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互动课堂一、弦切角1.定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.2.弦切角的特点:(1)顶点在圆周上;(2)一边与圆相交;(3)一边与圆相切.3.弦切角定义中的三个条件缺一不可.图2-4-1各图中的角都不是弦切角.图(1)中,缺少“顶点在圆上”的条件;图(2)中,缺少“一边和圆相交”的条件;图(3)中,缺少“一边和圆相切”的条件;图(4)中,缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.图2-4-14.如图2-4-2所示,弦切角可分为三类:(1)圆心在角的外部;(2)圆心在角的一边上;(3)圆心在角的内部.图2-4-2二、弦切角定理1.弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.2.定理的证明:由于弦切角可分为三类,即图2-4-2所示的情况,所以在证明定理时分三种情况加以讨论:当弦切角一边通过圆心时〔图2-4-3（1）〕,显然弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角;当圆心O在∠CAB外时〔图2-4-3（2）〕,作⊙O的直径AQ,连结PQ,则∠BAC ＝∠BAQ -∠1＝∠APQ -∠2＝∠APC;当圆心O在∠CAB内时〔图2-4-3（3）〕,作⊙O的直径AQ,连结PQ,则∠BAC＝∠QAB +∠1＝∠QPA+∠2＝∠APC.图2-4-33.在证明弦切角定理的过程中,我们从特殊情况入手,通过猜想、分析、证明和归纳,从而证明了弦切角定理.通过弦切角定理的证明过程,要明确用运动变化的观点观察问题,进而理解从一般到特殊,从特殊到一般的认识规律.4.由弦切角定理,可以直接得出一个结论:若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等,我们把这一结论称为弦切角定理的推论,它也是角的变换的依据.5.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.这就建立了弦切角与弧的数量之间的关系,它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.三、刨根问底问题到目前为止,对于圆中有关的角我们已学过圆心角、圆周角、弦切角,它们各自有定义、定理及和它所对的弧的度数关系,这三种角在证明题和计算题中经常用到,它们相互之间有哪些联系和区别？探究:我们可用下表来分析它们的联系与区别.名称圆心角圆周角弦切角定义顶点在圆心的角顶点在圆上,两边和圆相交顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切图形有关定理①圆心角的度数等于它所对的弧的度数②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半弦切角等于它所夹弧所对的圆周角有关推论四者关系定理的推论圆周角定理的推论①②③弦切角定理的推论角与弧的关系∠AOB的度数=AB的度数∠ACB的度数=21的度数∠ACB的度数=21的度数活学巧用【例1】如图2-4-4,AD是⊙O的切线,AC是⊙O的弦,过C作AD的垂线,垂足为B,CB与⊙O 相交于点E,AE平分∠CAB,且AE =2,求△ABC各边的长.图2-4-4思路解析:∠BAE为弦切角,于是∠BAE=∠C,再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度数,进而解直角三角形即可.解:∵AD为⊙O的切线,∴∠BAE=∠C.∵AE平分∠CAB,∴∠BAC=2∠BAE.又∵∠C+∠BAC =90°,∴∠BAE =∠C =30°.则有BE =1,AB =3,BC =3,AC =23.【例2】如图2-4-5,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,经过点A 的⊙O 与BC 切于点D ,与AB 、AC 分别相交于E 、F .求证:EF ∥BC .图2-4-5思路解析:连结DF,构造弦切角,于是∠FDC =∠DAC ,根据AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线有∠BAD =∠DAC ,而∠BAD 与∠EFD 对着同一段弧,所以相等,由此建立∠EFD 与∠FDC 的相等关系,根据内错角相等,可以断定两直线平行. 证明:连结DF .∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD =∠DAC.∵∠EFD =∠BAD ,∴∠EFD =∠DAC . ∵⊙O 切BC 于D ,∴∠FDC =∠DAC . ∴∠EFD =∠FDC . ∴EF ∥BC .【例3】如图2-4-6,△ABC 内接于⊙O ,AB =AC ,直线XY 切⊙O 于点C ,弦BD ∥XY ,AC 、BD 相交于点E .（1）求证:△ABE ≌△ACD ;（2）若AB =6 cm,BC=4 cm,求AE 的长.图2-4-6思路解析:第（1）问中的全等已经具备了AB =AC ,再利用弦切角定理与圆周角定理可以得角的相等关系;对于（2）,则利用△BCE ∽△ACB 建立比例式,解方程获得AE 的长. （1）证明:∵XY 是⊙O 的切线,∴∠1=∠2.∵BD ∥XY ,∴∠1=∠3. ∴∠2=∠3.∵∠3=∠4,∴∠2=∠4. ∵∠ABD =∠ACD , 又∵AB =AC ,∴△ABE ≌△ACD .（2）解:∵∠3 =∠2,∠BCE =∠ACB , ∴△BCE ∽△ACB . ∴AC BC =CBCE. ∴AC ·CE = BC 2, 即AC ·(AC -AE )=BC 2.∵AB =AC =6,BC =4, ∴6(6-AE )=16. ∴)(310cm AE. 【例4】 如图2-4-7,AB 和AC 与⊙O 相切于B 、C ,P 是⊙O 上一点,且PE ⊥AB 于E ,PD ⊥BC于D ,PF ⊥AC 于F.求证:PD 2= PE ·PF .图2-4-7思路解析:由结论先想到证△PDE ∽△PFD ,但这两个三角形相似的条件不够,注意到图中有切线AB 、AC ,构造弦切角. 证明:连结PB 、PC .∵AB 切⊙O 于B,则∠PBE =∠PCD . 又∵PE ⊥AB ,PD ⊥BC , ∴∠PEB =∠PDC =90°. ∴△PBE ∽△PCD . ∴PD PE =PCPB. ∵AC 切⊙O 于C , ∴∠PCF =∠PBD . 又∵PF ⊥AC ,PD ⊥BC , ∴∠PFC =∠PDB =90°. ∴△PBD ∽△PCF.∴PF PD =PC PB. ∴PD PE =PFPD . ∴PD 2 =PE ·PF .。
