新教材2020人教B版数学必修第二册课时分层作业21 向量的概念

姓名，年级：时间：课时分层作业（一) 平面向量的概念（建议用时:40分钟）一、选择题1．下列说法不正确的是( ）A．向量的模是一个非负实数B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同D[根据向量的有关概念易判断，D项错误．]2．下面几个命题：①若a＝b,则|a｜＝|b｜；②若|a|＝0，则a＝0；③若｜a|＝｜b｜，则a＝b;④若向量a，b满足错误!则a＝b.其中正确命题的个数是( ）A．0 B．1C．2 D．3B［①正确．②错误．｜a|＝0，则a＝0。

③错误．a与b的方向不一定相同．④错误．a与b的方向有可能相反．］3．在同一平面内,把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( ）A．单位圆B．一段弧C．线段D．直线A［平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．］4。

如图是3×4的格点图（每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处,则与错误!平行且模为错误!的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个C[每个正方形的边长为1,则对角线长为错误!，每个小正方形中存在两个与错误!平行且模为错误!的向量，一共有12个正方形，故共有24个所求向量．］5。

如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB,BC，AC的中点，则与向量错误!相等的向量是（)A．错误!与错误!B．错误!与错误!C．错误!与错误!D．错误!与错误!B[向量相等要求模相等,方向相同，因此AR，→与RC→都是和错误!相等的向量．]二、填空题6．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则错误!的值为________．1 ［因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点,所以错误!的值为1.]7．将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当错误!与错误!是平行向量，且｜错误!｜＝2|错误!|＝2时,｜错误!|＝________.3或1 ［当错误!与错误!同向时，｜错误!|＝｜错误!|＋|错误!｜＝3;当错误!与错误!反向时，｜错误!｜＝｜错误!|－|错误!｜＝1。

6.1.1 向量的概念课后训练巩固提升1.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为( ) A.平行四边形 B.矩形C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |,且AB ∥CD, ∴四边形ABCD 为平行四边形.又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴四边形ABCD 为菱形.2.已知向量a,b 是两个非零向量,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO⃗⃗⃗⃗⃗ 分别是与a,b 同方向的单位向量,则下列正确的是( )A.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗B.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 或AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗ C.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗D.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BO⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等1.3.如图,在圆O 中,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是 ( )A.有相同起点的向量B.共线向量C.模相等的向量D.相等的向量4.(多选题)下列说法错误的是( )A.向量必须用有向线段来表示B.表示一个向量的有向线段是唯一的C.有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA⃗⃗⃗⃗⃗ 是同一向量 D.有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等5.如图,已知小正方形的边长为1,向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度分别是 .|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+52=√34,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+22=√13. √34,√136.已知a,b 是任意两个向量,下列条件:①a=b;②|a|=|b|;③a 与b 的方向相反;④a=0或b=0;⑤a 与b 都是单位向量.其中,使向量a 与b 平行的有 .(只填序号)a ∥b.7.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行,而m ∥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,且m ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴m=0.8.如图,在四边形ABCD 中,M,N 分别是边BC,AD 上的点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ,且CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC⃗⃗⃗⃗⃗ |,且AB ∥DC, 所以四边形ABCD 是平行四边形,所以|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |,且DA ∥CB. 又因为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同, 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理可证,四边形CNAM 是平行四边形,所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NA ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DN ⃗⃗⃗⃗⃗ |.又DN ⃗⃗⃗⃗⃗ 与MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同,所以DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 9.如图,四边形ABCD 与四边形ABDE 都是平行四边形,求证:C,D,E 三点共线.ABCD 与四边形ABDE 都是平行四边形, ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ .又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠0,∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.∵DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 有相同的起点D,∴C,D,E 三点共线.。

课时作业 21一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．答案：D2．下列命题中，正确命题的个数是( )①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a |a |. A ．3 B ．2C ．1D ．0解析：根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a |a |，故④也是错误的． 答案：D3．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析：由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →.EP →与PF →的模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.答案：D4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析：由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形．答案：C二、填空题5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2.答案： 26.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．解析：因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →.答案：BA →，CD →7．给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中所有正确命题的序号为________．解析：AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确；对于④，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故④不正确．答案：②③三、解答题8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如下图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如下图所示．9．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.解析：(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD .又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形．所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．[尖子生题库]10．如图，在△ABC 中，已知向量AD →＝DB →，DF →＝EC →，求证：AE →＝DF →.证明：由DF →＝EC →，可得DF ＝EC 且DF ∥EC ，故四边形CEDF 是平行四边形，从而DE ∥FC .∵AD →＝DB →，∴D 为AB 的中点．∴AE →＝EC →，∴AE →＝DF →.。

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习题课（四） 平面向量初步一、选择题1．设点D 为△ABC 中BC 边上的中点，O 为AD 边上靠近点A 的三等分点,则（ ) A ．BO ―→＝－错误!错误!＋错误!错误! B ．错误!＝错误!错误!－错误!错误! C ．错误!＝错误!错误!－错误!错误!D ．错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!解析：选D 依题意，得错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!＝错误!×错误!(错误!＋错误!）－错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!.故选D 。

2．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ,N 分别为CD ，BC 的中点．若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ等于（ )A 。

错误! B.错误! C.错误!D 。

错误!解析:选D 因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋（错误!＋错误!)＝2错误!＋错误!＋错误!＝2错误!－错误!错误!－错误!,所以错误!＝错误!错误!－错误!错误!，所以λ＝－错误!，μ＝错误!,所以λ＋μ＝错误!。

3．已知非零向量错误!，错误!不共线,且2错误!＝x 错误!＋y 错误!，若错误!＝λ错误! (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( ）A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A 由错误!＝λ错误!，得错误!－错误!＝λ(错误!－错误!），即错误!＝(1＋λ）错误!－λ错误!。