201X届九年级数学下册 第一章 1.5 二次函数的应用练习 (新版)湘教版

1.5笫1课时 利用二次函数解决拱桥问题、面积问题知识点1利用二次函数解决拱桥问题1・河北省赵县赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图1—5 拱顶部的距离DO 是4加时，水面宽度AB 为（ ）—20加 B. 10 加 C ・ 20 加 D. — 10加2.如图1-5-2，已知桥拱形状为抛物线，其函数表达式为y = -|x 2，当水位线在AB 位置时，水面的宽度为12 m ，这时水面离桥拱顶部的距离是 _______图1—5—23.如图1 —5 — 3 ,小河上有一拱桥，拱桥及河道的截而轮廓线由 抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成.已知河底ED 是水平的，ED=16加，AE = 8加‘抛物线的顶点C 到ED 的距离是11 A 知识要点分类练夯实基础—1②所示的平而直角坐标系，其函数表达式为y=—丄 925x " •当水面离桥 ① ②图1—5—1yo九试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平而直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式.E D图1—5—3知识点2利用二次函数解决面积问题4・某种止方形合金板材的成木y（元）与它的面积成止比，设其边长为x厘米，当x = 3时，y=18，那么当正方形合金板材的成本为72 元时，其边长为（）A・6厘米 B. 12厘米C・24厘米 D. 36厘米5•用一条长为40 cm的绳了围成一个面积为a c肿的长方形，a 的值不可能为（）A ・ 20 B. 40 C・ 100 D・ 1206•把一根长为100 cm的铁丝分为两段，并把每一段都弯成一个正方形,设其中一个正方形的边长为x cm»则另一个正方形的边长为cm5设这两个正方形的面积的和为y cm ，则y与x之间的函数表达式为 _______________ ;当两个止方形的边长分别为_______ ，______ 时，两个正方形的面积的和最小，最小是_______ ・7•某小区要用篱笆围成一直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆长的和恰好为17米.围成的花坛是图1—5—4所示的直角三角形ABC，其中ZACB = 90°•设AC边的长为x 米，直角三角形ABC的面积为S平方米.（1）求S和x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）;（2）根据小区的规划要求，所修建的直角三角形花坛的面积是30平方米，则直角三角形的两条直角边的长各为多少米?图1一5—4______________ 能力8・图1—5—5是一个长100 m>宽80 m的矩形草坪，现欲在草坪中间修两条互相垂直且宽为x m的小路，这时草坪的面积y （加彳）与宽x（加）之间的函数表达式是（）图1—5—5A ・ y = x? —20x —8000（0vx<80）B・ y = x2—180x —8OOO（Ovxv8O）C・ y=x?—180x+8000（0vx<80）D・ y = x_ 20x + 8000（0vxv80）9 •某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段防护栏需要每隔0.4加加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5加（如图1—5—6），则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为（）图］_5_6A. 50 m B・ 100 加C - 160 m D・ 200 m10・小明在某次投篮中，球的运行路线是抛物线y=—長2 + 3・5的一部分，如图1 —5—7所示，若该球命中篮圈中心‘则他与篮底的距离1是()图1—5—74. 4.6 m B. 4.5 m C ・ 4 加D・ 3.5 m11 •某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50加.设饲养室的长为x(zn)，占地面积为y(m2).(1)女口图1一5 — 8①，问饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图②，现要求在图中所示位置留一个2加宽的门，月.仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的长比(1)中饲养室的长多2加就行了・”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.图1_5_812・如图1-5-9，隧道的截面由抛物线和矩形的一部分构成，矩形的长是12 m，宽是4 m・按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用牙+加+c表示，且抛物线上的点C到墙面0B的水平距17离为3m 到地面0A的距离为㊁m.(1)求该抛物线表示的函数的表达式，并计算出拱顶D到地面0A 的距离.(2)—辆货车装载一长方体集装箱后高为6 m ＞宽为4 m »如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)现要在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？图1_5_9教师详解详析1. c2 • 9 m ［解析］根据题意，当x=6时5原式=—^X62=—9，即水面离桥拱顶部的距离是9 m.3・解：如图所示.由题，知抛物线的顶点坐标为（0，11），5（8，8），设抛物线的函数表达式为y=ar-\~ii，VCA B■ M M ME O - D x3将点B（8，8）代入抛物线的函数表达式得—诂，所以抛物线的函数表达式为y=—扃亍+ii.4• A ［解析］设y与兀之间的函数表达式为y^hc，把x—3，y =18 代入可得9k=18，k=2，.••y=2/•把y=72 代入上式得2x2 = 72，解得x=±6.・・•正方形的边长不能为负数，・・」=6・故选A.5・D ［解析］设围成的长方形的长为x cm，则由题意，得420-%） = -x2+20%.•.* -1 <0，・・虫有最大值，即当x=10时，a最大= 100.V120>100，・・・d的值不可能为120•故选D.6・（25-x） j = 2?-50x+625 12.5 cm 12.5 cm 312.5 cm2［解析］一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为*100—4x) = (25-x)cm，则y=*+(25一兀)2 = 2兀2—50兀+625・・.・y=2/ —50x+625=2(X-12.5)2+312.5，・••当一个正方形的边长为12.5 cm，另一个正方形的边长为25-12.5=12・5(cm)时，两个正方形的面积的和最小，最小为312.5 cm2.7•解：(1)・・・两条直角边所用的篱笆长的和恰好为17米，围成的花坛是直角三角形ABC，其中ZACB=90° > AC边的长为无米，ABC=(17-x)米.乂・••直角三角形A3C的面积为S平方米，.•・S=*ACBC=*x(17-x)=-券+夢兀.1 |7(2)当5=30 时，—2^2+^~X=305整理，Wx2-17x+60 = 0，解得 %! = 12，X2=5.・••直角三角形的两条直角边的长分别为12米和5米.8・ C 9.C 10.B 11 ・解：⑴丁尸尤刊? X=_*_25)2+^|^,/.当无=25时，y最大，即当饲养室的长为25 m时，占地面积y最大.⑵・・了=上5()_ 丫_2)=-|(X-26)2+338，・••当兀=26时，y最大，即当饲养室的长为26 m时，占地面积y 最大.T26—25 = 1H2，・•・小敏的说法不正确.一一（17）12 •解：（1）由题意，得点B的坐标为（0，4），点C的坐标为3，丁，r 1 94=一gxo+xo+c，••「17 解得~Y=—^X32+bX3 + c，.•・该抛物线表示的函数的表达式为丿=一牙+2卄4.•.)=—右?+2x+4=—*(x—6)?+10，・•・拱顶D到地面OA的距离为10 m・(2)当兀=6+4= 10 时，y=—*<+2x+4=—*X 102+2X 10+4 =22T>6・••这辆货车能安全通过.(3)当y=8 时5—^%2+2%+4 = 8，即x2—12x+24 = 0，•+ 无2= 12・•・两排灯的水平距离最小是\X] — x^\ = V~(X] ~- = yj~(兀]+ ~4%1%2 = 12~ 4 X 24 —寸144一96=4 羽(m)・第2课时利用二次函数解决与最大值或最小值有关的实际问题A 知识要点分类练夯实基础知识点1利用二次函数解决与最大值或最小值有关的实际问题I・一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足函数表达式h=—5（t—1尸+6，则小球距离地面的最大高度是（）A・1米B. 5米C. 6米D. 7米2.竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（Q的函数表达式为h = at2+bt，其图象如图1—5 — 10所示.若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（）0 ®图1—5 — 10A •第3秒B.第3.5秒C •第4.2秒D.第6.5秒3 •若销售一种服装的盈利y（万元）与销售量x（万件）满足函数表达式『=—2x?+4x + 5 ,则盈利的最大值是__________ ・4・2017•仙桃飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数表达式是s = 60t-jt2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 _______ 秒.5•教材例题变式某超市销售一种品牌的牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价.当售价为每箱36元时，每月可销售60箱.经市场调查发现，这种品牌牛奶的售价每降低1元，每月的销售量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每刀的销售量为y箱.(1)写出y与X之间的函数表达式和自变量X的取值范围；(2)问超市如何定价，才能使每月销售牛奶获得的利润最大？最大利润是多少元？6-2017-德州随着新农村的建设和对旧城区的改造，我们的家园越来越美丽.小明家附近的广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池的中心竖直安装了…根高为2米的喷水管，如图1 —5 — 11，它喷出的抛物线形水柱在与池中心水平距离为1米处达到最高，水柱落地处与池中心的距离为3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线形水柱满足的函数表达式；(2)求水柱的最大髙度是多少？图1 —5— 11知识点2利用二次函数解决其他问题7.公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形.水流的高度h（单位沏）与水流运动时间1（单位⑶之间的函数表达式为h = 30t-5t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（）A - 6s B・4s C・3$ D. 2 s8 •心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y=—0.1/+ 2.6x+43（0WxW30） y的值越大，表示学生的接受能力越强.（1）若用10分钟提出概念，则学生的接受能力y的值是多少？（2）如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答.-------------- 能力9・2017・临沂足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢岀，足球飞行的路线是一条抛物线.不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：加）与足球被踢出后经过的时间t（单位：Q之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=4.5；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出l・5s 时，距离地面的高度是11加.其中正确结论的个数是（）A ・ 1 B. 2 C. 3 D. 410・2017-沈阳某商场购进一批单价为20元/个的日用商品，如果以30元/个的价格出售，那么半月内可售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，半月内销售量减少20件.当销售单价是 ___________ 元/件时，该商场才能在半月内获得最大利润.11・2018•滨州如图1—5—12，—小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：米）与飞行时间x（单位：秒）之间的函数关系为y =-5X2+20X，请根据要求解答下列问题.（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15米时，飞行的时间是多少?(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球的飞行高度何时最大？最大高度是多少?一一■图1一5 — 12輕广探究创新练________________ 生刺满分12・2018•仙桃绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出.如图1 一5 — 13,线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价格刃（元）、生产成本力（元）与产量兀（千克）之间的函数关系.（1）求该产品销售价格刃（元）与产量x（千克）之间的函数表达式；（2）直接写出生产成本乃（元）与产量兀（千克）之间的函数表达式；（3）当产量为多少吋，销售这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？图1-5-13教师详解详析1. C ［解析］:•高度力(米)和飞行时间/(秒)满足函数表达式力= -5(Z-l)2+6，・••当f=l吋，小球距离地面的高度最大，最大高度为6米.2・C3-7 万兀［解析］y=—2X2+4X+5= —2(x2-2x)+5 = — 2［(x— I)2 -1］+5=-2(X-1)2+7，则盈利的最大值为7万元.3 34・ 20 ［解析］$=60/_討=_应_20)2+600，・••当1=20 时、s 取得最大值.故答案为20.5・解：⑴根据题意，得y=60+10x，由36—兀224，得%^12，・・・1W%W12，且无为整数.(2)设所获利润为W(元厂贝9 W=(36-x-24)(60+ 10x)= — 10?+60x+720= — 10(%-3)2+ 810，・••当无=3时，W取得最大值，最大值为810.答：超市将牛奶的售价定为每箱33元时，才能使每月销售牛奶获得的利润最大，最大利润是810元.6・解：(1)答案不唯一，如图所示，以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为兀轴，喷水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设抛物线的函数表达式为y=a(x~l)2+h，・••抛物线的函数表达式为^=—|(x —1)2+|， 即y=—务?+扌无+2(0WxW3)・(2)由(1) 得y=—|(兀一 1)2+'|(0W X W3)，・：当x=l 时，y 最大=亍5即水柱的最大高度为§米・ 7・A ［解析］水流回落到地面时的高度/z 为0，把h=0代入h = 30r —5?，得30?—5^=0，解得/)=0(舍去)，耳=6・故水流从喷出至 冋落到地面所需要的时间是6 s ・故选A.8 ・解：⑴当兀=10 时，y=-0.1 X 102+2.6X 10+43 = 59・(2)当 x=8 时，-0.1 X82 + 2.6X8+43 = 57.4， ・••用8分钟来提出这一概念，与用10分钟相比，学生的接受能力 减弱了；当 x=15 时，v=-0.1 X 152+2.6X 15+43 = 59.5， ・••用15分钟提出这一概念，与用10分钟相比，学生的接受能力 增强了.——2丄4G +/Z =0 、将(0，2)和(3 ‘ 0)代入，得 G +/I =2，解得h=l •卜 I 仿一I9・B ［解析］由题意，得抛物线的函数表达式为h=at(t_9)，把(1 5 8)代入可得a=— 1 » /.A= —/2+9z= —(Z-4.5)2 + 20.25，二足球距离地面的最大高度为20.25 m，故①错误；.••足球飞行路线的对称轴是直线/=4.5 »故②正确；：•当t=9时5y=0，•:足球被踢出9 s 时落地，故③正确；•••当/=1・5时，y= 11.25，故④错误・・・.正确的有②③，故选B.10• 35 ［解析］设销售单价为X元/件，销售利润为y元.根据题意'得^=(x-20)［400-20(x-30)l = (x-20)«(1000-20^) =一20?+1400兀一20000=—20(兀一35)2+4500.・.・一20V0，・•・当x =35时，y有最大值，故答案为35.11•解：⑴当y=15 时，有一5r+20x=15，化简得/-4x+3 = 0，因式分解，得(%—l)(x—3)=0，故x=l或x=3，即飞行时间是1 秒或者3秒.(2)飞出和落地的瞬间，小球的高度都为0，即y=0，所以0=—5”+20兀，解得兀=0或x—4，所以小球从飞出到落地所用时间是4—0=4(秒).(3)当x= ~2^=—2\ (—5) =2时，小球的飞行高度最大'最大高度为20米.12•解：(1)设yi与兀之间的函数表达式为y\=kx~\~b，•••图象过点(0，168)与点(180，60)，■少=168 ‘・・[180£+方=60，^=-0.6，解方程组，得b=168 、・・・刃=一0・6尢+ 168(0^x^180)・(2)力与兀之间的函数表达式为‘70 (O0W5O)，y>2=<— 0.2x+80 (50<x<130)、.54 (130^x^180)・(3)设产量为x千克时，销售这种产品获得的利润为W元.①当0WxW50吋，-o.6x+168-70)= -o.6x2+98%.245・••该函数图象的对称轴为直线x=^y，・•・当0WxW50时，W随兀的增大而增大，・••当兀=50时，W的值最大，最大值为3400.②当50<x<130 时，W=(-0.6X+168+0.2^-80)X=-0.4X2+88X=-0.4(X-110)2+4840，・••当兀=110时，W有最大值4840.③当130WxW180 时，W= (-0.6x+168-54)x= -0.6x2 +114%・・••该函数图象的对称轴为直线x=95，・••当13O0W180时，W随兀的增大而减小，・•・当x=130时，W的值最大，最大值为4680.综上，当产量为110千克时，销售这种产品获得的利润最大，最大利润为4840元.。

、选择题1.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管 op=3m 水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m, P 距抛物线对称轴1m 则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ）1.5 C. 2抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形” •以 O 为 坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线 OB 的两个交点之间的距离为 ，且 这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于 y 轴 的抛物线条数是（ ）B.15D. 131.5二次函数的应用D. 32. 向上发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为15秒时的高度相等，则下列几个时刻高度最高的是（ A. 第8秒 秒 秒 3. 如图，在10X 10的网格中，每个小方格都是边长为2y=ax+bx ，若此炮弹在第6秒与第B. 第 10C. 第 12D.第14秒1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点•若y 米，且时间与高度的关系为）C. 14A. 1A. 164.湛江市2009年平均房价为每平方米 4000元.连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米 5500元,设这两年平均房价年平均增长率为 x ，根据题意，下面所列方程正确的是（）A.5500 （1+x ）2=4000B.25500 （1 - x ） =4000 C.4000 （1 - x ）2=5500D. 4000 （ 1+x ） 2=5500 5.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为 一米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（）6. 如图，在△ ABC 中，/ B=90° , AB=6cm BC=12cm 动点P 从点A 开始沿边 AB 向B 以1cm/s 的速度移动 （不与点B 重合），动点 Q 从点B 开始沿边BC 向C 以2cm/s 的速度移动（不与点 C 重合）.如果P 、Q 分B. y =- 3(x +- )2 + 3C. y =- 12(x - )2+D. y =- 12(x +)2+ 33别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC勺面积最小.A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地，墙长为30m,围成鸡场的最大面积为（平方米.z MF"Z 声尹*丿壬hFMh# h/ .Z /誉*B\DCC. 600D. 24008.二次函数2y=x - 8x+15的图象与x轴相交于M N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△ PMN的面积等于的点P共有（）A. 1个B. 2个 C. 3个 D. 4个9.如图1 , E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE- ED- DC运动到点C时停止，点Q从点B2cm/s .若P、Q同时开始运动，设运动时间为t （s） , △ BPQB. 750，已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（B. sin / EBC=4C. 当0v t <8时,y=K D. 当t=9s时，△ PBQ是等腰三角形10.某种电缆在空中架设时, 两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y= 帀x2的形状.今在一个坡度为1: 5沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下B. 13.75C. 14.75D. 17.75 米11.如图，已知直线y= x+3分别交x 轴、y 轴于点A 、B, P 是抛物线y=x 2+2x+5的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线y=-扌x+3于点Q,则当PQ=BQ 寸，a 的值是 ________________ .12.某服装店购进单价为 15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为 25元时平均每天能售出 8天的销售利润最大.13.如图，用火柴棒按如下方式摆放：设第 n 个图中需要y 根火柴棒，请写出y 与n 的函数关系式:A. 12.75 米 米 米 1、填空题件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出 4件，当每件的定价为________ 元时，该服装店平均每14. 已知等腰直角三角形的斜边长为___________________ x,面积为y，则y与x 的函数关系式为15. 用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式： ____________ .16. 某种产品原来的成本为185元，经过两次降价后为y元，如果每次的降价率都为x,则y与x的函数关系式为________ .17. 已知某种礼炮的升空高度h （m）与飞行时间t （s）的关系式是h=- t2+20t+1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为 __________ .18. 如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y= x2- 3x+3上运动.若OP半径为1,点P的坐标为（m n）,当OP与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是____________ .三、解答题19. 平面直角坐标中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点0,其顶点坐标为（3, - ）; Rt△ ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（，0 ），且BC=5 AC=3（如图（1））.（1）求出该抛物线的解析式；（2）将Rt△ ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时Rt△ ABC停止移动.D（ 0, 4）为y轴上一点，设点B的横坐标为m △ DAB的面积为s.①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O时，s与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图（1）、图（2）中画出探求）；②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m使得△ DAB为直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不20. 己知：二次函数 y=ax 2+bx+6 （0）与x 轴交于 A B 两点（点A 在点B 的左侧），点 A 、点B 的横坐 标是一元二次方程 x 2- 4x - 12=0的两个根. （1） 请直接写出点 A 、点B 的坐标.（2） 请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标.（3） 如图1，在二次函数对称轴上是否存在点 卩，使厶APC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如图2，连接AC BC,点Q 是线段0B 上一个动点（点 Q 不与点0、B 重合）.过点 Q 作QD/ AC 交BC 于点D,设Q 点坐标（m 0）,当厶CDQ 面积S 最大时，求 m 的值.21. 如图，用一段长为 30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园 米，则菜园的面积 y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为多少？i 岸D 菜园CAABCD 设AB 边长为x存在，请说明理由.22. “佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30 元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨 1 元/ 件，其销售量就将减少2件．（1）为了实现每天1600 元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？（2）物价局规定该商品的售价不能超过40 元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？23. 某旅游景点的门票价格是20 元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高 5 元，日接待游客人数就会减少50 人．设提价后的门票价格为x （元/人）（x>20）,日接待游客的人数为y （人）•（1）求y与x （x >20）的函数关系式；（2）已知景点每日的接待成本为z （元），z与y满足函数关系式：z=100+10y .求z与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？（利润=门票收入-接待成本）•-S =^ m+10 (0w m K- 2),当点B 位于原点右侧（含原点 0时，如图（2） S=S 梯形 OCA - S A OBD - S A ABC ,=一 (4+3)( 5+m ) - — ?4?m-—,3==m+10.参考答案一、选择题1.D2.B3.C4.D5.C6.C7.A8.D9.D 10.B 、填空题11.代.22但2 215.y= - x+25x 16.y=185 (1- x ) 17.4s 18.3三、解答题19.解：（1）由题意，设所求抛物线为2 gy=a （x - 3） - k .① 将点（0, 0）代入①，得a=、. ••• y=-x 2 - 3x .（2）①当点B 位于原点左侧时，如图（1） S=S\OBD +S 梯形 OCA - S A AB C=—?4? (- m ) +— (4+3)( 5+m) ------------ ,• S= m+10(—4.5 w m K 0),3-2+K m K 2 或 4K m K3+m+10.②im = —1 , m2= - 4, n^= - 4.4 .20.解：(1) A (- 2, 0), B (6(2)将A B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得；4n-2d-h6=0乜帥十6力亠6二0 '「_ 1解得,b —2y=- = x2+2x+6,••• y=-亍(x - 2) 2+8,•••抛物线对称轴为x=2,顶点坐标为(2, 8);(3)如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C'，连接AC，交抛物线对称轴于P点，连接CP,•••C( 0, 6),• C'( 4, 6)，设直线AC解析式为y=ax+b，贝U(-2/7—& = 0:I；—, L-,[;? = 1解得,• y=x+2，当x=2 时，y=4,即P (2, 4);(4)依题意，得AB=8 QB=6- m, AQ=m+2 OC=6 贝U ABX OC=24•••由DQ/ AC BDQ^A BCA•=(二2= (—) 23 2即S A BD C F*(m— 6)1又S^ACG= AQ< OC=3m+63 2弓23 9 3 2--S=S A A BC-S^BDQ—S^ACC=24 - p ( m_ 6) -( 3m+6 = - g m+可m籽=—童(m_ 2) +6 ,•••当m=2时，S最大.fy |八IIz21. 解：T AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，• BC= (30 - x),菜园的面积=ABX BC== ( 30- x)?x,则菜园的面积y (单位：米2)与x (单位：米)的函数关系式为：y=-= X2+15X.22. 解：(1)设商品的定价为x元，由题意，得(x- 20) [100 - 2 (x - 30) ]=1600 ,解得：x=40 或x=60;答：售价应定为40元或60元.(2)设利润为y元，得：y= (x - 20) [100 - 2 (x - 30) ] (x< 40),2即：y= - 2x+200x - 3200;•/ a=- 2 v 0,b 200•••当x= - —= - =50时，y取得最大值；又x<40,则在x=40时可取得最大值，即y最大=1600.答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大为1600元.v-^023. 解：(1)由题意得y=500 - 50 X ——即y= - 10X+700;(2)由z=100+10y, y= - 10x+700，得z= - 100X+7100;(3)w=x (- 10x+700)-( - 100X+7100)即w=— 10x2+800x - 7100,j_ 貿DO当x= —= - =40时，景点每日获取的利润最大，w最大= = =8900 （元），也4<1Q）答：当门票价格为40元时，景点每日获取的利润最大，最大利润是8900 元.。

第1章 二次函数 1.1 二次函数1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A. y ＝3x －1 B. y ＝ax 2＋bx ＋ c C.s ＝2t 2－2t ＋1 ＝x 2＋1xD. y2. 若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则( ) A. a ＝1 B. a ＝±1 C. a≠－1 D. a≠13. 下列函数中，是二次函数的是( )A. y ＝x 2－1 B. y ＝x －1 C. y ＝8x D. y ＝8x24. h ＝12gt 2(g 为常量)中，h 与t 之间的关系是( )A.正比例函数关系B.一次函数关系C.二次函数关系D.以上答案都不对 5. 已知二次函数y ＝x 2－2x ，当y ＝3时，x 的值是( )A.x 1＝1，x 2＝3B. x 1＝－1，x 2＝3C. x 1＝－3D.x 1＝－1，x 2＝－3 6. 如图，直角三角形AOB 中，AB ⊥OB ，且AB ＝OB ＝3.设直线x ＝t 截此三角形所得的阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系式为( )1、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。

20.6.166.16.202022:2522:25:04Jun-2022:252、心不清则无以见道，志不确则无以定功。

二〇二〇年六月十六日2020年6月16日星期二3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。

22:256.16.202022:256.16.202022:2522:25:046.16.202022:256.16.20204、与肝胆人共事，无字句处读书。

6.16.20206.16.202022:2522:2522:25:0422:25:045、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。

Tuesday, June 16, 2020June 20Tuesday, June 16,20206/16/2020 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。

1.5 二次函数的应用第1课时 利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题基础题知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时，这时水面宽度AB 为(C)A ．－20 mB ．10 m C．20 mD ．－10 m2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3 m ，此时距喷水管的水平距离为12m ，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C)A ．y ＝－(x －12)2＋3B ．y ＝－3(x ＋12)2＋3C ．y ＝－12(x －12)2＋3D ．y ＝－12(x ＋12)2＋33．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB ＝4 m ，顶部C 离地面高为4.4 m. (1)以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面 2.8 m ，装货宽度为 2.4 m ，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门．解：(1)如图，过AB 的中点作AB 的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A ，B ，C 的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)． 设抛物线的表达式为y ＝a(x －2)(x ＋2)． 将点C(0，4.4)代入得a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a ＝－1.1， ∴y＝－1.1(x －2)(x ＋2)＝－1.1x 2＋4.4. 故此抛物线的表达式为y ＝－1.1x 2＋4.4. (2)∵货物顶点距地面2.8 m ，装货宽度为2.4，∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可． 将x ＝1.2代入抛物线，得 y ＝2.816＞2.8， ∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内． ∴这辆汽车能够通过大门．知识点2 利用二次函数解决面积问题4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 25．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B) A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675 m 26．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是252cm 2.7．在一幅长80 cm 、宽50 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是y cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，要求纸边的宽度不得少于1 cm ，同时不得超过2 cm.(1)求出y 关于x 的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；(2)此时金色纸边的宽应为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积．解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm ，宽为(50＋2x)cm ， ∴y＝(80＋2x)(50＋2x)＝4x 2＋260x ＋4 000(1≤x≤2)．(2)∵二次函数y ＝4x 2＋260x ＋4 000的对称轴为直线x ＝－652，∴在1≤x≤2上，y 随x 的增大而增大．∴当x ＝2时，y 取最大值，最大值为4 536.答：金色纸边的宽为2 cm 时，这幅挂图的面积最大，最大面积为4 536 cm 2. 中档题8．(2018·绵阳)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2 m ，则水面9．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48 m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值是144m 2.10．如图，小明的父亲在相距2 m 的两棵树间拴了一根绳子，给他做了个简易秋千，拴绳子的地方离地面都是2.5 m ，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m 的小明距较近的那棵树0.5 m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子最低点距离地面的距离为多少米？解：如图，建立平面直角坐标系，由图可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋c.把(－0.5，1)，(1，2.5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧（－0.5）2a ＋c ＝1，a ＋c ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝12.∴绳子所在抛物线的函数表达式为y ＝2x 2＋12.∵当x ＝0时，y ＝12，∴绳子最低点距离地面的距离为0.5 m.11．(2018·荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m ，另外三边由36 m 长的栅栏围成，设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x m ，面积为y m 2.(如图)(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)若矩形空地的面积为160 m 2，求x 的值；(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问丙种植物最多可购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明你的理由．解：(1)y ＝－2x 2＋36x.(9≤x＜18) (2)由题意，得－2x 2＋36x ＝160.解得x 1＝8(舍去)，x 2＝10.∴x 的值为10.(3)设甲、乙、丙三种植物各购买a 棵，b 棵，c 棵．则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝400，14a ＋16b ＋28c ＝8 600，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1 100＋6c ，b ＝1 500－7c. ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1 100＋6c ＞0，1 500－7c ＞0，c ＞0，∴18313＜c ＜21427.∴c 最大为214，即丙种植物最多可以购买214棵． 当c ＝214时，a ＝184，b ＝2，184×0.4＋2×1＋214×0.4＝161.2(m 2)． ∵y＝－2x 2＋36x ＝－2(x －9)2＋162， ∴当x ＝9时，空地的面积最大为162 m 2. ∵162＞161.2，∴这批植物可以全部栽种到这块空地上．第2课时 利用二次函数解决销售问题及其他问题基础题知识点1 商品销售问题1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为(B) A ．y ＝－10x 2－560x ＋7 350 B ．y ＝－10x 2＋560x －7 350 C ．y ＝－10x 2＋350x D ．y ＝－10x 2＋350x －7 3502．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A) A ．5元B ．10元C ．0元D ．6元3．某商店经营某种商品，已知每天获利y(元)与售价x(元/件)之间满足关系式y ＝－x 2＋80x －1 000，则每天最多可获利600元．4．(教材P32习题T3变式)一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示． (1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b.将(10，30)，(16，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝30，16k ＋b ＝24.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝40.∴y 与x 的函数关系式为y ＝－x ＋40(10≤x≤16)．(2)根据题意知，W＝(x－10)y＝(x－10)(－x＋40)＝－x2＋50x－400＝－(x－25)2＋225.∵a＝－1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大．∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144.答：当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．5．(教材P31例变式)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？解：(1)设该型号自行车进价为x元，则标价是1.5x元，由题意，得1．5x×0.9×8－8x＝(1.5x－100)×7－7x，解得x＝1 000.则1.5×1 000＝1 500(元)．答：该型号自行车进价为1 000元，标价为1 500元．(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意，得w＝(51＋a20×3)(1 500－1 000－a)＝－320(a－80)2＋26 460.∵－320＜0，∴当a＝80时，w最大＝26 460.答：该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26 460元．知识点2 其他最值问题6．烟花厂为长沙橘子洲头周六晚上的烟花表演特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h ＝－52t 2＋20t ＋1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(B) A ．3 sB ．4 sC ．5 sD ．6 s7．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x 棵橘子树，果园橘子总个数为y 个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多． 中档题8．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B) A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒9．(2017·天门)飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数表达式是s ＝60t －32t 2，则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒．10．(2018·安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2.(单位：元) (1)用含x 的代数式分别表示W 1，W 2；(2)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？ 解：(1)第二期培植的盆景比第一期增加x 盆，则第二期培植盆景(50＋x)盆，花卉[100－(50＋x)]＝(50－x)盆，由题意，得W 1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x 2＋60x ＋8 000， W 2＝19(50－x)＝－19x ＋950.(2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2＋60x ＋8 000＋(－19x ＋950)＝－2x 2＋41x ＋8 950. ∵－2＜0，－412×（－2）＝10.25，x 为整数，∴当x ＝10时，W 最大，W 最大＝－2×102＋41×10＋8 950＝9 160(元)． 综合题11．(2018·黄冈)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4（1≤x≤8，x 为整数），－x ＋20（9≤x≤12，x 为整数），每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表：(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式；(2)若月利润w(万元)＝当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元)，求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式；(3)当x 为何值吋，月利润w 有最大值，最大值为多少？ 解：(1)根据表格可知：当1≤x≤10(x 为整数)，z ＝－x ＋20； 当11≤x≤12(x 为整数)，z ＝10. ∴z 与x 的关系式为：z ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋20（1≤x≤10，x 为整数），10（11≤x≤12，x 为整数）， 或z ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋20（1≤x≤9，x 为整数），10（10≤x≤12，x 为整数）.(2)当1≤x≤8时，w ＝(－x ＋20)(x ＋4)＝－x 2＋16x ＋80； 当9≤x≤10时，w ＝(－x ＋20)(－x ＋20)＝x 2－40x ＋400； 当11≤x≤12时，w ＝10(－x ＋20)＝－10x ＋200. ∴w 与x 的关系式为：w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋16x ＋80（1≤x≤8，x 为整数），x 2－40x ＋400（9≤x≤10，x 为整数），－10x ＋200（11≤x≤12，x 为整数）. 或w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋16x ＋80（1≤x≤8，x 为整数），x 2－40x ＋400＝121（x ＝9），－10x ＋200（10≤x≤12，x 为整数）.(3)当1≤x≤8时，w＝－x2＋16x＋80＝－(x－8)2＋144. ∴当x＝8时，w有最大值为144.当9≤x≤10时，w＝x2－40x＋400＝(x－20)2.此时w随x增大而减小，∴当x＝9时，w有最大值为121. 当11≤x≤12时，w＝－10x＋200，此时w随x增大而减小，∴当x＝11时，w有最大值为90. ∵90＜121＜144，∴当x＝8时，w有最大值为144.或当1≤x≤8时，w＝－x2＋16x＋80＝－(x－8)2＋144，∴当x＝8时，w有最大值为144；当x＝9时，w＝121；当10≤x≤12时，w＝－10x＋200，此时w随x增大而减小，∴当x＝10时，w有最大值为100.∵100＜121＜144，∴当x＝8时，w有最大值144.。

1.5 二次函数的应用知|识|目|标1．通过回顾建立方程模型解决实际问题的基本方法，在探究“动脑筋”的基础上，理解通过建立二次函数模型解决实际问题的方法．2．根据几何图形及其性质建立二次函数关系，并能解决有关面积的问题．3．能够利用二次函数的最大(小)值解决实际问题中的最值问题．目标一理解建立二次函数模型解决实际问题的方法例1 教材“动脑筋”改编有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20 m，拱顶距离水面4 m.(1)在如图1－5－1所示的平面直角坐标系中，求出该抛物线的函数表达式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h m时，桥下水面的宽为d m，求d关于h的函数表达式；(3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下的顺利航行．图1－5－1【归纳总结】利用二次函数解决拱桥类问题的“五步骤”：(1)恰当地建立平面直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数表达式；(4)代入已知条件或点的坐标求出函数表达式；(5)利用函数表达式解决问题．目标二能利用二次函数解决几何图形的面积问题例2 高频考题如图1－5－2，把一张长15 cm、宽12 cm的矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．设剪去的小正方形的边长为x cm.(1)请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积．(2)当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积是130 cm2?(3)试判断折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值，若有，请求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，请说明理由．图1－5－2【归纳总结】应用二次函数解决面积最大(小)值问题的步骤：(1)分析题中的变量与常量；(2)根据几何图形的面积公式建立函数模型；(3)结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，求出面积的最大(小)值．目标三能利用二次函数最大(小)值解决实际问题中的最值问题例3 教材例题针对训练2017·济宁某商店销售一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数表达式．(2)这种双肩包的销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元/个，若该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，则销售单价应定为多少？【归纳总结】利用二次函数求最值的“三注意”：(1)要把实际问题正确地转化为二次函数问题；(2)列函数表达式时要注意自变量的取值范围；(3)若图象不包括抛物线的顶点，则应根据函数的增减性来确定最值．知识点一利用二次函数求抛物线形实物模型问题将二次函数应用于抛物线形实物相当常见，如抛物线形的桥梁、隧道、涵洞等．解决问题的关键是根据实际情况建立平面直角坐标系，并把关键的尺寸转化成点的坐标，再根据具体情况应用二次函数的知识解决相关问题．知识点二利用二次函数求图形面积的最值问题利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函数表达式，并利用二次函数的图象和性质确定最大或最小面积．其中求几何图形面积的常见方法有：利用几何图形的面积公式求几何图形的面积；利用几何图形面积的和或差求几何图形的面积；利用相似比求几何图形的面积等．解决面积最值问题的一般步骤：(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出表达式；(2)把表达式转化为二次函数的表达式；(3)求二次函数的最大值或最小值．知识点三利用二次函数求销售中的最值问题求销售中的最值问题的实质就是求二次函数的最大值或最小值．此类问题一般是先运用有关利润的公式，建立利润与价格之间的函数表达式，再根据函数的图象和性质求出这个函数的最大值，即得最大利润．(1)有关利润的常见公式：①销售额＝销售单价×销售量；②每件利润＝销售单价－成本单价；③利润＝销售额－总成本＝每件利润×销售量．(2)解销售中的最值问题的步骤：①利用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出表达式；②把表达式转化为二次函数的表达式；③求二次函数的最大值或最小值．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．当销售单价为x元/千克时，日销售量为(－2x＋200)千克．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．当销售单价为多少元/千克时，该公司日获利W(元)最大？最大日获利是多少元？解：W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6450＝－2(x－65)2＋2000.∴当x＝65时，W最大，W最大值＝2000.即当销售单价为65元/千克时，该公司日获利最大，最大日获利是2000元．找出以上解答过程中的错误，并改正．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] 由图，可知拱桥的最高点为坐标原点，易求出抛物线的函数表达式及相应的d 关于h 的函数表达式等．解： (1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2. 由题意，知点B 的坐标为(10，－4)， ∴－4＝a ×102，∴a ＝－125，∴该抛物线的函数表达式为y ＝－125x 2.(2)由题意，知点D 的纵坐标为－(4－h)． 设点D 的横坐标为x(x>0)，则有 －(4－h)＝－125x 2，∴x ＝54－h ，∴d ＝2x ＝104－h.(3)当桥下水面宽为18 m 时，得18＝104－h ，∴h ＝4－8125＝0.76，2＋0.76＝2.76(m )，即水深超过2.76 m 时，就会影响过往船只在桥下的顺利航行．例2 解：(1)(15－2x)(12－2x)cm 2.(2)依题意，得(15－2x)(12－2x)＝130，即2x 2－27x ＋25＝0，解得x 1＝1，x 2＝252(不合题意，舍去)，∴当剪去的小正方形的边长为1 cm 时，其底面积是130 cm 2.(3)设长方体盒子的侧面积是S ，则S ＝2[(15－2x )x ＋(12－2x )x ]，即S ＝54x －8x 2，∴S ＝－8⎝⎛⎭⎪⎫x －2782＋7298(0＜x ＜6)．∵－8＜0，∴当x ＝278时，S 最大值＝7298，即当剪去的小正方形的边长为278 cm 时，长方体盒子的侧面积有最大值7298 cm 2.例3 解：(1)w ＝(x －30)·y ＝(－x ＋60)(x －30)＝－x 2＋30x ＋60x －1800＝－x 2＋90x －1800，即w 与x 之间的函数表达式为w ＝－x 2＋90x －1800(30≤x ≤60)．(2)根据题意，得w ＝－x 2＋90x －1800＝－(x －45)2＋225(30≤x ≤60)， ∵－1＜0，∴当x ＝45时，w 有最大值，最大值是225.答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．(3)当w ＝200时，－x 2＋90x －1800＝200，解得x 1＝40，x 2＝50. ∵50＞48，∴x 2＝50不符合题意，舍去．答：若该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，则销售单价应定为40元/个． 【总结反思】[反思] 错误之处：∵30≤x ≤60，∴顶点的横坐标65不在自变量的取值范围内，∴最大值不是顶点的纵坐标． 改正：由函数的增减性，可知当x ＝60时，W 有最大值， W 最大值＝－2×(60－65)2＋2000＝1950.即当销售单价为60元/千克时，该公司日获利最大，最大日获利是1950元．。

湘教版九年级下册数学第1章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、.已知点（－2，y1），（1，0），（3，y2）都在二次函数的图象上，则y1，0，y2的大小关系是（）A. B. C. D.2、二次函数与图象的不同之处是（）A.对称轴B.开口大小C.开口方向D.顶点坐标3、如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A. B. C. D.4、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是（）A.﹣4＜P＜0B.﹣4＜P＜﹣2C.﹣2＜P＜0D.﹣1＜P＜05、在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是（）A. B. C.D.6、若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A.m＞1B.m＞0C.m＞﹣1D.﹣1＜m＜07、下列关系式中，属于二次函数（为自变量）的是（）A. B. C. D.y=-x+18、如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3其中正确的有（）A.1B.2C.3D.49、已知二次函数y=-x2+x- ，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m-1、m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（）A.y1＞0、y2＞0 B.y1＜0、y2＜0 C.y1＜0、y2＞0 D.y1＞0、y2＜010、已知（﹣2，a），（3，b）是函数y＝﹣4x2+8x+m上的点，则（）A.b＜aB.a＜bC.b＝cD.a，b的大小关系不确定11、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.412、如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，点E在AD上，且AE=3cm，点P、Q 同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒，△BPQ的面积为ycm2．则y与t的函数关系图象大致是（）A. B. C.D.13、若抛物线y=（m﹣1）x 开口向下，则m的取值是（）A.﹣1或2B.1或﹣2C.2D.﹣114、某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每kg50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨一元，月销售量就减少10kg．设销售单价为每kg x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A. y＝（x﹣40）（500﹣10 x）B. y＝（x﹣40）（10 x﹣500） C. y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D. y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]15、在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为________．17、如图，Rt△OAB的顶点A（﹣4，8）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为________18、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，则将每件的销售价定为________ 元时，可获得最大利润．19、抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B，与y轴交于C，则△ABC的面积＝________．20、若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1， 4）、B（x1+x2， n）、C（x2， 4），则n的值为________.21、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：⑴ac＜0；⑵抛物线顶点坐标为（1，5）；⑶3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；⑷当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的序号为________.22、某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件.则每周售出商品的利润（单位：元）与每件降价（单位：元）之间的函数关系式为________.（化成一般形式）23、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是________．24、如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是________ ．25、某长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（x＞0），面积为ycm2，则y与x的关系式为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、二次函数图像的顶点坐标是（-2，3），并经过点（1，2），求这个二次函数的函数关系式．27、已知：二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式．28、如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）．29、用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？30、已知二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象交于两点A（﹣2，﹣5）和B（1，4），且二次函数图象与y轴的交点在直线y=2x+3上，求这两个函数的解析式．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、D3、C4、A5、C6、B7、A8、B9、B10、B11、B12、B13、D14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。