2019版一轮优化探究理数练习：第九章 第十节 直线与圆锥曲线的位置关系 含解析

. 直线与圆锥曲线的位置关系
.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点若
，则．
.过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则．
.已知椭圆（＞＞）的右焦点为，右准线为，离心率过顶点(，)作,垂足为，则直线的斜率等于.
.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为.
.已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为，一条准线方程为：＝.
()求椭圆的标准方程；
()设为坐标原点，是椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作的垂
线与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值．
.过点(，)的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点．
（）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；
（Ⅱ）当点异于点时，求证：为定值．
.已知抛物线:上横坐标为的点到焦点的距离为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线交于两点，，且（，且为常数）.过弦的中点作平行于轴的直线交抛物线于点，连结、得到.
（）求证：；
（）求证：的面积为定值.
【回顾反思】
．直线与圆锥曲线的位置关系。

第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( ) (5)过点(2，4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－baB ．k ＜baC ．k ＞b a 或k ＜－baD ．－b a ＜k ＜b a解析：选D.由双曲线渐近线的几何意义知 －b a ＜k ＜ba.过点⎝⎛⎭⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( ) A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定解析：选B.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx －1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 1－12⎝⎛⎭⎫kx 2－12＝(k 2＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－14.故选B.已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.答案：14斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____________．解析：设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4（t 2－1）5＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 答案：4105直线与圆锥曲线的位置关系[典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)， 所以c ＝1.将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2. 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线与圆锥曲线方程联立，消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，设其判别式为Δ， (1)Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； (2)Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； (3)Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．[提醒] 注意讨论二次项系数是否为零．[通关练习]1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条． 解析：结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案：32．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．。

1．过点 P(－ 2,0)的直线与抛物线2＝ 4x1C ：y 订交于 A 、B 两点，且 |PA|＝ |AB| ，则点 A2到抛物线 C 的焦点的距离为 ()5 7 A. 3B.59C.7 D ． 2答案A分析设 A(x 1 ，y 1)、 B(x 2， y 2) ，分别过点 A 、B 作直线 x ＝－ 2 的垂线，垂足分别为点1D 、 E.∵ |PA|＝ 2|AB| ，∴1＋＝ x 2 ＋2， 又 y 21＝ 4x 1 ，得 x 1＝ 2，则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为3y 1＝ y 2，y 22＝4x 2，32 51＋＝ .3 32．设 F 为抛物线 C ：y 2＝ 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为30°的直线交 C 于 A ，B 两点， O为坐标原点，则△ OAB 的面积为 ()3 3 9 3A.4B. 8639 C.32D.4答案 D分析由已知得 F3，0 ，故直线 AB 的方程为 y ＝ tan30 °·3 ，即 y ＝ 3 34 3 x － 4 .x － 4 设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，联立33y ＝ 3 x －4 ， ①y 2＝ 3x ， ②将①代入②并整理得1 273＝ 0， 3x － x ＋162∴ x 1＋ x 2＝21， 221 3∴线段 |AB| ＝ x 1＋ x 2＋ p ＝ 2 ＋ 2＝ 12.3又原点 (0,0)到直线 AB 的距离为 d ＝4.＝381＋ 131139∴ S△OAB＝ |AB|d ＝×12×＝ .22843.已知点 A( － 2,3)在抛物线 C： y2＝ 2px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为 ()12A. 2B.334C.4D.3答案D分析由题意可知准线方程x＝－p＝－ 2，∴ p＝ 4，∴抛物线方程为 y2＝8x. 由已知易得2过点 A 与抛物线 y2＝ 8x 相切的直线斜率存在，设为k，且 k>0 ，则可得切线方程为 y－3＝k(x ＋ 2)．联立方程y－ 3＝＋，y2＝ 8x，消去 x 得 ky 2－ 8y＋ 24＋ 16k＝ 0.(*)由相切得＝ 64－4k(24＋ 16k) ＝0，解得k＝ 12或k＝－ 2( 舍去 )，代入 (*) 解得y＝8，把y＝ 8 代入 y2＝ 8x，得 x＝ 8，即切点 B 的坐标为 (8,8) ，又焦点 F 为 (2,0) ，故直线 BF 的斜率为43.2＝ x 的焦点，点 A ，B 在该抛物线上且位于→ →4．已知 F 为抛物线 y x 轴的双侧， OA ·OB ＝2(此中 O 为坐标原点 )，则△ ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是 ()A． 2 B ．3172C. 8D. 10答案B分析设 AB 所在直线方程为x＝ my＋ t.x＝ my＋ t，由消去 x，得 y2－ my－ t＝ 0.y2＝ x，设 A(y 2， y )， B(y 2， y )(不如令 y >0， y <0)，112212故 y21＋y22＝ m， y1y2＝－ t.→→而 OA·OB＝y21y22＋ y1y2＝ 2.解得 y1y2＝－ 2 或 y1 y2＝ 1(舍去 )．所以－ t＝－ 2，即 t＝ 2.所以直线 AB 过定点 M(2,0) ．1而 S△ABO＝S△AMO＋ S△BMO＝2|OM||y 1－ y2|＝ y1－ y2，1111S△AFO＝ |OF| ×y1＝× y1＝ y1，2248故 S△ABO＋ S△AFO＝ y1－ y21999y1＋ (－ y2) ≥29＝＋ y1＝y1－ y2.由 y1－ y2＝8y1× － y2 8888928×2＝ 3，得 S△ABO＋S△AFO的最小值为 3，应选 B.5．在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x2－ y2＝ 1 右支上的一个动点．若点P 到直线 x－ y＋ 1＝ 0 的距离大于 c 恒建立，则实数 c 的最大值为 ________．答案2 2分析直线 x－y＋ 1＝ 0 与双曲线 x2－ y2＝ 1 的一条渐近线 x－ y＝ 0 平行，这两条平行线之间的距离为2，又 P 为双曲线 x2－ y2＝ 1右支上的一个动点，点P 到直线 x－ y＋1＝ 0 2的距离大于 c 恒建立，则 c≤2，即实数 c 的最大值为2 2 2.6．设 F 为抛物线 C： y2＝ 4x 的焦点，过点P(－ 1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A ，B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点．若 |FQ|＝ 2，则直线 l 的斜率等于 ________．答案±1分析设直线 AB 方程为 x＝ my － 1(m≠0)，A(x 1，y1)，B(x 2，y2)，联立直线和抛物线方程，整理得， y2－ 4my ＋ 4＝0，由根与系数关系得y1＋ y2＝ 4m，y1y2＝ 4.故 Q(2m2－ 1,2m) ．由|FQ|＝ 2 知2＋2－1－2＝ 2，解得 m2＝ 1 或 m2＝ 0(舍去 )，故直线 l 的斜率等于±1(此时直线 AB 与抛物线相切，为知足题意的极限状况)．7．已知动点 P 到直线 l： x＝－ 1的距离等于它到圆C： x2＋ y2－ 4x＋ 1＝ 0的切线长 (P 到切点的距离 )．记动点 P 的轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)点 Q 是直线 l 上的动点，过圆心 C 作 QC 的垂线交曲线 E 于 A，B 两点，设 AB 的中点为 D，求|QD|的取值范围．|AB|解 (1) 由已知得，圆心为C(2,0) ，半径 r ＝ 3. 设 P(x ， y) ，依题意可得|x ＋ 1|＝－ 22＋ y2－ 3，整理得 y2＝ 6x.故曲线 E 的方程为 y2＝ 6x.(2)设直线 AB 的方程为 my ＝ x－ 2，则直线 CQ 的方程为 y＝－ m(x －2)，可得 Q(－1,3m) ．将my＝ x－ 2 代入 y2＝ 6x 并整理可得 y2－ 6my － 12＝ 0，设 A(x 1， y1)， B(x 2， y2)，则 y1＋ y2＝ 6m， y1y2＝－ 12，D(3m 2＋ 2,3m)， |QD|＝ 3m2＋ 3. |AB|＝2 3＋ m22＋，所以|QD|23m2＋ 311∈3，1，故|QD|∈31 |AB|＝＝4 1－2＋ 44|AB|4，2.2＋3m16x2y228．已知椭圆 E：a2＋b2＝ 1(a>b>0) 过点 (0，2)，且离心率 e＝2 .(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线 l： x＝my－ 1(m∈ R) 交椭圆 E 于 A ， B 两点，判断点G－9，0与以线段 AB 4为直径的圆的地点关系，并说明原因．解解法一： (1)由已知得，b＝2，a＝ 2，c＝2，解得b＝ 2，a2c＝ 2.222a ＝b ＋c .x2y2所以椭圆 E 的方程为 4 ＋2＝1.(2)设点 A(x 1 ，y 1)， B(x 2， y 2)， AB 的中点为 H(x 0， y 0)．x ＝ my － 1， 由x 2＋ y 2＝ 1 4 2得 (m 2＋ 2)y 2－ 2my － 3＝ 0，所以 y 1＋ y 2＝2m， y 1y 2＝－ 3，22m ＋ 2m ＋ 2m进而 y 0＝ m 2＋ 2.2＝ x 0＋9 2 2 5 222 ＋ 1)y 25 25所以 |GH|4＋ y 0＝ my 0＋4＋ y 0＝ (m 0＋ my 0＋.216|AB|21－ x22＋1－ y22＋ m 21－ y 224 ＝4＝4＝＋ m 21＋ y 22－ 4y 1y 2]422＝ (1＋ m )(y 0 －y 1y 2 )，2－|AB| 25 my 0 ＋2＋25＝ 5m 2＋m 2 ＋ 25＝故 |GH| 4＝2(1 ＋ m )y 1y 2 162＋－216m ＋ 217m 2＋ 2|AB|2＋>0，所以 |GH|> 2 .故点 G －9，0 在以 AB 为直径的圆外．4解法二： (1)同解法一．→9(2)设点 A(x 1 ，y 1)， B(x 2， y 2)，则 GA ＝ x 1＋4， y 1 ，→9GB ＝ x 2＋4， y 2 .x ＝ my － 1，得 (m 2＋ 2)y 2－ 2my － 3＝ 0， 由 x 2 y 24 ＋2 ＝ 1所以 y 1＋ y 2＝ 2m 3 ，2 ， y 1y 2＝－ 2m ＋ 2 m ＋ 2→ → 1＋ 9 2＋ 9 ＋ y 1＋ 5 2＋ 55进而 GA ＝ x x 1 ＝ mymy ＋ y 1 2 ＝ (m 2＋ 1)y 1 2 ＋ 1 ＋·GB 44y 44y 4m(yy5217m 2＋ 2 25 －2＋2m25y 2) ＋ 16＝m 2＋ 2 ＋ m 2＋2＋ 16＝2＋ >0，→→→ →所以 cos 〈 GA ， GB 〉>0. 又 GA ， GB 不共线，所以∠ AGB 为锐角．故点 G －9， 0 在以 AB 为直径的圆外．4223，F 是椭圆 E 的右焦点，x 2 y 29．已知点 A(0 ，－ 2)，椭圆 E ：a ＋ b ＝ 1(a>b>0) 的离心率为 2直线 AF 的斜率为 2 3 3， O 为坐标原点．(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 订交于 P ， Q 两点，当△ OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解 (1)设 F(c,0)，由条件知， 2c ＝ 2 3 3，得 c ＝ 3.又 c ＝ 3，所以 a ＝ 2，b 2＝ a 2－ c 2＝ 1. a 22故 E 的方程为 x＋ y 2＝ 1.4(2)当 l ⊥ x 轴时不合题意，故设l ： y ＝ kx － 2，P(x 1， y 1)， Q(x 2， y 2)．2将 y ＝ kx － 2 代入 x4 ＋ y 2＝ 1，得 (1＋ 4k 2)x 2－16kx ＋ 12＝ 0.当＝ 16(4k 2－3)>0 ，即 k 2>3时，4x 1,2＝ 8k ±2 4k 2－ 3.4k 2＋ 1进而 |PQ|＝4 k 2 ＋1· 4k 2－ 3k 2＋ 1|x 1－ x 2|＝ 21 .4k ＋又点 O 到直线 PQ 的距离 d ＝2 ，k 2＋1所以△ OPQ 的面积1 4 4k 2－ 3.S △ OPQ ＝d ·|PQ|＝224k ＋ 1设4k 2－ 3＝ t ，则 t>0，S △OPQ ＝ 2 4t ＝4 .t ＋44t ＋ t由于 t ＋ 4≥4，当且仅当 t ＝ 2，即 k ＝ ±7时等号建立，且知足>0.t2所以，当△ OPQ 的面积最大时， l 的方程为77y ＝ 2 x －2 或 y ＝－ 2 x － 2.10．圆 x 2＋ y 2＝ 4 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积x 2 y 2最小时，切点为P(如图 )．双曲线 C 1： a 2－ b 2＝ 1 过点 P 且离心率为3.(1)求 C 1 的方程；(2)椭圆 C 2 过点 P 且与 C 1 有同样的焦点， 直线 l 过 C 2 的右焦点且与C 2交于 A ，B 两点，若以线段 AB 为直径的圆过点P ，求 l 的方程．解 (1)设切点坐标为 (x 0，y0)(x 0>0，y0>0) ，则切线斜率为－x0，切线方程为 y－ y0＝－x0 y0y0(x－ x0) ，即 x0 x＋ y0y＝ 4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为1 44 S＝··＝2 x0y08.由 x02＋ y02＝ 4≥2x0 y0，知当且仅当 x0＝ y0＝2时 x0y0有最大值，即 S 有最小值，所以点 P x0y0的坐标为 (2， 2)．22解得 a2＝ 1， b2＝ 2，故 C1的方程为 x2－y2由题意知 a2－b2＝1，＝ 1.a2＋ b2＝ 3a2，222(2)由 (1)知 C2的焦点坐标为 (－3， 0)， (3， 0)，由此设 C的方程为x2＋y2＝1，其2 1 b13＋ b中 b1>0.由 P(2， 2)在 C2上，得22＋22＝1，3＋b1b122解得 b2＝ 3.所以 C的方程为x＋y＝ 1.1263明显， l 不是直线 y＝ 0.设 l 的方程为 x＝ my＋3，点 A(x 1， y1)， B(x2，y2)，x＝ my ＋3，得 (m2＋ 2)y 2＋ 2 3my － 3＝ 0，又 y1， y2是方程的根，由x2y26＋3＝1，y1＋ y2＝－22 3m，①m ＋ 2所以－3y1 y2＝m2＋2.②由 x1＝ my1＋ 3， x2＝ my2＋ 3，得x1＋ x2＝1＋y2＋2 3＝42 3 ，③m＋2x1x2＝ m2 y1 y2＋ 31＋y2＋ 3＝6－ 6m22. ④m ＋ 2→→由于 AP ＝( 2－ x1，2－ y1)， BP＝ ( 2－ x2，2－ y2)．→→由题意知 AP ·BP＝ 0，所以 x1x2－2(x 1＋ x2)＋ y1y2－2(y 1＋ y2)＋ 4＝ 0.⑤将①，②，③，④代入⑤式整理，得2m2－ 2 6m＋ 46－ 11＝ 0，解得 m ＝326－ 1 或 m ＝－6＋ 1.所以直线 l 的方程为 x －3 6－ 1 y － 3＝ 0 或 x ＋226－ 1 y － 3＝ 0.211．如图，已知两条抛物线 E 1 ：y 2＝ 2p 1x(p 1>0) 和 E 2：y 2＝ 2p 2x(p 2>0)，过原点 O 的两条直线 l 1 和 l 2， l 1 与 E 1， E 2 分别交于 A 1， A 2 两点， l 2 与 E 1， E 2 分别交于 B 1， B 2 两点．(1)证明： A 1B 1∥ A 2B 2；(2)过 O 作直线 l(异于 l 1，l 2)与 E 1， E 2 分别交于 C 1，C 2 两点．记△ A 1B 1C 1 与△ A 2B 2C 2S 1的面积分别为 S 1 与 S 2，求的值．解 (1)证明：设直线 l 1， l 2 的方程分别为 y ＝ k 1x ，y ＝ k 1x ，得 A 1 2p 1 2p 1y ＝ k 2x(k 1， k 2≠ 0)，则由 22 ， k 1 ，y ＝ 2p 1x ， k 1y ＝ k 1x ，得 A 22p 2 2p 2由2 ，.y 2＝ 2p 2x ，k 1k 1同理可得 B 12p 1，2p 1， B 22p 2 2p 22 k 2 2 ，.k 2k 2k 2→＝ 2p 21－ 2p 21，2p 1－ 2p 1所以 A1B 1 k 2 k 1 k 2 k 11 1 1 1＝ 2p 1 k 22 － k 21 ，k 2－ k 1 .→ 2p 2 2p 2 2p 22p 2A 2B 2＝ ， －2 － 2 k 2 k 1k 2 k 1 1 1 1 1＝ 2p 2 k 22 － k 21 ，k 2－ k 1 .→→ p 1故A 1B 1＝ A 2B 2，所以 A 1B 1∥A 2B 2.p 2(2)由 (1)知 A 1B 1∥ A 2B 2 ，同理可得 B 1C 1∥ B 2C 2， C 1A 1∥ C 2A 2.所以△ A 1B 1C 1 ∽△ A 2B 2C 2.→所以S1＝|A1B1| 2. S2→|AB|22→p1又由 (1)中的 A 1B 1＝p2→→|A 1B1| p1 S12p1 A2B2知→＝p2.故S2＝p22.|A 2B 2|。

基础知识整合１．直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或关于y）的一元二次方程．如联立后得到以下方程：Ax２＋Bx＋C＝0（A≠0），Δ＝B２—４AC.若Δ<0，则直线与圆锥曲线错误!没有公共点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线错误!有且只有一个公共点；若Δ>0，则直线与圆锥曲线错误!有两个不同的公共点．２．弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 后得到关于x的一元二次方程．当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A（x１，y１），B（x２，y ２），直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!·错误!.再利用根与系数的关系得出x１＋x２，x１x２的值，代入上式计算即可．３．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．（１）利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．（２）点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x１，y１），B（x２，y ２），代入曲线方程，通过作差，构造出x１＋x２，y１＋y２，x１—x２，y１—y２，从而建立中点坐标和斜率的关系．解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法（１）解决焦点弦（过圆锥曲线焦点的弦）的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义．（２）已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．（３）圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．１．直线y＝kx—k＋１与椭圆错误!＋错误!＝１的位置关系为（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不确定答案A解析直线y＝kx—k＋１＝k（x—１）＋１恒过定点（１,１），又点（１,１）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．２．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）与直线y＝２x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（１，错误!]Ｃ．（错误!，＋∞）Ｄ．[错误!，＋∞）答案C解析因为双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，则由题意得错误!>２，所以e＝错误!＝错误!>错误!＝错误!.３．过抛物线y２＝２x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于２，则这样的直线（）Ａ．有且只有一条Ｂ．有且只有两条Ｃ．有且只有三条Ｄ．有且只有四条答案B解析若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为１，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB 的斜率为k，则直线AB为y＝k错误!，代入抛物线y２＝２x，得k２x２—（k２＋２）x＋错误!k２＝0，因为A，B两点的横坐标之和为２．所以k＝±错误!.所以这样的直线有两条．４．（２0１8·全国卷Ⅰ）设抛物线C：y２＝４x的焦点为F，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线与C交于M，N两点，则错误!·错误!＝（）Ａ．５Ｂ．6 C．7 Ｄ．8答案D解析根据题意，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线方程为y＝错误!（x＋２），与抛物线方程联立错误!消去x并整理，得y２—6y＋8＝0，解得M（１,２），N（４,４），又F（１,0），所以错误!＝（0,２），错误!＝（３,４），从而可以求得错误!·错误!＝0×３＋２×４＝8，故选Ｄ．５．（２0１8·山西阳泉质检）椭圆mx２＋ny２＝１与直线x＋y—１＝0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为错误!，则错误!的值为________．答案错误!解析解法一：设A（x１，y１），B（x２，y２），M（x0，y0），所以kOM＝错误!＝错误!，kAB＝错误!＝—１，由AB的中点为M可得x１＋x２＝２x0，y１＋y２＝２y0．由A，B在椭圆上，可得错误!两式相减可得m（x１—x２）（x１＋x２）＋n（y１—y２）（y１＋y２）＝0，则m（x１—x２）·２x0—n（x １—x２）·２y0＝0，整理可得错误!＝错误!.解法二：设A（x１，y１），B（x２，y２），M（x0，y0），联立方程错误!可得（m＋n）x２—２nx＋n—１＝0，所以x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝２—（x１＋x２）＝错误!.由中点坐标公式可得，x0＝错误!＝错误!，y0＝错误!＝错误!.因为M与坐标原点的直线的斜率为错误!，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!.6．（２0１8·太原模拟）已知抛物线y２＝４x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O 为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为________．答案错误!解析因为抛物线y２＝４x的焦点F的坐标为（１,0），当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝４，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k（x—１），与y２＝４x联立，消去x得ky２—４y—４k＝0．设A（x １，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，所以|y１—y２|＝错误!，因为|AB|＝错误! |y１—y２|＝6，所以４错误!＝6，解和k＝±错误!，所以|y１—y２|＝错误!＝２错误!，所以△AOB的面积为错误!×１×２错误!＝错误!.核心考向突破考向一直线与圆锥曲线的位置关系例１已知直线l：y＝２x＋m，椭圆C：错误!＋错误!＝１．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：（１）有两个不重合的公共点；（２）有且只有一个公共点；（３）没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组错误!将１代入２，整理得9x２＋8mx＋２m２—４＝0．３方程３根的判别式Δ＝（8m）２—４×9×（２m２—４）＝—8m２＋１４４．（１）当Δ>0，即—３错误!<m<３错误!时，方程３有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．（２）当Δ＝0，即m＝±３错误!时，方程３有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．（３）当Δ<0，即m<—３错误!或m>３错误!时，方程３没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．触类旁通１判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.２依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.即时训练１．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左焦点为F１（—１,0），且点P（0,１）在C１上．（１）求椭圆C１的方程；（２）设直线l同时与椭圆C１和抛物线C２：y２＝４x相切，求直线l的方程．解（１）因为椭圆C１的左焦点为F１（—１,0），所以c＝１．将点P（0,１）代入椭圆方程错误!＋错误!＝１，得错误!＝１，即b＝１，所以a２＝b２＋c２＝２．所以椭圆C１的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由错误!消去y并整理得（１＋２k２）x２＋４kmx＋２m２—２＝0．因为直线l与椭圆C１相切，所以Δ１＝１6k２m２—４（１＋２k２）（２m２—２）＝0．整理得２k２—m２＋１＝0．１由错误!消去y并整理得k２x２＋（２km—４）x＋m２＝0．因为直线l与抛物线C２相切，所以Δ２＝（２km—４）２—４k２m２＝0，整理得km＝１．２综合１２，解得错误!或错误!所以直线l的方程为y＝错误!x＋错误!或y＝—错误!x—错误!.考向二弦长问题例２（２0１8·北京高考）已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，焦距为２错误!.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，Ｂ．（１）求椭圆M的方程；（２）若k＝１，求|AB|的最大值．解（１）由题意得２c＝２错误!，所以c＝错误!，又e＝错误!＝错误!，所以a＝错误!，所以b２＝a２—c２＝１，所以椭圆M的标准方程为错误!＋y２＝１．（２）设直线AB的方程为y＝x＋m，由错误!消去y，可得４x２＋6mx＋３m２—３＝0，则Δ＝３6m２—４×４（３m２—３）＝４8—１２m２>0，即m２<４，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，则|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!·错误!＝错误!，易得当m２＝0时，|AB|max＝错误!，故|AB|的最大值为错误!.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后整体代入弦长公式求解．注意：两种特殊情况：１直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；２直线过圆锥曲线的焦点.即时训练２．（２0１9·新疆乌鲁木齐联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的焦距为２，且过点错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）过点M（２,0）的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足错误!＋错误!＝t错误!，其中t∈错误!，求|AB|的取值范围．解（１）依题意得错误!解得错误!∴椭圆C的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k（x—２）．由错误!得（１＋２k２）x２—8k２x＋8k２—２＝0，∴Δ＝8（１—２k２）>0，解得k２<错误!.设A（x１，y１），B（x２，y２），P（x，y），则错误!由错误!＋错误!＝t错误!得P错误!，代入椭圆C的方程得t２＝错误!，由错误!<t<２得错误!<k２<错误!，∴|AB|＝错误!·错误!令u＝错误!，则u∈错误!，∴|AB|＝２错误!，令y＝２u２＋u—１，其对称轴为u＝—错误!，∴y＝２u２＋u—１在错误!上单调递增，∴0<y<错误!，∴0<|AB|<错误!，故|AB|的取值范围为错误!.考向三中点弦问题例３（２0１9·陕西模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p>0），过点M（５，—２）的直线交抛物线C 于A，B两点．（１）若p＝错误!，且点M恰好是线段AB的中点，求直线AB的方程；（２）问在抛物线C上是否存在定点N（x0，y0），使得NA⊥NB总成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解（１）当p＝错误!时，抛物线C的方程为y２＝x，由题意，设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!两式相减得（y１—y２）（y１＋y２）＝x１—x２．（*）因为点M（５，—２）恰好是线段AB的中点，所以y１＋y２＝—４，显然直线AB不与x轴垂直，故设直线AB的斜率为k，由（*）式得k＝错误!＝错误!＝—错误!，所以直线AB的方程是y＋２＝—错误!（x—５），即x＋４y＋３＝0．（２）假设在抛物线C上存在定点N（x0，y0）满足题意，设A错误!，B错误!，直线AB的方程为x＝my＋b，联立方程得错误!可得y２—２mpy—２pb＝0，故y３＋y４＝２mp，y３y４＝—２pＢ．由题意知，直线NA与NB的斜率都存在且不为0，由于NA⊥NB，所以kNAkNB＝—１，即kNAkNB＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝—１，所以错误!＝—１，b＝２p＋my0＋错误!.故直线AB的方程可以写成x＝m（y＋y0）＋２p＋错误!，由于直线AB过点M（５，—２），故有５＝m（—２＋y0）＋２p＋错误!（**），当且仅当y0＝２，p＝２或错误!时，（**）式恒成立．由此可得，１当p＝２时，存在定点N（１,２），使得NA⊥NB；２当p＝错误!时，存在定点N（４,２），使得NA⊥NＢ．触类旁通处理中点弦问题常用的求解方法提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.即时训练３．（２0１9·福建三明联考）已知A是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左顶点，左焦点F １是线段OA的中点，抛物线y２＝４x的准线恰好过点F１．（１）求椭圆的方程；（２）如图所示，过点A作斜率为k的直线l１交椭圆于点M，交y轴于点N.点P为线段AM的中点，过N作与直线OP垂直的直线l２，证明：对于任意的k（k≠0），直线l２过定点，并求出此定点的坐标．解（１）依题意得抛物线y２＝４x的准线为x＝—１，∴点F１（—１,0），c＝１．∴左顶点为A（—２,0），∴a＝２，即b２＝a２—c２＝３，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）证明：设直线l１的方程为y＝k（x＋２），与椭圆的方程错误!＋错误!＝１联立，消去y得（３＋４k２）x２＋１6k２x＋１6k２—１２＝0．设M（x１，y１），则—２＋x１＝—错误!.∵P为线段AM的中点，∴xP＝错误!＝—错误!，yP＝k（xP＋２）＝k错误!＝错误!，∴点P的坐标为错误!.则kOP＝—错误!（k≠0），∴直线l２的斜率为错误!k.又直线l１的方程为y＝k（x＋２），令x＝0，得N（0,２k），∴直线l２的方程为y—２k＝错误!kx，即直线y＝错误!k错误!，∴直线l２过定点，此定点为错误!.（２0１9·武汉模拟）如图，已知抛物线C：x２＝２py（p>0），圆Q：x２＋（y—３）２＝8，过抛物线C的焦点F且与x轴平行的直线与C交于P１，P２两点，且|P１P２|＝４．（１）证明：抛物线C与圆Q相切；（２）直线l过F且与抛物线C和圆Q依次交于点M，A，B，N，且直线l的斜率k∈（0,１），求错误!的取值范围．解（１）证明：∵|P１P２|＝２p＝４，∴p＝２，故抛物线C的方程为x２＝４y，联立错误!消去x得y２—２y＋１＝0．∵Δ＝0，∴抛物线C与圆Q相切．（２）∵F（0,１），∴设直线l的方程为y＝kx＋１，k∈（0,１），∴圆心Q（0,３）到直线l的距离为d＝错误!，∴|AB|＝２错误!＝４错误!.设M（x１，y１），N（x２，y２），联立错误!消去x得y２—（４k２＋２）y＋１＝0，则y１＋y２＝４k２＋２，∴|MN|＝y１＋y２＋２＝４（k２＋１），∴错误!＝错误!，令t＝错误!错误!，则错误!＝t错误!＝错误!，设f（t）＝２t２—t３错误!，则f′（t）＝４t—３t２．∵错误!<t<１，∴f′（t）>0，∴函数y＝f（t）在错误!上单调递增，∴f错误!<f（t）<f（１），∴错误!<f（t）<１，即错误!的取值范围为错误!.答题启示对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．对点训练（２0１9·合肥模拟）已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右顶点与抛物线C２：y２＝２px（p>0）的焦点重合，椭圆C１的离心率为错误!，过椭圆C１的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为４错误!.（１）求椭圆C１和抛物线C２的方程；（２）过点A（—２,0）的直线l与C２交于M，N两点，若点M关于x轴的对称点为M′，证明：直线M′N恒过一定点．解（１）依题意，可得a＝错误!，则C２：y２＝４ax，令x＝c得y２＝４ac，即y＝±２错误!，所以４错误!＝４错误!，所以ac＝２．则错误!解得a＝２，b＝错误!，所以椭圆C１的方程为错误!＋错误!＝１，抛物线C２的方程为y２＝8x.（２）证明：依题意可知直线l的斜率不为0，可设l：x＝my—２，设M（x１，y１），N（x２，y２），则M′（x１，—y１），联立错误!消去x得y２—8my＋１6＝0，由Δ>0得m<—１或m>１．因为y１＋y２＝8m，y１y２＝１6，所以m＝错误!，所以直线M′N的斜率kM′N＝错误!＝错误!＝错误!，可得直线M′N的方程为y—y２＝错误!（x—x２），即y＝错误!x＋y２—错误!＝错误!x＋错误!＝错误!x—错误!＝错误!（x—２），所以当m<—１或m>１时，直线M′N恒过定点（２,0）．。

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习高考达标检测（三十八）圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习高考达标检测（三十八）圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用版）2019版高考数学一轮复习高考达标检测（三十八）圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系文的全部内容。

高考达标检测（三十八）圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若｜AF|＝3，则直线l的斜率为（）A．1 B。

错误!C。

错误!D．2错误!解析：选D 由题意可知焦点F(1，0)，设A（x A，y A),由|AF|＝3＝x A＋1，得x A＝2，又点A在第一象限，故A(2,2错误!)，故直线l的斜率为2错误!.2．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点,则实数k的值为（）A。

错误!B．0C. 错误!或0 D．8或0解析：选C 由错误!得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线有一个交点，则y＝2，若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝错误!，综上可知k＝0或错误!.3．已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0，b>0），过点P(3，6)的直线l与C相交于A，B 两点，且AB的中点为N（12,15），则双曲线C的离心率为( )A．2 B.错误!C.错误!D.错误!解析:选B 设A(x1，y1），B(x2，y2)，由AB的中点为N(12，15),得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由错误!两式相减得:错误!＝错误!，则错误!＝错误!＝错误!.由直线AB的斜率k＝错误!＝1，∴4b25a2＝1，则错误!＝错误!，∴双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!。

§10.4 直线与圆锥曲线的位置关系考点 直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018北京,20,14分)已知椭圆M : + =1(a >b >0)的离心率为 ,焦距为2 .斜率为k 的直线 l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B .(1)求椭圆M 的方程;(2)若k =1,求|AB |的最大值;(3)设P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点Q 共线,求k . 22x a 22y b 63271,44⎛⎫- ⎪⎝⎭A 组 自主命题·北京卷题组解析 (1)由题意得 解得a ,b =1. 所以椭圆M 的方程为 +y 2=1. (2)设直线l 的方程为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由 得4x 2+6mx +3m 2-3=0. 所以x 1+x 2=- ,x 1x 2= . |AB |= . 当m =0,即直线l 过原点时,|AB |最大, .(3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由题意得 +3 =3, +3 =3. 222,6222,a b c c ac ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩323x 22,13y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩32m 2334m -222121()()x x y y -+-2212()x x -212122[()4]x x x x +-21232m -621x 21y 22x 22y直线PA 的方程为y = (x +2).由 得[(x 1+2)2+3 ]x 2+12 x +12 -3(x 1+2)2=0. 设C (x C ,y C ).所以x C +x 1= = . 所以x C = -x 1= . 所以y C = (x C +2)= .设D (x D ,y D ).同理得x D = ,y D = .记直线CQ ,DQ 的斜率分别为k CQ ,k DQ ,则k CQ -k DQ = - =4(y 1-y 2-x 1+x 2). 112y x +1122(2),233,y y x x x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩21y 21y 21y 21221112(2)3y x y -++21141247x x -+21141247x x -+1112747x x --+112y x +1147y x +2212747x x --+2247y x +111114741277474y x x x -+--++222214741277474y x x x -+--++因为C ,D ,Q 三点共线,所以k CQ -k DQ =0.故y 1-y 2=x 1-x 2.所以直线l 的斜率k = =1. 1212y y x x --2.(2011北京,19,14分)已知椭圆G : + =1(a >b >0) 右焦点为(2 斜率为1 的直线l 与椭圆G 交于A ,B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2).(1)求椭圆G 的方程;(2)求△PAB 的面积.22x a 22y b 62解析 (1)由已知得c .解得a .又b 2=a 2-c 2=4,所以椭圆G 的方程为 + =1. 2c a 63212x 24y(2)设直线l 的方程为y =x +m .由 得4x 2+6mx +3m 2-12=0. ①设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)(x 1<x 2),AB 的中点为E (x 0,y 0),则x 0= =- ,y 0=x 0+m = . 因为AB 是等腰△PAB 的底边,所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k = =-1.解得m =2.22,1124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩122x x +34m 4m 24334mm --+此时方程①为4x 2+12x =0.解得x 1=-3,x 2=0.所以y 1=-1,y 2=2.所以|AB 此时,点P (-3,2)到直线AB :x -y +2=0的距离d  , 所以△PAB 的面积S = |AB |·d = . 223212923.(2012北京,19,14分)已知椭圆C : + =1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0), 直线y =k (x -1)与椭圆C 交于不同的两点M ,N .(1)求椭圆C 的方程;(2)当△AMN 时,求k 的值.22x a 22y b 210解析 (1)由题意得 解得b = . 所以椭圆C 的方程为 + =1.(2)由 得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-4=0. 设点M ,N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1=k (x 1-1),y 2=k (x 2-1),x 1+x 2= ,x 1x 2= . 所以|MN = = . 又因为点A (2,0)到直线y =k (x -1)的距离d = , 2222,2,a c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩224x 22y 22(1),1,42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩22412k k +222412k k-+222121()()x x y y -+-221212(1)[()4]k x x x x ++-222(1)(46)k k ++21k+所以△AMN 的面积S = |MN |·d = . ,解得k =±1. 122||46k k +2||46k k +10评析 解析几何问题的难度在于计算,本题总体看难度不大,从形式到条件的设计都是非常熟 悉的问题,学生易于解答.4.(2013北京,19,14分)直线y =kx +m (m ≠0)与椭圆W : +y 2=1相交于A ,C 两点,O 是坐标原点. (1)当点B 的坐标为(0,1),且四边形OABC 为菱形时,求AC 的长;(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时,证明:四边形OABC 不可能为菱形.24x解析 (1)因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分.所以可设A ,代入椭圆方程得 + =1,即t = . 所以|AC |=2 (2)证法一:假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且AC ⊥OB ,所以k ≠0.由 消y 并整理得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0.设A (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则 =- , =k · +m = .所以AC 的中点为M . 因为M 为AC 和OB 的交点,且m ≠0,k ≠0,所以直线OB 的斜率为- . 因为k · ≠-1,所以AC 与OB 不垂直. 1,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭24t 14332244,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩122x x +2414km k +122y y +122x x +214m k+224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭14k14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以四边形OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.证法二(反证法):假设四边形OABC 为菱形,则有OA =OC .设OA =OC =r ,则A 、C 为圆x 2+y 2=r 2与椭圆W : +y 2=1的交点. 故 =r 2-1,即x 2= (r 2-1). 则A 、C 两点的横坐标相等或互为相反数,从而得到点B 是椭圆W 的顶点,与题设矛盾,故得证. 评析 本题考查了直线与椭圆相交问题、反证法.问题(1)的解决体现了“重在解析,巧在几 何”的方法,问题(2)的解决体现了“正难则反”的原则,同时考查了运算能力,具有一定的难度. 24x 234x 43考点 直线与圆锥曲线的位置关系1.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)过抛物线C :y 2=4x 的焦点F ,且斜率为 的直线交C 于点M (M 在x 轴的 上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MN ⊥l ,则M 到直线NF 的距离为 ( )A. B.2 C.2 D.3 35233B 组 统一命题、省(区、市)卷题组答案 C 本题考查直线与抛物线的位置关系,点到直线的距离.解法一:由题知MF :y (x -1),与抛物线y 2=4x 联立得3x 2-10x +3=0,解得x 1= ,x 2=3,所以M ), 因为MN ⊥l ,所以N (-1,2 ),又因为F (1,0),所以NF :y =- (x -1).所以M 到直线NF 的距离为 .的倾斜角为60°,又|FM |=|MN |,所以△MNF 为正三角形,于是直线NF 与准线l 成30 °角,从而|NF |= =2p =4,则M 到直线NF 的距离为△MNF 的边NF 上的高,d = |NF |=2 . 31333322|3(31)23|(3)1⨯-++3sin 30p︒33方法总结 涉及抛物线的焦点和准线时,应充分利用抛物线的定义.2.(2016课标Ⅲ,12,5分)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C : + =1(a >b >0)的左焦点,A ,B 分别为C 的 左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线 BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( )A. B. C. D. 22x a 22y b 13122334答案 A 解法一:设点M (-c ,y 0),OE 的中点为N ,则直线AM 的斜率k = ,从而直线AM 的方程为 y = (x +a ),令x =0,得点E 的纵坐标y E = . 同理,OE 的中点N 的纵坐标y N = . 因为2y N =y E ,所以 = ,即2a -2c =a +c ,所以e = = .故选A. 0y a c-0y a c -0ay a c-0ay a c+2a c +1a c -c a 13评析 本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了直线方程和中点坐标公式.解法二:如图,设OE 的中点为N ,由题意知|AF |=a -c ,|BF |=a +c ,|OF |=c ,|OA |=|OB |=a ,∵PF ∥y 轴,∴ = = , = = , 又∵ = ,即 = ,∴a =3c ,故e = = . ||||MF OE ||||AF AO a c a -||||MF ON ||||BF OB a c a +||||MF OE ||2||MF ON a c a -2a c a +c a 133.(2018课标全国Ⅰ,20,12分)设抛物线C :y 2=2x ,点A (2,0),B (-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程;(2)证明:∠ABM =∠ABN .解析 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM 的方程为y = x +1或y =- x -1. (2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN .当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y =k (x -2)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由 得ky 2-2y -4k =0,可知y 1+y 2= ,y 1y 2=-4. 直线BM ,BN 的斜率之和为k BM +k BN = + = .① 将x 1= +2,x 2= +2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得 x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)= = =0. 所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM =∠ABN .综上,∠ABM =∠ABN .12122(2),2y k x y x =-⎧⎨=⎩2k 112y x +222y x +211212122()(2)(2)x y x y y y x x +++++1y k 2y k121224()y y k y y k ++88k -+方法总结直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略:(1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.失分警示方法总结(1)由于忽略点M,N位置的转换性,使直线BM方程缺失,从而导致失分; (2)由于不能将“∠ABM=∠ABN”正确转化为“k BM+k BN=0”进行证明,从而思路受阻,无法完成后续内容.4.(2018课标全国Ⅲ,20,12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C : + =1交于A ,B 两点,线段AB 的中 点为M (1,m )(m >0).(1)证明:k <- ; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且 + + =0.证明:2| |=| |+| |. 24x 23y 12FP →FA →FB →FP →FA →FB →解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 + =1, + =1. 两式相减,并由 =k 得 + ·k =0. 由题设知 =1, =m ,于是k =- . 由题设得0<m < ,故k <- . 214x 213y 224x 223y 1212y y x x --124x x +123y y +122x x +122y y +34m3212(2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0).由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m <0.又点P 在C 上,所以m = ,从而P ,| |= . 于是| . 3431,2⎛⎫- ⎪⎝⎭FP →32FA →2211(1)x y -+2211(1)314x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭12x 同理| |=2- .所以| |+| |=4- (x 1+x 2)=3. 故2| |=| |+| |. FB →22x FA →FB →12FP →FA →FB →思路分析 (1)利用“点差法”求得斜率k ,利用AB 中点坐标建立k 与m 的关系式,由m 的范围得 到k 的范围.(2)根据题设 + + =0及点P 在C 上确定m ,进一步得出| |、| |、| |的关系. FP →FA →FB →FP →FA →FB →解后反思 (1)解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消 元、化简,然后利用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.(2)题中涉及弦的中点坐标,可以采用“点差法”求解,设出点A 、B 的坐标,代入椭圆方程并作 差,再将弦AB 的中点坐标代入所得的差,可得直线AB 的斜率.5.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点 ,焦点F 1 F 2( , 0),圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若△OAB 的面积为 求直线l 的方程. 13,2⎫⎪⎭3326解析 本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性 质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.解法一:(1)因为椭圆C 的焦点为F 1 ,0),F 2 ,0),所以可设椭圆C 的方程为 + =1(a >b >0). 又点 在椭圆C 上,所以 解得 因此,椭圆C 的方程为 +y 2=1. 因为圆O 的直径为F 1F 2,所以其方程为x 2+y 2=3.(2)①设直线l 与圆O 相切于P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则 + =3. 所以直线l 的方程为y =- (x -x 0)+y 0, 3322x a 22y b13,2⎫⎪⎭2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩224,1.a b ⎧=⎨=⎩24x 20x 20y 00x y即y =- x + . 由 消去y ,得 (4 + )x 2-24x 0x +36-4 =0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x 0)2-4(4 + )(36-4 )=48 ( -2)=0. 因为x 0,y 0>0,所以x 0 y 0=1. 因此,点P 的坐标为  00x y 03y 220001,43x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩20x 20y 20y 20x 20y 20y 20y 20x 22②因为三角形OAB 所以 AB ·OP ,从而AB .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由(*)得x 1,2 , 所以AB 2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2= · . 因为 + =3, 所以AB 2= = ,即2 -45 +100=0. 解得 = ( =20舍去),则 = ,因此P 的坐标为 . 则直线l 的方程为y 解法二:(1)由题意知c ,所以圆O 的方程为x 2+y 2=3,因为点 在椭圆上, 所以2a =4,所以a =2. 26122642220002448(2)x y x ±-20201x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭22002220048(2)(4)y x x y -+20x 20y 2022016(2)(1)x x -+324940x 20x 20x 5220x 20y 1210252313,2⎫⎪⎭221(33)02⎛⎫-+- ⎪⎝⎭221(33)02⎛⎫++- ⎪⎝⎭因为a 2=b 2+c 2,所以b =1,所以椭圆C 的方程为 +y 2=1. (2)①由题意知直线l 与圆O 和椭圆C 均相切,且切点在第一象限,所以直线l 的斜率k 存在且k <0, 设直线l 的方程为y =kx +m (k <0,m >0),将直线l 的方程代入圆O 的方程,得x 2+(kx +m )2=3,整理得(k 2+1)x 2+2kmx +m 2-3=0,因为直线l 与圆O 相切,所以Δ=(2km )2-4(k 2+1)·(m 2-3)=0,整理得m 2=3k 2+3,将直线l 的方程代入椭圆C 的方程,得 +(kx +m )2=1, 整理得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0,因为直线l 与椭圆C 相切,所以Δ=(8km )2-4(4k 2+1)(4m 2-4)=0,整理得m 2=4k 2+1,所以3k 2+3=4k 2+1,因为k <0,所以k 则m =3,将k m =3代入(k 2+1)x 2+2kmx +m 2-3=0,24x 24x 22整理得x 2 +2=0,解得x 1=x 2 ,将x x 2+y 2=3,解得y =1(y =-1舍去),所以点P 的坐标为 ②设A (x 1,kx 1+m ),B (x 2,kx 2+m ),由①知m 2=3k 2+3,且k <0,m >0,因为直线l 和椭圆C 相交,所以结合②的过程知m 2<4k 2+1,解得k 将直线l 的方程和椭圆C 的方程联立可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0,解得x 1,2 , 所以|x 1-x 2 , 因为AB =|x 1-x 2 · , O 到l 的距离d , 所以S △OAB = · · · 22222228441km k m -±+-22441k m +-221212()()x x kx kx -+-21k +22441k m +-21k +21k +31222441k m +-21k +21k += · · · = , 解得k 2=5,因为k <0,所以k ,则m , 即直线l 的方程为y 12242k -21k +3265252解后反思 (1)常用待定系数法求圆锥曲线方程. (2)①直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与椭圆相切,因此也可 设出直线方程求解.②因为△AOB 而△AOB 的高为 所以解题关键是求AB 的长,可利用弦长公式 AB · ·|x 1-x 2|(x 1、x 2分别为A 、B 的横坐标)求解. 263221212()()x x y y -+-21k +212()x x -21k +6.(2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A ,B 为曲线C :y = 上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程.24x解析 (1)解法一:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1= ,y 2= ,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k = = =1. 解法二:设A ,则由题意得B ,于是直线AB 的斜率k = = =1. (2)解法一:由y = ,得y '= , 设M (x 3,y 3),由题设知 =1, 解得x 3=2,于是M (2,1).设直线AB 的方程为y =x +m ,故线段AB 的中点为N (2,2+m ),|MN |=|m +1|.将y =x +m 代入y = 得x 2-4x -4m =0. 当Δ=16(m +1)>0,即m >-1时,x 1,2=2± .214x 224x 1212y y x x --124x x +211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭211(4)4,4x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭221111(4)444x x x x ----22111(4)4(42)x x x ---24x 2x 32x 24x 1m +从而|AB x 1-x 2 由题设知|AB |=2|MN |, 即 =2(m +1),解得m =7. 所以直线AB 的方程为y =x +7.解法二:设曲线C :y = 上的点M 的坐标为 ,过点M 且与直线AB 平行的直线l 的方程为y =x - x 0+ . 联立得 消去y 得x 2-4x +4x 0- =0, 则有Δ=(-4)2-4×1×(4x 0- )=0, 解得x 0=2,代入曲线C 的方程,得y 0=1,故M (2,1).设A ,则B , 22(1)m +2(1)m +24x 200,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭204x 2002,4,4x y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩20x 20x 211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭211(4)4,4x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为AM ⊥BM ,所以 · =-1,即 -4x 1=28. 所以直线AB 的方程为y =x -x 1+ ,即y =x +7. 211142x x --211(4)142(4)x x ----21x 214x7.(2016课标Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2=2px (p > 0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H .(1)求 ; (2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由.||||OH ON 解析 (1)由已知得M (0,t ),P . (1分) 又N 为M 关于点P 的对称点,故N ,ON 的方程为y = x ,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x =0,解得x 1=0, x 2= . 因此H . (4分)所以N 为OH 的中点,即 =2. (6分) 2,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭p t 22t p 22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭||||OH ON(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点. (7分)理由如下:直线MH 的方程为y -t = x ,即x = (y -t ). (9分) 代入y 2=2px 得y 2-4ty +4t 2=0,解得y 1=y 2=2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点. (12分)2p t 2t p评析 本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了运算求解能力.得到交点的坐标是求解的 关键.8.(2016课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C :y 2=2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A , B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.解析 由题设知F .设l 1:y =a ,l 2:y =b ,易知ab ≠0, 且A ,B ,P ,Q ,R . 记过A ,B 两点的直线为l ,则l 的方程为2x -(a +b )y +ab =0. (3分)(1)由于F 在线段AB 上,故1+ab =0.记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则k 1= = = = =-b =k 2. 所以AR ∥FQ . (5分)(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0),则S △ABF = |b -a ||FD |= |b -a | ,S △PQF = . 由题设可得2× |b -a | = ,所以x 1=0(舍去)或x 1=1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ,y ).当AB 与x 轴不垂直时,由k AB =k DE 可得 = (x ≠1). 而 =y ,所以y 2=x -1(x ≠1). 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭2,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,2b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,22a b +⎛⎫- ⎪⎝⎭21a b a -+2a b a ab --1a ab a-1212112x -||2a b -12112x -||2a b -2a b +1y x -2a b +当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为y 2=x -1. (12分)易错警示 容易漏掉直线AB 与x 轴垂直的情形而失分.评析 本题考查了直线与抛物线的位置关系;考查了线段的中点的轨迹问题;考查了运算求解 的能力.本题中对三角形的面积关系的处理是求解的关键.9.(2016课标Ⅱ,21,12分)已知A 是椭圆E : + =1的左顶点,斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两 点,点N 在E 上,MA ⊥NA .(1)当|AM |=|AN |时,求△AMN 的面积;(2)当2|AM |=|AN |时,证明 <k <2. 24x 23y 3解析 (1)设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为 . 又A (-2,0),因此直线AM 的方程为y =x +2. (2分)将x =y -2代入 + =1得7y 2-12y =0. 解得y =0或y = ,所以y 1= . 因此△AMN 的面积S △AMN =2× × × = . (4分) (2)将直线AM 的方程y =k (x +2)(k >0)代入 + =1得 (3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-12=0.由x 1·(-2)= 得x 1= , 故|AM |=|x 1 . 由题设,直线AN 的方程为y =- (x +2), 4π24x 23y 127127121271271444924x 23y 22161234k k -+222(34)34k k-+21k +2121k +1k故同理可得|AN  (7分) 由2|AM |=|AN |得 = ,即4k 3-6k 2+3k -8=0. (9分) 设f (t )=4t 3-6t 2+3t -8,则k 是f (t )的零点, f '(t )=12t 2-12t +3=3(2t -1)2≥0,所以f (t )在(0,+∞)单调递增. 又f -26<0, f (2)=6>0,因此f (t )在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k 在( 内,所以 k < 2. (12分)2121k k +2234k +234k k +3333评析 本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了设而不求,整体运算的技巧,考查了函数的思 想方法,属难题.10.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2: + =1(a >b >0)的一个焦点, C 1与C 2的公共弦的长为 过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且 与 同向. (1)求C 2的方程;(2)若|AC |=|BD |,求直线l 的斜率.22y a 22x b6AC →BD →解析 (1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b 2=1.① 又C 1与C 2的公共弦的长为 C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y ,由此易知C 1与C 2的公 共点的坐标为 ,所以 + =1.② 联立①,②得a 2=9,b 2=8.故C 2的方程为 + =1. (2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).因 与 同向,且|AC |=|BD |,所以 = ,从而x 3-x 1=x 4-x 2,即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4) 2-4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y =kx +1.由 得x 2-4kx -4=0.而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.④ 636,2⎛⎫± ⎪⎝⎭294a 26b 29y 28x AC →BD →AC →BD →21,4y kx x y =+⎧⎨=⎩由 得(9+8k 2)x 2+16kx -64=0. 而x 3,x 4是这个方程的两根, 所以x 3+x 4=- ,x 3x 4=- .⑤将④,⑤代入③,得16(k 2+1)= + , 即16(k 2+1)= , 221,189y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩21698k k +26498k +222216(98)k k +246498k ⨯+2222169(1)(98)k k ⨯++所以(9+8k 2)2=16×9,解得k = ,即直线l 的斜率为 .6611.(2014大纲全国,22,12分)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,直线y =4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF |= |PQ |. (1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点,若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M 、N 两点,且A 、M 、B 、 N 四点在同一圆上,求l 的方程.54解析 (1)设Q (x 0,4),代入y 2=2px 得x 0= .所以|PQ |= ,|QF |= +x 0= + . 由题设得 + = × ,解得p =-2(舍去)或p =2. 所以C 的方程为y 2=4x . (5分)(2)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x =my +1(m ≠0).代入y 2=4x 得y 2-4my -4=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4.故AB 的中点为D (2m 2+1,2m ),|AB |y 1-y 2|=4(m 2+1).又l '的斜率为-m ,所以l '的方程为x =- y +2m 2+3.将上式代入y 2=4x ,并整理得y 2+ y -4(2m 2+3)=0. 设M (x 3,y 3),N (x 4,y 4).则y 3+y 4=- ,y 3y 4=-4(2m 2+3). 故MN 的中点为E ,|MN |= ·|y 3-y 4|= . (10分) 由于MN 垂直平分AB ,故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于|AE |=|BE |= |MN |,从而 |AB |2+|DE 8p8p2p 2p 8p 2p 8p 548p 21m +1m 4m4m222223,m m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭211m +224(1)21m m ++1214|2= |MN |2, 即4(m 2+1)2+ + = , 化简得m 2-1=0,解得m =1或m =-1.所求直线l 的方程为x -y -1=0或x +y -1=0. (12分)14222m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2222m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭22244(1)(21)m m m ++评析 本题主要考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线的位置关系等知识,着重考查 概念的理解运用能力、运算变形能力及分类讨论思想.C组教师专用题组考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2015福建,19,12分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.解析 解法一:(1)由抛物线的定义得|AF |=2+ . 因为|AF |=3,即2+ =3,解得p =2, 所以抛物线E 的方程为y 2=4x .(2)因为点A (2,m )在抛物线E :y 2=4x 上,所以m =±2 ,由抛物线的对称性,不妨设A (2,2 ). 由A ),F (1,0)可得直线AF 的方程为y (x -1). 由 得2x 2-5x +2=0, 解得x =2或x = ,从而B . 2p 2p 2222222(1),4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩121,22⎛- ⎝又G (-1,0),所以k GA k GB 所以k GA +k GB =0,从而∠AGF =∠BGF ,这表明点F 到直线GA ,GB 的距离相等, 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.解法二:(1)同解法一.(2)设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2,m )在抛物线E :y 2=4x 上,所以m =± ,由抛物线的对称性,不妨设A 由A F (1,0)可得直线AF 的方程为y =2 x -1).220-22201(1)----222222由 得2x 2-5x +2=0, 解得x =2或x = ,从而B . 又G (-1,0),故直线GA 的方程为 -3y +2 从而r . 又直线GB 的方程为 +3y 所以点F 到直线GB 的距离d =r . 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.评析 本题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求 解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.222(1),4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩121,22⎛- ⎝22|2222|89++421722|2222|89++42172.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记 点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程;(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (-2,1).求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个 公共点时k 的相应取值范围.解析 (1)设点M (x ,y ),依题意得|MF |=|x |+1,即 =|x |+1, 化简整理得y 2=2(|x |+x ).故点M 的轨迹C 的方程为y 2= (2)在点M 的轨迹C 中,记C 1:y 2=4x ,C 2:y =0(x <0),依题意,可设直线l 的方程为y -1=k (x +2).由方程组 可得ky 2-4y +4(2k +1)=0. ① (i)当k =0时,y =1.把y =1代入轨迹C 的方程,得x = . 故此时直线l :y =1与轨迹C 恰好有一个公共点 . (ii)当k ≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k 2+k -1). ②设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0),则由y -1=k (x +2),令y =0,得x 0=- . ③ 若 由②③解得k <-1或k > , 22(1)x y -+4,0,0,0.x x x ≥⎧⎨<⎩21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩141,14⎛⎫ ⎪⎝⎭21k k+00,0,Δx <⎧⎨<⎩12即当k ∈(-∞,-1)∪ 时,直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点, 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.若 或 由②③解得k ∈ 或- ≤k <0, 即当k ∈ 时,直线l 与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点. 当k ∈ 时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点. 故当k ∈ ∪ 时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点. 若 由②③解得-1<k <- 或0<k < , 即当k ∈ ∪ 时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2有一个公共点, 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k ∈(-∞,-1)∪ ∪{0}时,直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点;当k ∈ 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭00,0Δx =⎧⎨<⎩00,0,Δx >⎧⎨≥⎩11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1211,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭00,0,Δx >⎧⎨<⎩121211,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∪ 时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点;当k ∈ ∪ 时,直线l 与轨迹C 恰好有 三个公共点.评析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查了分类讨论思想.11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3.(2014陕西,20,13分)已知椭圆 + =1(a >b >0)经过点 ),离心率为 ,左,右焦点分别为F 1 (-c ,0),F 2(c ,0).(1)求椭圆的方程;(2)若直线l :y =- x +m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足 求直线l 的方程. 22x a 22y b 31212||||AB CD 53解析 (1)由题设知 解得a =2,b ,c =1, ∴椭圆的方程为 + =1. (2)由(1)知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=1,∴圆心到直线l 的距离d 由d <1得|m .(*) ∴|CD . 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由 得x 2-mx +m 2-3=0, 由根与系数的关系可得x 1+x 2=m ,x 1x 2=m 2-3.2223,1,2,b c ab ac ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩324x 23y 5521d -2415m -5254m -221,2143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴|AB 由 =1, 解得m =± ,满足(*). ∴直线l 的方程为y =- x 或y =- x . 评析 本题主要考查椭圆的方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象 概括能力、推理能力及运算求解能力.考查了转化与化归思想、函数与方程的思想.22211[4(3)]2m m ⎡⎤⎛⎫+---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1524m -||||AB CD 5322454m m --3123123考点 直线与圆锥曲线的位置关系1.(2016湖南衡阳二模,5)已知双曲线C : -y 2=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,过点F 2的直线与双 曲线C 的右支相交于P ,Q 两点,且点P 的横坐标为2,则△PF 1Q 的周长为 ( )A. B.5 C. D.4 23x 1633314333A 组 2016—2018年高考模拟·基础题组答案 A 由 -y 2=1知a ,b =1,所以c = =2,则F 1(-2,0),F 2(2,0), 由于点P 的横坐标为2,则PQ ⊥x 轴,令x =2,则有y 2= -1= ,即y = , 则|PF 2 ,PQ , |PF 1 , 则三角形PF 1Q 的周长为|PF 1|+|QF 1|+|PQ 故选A. 23x 322a b +4313332522212||||PF F F +2143+737373231632.(2016四川宜宾模拟)已知过定点(1,0)的直线与抛物线x 2=y 相交于不同的A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点, 则(x 1-1)(x 2-1)= .答案 1解析 由题意知过定点(1,0)的直线的斜率存在,设方程为y =k (x -1),代入抛物线x 2=y 可得x 2-kx +k =0, ∴x 1+x 2 =k ,x 1·x 2 =k ,∴(x 1-1)(x 2-1)=x 1·x 2-(x 1+x 2)+1=1.3.(2016江苏南京二模,9)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,双曲线 - =1(a >0,b >0)的两条渐近线分别与抛物线交于A ,B 两点(A ,B 异于坐标原点O ).若直线AB 恰好过 点F ,则双曲线的渐近线方程是 .22x a 22y b答案 y =±2x解析 由题意得直线AB ⊥x 轴,易得一条渐近线过点 ,因此双曲线渐近线的斜率为 =2,所以双曲线的渐近线方程是y =±2x .,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭002p p --4.(2018北京海淀一模,19)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),离心率为 . (1)求椭圆C 的方程;(2)设点A 是椭圆C 的右顶点,过点F 1的直线与椭圆C 交于P ,Q 两点,直线AP ,AQ 与直线x =-4分别交 于M ,N 两点.求证:点F 1在以MN 为直径的圆上.12解析 (1)由题意,设椭圆的方程为 + =1(a >b >0), 则 解得 所以椭圆C 的方程为 + =1. (5分) (2)证明:由(1)可得A (2,0).当直线PQ 的斜率不存在时,可得P ,Q , 直线AP 的方程为y =- (x -2), 令x =-4,得M (-4,3),同理,N (-4,-3).所以 =(-3,3), =(-3,-3),所以 · =0. 所以∠MF 1N =90°,所以F 1在以MN 为直径的圆上.22x a 22y b 2221,1,2,c c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩2,3.a b =⎧⎪⎨=⎪⎩24x 23y 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭121F M →1F N →1F M →1F N →当直线PQ 的斜率存在时,设PQ 的方程为y =k (x +1),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).由 可得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2-12=0. 显然Δ>0,由根与系数的关系得x 1+x 2=- ,x 1x 2= . 易知直线AP 的方程为y = (x -2), 令x =-4,得y = ,故M , 同理,N .所以 = , = . · =9+ , 因为y 1=k (x 1+1),y 2=k (x 2+1),所以 = = 22(1),1,43y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22834k k +2241234k k-+112y x -1162y x --1164,2y x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭2264,2y x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭1F M →1163,2y x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭1F N →2263,2y x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭1F M →1F N →121236(2)(2)y y x x --121236(2)(2)y y x x --2121236(1)(1)(2)(2)k x x x x ++--21212121236(1)2()4k x x x x x x x x +++-++= = =-9, 所以 · =0, 所以∠MF 1N =90°,所以F 1在以MN 为直径的圆上.综上,F 1在以MN 为直径的圆上. (14分)222222222412834363441216121634k k k k k k k k k --++⋅+-++++2293636k k-⋅1F M →1F N →5.(2018北京顺义二模,20)已知椭圆G : + =1的左焦点为F ,左顶点为A ,离心率为e ,点M (t ,0)(t < -2)满足条件 =e . (1)求实数t 的值;(2)设过点F 的直线l 与椭圆G 交于P ,Q 两点,记△MPF 和△MQF 的面积分别为S 1,S 2,若S 1=2S 2,求直 线l 的方程. 24x 23y ||||FA AM。

9.8 直线与圆锥曲线的位置关系考纲要求1．了解圆锥曲线的简单应用． 2．理解数形结合思想．1．直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.若圆锥曲线是双曲线或是抛物线，当A ＝0时，表示直线与双曲线的渐近线或抛物线的轴平行；当A ≠0时，记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与圆锥曲线__________；②若Δ＝0，则直线与圆锥曲线__________；③若Δ＜0，则直线与圆锥曲线__________．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判断直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题若直线与圆锥曲线有两个公共点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，可结合韦达定理，代入弦长公式|MN |＝__________________或|MN |＝________________求距离．若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题，一般利用圆锥曲线的定义去解决．1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )．A ．2B ．3C ．115D ．37163．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )．A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA |－|FB ||的值为( )．A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16 5．已知斜率为1的直线过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．一、直线与圆锥曲线的位置关系【例1－1】求证：不论m 取何值，直线l ：mx －y －m ＋1＝0与椭圆x 216＋y 29＝1总有交点．【例1－2】已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．方法提炼求直线与圆锥曲线的交点时，注意用一元二次方程的判别式、根与系数的关系来解决．在解题时，应注意讨论二次项系数为0和不为0的两种情况．请做演练巩固提升1二、直线与圆锥曲线的相交弦问题【例2】过点P (8,1)的直线与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．方法提炼1．当直线与圆锥曲线相交时，涉及的问题有弦长问题、弦的中点等问题，解决办法是把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到关于x (或y )的一元二次方程，设而不求，利用根与系数的关系解决问题．2．要灵活应用弦长公式和点差法．请做演练巩固提升2三、最值与定值问题【例3－1】已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．【例3－2】(2012浙江高考)如图，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值． 方法提炼圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)求最值常见的解法有两种：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值．提醒：求最值问题时，一定要注意特殊情况的讨论，如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．请做演练巩固提升3巧用韦达定理解圆锥曲线问题【典例】(12分)(2012重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．规范解答：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.(2分)结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.(3分)在Rt△AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故12AB B S ∆＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2，由题设条12AB B S ∆＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(5分)(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)． 由题意，直线PQ 的倾斜角不为0， 故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)(7分)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又2B P u u u u r ＝(x 1－2，y 1)，2B Q u u u u r＝(x 2－2，y 2)，所以2B P u u u u r ·2B Q u u u u r＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5.(9分)由PB 2⊥QB 2，知2B P u u u u r ·2B Q u u u u r＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.(10分)当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910.综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.(12分)答题指导：解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意以下几点： 1．快速寻求出a ，b ，c ，确定圆锥曲线方程；2．充分利用韦达定理进行巧妙处理；3．涉及平面向量运算时，一定要注意平面几何性质的运用，例如垂直、中点等．1．(2012辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )．A ．1B ．3C ．－4D ．－82．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( )．A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1－2，1＋2)D ．(2，2＋1)3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为原点)．(1)求证：1a 2＋1b2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． 4．(2012辽宁高考)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1＜t ＜3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．相交 相切 相离 2．(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] 基础自测1．C 解析：与抛物线相切有2条，与对称轴平行有1条，共3条．2．A 解析：由抛物线y 2＝4x 知直线l 2为其准线，焦点为F (1,0)．由抛物线的定义可知动点P 到直线l 2的距离与P 到焦点F (1,0)的距离相等，所以P 到直线l 1的距离与P 到焦点F (1,0)的距离之和的最小值为焦点F (1,0)到直线l 1的距离(如图)，则d ＝|4×1－0＋6|32＋42＝2.3．B 解析：过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，与抛物线方程联立可得y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 2＝2p ＝4.所以p ＝2，故准线方程为x ＝－1. 4．C 解析：依题意知F (2,0)， 所以直线的方程为y ＝x －2.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y ，得x 2－12x ＋4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||AF |－|BF ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2. 5．85解析：右焦点(3，0)，直线AB 的方程为y ＝x －3， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，得5x 2－83x ＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，|AB |＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫8532－4×85＝85.考点探究突破【例1－1】证法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y －m ＋1＝0，x 216＋y29＝1消去y 得x 216＋(mx －m ＋1)29＝1.整理，得(16m 2＋9)x 2－32m (m －1)x ＋16m 2－32m －128＝0.(*)∵Δ＝322m 2(m －1)2－4(16m 2＋9)(16m 2－32m －128)＝576(15m 2＋2m ＋8)＝576⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1152＋11915＞0，∴方程(*)恒有实根． ∴原方程组恒有解．故直线l 与椭圆总有交点．证法二：直线l 的方程可化为m (x －1)＋(－y ＋1)＝0， 故直线l 恒过x －1＝0和－y ＋1＝0的交点A (1,1)． 又点A 在椭圆x 216＋y 29＝1内部，∴直线l 与椭圆总有交点．【例1－2】解法一：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0. 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]， 所以符合题意的直线l 不存在．解法二：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同解法一．【例2】解：设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 12－4y 12＝4，① x 22－4y 22＝4.②①－②，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵P 是线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2. ∴直线AB 的斜率为2.∴直线AB 的方程为2x －y －15＝0.【例3－1】解：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以 x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2， y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k2， y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x E ＋x F )＋2k x F －x E ＝12，即直线EF 的斜率为定值，其值为12.【例3－2】解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )．由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2， 故k ·2m ＝1.所以直线AB 方程为y －m ＝12m(x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ， 消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2＞0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m .从而|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m2. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2.由Δ＝4m －4m 2＞0，得0＜m ＜1.令u ＝m －m 2，0＜u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)．设S (u )＝u (1－2u 2),0＜u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0，得u ＝66∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以S (u )max ＝S ⎝⎛⎭⎪⎫66＝69. 故△ABP 面积的最大值为69. 演练巩固提升1．C 解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2. ② ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝8，y 2＝2.∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为y ′| x ＝4＝4， ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)， 即y ＝4x －8.又∵过点Q 的切线斜率为y ′| x ＝－2＝－2， ∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4.2．A 解析：由△ABF 2为锐角三角形得，b 2a 2c ＜tan π4＝1，即b 2＜2ac ，∴c 2－a 2＜2ac . ∴e 2－2e －1＜0，解得1－2＜e ＜1＋2， 又e ＞1，∴1＜e ＜1＋ 2.3．(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＋y －1＝0，消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.① ∵有两个交点，∴Δ＞0，即4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)＞0⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)＞0，∵a ＞b ＞0，∴a 2＋b 2＞1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程①的两实根．∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b2.②由OP ⊥OQ ，得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2，得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0.③式②代入式③，化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2.④∴1a 2＋1b 2＝2.∴1a2＋1b2等于定值．(2)解：∵e ＝c a，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2(1－e 2)． ∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2).∵33≤e ≤22，∴13≤e 2≤12. ∴54≤a 2≤32. ∴52≤a ≤62，从而长轴长的范围为[5，6]． 4．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|. 由x 029＋y 02＝1得y 02＝1－x 029，从而x 02y 02＝x 02⎝⎛⎭⎪⎫1－x 029＝－19⎝⎛⎭⎪⎫x 02－922＋94.当x 02＝92，y 02＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 02x 02－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 02＝1－x 029.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．。