人教新课标版数学高二-高中数学选修4-1 24弦切角的性质 学案

四弦切角的性质[ 学习目标 ]1.理解弦切角的定义及性质，并能解决与弦切角有关的问题.2.理解弦切角定理，并能应用定理证明有关的几何问题.[ 知识链接 ]1.在前面我们研究过与圆有关的哪两种角？这两种角是怎样定义的？提示前面我们研究过圆心角和圆周角；极点在圆心，两边与圆订交的角叫做圆心角，极点在圆上，两边与圆订交的角叫做圆周角.2.在同圆或等圆中圆心角与圆周角各有什么性质，它们又有怎样的关系？提示在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.3. 以以下列图，圆周角∠CAB，让射线 AC绕点 A 旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A 旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠. 这时∠仍是圆周角吗？为什么？BAE BAE提示不是圆周角，因为角的一边与圆相切，只有角的两边都与圆订交时，才是圆周角 .[ 预习导引 ]1.弦切角极点在圆上，一边和圆订交、另一边和圆相切的角叫作弦切角.弦切角可分为三类：(1) 圆心在角的外面，如图①；(2)圆心在角的一边上，如图②；(3)圆心在角的内部，如图③ .2.弦切角定理文字语言弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角符号AB与⊙ O相切于点 A， AC与⊙ O订交于点 A，C，点 D在⊙ O上，但不在弦切角∠BAC语言所夹的弧上，则∠ BAC＝∠ ADC图形语言作用证明两个角相等要点一利用弦切角定理求角例 1如图，一圆过直角三角形ABC的直角极点C，且与斜边︵︵AB相切于 D点， AD＝ DB， G为CD中点， F 为 CE上任一点.求证：∠CFG＝∠ EFD.证明连结 CD，∵ AB切圆于 D点，∴∠ CDB＝∠ DFC.︵∵ G为 CD的中点，∴∠ CDB＝∠ DFC＝2∠CFG.∵ D为直角三角形ACB的斜边中点，∴CD＝ AD，∴∠ CDB＝2∠ DCE.∵∠ DCE＝∠ EFD，∴∠ CFG＝∠ EFD.规律方法 1. 此题在证明过程中，多次使用了角的转变，而转变的依照是弦切角定理和圆周角定理 .2.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意依照题目的需要可增加协助线组成所需要的弦切角 .追踪操练1如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙ O相切，切点为A，∠ MAB＝35°，则∠D＝________.剖析如图，连结BD，由弦切角定理知：∠ADB＝∠ MAB＝35°，∠ BDC＝90°，故∠ADC＝∠ ADB＋∠ BDC＝125°.答案125°要点二利用弦切角定理证明线段成比率例 2 以以下列图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B点引⊙O的切线分别交 DA的延伸线和 CA的延伸线于 E， F 点.2(1) 求证：AB＝AE·BC；(2) 已知BC＝ 8，CD＝ 5，AF＝ 6，求EF的长 .证明(1) ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又 AD∥ BC，∴∠ EAB＝∠ ABC，∴△ EAB∽△ ABC，∴AE AB2＝，∴ AB＝ AE·BC. AB BC解(2) 由 (1) 知△∽△，∴BE AB＝ .EAB ABC AC BCEF BE AB EF又 AE∥BC，∴ ＝，∴ ＝.AF AC BC AF︵︵又 AD∥ BC，∴ AB＝ CD，∴ AB＝ CD，5 EF30 15∴8＝6，∴EF＝8＝4.规律方法 1. 弦切角定理经常作为工具，进行三角形相像的证明，尔后利用三角形相像进一步确立相应边之间的关系，在圆中证明比率式或等积式，经常需要借助于三角形相像办理 .2.弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不单在证明方法上相像，在解题功能上也有相像之处，平常都作为协助工具出现.︵追踪操练2如图，PA，PB是⊙ O的切线，点C在AB上， CD⊥2AB，CE⊥ PA，CF⊥PB，垂足分别为D，E，F.求证： CD＝ CE· CF.证明连结 CA， CB.∵ PA， PB是⊙ O的切线.∴∠ CAP＝∠ CBA，∠ CBP＝∠ CAB.又 CD⊥ AB，CE⊥ PA， CF⊥ PB，∴ Rt △CAE∽ Rt △CBD，CA CE CB CF CE CD2Rt △CBF∽ Rt △CAD，∴ ＝，＝，∴ ＝，即 CD＝ CE·CF.CB CD CA CD CD CF要点三弦切角定理综合应用例 3以以下列图，以△ ABD的边 AB为直径作半圆 O交 AD于 C点，过点 C的切线 CE和 BD互相垂直，垂足为 E 点.求证： AB＝ BD.证法 1以以下列图，连结OC.∵ CE是⊙ O的切线，∴ OC⊥ CE.又 BD⊥ CE，∴ OC∥ BD，∴∠ ACO＝∠ D.又 OA＝ OC，∴∠ ACO＝∠ A，∴∠ A＝∠ D，∴AB＝ BD.证法 2由证法1知OC∥ BD.1又 AO＝ BO，∴ AC＝ CD，∴ OC＝2BD.1又 OC＝2AB，∴ AB＝BD.规律方法借助于弦切角定理和圆的其他性质( 如等弧所对的弦相等) 以及三角形有关知识我们能够获取特别三角形或全等三角形，进而证得线段相等.追踪操练3以以下列图，割线PBA过圆心 O，PT为⊙ O的切线，T 为切点，∠APT的均分线 PD分别交 BT，AT于 C，D.求证：△CTD为等腰三角形.1证明∵∠ TDC＝∠ A＋ 2∠ APT， PT是圆O的切线，∴∠PTB＝∠ A.1在△ PTC中，∠ TCD＝∠ BTP＋2∠ APT，∴∠ TDC＝∠ TCD，∴△ CTD为等腰三角形.(1)弦切角定理的推论：若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 .(2)弦切角定理也能够表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半，这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依照弧进行角的变换确立了基础.(3) 圆心角、圆周角、弦切角的比较.圆心角圆周角弦切角极点在圆上，两边和圆相极点在圆上，一边和圆相定义极点在圆心的角交的角交，另一边和圆相切的角图形1︵︵角与弧︵∠ ACB的度数＝2AB的度∠ ACB的度数＝2AC的度的关系∠ AOB的度数＝ AB的度数数数1.以以下列图， AB是⊙ O的一条弦， EC与⊙ O相切于点 B，D是⊙ O上的任一点 ( 不与A，B重合 ) ，则以下为弦切角的是()A. ∠ADBB. ∠AOBC. ∠ABCD. ∠BAO剖析∠ ADB是圆周角，∠ AOB是圆心角，∠ ABC是弦切角，∠ BAO不是弦切角.答案C2.以以下列图， MN与⊙ O相切于点 M， Q和 P是⊙ O上两点，∠ PQM＝ 70°，则∠NMP等于 ()A.20 °B.70 °C.110 °°剖析∵∠ NMP是弦切角，∴∠NMP＝∠ PQM＝70°.答案B3. 已知AB切⊙O于A点，圆周被AC所分红的优弧与劣弧之比为3∶ 1，则夹劣弧的弦切角∠ BAC＝________.剖析∵优弧与劣弧之比为3∶ 1，∴劣弧所对的圆心角为90°，所对的圆周角为45°，故由弦切角定理可知，弦切角∠BAC＝45°.答案45°4.如图，⊙O的弦 AB的延伸线和切线 EP订交于点 P，E 为切点，∠ APE的均分线和 AE， BE分别订交于 C， D.求证： EC＝ED.证明∵ PE切⊙ O于点 E，∴∠ BEP＝∠ A，∵ PC均分∠ APE，∴∠3＝∠4，又∵∠ 1＝∠ 3＋∠A，∠ 2＝∠ 4＋∠BEP，∴∠ 1＝∠ 2，∴EC＝ED.一、基础达标1.已知，如图， PA切⊙ O于点 A， BC是⊙ O的直径， BC的延伸线交AP于P，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是()剖析以以下列图，连结OA， OE，则△ AOE为等腰三角形.∵OC⊥ AE，∴ OC垂直均分 AE，∴△ ACE为等腰三角形，∴∠ EAC＝∠ AEC＝∠ CAP＝∠ ABP.答案C2.以以下列图，已知⊙ O的直径 AB与弦 AC的夹角为35°，过 C点的切线 PC与 AB的延伸线交于点P，则∠ P等于()A.15 °B.20 °C.25 °°剖析如图，连结 BC，∵PC是⊙ O的切线，∴∠ PCB＝∠ CAB＝35°.又∠ PBC＝∠ CAB＋∠ ACB＝35°＋ 90°＝ 125°，∴∠P＝180°－ 125°－ 35°＝ 20°.答案B3.如图， AB是⊙ O的直径， EF切⊙ O于 C，AD⊥EF于 D， AD＝2，AB＝6，则 AC的长为()3剖析如图，连结 BC，由 AB是直径，得 AC⊥ BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ ABC，AC AB∴△ ABC∽△ ACD，∴＝，AD AC2∴ AC＝ AB· AD＝6×2＝12，∴AC＝23.答案C4.以以下列图，已知 AB和 AC分别是⊙ O的弦和切线， A 为切点， AD为∠ BAC的均分线，且交⊙O于 D， BD的延伸线与A C交于 C， AC＝6，AD＝ 5，则CD＝ ________.剖析由 AC为切线，得∠ CAD＝∠ B.由题意知∠ CAD＝∠ BAD，∴∠ DAB＝∠ B，∴ AD＝＝5. 又∠＝∠ ，∠ ＝∠ ，∴△∽△，∴AC CD· ＝2＝，即，BD CADBCC ACD BCABC AC CD BC AC2∴ CD·( BD＋ CD)＝ AC，即 CD·(5＋ CD)＝36，解得 CD＝4(负值舍去).答案 45. 以以下列图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，D是优弧 BC上的点，已知∠ BAC＝80°，那么∠ BDC＝________.剖析连结，，则⊥，⊥，∴∠＝ 180°－∠BACOB OC OB AB OC AC BOC＝ 100°，1∴∠ BDC＝2∠ BOC＝50°.答案50°︵︵6.以以下列图，已知圆上的弧 AC＝ BD，过 C点的圆的切线与 BA的延伸线交于点 E，求证：(1)∠ ACE＝∠ BCD；2(2) BC＝BE·CD.︵︵证明(1) 因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为 EC与圆相切于点C，故∠ ACE＝∠ ABC，所以∠ ACE＝∠ BCD.(2)因为∠ ECB＝∠ CDB，∠ EBC＝∠ BCD，BC CD所以△ BDC∽△ ECB，故＝，BE BC2即 BC＝ BE· CD.二、能力提升︵7.以以下列图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B 为切点，C是AB上的一点，已知⊙ O半径为 r ， PO＝2r ，设∠ PAC＋∠ PBC＝α ，∠APB＝β.则α，β的大小关系是()A. α >βC. α <βB. α＝βD. 不能够确立剖析如图，连结OA，OB，则OA⊥ PA，又∵PO＝2r ＝2OA，∴∠ APO＝30°，∴ β＝∠ APB＝60°，∴∠ POA＝∠ POB＝60°，又∵α＝∠ PAC＋∠ PBC＝12∠AOB＝60°，∴ α＝β.答案B8.如图，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线 l ，过 A 作 l 的垂线 AD，垂足为点 D，则线段 CD的长为________.剖析因为圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，则AC⊥ BC，3 1进而cos ∠CBA＝6＝2. 又因为l是圆O的切线，由弦切角定理得∠DCA＝∠ CBA，从而 cos ∠＝ cos ∠＝1.又因为⊥ ，所以＝· cos ∠＝×1 DCA CBA2AD CD CD AC DCA62－ 322 33＝2 .3 3答案29.如图，已知 PA是圆 O( O为圆心)的切线，切点为 A，PO交圆 O于 B， C两点， AC ＝3，∠ PAB＝30°，则线段 PB的长为________.剖析如图，连结OA，又 PA为⊙ O切线，∴∠ OAP＝90°，∠ C＝∠ PAB＝30°，∴∠ OBA＝∠ OAB＝60°，∴∠ P＝∠ PAB＝30°，∴ PB＝ AB.又 AC＝3， BC为⊙ O直径，∴∠ CAB＝90°，∴ AB＝1，∴ PB＝1.答案110. 如图，是△的角均分线，经过点，D 的⊙和AD ABC A O BC 切于 D，且与 AB， AC订交于 E， F.求证： EF∥BC.证明以以下列图，连结DF.∵ DC是⊙ O的切线，∴∠ 4＝∠ 2.又∵ AD均分∠ BAC，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 4＝∠ 1.又由圆周角定理得∠1＝∠ 3，∴∠ 3＝∠ 4，∴EF∥ BC.11.如图， AB为⊙ O的直径，直线 CD与⊙ O相切于 E， AD垂直 CD于 D， BC垂直 CD 于 C， EF垂直 AB于 F，连结 AE， BE.证明(1) ∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝ AD· BC.证明(1) 由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.π由 AB为⊙ O的直径，得AE⊥ EB，进而∠ EAB＋∠ EBF＝2；又 EF⊥ AB，得∠ FEB＋∠ EBF＝π2.进而∠ FEB＝∠ EAB.故∠ FEB＝∠ CEB.(2)由 BC⊥ CE， EF⊥ AB，∠ FEB＝∠ CEB，BE是公共边，得 Rt △BCE≌Rt △BFE，所以BC＝BF.近似可证Rt△ADE≌ Rt△AFE，得 AD＝ AF.又在Rt△ AEB中， EF⊥ AB，故 EF2＝ AF· BF，所以 EF2＝ AD·BC.三、研究与创新12.以以下列图，点 P在⊙ O外，PC是⊙ O的切线，切点为 C，直线 PO与⊙ O订交于 A，B两点.(1)研究∠ BCP与∠ P的关系；(2)若∠ A＝30°，则 PB与 PA有什么关系？(3)∠ A 可能等于45°吗？为什么？解 (1) ∵PC为⊙O的切线，∴∠ BCP＝∠ A.在△ PCA中，∠ A＋∠ P＋∠ ACB＋∠ BCP＝180°，又∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB＝90°，∴∠ BCP＝90°－∠P2.(2)若∠ A＝30°，则∠ BCP＝∠ A＝30°，1∴∠ P＝30°.∴ PB＝BC， BC＝2AB，1∴PB＝3PA，即 PA＝3PB.(3) ∠A不能能等于45° .原因以下：设∠ A＝45°，如图(2)所示，则∠ B＝45°，∠BCP＝45°，∴CP∥ AB，与题干中 PC与 AB交于点 P 矛盾，∴∠ A不能能等于45°.。

四弦切角的性质1.通过对弦切角定理的探究，体会分类思想、特殊化思想和化归思想在数学中的作用.2.理解弦切角定理，能应用定理证明相关的几何问题．1．在前面我们研究过与圆有关的哪两种角？这两种角是如何定义的？答案前面我们研究过圆心角和圆周角；顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角，顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中圆心角与圆周角各有什么性质，它们又有怎样的关系？答案在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．3．如下图，圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.这时∠BAE还是圆周角吗？为什么？答案不是圆周角，因为角的一边与圆相切，只有角的两边都与圆相交时，才是圆周角．1．弦切角的概念定义：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图所示，∠ACD和∠BCD都是弦切角．2．弦切角定理定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．3．与弦切角定理有关的结论(1)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．(2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半．(3)如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等.要点一利用弦切角解决与角有关的问题例1如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE垂足为D，求证：AC平分∠BAD.证明连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°，∵AD⊥CE，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＋∠DAC＝90°.又∵AC是弦，且直线CE和⊙O切于点C，∴∠ACD＝∠B.∴∠DAC＝∠CAB，即AC平分∠BAD.规律方法(1)利用弦切角解决与角有关问题的步骤：①根据图形及弦切角的定义找出与题目有关的弦切角；②利用弦切角定理找出与其相等的角；③综合运用相关的知识进行角的求解．(2)要注意圆周角定理、圆内接四边形的性质定理、相似三角形、射影定理等知识的综合应用．跟踪演练1如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C.求证：∠ATC＝∠TBC.证明∵CT切⊙O于T，∴∠DTA＝∠ABT，∵∠ATC＋∠DTA＝180°，∠TBC＋∠ABT＝180°.∴∠ATC＝∠TBC.要点二利用弦切角解决与长度有关的问题例2 如图，已知MN 是⊙O 的切线，A 为切点，MN 平行于弦CD ，弦AB 交CD 于E ，求证：AC 2＝AE ·AB . 证明 连接BC ，⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥CD ⇒∠MAC ＝∠ACD MN 切⊙O 于A ⇒∠MAC ＝∠B ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠ACD ＝∠B ∠CAE ＝∠CAB⇒△ACE ∽△ABC ⇒AC AB ＝AEAC⇒AC 2＝AB ·AE .规律方法 (1)此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等，再利用三角形相似证比例中项，这种类型的题较常见．(2)证明线段相等，借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识，我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等． 跟踪演练2 已知P A 是圆O (O 为圆心)的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，AC ＝3，∠P AB ＝30°，则线段PB 的长为________． 答案 1解析 连接OA ，又P A 为⊙O 切线， ∴∠OAP ＝90°，∠C ＝∠P AB ＝30°， ∴∠OBA ＝∠OAB ＝60°， ∴∠P ＝∠P AB ＝30°，∴PB ＝AB ， 又AC ＝3，BC 为⊙O 直径， ∴∠CAB ＝90°，∴AB ＝1，∴PB ＝1. 要点三 弦切角的综合应用例3 如图所示，CF 是⊙O 的直径，CB 是⊙O 的弦，CB 的延长线与过点F 的⊙O 的切线交于点P .(1)如图①，如果∠P＝45°，PF＝10，求⊙O的半径长；(2)如图②，如果E是BC上的一点，且满足PE2＝PB·PC，连接FE并延长交⊙O于点A，求证：点A是BC的中点．(1)解∵PF是切线，∴△PCF是直角三角形，∵∠P＝45°，∴PF＝CF，∴2r＝PF＝10，∴r＝5，∴⊙O的半径为5.(2)证明如图所示，连接FB.∵FP是⊙O的切线，∴∠PFB＝∠FCB.又∵∠P＝∠P，∴△PBF∽△PFC，∴PBPF＝PFPC，∴PF2＝PB·PC.又∵PE2＝PB·PC，∴PF2＝PE2，∴PF＝PE，∴∠EFP＝∠FEP.又∵∠EFB＝∠EFP－∠BFP，∠CFE＝∠FEP－∠FCB，∴∠EFB＝∠CFE. ∴点A为弧BC的中点．规律方法(1)弦切角是与圆相关的很重要的角．其主要功能是协调与圆相关的各种角，如圆心角、圆周角等，是连接圆与三角形全等、三角形相似及与圆相关的各种直线位置关系的桥梁．(2)弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理．(3)弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现．跟踪演练3如图所示，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，过⊙O1上一点P作直线P A、PB分别交⊙O2于点C和点D，EF切⊙O1于点P.求证：EF∥CD.证明连接AB，∵EF是⊙O 1切线，由弦切角定理知，∠FP A＝∠PBA，又在⊙O2中，四边形ABDC为圆内接四边形，∴∠C＝∠ABP，∴∠FP A＝∠C，∴EF∥CD.例4 如图，已知圆上的AC ＝BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明： (1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ·CD .证明 (1)因为AC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠ABC . 又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ， 所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CDBC，即BC 2＝BE ·CD .规律方法 本题主要考查圆内接四边形、圆的切线、圆周角、弦切角、三角形相似、弦之间的关系，题目难易适中，重在考查对平面几何中基本知识的掌握． 跟踪演练4 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E . 证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .证明 (1)由AC 与圆O ′相切于点A ，得∠CAB ＝∠ADB ；同理，∠ACB ＝∠DAB ，从而△ACB ∽△DAB ，所以AC AD ＝ABBD ⇒AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与圆O 相切于点A ，得∠AED ＝∠BAD ； 又∠ADE ＝∠BDA ，从而△EAD ∽△ABD . 所以AE AB ＝ADBD ⇒AE ·BD ＝AD ·AB .又由(1)知，AC ·BD ＝AD ·AB ，所以AC ·BD ＝AE ·BD ⇒AC ＝AE .1．如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F .已知∠B ＝50°，∠C＝60°，连接OE 、OF 、DE 、DF ，那么∠EDF 等于( ) A ．40° B ．55° C ．65° D ．70°答案 B解析 ∵∠B ＝50°，∠C ＝60°，∴∠A ＝70°，∴∠EOF ＝110°，∴∠EDF ＝55°.2．如图，AB 是⊙O 直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 连接OC ，BC ， ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ， ∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P ， ∵PC 切⊙O 于C 点， ∴OC ⊥PC ，∴∠A ＝∠P ＝∠ACO ＝13(180°－90°)＝30°，∴∠BOC ＝60°，∴△BOC 为等边三角形，∴OB ＝BC ， ∵∠PCB ＝∠A ，∴∠PCB ＝∠P ， ∴BC ＝PB ＝1，∴OB ＝1.3．如图所示，AD 切⊙O 于点F ，FB ，FC 为⊙O 的两弦，请列出图中所有的弦切角_____________．答案 ∠AFB 、∠AFC 、∠DFC 、∠DFB解析 弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．4．如图所示，已知AB与⊙O相切于点M，且MC＝MD，且MC、MD的长为圆周长的四分之一，则∠AMC＝______，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝______.答案45°135°45°90°解析弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对的圆心角度数的一半．1．弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对的(夹在弦切角内部的)一条弧．如图所示，弦切角∠BCD所夹的弧是CD，弦切角∠ACD所夹的弧是CMD.2．弦切角定理的证明同圆周角定理的证明极相似，同样是按圆心与角的位置关系分情况(如图所示)进行证明．(1)圆心在弦切角∠BAC一边上；(如图a)(2)圆心在弦切角∠BAC外部；(如图b)(3)圆心在弦切角∠BAC内部．(如图c)3．圆心角、圆周角、弦切角三者之间的区别圆心角圆周角弦切角图形顶点位置在圆心O 在圆周上在圆周上两边与圆的关系两边都和圆相交两边都和圆相交一边和圆相切，一边和圆相交4.在圆中有许多相等的角，利用这些相等的角我们能找出许多与圆有关的相似三角形，进而能得到许多线段的数量关系．因而，充分利用圆的有关性质定理如圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有关问题的桥梁，达到解决问题的目的．。

四弦切角的性质[学习目标]1.理解弦切角的定义及性质，并能解决与弦切角有关的问题.2.理解弦切角定理，并能应用定理证明相关的几何问题.[知识链接]1.在前面我们研究过与圆有关的哪两种角？这两种角是如何定义的？提示前面我们研究过圆心角和圆周角；顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角，顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.2.在同圆或等圆中圆心角与圆周角各有什么性质，它们又有怎样的关系？提示在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.3.如下图，圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.这时∠BAE还是圆周角吗？为什么？提示不是圆周角，因为角的一边与圆相切，只有角的两边都与圆相交时，才是圆周角.[预习导引]1.弦切角顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫作弦切角.弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部，如图①；(2)圆心在角的一边上，如图②；(3)圆心在角的内部，如图③.2.弦切角定理要点一 利用弦切角定理求角例1 如图，一圆过直角三角形ABC 的直角顶点C ，且与斜边AB 相切于D 点，AD ＝DB ，G 为CD ︵中点，F 为CE ︵上任一点.求证：∠CFG ＝∠EFD .证明 连接CD ，∵AB 切圆于D 点，∴∠CDB ＝∠DFC .∵G 为CD ︵的中点，∴∠CDB ＝∠DFC ＝2∠CFG .∵D 为直角三角形ACB 的斜边中点，∴CD ＝AD ，∴∠CDB ＝2∠DCE . ∵∠DCE ＝∠EFD ，∴∠CFG ＝∠EFD .规律方法 1.本题在证明过程中，多次使用了角的转化，而转化的依据是弦切角定理和圆周角定理.2.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角.跟踪演练1 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________.解析 如图，连接BD ，由弦切角定理知：∠ADB ＝∠MAB ＝35°，∠BDC ＝90°，故∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°.答案 125°要点二 利用弦切角定理证明线段成比例例2 如图所示，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 点引⊙O 的切线分别交DA 的延长线和CA 的延长线于E ，F 点. (1)求证：AB 2＝AE ·BC ；(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长. 证明 (1)∵BE 切⊙O 于B ，∴∠ABE ＝∠ACB . 又AD ∥BC ，∴∠EAB ＝∠ABC ，∴△EAB ∽△ABC ，∴AE AB ＝ABBC，∴AB 2＝AE ·BC .解 (2)由(1)知△EAB ∽△ABC ，∴BE AC ＝AB BC.又AE ∥BC ，∴EF AF ＝BE AC ，∴AB BC ＝EFAF.又AD ∥BC ，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD ，∴58＝EF 6，∴EF ＝308＝154. 规律方法 1.弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理.2.弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现.跟踪演练2 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，点C 在AB ︵上，CD ⊥AB ，CE ⊥PA ，CF ⊥PB ，垂足分别为D ，E ，F .求证：CD 2＝CE ·CF .证明 连接CA ，CB . ∵PA ，PB 是⊙O 的切线.∴∠CAP ＝∠CBA ，∠CBP ＝∠CAB . 又CD ⊥AB ，CE ⊥PA ，CF ⊥PB ， ∴Rt △CAE ∽Rt △CBD ，Rt △CBF ∽Rt △CAD ，∴CA CB ＝CE CD ，CB CA ＝CF CD ，∴CE CD ＝CD CF，即CD 2＝CE ·CF .要点三 弦切角定理综合应用例3 如图所示，以△ABD 的边AB 为直径作半圆O 交AD 于C 点，过点C 的切线CE 和BD 互相垂直，垂足为E 点.求证：AB ＝BD .证法1 如图所示，连接OC . ∵CE 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CE . 又BD ⊥CE ，∴OC ∥BD ，∴∠ACO ＝∠D . 又OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ，∴∠A ＝∠D ， ∴AB ＝BD .证法2 由证法1知OC ∥BD .又AO ＝BO ，∴AC ＝CD ，∴OC ＝12BD .又OC ＝12AB ，∴AB ＝BD .规律方法 借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等.跟踪演练3 如图所示，割线PBA 过圆心O ，PT 为⊙O 的切线，T 为切点，∠APT 的平分线PD 分别交BT ，AT 于C ，D .求证：△CTD为等腰三角形.证明 ∵∠TDC ＝∠A ＋12∠APT ，PT 是圆O 的切线，∴∠PTB ＝∠A .在△PTC 中，∠TCD ＝∠BTP ＋12∠APT ，∴∠TDC ＝∠TCD ，∴△CTD 为等腰三角形.(1)弦切角定理的推论：若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等.(2)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半，这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.(3)圆心角、圆周角、弦切角的比较.1.如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，EC 与⊙O 相切于点B ，D 是⊙O 上的任一点(不与A ，B 重合)，则下列为弦切角的是( ) A.∠ADB B.∠AOB C.∠ABCD.∠BAO解析 ∠ADB 是圆周角，∠AOB 是圆心角，∠ABC 是弦切角，∠BAO 不是弦切角. 答案 C2.如图所示，MN 与⊙O 相切于点M ，Q 和P 是⊙O 上两点，∠PQM ＝70°，则∠NMP 等于( ) A.20° B.70° C.110°D.160°解析 ∵∠NMP 是弦切角，∴∠NMP ＝∠PQM ＝70°. 答案 B3.已知AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角∠BAC＝________.解析∵优弧与劣弧之比为3∶1，∴劣弧所对的圆心角为90°，所对的圆周角为45°，故由弦切角定理可知，弦切角∠BAC＝45°.答案45°4.如图，⊙O的弦AB的延长线和切线EP相交于点P，E为切点，∠APE的平分线和AE，BE分别相交于C，D.求证：EC＝ED.证明∵PE切⊙O于点E，∴∠BEP＝∠A，∵PC平分∠APE，∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠3＋∠A，∠2＝∠4＋∠BEP，∴∠1＝∠2，∴EC＝ED.一、基础达标1.已知，如图，PA切⊙O于点A，BC是⊙O的直径，BC的延长线交AP于P，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析如图所示，连接OA，OE，则△AOE为等腰三角形.∵OC⊥AE，∴OC垂直平分AE，∴△ACE为等腰三角形，∴∠EAC ＝∠AEC ＝∠CAP ＝∠ABP . 答案 C2.如图所示，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，则∠P 等于( ) A.15° B.20° C.25°D.30°解析 如图，连接BC ， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠PCB ＝∠CAB ＝35°. 又∠PBC ＝∠CAB ＋∠ACB＝35°＋90°＝125°，∴∠P ＝180°－125°－35°＝20°. 答案 B3.如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A.2B.3C.23D.4解析 如图，连接BC ，由AB 是直径，得AC ⊥BC ，由弦切角定理可知，∠ACD ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝ABAC，∴AC 2＝AB ·AD ＝6×2＝12， ∴AC ＝23.答案 C4.如图所示，已知AB 和AC 分别是⊙O 的弦和切线，A 为切点，AD 为∠BAC 的平分线，且交⊙O 于D ，BD 的延长线与AC 交于C ，AC ＝6，AD ＝5，则CD ＝________.解析 由AC 为切线，得∠CAD ＝∠B .由题意知∠CAD ＝∠BAD ，∴∠DAB ＝∠B ，∴AD ＝BD ＝5.又∠CAD ＝∠B ，∠C ＝∠C ，∴△ACD ∽△BCA ，∴AC BC ＝CD AC，即CD ·BC ＝AC 2，∴CD ·(BD ＋CD )＝AC 2，即CD ·(5＋CD )＝36，解得CD ＝4(负值舍去). 答案 45.如图所示，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B ，C ，D 是优弧BC 上的点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝________. 解析 连接OB ，OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°.答案 50°6.如图所示，已知圆上的弧AC ︵＝BD ︵，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于点E ，求证：(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ·CD .证明 (1)因为AC ︵＝BD ︵，所以∠BCD ＝∠ABC . 又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ，所以∠ACE ＝∠BCD . (2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ，所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CDBC，即BC 2＝BE ·CD . 二、能力提升7.如图所示，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，C 是AB ︵上的一点，已知⊙O 半径为r ，PO ＝2r ，设∠PAC ＋∠PBC ＝α，∠APB ＝β.则α，β的大小关系是( )A.α>βB.α＝βC.α<βD.不能确定解析 如图，连接OA ，OB ，则OA ⊥PA ，又∵PO ＝2r ＝2OA ，∴∠APO ＝30°，∴β＝∠APB ＝60°， ∴∠POA ＝∠POB ＝60°， 又∵α＝∠PAC ＋∠PBC ＝12∠AOB ＝60°，∴α＝β. 答案 B8.如图，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为点D ，则线段CD 的长为________.解析 因为圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，则AC ⊥BC ，从而cos ∠CBA ＝36＝12.又因为l 是圆O 的切线，由弦切角定理得∠DCA ＝∠CBA ，从而cos ∠DCA ＝cos ∠CBA ＝12.又因为AD ⊥CD ，所以CD ＝AC ·cos ∠DCA ＝62－32×12＝332. 答案332 9.如图，已知PA 是圆O (O 为圆心)的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，AC ＝3，∠PAB ＝30°，则线段PB 的长为________.解析 如图，连接OA ，又PA 为⊙O 切线，∴∠OAP ＝90°，∠C ＝∠PAB ＝30°，∴∠OBA ＝∠OAB ＝60°，∴∠P ＝∠PAB ＝30°，∴PB ＝AB .又AC ＝3，BC 为⊙O 直径，∴∠CAB ＝90°，∴AB ＝1，∴PB ＝1.答案 110.如图，AD 是△ABC 的角平分线，经过点A ，D 的⊙O 和BC切于D ，且与AB ，AC 相交于E ，F .求证：EF ∥BC .证明 如图所示，连接DF . ∵DC 是⊙O 的切线，∴∠4＝∠2.又∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠1.又由圆周角定理得∠1＝∠3，∴∠3＝∠4，∴EF ∥BC .11.如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明 (1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2； 又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2. 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .类似可证Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .三、探究与创新12.如图所示，点P 在⊙O 外，PC 是⊙O 的切线，切点为C ，直线PO 与⊙O 相交于A ，B 两点.(1)探索∠BCP 与∠P 的关系；(2)若∠A ＝30°，则PB 与PA 有什么关系？(3)∠A 可能等于45°吗？为什么？解 (1)∵PC 为⊙O 的切线，∴∠BCP ＝∠A .在△PCA 中，∠A ＋∠P ＋∠ACB ＋∠BCP ＝180°，又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BCP ＝90°－∠P 2. (2)若∠A ＝30°，则∠BCP ＝∠A ＝30°，∴∠P ＝30°.∴PB ＝BC ，BC ＝12AB ， ∴PB ＝13PA ，即PA ＝3PB . (3)∠A 不可能等于45°.理由如下：设∠A＝45°，如图(2)所示，则∠B＝45°，∠BCP＝45°，∴CP∥AB，与题干中PC与AB交于点P矛盾，∴∠A不可能等于45°.。

课堂导学三点剖析一、弦切角定理【例1】 如图2-4-1,PA 、PB 切⊙O 于A 、B,∠P=50°,则∠D 等于( )图2-4-1A.65°B.75°C.40°D.30°思路分析：连结AB,∠P 与∠D 分别处于两个三角形,它们之间的联系途径就是弦切角. 解:连结AB.∵AB 是弦,PA 、PB 切圆于A 、B,∴∠ABP=∠D,∠BAP=∠D.∴∠ABP=∠BAP.在△ABP 中,∠ABP=21 (180°-∠P)=65°, ∴∠D=∠ABP=65°.答案:A二、弦切角定理综合运用【例2】 如图2-4-3,PA 切⊙O 于A,PBC 是⊙O 的割线,在PC 上截取PD=PA,求证:∠1=∠2.图2-4-3证明：∵PA=PD,∴∠PAD=∠PDA.∵∠PDA=∠C+∠1,∠PAD=∠PAB+∠2,∴∠C+∠1=∠PAB+∠2.又∵PA 切⊙O 于A,AB 为弦,∴∠PAB=∠C.∴∠1=∠2.三、本节数学思想选讲【例3】 如图2-4-5,已知AB 为⊙O 直径,P 为AB 延长线上一动点,过点P 作⊙O 的切线,设切点为C.(1)请你连结AC,作∠APC 的平分线,交AC 于点D,测量∠CDP 的度数.(2)当P 在AB 延长线上运动时,∠CDP 的度数作何变化?请你猜想,并证明.图2-4-5解析:(1)作图,并测量,∠CDP=45°.(2)∠CDP不随P在AB延长线上的位置变化而变化,即∠CDP=45°是一个定值.证明:连结BC交PD于E,∵∠CDP是△ADP的外角,∴∠CDP=∠A+∠2.同理,∠CED=∠1+∠3.但∠1=∠2.又∵BC是弦,PC与⊙O切于C,∴∠3=∠A.∴∠CDE=∠CED.∴CD=CE.∵AB是直径,∴∠DCE=90°.∴△CDE是等腰直角三角形.∴∠CDE=45°.各个击破类题演练1如图2-4-2,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为直径,D为BC延长线上一点,PC切⊙O于C 点,∠PCD=20°,则∠A等于( )图2-4-2A.20°B.25°C.40°D.50°解析:∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠PCD+∠ACP=90°,∠A+∠B=90°.∵PC是切线,AC为弦,∴∠ACP=∠B.∴∠A=∠PCD=20°.答案:A类题演练2如图2-4-4,AD⊥直径CE,AB为⊙O切线,A为切点,求证:∠1=∠2.图2-4-4证明:连结AE,∵CE是直径,∴∠CAE=90°.∴∠E+∠ACE=90°.∵AD⊥EC,∴∠ADC=90°.∴∠2+∠ACE=90°.∴∠2=∠E.又∵AB切⊙O于A,AC是弦,∴∠1=∠E.∴∠1=∠2.类题演练3在△AEF中,∠A的平分线AD与△AEF的外接圆相交于D,过D作圆的切线BC. 求证:EF∥BC.图2-4-6解析:欲证EF∥BC,只需证∠AEF=∠B,∠B在圆外,考虑弦切角.证明:连结DF,∵BC切⊙O于点D,DF为弦,∴∠ADB=∠AFD.∵AD平分∠A,∴∠1=∠2.∴△ABD∽△ADF.∴∠ADF=∠B.又∵=,∴∠AEF=∠ADF.∴∠AEF=∠B.∴EF∥BC.温馨提示从本题题设出发,还有很多结论,读者可自行推导.。

四弦切角的性质[对应学生用书P28]弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(2)图形语言叙述：如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.[说明]弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．[对应学生用书P29]弦切角定理¼AC＝»BD，过C[例1](2010·新课标全国卷)如图，已知圆上的弧点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.[思路点拨]利用弦切角定理．¼AC＝»BD，[证明](1)因为所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以△BDC ∽△ECB . 故BC BE ＝CD BC， 即BC 2＝BE ·CD .利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．1．如图，AB 为⊙O 的直径，直线EF 切⊙O 于C ，若∠BAC ＝56°，则∠ECA ＝________.解析：连接BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∴∠B ＝90°－∠BAC ＝90°－56°＝34°.又∵EF 与⊙O 相切于点C ，由弦切角定理，有∠ECA ＝∠B ＝34°. 答案：34°2.如图，AB 是⊙O 的弦，CD 是经过⊙O 上的点M 的切线，求证： (1)如果AB ∥CD ，那么AM ＝MB ； (2)如果AM ＝BM ，那么AB ∥CD . 证明：(1)∵CD 切⊙O 于M 点， ∴∠DMB ＝∠A ，∠CMA ＝∠B . ∵AB ∥CD ，∴∠CMA ＝∠A . ∴∠A ＝∠B ，故AM ＝MB . (2)∵AM ＝BM ，∴∠A ＝∠B .∵CD 切⊙O 于M 点，∠CMA ＝∠B ，∴∠CMA ＝∠A .∴AB ∥CD .3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 平分∠DAB .(1)求证：AD ⊥CD ；(2)若AD ＝2，AC ＝5，求AB 的长． 解：(1)证明：如图，连接BC . ∵直线CD 与⊙O 相切于点C ， ∴∠DCA ＝∠B . ∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB . ∴∠ADC ＝∠ACB .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥CD . (2)∵∠DCA ＝∠B ，∠DAC ＝∠CAB ， ∴△ADC ∽△ACB . ∴AD AC ＝AC AB ， ∴AC 2＝AD ·AB .∵AD ＝2，AC ＝5，∴AB ＝52.运用弦切角定理证明比例式或乘积式[例2] 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，点C 在»AB 上，CD ⊥AB ，CE ⊥P A ，CF ⊥PB ，垂足分别为D ，E ，F .求证：CD 2＝CE ·CF .[思路点拨] 连接CA 、CB ，∠CAP ＝∠CBA 、∠CBP ＝∠CAB→Rt △CAE ∽Rt △CBD Rt △CBF ∽Rt △CAD→CE CD ＝CDCF→结论[证明] 连接CA 、CB . ∵P A 、PB 是⊙O 的切线， ∴∠CAP ＝∠CBA ， ∠CBP ＝∠CAB .又CD ⊥AB ，CE ⊥P A ，CF ⊥PB ， ∴Rt △CAE ∽Rt △CBD ， Rt △CBF ∽Rt △CAD ， ∴CA CB ＝CE CD ，CB CA ＝CF CD ， ∴CE CD ＝CDCF，即CD 2＝CE ·CF .证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件．4．如图，已知MN 是⊙O 的切线，A 为切点，MN 平行于弦CD ，弦AB 交CD 于E .求证：AC 2＝AE ·AB .证明：连接BC .⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥CD ⇒∠MAC ＝∠ACD MN 切⊙O 于A ⇒∠MAC ＝∠B⎭⎪⎬⎪⎫⇒∠ACD ＝∠B ∠CAE ＝∠CAB ⇒△ACE ∽△ABC ⇒AC AB ＝AEAC⇒AC 2＝AB ·AE .5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，经过点A 、D 的⊙O 和BC 切于D ，且AB 、AC 与⊙O 相交于点E 、F ，连接DF ，EF .(1)求证：EF ∥BC ； (2)求证：DF 2＝AF ·BE . 证明：(1)∵⊙O 切BC 于D ，∴∠CAD ＝∠CDF .∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD ＝∠CAD . 又∵∠BAD ＝∠EFD ， ∴∠EFD ＝∠CDF . ∴EF ∥BC . (2)连接DE ， ∵⊙O 切BC 于D ， ∴∠BAD ＝∠BDE .由(1)可得∠BDE ＝∠F AD ， 又∵⊙O 内接四边形AEDF ， ∴∠BED ＝∠DF A . ∴△BED ∽△DF A . ∴DE AF ＝BE DF. 又∵∠BAD ＝∠CAD ， ∴DE ＝DF .∴DF 2＝AF ·BE .[对应学生用书P30]一、选择题1．P 在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，P AB 交⊙O 于A 、B ，则( ) A ．∠MCB ＝∠B B ．∠P AC ＝∠P C ．∠PCA ＝∠BD ．∠P AC ＝∠BCA解析：由弦切角定理知∠PCA ＝∠B . 答案：C2．如图，△ABC 内接于⊙O ，EC 切⊙O 于点C .若∠BOC ＝76°，则∠BCE 等于( )A．14°B．38°C．52°D．76°解析：∵EC为⊙O的切线，∠BOC＝38°.∴∠BCE＝∠BAC＝12答案：B3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC 的长为()A．2 B．3C．2 3 D．4解析：连接BC，则∠ACB＝90°，又AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴AC2＝AD·AB＝12，即AC＝2 3.答案：C4．如图，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为()A．1 B．2C．3 D．4解析：连接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC2＝PB·P A，即AC2＝PB·P A.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O半径为r，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.答案：A二、填空题5.如图，已知AB与⊙O相切于点M，且¼MC＝¼MD，且¼MC，¼MD为14圆周长，则∠AMC＝________，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝________.解析：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半．答案：45°135°45°90°6．如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝________.解析：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∠ACE＝40°，∴∠PCB＝∠PBC＝50°.∴∠P＝80°.答案：80°7.如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.解析：连接OC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2，OC＝2.∴PC＝2 3.∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝2×23＝ 3.4答案： 3三、解答题8.如图所示，⊙O 1与⊙O2交于A、B两点，过⊙O1上一点P作直线P A、PB分别交⊙O2于点C和点D，EF切⊙O1于点P.求证：EF∥CD.证明：如图，连接AB，∵EF是⊙O切线，∴∠FP A＝∠PBA.又在⊙O2中，ABCD为⊙O内接四边形，∴∠C＝∠ABP.∴∠FP A＝∠C.∴EF∥CD.9.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD ＝∠ACD ，又因为AB ＝AC ， 所以△ABE ≌△ACD .(2)因为∠3＝∠2，∠ABC ＝∠ACB ， 所以△BCE ∽△ACB ，BC AC ＝CECB ，AC ·CE ＝BC 2.因为AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ， 所以6·(6－AE )＝16. 所以AE ＝103cm.10.如图，△ABC 内接于圆O ，AD 平分∠BAC 交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E .(1)求证：∠EBD ＝∠CBD ； (2)求证：AB ·BE ＝AE ·DC . 证明：(1)∵BE 为圆O 的切线， ∴∠EBD ＝∠BAD ，又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴∠EBD ＝∠CAD ， 又∵∠CBD ＝∠CAD ， ∴∠EBD ＝∠CBD .(2)在△EBD 和△EAB 中， ∠E ＝∠E ，∠EBD ＝∠EAB ， ∴△EBD ∽△EAB ， ∴BE AE ＝BD AB， ∴AB ·BE ＝AE ·BD ，又∵AD 平分∠BAC, ∴BD ＝DC ， 故AB ·BE ＝AE ·DC .。

弦切角教案设计——从基础到进阶，系统掌握知识点系统掌握知识点引言：几何学是数学中最有直观意义、最切实际应用的一门学科。

其中，圆锥曲线是几何学中一个重要的研究领域。

在圆锥曲线相关的知识中，弦切角是一个重要的概念。

弦切角作为圆锥曲线的一种基本性质，在中学数学的学习和应用中具有重要的价值。

因此，本文将介绍关于弦切角教案设计的一些基本要点，帮助中学数学教师更好地教授弦切角相关的知识点。

一、教学目标通过对弦切角的学习，使学生能够掌握以下内容：1.熟练掌握弦切角的定义、求解方法和性质。

2.能够应用弦切角的知识，解决相关的计算问题。

3.能够理解并掌握基础的圆锥曲线知识，如圆锥曲线的定义、类型和基本性质等。

4.能够理解并掌握弦切角在实际应用中的意义和价值，如在地理中的应用等。

二、教学内容弦切角是指在圆上任意取一点 A，过 A 点作圆的一条弦 AB，再过点 A 作圆的切线 AC，则∠BAC 称为弦切角。

弦切角的求解方法：在已知弦及弦上的两点时，可以通过求解弦切角的对边、铜边来计算弦切角的度数。

弦切角的对边和铜边通常用a 和 b 表示。

其中，对边是与圆心连线的弦，铜边是与切点连线的弦。

对于圆的直径，其对应的弦切角为90度。

根据弦切角的定义和求解方法，可以引出以下知识点：1.圆的弧度制和度数制。

2.弦切角的性质：对于同一弦的两个弦切角相等，而对于同一圆上的两个弦的弦切角，则它们的和等于180度。

3.弦切角的应用：在地理相关的问题中，可以利用弦切角的概念解释经纬度、地球太阳线的角度等。

三、教学方法1.经典案例授课法：可以给学生展示一些弦切角相关的经典应用案例，引导学生更好地理解弦切角的概念和实际应用。

2.互动讨论法：可以通过互动式的问题讨论，让学生深入掌握弦切角的性质，更好地解决弦切角计算问题。

3.数学建模法：可以引导学生将弦切角的概念和计算方法应用于实际问题中，让学生通过数学建模来解决现实问题。

四、教学重点和难点1.教学重点：熟练掌握弦切角的定义、求解方法和性质。