第五章 一阶逻辑推理

1一阶逻辑的推理演算这一讲我们学习一阶逻辑的自然推理系统。

其功能是由若干前提12,,,n A A A 推导出一条结论B 。

这相当于证明下列蕴含式是永真的： 12n A A A B ∧∧∧→1. 一阶逻辑的代入定理 将永真命题公式中的各命题变元代换为任何一阶公式后，所得的一阶公式是永真的。

例如，()p q p q →∧→是永真命题公式。

进行一阶公式代入p=F (x )，q=G (x )后得如下永真一阶公式：(()())()()F x G x F x G x →∧→定理1.1（代入定理）任何永真命题公式在代入一阶公式后是永真一阶公式。

证明 略。

证毕2. 永真蕴含式和推理定律永真蕴含式：若A →B 是永真式，则记为A B ⇒，称为永真蕴含式。

将永真命题蕴含式中的变元视为取值为任何一阶公式的变元，则该永真命题蕴含式就变成一条推理定律。

根据代入定理，推理定律表示一批形式相似的永真蕴含式。

因此，推理定律是描述永真蕴含式的模式。

由任何永真蕴含式可以得到对应的推理定律。

例如，由永真蕴含式()p q p q →∧⇒可得一阶逻辑的假言推理定律()A B A B →∧⇒，其中变元A ，B 表示任何一阶公式。

这条推理定律的含义是，对于任何一阶公式A 和B ，若(A →B )为真并且A 为真，则B 为真。

因此，由前提(A →B )与A 可得结论B 。

这是我们思维中最常用的一条推理规则，称为假言推理规则或者分离规则。

因此，推理定律可以当作推理规则使用。

2再如，(())p q q p →∧⌝→是永真蕴含式，由此可得推理定律(())A B B A →∧⌝⇒，称为拒取式。

命题逻辑的自然推理系统P 中的所有9条推理定律都可以当作一阶逻辑推理定律来使用。

3. 量词消去与引入规则与命题逻辑的自然推理系统相比，这是一阶逻辑自然推理系统所特有的推理规则。

见课本第75页。

这是课程中的一个难点，我们可以借助于语义来理解其正确性。

1） 全称量词消去规则（简记为∀-）（1）第一个竖式得出的结论是一个句型。

一阶逻辑基本概念知识点总结一阶逻辑是一种形式化的逻辑系统，也称为一阶谓词演算。

它由一组基本的概念组成，包括：1. 项（Term）：一阶逻辑中的项是指个体或对象，可以是常量、变量或函数应用。

常量是指已知的个体，变量是指代未知个体，函数应用是将一个函数应用于一组参数得到的结果。

2. 公式（Formula）：一阶逻辑中的公式是用来描述真假性的陈述。

公式可以是原子公式或复合公式。

原子公式是一个谓词应用，谓词是一个描述性的关系符号，用来描述个体之间的关系。

复合公式是由逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含等）连接的一个或多个公式。

3. 量词（Quantifier）：一阶逻辑中的量词用来描述一个谓词在某个个体集合上的性质。

常见的量词包括全称量词（∀，表示对所有个体都成立）和存在量词（∃，表示存在至少一个个体成立）。

4. 推理规则（Inference Rule）：一阶逻辑中的推理规则用来进行逻辑推理，在给定一组前提条件的情况下，得出结论的过程。

常用的推理规则包括引入规则（例如全称引入和存在引入）、消去规则（例如全称消去和存在消去）、逆反法和假设法等。

5. 自由变量和限定变量：一阶逻辑中的变量可以分为自由变量和限定变量。

自由变量是没有被量词约束的变量，限定变量是被量词约束的变量。

6. 全称有效性和存在有效性：一阶逻辑中的一个论断是全称有效的，如果它在所有模型中都为真；一个论断是存在有效的，如果它在某个模型中为真。

这些是一阶逻辑的基本概念，它们提供了一种描述和推理关于个体和关系之间的真假性的形式化方法。

一阶逻辑在数学、人工智能、计算机科学等领域有广泛的应用。

一阶逻辑程序一阶逻辑程序是一种描述逻辑推理的形式化语言，它由一组规则和事实组成，用于推导出逻辑结论。

本文将介绍一阶逻辑程序的基本语法和使用方法，以及它在计算机科学和人工智能领域中的应用。

一阶逻辑程序由一组谓词、函数、事实和规则组成。

谓词和函数描述了领域中的对象和它们之间的关系，而事实和规则描述了这些关系的性质和推理规则。

一阶逻辑程序可以用来描述各种问题，如知识表示、推理、自动推断等。

一阶逻辑程序的基本语法包括常量、变量、谓词、函数、事实和规则。

常量是不可改变的值，如数字或字符串。

变量是代表任意值的占位符，用于表示一般性的条件。

谓词是描述对象之间关系的符号，如“是父亲”，“是兄弟”等。

函数是描述对象之间关系的符号，如“加法”，“减法”等。

事实是描述领域中已知的关系的陈述，规则是描述推理过程的规则。

一阶逻辑程序使用逻辑推理来解决问题。

推理的过程是根据已知的事实和规则，推导出新的结论。

推理的方式可以是正向推理或反向推理。

正向推理是从已知的事实和规则出发，逐步推导出新的结论。

反向推理则是从待推导的结论出发，逐步推导出所需的事实和规则。

一阶逻辑程序在计算机科学和人工智能领域有广泛的应用。

它可以用于知识表示和推理的领域，如专家系统、自然语言处理、机器学习等。

在专家系统中，一阶逻辑程序可以用来表示领域知识和推理规则，从而实现自动推断。

在自然语言处理中，一阶逻辑程序可以用来解析和理解自然语言的语义结构。

在机器学习中，一阶逻辑程序可以用来表示和学习复杂的关系和规则。

除了在计算机科学和人工智能领域中的应用，一阶逻辑程序还可以用于描述和解决各种实际问题。

例如，在生物学中，可以使用一阶逻辑程序来描述基因和蛋白质之间的关系，从而推导出新的生物学规律。

在物理学中，可以使用一阶逻辑程序来描述物体之间的运动和相互作用，从而推导出物理规律。

在经济学中，可以使用一阶逻辑程序来描述市场参与者之间的关系，从而推导出经济规律。

一阶逻辑程序是一种描述逻辑推理的形式化语言，它可以用来解决各种问题。

一阶逻辑程序一阶逻辑程序是一种用于描述计算机程序行为的形式化语言。

它基于一阶逻辑的推理规则，通过规则的应用来推导出计算机程序的执行过程。

一阶逻辑程序由一组规则和事实组成，其中规则描述了程序的行为，而事实则是程序的输入数据。

一阶逻辑程序的规则通常采用谓词逻辑的形式，其中谓词表示程序中的关系或属性，变量表示程序中的对象或值。

规则由一个头部和一个体部组成，头部描述了规则所表示的关系或属性，体部描述了规则的前提条件。

当规则的前提条件满足时，规则的头部就可以被推导出来。

一阶逻辑程序的执行过程可以通过逻辑推理来实现。

首先，将程序的事实作为初始知识载入推理引擎中。

然后，推理引擎根据规则和事实进行推理，从而推导出程序的执行过程。

推理引擎会不断地应用规则，直到无法再应用为止，此时程序的执行过程就得到了最终的结果。

一阶逻辑程序可以描述各种计算机程序的行为，包括数学运算、逻辑推理、数据库查询等。

例如，可以使用一阶逻辑程序来描述一个简单的数学运算程序，该程序可以计算两个数的和。

首先，需要定义一个谓词add，表示两个数的和。

然后，定义一个规则，规则的头部是add(x, y)，表示x和y的和，规则的体部是x和y的关系。

最后，将两个数的关系作为事实载入推理引擎中，推理引擎就可以根据规则和事实推导出计算结果。

除了数学运算，一阶逻辑程序还可以描述逻辑推理的过程。

例如，可以使用一阶逻辑程序来描述一个简单的谓词逻辑推理程序，该程序可以判断一个命题是否为真。

首先，需要定义一个谓词true，表示命题的真值。

然后，定义一组规则，规则的头部是true(p)，表示p为真，规则的体部是p的前提条件。

最后，将命题的前提条件作为事实载入推理引擎中，推理引擎就可以根据规则和事实推导出命题的真值。

一阶逻辑程序还可以用于描述数据库查询的过程。

例如，可以使用一阶逻辑程序来描述一个简单的关系数据库查询程序，该程序可以查询数据库中满足某一条件的记录。

首先，需要定义一个谓词query，表示查询结果。