弦切角的性质(9张) 高中数学 选修4-1 新人教A版PPT课件

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[悟一法]
充分利用圆周角定理、圆内接四边形的性质、平行 四边形性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有 关问题的桥梁，证明三角形相似是解决此类问题的有效
途径．
[通一类] 3．AB是圆O的直径，过A、B作两弦AC和BD相交于E，求 证：AB2＝AE· AC＋BE· BD. 证明：如图，AB是圆的直径． AC与BD相交于E，作EF⊥AB，F为垂足．
[通一类] 1．如图，NA与⊙O切于点A，AB和AD是 ⊙O的弦，AC为直径，试指出图中有 哪几个弦切角？
解：弦切角分三类：如题图：
(1)圆心在角的外部； (2)圆心在角的一边上； (3)圆心在角的内部． 即∠BAN、∠CAN、∠DAN为弦切角.
[研一题] [例2] 已知：AB切⊙O于A，OB交⊙O于C，AD⊥
法四：如图，过C作⊙O的切线交AB于G
∵AB是⊙O的切线， ∠CAG＝∠ACG， 又∵OC⊥CG，AD⊥OB， ∴CG∥AD.
∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.
[悟一法] (1)由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角
有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来
综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的 一个条件． (2)借助弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的 弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形
OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB. 分析：本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要
根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．
证明：法一：如图，延长 AD 交⊙O 于 E，AB 切⊙O 于 A， ∵CD⊥AE， ∴ ＝ CE . AC
又∵∠DAC 的度数等于 CE 度数的一
半，
AC ∠CAB 的度数等于 度数的一半，

知能达标演练
课后习题解答
【考题2】 (2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点， 过A作两圆的切线分别交两圆于 C， D两点，连结 DB并延长交 ⊙O于点E.
证明
(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE.
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证明
(1)由 AC 与圆 O′相切于点 A， 得∠CAB＝∠ADB；
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反思感悟
(1)弦切角是很重要的与圆相交的角．其主要功能是协
调与圆相关的各种角，如圆心角、圆周角等，是连接圆与三角形
全等、三角形相似及与圆相关的各种直线位置关系的桥梁．
(2)弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用 三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或 等积式，常常需要借助于三角形相似处理． (3)弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在
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课后习题解答
解
如图所示，连接 BD.
∵AC 为⊙O 的切线，∴∠ADE＝∠ABD. ∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD， AD BD BD 2 DE 1 ∴ AE ＝DE，即DE＝1，∴BD＝2. DE 1 ∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE＝90° ，∴tan∠ABD＝BD＝2. ∵∠F＋∠BEF＝90° ，∠ABD＋∠BEF＝90° ， 1 ∴∠ABD＝∠F，∴tan∠F＝tan∠ABD＝ . 2
②一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；
③一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)． 三者缺一不可，例如图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切 角，因为 AD 与圆相交， ∠ BAE 也不一定是弦切角，只有已知 AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．

������������ ∥ ������������⇒∠������������������ = ∠������������������ ������������切☉������于点������⇒∠������������������ = ∠������
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟比例式(或乘积式)的证明方法 1.证明乘积式成立,往往与相似三角形有关.若存在切线,常要寻 找弦切角,确定三角形相似的条件,有时需要添加辅助线创造条件. 2.直接证明比例式或乘积式有困难时,可考虑把它分解成两个比 例式的形式.
解析:∵PA是圆O的切线,∴∠BAP=∠BCA.
������������ 又∠BAC=∠APB,∴△BAP∽△BCA,∴������������
=
∴AB2=PB· CB=7×5=35,故 AB=√35.
答案:√35
������������ , ������������
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.与弦切角定理有关的结论 (1)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. (2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半. (3)如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等.
【做一做2】 如图,正三角形ABC内接于圆O,CP是圆O的切线,则 ∠ACP=( )
A.90° B.30°C.60° D.75° 解析:因为△ABC是正三角形,所以∠B=60°.又因为CP是圆O的切 线,所以∠ACP=∠B=60°. 答案:C
四
弦切角的性质
学 习 目 标 1.理解弦切角的概念. 2.掌握弦切角定理,并能运 用定理解决问题.
思 维 脉 络 弦切角的性质 概念 弦切角定理—应用

弦切角的性质
1．弦切角的定义 顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫 做弦切角． 温馨提示 弦切角具备的三个条件：(1)顶点在圆上 (顶点为切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在的直线 为圆的切线)；(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．
2．弦切角的性质定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
类型 2 利用定理求线段的长度、证明线段相等
[典例 2] 如图所示，P 是⊙O 外一点，PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交与点 B，C，PC＝2PA， D 为 PC 的中点，AD 与延长线交⊙O 于点 E.
证明：BE＝EC.
证明：连接 AB，AC(如图)．
由题设知 PA＝PD. 故∠PAD＝∠PDA. 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋解题的第一步是要准确找到 弦切角．弦切角的特点是：(1)顶点在圆上；(2)一边是圆 的弦；(3)一边与圆相切．第二步是要准确地找到弦切角 所夹的弧，再看这段弧所对的圆周角或圆心角．再结合弦 切角定理、圆周角定理进行推理证明．
2．利用弦切角解决与角有关的问题的步骤：(1)根据 图形及弦切角的定义找出与题目有关的弦切角；(2)利用 弦切角定理找出与其相等的角；(3)综合运用相关的知识 进行角的求解．
∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAD，从而B︵E＝E︵C， 因此 BE＝EC.
归纳升华 1．利用弦切角定理证明线段相等的技巧． 利用弦切角定理证明线段相等时，常常通过弦切角定 理获得角相等，然后再转化为线段相等的关系，从而解决 问题．
2．比例式(或等积式)的证明方法． 证明比例式(或等积式)成立，往往与相似三角形有 关，若存在切线，常要寻找弦切角．确定三角形相似，有 时需要添加辅助线创造条件．

1.如图,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过点 C 作圆的切线
l,过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D,则线段 CD 的长为
.
解析:∵直线 l 是圆 O 的切线, ∴∠ACD=∠ABC, ∠BCE=∠BAC. 又 AB 是直径,∴AC⊥BC. ∵BC=3,AB=6,
∴∠ABC=60°.∴AC=3 3.
证明:连接 DF,如图所示,
∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠DAC. ∵∠EFD=∠BAD,∴∠EFD=∠DAC. ∵BC 切☉O 于 D,∴∠FDC=∠DAC. ∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC. 当已知条件中出现圆的切线时,借助于弦切角定理,常用角的关系 证明两条直线平行:(1)内错角相等,两条直线平行;(2)同位角相等,两条 直线平行;(3)同旁内角互补,两条直线平行等.证题时可以根据图形与已 知合理地选择.
☉O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,则∠BAD=
.
错解:∵AD⊥AC, ∴∠BAD 是弦切角. ∴∠BAD=∠C.
又∠C=32°,∴∠BAD=32°.
错因分析:错解中,误认为∠BAD 是弦切角,其实不然,虽然 AD⊥AC,但 AD 不是切线.
正解:∵∠C+∠B+∠BAC=180°, ∴∠BAC=180°-∠C-∠B=38°.
∴∠ACE=∠ABC.
∴∠ACE=∠BCD.
(2)∵∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, ∴△BDC∽△ECB.∴BBCE = CBDC, 即 BC2=BE×CD.
5.如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是圆周上一点(异于点 A,B),过点 C 作 圆 O 的切线 l,过点 A 作直线 l 的垂线 AD,垂足为点 D.AD 交半圆于 点 E.求证:CB=CE.

在△PAB中, ∠APB=180-∠PAB-∠ABP
A
O P
由弦切角定理,得 ∠PAB=∠ACB=∠ABP,
C B
∴ ∠APB=180-2∠ACB
在Rt△ABC中,∠BAC=90-∠ACB
∴ ∠APB=2∠BAC
•
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进
∠BAC=∠CAP+∠PAB=90+∠PAB
E
而∠PAB=∠PCB
∴∠BCE=∠BAC
C
综合 (1) (2) (3), 题意即证.
O
A
P
B
观察
如上三个图,图中每个角的共同特点是什么？
知识要 点
弦切角定义：
顶点在圆上，一边和圆相交、另一 边和圆相切的角 .
归纳
C
E EC
E C
OB
O
O
A
A
B
A B
人就会从卑微中站起来，带着封存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自
决定今天的你，所以，过去的懒惰，决定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你
想象困难做出的反应，不是逃避或绕开它们，而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用
志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋
刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的

1. 弦切角定理
(1)文字语言叙述： 弦切角等于它 所夹的弧 所对的圆周角． (2)图形语言叙述： 如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝ ∠D .
[说明]
弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心
角的度数等于它所对弧的度数．
[例 1]
BD
(2010· 新课标全国卷)如图，已知圆上的弧 C ＝ A
(1)如果AB∥CD，那么AM＝MB；
(2)如果AM＝BM，那么AB∥CD. 证明：(1)∵CD切⊙O于M点， ∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B. ∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴∠A＝∠B，故AM＝MB.
(2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B. ∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B， ∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.
(2)连接DE， ∵⊙O切BC于D， ∴∠BAD＝∠BDE. 由(1)可得∠BDE＝∠FAD， 又∵⊙O内接四边形AEDF， ∴∠BED＝∠DFA. ∴△BED∽△DFA. DE BE ∴AF ＝DF. 又∵∠BAD＝∠CAD， ∴DE＝DF.∴DF2＝AF· BE.
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利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦
切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆
周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅 助线构成所需要的弦切角．
1．如图所示，AB、CB分别切⊙O于D、E，找出图中
所有弦切角．
解：∠ADE、∠BDE、∠CED、∠BED是弦切角．
2. 如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线， 求证：
(2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB， ∴△ADC∽△ACB. AD AC ∴AC ＝AB， ∴AC2＝AD· AB. 5 ∵AD＝2，AC＝ 5，∴AB＝ . 2

A．120°
B．150°
C．90°
D．100°
【答案】A 【解析】在优弧AB上取一点，连接AE，BE，∠BAD是弦 切 角 ， 则 ∠ AEB ＝ ∠ BAD ＝ 60° ， ∴ ∠ ACB ＝ 180° － ∠ AEB ＝ 120°.
3．如图，直线BC切⊙O于B，AB＝AC，AD＝BD，则∠A
＝( )
所以△ABE≌△ACD．
(2)因为∠3＝∠2，∠BCE＝∠ACB， 所以△BCE∽△ACB，BACC＝CCEB，所以 AC·CE＝BC2. 因为 AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm， 所以 6·(6－AE)＝16.所以 AE＝130 cm.
在运用弦切角时，首先应根据弦切角的概念准确地找出弦 切角，然后运用弦切角进行相关的计算、论证．弦切角的运用 主要体现在以下几个方面：
第4课时 弦切角的性质
1．顶点在圆上，一边和圆相交，另一边与圆__相__切__的角 叫作弦切角．
2．弦切角定理：弦切角___等__于_______它所夹的弧所对的 ___圆__周__角_____．
1 ． 如 图 ， 直 线 DE 与 圆 O 相 切 于 点 A ， 则 下 列 各 角 中 与
∠BAE相等的是( )
A．∠CAD
B．∠ACB
C．∠AOB
D．∠OAB
【答案】B
【解析】∠BAE 是弦切角，所夹弧为A︵B ，∠ACB 是A︵B 所
对的圆周角，由弦切角定理可得∠ACB＝∠BAE.故选 B．
2 ． 如 图 ， △ ABC 内 接 于 ⊙ O ， AD 切 ⊙ O 于 A ， ∠ BAD ＝
60°，则∠ACB＝( )
∵BF为圆的切线，
∴∠FBD＝∠BAD．
∵AD是∠BAC的平分线，

第二讲
直线与圆的位置关系
2.4 弦切角的性质
1．理解弦切角的定义． 2．掌握弦切角的性质定理，并能应用它们进行简 单的计算和证明．
相交 、另一边和 1．弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆__________ 相切 的角叫做弦切角． 圆________
2．弦切角的性质定理： _______________________________________________________. 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 3． 在⊙O 的直径 CB 延长线上取一点 A，AP 与⊙O 相切于点 P，
例3
证明：如图，连接 BD.
►变式训练
答案：∠C＝∠CAB
1．直线与圆相切是一种重要的、特殊的位置关系，在与弦切角 相关的证明题目中，重点是用好弦切角的定义和定理． 2．同学们要能在图形中准确地识别弦切角，并能正确应用弦切 角定理及其推论． 它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据， 常 常与圆周角、圆心角性质联合应用来证明、求解． 3．利用弦切角性质来证明两个角相等，再利用三角形相似证比 例中项，是一种较常见的题型．
⇒△ACE∽△ABC⇒ ∠CAE＝∠CAB
⇒∠ACD＝∠B
AC AE 2 ＝ ⇒ AC ＝AB· AE. AB AC 点评： 此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等， 再利用 三角形相似证比例中项，这样的类型题较常见．
►变式训练
1． PC 与⊙O 相切于 C 点， 割线 PAB 过圆心 O， 则 PC2 是 PA· PB 的________倍．
3 , 且∠APB＝30° ，AP＝ 3，则 CP＝________.
题型1
比例式证明
例1 已知 MN 是⊙O 的切线，点 A 为切点，MN 平行于弦 CD，弦

题型一 题型二 题型三
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Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
证明:连接BD,如图.
∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠BAD=∠CAD.
又∠BCD=∠BAD, ∠CBD=∠CAD,
∴∠BCD=∠CBD. ∴BD=CD.
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四 弦切角的性质
答案:52° 反思在利用弦切角定理解决问题时,要注意所涉及的角是不是弦 切角,即弦切角的三个条件缺一不可.
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四 弦切角的性质
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四 弦切角的性质
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Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
1.理解弦切角的概念,会判断弦切角. 2.掌握弦切角定理的内容,并能利用定理解决有关问题.
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四 弦切角的性质
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关系证明两条直线平行:①内错角相等,两条直线平行;②同位角相 等,两条直线平行;③同旁内角互补,两条直线平行等.证明时可以根
据图形与已知条件合理地选择.
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四 弦切角的性质
题型一 题型二 题型三
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Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
分析:连接DF,于是∠FDC=∠DAC,根据AD是∠BAC的平分线,有 ∠BAD=∠DAC,而∠BAD与∠EFD对着同一段弧,由此得到∠EFD 与∠FDC的相等关系,根据内错角相等,可以断定两条直线平行.
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四 弦切角的性质
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