弦切角的性质

庖丁巧解牛知识·巧学一、弦切角1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.2.弦切角的特点：(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切.误区警示弦切角定义中的三个条件缺一不可.图2-4-2各图中的角都不是弦切角.图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.图2-4-23.如图2-4-3所示，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部.图2-4-3二、弦切角定理1.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.2.定理的证明：由于弦切角可分为三类，即图2-4-3所示的情况，所以在证明定理时分三种情况加以讨论：当弦切角一边通过圆心时〔图2-4-4（1）〕，显然弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角；当圆心O在∠CAB外时〔图2-4-4（2）〕，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC；当圆心O在∠CAB内时〔图2-4-4（3）〕，作⊙O 的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.图2-4-43.在证明弦切角定理的过程中，我们从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角定理的证明过程，要学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.知识拓展由弦切角定理，可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等，我们把这一结论称为弦切角定理的推论，它也是角的变换的依据.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.这就建立了弦切角与弧的数量之间的关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.问题·探究问题到目前为止，对于圆中有关的角我们已学过圆心角、圆周角、弦切角，它们各自有定义、定理及和它所对的弧的度数关系，这三种角在证明题和计算题中经常用到，它们是几何综合题中不可缺少的知识点.它们相互之间有哪些联系和区别？如何把握这些联系和区别？思路:从理解圆心角、圆周角、弦切角的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系入手思考.探究:圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系，对于我们在圆中的计算、证明，起着举足轻重的作用，将这些知识总结对比列表如下，的度数典题·热题例1如图2-4-5，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB 与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长.J图2-4-5思路分析：∠BAE为弦切角，于是∠BAE=∠C，再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度数，进而解直角三角形即可.解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE=∠C.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE.又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°.2.则有BE=1，AB=3，BC=3，AC=3深化升华本题应用弦切角、解直角三角形的知识,为基础题型，求解此类题时，要注意弦切角在角的转换中的作用，本题正是由于这一条件，沟通了角之间的数量关系.例2如图2-4-6，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.图2-4-6思路分析：连结DF，构造弦切角，于是∠FDC=∠DAC，根据AD是△ABC中∠BAC的平分线,得∠BAD=∠DAC，而∠BAD与∠EFD对着同一段弧，所以相等，由此建立∠EFD与∠FDC的相等关系，根据内错角相等，可以断定两直线平行.证明：连结DF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC.∵⊙O切BC于D，∴∠FDC=∠DAC.∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC.方法归纳证明两条直线平行的方法有：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行等.证题时可以根据图形与已知合理选择.本题由于有切线，所以考虑弦切角和它所对的圆周角.例3如图2-4-7，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E.图2-4-7（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6 cm，BC=4 cm，求AE的长.思路分析：第（1）问中的全等已经具备了AB=AC，再利用弦切角定理与圆周角定理可以得角的相等关系；对于（2），则利用△BCE∽△ACB建立比例式，解方程获得AE的长.（1）证明：∵XY 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2. ∵BD ∥XY ，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ∵∠3=∠4，∴∠2=∠4.∵∠ABD=∠ACD ，又∵AB=AC ，∴△ABE ≌△ACD.（2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB ，∴△BCE ∽△ACB. ∴CBCEAC BC . ∴AC·CE=BC 2，即AC·(AC-AE)=BC 2. ∵AB=AC=6，BC=4，∴6(6-AE)=16. ∴AE=310（cm ）. 深化升华 本题利用平行线、弦切角、圆周角等进行了角的转换，利用相似建立方程求线段的长度，综合应用时，必须非常熟悉图形中的各个量，盯准要求的数值，向图形和已知索取条件.。

弦切角弦切角是指一个角的两边分别与弦和切线相交的情况。

在几何学中，弦切角有着重要的应用。

本文将讨论弦切角的定义、性质以及一些常见的应用。

定义在一个圆上，将一个角的两边分别与圆的弦和切线相交，这个角就被称为弦切角。

弦切角的定义可以用以下形式表示：设圆上一点O，P是圆上点O的切点，A 是圆上点O的一个切点外的点，如果线段OP是圆的弦，并且∠APO是一个角，则∠APO就是弦切角。

性质弦切角具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。

性质1：弦切角等于其对向的圆心角如果一条弦切角的顶点不在圆上，则这个弦切角的度数等于其对向的圆心角的度数。

这是因为在圆上，切线和切点相切的性质使得切线和弦的夹角与切线和切点的夹角相等。

性质2：弦切角的度数不随弦的长度改变当弦的两个端点固定时，弦切角的度数不会随弦的长度的变化而改变。

这可以通过角度保持不变的定义来解释，即角∠APO保持不变。

性质3：切线与弦切角的夹角等于弦与切线的夹角的补角如果∠APO是一个弦切角，切线AO与弦AP的夹角是α，那么切线AO与弦AP的夹角的补角与弦切角的度数相等。

这可以通过证明∠APO和∠AOB为补角来得到，其中∠AOB是切线和弦的夹角。

应用弦切角在几何学中有着重要的应用。

下面将介绍几个常见的应用。

应用1：求解弦的长度已知弦切角和圆的半径，可以利用三角函数求解弦的长度。

设弦的长度为x，半径为r，弦切角的度数为θ，则有以下关系：sin(θ/2) = x / (2 * r)通过解这个方程，可以求得弦的长度x。

应用2：计算圆心角的度数已知一个弦切角的度数和弦的长度，可以通过利用角度保持不变的性质计算圆心角的度数。

设弦切角的度数为θ，弦的长度为x，圆心角的度数为α，则有以下关系：2 * α = θ通过解这个方程，可以求得圆心角的度数α。

应用3：应用于三角函数的证明在三角函数的证明中，经常会用到圆的弦切角。

通过引入弦切角，可以推导出各种三角函数的等式和性质。

优化教学：弦切角数学教案第一章：弦切角的定义与性质1.1 弦切角的定义引入圆的弦和切线的概念解释弦切角的定义：从圆上某点引出一条切线，圆上与此切线相交的弦所对的圆心角称为弦切角1.2 弦切角的性质演示弦切角的性质：弦切角等于其所对圆弧的一半解释弦切角的度数与圆的半径和弦的长度有关第二章：弦切角的计算2.1 基本弦切角公式介绍弦切角的基本计算公式：弦切角= 圆心角的一半解释弦切角的大小与圆的半径和弦的长度有关2.2 应用弦切角公式解题举例说明如何使用弦切角公式计算不同情况下的弦切角练习题目：给出圆的半径和弦的长度，求解弦切角的大小第三章：弦切角的应用3.1 弦切角与圆的切割解释弦切角在圆的切割中的应用：通过弦切角可以确定切割线的位置和方向演示如何利用弦切角计算圆的切割线长度和切割角度3.2 弦切角与圆的对称性介绍弦切角与圆的对称性：弦切角关于圆心对称解释弦切角在圆的对称性中的应用：通过弦切角可以确定圆的对称轴和对应角第四章：弦切角与圆的相交4.1 弦切角与圆相交的性质解释弦切角与圆相交的性质：弦切角等于相交弦所对圆心角的一半演示弦切角与圆相交的性质，并给出证明4.2 弦切角与圆相交的应用举例说明如何利用弦切角与圆相交的性质解决几何问题练习题目：给出弦和圆的位置关系，求解弦切角的大小第五章：弦切角的综合应用5.1 弦切角在几何证明中的应用介绍弦切角在几何证明中的应用：利用弦切角的性质和计算公式证明几何定理演示如何使用弦切角证明几何定理，并给出示例5.2 弦切角在实际问题中的应用解释弦切角在实际问题中的应用：通过弦切角可以解决圆的切割、对称性和相交等问题举例说明如何利用弦切角解决实际问题，并提供练习题目供学生练习第六章：弦切角与圆的相交弦6.1 弦切角与相交弦的关系解释弦切角与相交弦的关系：弦切角等于相交弦所对圆心角的一半演示弦切角与相交弦的位置关系，并给出证明6.2 应用弦切角与相交弦解决几何问题举例说明如何利用弦切角与相交弦的关系解决几何问题练习题目：给出弦和相交弦的位置关系，求解弦切角的大小第七章：弦切角与圆的割线7.1 弦切角与割线的关系解释弦切角与割线的关系：弦切角等于割线与圆的切点所对圆心角的一半演示弦切角与割线的位置关系，并给出证明7.2 应用弦切角与割线解决几何问题举例说明如何利用弦切角与割线的关系解决几何问题练习题目：给出割线与圆的切点，求解弦切角的大小第八章：弦切角与圆的切线8.1 弦切角与切线的关系解释弦切角与切线的关系：弦切角等于切线与圆的切点所对圆心角的一半演示弦切角与切线的位置关系，并给出证明8.2 应用弦切角与切线解决几何问题举例说明如何利用弦切角与切线的关系解决几何问题练习题目：给出切线与圆的切点，求解弦切角的大小第九章：弦切角与圆的割线和切线的综合应用9.1 弦切角与割线和切线的综合应用解释弦切角在割线和切线中的综合应用：通过弦切角可以解决割线和切线与圆的位置关系问题演示如何利用弦切角解决割线和切线与圆的综合问题，并给出示例9.2 应用弦切角解决实际问题解释弦切角在实际问题中的应用：通过弦切角可以解决圆的切割、对称性和相交等问题举例说明如何利用弦切角解决实际问题，并提供练习题目供学生练习第十章：弦切角的复习与拓展10.1 弦切角的复习复习弦切角的定义、性质、计算和应用给出复习题目，帮助学生巩固弦切角的知识10.2 弦切角的拓展介绍弦切角的拓展知识：弦切角与其他几何概念的关系，如圆心角、相交弦、割线和切线等给出拓展题目，引导学生深入研究弦切角的相关知识重点和难点解析一、弦切角的定义与性质环节解析：理解弦切角的基本概念是学习弦切角计算和应用的基础。