一阶逻辑基本概念
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第二章一阶逻辑
本命题符号化为 ┐ x(W(x)→B(x))。
练习2 在一阶逻辑中将下列命题符号化。 ⑴ 兔子比乌龟跑得快。 ⑵ 每个人都有自己喜欢的职业。 ⑶ 不存在同样高的两个人。 ⑷ 存在最小的自然数。 解 ⑴兔子比乌龟跑得快。 令F(x)：x是兔子， G(x)：x是乌龟， H(x,y)：x比y跑得快。 本命题符号化为 x(F(x)→ y(G(y)→H(x,y)))， 或 x y(F(x)∧G(y)→H(x,y))。
⑷ 存在着偶素数。
⑸ 在北京工作的人未必都是北京人。
解 ⑴有的有理数是整数。
令Q(x)：x是有理数。 P(x)：x是整数。 本命题符号化为 x (Q(x)∧P(x))。
⑵每个计算机系的学生都学离散数学。
令P(x)：x是计算机系的学生。
R(x)：x学离散数学。
本命题符号化为x (P(x)→R(x))。
⑶ 每个人都会犯错误。
令 R(x)：x是人。 P(x)：x会犯错误。 本命题符号化为 x (R(x)→P(x))。
⑷ 存在着偶素数。
令E(x)：x是偶数。
P(x)：x是素数。
本命题符号化为 x(E(x)∧P(x))。
⑸在北京工作的人未必都是北京人。
令W(x)：x在北京工作。
B(x)：x是北京人。
母a, b, c, d 等表示常元。
个体变项（也称个体变元，简称变元）：泛指
个体域中个体的符号。一般用小写英文字母x, y,
z 等表示变元。
例
2是有理数。 这是一个简单命题。 “2”是个体词 “…是有理数”是谓词，它表示个体的性 质。 个体词：是表示个体的符号。 谓词：用来刻画个体的性质或个体之间的关 系。一般用大写英文字母表示谓词。 例 张三比李四高。 有两个个体词：张三，李四 “…比…高”是谓词，表示两个体之间的关 系。
练习2 在一阶逻辑中将下列命题符号化。 ⑴ 兔子比乌龟跑得快。 ⑵ 每个人都有自己喜欢的职业。 ⑶ 不存在同样高的两个人。 ⑷ 存在最小的自然数。 解 ⑴兔子比乌龟跑得快。 令F(x)：x是兔子， G(x)：x是乌龟， H(x,y)：x比y跑得快。 本命题符号化为 x(F(x)→ y(G(y)→H(x,y)))， 或 x y(F(x)∧G(y)→H(x,y))。
⑷ 存在着偶素数。
⑸ 在北京工作的人未必都是北京人。
解 ⑴有的有理数是整数。
令Q(x)：x是有理数。 P(x)：x是整数。 本命题符号化为 x (Q(x)∧P(x))。
⑵每个计算机系的学生都学离散数学。
令P(x)：x是计算机系的学生。
R(x)：x学离散数学。
本命题符号化为x (P(x)→R(x))。
⑶ 每个人都会犯错误。
令 R(x)：x是人。 P(x)：x会犯错误。 本命题符号化为 x (R(x)→P(x))。
⑷ 存在着偶素数。
令E(x)：x是偶数。
P(x)：x是素数。
本命题符号化为 x(E(x)∧P(x))。
⑸在北京工作的人未必都是北京人。
令W(x)：x在北京工作。
B(x)：x是北京人。
母a, b, c, d 等表示常元。
个体变项（也称个体变元，简称变元）：泛指
个体域中个体的符号。一般用小写英文字母x, y,
z 等表示变元。
例
2是有理数。 这是一个简单命题。 “2”是个体词 “…是有理数”是谓词，它表示个体的性 质。 个体词：是表示个体的符号。 谓词：用来刻画个体的性质或个体之间的关 系。一般用大写英文字母表示谓词。 例 张三比李四高。 有两个个体词：张三，李四 “…比…高”是谓词，表示两个体之间的关 系。
4一阶逻辑公式及解释
4一阶逻辑公式及解释一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）是数理逻辑中的一个重要分支，它被广泛应用于数学、计算机科学和人工智能等领域。
在一阶逻辑中，逻辑公式是推理的基础，能够对命题进行符号化的描述和推理。
本文将介绍一阶逻辑的基本概念和常见的一阶逻辑公式，并对其进行解释。
一、一阶逻辑基本概念1. 常量：在一阶逻辑中，常量是指代具体对象的符号，如a、b、c 等。
常量一般用小写字母表示。
2. 变量：变量是用来占位的符号，可以代表任意对象。
在一阶逻辑中，变量一般用大写字母表示，如X、Y、Z等。
3. 函数：函数是一种从一个或多个参数到一个值的映射关系。
在一阶逻辑中，常用的函数包括算术函数、关系函数等。
函数一般用小写字母或希腊字母表示，如f(x)、g(x)等。
4. 谓词：谓词是描述对象性质的符号，可以表示真假的陈述。
在一阶逻辑中，常用的谓词包括等于、大于、小于等。
谓词一般用小写字母或希腊字母表示，如P(x)、Q(x)等。
二、一阶逻辑公式在一阶逻辑中，公式是用符号表示的逻辑陈述，包括原子公式和复合公式两类。
1. 原子公式原子公式是一阶逻辑中最基本的公式，它不再含有其他公式作为子公式。
原子公式由一个谓词和一个或多个常量、变量组成，形式为P(t1,t2,...,tn)，其中P为谓词，t1,t2,...,tn为常量、变量。
举例：P(a,b)表示P是一个二元谓词，a和b是其两个参数。
2. 复合公式复合公式由一个或多个公式通过逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含等）组合而成。
- 否定（¬）：如果φ是一个一阶逻辑公式，则¬φ也是一个一阶逻辑公式。
- 合取（∧）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ∧ψ)也是一个一阶逻辑公式。
- 析取（∨）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ∨ψ)也是一个一阶逻辑公式。
- 蕴含（→）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ→ψ)也是一个一阶逻辑公式。
举例：如果P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x是聪明的”，那么复合公式可以表示为：(P(x)∧Q(x))，表示“x是人且x是聪明的”。
《离散数学》-一阶逻辑-基本概念
《离散数学》-⼀阶逻辑-基本概念⼀阶逻辑这个⼀块属于离散数学的内容，它的功能就是将⾃然事物给符号化以为体系的确⽴奠定语⾔基础。
回想⽆论学汉语还是英语的语法，我们都是从句⼦的主⼲学起，那么数学作为⼀门语⾔，它的句⼦当然也有所谓的主⼲。
个体词：个体次是所研究对象可以独⽴存在的具体的或者抽象的客体。
具体⽽特定的客体个体成为个体常项，⼀般⽤⼩写字母a、b、c表⽰。
⽽将抽象或泛指的个体词成为个体变项，⼀般⽤英⽂字母x、y、z表⽰，并称个体变项的取值范围为个体域。
举例说明：(1)“5是素数”，5、素数都是个体词语，5是个体常项⽽素数是个体变项.(2)“x>y”，x、y都是个体变项.谓词：这⾥似乎类似于⾃然语⾔中谓语动词，往往是形容“⼀个动作”，但是在这⾥，谓词是形容“⼀种关系”，当然和个体词类似，根据这种描绘个体之间的关系的确定与否(具体或者抽象泛指)，我们也可以把谓词分为常项和变项。
举例说明:（1） X是有理数。
“是有理数”是常项谓词。
（2） X与y有具体关系L。
这⾥及其迷惑⼈的是语句“有具体关系L”，但是本质上关系L还是抽象的不确定的，因此这⾥“有具体关系L”是变项谓词。
下⾯要做的就是将这种描述关系的语句进⾏符号化，这⾥其实有点类似于函数的概念，因为谓词描述的是个体之间的关系，因此它必须依赖于个体。
我们⽤F、G、H来进⾏符号化的表⽰。
F(a)、F(x)分别表⽰个体常项a、个体变项x满⾜的性质F(a)和F(x).更⼀般的情况，P(x1,x2,x3…xn)表⽰个体x1,x2,…xn具有关系P。
对于不含个体变项的谓词，我们成为0元谓词。
Ex1：将下列命题在⼀阶逻辑中⽤0元谓词符号化，并讨论他们的真值(1) 只有2是素数，4才是素数。
G(2)表⽰2是素数，G(4)表⽰4是素数，则我们将这个命题符号化的结果： G(2) —> G(4)，由于命题的条件为假，因此该命题为真。
(2) 如果5⼤于4，则4⼤于6G(5,4)表⽰“5⼤于4”，命题符号化之后的结果： G(5,4) —> G(4,6)，条件为真结论为假，因此命题为假。
一阶逻辑基本概念
n(n1)元谓词：P(x1,x2,…,xn)表示含n个命 题变项的n元谓词。
n=1时,一元谓词 — 表示x1具有性质P。 n≥2时,多元谓词 — 表示x1,x2,…,xn具有 关系P 0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、 G(a,b)、P(a1,a2,…,an)。
例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓 词符号化，并讨论真值。 (1)只有2是素数，4才是素数。 (2)如果5大于4，则4大于6. 解： (1)设一元谓词F(x):x是素数,a:2,b:4。
说明：个体词一般是充当主语的名词或代 词
举例 命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。
命题 ：他是三好学生。 个体词：他。
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，
用小写字母a,b,c，…表示。
个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，
用x,y,z,…表示。
个体域(或称论域):指个体变项取值范围。
x(M(x)→F(x)) (2)“有的人用左手写字”符号化为
x(M(x)∧G(x))
注意：
1. 在使用全总个体域时，要将人从其 他事物中区别出来，为此引进了谓词 M(x)，称为特性谓词。
2. 正确使用→与∧ 3. 在不同个体域内，同一个命题的符 号化形式可能不同，也可能相同。
当F是谓词常项时，xF(x)是一个命 题，如果把个体域中的任何一个个体a带 入，F(a)都是真，则xF(x)为真；否则 xF(x)为假。
举例
例题1：是无理数。 是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F， 命题符号化为F() 。
例题2：x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G， 命题符号化为G(x)。
例题3：小王与小李同岁。 小王、小李都是个体常项，“与同 岁”是谓词，记为H，命题符号化为 H(a,b)，其中a：小王，b：小李。
F4一阶逻辑基本概念
(a)非空个体域 DI . (b) DI 中一些特定元素的集合{a1,a2 , …,ai , …}. (c) DI 上特定函数的集合{fin|i, n 1}. (d) DI 上特定谓词的集合{Fin|i, n 1}. †其实质是明确公式中各个变项, 繁琐之处毋庸细究.
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
第四章 一阶逻辑基本概念
在一阶逻辑中将下列命题符号化1大熊猫都可爱2有人爱发脾气3说所有人都爱吃面包是不对的4没有不爱吃糖的人5一切人都不一样高6并不是所有的汽车都比火车快由于没指出个体域故用全总个体域其中fx
第四章 一阶逻辑基本概念
本章的主要内容 一阶逻辑基本概念、命题符号化 一阶逻辑公式、解释及分类
4.1 一阶逻辑命题符号化
2 （1）所有的狮子都是凶猛的。 （2）有些狮子不喝咖啡。 （3）有些凶猛的动物不喝咖啡。 论域为动物的集合：
3、 如果某人是女性而且有子女，那么此人 一定是某人的母亲。论域为人的集合。
2、解：令P(x): x是狮子；Q(x): x是凶猛的； R(x): x喝咖啡；则有： (1) x(P(x)Q(x)) (2) x(P(x)R(x)) (3) x(Q(x)R(x)) 3、解：令F(x):x是女性；P(x):x有子女； M(x,y):x是y的母亲；则有： x(( F(x)P(x) )yM(x,y))
(1) (2)
x x((F F((x x)) G G (x (x )))) 两个基本公式
例 在一阶逻辑中将下面命题符号化
（1）正数都大于负数 （2）有的无理数大于有的有理数
解: 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域
（1）令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数 L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) xy(F(x)G(y)L(x,y)) （以后讨论）
3．闭式的性质. 定理4.1 闭式在任何解释下都是命题. 注意：不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 4．公式的类型 定义4.8 （1）永真式（逻辑有效式） （2）矛盾式（永假式）（3）可满足式 说明： 永真式为可满足式，但反之不真; 判断公式是否为永真式不是易事; 通过某些代换实例可判断公式类型.
第四章 一阶逻辑基本概念
本章的主要内容 一阶逻辑基本概念、命题符号化 一阶逻辑公式、解释及分类
4.1 一阶逻辑命题符号化
2 （1）所有的狮子都是凶猛的。 （2）有些狮子不喝咖啡。 （3）有些凶猛的动物不喝咖啡。 论域为动物的集合：
3、 如果某人是女性而且有子女，那么此人 一定是某人的母亲。论域为人的集合。
2、解：令P(x): x是狮子；Q(x): x是凶猛的； R(x): x喝咖啡；则有： (1) x(P(x)Q(x)) (2) x(P(x)R(x)) (3) x(Q(x)R(x)) 3、解：令F(x):x是女性；P(x):x有子女； M(x,y):x是y的母亲；则有： x(( F(x)P(x) )yM(x,y))
(1) (2)
x x((F F((x x)) G G (x (x )))) 两个基本公式
例 在一阶逻辑中将下面命题符号化
（1）正数都大于负数 （2）有的无理数大于有的有理数
解: 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域
（1）令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数 L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) xy(F(x)G(y)L(x,y)) （以后讨论）
3．闭式的性质. 定理4.1 闭式在任何解释下都是命题. 注意：不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 4．公式的类型 定义4.8 （1）永真式（逻辑有效式） （2）矛盾式（永假式）（3）可满足式 说明： 永真式为可满足式，但反之不真; 判断公式是否为永真式不是易事; 通过某些代换实例可判断公式类型.
离散数学 第二章：一阶逻辑
(1) xF(x) yH(x, y);
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
离散数学第二章
(5) 只有有限次地应用(1)－(4)构成的符号串
才是合式公式(也称谓词公式)，简称公式。
(1) x( P( x) Q( y)) (2) x(G( x) xH ( x, y)) (3) x(y(R( x, y)) F ( x)) (4), x2 , xn )是任意 n 元谓词，
t1 , t2 ,, tn 是项，则称 R(t1 , t2 ,, tn ) 为原子公式。
4、合式公式的递归定义。
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若 A 是合式公式，则(A)也是合式公式；
(3)若 A, B 是合式公式，则( A B),( A B),
个体常项
用 a, b, c 表示
个体词 个体变项
用 x, y , z 表示
个体域(或称论域)——个体变项取值的范围。 2、 谓词——刻画个体词的性质或 个体词之间关系的词。
谓词常项
谓词 谓词变项
都用 F , G, H 表示
n元谓词(用 F ( x1 , x2 ,, xn ) 表示) 如 F ( x, y)：x 比 y 高。
构成了公式的一个解释。
1、解释 I 由以下4部分组成： (3) D 上一些特定的函数； (4) D 上一些特定的谓词；
例1 A x( P( x) Q( x))
I : D {2,3}, P( x) : x 2, Q( x) : x 3
A x( P( x) Q( x))
性质F 1 D中至少有一个元素满足 xF ( x) : D中所有元素不满足性质 F 0
D {a1, a1,, an }
xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an ) xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
一阶逻辑
谓 词
谓词: 刻画个体性质或几个个体关系的模式。谓词常用 大写英文字母表示，叫做谓词标识符。 ⑴ 李玲是优秀共产党员。 ⑵ 张华比李红高。 ⑶ 小高坐在小王和小刘的中间
F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
一元谓词: 与一个个体相关联的谓词。F(x)是一元谓词； 二元谓词: 与两个个体相关联的谓词。G(x, y)是二元谓词；
【例2.3】 命题：⑴ 所有数小于5。 ⑵ 至少有一个数小于5。 个体域： ① -1，0，1，2，4 ② 3，-2，7，8 ③ 15，20，24 解：设L(x)：x小于5。 ⑴ “所有数小于5。”符号化为：(x) L(x) 在个体域①，②，③中， 真值分别为：真，假，假。 ⑵ “至少有一个数小于5。”符号化为：(x)L(x) 在个体域①，②，③中， 真值分别为：真，真，假。
„
一般的，把与n个个体相关联的谓词 P(x1,x2,…,xn)叫做n元谓词（n元命题函数）。
n元谓词是命题吗？ຫໍສະໝຸດ 0元谓词是命题，命题逻辑中的简单命题都可用 0元谓词来表示。所以说命题可以看成谓词的 一种特例，所以命题逻辑中的联结词在一阶 逻辑中都可以使用。
谓词填式(0元谓词): 将谓词后面填上相关联的个体常元所得的式子。 设F是一元谓词，a是个体常元，用F(a)表示个体 常元a具有性质F； 设G是二元谓词，a,b是个体常元，用G(a,b)表示 个体常元a和b具有关系G；„
x y(R(x,y) L(y,z) )中， x, y都是指导变项，辖域为(R(x,y) L(y,z) )， x与y 都是约束出现的， z为自由出现. x H(x,y)中， x 为指导变项， 的辖域为H(x,y)，其中x 为约 束出现的， y为自由出现. 在此公式中， x 为约束出现的，y为约束出现的，又为自由出 现的. z为自由出现.
一阶逻辑基本概念知识点总结
一阶逻辑基本概念知识点总结一阶逻辑是一种形式化的逻辑系统，也称为一阶谓词演算。
它由一组基本的概念组成，包括：1. 项（Term）：一阶逻辑中的项是指个体或对象，可以是常量、变量或函数应用。
常量是指已知的个体，变量是指代未知个体，函数应用是将一个函数应用于一组参数得到的结果。
2. 公式（Formula）：一阶逻辑中的公式是用来描述真假性的陈述。
公式可以是原子公式或复合公式。
原子公式是一个谓词应用，谓词是一个描述性的关系符号，用来描述个体之间的关系。
复合公式是由逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含等）连接的一个或多个公式。
3. 量词（Quantifier）：一阶逻辑中的量词用来描述一个谓词在某个个体集合上的性质。
常见的量词包括全称量词（∀，表示对所有个体都成立）和存在量词（∃，表示存在至少一个个体成立）。
4. 推理规则（Inference Rule）：一阶逻辑中的推理规则用来进行逻辑推理，在给定一组前提条件的情况下，得出结论的过程。
常用的推理规则包括引入规则（例如全称引入和存在引入）、消去规则（例如全称消去和存在消去）、逆反法和假设法等。
5. 自由变量和限定变量：一阶逻辑中的变量可以分为自由变量和限定变量。
自由变量是没有被量词约束的变量，限定变量是被量词约束的变量。
6. 全称有效性和存在有效性：一阶逻辑中的一个论断是全称有效的，如果它在所有模型中都为真；一个论断是存在有效的，如果它在某个模型中为真。
这些是一阶逻辑的基本概念，它们提供了一种描述和推理关于个体和关系之间的真假性的形式化方法。
一阶逻辑在数学、人工智能、计算机科学等领域有广泛的应用。
离散数学第二章一阶逻辑
(2) ∀x∀y(x+0=y →y+0=x) 真命题 (3) ∀x∀y∃z(x+y=z) 真命题 (4) ∀x∀y(x+y=x*y) 假命题 (5)x+y=y+z,它的真值不确定,因而不是命题. 注)非闭式,在有的解释中不是命题.
定义:设A为一公式(谓词公式),如果A在任何解释下都是 真的,则称A为逻辑有效式(永真式);如果A在任何解释下 都是假的,则称A是矛盾式(永假式);若至少存在一个解 释使A为真,则称A是可满足式. 2.代换实例 设A0是含命题变项p1,p2,…,pn的命题公式,A1,A2,…,An 是n个谓词公式,用Ai(1≤i≤n)处处代换pi,所得公式A 称为A0的代换实例. 例如:F(x)→G(x),∀xF(x)→∃xG(x)等都是p→q的代换实例; 命题公式中的重言式的代换实例在谓词公式中可仍称为重言式 ,这样的重言式都是逻辑有效式. 命题公式中的矛盾式的代换实例仍为矛盾式.
例2.7 给定解释I如下: 1)DI={2,3} 2)DI中特定元素a=2 3)函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2 4)谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(i,j)=1,i,j=2,3 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0 在解释I下,求下列各式的真值 (1) ∀ ∀x(F(x)∧G(x,a)) (2)∃x(F(f(x))∧G(x,f(x))) ∃ (3)∀x∃yL(x,y) ∀ ∃
例2.2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)凡有理数均可表成分数; (2)有的有理数是整数; 要求:1)个体域为有理数集合, 2)个体域为实数集合, 3)个体域为全总个体域. 解: 1)个体域为有理数集合(不用引入特性谓词): (1) 设 F(x):x可表成分数; 则命题符号化为∀xF(x). ∀ (2) 设 G(x):x是整数;则命题符号化为∃xG(x). 2)个体域为实数集合(引入特性谓词):令 R(x):x是有理数; (1) 设F(x):x可表成分数;则命题符号化为∀x(R(x)→F(x)) (2) 设G(x):x是整数;则命题符号化为∃x(R(x)∧G(x))。
一阶逻辑基本概念
将下列命题符号化，并讨论真值。 例4.4 将下列命题符号化，并讨论真值。 （1）所有的人都长着黑头发 ）所有的人都长着黑头发. （2）有的人登上过月球 ）有的人登上过月球. （3）没有人登上过木星 ）没有人登上过木星. （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人 ）在美国留学的学生未必都是亚洲人. 解：由于本题没提出个体域，因而应采用全 由于本题没提出个体域， 总个体域，并令 为人。 总个体域，并令M(x): x为人。 为人
∀x ∀y (F(x) ∧ G(y) →H(x,y)) ∃x (F(x) ∧ ∀y( G(y) →H(x,y) ) ) ¬∀x ∀y( F(x) ∧ G(y) →H(x,y) ) ¬ ∃x ∃y( F(x) ∧ G(y) ∧ L(x,y) )
补充) 例(补充 在一阶逻辑中将下面命题符号化 补充 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数
下面讨论n（n≥2）元谓词的符号化 问题
将下列命题符号化： 例4.5 将下列命题符号化： （1）兔子比乌龟跑的快 ） 2） （2）有的兔子比所有的乌龟跑的快 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快 ） （4）不存在跑得同样快的两只兔子 ）
解：因为本题没有指明个体域，因而采用全总个体 因为本题没有指明个体域， 因为本例中出现二元谓词， 域，因为本例中出现二元谓词，因而引入两个个 体变项x与y。 体变项 与 。 是兔子， 令F(x)：x是兔子，G(y)：y是乌龟 ： 是兔子 ： 是乌龟 H(x,y)：x比y跑的快， L(x,y)：x与y跑得同样快 ： 比 跑的快 跑的快， ： 与 跑得同样快 这四个命题分别符号化为： 这四个命题分别符号化为：
例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符 号化，并讨论它们的真值： （1）如果2是素数，4才是素数。 解：设一元谓词F(x)：x是素数。 a：2 b：4 则（1）中命题符号化为0元谓词的蕴涵 式： F(a) → F(b)。 由于此蕴涵式前件为假，所以命题为真.
离散数学(一阶逻辑的基本概念)
27
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
20
实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
29
小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
30
22
实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
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实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
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小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
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实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
一阶逻辑基本概念讲解
与多主体系统的关系
一阶逻辑在处理多主体系统时可能存在挑战，需要借助其他逻辑系 统如交互逻辑或认知逻辑等来扩展其表达能力。
一阶逻辑的未来发展方向与趋势
扩展表达能力
为了克服一阶逻辑的局限性，未来的研究可以探索扩展其表达能力和推理规则，例如通过引入新的量词或扩展模态、 时态等逻辑系统。
融合其他逻辑系统
为了更好地处理复杂问题，未来的研究可以探索一阶逻辑与其他逻辑系统的融合，例如将一阶逻辑与模态、时态、认 知等逻辑系统相结合。
02
CATALOGUE
一阶逻辑的基本概念
命题与量词
命题
表示一个陈述句，具有真假性，是逻 辑推理的基本单位。
量词
表示数量的符号，如“所有”、“存 在”等，用于限定命题的范围。
逻辑联结词
逻辑联结词
表示命题之间关系的符号，如“并且”、“或者”、“如果...那么...”等。
否定词
表示否定关系的符号，用于改变命题的真假性。
推理过程
通过否定某个命题，根据逻辑规则或推理规则，推导出结论。
归结推理
归结推理
将复杂命题逐步简化为简单命题，然后 通过简单命题的推理得出结论的推理方
法。
结论
根据前提条件推导出的结果或结论。
前提条件
已知的前提或命题。
推理过程
将复杂命题逐步简化为简单命题，然 后通过简单命题的直接推理或间接推 理，得出结论。
一阶逻辑的重要性
逻辑基础
一阶逻辑是形式化逻辑的基础， 为数学、计算机科学和哲学等领 域提供了逻辑推理的框架。
精确表达
一阶逻辑能够精确地表达命题之 间的逻辑关系，有助于避免歧义 和误解。
推理工具
一阶逻辑是进行逻辑推理和数学 证明的重要工具，有助于发现和 证明新的数学定理。
一阶逻辑在处理多主体系统时可能存在挑战，需要借助其他逻辑系 统如交互逻辑或认知逻辑等来扩展其表达能力。
一阶逻辑的未来发展方向与趋势
扩展表达能力
为了克服一阶逻辑的局限性，未来的研究可以探索扩展其表达能力和推理规则，例如通过引入新的量词或扩展模态、 时态等逻辑系统。
融合其他逻辑系统
为了更好地处理复杂问题，未来的研究可以探索一阶逻辑与其他逻辑系统的融合，例如将一阶逻辑与模态、时态、认 知等逻辑系统相结合。
02
CATALOGUE
一阶逻辑的基本概念
命题与量词
命题
表示一个陈述句，具有真假性，是逻 辑推理的基本单位。
量词
表示数量的符号，如“所有”、“存 在”等，用于限定命题的范围。
逻辑联结词
逻辑联结词
表示命题之间关系的符号，如“并且”、“或者”、“如果...那么...”等。
否定词
表示否定关系的符号，用于改变命题的真假性。
推理过程
通过否定某个命题，根据逻辑规则或推理规则，推导出结论。
归结推理
归结推理
将复杂命题逐步简化为简单命题，然后 通过简单命题的推理得出结论的推理方
法。
结论
根据前提条件推导出的结果或结论。
前提条件
已知的前提或命题。
推理过程
将复杂命题逐步简化为简单命题，然 后通过简单命题的直接推理或间接推 理，得出结论。
一阶逻辑的重要性
逻辑基础
一阶逻辑是形式化逻辑的基础， 为数学、计算机科学和哲学等领 域提供了逻辑推理的框架。
精确表达
一阶逻辑能够精确地表达命题之 间的逻辑关系，有助于避免歧义 和误解。
推理工具
一阶逻辑是进行逻辑推理和数学 证明的重要工具，有助于发现和 证明新的数学定理。
第四章一阶逻辑的基本概念
xy(F(x)G(y)L(x,y))
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y) ) )
或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
14
实例4
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖 解 (1) M(x): x是人, G(x): x呼吸
合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)—(4)形成的符号串才是合式公式. 合式公式简称公式
如, F(x), F(x)G(x,y), x(F(x)G(x)) xy(F(x)G(y)L(x,y))等都是合式公式
19
量词的辖域
定义4.5 在公式 xA 和 xA 中，称x为指导变元，A为相应 量词的辖域. 在x和 x的辖域中，x的所有出现都称为约束 出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的.
9
（3）存在唯一量词!，用来表达“恰有一个”、“存在唯一”等词语。
“(!x)R(x)”表示命题：“在个体域中恰好有一个个体使谓词R(x)为
真”。（了解）
全称量词、存在量词统称量词。量词是由逻辑学家Fray引入的，有了量 词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大增强。
实例1
例1 用0元谓词将命题符号化 (1) 墨西哥位于南美洲
(2) 2 是无理数仅当 3 是有理数
(3) 如果2>3，则3<4
解：在命题逻辑中： (1) p, p为墨西哥位于南美洲（真命题）
(2) p→q, 其中, p：2 是无理数, q： 3 是有理数. 是假命题
(3) pq, 其中, p：2>3, q：3<4. 是真命题
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y) ) )
或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
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实例4
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖 解 (1) M(x): x是人, G(x): x呼吸
合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)—(4)形成的符号串才是合式公式. 合式公式简称公式
如, F(x), F(x)G(x,y), x(F(x)G(x)) xy(F(x)G(y)L(x,y))等都是合式公式
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量词的辖域
定义4.5 在公式 xA 和 xA 中，称x为指导变元，A为相应 量词的辖域. 在x和 x的辖域中，x的所有出现都称为约束 出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的.
9
（3）存在唯一量词!，用来表达“恰有一个”、“存在唯一”等词语。
“(!x)R(x)”表示命题：“在个体域中恰好有一个个体使谓词R(x)为
真”。（了解）
全称量词、存在量词统称量词。量词是由逻辑学家Fray引入的，有了量 词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大增强。
实例1
例1 用0元谓词将命题符号化 (1) 墨西哥位于南美洲
(2) 2 是无理数仅当 3 是有理数
(3) 如果2>3，则3<4
解：在命题逻辑中： (1) p, p为墨西哥位于南美洲（真命题）
(2) p→q, 其中, p：2 是无理数, q： 3 是有理数. 是假命题
(3) pq, 其中, p：2>3, q：3<4. 是真命题
一阶逻辑基本概念
(P65)
➢ 2，4
作业
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32
令D(x)：x 是要死的。
个体域：全体人的集合。 真命题
命题可表示为：xD(x)，是
整理课件
16
全称量词
例，所有的正整数都是素数。 令 P(x)：x 是素数 个体域：正整数集 则命题可表示为x P(x)，是假命题
整理课件
17
全称量词
几种表达式的读法：
xP(x)： “对所有的x，x是…” x¬P(x) ： “对所有x，x不是…”； ¬xP(x) ： “并不是对所有的x，x是…”； ¬x¬P(x) ： “并不是所有的x，x不是…”。
整理课件
12
个体词和谓词
0元谓词：不带个体变量的谓词
➢ 如F(a), G(a,b), H(a1,a2,…,an)等 ➢ 当F,G,H为谓词常量时，0元谓词是命题
例 将命题用0元谓词符号化，并讨论真值。
“如果5大于4，则4大于6” 令G(x,y)：x大于y，
a：4，b：5，c：6 G(b,a), G(a,c)是两个0元谓词、命题。 命题符号化为： G(b,a)G(a,c)，真值为假
谓词逻辑：对原子命题进行了再分，引入个体词、 谓词、量词等概念。
整理课件
3
4．1 一阶逻辑命题符号化
个体词和谓词
▪ 在谓词逻辑中，可将原子命题分解为谓词 与个体词两部分。
➢ 如“苏格拉底”、“张三”是个体词，“…是 要死的”是谓词。
▪ 个体词：命题中所描述的对象。
➢ 如李明，自然数，计算机，思想等。 ➢ 可以是具体的，也可以是抽象的。
说明：P(a,b,c)是真，但P(b,a,c)是假，是两
个不同的命题。
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➢ 2，4
作业
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令D(x)：x 是要死的。
个体域：全体人的集合。 真命题
命题可表示为：xD(x)，是
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全称量词
例，所有的正整数都是素数。 令 P(x)：x 是素数 个体域：正整数集 则命题可表示为x P(x)，是假命题
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全称量词
几种表达式的读法：
xP(x)： “对所有的x，x是…” x¬P(x) ： “对所有x，x不是…”； ¬xP(x) ： “并不是对所有的x，x是…”； ¬x¬P(x) ： “并不是所有的x，x不是…”。
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个体词和谓词
0元谓词：不带个体变量的谓词
➢ 如F(a), G(a,b), H(a1,a2,…,an)等 ➢ 当F,G,H为谓词常量时，0元谓词是命题
例 将命题用0元谓词符号化，并讨论真值。
“如果5大于4，则4大于6” 令G(x,y)：x大于y，
a：4，b：5，c：6 G(b,a), G(a,c)是两个0元谓词、命题。 命题符号化为： G(b,a)G(a,c)，真值为假
谓词逻辑：对原子命题进行了再分，引入个体词、 谓词、量词等概念。
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3
4．1 一阶逻辑命题符号化
个体词和谓词
▪ 在谓词逻辑中，可将原子命题分解为谓词 与个体词两部分。
➢ 如“苏格拉底”、“张三”是个体词，“…是 要死的”是谓词。
▪ 个体词：命题中所描述的对象。
➢ 如李明，自然数，计算机，思想等。 ➢ 可以是具体的，也可以是抽象的。
说明：P(a,b,c)是真，但P(b,a,c)是假，是两
个不同的命题。
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问:(司能否将Q)符号化为
Vx(M(x) AF(x)) ?
常项或变项之间数量关系的词。称表示个体常项或变项之间数量关系的词为 量词。量词可分两种：
(1)全称*i司 日常生活和数学中所用的〃一切的〃，〃所有的〃，〃每一个〃，"任意 的"，〃凡〃，〃都〃等词可统称为全称量词，将它们符号化为7'。并用 Vx , Vy等表示个体域里斤有个依，而用VxF(x) , VyG(y)等分别表示个体 域里所有 个体都有性质F和都有性质G。
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3 、 茹
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R鄂
由例4.2可知,命题(1) , (2)在不同的个体域D］和D2中符号化的形式不
I 一样。主要区别在于，在使用个体域D2时,要将人与其他事物区分开来。
\ 为此引进了谓词M(x),像这样的谓词称为特性谓词。在命题符号化时一定 荽
正确使用特性谓词。
域可以是有穷集合，例如，{:1,2,3}, {a , b , c , d}, {a , b , c，…，x , y ,
z};也可以是无穷集合，例如，自然数 集合N={0,1,2 ,…},实数集合R={x|x是实数}。有一个特殊的个体域， 它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全总个
体域。本书在论述或推理中如没有指明 所采用的个体域，都是使用全总个体域。
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日常生活和数学中所用的〃存在"，“有一个"，“有的"，〃至少有一 个〃等词统称为存在量词，将它们都符号化为甘。并用女,对等表示个体 域 里有的个体，而用mxF(x) , myG(y)等分别表示个体域里存在个体具有性质F 和存在个体具有性J1G等。
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4.1 一阶逻辑的符号化
—,个体词 个体词是指所研究对象中可以独立存
在的具体的或抽象的客体。m，小王， 小李，中国，，3等都可盼为个体词。 将表示具体或特定的客体萌个体词称作个 体常项，一般用小写英文字母a , b , c… 表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为 个体变项，常用x , V，z..・表示。称个体变项的取值范围为个体域（或称论 域）。 个体
的三个简单命题依次符号化为p , q , r ,将推理的形式结构符号化
为：（pAq）一r
由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。 为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命题再细分，分析出个体词, 谓词和量词,以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系,这就 是一
阶逻辑所研究的内容。一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。
藤氓二元谓词G(x , y)：x大于y , a:4 ,
b:5 , c:60 G(bfa) , G(a,c)是两个0元谓词,把⑵中命题符号化为
G(b,a)—G(a,c) 由于G(b,司为真，而G(a,c)为假，所以⑵中命题为假。
三、量词 有了个体词和谓词之后，有些命题还是不能准确的符号化，原因是还缺少 表示个依
的n元函数或关系。它不是命题。要想使它成为命题，必须用谓词常项取代P, 用
个体常项 a】,a2,…,取代0X2，..・冬， 使得P(a»a2，..・,急是命题。
有时候将不带个体变项的谓词称为0元谓词，例如，F(a) , G(a,b),
P(alfa2，…,aQ等都是0元谓词。0元谓词不一定是命题，当F , G , P为谓词常 项时，。元谓词为命题。这样一来，命题逻辑中的命题均可以表示成0元谓词，
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」善质上元谓词P(xpx2，…,xQ可以看成以个体域为定义域，以｛0,1｝为值域 %
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考 虑命题之间的内在朕系和数量关系。因而命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一 些简单而常见的推理。考虑下面的推理：
凡偶数都能被2整除； 6是偶数。 所以，6能被2整除。 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它 的正确性。因为在命题逻辑中只能将推理中出现
(2)中命题。
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二,谓词 l
谓词是用来刻画个体词性质及个体词
之间相互关系酶考虑下面四个命题：
(1)是无理数。
Q)x是有理数。
(3)小王与小李同岁。
⑷x与y具有关系L.
在Q)中， 是个体制耍，〃…是无理数"是谓词，记为F ,并用F()表示
(1)中命题。在(2)中J建个体变项,"…是有理数〃是谓词，记为G ,用G(x) 表示
因而可以将命题看成特殊的谓词。
例4.1将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论它们的真值: (1)只有2是素数，4才是素数。
解设一元谓词F(x):x是素数,a:2 , b:40 Q)中命题符号化为0元谓词的蕴涵式： F(b)-F(a) 由于此蕴涵前件为假，所以⑴中命题为真。
(2)如果5大于4，则4大于6.