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1.4.2 微积分基本定理学习目标核心素养1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点)2．能用微积分基本定理求定积分．(难点) 3．能用定积分解决有关的问题．1．通过微积分基本定理的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养.2．借助定理求定积分和利用定积分求参数，提升学生的数学运算素养.微积分基本定理1．F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差．2．如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则⎠⎛ab f(x)d x＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x)|b a.因此，微积分基本定理可以写成形式：⎠⎛ab f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )[答案](1)√(2)√(3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋C D ．f (x )＝x 2－2x[解析] 由微积分基本定理知，f ′(x )＝x －2，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋C ′＝x －2， ∴选C. [答案] C利用微积分基本定理求定积分【例1】 (1)定积分⎠1(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 (2)求下列定积分． ①⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；②⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x . [解析] (1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x )| 10＝(12＋e)－(02＋e 0)＝1＋e －1＝e.[答案] C(2)①⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33| 21＋x 2| 21＋3x | 21＝253.②sin 2x 2＝1－cos x 2， 而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ＝sin 2x 2，∴⎠⎜⎛π2sin 2x2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x | π20＝π4－12＝π－24.求简单的定积分关键注意两点1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝________. [解析] (1)⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x | 10＝12k ＋1＝2，∴k ＝2. (2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x | 21＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12.[答案] (1)B (2)ln 2－12求分段函数的定积分【例2】 计算下列定积分．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .[思路探究] (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．计算定积分：⎠⎛-33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .[解] 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.利用定积分求参数[探究问题]1．满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值． 2．如何求对称区间上的定积分？提示：在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．【例3】 已知f (x )是一次函数，其图象过点(1,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．[思路探究] 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解． [解] 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k ＋b ＝4.①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ，所以k2＋b ＝1．②由①②得k ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x －2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．上例中，若把“已知f (x )是一次函数”改为“已知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)”，其余条件不变，求f (x )的解析式．[解] ∵函数的图象过点(1,4)，∴a ＋b ＝4，①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋b 2x 2| 10＝a 3＋b2，∴a 3＋b 2＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－2， 所以f (x )＝6x 2－2x . 1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x [解析] 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22| 10＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x | 10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x | 10＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12， 所以⎠⎛0112d x ＝12x | 10＝12.[答案] C2．⎠⎜⎜⎛-π2π2(sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4 C ．2 D ．4[解析]⎠⎜⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝⎠⎜⎜⎛-π2π2sin x d x ＋[答案] C3．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.[解析] 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 3| 10＝13. [答案]13 4.⎠⎛49x (1＋x )d x 等于________．[解析]⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x ＋x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×932＋12×92－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432＋12×42＝4516. [答案] 45165．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值X 围．[解] 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。
