高三物理一轮复习(机械能)

五机械能及其守恒定律一、基本概念和规律1．功的分析(1)恒力做功的判断：依据力与位移方向的夹角来判断。

(2)曲线运动中功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断，0°≤α＜90°时，力对物体做正功；90°＜α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功。

(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。

此方法常用于判断两个相联系的物体。

2．功的计算(1)恒力做功的计算方法(2)变力做功的分析与计算方法以例说法应用动能定理用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：W F－mgl(1－cos θ)＝0，得W F＝mgl(1－cos θ)微元法质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f＝f·Δx1＋f·Δx2＋f·Δx3＋…＋f·Δx n＝f(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…＋Δx n)＝f·2πR功率法汽车以恒定功率P在水平路面上运动时间t的过程中，牵引力做功W F ＝Pt等效转换法恒力F把物块从A拉到B，轻绳对物块做的功W＝F·⎝⎛⎭⎪⎫hsin α－hsin β平均力法弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝kx1＋kx22·(x2－x1)图象法根据力(F)—位移(l)图象的物理意义计算变力对物体所做的功，如图，横轴上方阴影部分的面积减去横轴下方阴影部分的面积在数值上等于变力所做功的大小(1)公式P＝Wt和P＝F v的区别P＝Wt是功率的定义式，P＝F v是功率的计算式。

(2)平均功率的计算方法①利用P－＝Wt。

②利用P－＝F v－cos α，其中v－为物体运动的平均速度。

(3)瞬时功率的计算方法①利用公式P＝F v cos α，其中v为t时刻的瞬时速度。

②利用公式P＝F v F，其中v F为物体的速度v在力F方向上的分速度。

一、功【例1】用水平拉力F＝1000N拉质量M＝500kg的大车移动10m，用相同的水平拉力拉质量m＝50kg的小车也移动10m，则两次拉力所做功相比较：A．拉大车做功多；B．拉小车做功多；C．两次做功一样多；D．无法判断．【分析与解答】由公式W＝Fscosα知，题中两次情况下，力与位移及α均相同，则做功也一定相同，所以C选项正确．【例2】如图7－1，质量为m的物体在与水平方向成α角的力F作用下，沿水平面匀加速运动的位移为s，物体与水平面间动摩擦因数μ．问：(1)物体在运动中受几个力？哪些力做了功？(2)做功的力分别做了多少功？合力做功多少？【分析与解答】(1)先作受力分析如图7－2所示，则此物体受四个力作用，因为物体沿水平面运动，因而重力G与支持力F N不做功，只有拉力F与摩擦力F f做功．(2)拉力F所做的功W F＝Fscosα阻力F f所做的功W Ff＝F f scosα＝－F f s∴ F f＝F N·μ＝μ(G－Fsinα)即阻力所做的功W Ff＝－μ(G－Fsihα)s求合外力所做的功时，可用W合＝W1＋W2＋…，也可用W合＝F合·s所以W合＝Fscosα－μ(G－Fsinα)·s＝F·s(μsinα＋cosα)－μmg·s课堂针对训练(1)关于功的定义式W＝Fscosα，下列说法正确的是：A．F必须是恒力； B．s是物体通过的路程；C．α是位移与作用力之间的夹角； D．s一定是物体对地发生的位移．(2)关于1J的功，下列几种说法中，正确的是：A．把质量为1kg的物体沿力F的方向移动1m，力F所做的功等于1J；B．把质量为1kg的物体，竖直匀速举高1m，举力所做的功等于1J；C．把重1N的物体，沿水平方向移动1m，水平推力所做的功等于1J；D．把重1N的物体，竖直匀速举高1m，克服重力所做的功等于1J．(3)关于功的概念，下列说法中正确的是：A．力对物体做功多，说明物体的位移一定大；B．力对物体做功少，说明物体的受力一定小；C．力对物体不做功，说明物体一定无位移；D．力对物体做的功等于力的大小、位移的大小及位移与力的夹角的余弦三者的乘积．(4)“一个力对物体做了负功”与“物体克服这个力做了功(取正值)”，这两种讲法A．是等效的；B．是不等效的；C．互为矛盾的．(5)一物体沿水平桌面通过位移S从A运动到B，如图7－3所示，若物体与桌面间的摩擦力大小为f，则物体对桌面的摩擦力和桌面对物体的摩擦力做的功各为多少？(6)如图7－4所示，某人以恒力F＝10N拉车，使车前进5m，人做的功是多少？(7)如图7－5所示，力通过一个定滑轮将质量为m的物体提升，m向上的加速度为a，在m 上升h的过程中．求拉力和重力分别做了多少功？(8)静止在水平地面上的物体的质量为25kg，在与水平面成60°角，大小为10N的斜向上的力F作用下，经历10s时间，试计算在下列情况中力F在10s内做的功(g取10m/s2)．①设水平面光滑；②设物体和地面间的滑动摩擦力是它们间弹力的0.3倍．(9)如图7－6所示，在水平推力作用下A与B保持相对静止，且向左沿水平方向匀速移动了L，那么，在此过程中B对A的支持力做了多少功？(设A的质量为m，B的倾角为α)★滚动训练★(10)在某一星球上，以初速度v0竖直上抛一物体，测出物体在空中运动的时间为t，若已知星球的半径为R0，则在该星球上第一宇宙速度为多少？(11)物体放在水平面上，用与水平方向成30°角的力拉物体时，物体匀速前进．若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面间动摩擦因数μ．《功》习题课【例1】在水平粗糙地面上，使同一物体由静止开始做匀加速直线运动，第一次是斜上拉力，第二次是斜下推力，两次力的作用线与水平方向的夹角相同，力的大小也相同，位移大小也相同，则：A．力F对物体做的功相同，合力对物体做的总功也相同；B．力F对物体做的功相同，合力对物体做的总功不相同；C．力F对物体做的功不相同，合力对物体做的总功相同；D．力F对物体做的功不相同，合力对物体做的总功也不相同．【分析和解答】正确答案是B．根据恒力做功的公式W＝F·scosα，由于F、s、α都相同，故力F做功相同．求合力功时，先进行受力分析，受力图如图7－7所示，下面用两种方法求合力做的功．方法一：由于斜上拉和斜下推物体而造成物体对地面的压力不同，从而使滑动摩擦力f＝μN的大小不同，因而合力f合＝Fcosα－f不同，∴由W合＝F合scosα知W合不相同；方法二：因重力和支持力不做功，只有F和f做功，而F做功W F＝F·scosα相同，但摩擦力做功W f＝－f s因f不同而不同，∴由W合＝W F＋W f知W合不相同．【例2】如图7－8所示，某个力F＝10N作用于半径为R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的功应为多少？若力F的作用点是一个小球，且球与圆心O是用半径为R的绳连结，则转动一周绳拉力做的功为多少？【分析和解答】本题考查对功的概念理解．某个力做功，其大小不变而方向改变时，计算这个力所做的功，切莫把初、末位置的位移s直接代入W＝Fscosα来计算总功．正确的分析是：由于F的方向保持与作用点的速度方向一致，因此F一定做了功，F做的功不为零，因此可把圆周划分成很小段Δs来研究．如图7－9，当各小段的弧长Δs i足够小(Δs i→0)时，在这Δs i内F的方向几乎与该小段的位移方向重合．∴ΔW F＝FΔs1＋FΔs2＋…＋F·Δs i＝F·2πR＝20π(J)．(这等于把这段曲线拉直)由于绳的拉力始终与球线速度垂直，则在Δsi→0时，在Δsi内绳拉力的方向几乎与该小段的位移垂直，所以每小段位移内绳拉力做功为零，因此拉力不做功．【例3】如图7－10所示，质量为m的物体以一定初速度滑上斜面，上滑到最高点后又沿原路返回．已知斜面倾角为θ，物体与斜面的动摩擦因数为μ，上滑的最大高度为h．则物体从开始滑上斜面到滑回到原出发点的过程中，重力做功是多少？摩擦力做功是多少？【分析与解答】由于重力是恒力，所以可直接用公式W＝F·scosα计算．因为回到原出发点时位移为零，所以重力做功W G＝0．由于摩擦力是变力(方向变，上滑时沿斜面向下，下滑时沿斜面向上)，所以要分段运算．∵ W f 上滑＝f ·scos θ＝－μmg cos θ·θsin h ＝－μmg hcot θ W f 下滑＝f ·scos θ＝μmg cos θ·θsin h ＝－μgmg hcot θ ∴ W f 总＝W f 上滑＋W f 下滑＝－2μmg hcot θ【总结与提高】求某个力做的功，必须判断是恒力还是变力．若是恒力，则只需找出位移，直接代入公式W ＝F ·scos α计算；若是变力，则要求分段考虑．●课堂针对训练●(1)有以下几种情况：①水平推力F 推一质量为m 的物体在光滑的水平面上前进s ；②水平推力F 推一质量为2m 的物体在粗糙水平面上前进s ；③与水平面成60°角的斜向上的拉力F 拉一质量为m 的物体在光滑平面上前进2s ；④与斜面平行的力F 拉一质量为3m 的物体在光滑的斜面上前进s ．这几种情况下关于力F 做功多少的正确判断是：A ．②做功最多；B ．④做功最多；C ．①做功最少；D ．四种情况做功相等．(2)一个人从深4m 的水井中匀速提取50N 的水桶至地面，在水平道路上行走了12m ，再匀速走下6m 深的地下室，则此人用来提水桶的力所做的功为：A ．500J ；B ．1100J ；C ．100J ；D ．－100J ．(3)如图7－11所示，质量为m 的滑块，由半径为R 的半球面的上端A 以初速v 0滑下，在滑动过程中所受到的摩擦力大小恒为f ．滑块由A 滑到最低点B 的过程中，重力做功为________，弹力做功为________，摩擦力做功为________．从A 滑到C 后，又滑回到B ，则这一过程摩擦力做功为________．(4)质量为3kg 的物块，受到与斜面平行向上10N 的拉力，沿光滑斜面向上移动的距离为2m ．斜面的倾角30°．画出物体受力分析图，并求各个力对物体所做的功，以及各力对物体所做的总功．(5)以一定的初速竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h ，空气阻力的大小恒为f ，则从抛出至回到原发点的过程中，空气阻力对小球做的功是多少？(6)如图7－12，质量为m ，边长为a 的正方体放在长为l 的水平桌面上，且与桌面左侧相齐，物体与桌面动摩擦因数为μ，若要把物体从桌面右端拉出，则F 至少做功是多少？(7)用力拉一质量为m 的物体，沿水平面匀速前进s ，已知力和水平方向的夹角为θ，方向斜向上，物体和地面间动摩擦因数为μ，此力做的功是多少？(8)如图7－13，质量分别为m 、M 的A 、B 两木块叠放在光滑的水平桌面上，A 与B 的动摩擦因数为μ，用一水平拉力F 作用于B ，使A 和B 保持相对静止地向右运动的位移为s ，则在这过程中F 做的功为多大？摩擦力对A 做的功为多大？(9)如图7－14所示，一子弹以水平速度射入置于光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为s，木块对子弹的摩擦力大小为f．求木块对子弹的摩擦力做的功和子弹对木块的摩擦力做的功分别是多少？★滚动训练★(10)同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度大小为v2，地球半径为R，则：A．a1/a2＝r/R；B．a1/a2＝R2/r2；C．v1/v2＝R2/r2；D．v1/v2＝r/R．(11)组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此得到半径为R、密度为ρ、质量均匀分布的星球最小自转周期为多少？二、功率【例1】一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t＝t1时刻力F的功率是：A．F2t1/2m；B．F2t12/2m；C．F2t1/m；D．F2t12/m．【分析和解答】正确答案是C．此题很多同学错选A，原因是错误理解题目所求的功率是平均功率．正确的解答是：因题目所求的是t1时刻的功率，即是求瞬时功率，故不能用P＝W/t求，因P＝Ｗ/t求的是t1内的平均功率，而只能用P＝F·v求瞬时功率．∵物体加速度a＝F/m．t1时刻速度v1＝at1＝Ft1/m．∴ P＝F·v1＝F2t1/m．故正确答案是C．若此题中，F与水平方向成夹角θ时，P＝F2t1cos2θ/m．【例2】汽车发动机的额定牵引功率为60kW，汽车质量为5t，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍，试问：①汽车保持以额定功率从静止起动后能达到的最大速度是多少？②若汽车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度作匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？【分析和解答】①当汽车发动机功率一定时，由公式P＝F·v得牵引力和速度成反比，所以随着汽车速度的增大，牵引力不断减小，即汽车是做加速度越来越小的变加速运动．当牵引力减小到和阻力f相等时，加速度为零，这时汽车速度达到最大值，之后汽车开始做匀速直线运动，其速度图象如图7－15所示．∴ 汽车达到最大速度时，a ＝0，此时，⎭⎬⎫===m F P F v mg f ·μ⇒v m ＝P/μmg ＝6.0×104/0.1×5×103×10＝12(m/s)． ②当汽车保持恒定的加速度时，即保持牵引力不变，速度增大，发动机的输出功率逐渐增大，当发动机的功率增大到额定功率时，功率不能再增加．汽车将以恒定的功率再做加速度逐渐减小的加速运动，直到牵引力减小到等于阻力时，速度达到最大，最终以这个速度做匀速运动．这样，汽车的运动包括三个不同的过程：先匀加速运动，然后是加速度逐渐减小的变加速运动，最后是匀速运动，其速度图象如图7－16所示．匀加速运动的加速度a ＝(F －μmg )/m ，∴ F ＝m (a ＋μg )＝5×103×(0.5＋0.1×10)＝7.5×103(N)．设保持匀加速的时间为t ，匀加速能达到的最大速度为v 1，则：v 1＝at ．汽车速度达到v 1时：P ＝F ·v 1．∴ t ＝P/Fa ＝6.0×104/7.5×103×0.5＝16(s) ●课堂针对训练●(1)竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于球的速度．A ．上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功；B ．上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功；C ．上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率；D ．上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力的平均功率．(2)某中等体重的学生进行体能训练时，用100s 时间走上20m 高的高楼，估测他登楼时的平均功率最接近的数值是：A ．10W ；B ．100W ；C ．1KW ；D ．10KW ．(3)已知质量为m 的物体从高处自由下落，经时间t ，重力对物体做功的平均功率为________，t 秒末重力对物体做功的瞬时功率为________．(4)汽车由静止起动即以加速度a 作匀加速运动，则汽车达到额定功率时，汽车的速度：A ．同时达到最大值；B ．还没有达到最大值；C ．在没有达到额定功率前达到最大值；D ．此后保持不变．(5)钢球在足够深的油槽中由静止开始下落，若油对球的阻力正比于其速率，则球在下落的过程中阻力对球做功的功率的大小随时间的变化关系最接近于图7－17中的哪一个？(6)质量为0.5kg 的物体从倾角为37°的光滑斜面顶端由静止释放，g 取10m/s 2，则前3s内重力做的功为________J ；第2s 内的重力做功的平均功率为________W ；第3s 末重力做功的瞬时功率为________W ．(取sin37°＝0.6)(7)将20kg 的物体从静止开始以2m/s 2的加速度竖直提升4m ，拉力做功的平均功率为多少？到达4m 末端时拉力的瞬时功率为多少？(g 取10m/s 2)(8)飞机、轮船运动时受到的阻力并不恒定，当速度很大时，阻力和速度的平方成正比，这时要把飞机、轮船的最大速度增大到2倍，发动机的输出功率要增到原来的多少倍？(9)质量为2t 的汽车，发动机输出功率恒等于额定功率30kW ，在水平公路上能达到最大速度为15m/s ，当汽车的速度为10m/s 时的加速度为多少？(10)汽车发动机的额定功率为60kW ，汽车质量为5t ，当汽车在水平路面上行驶时，设阻力是车重的0.1倍，若汽车从静止开始保持以1m/s 2的加速度作匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？(g 取10m/s 2)★滚动训练★(11)如图7－18所示的四种情况中，A 、B 两物体相对静止，一起向右运动，则：A ．图甲中，A 、B 间摩擦力对A 做正功； B ．图乙中，A 、B 间摩擦力对A 做负功；C ．图丙中，A 、B 间摩擦力对A 做正功；D ．图丁中，A 、B 间摩擦力对A 做负功．(12)弹簧原长l 0＝15cm ，受拉力作用后弹簧逐渐拉长，当弹簧伸长到l 1＝20cm 时，作用在弹簧上的力为400N ，问拉力对弹簧作了多少功？三、功和能 四、动能 动能定理 【例1】用拉力F 使一个质量为m 的木箱由静止开始在水平冰道上移动了s ，拉力F 跟木箱前进的方向的夹角为α，木箱与冰道间的动摩擦因数为μ，求木箱获得的速度．(如图7－19)【分析和解答】此题知物体受力，知运动位移s ，知初态速度，求末态速度．可用动能定理求解．拉力F 对物体做正功，摩擦力f 做负功，G 和N 不做功．初动能E k1＝0，末动能E k2＝21mv 2． 由动能定理得：Fscos α－f s ＝21m v 2．而：f ＝μ(mg －Fsin α)：解得：v ＝m mg /s ]sin F (cos F [2αμα--．注意：此题亦可用牛顿第二定律和运动学公式求解，但麻烦些，一般可用动能定理求解的，尽可能用此定理求解．【例2】质量为m 的物体静止在粗糙的水平地面上，若物体受水平力F 的作用从静止起通过位移s 时的动能为E 1，当物体受水平力2F 作用，从静止开始通过相同位移s ，它的动能为E 2，则：A ．E 2＝E 1；B ．E 2＝2E 1；C ．E 2＞2E 1；D ．E 1＜E 2＜2E 1．【分析和解答】正确答案为C ．解答本题的关键是弄清物体运动过程中受到哪些力和各力做功情况(正功还是负功或不做功)，然后由动能定理分析判断．物体在粗糙的水平面上通过位移s 的过程中，所受到的摩擦力不变，由动能定理可得： 水平力为F 时：(F －f )s ＝E 1水平力为2F 时：(2F －f )s ＝E 2则 E 2＝2(F －f )s ＋f s ＝2E 1＋f s ＞2E 1注意：此题列动能定理方程时，易漏掉摩擦阻力的功，误认为Fs 是合外力所做的功．●课堂针对训练●(1)下列说法正确的是：A ．能就是功，功就是能；B ．做功越多，物体的能就越大；C ．外力对物体不做功，这个物体就没有能量；D ．能量转化的多少可用功来量度．(2)一辆汽车沿斜面向上匀速行驶，则在此过程中，下列说法中正确的是：A ．汽车牵引力和重力做正功，阻力做负功；B ．汽车牵引力做正功，重力和阻力做负功；C ．汽车发动机消耗了汽油的内能，转化为汽车的重力势能和克服阻力产生的内能；D ．汽车的动能转化为汽车的重力势能．(3)某人用手将1kg 物体由静止向上提起1m ，这时物体的速度为2m/s(g 取10m/s 2)，则下列说法正确的是：A ．手对物体做功12J ；B ．合外力做功2J ；C ．合外力做功12J ；D ．物体克服重力做功10J ．(4)质量是10g 的子弹以400m/s 的速度由枪口射出，它的动能E k ＝________，若枪管的长度为0.5m ，子弹在枪管中受到的平均合力F ＝________．(5)如图7－20甲、乙所示，某人先后用同样大小的拉力F ，拉着同一物体在水平方向上移动相同的距离s ．第一次是把物体放在一光滑平面上，第二次是把物体放在一个粗糙的平面上．比较两次拉力对物体做功的大小，则W 1________W 2；若比较这两次物体所增加的动能，则E k1________E k2(填＝、＜、＞)(6)质量为0.5kg 的物体，原来以速度为2m/s 做匀速运动，受到一个与运动方向相同的4N 的力的作用，发生的位移2m ，物体的末动能是多大？(7)一子弹以水平速度v 射入一树干中，射入深度为s ，设子弹在树中运动阻力是恒定的，那末，子弹以v /2的速度水平射入树干中，射入深度为多少？(8)如图7－21，用水平恒力F ，将质量为m 的物体A 从静止开始自长为L 、倾角为θ的斜面底端推至顶部，刚达顶点时速度为v ，求A 和斜面间的摩擦力．(9)材料相同的两个物体的质量分别为m 1和m 2，且m 1＝4m 2，当它们以相同的初动能在水平面上滑行，它们的滑行距离之比s 1∶s 2和滑行时间之比t 1∶t 2分别是多少？(两物体与水平面的动摩擦因数相同)★滚动训练★(10)根据观察，在土星外层有一个环．为了判断该环是土星的连续物还是小卫星群，可测出环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系．下列判断正确的是：A ．若v 与R 成正比，则环是连续物；B ．若v 2与R 成正比，则环是小卫星群；C ．若v 与R 成反比，则环是连续物；D ．若V 2与R 成反比，则环是小卫星群．(11)汽车质量为2×103kg ，汽车发动机的额定功率为80kW ，它在平直公路上行驶的最大速度可达20m/s ，现汽车在公路上由静止开始以2m/s 2的加速度做匀加速直线运动，若汽车所受的阻力恒定，求：①汽车所受的阻力多大？②这个匀加速运动过程可以维持多长时间？③开始运动后3s 末，汽车发动机的瞬时功率为多大？动能定理习题课【例1】质量为m 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道最低点，此时绳子的张力为7m g ，此后小球继续做运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力做的功为：A ．41mg R ；B ．31mg R C ．21mg R ； D ．mg R ． 【分析和解答】小球从最低点到最高点通过这半个圆周的过程中，空气阻力大小未知，方向始终与速度方向相反，是变力．求此变力所做的功应从功和能的关系入手，由动能定理求出，但先应分别求出小球在最低点和最高点的动能．如图7－22所示，小球在最低点A 时，由牛顿第二定律得：7mg －mg ＝m R v 2A ，则 E KA ＝21mv A 2＝3mg R ． 小球在最高点B 时，由牛顿第二定律得： mg ＝m R v 2B ，则E KB ＝21mv B 2＝21mg R 小球从A 经半个圆周运动到B 的过程中由动能定理W 1＋W 2＋…＝ΔE K 得：W 阻＋W G ＝ΔE K即：W 阻－mg ·2R ＝21mv B 2－21mv A 2 ∴ W 阻＝－21mg R 则：W 克＝|W 阻|＝21mg R 【例2】质量为M ＝500t 的机车，以恒定功率从静止起动，经时间t ＝5min ，在水平轨道上行驶了s ＝2.25km ，速度达到最大v m ＝15m/s ．试求：(1)机车的功率P ；(2)机车运动过程中所受的平均阻力．【分析和解答】机车以恒定功率起动，牵引力为一变力，做变加速运动不可能运用牛顿运动定律求解，应利用动能定理．牵引力(变力)的功率可由功率公式P ＝tW 求解：W ＝Pt ． 机车以恒定功率起动，由于速度越来越大，由P ＝F ·v 可知，牵引力不断减小．机车运动过程中，牵引力和阻力对机车做的总功等于机车动能的增加．(1)Pt －f s ＝21M v m 2－0……………………………………① 其中，f 为机车所受平均阻力．当机车速度达到v m 时，应有：P ＝f ·v m …………………②由②式得：f ＝mP v …………………………………………③ 将③代入①解得：P ＝1510252605151050021s t M 213232m ⨯⨯⨯⨯⨯=-.m v v ＝3.75×105W 即机车功率为3.75×105W(2)将P ＝3.75×105代入③得：f ＝15107535⨯.＝2.5×104N 机车所受平均阻力为：2.5×104N【总结与提高】处理力学运动，动能定理比牛顿运动定律更具普遍性，而且，更显简捷方便．但是，很多同学接触到力问题更习惯用牛顿运动定律求解，希望通过本课时的学习，能更理智地选取适当的解题方法．●课堂针对训练●(1)一学生用100N 的力将静置于地面的质量为0.5kg 的球以8m/s 的初速沿水平方向踢出20m 远，则该学生对球做的功是：A ．200J ；B ．16J ；C ．1000J ；D ．无法确定(2)一质量为m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点(如图7－23所示)，则力F 所做的功为：A ．m gl ·cos θ；B ．m gl ·(1－cos θ)；C ．F l ·sin θ；D ．F l ·cos θ．(3)一辆卡车从静止开始由山顶向山下下滑，卡车司机关闭了发动机，滑到山底速度是4km/h，如果卡车关闭发动机以初速度3km/h由山顶滑下，则卡车滑到山底的速度是：A．4km/h；B．5km/h；C．6km/h；D．7km/s．(4)在粗糙水平面上运动的物体，经A点时开始受恒定的水平拉力F作用，该物体沿直线运动到B点，已知物体在B点的速度大小与在A点的速度大小相等，则在此过程中：A．物体一定为匀速直线运动； B．F与摩擦力的方向必始终相反；C．F与摩擦力所做总功为零； D．摩擦力所做总功为零．(5)质量为m的球由距地面高为h处无初速下落，运动过程中空气阻力恒为重力的0.2倍，球与地面碰撞时无能量损失而向上弹起，球停止后通过的总路程是多少？(6)如图7－24所示，质量为m的物体被用细绳经过光滑小孔而牵引在光滑的水平面上作匀速圆周运动，拉力为某个值F时转动半径为R，当拉力逐渐减小到F/4时，物体仍作匀速圆周运动，半径为2R，则外力对物体所做的功的大小是多少？(7)如图7－25所示，物体沿一曲面从A点无初速滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑高度为5m，若物体的质量为1kg，到B点时的速度为6m/s，则在下滑过程中，物体克服阻力所做的功为多少？(8)一列车的质量是5.0×105kg，在水平平直的轨道上以额定功率3000kW加速行驶，行驶过程中阻力恒定，当速度由10m/s加速到所能达到的最大速率30m/s时，共用了2min，则在这段时间内列车前进的距离是多少米？(提示：当列车匀速时，牵引力大小等于阻力，牵引力作功W F＝P·t)(9)如图7－26所示，一弹簧振子，物块的质量为m，它与水平桌面间的动摩擦因数为μ．起初，用手按住物块，物块的速度为零，弹簧的伸长量为x．然后放手，当弹簧的长度回到原长时，物块的速度为v0，试用动能定理求此过程中弹力所做的功．★滚动训练★(10)地球上站立着两位相距非常远的观察者，经长时间观察都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星静止不动，则这两位观察者的位置以及两颗卫星到地球中心的距离可能是：A．两人都站在赤道上，两卫星到地球中心的距离可能是不相等的；B．两人都站在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定是相等的；C．一人站在南极，一人站在北极，两卫星到地球中心的距离一定是相等的；D．一人站在南极，一人站在北极，两卫星到地球中心的距离可能是不相等的．(11)汽车的质量为m＝4×103kg，额定功率P额＝80kW，运动中阻力大小为车重的0.1倍．汽车在水平路面上从静止开始以F ＝8.0×103N 的牵引力出发，求：①经多长时间汽车达到额定功率；②汽车达到额定功率后保持功率不变，运动中的最大速度多大；③汽车加速度为0.6m/s 2时的速度多大． 《动能定理》【例1】一质量为2kg 的铅球从离地面2m 高处自由下落，陷入沙坑中2cm 深处．求沙子对铅球的平均阻力．见图7－27．(g ＝10m/s 2)【分析和解答】小球的运动包括自由落体和陷入沙坑减速运动两个过程，知初末态动能，运动位移，应选用动能定理解决，且处理方法有两种：(一)分段列式：铅球自由下落过程设小球落到沙面时速度为v 则：mg H ＝21m v 2 v ＝H 2g ＝2102⨯⨯＝210(m/s)． 小球陷入沙坑过程，只受重力和阻力f 作用，由动能定理得：mg h －f h ＝0－m v 2/2．f ＝(mgh ＋mv 2/2)/h ＝[2×10×0.02＋2×(210)2/2]/0.02＝2020(N)(二)全程列式：全过程有重力作功，进入沙中又有阻力做功．∴ W 总＝mg (H ＋h)－f h ．由动能定理得：mg (H ＋h)－f h ＝0－0．故：f ＝mg (H ＋h)/h ＝2×10(2＋0.02)/0.02＝2020(N)．【总结与提高】物体运动有几个过程时，对全程列式较简单．不管用什么方法列式，首要条件是准确分析判断有多少个过程，然后是逐个过程分析有哪些力做功，且各力做功应与位移对应．并确定初末态动能．【例2】一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处与开始运动处的水平距离为S ，如图7－28所示，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面和水平面与物体间的动摩擦因数都相同，求动摩擦因数μ．【分析和解答】设该斜面倾角为θ，斜坡长为l ．过程一：物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在斜面上的功分别为：W G ＝mgl ·sin θ＝mg hW f1＝－μmgl ·cos θ过程二：物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S 2，则：W f2＝－μmg S 2。

本章有关功和能的概念，以及动能定理和机械能守恒定律是在牛顿运动定律的基础上，研究力和运动关系的进一步拓展.用能量的观点分析问题，不仅为解决力学问题开辟了途径，同时也是分析解决电磁学、热学领域问题的重要的思路.功和能的关系，能量的转化和守恒，往往出现在高考压轴题中，涉及的物理过程较复杂，综合性较强，涉及的知识面广，对考生的综合分析能力要求较高.对于生活、生产中的实际问题要建立相关物理模型，灵活运用牛顿运动定律、动能定理、动量定理及能量守恒的方法分析问题、解决问题.【一】功和功率一、功1．做功的两个不可缺少的因素：力和物体在力的方向上发生的位移．2．功的公式：W＝Flcos a ，其中F为恒力，α为F的方向与位移l的方向夹角；功的单位：焦耳(J)；功是标量．3．正功和负功(1) 功的正负的意义①功是标量，但有正负之分，正功表示动力对物体做功，负功表示阻力对物体做功②一个力对物体做负功，往往说成是物体克服这个力做功(2) 功的正负的确定①若α<90°，则W>0，表示力对物体做正功② 若α＝90°，则W ＝0，表示力对物体 不做功③ 若90°<α≤180°，则W<0，表示力对物体做 负功功的公式可有两种理解：一 、是力“F”乘以物体在力的方向上发生的位移“l cos α”；二 、是在位移 l 方向上的力“Fcos α”乘以位移 l.求解变力做功的方法：一、平均力法：如果力的方向不变力的大小随位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式：来求功。

求解变力做功的方法：二、微元法：在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再对“元过程”运用必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到解决．对于滑动摩擦力、空气阻力等变力，在曲线运动或往复运动时，这类力的功等于力和路程的乘积。

一轮复习限时规范训练机械能守恒定律及其应用一、选择题：在每小题给出的四个选项中，第1～4题只有一项符合题目要求，第5～7题有多项符合题目要求．1、关于机械能守恒，下列说法中正确的是( )A．物体做匀速运动，其机械能肯定守恒B．物体所受合力不为零，其机械能肯定不守恒C．物体所受合力做功不为零，其机械能肯定不守恒D．物体沿竖直方向向下做加速度为5 m/s2的匀加速运动，其机械能削减答案:D解析:物体做匀速运动其动能不变，但机械能可能变，如物体匀速上升或下降，机械能会相应的增加或削减，选项A错误；物体仅受重力作用，只有重力做功，或受其他力但其他力不做功或做功的代数和为零时，物体的机械能守恒，选项B、C错误；物体沿竖直方向向下做加速度为5 m/s2的匀加速运动时，物体肯定受到一个与运动方向相反的力的作用，此力对物体做负功，物体的机械能削减，故选项D正确．2．如图所示，表面光滑的固定斜面顶端安装肯定滑轮，小物块A，B 用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)．初始时刻，A，B处于同一高度并恰好处于静止状态．剪断轻绳后A下落、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块( )A．速率的改变量不同B．机械能的改变量不同C．重力势能的改变量相同D．重力做功的平均功率相同答案:D解析:由题意依据力的平衡有m A g＝m B g sin θ，所以m A＝m B sin θ.依据机械能守恒定律mgh＝12mv2，得v＝2gh，所以两物块落地速率相等，选项A错误；因为两物块的机械能守恒，所以两物块的机械能改变量都为零，选项B错误；依据重力做功与重力势能改变的关系，重力势能的改变为ΔE p＝－W G＝－mgh，所以E p A＝m A gh＝m B gh sin θ，E p B＝m B gh，选项C错误；因为A、B两物块都做匀变速运动，所以A重力的平均功率为P A＝m A g·v2，B重力的平均功率P B＝m B g·v2sin θ，因为m A＝m B sin θ，所以PA＝P B，选项D正确．3．静止在地面上的物体在竖直向上的恒力作用下上升，在某一高度撤去恒力．不计空气阻力，在整个上升过程中，物体机械能随时间改变关系是( )A B C D答案:C解析:物体受恒力加速上升时，恒力做正功，物体的机械能增大，又因为恒力做功为W＝F·12at2，与时间成二次函数关系，选项A、B两项错误；撤去恒力后，物体只受重力作用，所以机械能守恒，D项错误，C项正确．4．如图所示，粗细匀称、两端开口的U形管内装有同种液体，起先时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流淌，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )A．18gh B．16ghC．14gh D．12gh答案:A解析:设管子的横截面积为S ，液体的密度为ρ.打开阀门后，液体起先运动，不计液体产生的摩擦阻力，液体机械能守恒，液体削减的重力势能转化为动能，两边液面相平常，相当于右管12h 高的液体移到左管中，重心下降的高度为12h ，由机械能守恒定律得ρ·12hS ·g ·12h ＝12ρ·4hS ·v 2，解得，v ＝gh8.选项A 正确．5．如图所示，一质量为m 的小球套在光滑竖直杆上，轻质弹簧一端固定于O 点，另一端与该小球相连．现将小球从A 点由静止释放，沿竖直杆运动到B 点，已知OA 长度小于OB 长度，弹簧处于OA ，OB 两位置时弹力大小相等．在小球由A 到B 的过程中( )A ．加速度等于重力加速度g 的位置有两个B ．弹簧弹力的功率为零的位置有两个C ．弹簧弹力对小球所做的正功等于小球克服弹簧弹力所做的功D ．弹簧弹力做正功过程中小球运动的距离等于小球克服弹簧弹力做功过程中小球运动的距离答案:AC解析:在运动过程中A 点为压缩状态，B 点为伸长状态，则由A 到B 有一状态弹力为0且此时弹力与杆不垂直，加速度为g ；当弹簧与杆垂直时小球加速度为g .则有两处加速度为g ，故A 项正确；在A 点速度为零，弹簧弹力功率为0，弹簧与杆垂直时弹力的功率为0，有一位置的弹力为0，其功率为0，共3处，故B 项错误；因A 点与B 点弹簧的弹性势能相同，则弹簧弹力对小球所做的正功等于小球克服弹簧弹力所做的功，故C 项正确；因小球对弹簧做负功时弹力大，则弹簧弹力做正功过程中小球运动的距离大于小球克服弹簧弹力做功过程中小球运动的距离，故D 项错误．6．如图所示，滑块A ，B 的质量均为m ，A 套在固定竖直杆上，A ，B 通过转轴用长度为L 的刚性轻杆连接，B 放在水平面上并紧靠竖直杆，A ，B均静止．由于微小扰动，B起先沿水平面对右运动．不计一切摩擦，滑块A，B视为质点．在A下滑的过程中，下列说法中正确的是( ) A．A，B组成的系统机械能守恒B．在A落地之前轻杆对B始终做正功C．A运动到最低点时的速度为2gLD．当A的机械能最小时，B对水平地面的压力大小为2mg答案:AC解析:A，B组成的系统中只有动能和势能相互转化，故A、B组成的系统机械能守恒，选项A正确；分析B的受力状况和运动状况：B先受到竖直杆向右的推力，使其向右做加速运动，当B的速度达到肯定值时，杆对B有向左的拉力作用，使B向右做减速运动，当A落地时，B的速度减小为零，所以杆对B先做正功，后做负功，选项B错误；由于A、B组成的系统机械能守恒，且A到达最低点时B的速度为零，依据机械能守恒定律可知选项C正确；B先做加速运动后做减速运动，当B的速度最大时其加速度为零，此时杆的弹力为零，故B对水平面的压力大小为mg，由于A、B组成的系统机械能守恒，故此时A机械能最小，选项D错误．7．如图所示，A，B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B，C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手限制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直，右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B，C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，起先时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C 恰好离开地面．下列说法错误的是( )A．斜面倾角α＝60°B．A获得的最大速度为2g m 5kC．C刚离开地面时，B的加速度最大D ．从释放A 到C 刚离开地面的过程中，A ，B 两小球组成的系统机械能守恒答案:ACD解析:释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时C 恰好离开地面，此时细线中拉力等于4mg sin α，弹簧的弹力等于mg ，则有4mg sin α＝mg ＋mg ，解得斜面倾角α＝30°，选项A 错误；释放A 前，弹簧的压缩量为x ＝mg k ，A 沿斜面下滑至速度最大时弹簧的伸长量为x ′＝mg k，由机械能守恒定律得4mg ·2x sin α－mg ·2x ＝12·4mv 2＋12mv 2，解得A 获得的最大速度为v ＝2g m 5k，选项B 正确；C 刚离开地面时，B 的加速度为零，选项C 错误；从释放A 到C 刚离开地面的过程中，A ，B 两小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒，选项D 错误．二、非选择题8．如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A 和B ，A 套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h ＝0.2 m ，起先时让连着A 的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B ，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A 的速度为多大？在以后的运动过程中，A 所获得的最大速度为多大？(设B 不会遇到水平杆，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g ＝10 m/s 2) 解：设绳与水平杆夹角θ2＝53°时，A 的速度为v A ，B 的速度为v B ，此过程中B 下降的高度为h 1，则有mgh 1＝12mv 2A ＋12mv 2B ，其中h 1＝h sin θ1－hsin θ2，v A cos θ2＝v B ，代入数据，解以上关系式得v A ≈1.1 m/s.A 沿着杆滑到左侧滑轮正下方的过程，绳子拉力对A 做正功，A 做加速运动，此后绳子拉力对A 做负功，A 做减速运动．故当θ1＝90°时，A 的速度最大，设为v A m ，此时B 下降到最低点，B 的速度为零，此过程中B 下降的高度为h 2，则有mgh 2＝12mv 2A m ，其中h 2＝h sin θ1－h ，代入数据解得v A m ＝1.63 m/s. 9．如图所示，水平地面与一半径为l 的竖直光滑圆弧轨道相接于B 点，轨道上的C 点位置处于圆心O 的正下方．在距地面高度为l 的水平平台边缘上的A 点，质量为m 的小球以v 0＝2gl 的速度水平飞出，小球在空中运动至B 点时，恰好沿圆弧轨道在该点的切线方向滑入轨道．小球运动过程中空气阻力不计，重力加速度为g ，试求：(1)B 点与抛出点A 正下方的水平距离x ；(2)圆弧BC 段所对的圆心角θ；(3)小球滑到C 点时，对圆轨道的压力．解：(1)设小球做平抛运动到达B 点的时间为t ，由平抛运动规律得l ＝12gt 2，x ＝v 0t 联立解得x ＝2l .(2)由小球到达B 点时竖直分速度v 2y ＝2gl ，tan θ＝v y v 0，解得θ＝45°. (3)小球从A 运动到C 点的过程中机械能守恒，设到达C 点时速度大小为v C ，由机械能守恒定律有mgl ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1－22＝12mv 2C －12mv 20 设轨道对小球的支持力为F ，有F －mg ＝m v 2C l解得F ＝(7－2)mg由牛顿第三定律可知，小球对圆轨道的压力大小为F ′＝(7－2)mg ，方向竖直向下．10．如图所示，在竖直空间有直角坐标系xOy ，其中x 轴水平，一长为2l 的细绳一端系一小球，另一端固定在y 轴上的P 点，P 点坐标为(0，l )，将小球拉至细绳呈水平状态，然后由静止释放小球，若小钉可在x 正半轴上移动，细绳承受的最大拉力为9mg ，为使小球下落后可绕钉子在竖直平面内做圆周运动到最高点，求钉子的坐标范围．解：当小球恰过圆周运动的最高点时，钉子在x 轴正半轴的最左侧，则有mg ＝m v 21r 1 小球由静止到圆周的最高点这一过程，依据机械能守恒定律有mg (l －r 1)＝12mv 21 x 1＝2l －r 12－l 2解得x 1＝73l 当小球处于圆周的最低点，且细绳张力恰达到最大值时，钉子在x 轴正半轴的最右侧，则有F max －mg ＝m v 22r 2小球由静止到圆周的最低点这一过程，依据机械能守恒定律有 mg (l ＋r 2)＝12mv 22x 2＝2l －r 22－l 2解得x 2＝43l 因而钉子在x 轴正半轴上的范围为73l ≤x ≤43l .。

机械能守恒定律1.掌握重力势能、弹性势能的概念，并能计算.2.掌握机械能守恒的条件，会判断物体的机械能是否守恒.3.掌握机械能守恒定律的三种表达形式，理解其物理意义，并能熟练应用．考点一机械能守恒的判断1．内容在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．2．条件只有重力或弹力做功．3．判断方法(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化．(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．[例题1]（2024春•洛阳期中）不考虑空气阻力，下列说法正确的是（）A．甲图中整个下落过程，蹦极者与弹性绳（在弹性限度内），组成的系统机械能守恒B．乙图中运动员在蹦床上越跳越高，运动员的机械能守恒C．丙图中小孩从滑梯顶端匀速滑下，小孩的机械能守恒D．丁图中旋转飞椅和人一起以恒定角速度做匀速圆周运动的过程，人的机械能不守恒[例题2]（2024春•渝中区校级月考）下列说法正确的是（）A．如图甲所示物块在光滑水平面上压缩弹簧的过程中，物块的机械能守恒B．如图乙所示外力作用拉直轻绳使小球静止于图示位置，现释放小球，从释放开始运动至最低点A的过程中，小球的机械能守恒C．如图丙所示物体沿固定的光滑斜面向上做减速运动的过程中，物体的机械能守恒D．如图丁所示不计一切阻力，已知m B＞m A，从静止释放B球到B落地前的过程中，B减小的重力势能等于A增加的机械能[例题3]（2024•西安校级模拟）如图甲所示，风洞是人工产生和控制的气流，用以模拟飞行器或物体周围气体的流动。

第3讲机械能守恒定律及其应用1 重力做功与重力势能(1)重力做功的特点:重力做功与路径无关,只与初、末位置的高度差有关。

(2)重力做功与重力势能变化的关系①定性关系:重力对物体做正功,重力势能就减少;重力对物体做负功,重力势能就增加。

②定量关系:物体从位置A到位置B的过程中,重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量,即W G=-ΔE p。

③重力势能的变化量是绝对的,与参考面的选取无关。

湖南长沙雅礼中学月考)(多选)质量为m的物体,从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h高度,下列说法正确的是()。

A.物体的重力势能减少2mghB.物体的机械能保持不变C.物体的动能增加2mghD.物体的机械能增加mgh【答案】CD2 弹性势能(1)定义:发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能。

(2)大小:弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关,弹簧的形变量越大,劲度系数越大,弹簧的弹性势能越大。

(3)弹力做功与弹性势能变化的关系:类似于重力做功与重力势能变化的关系,用公式可表示为W=-ΔE p。

【温馨提示】弹性势能是由物体的相对位置决定的。

同一根弹簧的伸长量和压缩量相同时,弹簧的弹性势能相同。

(2018江苏南京10月模拟)如图所示,在光滑水平面上有一物体,它的左端固定连接一弹簧,弹簧的另一端固定在墙上,在力F作用下物体处于静止状态,当撤去F后,物体将向右运动,在物体向右运动的过程中,下列说法正确的是()。

A.弹簧的弹性势能逐渐减少B.弹簧的弹性势能逐渐增加C.弹簧的弹性势能先增加再减少D.弹簧的弹性势能先减少再增加【答案】D3 机械能守恒定律(1)内容:在只有重力或弹力做功的系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变。

(2)机械能守恒定律的三种表达形式及应用①守恒观点:a.表达式,E k1+E p1=E k2+E p2或E1=E2。

b.意义,系统初状态的机械能等于末状态的机械能。

第3讲 机械能守恒定律及其应用目标要求 1.知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容.2.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题．考点一 机械能守恒的判断1．重力做功与重力势能的关系 (1)重力做功的特点①重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关． ②重力做功不引起物体机械能的变化． (2)重力势能 ①表达式：E p ＝mgh . ②重力势能的特点重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关． (3)重力做功与重力势能变化的关系重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大．即W G ＝E p1－E p2＝－ΔE p . 2．弹性势能(1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能． (2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大．即W ＝－ΔE p . 3．机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．(2)表达式：mgh 1＋12m v 12＝mgh 2＋12m v 22.1．物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒．( × ) 2．物体做匀速直线运动，其机械能一定守恒．( × )3．物体的速度增大时，其机械能可能减小．(√)机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒．例1忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是()A．电梯匀速下降B．物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端C．物体沿着斜面匀速下滑D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升答案 B解析电梯匀速下降，说明电梯处于受力平衡状态，并不是只有重力做功，机械能不守恒，所以A错误；物体在光滑斜面上，受重力和支持力的作用，但是支持力的方向和物体位移的方向垂直，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以B正确；物体沿着斜面匀速下滑，物体处于受力平衡状态，摩擦力和重力都要做功，机械能不守恒，所以C错误；拉着物体沿光滑斜面匀速上升，物体处于受力平衡状态，拉力和重力都要做功，机械能不守恒，所以D错误．例2(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是()A．运动员到达最低点前重力势能始终减小B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关答案ABC解析在运动员到达最低点前，运动员一直向下运动，根据重力势能的定义可知重力势能始终减小，故选项A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向向上，而运动员向下运动，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项B正确；对于运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，蹦极过程中只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒，故选项C正确；重力做功是重力势能转化的量度，即W G＝－ΔE p，而蹦极过程中重力做功只与初末位置的高度差有关，与重力势能零点的选取无关，所以重力势能的改变量与重力势能零点的选取无关，故选项D错误．例3(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是()A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒答案BC解析当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中，小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确．考点二单物体机械能守恒问题1．表达式2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤例4 (2023·福建省龙岩第一中学月考)如图所示，轻质弹簧一端固定在墙壁上的O 点，另一端自由伸长到A 点，所有接触面光滑，固定曲面在B 处与水平面平滑连接，AB 之间的距离s ＝1 m ，固定斜面高为h ＝0.8 m ，质量m ＝0.2 kg 的小物块从斜面顶端由静止释放，g 取10 m/s 2，求：(1)物块到达B 点时的速度大小；(2)弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能． 答案 (1)4 m/s (2)1.6 J解析 (1)物块从斜面顶端到达底端时，由机械能守恒定律得mgh ＝12m v B 2解得v B ＝4 m/s(2)由能量关系可知弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能E p ＝mgh ＝1.6 J.例5 (2022·全国乙卷·16)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P 点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于( )A ．它滑过的弧长B ．它下降的高度C ．它到P 点的距离D ．它与P 点的连线扫过的面积 答案 C解析 如图所示，设小环下降的高度为h ，大圆环的半径为R ，小环到P 点的距离为L ，根据机械能守恒定律得mgh ＝12m v 2，由几何关系可得h ＝L sin θ，sin θ＝L 2R ，联立可得h ＝L 22R ，则v ＝LgR，故C 正确，A 、B 、D 错误．例6 (2021·浙江1月选考·20改编)如图所示，竖直平面内由倾角α＝60°的斜面轨道AB 、半径均为R 的半圆形细圆管轨道BCDE 和16圆周细圆管轨道EFG 构成一游戏装置固定于地面，B 、E 两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直．轨道出口处G 和圆心O 2的连线，以及O 2、E 、O 1和B 等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ＝30°，G 点与竖直墙面的距离d ＝3R .现将质量为m 的小球从斜面的某高度h 处静止释放．小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力．(1)若释放处高度h ＝h 0，当小球第一次运动到圆管最低点C 时，求速度大小v C ； (2)求小球在圆管内与圆心O 1点等高的D 点所受弹力F N 与h 的关系式； (3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h 应该满足什么条件？ 答案 见解析解析 (1)从A 到C ，小球的机械能守恒，有 mgh 0＝12m v C 2，可得v C ＝2gh 0(2)小球从A 到D ，由机械能守恒定律有 mg (h －R )＝12m v D 2根据牛顿第二定律有F N ＝m v D 2R联立可得F N ＝2mg (hR －1)满足的条件h ≥R(3)第1种情况：不滑离轨道原路返回，由机械能守恒定律可知，此时h 需满足的条件是 h ≤R ＋3R sin θ＝52R第2种情况：小球与墙面垂直碰撞后原路返回， 小球与墙面碰撞后，进入G 前做平抛运动，则 v x t ＝v x v yg ＝d ，其中v x ＝v G sin θ，v y ＝v G cos θ故有v G sin θ·v G cos θg ＝d ，可得v G ＝2gR由机械能守恒定律有mg (h －52R )＝12m v G 2可得h ＝92R .考点三 系统机械能守恒问题1．解决多物体系统机械能守恒的注意点(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 或ΔE A ＝－ΔE B 的形式． 2．几种实际情景的分析 (1)速率相等情景注意分析各个物体在竖直方向的高度变化． (2)角速度相等情景①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．②由v＝ωr知，v与r成正比．(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等．(4)含弹簧的系统机械能守恒问题①由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒.②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．③对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等．考向1速率相等情景例7(多选)(2023·福建省厦门外国语学校月考)如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直面内，质量均为m的A、B两球用长度为2R的轻杆连接套在圆环上，开始时轻杆竖直并同时由静止释放两球．当A球运动到B的初始位置时，轻杆刚好水平，重力加速度为g，则从开始运动到轻杆水平的过程中，下列说法正确的是()A．小球A、B的机械能均保持守恒B．小球A、B组成的系统机械能守恒C．轻杆水平时小球A的速度大小为2gRD．轻杆水平时小球B的速度大小为2gR答案BD解析由于环是光滑的，因此A、B组成的系统机械能守恒，当杆水平时，设A、B两球的速度大小均为v，由题意可知mg×2R＝12×2m v2，则v＝2gR，因为A球的重力势能转化为了A球和B球的动能，因此从开始到杆水平时，B球的机械能增加，则A球的机械能减少，故B、D正确，A、C错误．多个物体组成的系统，应用机械能守恒时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，再用ΔE增＝ΔE减(系统内一部分增加的机械能和另一部分减少的机械能相等)解决问题．考向2角速度相等情景例8(多选)(2023·安徽滁州市定远县第三中学模拟)轮轴机械是中国古代制陶的主要工具．如图所示，轮轴可绕共同轴线O自由转动，其轮半径R＝20 cm，轴半径r＝10 cm，用轻质绳缠绕在轮和轴上，分别在绳的下端吊起质量为2 kg、1 kg的物块P和Q，将两物块由静止释放，释放后两物块均做初速度为0的匀加速直线运动，不计轮轴的质量及轴线O处的摩擦，重力加速度g取10 m/s2.在P从静止下降1.2 m的过程中，下列说法正确的是()A．P、Q速度大小始终相等B．Q上升的距离为0.6 mC．P下降1.2 m时Q的速度大小为2 3 m/sD．P下降1.2 m时的速度大小为4 m/s答案BD解析由题意知轮半径R＝20 cm，轴半径r＝10 cm，根据线速度与角速度关系可知v Pv Q ＝ωR ωr＝2 1，故A项错误；在P从静止下降1.2 m的过程中，由题意得h Ph Q＝v P t vQt＝21，解得h Q＝0.6 m，故B 项正确；根据机械能守恒得m P gh P ＝12m P v P 2＋12m Q v Q 2＋m Q gh Q ，由A 项和B 项知v P v Q ＝21，h Q ＝0.6 m ，解得v Q ＝2 m/s ，v P ＝4 m/s ，故C 项错误，D 项正确．考向3 关联速度情景例9 (多选)(2023·福建厦门市湖滨中学月考)如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d .现将小环从与定滑轮等高的A 处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d 时(图中B 处)，下列说法正确的是(重力加速度为g )( )A ．小环到达B 处时，重物上升的高度也为d B ．小环在B 处的速度与重物上升的速度大小之比等于22C ．小环从A 运动至B 点过程中，小环减少的重力势能大于重物增加的机械能D ．小环在B 处时，小环速度大小为(3－22)gd 答案 CD解析 小环到达B 处时，重物上升的高度应为绳子缩短的长度，即h ＝2d －d ＝(2－1)d ，故A 错误；沿绳子方向的速度大小相等，将小环速度沿绳子方向与垂直于绳子方向正交分解，应满足v 环cos θ＝v 物，即v 环v 物＝1cos θ＝2，故B 错误；环下滑过程中无摩擦力做功，只有重力和系统内的弹力做功，故系统机械能守恒，环减小的机械能等于重物增加的机械能，所以小环减少的重力势能减去小环增加的动能等于重物增加的机械能，故小环减少的重力势能大于重物增加的机械能，故C 正确；小环和重物组成的系统机械能守恒，故mgd －12m v环2＝12×2m v 物2＋2mgh ，联立解得v 环＝()3－22gd ，故D 正确．考向4 含弹簧的系统机械能守恒问题例10(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是()A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度gB．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大答案AD解析在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；由机械能守恒定律可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；D点为小球运动的最低点，速度为零，小球机械能最小，由小球和弹簧组成的系统运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确．例11如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面．求：(1)斜面的倾角α；(2)A球获得的最大速度v m的大小．答案(1)30°(2)2g m 5k解析(1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零．由牛顿第二定律得4mg sin α－2mg＝0则sin α＝12，α＝30°.(2)初始时系统静止且细线无拉力，弹簧处于压缩状态，设弹簧压缩量为Δx，对B：kΔx＝mg 因α＝30°，则C球离开地面时，弹簧伸长量也为Δx，故弹簧弹性势能变化量为零，A、B、C三小球和弹簧组成的系统机械能守恒，有4mg·2Δx·sin α－mg·2Δx＝12(5m)v m2联立解得v m＝2g m5k.课时精练1.如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上．现将一小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是()A．斜劈对小球的弹力不做功B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒C．斜劈的机械能守恒D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量答案 B解析不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功，系统机械能守恒，B正确；斜劈动能增加，重力势能不变，故斜劈的机械能增加，C错误；由系统机械能守恒可知，小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量和小球动能的增加量之和，D 错误；斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°，故弹力做负功，A 错误．2.(2021·海南卷·2)水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中．如图所示，滑梯顶端到末端的高度H ＝4.0 m ，末端到水面的高度h ＝1.0 m ．取重力加速度g ＝10 m/s 2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力．则人的落水点到滑梯末端的水平距离为( )A ．4.0 mB ．4.5 mC ．5.0 mD ．5.5 m 答案 A解析 设人从滑梯由静止滑到滑梯末端速度为v ，根据机械能守恒定律可知mgH ＝12m v 2，解得v ＝4 5 m/s ，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h ＝12gt 2可知t ＝2h g＝2×1.010s ＝15s ，水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为x ＝v t ＝45×15m ＝4.0 m ，故选A. 3．质量为m 的小球从距离水平地面高H 处由静止开始自由落下，取水平地面为参考平面，重力加速度大小为g ，不计空气阻力，当小球的动能等于重力势能的2倍时，经历的时间为( ) A.6H g B ．2H 3g C.2H 3gD.2H g答案 B解析 设下降h 时，动能等于重力势能的2倍，根据机械能守恒：mgH ＝mg (H －h )＋E k 即：mgH ＝3mg (H －h )，解得h ＝23H ，根据h ＝12gt 2解得t ＝2H3g，故选B. 4.(2023·武汉东湖区联考)如图所示，有一条长为L ＝1 m 的均匀金属链条，有一半在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g 取10 m/s 2)( )A ．2.5 m/s B.522 m/sC. 5 m/sD.352m/s 答案 A解析 设链条的质量为2m ，以开始时链条的最高点的重力势能为零，链条的机械能为E ＝－12×2mg ·L 4sin 30°－12×2mg ·L 4＝－38mgL ，链条全部滑出后，动能为E k ′＝12×2m v 2，重力势能为E p ′＝－2mg ·L 2，由机械能守恒定律可得E ＝E k ′＋E p ′，即－38mgL ＝m v 2－mgL ，解得v＝2.5 m/s ，故A 正确，B 、C 、D 错误．5.(多选)如图，一个质量为0.9 kg 的小球以某一初速度从P 点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC 的A 点沿切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)．已知圆弧的半径R ＝0.3 m ，θ＝60°，小球到达A 点时的速度v A ＝4 m/s.(取g ＝10 m/s 2)下列说法正确的是( )A ．小球做平抛运动的初速度v 0＝2 3 m/sB ．P 点和C 点等高C ．小球到达圆弧最高点C 点时对轨道的压力大小为12 ND ．P 点与A 点的竖直高度h ＝0.6 m 答案 CD解析 小球恰好从光滑圆弧ABC 的A 点沿切线方向进入圆弧，则小球到A 点时的速度与水平方向的夹角为θ，所以v 0＝v x ＝v A cos θ＝2 m/s ，选项A 错误；小球到A 点时的竖直分速度v y ＝v A sin θ＝2 3 m/s ，由平抛运动规律得v y 2＝2gh ，解得h ＝0.6 m ，而AC 的竖直距离为R ＋R cos θ＝0.45 m ，可知P 点高于C 点，选项B 错误，D 正确；取A 点的重力势能为零，由机械能守恒定律得12m v A 2＝12m v C 2＋mg (R ＋R cos θ)，代入数据得v C ＝7 m/s ，在C 点时由牛顿第二定律得N C ＋mg ＝m v C 2R，代入数据得N C ＝12 N ，根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小N C ′＝N C ＝12 N ，选项C 正确．6.如图所示，有一光滑轨道ABC ，AB 部分为半径为R 的14圆弧，BC 部分水平，质量均为m的小球a 、b 固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R ，小球可视为质点，开始时a 球处于圆弧上端A 点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度为g ，下列说法正确的是( )A ．a 球下滑过程中机械能保持不变B ．b 球下滑过程中机械能保持不变C ．a 、b 球都滑到水平轨道上时速度大小均为2gRD ．从释放a 、b 球到a 、b 球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a 球做的功为12mgR答案 D解析 对于单个小球来说，杆的弹力做功，小球机械能不守恒，A 、B 错误；两个小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故有mgR ＋mg (2R )＝12·2m v 2，解得v ＝3gR ，C 错误；a 球在下滑过程中，杆对小球做功，重力对小球做功，故根据动能定理可得W ＋mgR ＝12m v 2，v ＝3gR ，联立解得W ＝12mgR ，D 正确．7.(多选)如图所示，质量为M 的小球套在固定倾斜的光滑杆上，原长为l 0的轻质弹簧一端固定于O 点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内．图中AO 水平，BO 间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，O ′在O 的正下方，C 是AO ′段的中点，θ＝30°.现让小球从A 处由静止释放，重力加速度为g ，下列说法正确的有( )A ．下滑过程中小球的机械能守恒B ．小球滑到B 点时的加速度大小为32g C ．小球下滑到B 点时速度最大D ．小球下滑到C 点时的速度大小为2gl 0 答案 BD解析 下滑过程中小球的机械能会与弹簧的弹性势能相互转化，因此小球的机械能不守恒，故A 错误；因为在B 点，弹簧恢复原长，因此重力沿杆的分力提供加速度，根据牛顿第二定律可得mg cos 30°＝ma ，解得a ＝32g ，故B 正确；到达B 点时加速度与速度方向相同，因此小球还会加速，故C 错误；因为C 是AO ′段的中点，θ＝30°，由几何关系知当小球到C 点时，弹簧的长度与在A 点时相同，故在A 、C 两位置弹簧弹性势能相等，小球重力做的功全部转化为小球的动能，有mgl 0＝12m v C 2，解得v C ＝2gl 0，故D 正确．8.(2023·广东省深圳实验学校、湖南省长沙一中高三联考)如图所示，一根长为3L 的轻杆可绕水平转轴O 转动，两端固定质量均为m 的小球A 和B, A 到O 的距离为L ，现使杆在竖直平面内转动，B 运动到最高点时，恰好对杆无作用力，两球均视为质点，不计空气阻力和摩擦阻力，重力加速度为g .当B 由最高点第一次转至与O 点等高的过程中，下列说法正确的是( )A ．杆对B 球做正功 B ．B 球的机械能守恒C ．轻杆转至水平时，A 球速度大小为10gL5D ．轻杆转至水平时，B 球速度大小为310gL5答案 D解析 由题知B 运动到最高点时，恰好对杆无作用力，有mg ＝m v 22L ，B 在最高点时速度大小为v ＝2gL ，因为A 、B 角速度相同，A 的转动半径只有B 的一半，所以A 的速度大小为v2，当B 由最高点转至与O 点等高时，取O 点所在水平面的重力势能为零，根据A 、B 机械能守恒，mg ·2L －mgL ＋12m ⎝⎛⎭⎫v 22＋12m v 2＝12m v A 2＋12m v B 2,2v A ＝v B ，解得v A ＝310gL 10，v B ＝310gL5，故C 错误，D 正确；设杆对B 做的功为W ，对B 由动能定理得mg ·2L ＋W ＝12m v B 2－12m v 2，解得W ＝－65mgL ，所以杆对B 做负功，B 机械能不守恒，故A 、B 错误．9.(2023·广东省佛山一中高三月考)如图所示，物块A 套在光滑水平杆上，连接物块A 的轻质细线与水平杆间所成夹角为θ＝53°，细线跨过同一高度上的两光滑定滑轮与质量相等的物块B 相连，定滑轮顶部离水平杆距离为h ＝0.2 m ，现将物块B 由静止释放，物块A 、B 均可视为质点，重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 53°＝0.8，不计空气阻力，则( )A ．物块A 与物块B 速度大小始终相等 B ．物块B 下降过程中，重力始终大于细线拉力C ．当物块A 经过左侧定滑轮正下方时，物块B 的速度最大D ．物块A 能达到的最大速度为1 m/s 答案 D解析 根据关联速度得v A cos θ＝v B ，所以二者的速度大小不相等，A 错误；当物块A 经过左侧定滑轮正下方时细线与杆垂直，则根据选项A 可知，物块B 的速度为零，所以B 会经历减速过程，减速过程中重力会小于细线拉力，B 、C 错误；当物块A 经过左侧定滑轮正下方时，物块A 的速度最大，根据系统机械能守恒得mg (h sin θ－h )＝12m v 2，解得v ＝1 m/s ，D 正确．10．(2023·四川省泸县第一中学模拟)如图所示，把质量为0.4 kg 的小球放在竖直放置的弹簧上，并将小球缓慢向下按至图甲所示的位置，松手后弹簧将小球弹起，小球上升至最高位置的过程中其速度的平方随位移的变化图像如图乙所示，其中0.1～0.3 m 的图像为直线，弹簧的质量和空气的阻力均忽略不计，重力加速度g ＝10 m/s 2，则下列说法正确的是( )A ．小球与弹簧分离时对应的位移小于0.1 mB ．小球的v 2－s 图像中最大的速度为v 1＝2 m/sC ．弹簧弹性势能的最大值为E p ＝1.2 JD ．压缩小球的过程中外力F 对小球所做的功为W F ＝0.6 J 答案 C解析 由于不计空气阻力，则小球与弹簧分离后，小球加速度为g ，说明小球在s ＝0.1 m 时刚好回到弹簧原长位置，小球与弹簧分离，即分离时对应的位移为0.1 m ，A 错误；对直线段有v 22＝2g (0.3 m －0.1 m)，解得v 2＝2 m/s ，由题图可知最大速度v 1>v 2，B 错误；从释放到小球速度为0的过程，弹性势能全部转化为小球的机械能，以最低点为重力势能参考平面，小球的机械能为mgh 0＝0.4×10×0.3 J ＝1.2 J ，故弹簧弹性势能最大值为E p ＝1.2 J ，C 正确；向下按h ＝0.1 m 的过程，根据功能关系有W F ＋mgh ＝E p ，解得W F ＝0.8 J ，D 错误． 11.(2020·江苏卷·15)如图所示，鼓形轮的半径为R ，可绕固定的光滑水平轴O 转动．在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m 的小球，球与O 的距离均为2R .在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M 的重物．重物由静止下落，带动鼓形轮转动．重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω.绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g .求：(1)重物落地后，小球线速度的大小v ；(2)重物落地后一小球转到水平位置A ，此时该球受到杆的作用力的大小F ； (3)重物下落的高度h .答案 (1)2ωR (2)(2mω2R )2＋(mg )2 (3)M ＋16m 2Mg(ωR )2解析 (1)重物落地后，小球线速度大小v ＝ωr ＝2ωR (2)向心力F 向＝2mω2R设F 与水平方向的夹角为α，则F cos α＝F 向 F sin α＝mg 解得F ＝(2mω2R )2＋(mg )2(3)落地时，重物的速度v ′＝ωR。