第五章一阶逻辑推理

第五章非形式的一阶谓词逻辑本章和下一章都属于现代谓词逻辑。

这一章主要介绍一阶谓词逻辑的基本概念、形式结构和语义，是一阶谓词演算的理论基础。

§1 从传统谓词逻辑到现代谓词逻辑传统谓词逻辑主要是研究性质命题及其推理(以三段论为核心)的逻辑。

在传统谓词逻辑中，所有的命题都是仅仅具有如下四种形式的命题：A——所有的S都是PE——所有的S都不是PI——有些S是PO——有些S不是P至于具有“这个S是P”和“这个S不是P”之形式的命题则被笼统地处理成相应的A命题和E命题。

无疑，对于可以分析成这种形式的命题来说，传统谓词逻辑中的方法很有实用性。

但这种分析方法同时也存在着很大的局限性和过于笼统化。

试看如下命题：(1)张三比李四年纪大。

(2)上海位于南京和杭州之间。

(3)有的提案得到了所有议员的欢迎。

它们和具有上述A、E、I、0四种形式的命题有着明显的区别，称为关系命题，即表达个体对象之间是否具有某种关系。

由这些命题构成的推理称为关系推理。

例如：张三比李四年纪大，李四比王五的年纪大所以，张三此王五的年纪大。

直观上看，这个推理是有效的，并且其有效性正在于命题的内部结构。

类似这个推理的关系推理显然应该成为着重分析命题内在逻辑结构的谓词逻辑的研究对象。

但关系命题和关系推理都超出了传统谓词逻辑力所能及的范围。

传统谓词逻辑仅仅研究性质命题；而且仅仅研究三段论或是对性质命题的形式稍作变化的推理。

尽管传统谓词逻辑也属于谓词逻辑，但它对谓词的研究极其有限。

谓词有多种类型。

有一元、二元乃至多元谓词，有一阶、二阶乃至高阶谓词。

一元谓词是表示一个个体对象的性质的谓词，二元及二元以上的谓词则是表示两个或两个以上的个体对象之间的关系的谓词。

传统谓词逻辑所研究的性质命题是只包含一元谓词的命题，三段论也仅是关于一元谓词的逻辑理论。

对于包含二元及二元以上的谓词的关系命题及其相关的关系推理形式，传统谓词逻辑完全没有研究。

其根本原因在于传统谓词逻辑的理论体系根本无法表达这类命题和推理。

一阶逻辑推理证明一阶逻辑是数理逻辑的一个分支，用于描述自然语言中的命题关系和推理过程。

在一阶逻辑中，我们可以使用命题逻辑符号和量词来表示命题和量化关系，并使用推理规则进行推理证明。

一阶逻辑推理证明的目标是通过一系列推理步骤，从已知的前提推导出结论。

这个过程需要严格的逻辑推理和推理规则，以确保推导的正确性和有效性。

在一阶逻辑推理证明中，我们首先需要确定已知的前提是什么，然后根据这些前提使用推理规则进行推导，最终得出结论。

推理规则可以包括逻辑联结词的推理规则和量词的推理规则。

逻辑联结词的推理规则包括合取（conjunction）、析取（disjunction）、条件（implication）、双条件（biconditional）的推理规则。

例如，对于合取的推理规则，我们可以使用合取引入和合取消除规则。

合取引入规则可以将两个命题P和Q推导出P∧Q，而合取消除规则可以从P∧Q推导出P和Q。

量词的推理规则包括全称量词（universal quantifier）和存在量词（existential quantifier）的推理规则。

全称量词的推理规则可以使用全称引入和全称消除规则，而存在量词的推理规则可以使用存在引入和存在消除规则。

在一阶逻辑推理证明中，我们还可以使用等价变换和否定引入等推理规则。

等价变换可以将一个命题变换为与之等价的形式，而否定引入可以将一个命题的否定引入到推导过程中。

一阶逻辑推理证明的过程需要严格的逻辑推理和论证，以确保推导的正确性和有效性。

在进行推导时，我们需要根据已知的前提和推理规则进行推导，同时需要注意推导过程中的每一步是否符合逻辑规则，并根据需要进行等价变换和否定引入等操作。

通过一阶逻辑推理证明，我们可以推导出新的结论，并对现实世界中的问题进行分析和解决。

一阶逻辑推理证明在数学、计算机科学、哲学等领域都有广泛的应用，可以帮助我们理解和解决复杂的问题。

一阶逻辑推理证明是通过一系列推理步骤，从已知的前提推导出结论的过程。

1一阶逻辑的推理演算这一讲我们学习一阶逻辑的自然推理系统。

其功能是由若干前提12,,,n A A A 推导出一条结论B 。

这相当于证明下列蕴含式是永真的： 12n A A A B ∧∧∧→1. 一阶逻辑的代入定理 将永真命题公式中的各命题变元代换为任何一阶公式后，所得的一阶公式是永真的。

例如，()p q p q →∧→是永真命题公式。

进行一阶公式代入p=F (x )，q=G (x )后得如下永真一阶公式：(()())()()F x G x F x G x →∧→定理1.1（代入定理）任何永真命题公式在代入一阶公式后是永真一阶公式。

证明 略。

证毕2. 永真蕴含式和推理定律永真蕴含式：若A →B 是永真式，则记为A B ⇒，称为永真蕴含式。

将永真命题蕴含式中的变元视为取值为任何一阶公式的变元，则该永真命题蕴含式就变成一条推理定律。

根据代入定理，推理定律表示一批形式相似的永真蕴含式。

因此，推理定律是描述永真蕴含式的模式。

由任何永真蕴含式可以得到对应的推理定律。

例如，由永真蕴含式()p q p q →∧⇒可得一阶逻辑的假言推理定律()A B A B →∧⇒，其中变元A ，B 表示任何一阶公式。

这条推理定律的含义是，对于任何一阶公式A 和B ，若(A →B )为真并且A 为真，则B 为真。

因此，由前提(A →B )与A 可得结论B 。

这是我们思维中最常用的一条推理规则，称为假言推理规则或者分离规则。

因此，推理定律可以当作推理规则使用。

2再如，(())p q q p →∧⌝→是永真蕴含式，由此可得推理定律(())A B B A →∧⌝⇒，称为拒取式。

命题逻辑的自然推理系统P 中的所有9条推理定律都可以当作一阶逻辑推理定律来使用。

3. 量词消去与引入规则与命题逻辑的自然推理系统相比，这是一阶逻辑自然推理系统所特有的推理规则。

见课本第75页。

这是课程中的一个难点，我们可以借助于语义来理解其正确性。

1） 全称量词消去规则（简记为∀-）（1）第一个竖式得出的结论是一个句型。