状是（）A .钝角三角形B •锐角三角形C •直角三角形D .不确定的 3.已知ABCD — A 1B 1C 1D 1为正方体，则下列命题中错误的命题为I F I Q F Q①(A 1A+A 1 D 1+A 1B 1)2 =3(A 1 B )2;②AC (A|B _AiA)=O;③向量AD 与向量A |B 勺夹角为60 ; ④立方体ABCD-/AB 1C 1D 1的体积为|ABAA AD4. 如图，已知：平行六面体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且/ CQB = / C 1CD= / BCD=60 °（1）证明：C 1C 丄 BD ;CD（2）当2CD 的值为多少时,CC 15.如图，正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1的底边长为a ,侧棱长为.2 a .建立适1 .已知向量 OA = (2 ,§.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示OB = （x , 1 -y , 4z ）, -2, 3), 且平行四边形OACB 的对角线的中点31坐标为M (0, ,)，则(X ,2 2 A . (-2,-4, -1)B . (-2,一4, 1) C. (-2, 4,-1)D . (2, -4, -1)2 .已知 a = (2, - 2, 4) , b = (1,-1, 2), c = (-6.6,-12)，则向量 a 、b> c ()A •可构成直角三角形 C •可构成钝角三角形B •可构成锐角三角形D .不能构成三角形3 .若两点的坐标是 A （3cos a3sin a 1), B (2cos 0 2sin,01）,则| AB |的取值范围是（） A . [0, 5] B . [1 , 5]4.设点 C (2a+1 , a+1 , 2)在点 的值为 ________________ . C . (1 , 5)P (2, 0, 0)、A (1 , — 3,D . [1 , 25]2 )、B ( 8, -1, 4）确定的平面上，则 a能使 A i C 丄平面C i BD ?请给出证明.当的坐标系，⑴写出A, B, A1, B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角.B13.2立体几何中的向量方法1到一定点(1 , 0, 1)的距离小于或等于 2的点的集合为()A • {(x,y,z)|(x —1)2y 2 (z —1)2 乞4}B - {(x,y,z)|(x-1)2 y 2 (z-1)2 =4}C • {(x,y,z)|(x —1)2 y 2 (z —1)2 乞 2}D • {(x,y,z)|(x-1)2y 2 (z_1)2 =2}2. 正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面4 二3 .3 3 "2"3. 已知斜三棱柱 ABC-A 1B 1C 1,BCA=90* , AC 二 BC = 2 , A在底面ABC 上的射影恰为 AC 的中点D ，又知BA — AC 1.(1) 求证：AG _平面ABC ; (2) 求C 1到平面A,AB 的距离；4.如图，在直三棱柱 ABC-ABG 中，AB=1 , AC 二 AA =、3 , / ABC=60 °(1)证明：AB_AC ;(2)求二面角A — AC — B 的大小.5.如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱SD 上的点.A 1BD 所成角的余弦值为()(3)求二面角A - AB - C 余弦值的大小.BC1C(1)求证：AC丄SD;(2)若SD丄平面PAC,求二面角P-AC-D的大小(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E, 使得BE //平面PAC.若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由.FDCD2(2)设x, CD =2,则 CC=,CC 1 x』2寸・彳*彳24 2.A 〔C GD = (a b c) (a - c)二 a a b - b c - c 5 6 ,x x4 2 2 2 令飞6=0，则 3x 「x -2 € ,解得 x = 1，或 x = -一x 2 x3（舍去），CD 1时，能使AQ _平面GBD. CC f§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 §3.1.5空间向量运算的 坐标表示参考答案第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §.1.2空间向量的数乘运算 3 4 4 1. A 2.A 3. 4.3a +3b — 5C25.如图所示，取 PC 的中点E ,连结NE ,则MN =EN —EM . 1 i i h••• EN 二 CD 二 BA= — AB ,2 2 2 21 1 _1 EN =PM _PE = _PC PC PC ,连结A C ,则^ _P C A C_ A P1(AB AD —AP) 621 1 …x , y , z .366§3.1.3空间向量的数量积运算 T 彳 T 彳 —H 轉 叫 呻1.C2.B3.③④4. (1)设 CB = a, CD = b,CC 〔 =c ，贝V |a|=|b| ,BD=CD —CB 绪二，所以BDCC^(b -a)c =b c —a c =|b||c|cos60 -|a||c|cos60 =0, BD _ CG 即 BD _ CC 1 ;BD _A 〔C , 只须求 x 满足：AC GD =0 ,A BADBD 一 面AA1C C ,■A A = a, AD =b, DC =c, A|C =ab21. A2.D3.B4.165. (1 )建系如图，贝U A (0, 0, 0) B ( 0, a , 0)(2)解法一：在所建的坐标系中，取 a *-于是 M (0, _, J2a ),连结 AM , MC 12则有2,0,0) AB=(0,a,0), 胃=(0,0、、2a),2二 MQ AB = 0, MC 1 AA =0, 所以，M6丄平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是 AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法 新课标第一网3.取 AB 的中点E ，贝U DE // BC ,以DE, DC,DA 1为x, y,z 轴建立空间坐标系, 则 A 0, -1,0，C 0,1,0，B 2,1,0 ,A 0,0,t , C 0,2,t ,R -HA i ( 0, 0,■… 2 a), C 1|,Z )A iB i 的中点M ,ACi =( 亍,2，池,)爲“j,忌),9a 2.AC 1 AM，而 || AC4AC 1 AM -3| AG ||AM 「2 ,由 cos< AC 1, AM >= < AC 1, AM >=30 °••• AC 1与侧面 ABB 1A 1所成的角为30°1 .A 2. C (1)如右图,所以DE _ AC ，又AD _平面ABC ，AG=(0,3,t ), BA=(-2,-1,t ),T > TCB 二2,0,0 ，由AC CB = 0，知AC — CB ,又BA丄AG,从而AC1丄平面ABC.(2)由AC1 BA = -3 + t2设平面 AAB 的法向量为 n= x, y,z , A A^ = 0,1,3 , "AB 二 2,2,0，所以•竺二y 、3z =o ，设乙=i ，则 n 二；3, _、、3,1，n AB' = 2x 2y = 0(3)再设平面 A|BC 的法向量为m= x, y, z ， CA , 所以m CA = -y ^3z = 0，设 z =1，则 m = 0, ■. 3,1 ，m CB = 2x = 0故 cos ：：：m, n 1 二二，根据法向量的方向,7可知二面角A-AB-C 的余弦值大小为 -74. (1) T 三棱柱ABC-AB iG 为直三棱柱,二 AB 丄 AA , AC 丄 AA ，Rt ：ABC ，AB =1, AC 二，3, ABC = 60， 由正弦定理/ACB= 300. . BAC =90° 即 AB _ AC如右图，建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0B, (1,0,0) (0^3,小，(0,0, 3).A^ = (1,0,0), AC = (0^.3/. 3)， AB _ AC .I⑵ 如图可取m =AB =(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量,设平面A 1BC 的法向量为n =(l,m, n)， 则B C n =0, AC n =0,又 BC =( —1,73,0)，所以点G 到平面AAB 的距离d 二AC 1n2.21-1八 3 , CB 二 2,0,0 ,=1 0 0 .3 0 (一、、3)=0，丨 J 、、3m = 0_ _ . ^ </3m, n =m. 3m - x 3 n = 0不妨取m =1,则门=(13,1,1)，m ncos £ m, n >= ----- :—=m ，n,3 11 01 0 .15I 2 12 12 J 2 02 025j 15 二面角 A _AC -BD 的大小为arccos .'P55. ( 1)连结BD ，设AC 交于BD 于O ， 由题意知SO _平面ABCD .以O 为坐标原点,OB,OC,OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立坐标系O -xyz 如右图.D设底面边长为a ，则高SO 二—2a .于是 S(0,0,6a),D( 2a,0,0)，C(0^-2 a,0)2 2 2OC =(0仝a,0)，SD -( 2a,0, 6a)，OC S ^-0 2 2 2 ，故OC 丄SD 从而AC 丄SD .7 ■2 • 6 ⑵由题设知，平面PAC 的一个法向量DS=( a,0, a)，平面DAC 的一个法向量 2 2 OS =(0,0,6a )，设所求二面角为6，则cos 日=笃笛=庚，得所求二面角的大小为 30 ° 2 |OS||DS| 2 ,6a 2 (3)在棱 SC 上存在一点E 使BE//平面PAC .由(2 )知DS 是平面PAC 的一个法向量，且f a)丘® -予,予).设 CE =tCS,____ ______________________________ if Q / Q jf O则 BE = BC CE =BC tCS =(— a,二 a(1 -1),2—at)，而2 2 2t 二1 .即当 SE: EC =2:1 时，BE _ DS .而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE// 平面 PAC . 3作 者于华东 责任编辑庞保军。

3.1.3 空间向量的数量积运算课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．1．空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角记法范围,想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b .(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝________ 交换律 a·b ＝______分配律 a·(b ＋c )＝____________(3)两个向 量数量 积的 性质①若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔__________. ②若a 与b 同向，则a·b ＝________；若反向，则a·b ＝________.特别地：a·a ＝|a |2或|a |＝a·a .③若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝______④|a·b |≤|a|·|b |.一、选择题1．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·a )·c －(c ·a )·b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④2．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )A.7B.10C.13 D ．44.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E,F 分别是BC,AD 的中点，则AE ·CF →等于( )A ．0 B.12 C ．－34 D ．－125.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．1446．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( )A ．m ∥nB ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能二、填空题7．已知a ，b 是空间两向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则a 与b 的夹角为________．8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________. 9．在△ABC 中，有下列命题：①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA ＝0；③(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的是________．(填写正确的序号)三、解答题10.如图，已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .11．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M 、N 分别是棱AB 、CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.能力提升 12.平面式O,A.B 三点不共线，设OA →＝a ，OB ＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2B.|a |2|b |2＋(a ·b )2C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 13.如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且AB ＝7，AC ＝BD＝24，线段BD 与α所成的角为30°，求CD 的长．3．1.3 空间向量的数量积运算知识梳理1．〈a ，b 〉 [0，π]2．(2)λ(a·b ) b·a a·b ＋a·c(3)①a·b ＝0 ②|a|·|b | －|a|·|b |③a·b |a||b |作业设计1．D [①错；②正确，可以利用三角形法则作出a －b ，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b ·a ＝c·b ＝0时，(b·a )·c －(c·a )·b 与c 垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．]2．A [a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．]3．C [|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a ＋3b |＝13.]4．D [AE →·CF →＝12(AB →＋AC →)·12AD AC ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14AB →·AD →＋14AC →·AD →－12AB →·AC →－12|AC →|2 ＝14cos 60°＋14cos 60°－12cos 60°－12＝－12.] 5．C [∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →，∴|PC →|2＝(PA →＋AB →＋BC →)2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2PA →·AB →＋2PA →·BC →＋2AB →·BC →＝108＋2×6×6×12＝144，∴|PC →|＝12.] 6．B [由题意m ⊥a ，m ⊥b ，则有m·a ＝0，m·b ＝0，m·n ＝m (λa ＋μb )＝λm·a ＋μm·b ＝0，∴m ⊥n .]7．60°解析 由|a －b |＝7，得(a －b )2＝7，即|a |2－2a·b ＋|b |2＝7，∴2a·b ＝6，∴|a||b |cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.即a 与b 的夹角为60°. 8.7解析 |a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×2×12＋4＝7. 9．②③解析 ①错，AB →－AC →＝CB →；②正确；③正确，|AB →|＝|AC →|；④错，△ABC 不一定是锐角三角形．10．证明 ∵OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，∴△OAC ≌△OAB .∴∠AOC ＝∠AOB .∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝0，∴OA ⊥BC .11．解如图所示，|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝a ，把题中所用到的量都用向量AB →、AC →、AD →表示，于是MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →. 又AD →·AB →＝AB →·AC →＝AC →·AD →＝|AD →|2cos 60°＝12|AD →|2＝12a 2， ∴MN →·MN →＝112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭· 112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ ＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 故|MN →|MN MN ∙＝53a ，即|MN |＝53a . 12.C [如图所示，S △OAB ＝12|a ||b |·sin 〈a ，b 〉 ＝12|a ||b |1－〈a ，b 〉2＝12|a ||b | 1－a ·b |a ||b |2＝12|a ||b | |a |2|b |2－a ·b 2|a |2|b |2 ＝12|a |2|b |2－a ·b 2.] 13.解 由AC ⊥α，可知AC ⊥AB ，过点D 作DD 1⊥α，D 1为垂足，连结BD 1，则∠DBD 1为BD 与α所成的角，即∠DBD 1＝30°， ∴∠BDD 1＝60°，∵AC ⊥α，DD 1⊥α，∴AC ∥DD 1，∴〈CA →，DB →〉＝60°，∴〈CA →，BD →〉＝120°.又CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ， ∴BD →·AB →＝0，AC →·AB →＝0.故|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD →＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625，∴|CD →|＝25.。

空间向量与立体几何1、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB+A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++=．9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠A O B 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 10、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．11、已知两个非零向量a 和b ，则c o s ,a b ab 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即c o s ,a b a bab ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．12、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 13、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．14、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．16、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．17、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．18、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．19、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()82cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =20、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．21、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点． 22、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 23、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 24、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．25、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．26、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．27、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．28、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．29、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．30、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 31、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．32、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．空间向量与立体几何练习题1一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +c D.－21a －21b +c2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是A.--=23B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++D.0=++3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则⋅等于A.41B.41-C.43D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设)2,1,1(-=，)8,2,3(=，)0,1,0(=，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A.213 B.253 C.453D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A.9πB.10πC.11πD.12π8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为55210.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为A.5B.41C.4D.52二、填空题（每小题5分，共20分）11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy .12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A BC D -是正方体，其中2,AB PA ==，则1B 到平面PAD 的距离为 .三、解答题（共80分）俯视图正(主)视图 侧(左)视图15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,． （1）试用c b a ,,表示出向量BM ；（2）求BM 的长．16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG..17.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F，正视图MPD C BA分别是AB BD ，的中点．求证： （1）直线//EF 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ． 18.（本小题满分14分）如图，已知点P 在正方体''''D C B A ABCD -的对角线'BD 上，∠PDA=60°.（1）求DP 与'CC 所成角的大小；（2）求DP 与平面D D AA ''所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论;D 'C 'B'A'PD C BA俯视图侧视图正视图ED CBA P （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD所成最大角的正切值为2，求二面角E AF C --的余弦值．参考答案 一、选择题PBECDFA1.)(21111A B B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A.2.1),,(=++∈++=⇔z y x R z y x OC z OB y OA x OM C B A M 且四点共面、、、由于C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(共面使所以存在y x y x ,,,1,1∴+==-=四点共面，、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 3.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF 21,21//=∴=∴且, 41120cos 1121,210-=⨯⨯⨯>=<=⋅=⋅∴DC BD DC BD DC EF 故选B.4.B5.B6.D7.D8.D9.D 10.4,cos ==><=AC AB ，5==,故选A二、填空题 11.9 12.313.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则++=θθcos 6)180,0,0,2530-=-⋅=⋅=⋅===DB AC DB CD CD AC0022222120,1800 .21cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=θθθθ由于AC DB DB CD CD AC DB CD AC14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系 设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离15B A m d m⋅==三、解答题15.解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([21)(21BM -+=+=c b a a c b 212121)]([21++-=-+= （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于),(21c b a ++-=BM 由于23)]110(2211[41)](2[41)(412222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=c b c a b a c b a c b a2626的长为，BM ∴=. 16.解：（1）如图（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=． （3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，连结AD '，则AD BC ''∥． 因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥， 从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥面EFG ．17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵AD ⊂面ACD ，EF ⊄面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .18.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -． 则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．A C D E F GA 'B 'C 'D '在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ． 设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>，，可得2m = 解得2m=，所以21DH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭．（1）因为0011cos DH CC ++⨯'<>==， 所以45DH CC '<>=，，即DP 与CC '所成的角为45．（2）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos 2DH DC +⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，，可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1233P ABCD ABCD V S PC -=⋅=(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC又ACPC C =∴BD ⊥平面PAC∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G ，连结BG∵CD=CB,EC=EC ，∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆，∴ED=EB ∵AD=AB ，∴△EDA ≌△EBA ，∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE ，AD ∥BC ，∴AD ⊥DE在R ｔ△ADE 中AD DE DG AE ⋅==BG在△DGB 中，由余弦定理得212cos 222-=⋅-+=∠BG DG BD BG DG DGB∴DGB ∠=23π，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 解法2：以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从而(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DE DA BA BE =-===- 设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为(,,),(',',')m a b c n a b c ==由法向量的性质可得：0,0a c b -+==，'0,''0a b c =-+= 令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-，∴(1,0,1),(0,1,1)m n ==-- 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1cos 2||||m n m n θ⋅==-⋅∴23πθ=，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 20.（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PAAD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥．（2）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，． 由（1）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt EAH △中，AE = 所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．此时tan AE EHA AH ∠===因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，所以2PA =．解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，在Rt AOE△中，3sin302EO AE==3cos302AO AE==，又F是PC 的中点，在Rt ASO△中，3sin454 SO AO==，又SE==Rt ESO△中，cos SOESOSE∠===即所求二面角的余弦值为5．解法二：由（1）知AE AD AP，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又EF，分别为BC PC，的中点，所以(000)10)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以31(300)12AE AF⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，，，，，．设平面AEF的一法向量为111()x y z=，，m，则AEAF⎧=⎪⎨=⎪⎩，，mm因此1111122x y z=++=⎪⎩，．取11z=-，则(021)=-，，m，因为BD AC⊥，BD PA⊥，PAAC A=，所以BD⊥平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量．又(0)BD=，，所以cos55BDBDBD<>===，mmm．因为二面角E AF C--为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．空间向量与立体几何2B一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g 2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b aλ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ ） A ．19 B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（ ）A ．21B ．22 C ．－21 D ．07．设n m 、表示直线，βα、表示平面，则下列命题中不正确．．．的是（ ）． A ．βα⊥⊥m ,m ，则α//β B ．m//n ,=βαα ，则m//n C ．α⊥m ,β//m , 则βα⊥ D ．n //m ,α⊥m , 则 α⊥n8．在棱长均为2的正四面体BCD A -中，若以三角形ABC 为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（ ）． A ．3 B ．362 C ．2 D ．22 9、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直ABC DDCABC ． 异面D ．相交成60°10、点P 在平面ABC 外，若PA=PB=PC ，则点P 在平面ABC 上的射影 是△ABC 的 （ ）A ．外心 B.重心 C.内心 D.垂心11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）（A）2（B）12 （C）22+ （D）112、已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ） （A ）2对 （B ）3对 （C ）4对 （D ）5对二、填空题（每小题4分，共24分）13．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a，则(23)(2)a b a b -+=__________________。

学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14.【答案】 D3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC→与BD→B.DA→与PB→C.PD→与AB→D.PA→与CD→【解析】用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故PA→·CD→＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故DA→·PB→＝0，排除B，同理PD→·AB→＝0，排除C.【答案】 A4.如图3­1­25，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )图3­1­25A．2BA→·AC→B．2AD→·DB→C．2FG→·AC→D．2EF→·CB→【解析】2BA→·AC→＝－a2，故A错；2AD→·DB→＝－a2，故B错；2EF→·CB→＝－12a2，故D错；2FG→·AC→＝AC→2＝a2，故只有C正确．【答案】 C5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有下列命题：①(AA1→＋AD→＋AB→)2＝3AB→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中正确命题的个数是( ) 【导学号：18490091】 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°. 【答案】 B 二、填空题6．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________． 【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】617．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，（a ＋λb ）·（λa －2b ）≠－|a ＋λb ||λa －2b | 得λ2＋2λ－2<0. ∴－1－3<λ<－1＋ 3. 【答案】 (－1－3，－1＋3)8.如图3­1­26，已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3­1­26【解析】 不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.【答案】 90° 三、解答题9．如图3­1­27，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面BDG .图3­1­27【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0. 而A 1O →＝A 1A →＋AO → ＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )，BD→＝AD →－AB →＝b －a ， OG→＝OC →＋CG → ＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→ ＝12(a ＋b )＋12c . ∴A 1O →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面BDG .10．已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→. 【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→) ＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋AD →＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC→＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C.【答案】 C2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【解析】 由于AB→＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1.cos 〈AB→，CD →〉＝AB→·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB→，CD →〉＝60°. 【答案】 B3．已知正三棱柱ABC ­DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CNCF＝________. 【导学号：18490092】【解析】 设CN CF ＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →，MN →＝12BC →＋mAD→，又AE→·MN →＝0， 得12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4m ＝0， 解得m ＝116.【答案】 1164.如图3­1­28，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图3­1­28【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴|AC 1→|＝（AB →＋AD →＋AA 1→）2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2（AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→）.∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→| ＝1＋4＋9＋2（1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°） ＝23.。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.2已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.3在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是()⃗⃗⃗⃗⃗ 与点B的坐标相同A.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与点A的坐标相同B.向量ABC.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标相同 D.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标相同4点A (-1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( ) A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)A 在x 轴投影知y=0,z=0,由点A 在xOy 平面投影知z=0.故选B .5设{i ,j ,k }是空间的一个单位正交基底,a =2i -4j+5k ,b=i+2j-3k ,则向量a ,b 的坐标分别为 , .-4,5) (1,2,-3)6已知{a ,b ,c }是空间的一个基底,下列向量可以与p =2a -b ,q =a +b 构成空间的另一个基底的是 (填序号).①2a ②-b ③c ④a +c7如图,在边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,取点D 为原点建立空间直角坐标系,已知O ,M 分别是AC ,DD 1的中点,写出下列向量的坐标.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ,OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .-2,0,1) (1,1,2)8如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2CD ,点O 为空间任一点,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用a ,b ,c 表示为 .-12b +c9如图所示,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1).10已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 3,以{e 1,e 2,e 3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ,求向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.DC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2. ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1-e 3, ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PC ⃗⃗⃗⃗⃗=-12e 2+e 3+12(e 2-e 1-e 3)=-12e 1+12e 3.∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,12),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 能力提升1有下列叙述:①在空间直角坐标系中,x 轴上的点的坐标一定是(0,b ,c );②在空间直角坐标系中,在yOz 平面上点的坐标一定可写成(0,b ,c ); ③在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标可记作(0,0,c ); ④在空间直角坐标系中,在xOz 平面上点的坐标是(a ,0,c ).其中正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4错,x 轴上的点的坐标应是(a ,0,0).②③④正确.2如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,设A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是 ( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.12a -12b +cD.-12a -12b +c1M =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(-a +b )=-12a +12b +c .3设p :a ,b ,c 是三个非零向量;q :{a ,b ,c }为空间的一个基底,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件a ,b ,c 不共面时,{a ,b ,c }可以当基底,否则不能当基底.当{a ,b ,c }为基底时,一定有a ,b ,c 为非零向量.4如图,在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在OA 上,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,N 是BC 的中点,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 的值为( ) A.12,-23,12B.-23,12,12C.12,12,-23 D.23,23,-125已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3,-1),把AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 按向量(2,1,1)平移后所得向量的坐标是 .-4,-3,-1)6设{i ,j ,k }是空间向量的单位正交基底,a =3i+2j-k ,b=-2i+4j+2k ,则向量a ,b 的关系是 .a ·b =-6i 2+8j 2-2k 2=-6+8-2=0,∴a ⊥b .⊥b7已知在空间四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2c ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a+6b-8c ,对角线AC ,BD 的中点分别为E ,F ,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ = .EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴两式相加,得2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∵E 为AC 的中点,F 为BD 的中点,∴EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2c )+(5a+6b-8c )=6a+6b-10c .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a+3b-5c .a+3b-5c8已知向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标是(2,3,-1),求p 在基底{a ,a +b ,a +b +c }下的坐标.p =2a +3b -c .设p =x a +y (a +b )+z (a +b +c )=(x+y+z )a +(y+z )b +z c ,则有{x +y +z =2,y +z =3,z =-1,解得{x =-1,y =4,z =-1,故p 在基底{a ,a +b ,a +b +c }下的坐标为(-1,4,-1).9已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中x ,y ,z 的值.⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x=12,y=12,z=1.★10如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,把向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1和B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别用a ,b ,c 表示出来,证明A F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0. 则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b . ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b ) =12(|b |2-|a |2)=0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1. 同理EF ⊥B 1C.∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。

第三章 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算课时目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．2．几类特殊向量(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________． (2)单位向量：________的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度______而方向________的向量，称为a 的相反向量，记为________．3．空间向量的加减法与运算律空间向量 的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝________. 加法运 算律(1)交换律：a ＋b ＝________(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.；一、选择题1．下列命题中，假命题是( )A. 向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是( )A. OA →＋OB →＝AB →B. OA →＋OB →＝BA →C. AO →－OB →＝AB →D. OA →－OB →＝CD →3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →=0，则AO →等于( )A. OB →B. OC →C. OD→ D .2OD→4.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A. AB →＝AC →＋BC →B. AB →＝－AC →－BC →C. AC →与BC →同向D. 与AC →与CB →同向5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→-AB →+BC →化简后的结果是( )A. BD 1→B. 1D B u u u u rC.1B D u u u u rD. 1DB u u u u r6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF→＋GH →＋PQ →＝0 B.EF→－GH →－PQ →＝0C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0二、填空题7.在平行六面体ABCD －A ’B’C ’D ’中，与向量''A B u u u u u r的模相等的向量有________个．8.若G 为△ABC 内一点，且满足AG u u u r ＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”) 9．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为________． 三、解答题10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．11.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC,BD,E,F,G 分别是BC,CD,DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．能力提升12.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由b 的终点指向a 的终点的一条有向线段．第三章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算知识梳理1．大小 方向 (2)大小 模 (3)①有向线段 ②AB →2．(1)长度为0 0 (2)模为1 (3)相同 相等 (4)相等 相反 －a3．a ＋b a －b (1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]2．D [OA →－OB →＝BA →＝CD →.]3．C [∵D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →， ∴OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →.]4．D [由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．] 5．A[如图所示， ∵DD 1→＝AA 1→，DD →1－AB → ＝AA 1→－AB →＝BA 1→， BA 1→＋BC →＝BD →1， ∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.]6．A [观察平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1可知，向量EF →，GH →，PQ →平移后可以首尾相连，于是EF →＋GH →＋PQ →＝0.] 7．7解析 |D'C'→|＝|DC →|＝|C'D'→|＝|CD →|＝|BA →| ＝|AB →|＝|B'A'→|＝|A'B'→|. 8．重心 解析如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连结OG 、DG .由题意知AG →＝－BG →－CG →＝GB →＋GC→＝2GO →，同理BG →＝2GD →，故G 为△ABC 的重心． 9．3解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB ，CD 在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．11．解 (1) AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE →＝EC →，EF →＝GD →. ∴AB →＋GD →＋EC → ＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．12．D [AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .]13．证明如图所示，平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点， 则AO →＝12AC'→＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP ＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD'→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋B B'→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA'→)＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)AN →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)．由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．。

章末检测一、选择题1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c2．已知平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，则( ) A ．α⊥βB ．α∥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上都不对3．已知向量a ＝(0,2,1)，b ＝(－1,1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD → ＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．cos θ＝n·a|n||a |B ．cos θ＝|n·a||n||a |C ．sin θ＝n·a|n||a |D ．sin θ＝|n·a||n||a |6．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定7．在以下命题中，不．正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |. A ．2B ．3C ．4D ．18.已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ， PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.PA →与CD →9．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．610.如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ， BD 与面M 成30°角，则C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2 C. 2D. 311．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC 、AD的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 12.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线 EF 和BC 1的夹角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB→＋λOC →，则λ＝________.14．已知A (2,1,0)，点B 在平面xOz 内，若直线AB 的方向向量是(3，－1,2)，则点B 的坐标是_______________________．15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______．16.如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ (θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2)， AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面N 内，BC 在l 上，CD 在平面M 内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________． 三、解答题17.已知四棱锥P —ABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是PC 的中 点，问向量PA →、MB →、MD →是否可以组成一个基底，并说明理由． 18.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1， AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，试证明ME ∥NF .19.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上 一点，CP ＝m .试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，F 为A 1B 1的中点．求二面角A —BF —D 的余弦值． 21．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为23的菱形，∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平 面角的余弦值．22.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的 结论．答案1．B 2.B 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.C 10．C 11．C 12．B 13．－2 14．(5,0,2) 15．60°或120° 16.3－2cos θ17．解 PA →、MB →、MD →不可以组成一个基底，理由如下：连接AC 、BD 相交于点O ，∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 、BD 的中点，在△BDM 中，MO →＝12(MD →＋MB →)，在△PAC 中，M 是PC 的中点，O 是AC 的中点，则MO →＝12PA →，即PA →＝MD →＋MB →，即DA →与MD →、MB →共面．∴PA →、MB →、MD →不可以组成一个基底． 18．证明 由平行六面体的性质ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E → ＝12C 1D 1→－AD →＋13A 1A → ＝－12AB →－AD →－13AA 1→，NF →＝NB →＋BC →＋CF → ＝12AB →＋AD →＋13CC 1→ ＝12AB →＋AD →＋13AA 1→， ∴ME →＝－NF →，又M ，E ，N ，F 不共线， ∴ME ∥NF .19.解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， D 1(0,0,1)．则BD →＝(－1，－1,0)，BB 1→＝(0,0,1)，AP →＝(－1,1，m )， AC →＝(－1,1,0)．又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知， AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AP →，AC →〉|＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22＋m 2·2 依题意得22＋m 2·2＝sin 60°＝32，解得m ＝63. 故当m ＝63时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20．解 以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知AB ＝2，AA 1＝1，可得 A (0,0,0)，B (2,0,0)，F (1,0,1)．又AD ⊥平面AA 1B 1B ，从而直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为∠DBA ＝30°，又AB ＝2，∴AD ＝233，从而易得D ⎝⎛⎭⎫0，233，0.易知平面AA 1B 1B 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的一个法向量，BF →＝(－1,0,1)，BD →＝⎝⎛⎭⎫－2，233，0，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →＝0n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0－2x ＋233y ＝0，令z ＝1，可得n ＝(1，3，1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n |＝155. 即二面角A —BF —D 的余弦值为155. 21．(1)证明 连接BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是△PBD 的中位线， 所以MN ∥BD .又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)解 连接AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线 为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示． 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°， 得AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6. 又因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥AC .在直角△PAC 中， AC ＝23，PA ＝26，AQ ⊥PC ， 得QC ＝2，PQ ＝4. 由此知各点坐标如下：A (－3，0,0)，B (0，－3,0)，C (3，0,0)，D (0,3,0)P (－3，0,26)， M ⎝⎛⎭⎫－32，－32，6，N ⎝⎛⎭⎫－32，32，6，Q ⎝⎛⎭⎫33，0，263.设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量， 由AM →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，6，AN →＝⎝⎛⎭⎫32，32，6知⎩⎨⎧32x －32y ＋6z ＝0，32x ＋32y ＋6z ＝0.取z ＝－1，得m ＝(22，0，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量，由QM →＝⎝⎛⎭⎫－536，－32，63，QN →＝⎝⎛⎭⎫－536，32，63知 ⎩⎨⎧－536x －32y ＋63z ＝0，－536x ＋32y ＋63z ＝0.取z ＝5，得n ＝(22，0,5)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝3333.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333. 22．解 设正方体的棱长为1.如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz .(1)依题意，得B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,0)，D (0,1,0)， 所以BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD →＝(0,1,0)． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量． 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.故直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE . 证明如下：依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1) (0≤t ≤1)．又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为棱C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对于空间中任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD→＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB→＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD→与BA →共线，又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1， ∴点P ，A ，B ，C 四点共面． 【答案】 B4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→的结果为( )图3-1-11A.BD 1→＝AB →－AD →＋AA 1→B.BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →C.BD 1→＝AB →＋AD →－AA 1→D.BD 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD →.故选B. 【答案】 B5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )图3-1-12A.EF→＋GH →＋PQ →＝0B.EF→－GH →－PQ →＝0 C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0 【解析】 由题图观察，EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接，故有EF→＋GH →＋PQ →＝0. 【答案】 A 二、填空题6．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③7．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________．【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.【答案】 －18．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【导学号：18490085】【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB→与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8. 【答案】 －8 三、解答题9．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 【解】 如图所示，(1)∵OQ→＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →， ∴x ＝y ＝－12. (2)∵P A →＋PC →＝2PO →， ∴P A →＝2PO →－PC →. 又∵PC→＋PD →＝2PQ →， ∴PC→＝2PQ →－PD →. 从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO→－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.10.如图3-1-13，四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE→与MN →是否共线．图3-1-13【解】 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 又四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE→＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)， ∴CE→＝2MN →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线． [能力提升]1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则P A →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB→＝λBC →，故PB →－P A →＝λ(PC →－PB →)，整理得P A →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝P A 1→＋6(P A 1→－PB →)－4(PD 1→－P A 1→)＝11P A 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C. 【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μ e 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________. 【导学号：18490086】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μ e 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μ e 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4.如图3-1-14所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN→与向量AD →，BC →是否共面．图3-1-14【解】 由题图可得：MN →＝MA →＋AD →＋DN →， ① ∵MN→＝MB →＋BC →＋CN →，②又MA→＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得：2MN→＝AD →＋BC →， 即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。

第三章　空间向量与立体几何(A)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③若a·b ＝0，b·c ＝0，则a ＝c ；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若＝a ，＝b ，＝c ，则等于( )C A → CB → CC 1→ A 1B →A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15 D ．x ＝6，y ＝1524．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝，且a 分别与，垂3AB → AC →直，则向量a 为( ) A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)5．已知A (－1,0,1)，B (0,0,1)，C (2,2,2)，D (0,0,3)，则sin 〈，〉等于( )AB → CD →A ．－ B. C. D ．－232353536．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) 2A ．60° B ．90° C ．105° D ．75°7．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．cos θ＝B ．cos θ＝n·a |n||a ||n·a||n||a |C ．sin θ＝ D ．sin θ＝n·a |n||a ||n·a||n||a |8．若三点A (1，－2,1)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．不等边的锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形9．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确10．若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当||取最小值时，x 的值等于( )AB →A ．19B ．－ C. D.8787191411.如图所示，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( )A. B. 2233C. D. 775712.如图所示，在直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为( ) A. B. 33233C. D ．233题　号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答　案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b |＝________. 14．如图所示，已知正四面体ABCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为1414________．15．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________． 16.如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ ，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在(θ∈(0，π2))平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为______． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，CA 1⊥BC 1.求证：AB 1＝CA 1.18．(12分)已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)．求证：四边形ABCD 是一个梯形．19.(12分)如图所示，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断与是否共线？CE MN20．(12分)如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：C1C⊥BD.21.(12分)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．22．(12分)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE ，AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值； (2)证明AF ⊥平面A 1ED ；(3)求二面角A 1—ED —F 的正弦值．第三章　空间向量与立体几何(A)1．C [只有命题④正确．]2.D [如图，＝－＝－－＝－－＝b －a －c .]A 1B → AB → AA 1→ CB → CA → AA 1→ CB → CA → CC 1→3．D [∵a ∥b ，∴存在实数λ， 使Error!，∴Error!.]4．C [设a ＝(x ，y ，z )，∵＝(－2，－1,3)，AB →＝(1，－3,2)， A C →又|a |＝，a ⊥，a ⊥，3AB → A C →∴Error!∴Error!或Error!∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．]5．C [∵＝(1,0,0)，＝(－2，－2,1)，AB → CD →∴cos 〈，〉＝＝－， AB → CD →AB CD AB CD ∙∙23∴sin 〈，〉＝.]AB → CD → 536．B [建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1，C 1(0，，0)， (62，22，0)2B. (62，22，1)∴＝，＝， AB 1→ (62，22，－1)C 1B →(62，－22，1)∴·＝－－1＝0， AB 1→ C 1B → 6424即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.]7．D [若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos β＝，∴sin θ＝|cos β|＝.]n·a |n||a ||n·a||n||a|8．A [＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)，·>0，得∠A 为锐角；·>0，AB → A C → BC → AB → A C → CA → CB →得∠C 为锐角；·>0，得∠B 为锐角，所以△ABC 是锐角三角形且||＝，||＝BA → BC → AB → 29A C →，||＝.]35BC →149．A [∵v ＝－3u ，∴v ∥u .故α∥β.]10．C [＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，AB →则||＝ AB →(1－x )2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2＝＝.14x 2－32x ＋1914(x －87)2＋57故当x ＝时，||取最小值．]87AB →11．C [如图所示，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E ，设AB ＝1，则易得CE ＝，EP ＝，PA ＝PB ＝22222，可以求得BD ＝， 144ED ＝.∵＝＋＋，24BC → BD → DE → EC →∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·. BC → BD → DE → EC → BD → DE → DE → EC → EC → BD →∴·＝－，∴cos 〈，〉＝－， EC → BD → 14BD → EC →77即二面角B —AP —C 的余弦值为.]7712．B [建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2)． ＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )， A D → AE → A C →则　即Error!令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)． 故点D 到平面ACE 的距离d ＝＝＝.] |－23|23313.258解析　∵a －2b ＝(8，－5,13)， ∴|a －2b |＝＝. 82＋(－5)2＋13225814. 413解析　因四面体ABCD 是正四面体，顶点A 在底面BCD 内的射影为△BCD 的垂心，所以有BC ⊥DA ，AB ⊥CD .设正四面体的棱长为4， 则·＝(＋)·(＋) BF → DE → BC → C F → DA → AE → ＝0＋·＋·＋0BC → AE → C F → DA →＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，BF ＝DE ＝＝， 42＋12－2×4×1×cos 60°13所以异面直线DE 与BF 的夹角θ的余弦值为：cos θ＝＝. 41315.或 π32π3解析　设n 1＝(1,0，－1)，n 2＝(0，－1,1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝＝－，1×0＋0×(－1)＋(－1)×12·212∴〈n 1，n 2〉＝.因平面α与平面β所成的角与〈n 1，n 2〉相等或互补，所以α与β所2π3成的角为或.π32π316.3－2cos θ解析　因为＝＋＋，A D → AB → BC → CD →所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.A D → AB → BC → CD → AB → CD → AB → BC → BC → CD →所以||＝，A D →3－2cos θ即AD 的长为.3－2cos θ17．证明　以A 为原点，AC 为x 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系． 设B (a ，b,0)，C (c,0,0)，A 1(0,0，d )，则B 1(a ，b ，d )，C 1(c,0，d )，＝(a ，b ，d )，AB 1→＝(c －a ，－b ，d )，＝(－c,0，d )， B C 1→ CA 1→由已知·＝ca －a 2－b 2＋d 2＝0，AB 1→ B C 1→·＝－c (c －a )＋d 2＝0，可得c 2＝a 2＋b 2. CA 1→ B C 1→再由两点间距离公式可得：|AB 1|2＝a 2＋b 2＋d 2，|CA 1|2＝c 2＋d 2＝a 2＋b 2＋d 2， ∴AB 1＝CA 1.18．证明　因为＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－AB → CD →3)＝(4，－6,6)，因为＝＝，－243－6－36所以和共线，即AB ∥CD .AB → CD →又因为＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，A D →＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， BC →因为≠≠，所以与不平行，所以四边形ABCD 为梯形．0－2－4－11－2A D → BC →19．解　∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形，∴＝＋＋＝＋＋. MN → MA → AF → FN → 12CA → AF → 12FB又∵＝＋＋＋MN → MC → CE → EB → BN →＝－＋－－，12CA →CE → AF → 12FB ∴＋＋12CA →AF → 12FB＝－＋－－，12CA →CE → AF → 12FB∴＝＋2＋ CE → CA → AF → FB＝2(＋＋)＝2.MA → AF → FN → MN →∴∥，即与共线． CE → MN → CE → MN →20．证明　设＝a ，＝b ，＝c ，CD → CB → CC 1→依题意，|a |＝|b |，又设，，中两两所成夹角为θ，CD → CB → CC 1→ 于是＝－＝a －b ，BD → CD → CB →·＝c ·(a －b )＝c·a －c·b CC 1→ BD →＝|c||a |cos θ－|c||b |cos θ＝0， 所以C 1C ⊥BD .21．解　因为＝－，BC → A C → AB →所以·＝·－·OA → BC → OA → A C → OA → AB → ＝||||cos 〈，〉－||||cos 〈，〉 OA → A C → OA → A C → OA → AB → OA → AB → ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝－16＋24.2所以cos 〈，〉＝OA → BC →＝＝.24－1628×53－225即OA 与BC 所成角的余弦值为. 3－22522．(1)解　如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得D (0,2,0)，F (1,2,1)，A 1(0,0,4)，E .(1，32，0)易得＝，EF →(0，12，1)＝(0,2，－4)， A 1D →于是cos 〈，〉＝＝－.EF → A 1D →35所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为. 35(2)证明　易知＝(1,2,1)， AF → ＝，＝， EA 1→ (－1，－32，4)ED → (－1，12，0)于是·＝0，·＝0. AF → EA 1→ AF → ED →因此，AF ⊥EA 1，AF ⊥ED .又EA 1∩ED ＝E ，所以AF ⊥平面A 1ED .(3)设平面EFD 的法向量u ＝(x ，y ，z )， 则即Error!不妨令x ＝1，可得u ＝(1,2，－1)，由(2)可知，为平面A 1ED 的一个法向量， AF →于是cos 〈u ，〉＝＝， AF →23从而sin 〈u ，〉＝. AF → 53所以二面角A 1—ED —F 的正弦值为.53。