九年级成比例线段知识点

第11讲 成比例线段与平行线分线段成比例课程标准1.认识形状相同的图形，结合实例能识别生活中形状相同的图形；2.了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法；3.理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题；4.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论；5.能熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论解决相关问题。

知识点01 形状相同的图形形状 ，大小、位置 的图形叫做形状相同的图形。

一般而言，形状相同的图形就是相似图形。

全等图形是一种特殊的形状相同的图形。

注意：（1）形状相同的图形不受图形的位置与大小的约束。

（2）大小不一定相同是指图形的周长、面积等可以不同。

（3）成旋转对称或成轴对称的两个图形一定是形状相同的图形。

知识点02 两条线段的比1．两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即n m CD AB ::=，或者写成n m CD AB =。

其中，线段AB ,CD 分别叫做这个线段比的和。

如果把nm表示为比值k ，那么k CDAB=或者CD k AB ⋅=。

2．比例尺在地图或工程图纸上， 与它所表示的 通常称为比例尺。

比例尺是两条线段的比的一种。

知识点03 成比例线段四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。

类似地，还可以得到c d a b =，bda c =分别对应b ，a ，d ，c 成比例，c ，a ，d ，b 成比例。

知识精讲目标导航注意： （1）如果cbb a =，那么b 叫做a 和c 的比例中项； （2）在比例式a ：b =c ：d 中，b ，c 称为内项，a ，d 称为外项，d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

（3）在通常情况下，四条线段a ，b ，c ，d 的长度单位应该一致，但有时为了方便，也可以a 与b 的长度单位一致，c 与d 的长度单位一致。

九年级比例线段知识点总结九年级数学学习的重要一环就是比例线段的知识。

比例线段是指两个线段的长度之间存在着相等的比例关系。

在九年级，学生需要通过掌握比例线段的相关知识来解决实际生活中的问题。

本文将对九年级比例线段知识点进行总结。

比例线段的定义和性质首先，我们来了解比例线段的定义和性质。

在图形中，如果两条线段之间的长度比相等，那么我们可以说这两条线段是成比例的。

具体来说，如果在线段AB和CD上，有一个点E使得AE：EB = CE：ED，我们就可以称AB与CD是成比例的。

比例线段的比例关系在数学中非常重要。

根据比例线段的性质，我们可以推导出一些重要的结论。

比如，如果一条线段被分割成两个比例相等的部分，那么这条线段的两个部分与整条线段的比例也相等。

比例线段的应用在实际生活中，比例线段的知识广泛应用于各个领域。

例如，我们可以通过比例线段的知识求解几何图形中的未知边长。

当我们已知一个图形中的线段比例，而另一个线段的长度是未知的时候，我们可以通过比例关系来求解未知线段的长度。

另一个应用场景是地图测量。

比例线段可以帮助我们计算实际地图上两点之间的距离。

当我们知道地图上的一个距离与实际距离之间的比例关系时，我们可以通过比例线段来计算其他距离的实际值。

比例线段的运算在九年级，我们也需要学习比例线段的运算。

比例线段的运算包括两个方面：比例的乘法和比例的除法。

比例的乘法指的是，当我们已知两个比例线段相等的时候，我们可以将其相乘得到一个等于的比例。

例如，如果线段AD与BC 成比例，而线段DE与EF也成比例，那么我们可以得到AD：BC = DE：EF，我们还可以得到AD：EF = BC：DE，这个过程叫做比例的乘法。

比例的除法就是比例的相除运算。

当我们已知一个比例等于另一个比例的乘积时，我们可以通过比例的相除运算，求得两个比例相等的关系。

例如，如果AD：BC = DE：EF，而AD与EF也成比例，那么我们可以通过除法得到AD：EF = BC：DE。

比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

成比例线段知识点
成比例线段是初中数学中重要的概念之一，它涉及到线段的比例关系和相似三
角形的性质。

在学习成比例线段的过程中，我们需要掌握以下几个知识点：
1. 成比例线段的定义
成比例线段是指在两个线段中，它们的比等于另外两个线段的比。

即如果线段AB和线段CD成比例，那么就有AB/CD = AC/BD。

这个比例关系在几何学中非常
重要，它可以帮助我们解决许多与线段长度有关的问题。

2. 成比例线段的性质
成比例线段具有一些重要的性质，比如说如果两个线段成比例，那么它们的长
度比是唯一确定的，即使线段长度发生变化，它们的比例关系仍然成立。

此外，成比例线段的比例也可以用比例的倒数来表示，比如说如果AB/CD = 2/3，那么
CD/AB = 3/2。

3. 成比例线段的应用
成比例线段的应用非常广泛，它可以帮助我们解决许多实际问题，比如说测量
不规则图形的边长、比较不同尺寸的物体、计算地图的比例尺等。

在实际生活中，我们经常会用到成比例线段的知识，因此掌握好这个知识点对我们的日常生活和学习都非常有帮助。

总的来说，成比例线段是初中数学中的重要知识点，它涉及到线段的比例关系
和相似三角形的性质。

通过学习成比例线段，我们可以更好地理解线段的比例关系，解决实际问题，提高数学的应用能力。

希望同学们能够认真学习成比例线段的知识，掌握好相关的概念和性质，从而在数学学习中取得更好的成绩。

九年级数学上册知识点图形的相似一、成比例线段1.定义：（1）线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

2.定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

2.平行于三角形一边的直线与其他两边相交。

截得的线段成比例。

三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

四、探索三角形相似的条件1.两角分别相等的两个三角形相似。

2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3.三边成比例的两个三角形相似。

4.概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

五、相似三角形判定定理的证明判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

六、利用相似三角形测高1.利用阳光下的影子2.利用标杆3.利用镜子的反射七、相似三角形的性质1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。

九年级线段成比例知识点一、什么是线段成比例？线段成比例是指两个线段之间的比值相等。

即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。

二、线段成比例的判定方法1. 基于长度的判定方法：设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。

（1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。

（2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。

2. 基于相似三角形的判定方法：我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。

（1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。

（2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。

三、线段成比例的性质1. 线段成比例的交叉乘积性质：设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立：AB × GH = CD × EF这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。

2. 平行线段上的线段成比例性质：如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立：AO/OD = BO/OC这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。

四、线段成比例的应用线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。

在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。

在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。

简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。

在学习几何学和代数学的过程中，我们需要掌握线段成比例的判定方法、性质和应用，以便能够灵活运用这一概念解决各种数学问题。

以上就是九年级线段成比例的相关知识点，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一概念。

初中数学“成比例线段”知识点全解析一、引言成比例线段是初中数学中的一个重要概念，它是研究比例关系的基础。

理解并掌握成比例线段的概念和性质，对于提高学生分析问题和解决问题的能力具有重要意义。

本文将详细解析成比例线段的概念、性质、判定方法以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

二、成比例线段的概念1.定义：如果四条线段a, b, c, d满足a/b = c/d，那么我们就说这四条线段是成比例的，记作a:b = c:d。

2.术语解析：在a:b = c:d中，a和d称为比例的外项，b和c称为比例的内项。

三、成比例线段的性质1.等比性质：若a:b = c:d，则(a+b)/b = (c+d)/d。

这一性质表明，成比例线段的对应项之和与原线段的比例关系相同。

2.合比性质：若a:b = c:d，则(a-b)/b = (c-d)/d。

这一性质表明，成比例线段的对应项之差与原线段的比例关系相同。

3.更比性质：若a:b = c:d，则a/c = b/d。

这一性质表明，成比例线段的交叉项之比相等。

4.反比性质：若a:b = c:d，且b和d均不为0，则a/b = d/c。

这一性质表明，成比例线段的交叉项之积相等。

四、成比例线段的判定方法1.直接判定法：根据定义直接判断四条线段是否满足a/b = c/d。

2.等比中项法：如果两条线段的平方等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段是成比例的。

即如果a² = bc，那么a, b, c以及另一条与它们成比例的线段d构成成比例线段。

3.相似三角形法：在相似三角形中，对应边之间的比例是相等的。

因此，可以通过证明两个三角形相似来判定四条线段是否成比例。

五、成比例线段的应用1.几何图形中的应用：在几何图形中，常常利用成比例线段的性质来解决一些问题，如证明两直线平行、证明两角相等、计算线段的长度等。

2.实际生活中的应用：在实际生活中，许多现象都与成比例线段密切相关。

例如，建筑设计师在设计建筑物时需要考虑不同部分之间的比例关系；摄影师在拍摄照片时需要运用成比例线段的原理来构图等。

九年级数学平行线分线段成比例知识点精讲平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。

推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。

1简介编辑平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线段，称其为平行线等分线段。

[1]图12定理证明编辑设三条平行线与直线m 交于A、B、C 三点，与直线n 交于D、E、F 三点。

连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF，∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。

由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。

3定理推论编辑过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。

平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。

②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

01平行线分线段成比例的基本事实1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

2.符号表示：如图02平行线分线段成比例的基本事实的推论1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

九年级数学比例线段知识点一、比例线段的概念。

1. 定义。

- 如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。

例如，若a:b = c:d（b、d≠0），那么就说a、b、c、d四个数成比例，其中a、d称为比例外项，b、c称为比例内项。

- 若a:b=b:c（b≠0），则b叫做a与c的比例中项，此时b^2=ac。

2. 比例的基本性质。

- 若a:b = c:d，则ad = bc；反之，若ad=bc（a、b、c、d都不为0），则a:b = c:d。

3. 合比性质。

- 如果(a)/(b)=(c)/(d)，那么(a± b)/(b)=(c± d)/(d)。

4. 等比性质。

- 如果(a)/(b)=(c)/(d)=·s=(m)/(n)(b + d+·s+n≠0)，那么(a + c+·s+m)/(b +d+·s+n)=(a)/(b)。

二、成比例线段。

1. 定义。

- 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

例如，若线段a、b、c、d满足(a)/(b)=(c)/(d)，则a、b、c、d是成比例线段。

2. 比例尺。

- 比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比。

公式为：比例尺=(图上距离)/(实际距离)。

例如，比例尺为1:500表示图上1厘米代表实际距离500厘米（5米）。

三、相似多边形中的比例线段。

1. 相似多边形的定义。

- 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。

- 相似多边形对应边的比称为相似比。

例如，若多边形ABCDE与多边形A'B'C'D'E'相似，且(AB)/(A'B')=(BC)/(B'C')=·s=(AE)/(A'E')=k，k就是它们的相似比。