2021课件(人教A版数学理)第二章 第十二节导数与生活中的优化问题及综合应用

第二章 第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课下练兵场一、选择题1.(2019·广东高考)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( ) A.(－∞，2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2，＋∞) 解析：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2. 答案：D2.已知函数f(x)的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为 ( ) A.－1 B.0 C.1 D.±1 解析：可以求出f (x )＝x 4－2x 2＋c ，其中c 为常数.由于f (x )过(0，－5)，所以c ＝－5，又由f′(x )＝0，得极值点为x ＝0和x ＝±1.又x ＝0时，f (x)＝－5，故x 的值为0. 答案：B3.若函数f (x )＝ax 3－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A.a ＜1 B.a ≤1 C.0＜a ＜1 D.0＜a ≤1 解析：∵f ′(x )＝3ax 2－3，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立.若a ≤0，显然有f ′(x )＜0；若a ＞0，由f ′(x )≤0x 1，∴0＜a ≤1，综上知a ≤1.答案：B4.若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是先增后减的函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 ( )解析：依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是先增后减的函数，则在f (x )的图象上，各点的切线的斜率先随x 的增大而增大，然后随x 的增大而减小，观察四个选项中的图象，只有选项C 满足要求. 答案：C5.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为 ( )A [211,22e π] B(211,22e π) C[ 21,e π] D(21,e π)解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )是[0，π2]上的增函数，∴f (x )的最大值为f (π2)＝212e πf (x )的最小值为f (0)＝12，∴f (x )在[0，π2]上的值域为[211,22e π]答案：A6.已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x ，则 ( )A.f (1)<f (2)<f (3)B.f (2)<f (3)<f (1)C.f (3)<f (2)<f (1)D.f (3)<f (1)<f (2) 解析：由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈(－π2，π2)时，f ′(x )＝1＋cos x >0恒成立， 所以f (x )在(－π2，π2)上为增函数，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)， 且0<π－3<1<π－2<π2，所以f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即f (3)<f (1)<f (2). 答案：D二、填空题7.f(x)＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为 . 解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x)＝3x 2－8x ＋4， 令f′(x )＞0⇒x ＜23或x ＞2，f ′(x )＜0⇒23＜x ＜2，故函数在⎝⎛⎭⎫－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在e a 223⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，∴x ＝2是极小值点.故c ＝2不合题意，c ＝6. 答案：6 8.若函数f (x )＝2x x a+ (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为 . 解析：f′(x )＝22222222,()()x a x a x x a x a +--=++当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意. ∴f (x )ma x ＝f (1)＝11a +＝33，a ＝3－1. 答案：3－19.给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数.以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是 .(把你认为正确的序号都填上)①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1； ④f (x )＝x e x .解析：对于①，f ″(x )＝－(sin x ＋cos x )，x ∈(0，π2)时，f ″(x)<0恒成立； 对于②，f″(x )＝－21x ，在x ∈(0，π2)时，f ″(x )<0恒成立；对于③，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)时，f ″(x )<0恒成立；对于④，f ″(x )＝(2＋x )·e x 在x ∈(0，π2)时f ″(x )>0恒成立，所以f (x )＝xe x 不是凸函数. 答案：④ 三、解答题10.(2019·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围. 解：(1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a ). 由已知a >1，∴2a >2，∴令f ′(x )>0，解得x >2a 或x <2，∴当x ∈(－∞，2)∪(2a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(2,2a )时，f (x )单调递减.综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)是增函数，在区间(2,2a )是减函数. (2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值. f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a＝－43a 3＋4a 2＋24a ＝－43a (a －6)(a ＋3)，f (0)＝24a .解得1<a<6.故a 的取范围是(1,6). 11.已知函数f (x )＝ln x －ax. (1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值.解：(1)由题得f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2.∵a>0，∴f′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f ′(x )＝2x ax ， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去).②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为减函数，∴f (x )min ＝f (e)＝1－e a ＝32，∴a ＝－e2(舍去).③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a . 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(1，－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数，∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32⇒a ＝－e .综上可知：a ＝－ e.12.某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a (3≤a ≤5)元的管理费，预计当每件产品的售价为x (9≤x ≤11)元时，一年的销售量为(12－x )2万件.(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a ). 解：(1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为： L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]. (2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x ) ＝(12－x )(18＋2a －3x ).令L ′(x )＝0得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去).∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧L ′的值由正值变负值.所以，当8≤6＋23a ≤9，即3≤a ≤92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )； 当9＜6＋23a ≤283，即92＜a ≤5时，L max ＝L (6＋23a )＝(6＋23a －3－a )[12－(6＋23a )]2＝4(3－13a )3，399(6)3,2()194(3)532a a Q a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤即当3≤a ≤92时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )万元；当92＜a ≤5时，当每件售价为(6＋32a )元，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4(3 －13a )3万元.。

第二章 第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例1.(2009·广东高考)函数 ( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 解析：f (x )＝(x －3)·e x ，f ′(x )＝e x (x －2)＞0， ∴x ＞2.∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：D2.若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是 ( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] 解析：因为h ′(x )＝2＋k x 2，所以h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)． 答案：A3．已知函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调减区间为________． 解析：根据题意a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5，得y ′＝3ax 2＋2bx ， 令y ′＜0，可得x ＞0或x ＜－2b3a ，故所求减区间为(－∞，－2b3a)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－2b3a)和(0，＋∞)4．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)．若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求： (1)a 的值；(2)函数f (x )的单调区间． 解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax －9 ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a23.即当x ＝－a 3时，f ′(x )取得最小值－9－a 23.因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9.解得a ＝±3，由题设a <0，所以a ＝－3. (2)由(1)知a ＝－3，因此f (x )＝x 3－3x 2－9x －1， f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(－∞，－1)上为增函数； 当x ∈(－1,3)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－1,3)上为减函数；当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(3，＋∞)上为增函数．由此可见，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．5.(文)函数f (x )＝x 3a ＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意有f ′(－3)＝0，所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，由此解得a ＝5. 答案：D(理)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1e D ．a ＜－1e解析：由y ′＝(e x ＋ax )′＝e x ＋a ＝0得e x ＝－a ， 即x ＝ln(－a )＞0⇒－a ＞1⇒a ＜－1. 答案：A6.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞) 解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 且当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数f (x )有极小值．要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0.解之得－2＜a ＜2. 答案：A7．函数y ＝sin2x －x ，x ∈[－π2，π2]的最大值是________，最小值是________．解析：∵y ′＝2cos2x －1＝0，∴x ＝±π6.而f (－π6)＝－32＋π6，f (π6)＝32－π6，端点f (－π2)＝π2，f (π2)＝－π2，所以y 的最大值是π2，最小值是－π2答案：π2 －π28．(文)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值， (1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0. ① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′(23)＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0. ② 由①②解得a ＝2，b ＝－4. 设切线l 的方程为y ＝3x ＋m . 由原点到切线l 的距离为1010，则|m |32＋1＝1010， 解得m ＝±1.∵切线l 不过第四象限，∴m ＝1. 由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5； (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2，x ＝23.f (x )和f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13， 在x ＝23处取得极小值f (23)＝9527.又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.(理)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx －2的图象在与x 轴交点处的切线方程是y ＝5x －10. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝f (x )＋13，若g (x )的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数g (x )取得极值时对应的自变量x 的值．解：(1)由已知，切点为(2,0)，故有f (2)＝0，即4b ＋c ＋3＝0. ① f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，由已知，f ′(2)＝12＋8b ＋c ＝5.得8b ＋c ＋7＝0. ② 联立①、②，解得c ＝1，b ＝－1， 于是函数解析式为f (x )＝x 3－2x 2＋x －2. (2)g (x )＝x 3－2x 2＋x －2＋13mx ，g ′(x )＝3x 2－4x ＋1＋m3，令g ′(x )＝0.当函数有极值时，Δ≥0，方程3x 2－4x ＋1＋m3＝0有实根，由Δ＝4(1－m )≥0，得m ≤1.①当m ＝1时，g ′(x )＝0有实根x ＝23，在x ＝23左右两侧均有g ′(x )＞0，故函数g (x )无极值．②当m ＜1时，g ′(x )＝0有两个实根， x 1＝13(2－1－m )，x 2＝13(2＋1－m )，当x 变化时，g ′(x )、g (x )的变化情况如下表：当x ＝13(2－1－m )时g (x )有极大值；当x ＝13(2＋1－m )时g (x )有极小值．9.已知对任意实数x ，x >0时， f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时 ( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0解析：由题意知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数．当x ＞0时，f (x )，g (x )都单调递增，则当x ＜0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )＞0，g ′(x )＜0. 答案：B10．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x ＞400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( )A ．100B ．150C ．200D ．300 解析：由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ， 所以总利润函数为 P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)，60 000－100x (x ＞400)，而P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)，－100 (x ＞400)，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，P 最大． 答案：D11．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( )解析：对于图A 来说，抛物线为函数f (x )，直线为f ′(x )；对于图B 来说，上凸的曲线为函数f (x )，下凹的曲线为f ′(x )；对于图C 来说，下面的曲线为函数f (x )，上面的曲线f ′(x )．只有图D 不符合题设条件． 答案：D12．(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值，(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围． 解：(1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′(－23)＝129－43＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，函数f (x )的单调区间如下表：所以函数f (x )的递增区间是(－∞，－3)与(1，＋∞)，递减区间(－3，1)；(2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f (－23)＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值，要使f (x )＜c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2＞f (2)＝2＋c ，得c ＜－1，或c ＞2.。

３.４生活中的优化问题举例学习目标核心素养１．了解导数在解决实际问题中的作用.２．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．（重、难点）借助导数解决实际问题，提升数学建模、数学运算的素养.１．生活中的优化问题（１）生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．（２）用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．２．用导数解决优化问题的基本思路１．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝—错误! x３＋8１x—２３４，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）Ａ．7万件Ｂ．9万件Ｃ．１１万件Ｄ．１３万件B[设y＝f（x），即f（x）＝—错误!x３＋8１x—２３４，故f′（x）＝—x２＋8１．令f′（x）＝0，即—x２＋8１＝0，解得x＝9或x＝—9（舍去）．当0<x<9时，f′（x）>0，函数y＝f（x）单调递增；当x>9时，f′（x）<0，函数y＝f（x）单调递减．因此，当x＝9时，y＝f（x）取最大值．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]２．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：℃）为f（x）＝错误!x３—x２＋8（0≤x≤５），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（）Ａ．8 Ｂ．错误!Ｃ．—１Ｄ．—8C[由题意，f′（x）＝x２—２x＝（x—１）２—１，∵0≤x≤５，∴x＝１时，f′（x）的最小值为—１，即原油温度的瞬时变化率的最小值是—１．]３．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝错误!x３—错误!x２—４0x（x>0）．为使耗电量最小，则速度应定为__________．４0 [y′＝x２—３9x—４0，令y′＝0，即x２—３9x—４0＝0，解得x＝４0或x＝—１（舍）．当0<x<４0时，y′<0，当x>４0时，y′>0，所以当x＝４0时，函数y＝错误!x３—错误!x２—４0x有最小值．]面积、体积的最值问题小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图所示）．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨] 错误!―→错误!―→错误!―→错误![解] 设容器的高为x cm，容器的容积为V（x）cm３，则V（x）＝x（90—２x）（４8—２x）＝４x３—２76x２＋４３２0x（0＜x＜２４）．所以V′（x）＝１２x２—５５２x＋４３２0＝１２（x２—４6x＋３60）＝１２（x—１0）（x—３6）．令V′（x）＝0，得x＝１0或x＝３6（舍去）．当0＜x＜１0时，V′（x）＞0，即V（x）单调递增；当１0＜x＜２４时，V′（x）＜0，即V（x）单调递减．因此，在定义域（0,２４）内，函数V（x）只有当x＝１0时取得最大值，其最大值为V（１0）＝１9 600（cm３）．因此当容器的高为１0 cm时，容器的容积最大，最大容积为１9 600 cm３.１．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．２．实际问题中函数定义域确定的方法（１）根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；（２）根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．错误!１．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．错误![设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝２πr２，S圆柱侧＝２πrh，∴圆柱的表面积S＝２πr２＋２πrh.∴h＝错误!.又圆柱的体积V＝πr２h，＝错误!（S—２πr２）＝错误!，V′（r）＝错误!，令V′（r）＝0得S＝6πr２，∴h＝２r，因为V′（r）只有一个极值点，故当h＝２r时圆柱的容积最大．此时，S＝２π×错误!＋πh２，∴h＝错误!.]用料（费用）最省问题筑物要建造可使用２0年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝错误!（0≤x≤１0），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和．（１）求k的值及f（x）的函数解析式；（２）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．[思路点拨] 代入数据求k的值⇒建造费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f（x）⇒利用导数求最值．[解] （１）设隔热层厚度为x cm，由题设可知，每年能源消耗费用为C（x）＝错误!，再由C（0）＝8，得k＝４0，因此C（x）＝错误!，而建造费用为C１（x）＝6x.最后得隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和为f（x）＝２0C（x）＋C１（x）＝２0×错误!＋6x＝错误!＋6x（0≤x≤１0）．（２）f′（x）＝6—错误!，令f′（x）＝0，即错误!＝6，解得x＝５，x＝—错误!（舍去），当0<x<５时，f′（x）<0，当５<x<１0时，f′（x）>0，故x＝５时，为f（x）的最小值点，对应的最小值为f（５）＝6×５＋错误!＝70．当隔热层修建５cm厚时，总费用达到最小值70万元．解决优化问题时应注意的问题１列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.２一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f x在给定区间内只有一个极值点或函数f x在开区间上只有一个点使f′x＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.错误!２．已知A，B两地相距２00千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/时（8<v≤v0）．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝１２千米/时时，每小时的燃料费为7２0元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？[解] 设每小时的燃料费为y１，比例系数为k，则y１＝kv２.当v＝１２时，y１＝7２0，∴7２0＝k·１２２，解得k＝５，∴y１＝５v２.∴全程的燃料费y＝y１·错误!＝错误!（8<v≤v0）．y′＝错误!＝错误!.令y′＝0得v＝１6或v＝0（舍去）．所以函数在v＝１6时取得极值，并且是极小值．当v0≥１6时，v＝１6使y最小，即全程燃料费最省．当8<v0<１6时，可得y＝错误!在（8，v0]上递减，即当v＝v0时，y min＝错误!.综合上述得：若v0≥１6，则当v＝１6千米/时时，全程燃料费最省；若8<v0<１6千米/时，则当v＝v0时，全程燃料费最省．利润最大（成本最低）问题１．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．２．你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示：（１）利润＝收入—成本．（２）利润＝每件产品的利润×销售件数．【例３】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝错误!＋１0（x—6）２，其中３<x<6，a为常数，已知销售价格为５元/千克时，每日可售出该商品１１千克．（１）求a的值；（２）若该商品的成本为３元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路点拨] （１）根据x＝５时，y＝１１，求a的值．（２）把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．[解] （１）因为x＝５时，y＝１１，所以错误!＋１0＝１１，a＝２．（２）由（１）知，该商品每日的销售量y＝错误!＋１0（x—6）２，所以商场每日销售该商品所获得的利润f（x）＝（x—３）错误!＝２＋１0（x—３）（x—6）２,３<x<6，从而，f′（x）＝１0[（x—6）２＋２（x—３）（x—6）]＝３0（x—４）（x—6），于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （３,４）４（４,6）f′（x）＋0f（x）↗极大值４２↘由上表可得，x所以，当x＝４时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于４２．故当销售价格为４元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．１．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入—成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．２．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．错误!３．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（6<x<１１），年销售为u万件，若已知错误!—u 与错误!错误!成正比，且售价为１0元时，年销量为２8万件．（１）求年销售利润y关于售价x的函数表达式；（２）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．[解] （１）设错误!—u＝k错误!错误!，∵售价为１0元时，年销量为２8万件，∴错误!—２8＝k错误!错误!，解得k＝２．∴u＝—２错误!错误!＋错误!＝—２x２＋２１x＋１8．∴y＝（—２x２＋２１x＋１8）（x—6）＝—２x３＋３３x２—１08x—１08（6<x<１１）．（２）y′＝—6x２＋66x—１08＝—6（x２—１１x＋１8）＝—6（x—２）（x—9）．令y′＝0，得x＝２（舍去）或x＝9，显然，当x∈（6,9）时，y′>0；当x∈（9,１１）时，y′<0．∴函数y＝—２x３＋３３x２—１08x—１08在（6,9）上单调递增，在（9,１１）上单调递减．∴当x＝9时，y取最大值，且y max＝１３５，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为１３５万元.１．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤（１）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）．（２）求函数的导函数f′（x），解方程f′（x）＝0．（３）比较函数在区间端点和使f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值．２．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：（１）合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；（２）与实际问题相联系；（３）必要时注意分类讨论思想的应用．１．判断正误（１）生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题．（）（２）生活中的优化问题必须运用导数解决．（）（３）广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题．（）[答案] （１）√（２）×（３）√２．做一个容积为２５6 m３的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（）Ａ．6 m Ｂ．8 mＣ．４m Ｄ．２mC[设底面边长为x m，高为h m，则有x２h＝２５6，所以h＝错误!.所用材料的面积设为S m２，则有S＝４x·h＋x２＝４x·错误!＋x２＝错误!＋x２，S′＝２x—错误!，令S′＝0，得x＝8，因此h＝错误!＝４（m）．]３．某件商品的成本为３0元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（２00—x）件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．１１５[利润为S（x）＝（x—３0）（２00—x）＝—x２＋２３0x—6 000（３0<x<２00），S′（x）＝—２x＋２３0，由S′（x）＝0，得x＝１１５，这时利润达到最大．]４．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为１8 000 cm２，四周空白的宽度为１0 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为５cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？[解] 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为（x—２0）cm，错误!cm，其中x>２0，y>２５．两栏面积之和为２（x—２0）·错误!＝１8 000，由此得y＝错误!＋２５．广告的面积S＝xy＝x错误!＝错误!＋２５x，∴S′＝错误!＋２５＝错误!＋２５．令S′>0得x>１４0，令S′<0得２0<x<１４0．∴函数在（１４0，＋∞）上单调递增，在（２0,１４0）上单调递减，∴S（x）的最小值为S（１４0）．当x＝１４0时，y＝１7５，即当x＝１４0，y＝１7５时，S取得最小值２４５00，故当广告的高为１４0 cm，宽为１7５cm时，可使广告的面积最小．。