人教版数学高二选修4-1课时作业四弦切角的性质

【全程复习方略】2013-2014学年高中数学第二讲四弦切角的性质课时作业（含解析）新人教A版选修4-11．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则( )A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA解析：选C.由弦切角定理知∠PCA＝∠B.2．已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，则∠C 等于( )A．45° B．40°C．35° D．30°解析：选B.如图，连接BD，∵∠BDA＝90°.又∵CD为⊙O的切线，切点为D，由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°.3．如图，已知AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是( )A．65° B．115°C．65°或115° D．130°或50°4．如图，在圆内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B.∵EF 切⊙O 于点C ，∴∠DCF ＝∠CAD ＝∠CBD ，∠BCE ＝∠BAC ＝∠BDC.∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠CAD.∴∠DCF ＝∠CAD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠BAC ＝∠BDC.∴图中与∠DCF 相等的角有5个．5．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为()A ．2B ．3C ．2 3D ．4解析：选C.连接BC ，则∠ACB ＝90°.∵AD ⊥EF ，∴∠ADC ＝90°. ∵EF 为⊙O 的切线，∴∠B ＝∠ACD.∴△ADC ∽△ACB.∴AD AC ＝ACAB ，即AC2＝AD·AB＝2×6＝12.∴AC ＝2 3.答案：45°135°45°90°7．已知AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝________.解析：连接BC.∵AB是⊙O的直径，PB切⊙O于B，∴∠ACB＝90°，∠ABP＝90°.又∠ACE＝40°，可求得∠PCB＝∠PBC＝50°，∴∠P＝80°.答案：80°8．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D 点，则CD＝________.解析：连接OC.∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2，OC＝2.∴PC＝2 3.∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝2×234＝ 3.答案： 39．如图，圆O 和圆O′相交于A ，B 两点，AC 是圆O′的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，求BD.解：∵AB 是弦，且AC 与圆O′相切于点A ，∴∠CAB ＝∠D ，∵AB 是弦，且AD 与圆O 相切于点A ，∴∠DAB ＝∠C ，∴△ABC ∽△DBA. ∴AB BD ＝BC AB ，∴BD ＝AB2BC ＝422＝8.10．如图，AB 是⊙O 的弦，CD 是经过⊙O 上的点M 的切线．求证：(1)如果AB ∥CD ，那么AM ＝MB ；(2)如果AM ＝BM ，那么AB ∥CD.证明：(1)CD 切⊙O 于M 点，∴∠DMB ＝∠A ，∠CMA ＝∠B.∵AB ∥CD ，∴∠CMA ＝∠A.∴∠A ＝∠B.∴AM ＝MB.(2)∵AM ＝BM ，∴∠A ＝∠B.∵CD 切⊙O 于M 点，∴∠CMA ＝∠B.∴∠CMA ＝∠A ，∴AB ∥CD.11．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 平分∠DAB.(1)求证：AD ⊥CD ；(2)若AD ＝2，AC ＝5，求AB 的长．解：(1)证明：如图，连接BC.∵直线CD 与⊙O 相切于点C ，∴∠DCA ＝∠B.∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB.∴∠ADC ＝∠ACB.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥CD.(2)∵∠DCA ＝∠B ，∠DAC ＝∠CAB ，∴△ADC ∽△ACB.∴AD AC ＝AC AB， ∴AC2＝AD·AB.∵AD ＝2，AC ＝5，∴AB ＝52.。

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1．弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部，如图①；(2)圆心在角的一边上，如图②；(3)圆心在角的内部，如图③.
思考1 你对弦切角是怎样理解的？
提示：弦切角的特点：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)另一边与圆相切．
弦切角定义中的三个条件缺一不可．如图①②③④中的角都不是弦切角．图①中，缺少“顶点在圆上”的条件；图②中，缺少“一边和圆相交”的条件；图③中，缺少“一边和圆相切”的条件；图④中，缺少“顶点在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件．
2．弦切角定理
证明两个角相等
提示：(1)由弦切角定理及圆周角定理可以得到： ①弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半； ②弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．
(2)由弦切角定理可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据．如图，DE 切⊙O 于点A ，若AB ＝
AC ，则∠BAD ＝∠CAE .
温馨提示 (1)弦切角定理的推论：若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．
(2)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础．
(3)圆心角、圆周角、弦切角的比较.。

高中数学 [重点校]河南师大附中高中数学选修4-1：24弦切角的性质学案【学习目标】理解弦切角的概念；掌握弦切角定理，并会运用它解决有关问题。

【自主学习】1.弦切角的定义：_________________________________________________.2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的_________________________.【自主检测】1. 右面各图形中的角是弦切角的是 （填写正确的序号），并说明理由：2.AB 切⊙O 于A 点，圆周被AC 所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角BAC ∠=_______.3.如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒， 则DBE ∠的大小为( ) A. 20︒ B. 40︒ C. 60︒ D. 70︒【典例分析】例1.如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CE 和⊙O切于点C ， AD CE ⊥，垂足为D ，求证：AC 平分BAD ∠.例2.如图所示，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P . 求证：AD ∥EC .【目标检测】 1.如图，在⊙O 中，AB 是弦，AC 是⊙O 的切线，A 是切点，过B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD 则∠BAD=（ ） C O D C BD EO A高中数学 A. 300 B. 450 C. 500 D. 6002. 如图所示，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，试分别求∠CAB 、∠DCB 、∠ECA 的度数.3.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，∠求证：AD 是⊙O 的切线.4. 如图所示，圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)CD BE BC ⨯=2【总结提升】弦切角与圆周角是很重要的与圆相关的角.其主要功能在于协调与圆相关的各种角(如圆心角､圆周角等),是架设圆与三角形全等､三角形相似､与圆相关的各种直线(如弦､割线､切线)位置关系的桥梁.C E O A B。

1.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为直径，D为BC延长线上一点，PC切⊙O 于C点，∠PCD＝20°，则∠A＝()A．20°B．30°C．40°D．50°解析：选A.∵△ABC为⊙O的内接三角形，且AB为直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，由弦切角定理知∠ACP＝∠ABC，∵∠PCD＝20°，∴∠ACP＝∠ABC＝70°，∴∠A＝90°－∠ABC＝20°.A．α＞βB．α＝βC．α＜βD．不确定解析：选B.连接AB、AO，∴∠PAC＝∠ABC，∠PBC＝∠BAC，∴α＝∠PAC＋∠PBC＝12(∠PAB ＋∠PBA ) ＝12(180°－∠APB )． ∵AO ＝r ，PA 切⊙O 于A ，AO ⊥PA 且PO ＝2r ，∴∠APO ＝30°，∴∠APB ＝2∠APO ＝60°，∴α＝12(180°－60°)＝60°＝β. 3.如图，AB 为圆的直径，弦AC 与AB 成30°角，DC 切圆于点C ，AB ＝5 cm ，则BD ＝( )A ．10 cmB ．5 cm C.52 cm D ．1 cm解析：选C.连接OC ，BC ，则知△ACB 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠BCD ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠BDC ＝30°，∴BD ＝BC ＝12AB ＝52cm.4．如图，在⊙O 中，AB 为弦，AC 为⊙O 的切线，过B 点作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙O 于E 点，若AE 平分∠BAD ，则∠ABD ＝________.解析：由弦切角定理知：∠DAE ＝∠ABD ，又AE 平分∠BAD ，∴∠DAE ＝∠EAB . ∵∠DAE ＋∠EAB ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD＝30°.答案：30°5.如图，AB为⊙O的直径，DA、DE为⊙O的两切线，A、C为切点，A、B、E共线，若BC的度数为60°，则∠CAD的度数为________，∠E的度数为________．答案：60°30°。

人教版高中选修4-1四弦切角的性质教学设计一、教学目标1.让学生了解四弦切角的定义及其相关概念2.能够运用相应方法计算四弦切角的大小3.能够理解和应用四弦切角的性质，解决相关问题4.培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力二、教学内容及步骤安排1. 课前铺垫（10分钟）•提问：在之前的学习中，是否接触过关于三角形的知识？•引入：介绍四弦切角的背景及相关实际应用，激发学生学习的兴趣。

2. 理论介绍（25分钟）•定义四弦切角的概念，讲解相应的图形和术语•介绍四弦切角的计算公式和步骤•通过例题演示如何计算四弦切角的大小3. 练习与巩固（30分钟）•由学生完成一些相应难度的独立或小组习题，老师在课堂上及时辅导授课；•收集学生答案并进行讲解，发现学生在学习中的问题并进行指导。

4. 总结归纳（10分钟）•回顾本节课的重点概念和计算公式；•强调四弦切角的应用以及相关的优秀数学问题。

三、教学方法1.探究式教学法：通过引导学生阐述自己对“四弦切角”的理解，来培养学生推理和判断能力；2.演示法：通过定理的演示、例题的引导等方式来让学生更加形象地理解“四弦切角”的计算方法；3.合作探究法：通过小组讨论和合作解题等方式，促进学生之间的合作和交流，增强学生的团队意识。

四、教学评估1.考试：通过课堂联系、同步的习题以及阶段性测试等方式来考察学生的理论知识及计算方法的掌握情况；2.互动答题：在课堂中提供一些互动答题的机会，让学生了解自己的学习情况并能及时纠正错误；3.作品评比：鼓励学生制作特色作品，如数学拓展题、创意游戏等，提升学生的创造性和运用性。

A C O B O
D
几何画板 稍等片刻
已知, △ABC 内接于⊙O, CE 切⊙O 于点 C. 求证: ∠ECB=∠A. C 证明: (1) 当圆心在 CB 上时, ∠ECB 为直角, ∠A是直径所对的圆周角, 也是直角, A ∴∠ECB=∠A. (2) 当圆心 CA 与 CB 之间时, C 作直径 CP, 连接 AP. ∠ECB=90-∠BCP, ∠BAC=90-∠BAP, A ∵∠BCP 与∠BAP 对同弧 BP, ∴∠BCP =∠BAP, 则∠ECB=∠BAC (∠A).
D
2. 如图, ⊙O 和 ⊙O 都经过 A、B 两点, AC 是 ⊙O 的切线, 交 ⊙O 于点 C, AD 是 ⊙O 的切线, 交 ⊙O 于点 D, 求证: AB2=BC· BD.
证明: ∵AC 切⊙O于点 A, AB 是⊙O的弦. ∴∠CAB=∠ADB,
∵AD 切⊙O 于点 A, AB 是⊙O的弦. ∴∠DAB=∠ACB, 则 △ABC∽△DBA, AB BC = , BD AB 即 AB2=BC· BD.
证明: ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90, ∵AD⊥CE, 垂足为 D, ∴∠ADC=90, 又∵CE 和⊙O 切于点 C, ∴∠ACD=∠ABC, ∴Rt△ABC∽Rt△ACD, 得∠BAC=∠CAD,
B O
A
E C D
∴ AC 平分∠BAD.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【课时小结】
弦切角及其性质 一个角的顶点在圆上, 一边是圆的弦, 另一边是圆的切线, 我们把这个角叫做弦 切角.
E
O B E
O P
B
已知, △ABC 内接于⊙O, CE 切⊙O 于点 C. 求证: ∠ECB=∠A. 证明: (3) 当CA、CB在圆心的同旁时, E 与 (2) 同理: C 作直径 CP, 连接 AP. ∠ECB=90+∠BCP, O ∠BAC=90+∠BAP, A P ∵∠BCP 与∠BAP 对同弧 BP, B ∴∠BCP =∠BAP, 则∠ECB=∠BAC (∠A). 一个角的顶点在圆上, 一边是圆的弦, 另一边是 圆的切线, 我们把这个角叫做弦切角.

主动成长夯基达标1.如图2-4-8,AB 是半圆O 的直径,C 、D 是半圆上的两点,半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ,∠PCB ＝25°,则∠ADC 为（ ）图2-4-8A.105°B.115°C.120°D.125°思路解析:连结AC,构造出圆周角∠ADC 所对弧的弦切角,即∠PCA ,而∠PCA 显然等于∠PCB 加上一个直角,由此即得结果.答案:B2.如图2-4-9,AB 是⊙O 的直径,EF 切⊙O 于C ,AD ⊥EF 于D ,AD =2,AB =6,则AC 的长为（ ）图2-4-9A.2B.3C.23D.4思路解析:连结BC ,构造出弦切角所对的圆周角,由已知有△ADC 与△ACB 相似,所以可得AC AD =ABAC,代入数值得关于AC 的方程.答案:C3.如图2-4-10,AB 是⊙O 的弦,CD 是经过⊙O 上的点M 的切线. 求证:图2-4-10(1)如果AB ∥CD,那么AM =MB ; (2)如果AM =BM ,那么AB ∥CD .思路分析:本题的两个问题互为逆命题,利用弦切角在中间起桥梁作用,如第（1）题,由平行得∠B =∠DMB ,由弦切角得∠DMB =∠A ,于是有∠A =∠B .证明:(1)CD 切⊙O 于M 点,∴∠DMB =∠A ,∠CMA =∠B . ∵AB ∥CD ,∴∠CMA =∠A . ∴∠A =∠B .∴AM =MB . (2)∵AM =BM ,∴∠A =∠B .∵CD 切⊙O 于M 点,∴∠DMB =∠A ,∠CMA =∠B.∴∠CMA =∠A .∴AB ∥CD.4.如图2-4-11,四边形ABED 内接于⊙O ,AB ∥DE ,AC 切⊙O 于A,交ED 延长线于C .求证:AD ∶AE =DC ∶BE .图2-4-11思路分析:求证成比例的四条线段正好在两个三角形△ACD 和△ABE 中,所以只要证明△ACD ∽△ABE 即可.证明:∵四边形ABED 内接于圆,∴∠ADC =∠ABE . ∵AC 是⊙O 的切线, ∴∠CAD =∠AED .∵AB ∥DE ,∴∠BAE =∠AED . ∴∠CAD =∠BAE . ∴△ACD ∽△ABE . ∴AD ∶AE =DC ∶BE .5.如图2-4-12,P 为⊙O 的直径CB 延长线上的一点,A 为⊙O 上一点,若=,AE 交BC 于D ,且∠C =21∠PAD.图2-4-12(1)求证:PA 为⊙O 的切线; (2)若∠BEA =30°,BD ＝1,求AP 及PB 的长.思路分析:对于（1）,A 已经是圆上一点,所以可以连结OA ,证明PA 与OA 垂直;对于（2）,将∠E 利用圆周角定理转移到Rt △ODA 和Rt △OAP 中,解直角三角形即可得到线段AP 及PB 的长.（1）证明:连结AO ,∵=,BC 为直径,∴A E ⊥BC ,AD =DE , =DE.∵OA =OB,∴∠C =∠3. ∴∠1=2∠C . 又∵∠C =21∠PAD,∴∠1=∠2. ∵∠1+∠4=90°, ∴∠2+∠4=90°. ∴PA ⊥OA.∴PA 为⊙O 的切线.（2）解:在Rt △EBD 中,∵∠BEA =30°,BD ＝1,∴BE =2,DE =3.在Rt △ODA 和Rt △EBD 中,∠4=90°-∠1=90°-2∠C =90°-2∠E =30°=∠E ,∠ODA =∠BDE ,AD =ED ,∴Rt △ODA ≌Rt △EBD .∴AD =DE =3,OD =BD =1,OA =BE =2. 在Rt △OAP 中,∵AD ⊥OP ,∴AD 2=OD ·DP ,即2)3(=1·DP .∴DP =3. ∴BP =2.在Rt △ADP 中,根据勾股定理,得22DP AD AP +==223)3(+=32.6.如图2-4-13,BA 是⊙O 的直径,AD 是⊙O 的切线,切点为A ,BF 、BD 交AD 于点F 、D ,交⊙O 于E 、C ,连结CE .求证:BE ·BF =BC ·BD .图2-4-13 思路分析:要证BE ·BF =BC ·BD ,只需证△BEC ∽△BDF ,∠DBF 为公共角,只需再找一组角相等,为此,过B 作⊙O 的切线,构造弦切角.证明:过B 作⊙O 的切线BG ,则BG ∥AD ,∴∠GBC =∠BDF . 又∵∠GBC =∠BEC , ∴∠BEC =∠BDF .而∠CBE为公共角,∴△BEC∽△BDF.∴BE·BF =BC·BD.7.如图2-4-14,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACB的平分线CE 交AB于D,交⊙O于E,过E点作⊙O的切线交CB的延长线于F.求证:AE2 =AD·EF.图2-4-14思路分析:要证AE2=AD ·EF,考虑相似三角形,但AE、AD、EF所在三角形不相似,因此要找线段等量代换.证明:连结BE,⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠∠+∠=∠∠+∠=∠5FEB522FEBEOEFADEFBE413243ADE21FBE于切圆⇒△FEB∽△EADBEAD=EFAE.又∵∠3=∠2⇒BE=AE⇒BE =AE,则AE2=AD·EF.8.如图2-4-15,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,C是上一点,已知⊙O的半径为r,PO =2r,设∠PAC+∠PBC =α,∠APB =β,则α与β的大小关系为()A.α>βB.α=βC.α<βD.不能确定思路解析:连结AB、AO,∵PA、PB为切线,∴∠PAC=∠ABC,∠PBC=∠BAC.∴α=∠PAC +∠PBC =∠PAC +∠BAC =∠PAB =∠PBA =)180(21APB ∠-︒ =)180(21β-︒. ∵AO =r,PA 切⊙O 于A ,∴AO ⊥PA ,且PO =2r. ∴∠APO = 30°.∴∠APB =2∠APO =60°.∴β=60°. ∴α=21(180°-60°)=60°.∴α=β. 答案:B图2-4-159.如图2-4-16,已知AB 为⊙O 的直径,P 为AB 延长线上一点,PT 切⊙O 于T ,过点B 的切线交AT 延长线于D ,交PT 于C .图2-4-16(1)试判断△DCT 的形状.(2)△DCT 有无可能成为正三角形?若无可能,说明为什么;若有可能,求出这时PB 与PA 应满足的条件.思路分析:要判断△DCT 的形状,先考虑其内角的关系,注意到CT 、CB 为切线,则连结BT ,可用弦切角定理推论得∠ATB =∠BTD =90°,从而可判断△DCT 的形状.解:(1)连结BT ,∵CB 、CT 为⊙O 的切线,∴∠CTB =CBT .又AB 为⊙O 的直径,∴∠ATB =∠DTB =90°. ∴∠DTC =90°-∠CTB , ∠D =90°-∠CBT .∴∠DTC =∠D ,即CD =CT . ∴△DCT 为等腰三角形.(2)若△DCT 为正三角形,则∠D =60°, 由(1)知∠CBT =90°-∠D =30°, 而CB 切⊙O 于B, ∴∠A =∠CBT =30°. ∴在Rt △ATB 中,AB TB =sin30°=21, 且∠ABT=90°-30°=60°,∠ABT =∠CTB +∠P .而∠CTB =∠CBT =30°, ∴∠P =30°.∴∠P =∠CTB .∴PB = TB .∴AB PB =21, 即当PB ∶PA =1∶3时,△DCT 为正三角形. 走近高考10.如图2-4-17,AB 是⊙O 的直径,PB 切⊙O 于点B ,PA 交⊙O 于点C ,∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ,交⊙O 于点F,∠A =60°,并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2-kx +32=0的两个根(k 为常数).图2-4-17(1)求证:PA ·BD =PB ·AE ;(2)证明⊙O 的直径长为常数; (3)求tan ∠FPA 的值.思路分析:(1)由△PBD ∽△PAE 即可证得.(2)由韦达定理知AE +BD =k,只需证BE =BD ,这可由角的相等证得.(3)要求tan ∠FPA ,先将∠FPA 转化到直角三角形中,而∠FPB =∠FPA ,∠FPB 恰好在Rt △PBE 中,解此三角形即可.(1)证明:∵PB 切⊙O 于点B ,∴∠PBD =∠A .又PE 平分∠APB ,∴∠APE =∠BPD .∴△PBD ∽△PAE .∴PA PB =AEBD . ∴PA ·BD = PB ·AE .(2)解:由(1)知∠APE =∠EPB ,又∵∠BED =∠A +∠EPA ,∠BDE =∠PBC +∠EPB , ∴∠BED =∠BDE .∴BE =BD .∵AE 、BD 为方程x 2-kx +32=0的两个根, ∴A E +BD =k =AB . ∴⊙O 的直径为常数k .(3)解:∵PB 切⊙O 于点B ,AB 为直径, ∴∠PBA =90°.∵∠A =60°, ∴PB =PA ·sin60°=PA 23. 由(1)得PA ·BD =PB ·AE , ∴AE BD 23. ∵AE 、BD 的长是方程x 2-kx +32=0的两个根, ∴AE ·BD =32.∴AE =2,BD =3.∴32+=AB .在Rt △PBA 中,PB =AB ·tan60°=(32+)·3=323+.在Rt △PBE 中,tan ∠BPE =PB BE =3233+ =32-, 又∠FPA =∠BPF ,∴tan ∠FPA =32-.11.如图2-4-18(1),四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,A 是的中点,过A 点的切线与CB 的延长线交于点E .(1) (2)图2-4-18(1)求证:AB ·DA =CD ·BE ;(2)如图2-4-18(2),若点E 在C B 延长线上运动,使切线EA 变为割线EFA ,其他条件不变,问具备什么条件使原结论成立?思路分析:(1)只需证△ABE ∽△CDA .(2)如题图(2),要使结论仍然成立,注意到∠ABE =∠ADC 始终成立,因此仍然只需使△ABE ∽△CDA 即可,这样只要另一组对应角相等即可,即只需∠BAE =∠ACD 或∠E =∠CAD .(1)证明:连结AC ,∵AE 切⊙O 于A ,∴∠EAB =∠ACB . ∵AB =AD ,∴∠ACD =∠ACB . ∴∠EAB =∠ACD .又∵四边形ABCD 内接于⊙O , ∴∠ABE =∠CDA.∴△A BE ∽△CDA . ∴CD AB =DABE .∴AB ·DA =CD ·BE .(2)解:当BF =DA 时,∠EAB =∠ACD ,又∠ABE =∠ADC,∴△ABE ∽△ACD , ∴AB ·DA =CD ·BE ,此时仍然成立.12.如图2-4-19,已知C 点在⊙O 直径BE 的延长线上,CA 切⊙O 于A 点,∠BAC 的平分线交AE 于F 点,∠BCA 的平分线交AB 于D 点.图2-4-19(1)求∠ADF 的度数.(2)若∠ACB 的度数为y 度,∠B 的度数为x 度,那么y 与x 之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.(3)若AB =AC ,求AC ∶BC . 思路分析:（1）中由AC 为⊙O 切线可得∠B =∠EAC ,由CD 平分∠ACB 可得∠ACD =∠DCB ,根据三角形外角定理,得到∠ADF =∠AFD ,建立等腰三角形,再由顶角求底角;（2）中则利用三角形内角和定理得到方程,获得关系;（3）中求线段的比值,利用△ACE ∽△ABC 可得. 解:（1）∵AC 为⊙O 的切线,∴∠B =∠EAC . ∵CD 平分∠ACB ,∴∠ACD =∠DCB .∴∠B +∠DCB =∠EAC +∠ACD ,即∠ADF =∠AFD . ∵BE 为⊙O 的直径, ∴∠DAE =90°. ∴∠ADF =21(180°-∠DAE )=45°. （2）∵∠B =∠EAC ,∠B +∠BAC +∠ACB =180°,∴x+90+x +y =180. ∴y =90-2x .∵0<∠B <∠ADC , ∴0<x <45.∴y 与x 的函数关系式是y =90-2x ,其中x 的取值范围是0<x <45. （3）∵∠B =∠EAC ,∠ACB =∠ACB , ∴△ACE ∽△BCA . ∴BC AC =ABAE. ∵AB =AC ,∴∠B =∠ACB ,即x =y .又∵y =90-2x ,∴x =90-2x ,x =30. ∴在Rt △ABE 中,BC AC =ABAE=tan ∠ABE =tan30°=33.。

四弦切角的性质1.通过对弦切角定理的探究，体会分类思想、特殊化思想和化归思想在数学中的作用.2.理解弦切角定理，能应用定理证明相关的几何问题．1．在前面我们研究过与圆有关的哪两种角？这两种角是如何定义的？答案前面我们研究过圆心角和圆周角；顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角，顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中圆心角与圆周角各有什么性质，它们又有怎样的关系？答案在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．3．如下图，圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.这时∠BAE还是圆周角吗？为什么？答案不是圆周角，因为角的一边与圆相切，只有角的两边都与圆相交时，才是圆周角．1．弦切角的概念定义：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图所示，∠ACD和∠BCD都是弦切角．2．弦切角定理定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．3．与弦切角定理有关的结论(1)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．(2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半．(3)如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等.要点一利用弦切角解决与角有关的问题例1如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE垂足为D，求证：AC平分∠BAD.证明连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°，∵AD⊥CE，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＋∠DAC＝90°.又∵AC是弦，且直线CE和⊙O切于点C，∴∠ACD＝∠B.∴∠DAC＝∠CAB，即AC平分∠BAD.规律方法(1)利用弦切角解决与角有关问题的步骤：①根据图形及弦切角的定义找出与题目有关的弦切角；②利用弦切角定理找出与其相等的角；③综合运用相关的知识进行角的求解．(2)要注意圆周角定理、圆内接四边形的性质定理、相似三角形、射影定理等知识的综合应用．跟踪演练1如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C.求证：∠ATC＝∠TBC.证明∵CT切⊙O于T，∴∠DTA＝∠ABT，∵∠ATC＋∠DTA＝180°，∠TBC＋∠ABT＝180°.∴∠ATC＝∠TBC.要点二利用弦切角解决与长度有关的问题例2 如图，已知MN 是⊙O 的切线，A 为切点，MN 平行于弦CD ，弦AB 交CD 于E ，求证：AC 2＝AE ·AB . 证明 连接BC ，⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥CD ⇒∠MAC ＝∠ACD MN 切⊙O 于A ⇒∠MAC ＝∠B ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠ACD ＝∠B ∠CAE ＝∠CAB⇒△ACE ∽△ABC ⇒AC AB ＝AEAC⇒AC 2＝AB ·AE .规律方法 (1)此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等，再利用三角形相似证比例中项，这种类型的题较常见．(2)证明线段相等，借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识，我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等． 跟踪演练2 已知P A 是圆O (O 为圆心)的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，AC ＝3，∠P AB ＝30°，则线段PB 的长为________． 答案 1解析 连接OA ，又P A 为⊙O 切线， ∴∠OAP ＝90°，∠C ＝∠P AB ＝30°， ∴∠OBA ＝∠OAB ＝60°， ∴∠P ＝∠P AB ＝30°，∴PB ＝AB ， 又AC ＝3，BC 为⊙O 直径， ∴∠CAB ＝90°，∴AB ＝1，∴PB ＝1. 要点三 弦切角的综合应用例3 如图所示，CF 是⊙O 的直径，CB 是⊙O 的弦，CB 的延长线与过点F 的⊙O 的切线交于点P .(1)如图①，如果∠P＝45°，PF＝10，求⊙O的半径长；(2)如图②，如果E是BC上的一点，且满足PE2＝PB·PC，连接FE并延长交⊙O于点A，求证：点A是BC的中点．(1)解∵PF是切线，∴△PCF是直角三角形，∵∠P＝45°，∴PF＝CF，∴2r＝PF＝10，∴r＝5，∴⊙O的半径为5.(2)证明如图所示，连接FB.∵FP是⊙O的切线，∴∠PFB＝∠FCB.又∵∠P＝∠P，∴△PBF∽△PFC，∴PBPF＝PFPC，∴PF2＝PB·PC.又∵PE2＝PB·PC，∴PF2＝PE2，∴PF＝PE，∴∠EFP＝∠FEP.又∵∠EFB＝∠EFP－∠BFP，∠CFE＝∠FEP－∠FCB，∴∠EFB＝∠CFE. ∴点A为弧BC的中点．规律方法(1)弦切角是与圆相关的很重要的角．其主要功能是协调与圆相关的各种角，如圆心角、圆周角等，是连接圆与三角形全等、三角形相似及与圆相关的各种直线位置关系的桥梁．(2)弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理．(3)弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现．跟踪演练3如图所示，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，过⊙O1上一点P作直线P A、PB分别交⊙O2于点C和点D，EF切⊙O1于点P.求证：EF∥CD.证明连接AB，∵EF是⊙O 1切线，由弦切角定理知，∠FP A＝∠PBA，又在⊙O2中，四边形ABDC为圆内接四边形，∴∠C＝∠ABP，∴∠FP A＝∠C，∴EF∥CD.例4 如图，已知圆上的AC ＝BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明： (1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ·CD .证明 (1)因为AC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠ABC . 又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ， 所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CDBC，即BC 2＝BE ·CD .规律方法 本题主要考查圆内接四边形、圆的切线、圆周角、弦切角、三角形相似、弦之间的关系，题目难易适中，重在考查对平面几何中基本知识的掌握． 跟踪演练4 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E . 证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .证明 (1)由AC 与圆O ′相切于点A ，得∠CAB ＝∠ADB ；同理，∠ACB ＝∠DAB ，从而△ACB ∽△DAB ，所以AC AD ＝ABBD ⇒AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与圆O 相切于点A ，得∠AED ＝∠BAD ； 又∠ADE ＝∠BDA ，从而△EAD ∽△ABD . 所以AE AB ＝ADBD ⇒AE ·BD ＝AD ·AB .又由(1)知，AC ·BD ＝AD ·AB ，所以AC ·BD ＝AE ·BD ⇒AC ＝AE .1．如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F .已知∠B ＝50°，∠C＝60°，连接OE 、OF 、DE 、DF ，那么∠EDF 等于( ) A ．40° B ．55° C ．65° D ．70°答案 B解析 ∵∠B ＝50°，∠C ＝60°，∴∠A ＝70°，∴∠EOF ＝110°，∴∠EDF ＝55°.2．如图，AB 是⊙O 直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 连接OC ，BC ， ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ， ∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P ， ∵PC 切⊙O 于C 点， ∴OC ⊥PC ，∴∠A ＝∠P ＝∠ACO ＝13(180°－90°)＝30°，∴∠BOC ＝60°，∴△BOC 为等边三角形，∴OB ＝BC ， ∵∠PCB ＝∠A ，∴∠PCB ＝∠P ， ∴BC ＝PB ＝1，∴OB ＝1.3．如图所示，AD 切⊙O 于点F ，FB ，FC 为⊙O 的两弦，请列出图中所有的弦切角_____________．答案 ∠AFB 、∠AFC 、∠DFC 、∠DFB解析 弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．4．如图所示，已知AB与⊙O相切于点M，且MC＝MD，且MC、MD的长为圆周长的四分之一，则∠AMC＝______，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝______.答案45°135°45°90°解析弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对的圆心角度数的一半．1．弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对的(夹在弦切角内部的)一条弧．如图所示，弦切角∠BCD所夹的弧是CD，弦切角∠ACD所夹的弧是CMD.2．弦切角定理的证明同圆周角定理的证明极相似，同样是按圆心与角的位置关系分情况(如图所示)进行证明．(1)圆心在弦切角∠BAC一边上；(如图a)(2)圆心在弦切角∠BAC外部；(如图b)(3)圆心在弦切角∠BAC内部．(如图c)3．圆心角、圆周角、弦切角三者之间的区别圆心角圆周角弦切角图形顶点位置在圆心O 在圆周上在圆周上两边与圆的关系两边都和圆相交两边都和圆相交一边和圆相切，一边和圆相交4.在圆中有许多相等的角，利用这些相等的角我们能找出许多与圆有关的相似三角形，进而能得到许多线段的数量关系．因而，充分利用圆的有关性质定理如圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有关问题的桥梁，达到解决问题的目的．。

D 化归 A
B
A C
弦切角
E
C
E
∵∠DAC=∠DCE=90° 且 ∠DAB=∠DCB ∴∠BAC= 90°+ ∠DAB = 90°+ ∠DCB = ∠BCE ∴∠BAC = ∠BCE
弦切角性质定理：
弦切角等于它所夹的弧 对的圆周角．
例题分析
例1：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线 CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D. 求证： AC平分∠BAD． 分析： 要证AC平分∠BAD 即证∠1＝∠2 可证这两角所在的直角三 角形相似。 于是连结BC，得Rt△ACB
2.4弦切角的性质
复习回顾
下图圆中的∠BAC和∠BOC分别是什么角？
圆周角
圆周角定理 : 圆上一条弧所 对的圆周角等于其所对圆心 角的一半.
A
圆心角
O B
C
p
B
A
p
B A
p
B
A
p
B
A
p
B
A
p B
A
p
B
A
概念解读：
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的 p 角叫做弦切角。(如∠BPA)
B O 1
∟
2
A D
E
C
由弦切角性质 ∠ACD＝∠B ，故结论得证
解：连结BC ∵ AD⊥CE， AB是⊙O的 直径 ∴∠BCA=∠ADC=90°
B O 1 2 D A
又∵CD与圆相切
由弦切角性质∠ACD=∠ABC ∴RT△ACB ~ RT△ADB
E
C
∴∠1=∠2
∴AC平分∠BAD
思路二： 连结OC
B O
3

1.如图,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过点 C 作圆的切线
l,过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D,则线段 CD 的长为
.
解析:∵直线 l 是圆 O 的切线, ∴∠ACD=∠ABC, ∠BCE=∠BAC. 又 AB 是直径,∴AC⊥BC. ∵BC=3,AB=6,
∴∠ABC=60°.∴AC=3 3.
证明:连接 DF,如图所示,
∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠DAC. ∵∠EFD=∠BAD,∴∠EFD=∠DAC. ∵BC 切☉O 于 D,∴∠FDC=∠DAC. ∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC. 当已知条件中出现圆的切线时,借助于弦切角定理,常用角的关系 证明两条直线平行:(1)内错角相等,两条直线平行;(2)同位角相等,两条 直线平行;(3)同旁内角互补,两条直线平行等.证题时可以根据图形与已 知合理地选择.
☉O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,则∠BAD=
.
错解:∵AD⊥AC, ∴∠BAD 是弦切角. ∴∠BAD=∠C.
又∠C=32°,∴∠BAD=32°.
错因分析:错解中,误认为∠BAD 是弦切角,其实不然,虽然 AD⊥AC,但 AD 不是切线.
正解:∵∠C+∠B+∠BAC=180°, ∴∠BAC=180°-∠C-∠B=38°.
∴∠ACE=∠ABC.
∴∠ACE=∠BCD.
(2)∵∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, ∴△BDC∽△ECB.∴BBCE = CBDC, 即 BC2=BE×CD.
5.如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是圆周上一点(异于点 A,B),过点 C 作 圆 O 的切线 l,过点 A 作直线 l 的垂线 AD,垂足为点 D.AD 交半圆于 点 E.求证:CB=CE.

在△PAB中, ∠APB=180-∠PAB-∠ABP
A
O P
由弦切角定理,得 ∠PAB=∠ACB=∠ABP,
C B
∴ ∠APB=180-2∠ACB
在Rt△ABC中,∠BAC=90-∠ACB
∴ ∠APB=2∠BAC
•
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进
∠BAC=∠CAP+∠PAB=90+∠PAB
E
而∠PAB=∠PCB
∴∠BCE=∠BAC
C
综合 (1) (2) (3), 题意即证.
O
A
P
B
观察
如上三个图,图中每个角的共同特点是什么？
知识要 点
弦切角定义：
顶点在圆上，一边和圆相交、另一 边和圆相切的角 .
归纳
C
E EC
E C
OB
O
O
A
A
B
A B
人就会从卑微中站起来，带着封存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自
决定今天的你，所以，过去的懒惰，决定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你
想象困难做出的反应，不是逃避或绕开它们，而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用
志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋
刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的

自我小测1．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为直径，D为BC延长线上一点，PC切⊙O于C点，∠PCD＝20°，则∠A等于()A．20°B．30°C．40°D．50°2．如图，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()A．4 B．5 C．6 D．73．如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是直径，MN是⊙O的切线，C为切点．若∠BCM＝38°，则∠B等于()A．32°B．42°C．52°D．48°4．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()A．2 B．3 C．2 3 D．45．如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝__________.6．已知AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点，如果∠PAB＝30°，那么∠AOB ＝________.7．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O 的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝__________.8．如图，AB是⊙O的直径，直线CE与⊙O相切于点C，AD⊥CE于D.若AD＝1，∠ABC＝30°，求⊙O的面积．9．如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG 并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.10．如图，BC为⊙O的直径，AB＝AD，过点A的切线与CD的延长线交于点E.(1)试猜想∠AED是否等于90°？为什么？(2)若AD＝25，ED∶EA＝1∶2，求⊙O的半径；(3)在(2)的条件下，求∠CAD的正弦值．参考答案1．A2．解析：∠DCF ＝∠DAC ，∠DCF ＝∠BAC ， ∠DCF ＝∠BCE ，∠DCF ＝∠BDC ，∠DCF ＝∠DBC . 答案：B3．解析：连接AC ，如图所示．∵MN 切圆于C ，BC 是弦，∴∠BAC ＝∠BCM . ∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠B ＋∠BAC ＝90°.∴∠B ＋∠BCM ＝90°， ∴∠B ＝90°－∠BCM ＝52°. 答案：C4．解析：连接BC ，如图所示．∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠ACD ＝∠ABC . 又AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. 又AD ⊥EF ， ∴∠ACB ＝∠ADC .∴△ADC ∽△ACB .∴AB AC ＝AC AD.∴AC2＝AD·AB＝2×6＝12，∴AC＝2 3.答案：C5．解析：如图所示，连接BC，则∠ACE＝∠ABC，∠ACB＝90°.又∠ACE＝40°，则∠ABC＝40°.所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－40°＝50°，∠ACP＝180°－∠ACE＝140°.又AB是⊙O的直径，则∠ABP＝90°.又四边形ABPC的内角和等于360°，所以∠P＋∠BAC＋∠ACP＋∠ABP＝360°.所以∠P＝80°.答案：80°6．解析：∵弦切角∠PAB＝30°，∴它所夹的弧所对的圆周角等于30°，所对的圆心角等于60°.答案：60°7．解析：连接OC.∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC.又BC＝CD，∴AB＝AD＝6，∠BAC＝∠CAD.又CE为圆O的切线，则OC⊥CE.∵∠ACE为弦切角，∴∠ACE＝∠B.∴∠ACE＋∠CAD＝90°.∴CE⊥AD.又AC⊥CD，∴CD2＝ED·AD＝2×6＝12，即CD＝2 3.∴BC＝2 3.答案：2 38．解：∵DE是切线，∴∠ACD＝∠ABC＝30°.又∵AD⊥CD，∴AC＝2AD＝2.又∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.又∵∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴OA＝12AB＝2.∴⊙O的面积S＝π·OA2＝4π.9．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA. 由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°.于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.10．解：(1)∠AED＝90°.证明：连接AB，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°.又∵AE切⊙O于A，AB＝AD，∴∠EAD＝∠ACB.又∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝∠ABC，∴△AED∽△CAB，∴∠AED＝∠CAB＝90°.(2)∵AD ＝25，DE ∶EA ＝1∶2，∠AED ＝90°， ∴ED ＝2，EA ＝4.又AB ＝AD ＝25，△EAD ∽△ACB ， ∴AD BC ＝ED AB .∴BC ＝AD ·AB ED ＝(25)22＝10. ∴⊙O 的半径为5.(3)连接AB ，过D 作DF ⊥AC 于F .∵在△ABC 中，AC ＝45； 在△AEC 中，CE ＝8，∴CD ＝6. 又△CDF ∽△CBA ， ∴DF AB ＝CD CB. ∴DF ＝CD ·AB CB ＝6×2510＝655.∴sin ∠CAD ＝DF AD ＝65525＝35.备选习题分析：(1)很明显∠ABE ＝∠ACD ，只需证明∠BAE ＝∠CAD ，转化为证明∠BAE ＝∠CDB ，∠CDB ＝∠DCN ，∠DCN ＝∠CAD .(2)转化为证明∠BEC ＝∠ECB .证明：(1)∵BD ∥MN ， ∴∠CDB ＝∠DCN . 又∠BAE ＝∠CDB ， ∴∠BAE ＝∠DCN .又直线MN 是⊙O 的切线，∴∠DCN＝∠CAD.∴∠BAE＝∠CAD.又∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD.(2)∵∠EBC＝∠BCM，∠BCM＝∠BDC，∴∠EBC＝∠BDC.∴CB＝CD.∵∠BEC＝∠EDC＋∠ECD，∠ECD＝∠ABE，∴∠BEC＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ECB.∴∠BEC＝∠ECB.∴BE＝BC.。

第二讲直线与圆的位置关系2.4 弦切角的性质A级基础巩固一、选择题1．如图所示，MN与⊙O相切于点M，Q和P是⊙O上两点，∠P QM＝70°，则∠NMP等于( )A．20°B．70°C．110°D．160°解析：根据弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70°.答案：B2.如图所示，过圆内接△ABC的顶点A引切线交BC的延长线于点D，若∠B＝35°，∠ACB＝80°，则∠D等于( )A．45°B． 50°C．55°D．60°解析：因为AD是圆的切线，所以∠DAC＝∠B＝35°.又因为∠D＋∠DAC＝∠ACB，所以∠D ＝∠ACB －∠DAC ＝80°－35°＝45°. 答案：A3.如图所示，AB 为圆的直径，弦AC 与AB 成30°角，DC 切圆于点C ，AB ＝5 cm ，则BD 等于( )A ．10 cmB ．5 cm C.52cm D ．1 cm解析：连接BC (如图)，则∠ACB ＝90°， ∠BCD ＝30°＝∠D ，故BD ＝BC ＝52cm.答案：C 4．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，EC 切⊙O 于点C .若∠BOC ＝76°，则∠BCE 等于( )A ．14°B ．38°C ．52°D ．76° 解析：因为EC 为⊙O 的切线， 所以∠BCE ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝38°.答案：B5.如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如图所示∠CAB＝55°，那么∠AOB等于( )A．55°B．90°C．110°D．120°解析：延长AO交⊙O于D，连接BD(如图)，因为AC切⊙O于A，AB是弦，所以∠D＝∠CAB.又∠D＝12∠AOB，所以∠AOB＝2∠CAB＝110°.答案：C二、填空题6．如图所示，EB，EC是圆O的两条切线，B，C是切点，A，D 是圆O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A＝____．解析：连接OB，OC，AC(如图)，根据弦切角定理，∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.答案：99°7．如图所示，已知圆O 的直径AB ＝5，C 为圆周上一点，BC ＝4，过点C 作圆O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD ＝________．解析：由弦切角定理，有∠ACD ＝∠B ， 所以CD AC ＝cos ∠ACD ＝cos B ＝BC AB .所以CD52－42＝45.故CD ＝125.答案：125 8．如图所示，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，A D ⊥CE 于D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．解析：由弦切角定理，有∠ACD＝∠ABC＝30°，所以AC＝2AD，AB＝2AC，即AB＝4，圆O的面积S＝π·(42)2＝4π.答案：4π三、解答题9．如图所示，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，在PC上截取PD＝PA，求证：∠1＝∠2.证明：因为PA＝PD，所以∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠C＋∠1，∠PAD＝∠PAB＋∠2，所以∠C＋∠1＝∠PAB＋∠2.又PA切⊙O于点A，AB为弦，所以∠PAB＝∠C.所以∠1＝∠2.10.如图所示，已知AB切⊙O于B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O 于D，DE是⊙O的切线，CE⊥DE于E，DE＝3，CE＝4，求AB的长．解：因为CE ⊥DE 于E ， DE ＝3，CE ＝4， 所以CD ＝5. 连接BD (如图)．因为DE 切⊙O 于点D ， 所以∠EDC ＝∠DBC . 又因为BC 为⊙O 的直径， 所以∠BDC ＝90°. 所以Rt △BDC ∽Rt △DEC .所以CD BC ＝CE CD ＝DE BD ，即5BC ＝45＝3BD .所以BC ＝254，BD ＝154.又因为AB 与⊙O 相切于点B ， 所以AB ⊥BC .所以AC ＝12516.所以AB ＝7516.B 级 能力提升1.如图所示，已知AB ，AC 与⊙O 相切于点B ，C ，∠A ＝50°，点P 是⊙O 上异于点B ，C 的一个动点，则∠BPC 的度数是( )A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°解析：当点P 在优弧BC ︵上时，由∠A ＝50°，得∠ABC ＝∠ACB ＝65°.因为AB 是⊙O 的切线， 所以∠ABC ＝∠BPC ＝65°.当P 点在劣弧BC ︵上时，∠BPC ＝115°. 答案：C2.如图所示，已知AB 和AC 分别是⊙O 的弦和切线，点A 为切点，AD 为∠BAC 的平分线，且交⊙O 于点D ，BD 的延长线与AC 交于点C ，AC ＝6，AD ＝5，则CD ＝________．解析：由弦切角定理，有∠CAD ＝∠B .又∠C ＝∠C ，则△ACD ∽△BCA ， 所以CD AC ＝AC BC，又∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ， 则BC ＝CD ＋BD ＝CD ＋AD . 设CD ＝x ，则x 6＝6x ＋5，x ＝4或－9(舍去)， 故CD ＝4. 答案：43.如图所示，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E .(1)试探究AE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．(2)已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案：①你选用的已知数据是________； ②写出求解过程(结果用字母表示)． 解：(1)AE 与⊙O 相切． 理由：连接OC (如图)．因为CD∥OA，所以∠AOC＝∠OCD，∠ODC＝∠AOB.又因为OD＝OC，所以∠ODC＝∠OCD.所以∠AOB＝∠AOC.在△AOC和△AOB中OA＝OA，∠AOC＝∠AOB，OC＝OB，所以△AOC≌△AOB，所以∠ACO＝∠ABO.因为AB与⊙O相切，所以∠ACO＝∠ABO＝90°.所以AE与⊙O相切．(2)①选择a、b、c，或其中2个．②解答举例：若选择a、b、c，法一：由CD∥OA，ac＝br，得r＝bca.法二：在Rt △ABE 中，由勾股定理(b ＋2r )2＋c 2＝(a ＋c )2，得r ＝a2＋2ac －b2. 法三：由Rt △OCE ∽Rt △ABE ， a r ＝b ＋2r c ， 得r ＝－b ＋b2＋8ac4. 若选择a 、b .法一：在Rt △OCE 中，由勾股定理得： a 2＋r 2＝(b ＋r )2，得r ＝a2－b22b；法二：连接BC ，由△DCE ∽△CBE ， 得r ＝a2－b22b .。

课堂导学三点剖析一、弦切角定理【例1】 如图2-4-1,PA 、PB 切⊙O 于A 、B,∠P=50°,则∠D 等于( )图2-4-1A.65°B.75°C.40°D.30°思路分析：连结AB,∠P 与∠D 分别处于两个三角形,它们之间的联系途径就是弦切角. 解:连结AB.∵AB 是弦,PA 、PB 切圆于A 、B,∴∠ABP=∠D,∠BAP=∠D.∴∠ABP=∠BAP.在△ABP 中,∠ABP=21 (180°-∠P)=65°, ∴∠D=∠ABP=65°.答案:A二、弦切角定理综合运用【例2】 如图2-4-3,PA 切⊙O 于A,PBC 是⊙O 的割线,在PC 上截取PD=PA,求证:∠1=∠2.图2-4-3证明：∵PA=PD,∴∠PAD=∠PDA.∵∠PDA=∠C+∠1,∠PAD=∠PAB+∠2,∴∠C+∠1=∠PAB+∠2.又∵PA 切⊙O 于A,AB 为弦,∴∠PAB=∠C.∴∠1=∠2.三、本节数学思想选讲【例3】 如图2-4-5,已知AB 为⊙O 直径,P 为AB 延长线上一动点,过点P 作⊙O 的切线,设切点为C.(1)请你连结AC,作∠APC 的平分线,交AC 于点D,测量∠CDP 的度数.(2)当P 在AB 延长线上运动时,∠CDP 的度数作何变化?请你猜想,并证明.图2-4-5解析:(1)作图,并测量,∠CDP=45°.(2)∠CDP不随P在AB延长线上的位置变化而变化,即∠CDP=45°是一个定值.证明:连结BC交PD于E,∵∠CDP是△ADP的外角,∴∠CDP=∠A+∠2.同理,∠CED=∠1+∠3.但∠1=∠2.又∵BC是弦,PC与⊙O切于C,∴∠3=∠A.∴∠CDE=∠CED.∴CD=CE.∵AB是直径,∴∠DCE=90°.∴△CDE是等腰直角三角形.∴∠CDE=45°.各个击破类题演练1如图2-4-2,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为直径,D为BC延长线上一点,PC切⊙O于C 点,∠PCD=20°,则∠A等于( )图2-4-2A.20°B.25°C.40°D.50°解析:∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠PCD+∠ACP=90°,∠A+∠B=90°.∵PC是切线,AC为弦,∴∠ACP=∠B.∴∠A=∠PCD=20°.答案:A类题演练2如图2-4-4,AD⊥直径CE,AB为⊙O切线,A为切点,求证:∠1=∠2.图2-4-4证明:连结AE,∵CE是直径,∴∠CAE=90°.∴∠E+∠ACE=90°.∵AD⊥EC,∴∠ADC=90°.∴∠2+∠ACE=90°.∴∠2=∠E.又∵AB切⊙O于A,AC是弦,∴∠1=∠E.∴∠1=∠2.类题演练3在△AEF中,∠A的平分线AD与△AEF的外接圆相交于D,过D作圆的切线BC. 求证:EF∥BC.图2-4-6解析:欲证EF∥BC,只需证∠AEF=∠B,∠B在圆外,考虑弦切角.证明:连结DF,∵BC切⊙O于点D,DF为弦,∴∠ADB=∠AFD.∵AD平分∠A,∴∠1=∠2.∴△ABD∽△ADF.∴∠ADF=∠B.又∵=,∴∠AEF=∠ADF.∴∠AEF=∠B.∴EF∥BC.温馨提示从本题题设出发,还有很多结论,读者可自行推导.。

四弦切角的性质[对应学生用书P28]弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(2)图形语言叙述：如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.[说明]弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．[对应学生用书P29]弦切角定理¼AC＝»BD，过C[例1](2010·新课标全国卷)如图，已知圆上的弧点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.[思路点拨]利用弦切角定理．¼AC＝»BD，[证明](1)因为所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以△BDC ∽△ECB . 故BC BE ＝CD BC， 即BC 2＝BE ·CD .利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．1．如图，AB 为⊙O 的直径，直线EF 切⊙O 于C ，若∠BAC ＝56°，则∠ECA ＝________.解析：连接BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∴∠B ＝90°－∠BAC ＝90°－56°＝34°.又∵EF 与⊙O 相切于点C ，由弦切角定理，有∠ECA ＝∠B ＝34°. 答案：34°2.如图，AB 是⊙O 的弦，CD 是经过⊙O 上的点M 的切线，求证： (1)如果AB ∥CD ，那么AM ＝MB ； (2)如果AM ＝BM ，那么AB ∥CD . 证明：(1)∵CD 切⊙O 于M 点， ∴∠DMB ＝∠A ，∠CMA ＝∠B . ∵AB ∥CD ，∴∠CMA ＝∠A . ∴∠A ＝∠B ，故AM ＝MB . (2)∵AM ＝BM ，∴∠A ＝∠B .∵CD 切⊙O 于M 点，∠CMA ＝∠B ，∴∠CMA ＝∠A .∴AB ∥CD .3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 平分∠DAB .(1)求证：AD ⊥CD ；(2)若AD ＝2，AC ＝5，求AB 的长． 解：(1)证明：如图，连接BC . ∵直线CD 与⊙O 相切于点C ， ∴∠DCA ＝∠B . ∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB . ∴∠ADC ＝∠ACB .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥CD . (2)∵∠DCA ＝∠B ，∠DAC ＝∠CAB ， ∴△ADC ∽△ACB . ∴AD AC ＝AC AB ， ∴AC 2＝AD ·AB .∵AD ＝2，AC ＝5，∴AB ＝52.运用弦切角定理证明比例式或乘积式[例2] 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，点C 在»AB 上，CD ⊥AB ，CE ⊥P A ，CF ⊥PB ，垂足分别为D ，E ，F .求证：CD 2＝CE ·CF .[思路点拨] 连接CA 、CB ，∠CAP ＝∠CBA 、∠CBP ＝∠CAB→Rt △CAE ∽Rt △CBD Rt △CBF ∽Rt △CAD→CE CD ＝CDCF→结论[证明] 连接CA 、CB . ∵P A 、PB 是⊙O 的切线， ∴∠CAP ＝∠CBA ， ∠CBP ＝∠CAB .又CD ⊥AB ，CE ⊥P A ，CF ⊥PB ， ∴Rt △CAE ∽Rt △CBD ， Rt △CBF ∽Rt △CAD ， ∴CA CB ＝CE CD ，CB CA ＝CF CD ， ∴CE CD ＝CDCF，即CD 2＝CE ·CF .证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件．4．如图，已知MN 是⊙O 的切线，A 为切点，MN 平行于弦CD ，弦AB 交CD 于E .求证：AC 2＝AE ·AB .证明：连接BC .⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥CD ⇒∠MAC ＝∠ACD MN 切⊙O 于A ⇒∠MAC ＝∠B⎭⎪⎬⎪⎫⇒∠ACD ＝∠B ∠CAE ＝∠CAB ⇒△ACE ∽△ABC ⇒AC AB ＝AEAC⇒AC 2＝AB ·AE .5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，经过点A 、D 的⊙O 和BC 切于D ，且AB 、AC 与⊙O 相交于点E 、F ，连接DF ，EF .(1)求证：EF ∥BC ； (2)求证：DF 2＝AF ·BE . 证明：(1)∵⊙O 切BC 于D ，∴∠CAD ＝∠CDF .∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD ＝∠CAD . 又∵∠BAD ＝∠EFD ， ∴∠EFD ＝∠CDF . ∴EF ∥BC . (2)连接DE ， ∵⊙O 切BC 于D ， ∴∠BAD ＝∠BDE .由(1)可得∠BDE ＝∠F AD ， 又∵⊙O 内接四边形AEDF ， ∴∠BED ＝∠DF A . ∴△BED ∽△DF A . ∴DE AF ＝BE DF. 又∵∠BAD ＝∠CAD ， ∴DE ＝DF .∴DF 2＝AF ·BE .[对应学生用书P30]一、选择题1．P 在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，P AB 交⊙O 于A 、B ，则( ) A ．∠MCB ＝∠B B ．∠P AC ＝∠P C ．∠PCA ＝∠BD ．∠P AC ＝∠BCA解析：由弦切角定理知∠PCA ＝∠B . 答案：C2．如图，△ABC 内接于⊙O ，EC 切⊙O 于点C .若∠BOC ＝76°，则∠BCE 等于( )A．14°B．38°C．52°D．76°解析：∵EC为⊙O的切线，∠BOC＝38°.∴∠BCE＝∠BAC＝12答案：B3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC 的长为()A．2 B．3C．2 3 D．4解析：连接BC，则∠ACB＝90°，又AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴AC2＝AD·AB＝12，即AC＝2 3.答案：C4．如图，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为()A．1 B．2C．3 D．4解析：连接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC2＝PB·P A，即AC2＝PB·P A.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O半径为r，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.答案：A二、填空题5.如图，已知AB与⊙O相切于点M，且¼MC＝¼MD，且¼MC，¼MD为14圆周长，则∠AMC＝________，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝________.解析：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半．答案：45°135°45°90°6．如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝________.解析：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∠ACE＝40°，∴∠PCB＝∠PBC＝50°.∴∠P＝80°.答案：80°7.如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.解析：连接OC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2，OC＝2.∴PC＝2 3.∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝2×23＝ 3.4答案： 3三、解答题8.如图所示，⊙O 1与⊙O2交于A、B两点，过⊙O1上一点P作直线P A、PB分别交⊙O2于点C和点D，EF切⊙O1于点P.求证：EF∥CD.证明：如图，连接AB，∵EF是⊙O切线，∴∠FP A＝∠PBA.又在⊙O2中，ABCD为⊙O内接四边形，∴∠C＝∠ABP.∴∠FP A＝∠C.∴EF∥CD.9.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD ＝∠ACD ，又因为AB ＝AC ， 所以△ABE ≌△ACD .(2)因为∠3＝∠2，∠ABC ＝∠ACB ， 所以△BCE ∽△ACB ，BC AC ＝CECB ，AC ·CE ＝BC 2.因为AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ， 所以6·(6－AE )＝16. 所以AE ＝103cm.10.如图，△ABC 内接于圆O ，AD 平分∠BAC 交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E .(1)求证：∠EBD ＝∠CBD ； (2)求证：AB ·BE ＝AE ·DC . 证明：(1)∵BE 为圆O 的切线， ∴∠EBD ＝∠BAD ，又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴∠EBD ＝∠CAD ， 又∵∠CBD ＝∠CAD ， ∴∠EBD ＝∠CBD .(2)在△EBD 和△EAB 中， ∠E ＝∠E ，∠EBD ＝∠EAB ， ∴△EBD ∽△EAB ， ∴BE AE ＝BD AB， ∴AB ·BE ＝AE ·BD ，又∵AD 平分∠BAC, ∴BD ＝DC ， 故AB ·BE ＝AE ·DC .。

课堂探究探究一弦切角定理在使用弦切角定理时，关键是要弄清哪个角是弦切角，这样才能正确解决问题．【典型例题】如图，是⊙的切线，是⊙的弦，过作的垂线，垂足为，与⊙相交于点，平分∠，且＝，求△各边的长．思路分析：∠为弦切角，于是∠＝∠，再由平分∠和△是直角三角形可求得∠的度数，进而解直角三角形即可．解：∵为⊙的切线，∴∠＝∠.∵平分∠，∴∠＝∠.又∵∠＋∠＝°，∴∠＝∠＝°.则有＝，＝，＝，＝.点评在题目中出现了圆的切线，常用弦切角定理解决问题．探究二弦切角定理的应用在证明与圆有关的命题时，弦切角定理与圆周角定理等经常要综合应用，正确找出符合定理条件的角是应用定理的前提．【典型例题】已知△内接于⊙，∠的平分线交⊙于，的延长线交过点的切线于.求证：＝.思路分析：直接证明此等式有一定的难度，可以考虑把它分解成两个比例式的形式，然后借助相似三角形的性质得出结论．证明：连接，如图所示．∵是∠的平分线，∴∠＝∠.又∠＝∠，∠＝∠，∴∠＝∠.∴＝.又为⊙的切线，∴∠＝∠，∴∠＝∠.故在△和△中，∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△.∴＝，＝，∴＝.又＝，∴＝.点评已知直线与圆相切，证明线段成比例时，常先利用弦切角定理和圆周角定理获得角相等，再通过三角形相似得到成比例线段．探究三易错辨析易错点：忽视弦切角的一边是切线【典型例题】如图所示，△内接于⊙，⊥，∠＝°，∠＝°，则∠＝.错解：∵⊥，∴∠是弦切角．∴∠＝∠.又∠＝°，∴∠＝°.错因分析：错解中，误认为∠是弦切角，其实不然，虽然⊥，但不是切线．正解：∵∠＋∠＋∠＝°，∴∠＝°－∠－∠＝°.又⊥，∴∠＋∠＝°.∴∠＝°－∠＝°－°＝°.。

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四弦切角的性质
一览众山小
学习目标
1.理解弦切角的概念；掌握弦切角定理及其推论，并会运用它们解决有关问题.
2.通过弦切角定理的证明，进一步理解用分类讨论证明数学命题的思想和方法，培养分析问题的能力和综合运用所学知识的能力.
3.通过自主的学习和参与调动积极性和钻研的精神，通过圆周角定理的证明渗透由“特殊到一般”、由“一般到特殊”的数学思想方法，体现了辩证唯物主义从未知到已知的认知规律.
学法指导
首先复习圆周角、圆心角的知识，仿照圆周角、圆心角给出弦切角的定义，类比圆周角定理来证明弦切角定理，对于弦切角定理，应用时一定要把握住定理的条件，即弦切角与所夹的弧所对的圆周角是相等的.
诱学导入
材料：利用电脑显示：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.
图2-4-1
问题：上述变化过程中，最后的位置∠BAE还是圆周角吗?为什么?
导入：引导共同分析∠BAE的特点，并仿照圆心角、圆周角，给这个特殊角命名.
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