人教版高考数学复习：课时跟踪检测(二十)任意角和弧度制及任意角的三角函数

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1 s 后，∠BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．【答案】（1）＋2.（2）s【解析】解：(1)经过1 s 后，∠BOA的弧度为＋2.(2)设经过t s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋＝2π，所以t＝，即经过s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇．3.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．4.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)【解析】设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为(－，)．5.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.6. [2014·潍坊质检]已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于()A．－B．C．－4D．4【答案】C【解析】cosα＝＝－ (m<0)，解之得m＝－4，选C项．7.角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角终边上有一点，所以因此即角的终边上的点在第三象限，所以选C.【考点】三角函数定义8.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.9.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.10.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．【答案】【解析】由题意可知，点P在第四象限，且点P落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝.14.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值17.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.求值：________.【答案】【解析】.【考点】三角函数的计算及诱导公式.20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】扇形弧长公式.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角的终边经过点（-4,3），则cos=( )A．B．C．－D．－【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.【考点】三角函数的概念.2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关;④若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;⑤若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.4.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.5.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，求sinα的值．【答案】【解析】∵OP＝，∴cosα＝＝x.又α是第二象限角，∴x<0，得x＝－，∴sinα＝＝.6.已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.【答案】4【解析】设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以S＝4(cm2)max7.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.8.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.9.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用商数关系及题设变形整理即得的值；（2）注意既是一个无理式，又是一个分式，那么化简时既要考虑通分，又要考虑化为有理式.考虑通分，显然将两个式子的分母的积作为公分母，这样一来，被开方式又是完全平方式，即可以开方去掉根号，从将该三角式化简.试题解析：（1）∵∴ 2分解之得 4分（2）∵是第三象限的角∴= 6分=== 10分由第（1）问可知：原式＝＝ 12分【考点】三角函数同角关系式.10.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.12.已知角的终边经过点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故点的坐标为，所以，所以，解得，故选A.【考点】三角函数的定义13.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.14.已知扇形的周长是8cm，圆心角为2 rad，则扇形的弧长为 cm．【答案】4【解析】设扇形的弧长，半径，圆心角分别为，则，又由即，得.【考点】扇形的弧长公式.15.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.16.（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；（2）设．求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法. 试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则， 2分所以，当时， 5分此时，而所以当时该扇形面积最大 7分（2）证明：9分∵，∴， 11分∴当时， 14分又，所以，当时取等号，即． 16分法二：9分∵，, 11分∴当时，， 14分又∵，∴当时取等号即． 16分【考点】扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.17.已知角的终边与单位圆交于，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，角的终边与单位圆交于，所以，，=，故选.【考点】三角函数的定义，三角函数诱导公式、倍角公式.18.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，因为所以，，所以.【考点】三角函数的定义，和差角公式.19.若角与角终边相同，则在内终边与角终边相同的角是 .【答案】【解析】因为角与角终边相同，所以=2kπ+，z，=，令k=0，1,2,3分别得到，即为所求。

课时跟踪检测（二十） 任意角和弧度制及任意角的三角函数 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＜0，sin α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则( )A ．sin α＜0B ．cos α＞0C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0 解析：选C 因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为( )A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ， 所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sin αcos α＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12.答案：－22 －12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3. 2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )A ．－π3B ．2π3C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3. 3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 2 解析：选D 因为r ＝2＋－2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2.4．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1B ．－1C ．3D ．－3 解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)在直角坐标平面上位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知，2 018°角的终边在第三象限，所以sin 2 018°＜0，cos 2 018°＜0，即点A 位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________. 解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13. 综上可得sin β＝13. 答案：139．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________． 解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝a r ＝a 2|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝8，12lr ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6， ∴α＝l r ＝23或α＝l r＝6. (2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4， 当且仅当r ＝2，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以sin α＝－2a a 2＋－2a 2＝－25， cos α＝a a 2＋－2a 2＝15，tan α＝－2a a＝－2， sin β＝a a 2＋a 2＝15， cos β＝2a a 2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12， 故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12 ＝－1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x . (1)求x 的值；(2)求sin α＋1tan α的值． 解：(1)因为角α的终边经过点P (x ，－2)，且cos α＝36x ， 所以有x x 2＋2＝36x . 因为x ≠0，所以x 2＋2＝12，解得x ＝±10.(2)若x ＝10，则P (10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝－210＝－55， 所以sin α＋1tan α＝－66－ 5. 若x ＝－10，则P (－10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝210＝55， 所以sin α＋1tan α＝－66＋ 5.。

【优化指导】2015高考数学总复习 第4章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数课时跟踪检测 理（含解析）新人教版1．(2014·临川一中调研)sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝( )A ．0B ．12 C ．1D ．－12解析：选 A 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 4π＋ 5π6＋ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －10π＋ π3 －tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π4＝sin 5π6＋cos π3－tan π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＋12－1＝sin π6－12＝12－12＝0，故选A.2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 由条件知S ＝12|α|r 2，即2＝12×4×r 2∴r ＝1，∴l ＝4，故扇形周长为6，故选C.3．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)； ③tan (－10)；④sin 7π10cos πtan17π9，其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选C sin(－1 000°)＝sin 80°＞0；cos(－2 200°)＝ cos(－40°)＝cos 40°＞0；tan (－10)＝tan (3π－10)＜0；sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan 17π9，因为sin 7π10＞0，tan 17π9＜0，所以sin 7π10cos πtan17π9＞0.综上选C.4．若sin θ·cos θ＞0，且cos θ·tan θ＜0，则角θ是( ) A ．第二或第三象限角 B ．第一或第四象限角 C ．第二象限角D ．第三象限角解析：选D 因为sin θ·cos θ＞0，所以角θ是第一或第三象限角；又cos θ·tanθ＜0，所以角θ是第三或第四象限角．所以角θ是第三象限角，故选D.5．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析：选D 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k∈Z )又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12，选D.6．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D ． 3解析：选C 依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cosα＝34，得－4a a 2＋16＝34，即3a 2＋16a ＋163＝0，解得a ＝－43或－433，故选C. 7．(2014·长沙质检)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B ．3π4C.5π4D ．7π4解析：选D 由sin 3π4＞0，cos 3π4＜0知角θ是第四象限的角．∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4，故选D. 8．(2014·昆明模拟)设α，β都是第二象限的角，若sin α＞sin β，则( ) A ．tan α＞tan β B ．α＞β C ．cos α＞cos βD ．α＜β解析：选C 考虑到终边相同的角的周期性变化，可排除B 、D.取α，β分别为120°，150°，可排除A.故选C.9．与－1 778°终边相同且绝对值最小的角是________．解析：22° －1 778°＝22°－5×360°.10．设MP 和OM分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP ＜OM ＜0； ②OM ＜0＜MP ； ③OM ＜MP ＜0； ④MP ＜0＜OM . 其中正确的是________．解析：② sin 17π18＝MP ＞0，cos 17π18＝OM ＜0.11．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 解析：7＋439 设内切圆的半径为r ，扇形半径为R ，则(R －r )sin 60°＝r ，∴R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋23r ， ∴S 扇形S 圆＝12·2π3R 2πr 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋232＝7＋439. 12．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：－35 因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.13．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π)，则α的取值范围是________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞cos α，tan α＞0，∴π4＋2k π＜α＜π2＋2k π或π＋2k π＜α＜5π4＋2k π，k ∈Z . ∵0≤α＜2π，∴π4＜α＜π2或π＜α＜5π4.1．(2014·重庆巴蜀中学月考)若α是第三象限角，则y ＝sin α2sin α2＋cosα2cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2解析：选A 由于α是第三象限角，所以α2是第二或第四象限角，当α2是第二象限角时，y ＝sin α2sin α2＋－cosα2cosα2＝1－1＝0； 当α2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cos α2cosα2＝－1＋1＝0，故选A. 2．在直角坐标平面内，已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则cos 2θ＋2sin θcos θ的值等于( )A ．－12B ．12 C.710D ．－710解析：选A 因为函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)，所以f (x )的图象恒过定点P (－1,3)，由三角函数的定义知sin θ＝310＝31010，cos θ＝－110＝－1010，则cos 2θ＋2sin θcos θ＝110＋2×31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝110－610＝－12，故选A. 3．记a ＝sin (cos 210°)，b ＝sin (sin 210°)，c ＝cos (sin 210°)，d ＝cos (cos 210°)，则a ，b ，c ，d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d解析：选C 注意到210°＝180°＋30°，因此sin 210°＝－sin 30°＝－12，cos210°＝－cos 30°＝－32，－π2＜－32＜0，－ π2＜－12＜0,0＜12＜32＜π2，cos 12＞cos 32＞0，a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－sin 32＜0，b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－sin 12＜0，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝cos12＞d ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝cos 32＞0，因此选C. 4．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．解：由题意知点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以sin α＝－2aa 2＋－2a 2＝－25，cos α＝aa 2＋－2a 2＝15，tan α＝－2aa＝－2， sin β＝a 2a 2＋a 2＝15， cos β＝2a 2a2＋a2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.5.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 点在第二象限，C 点是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解：(1)因为A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，根据三角函数的定义，知sin ∠COA ＝45. (2)因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°. 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，所以cos ∠COB ＝ cos (∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35×12－45×32＝3－4310.。

专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P-则cosα=（）A．12B．12-C D．【答案】D【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P-，则cosα=（）A B．C．D【答案】C【解析】由三角函数的定义即可求得cosα的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cosα∴==故选：C．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】练基础根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad≈，所以5557.3=286.5rad≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A．55厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米【答案】B【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 所以可以用弧长近似代替弦长， 所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）． 故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．3π 【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】解：因为扇形的半径2r ，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=， 故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得； 【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（ ）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果. 【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r ，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=. 故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y ，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y . 【详解】由三角函数的定义可得sin α==y =故答案为：10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】12- 【解析】利用分段函数直接进行求值即可． 【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩， ∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝， ∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：12-.1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（ ）A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了. 【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(,22P '-. 故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（ ）练提升A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答. 【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=, 则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,]3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解. 【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（ ） A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=. 【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=, 所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ， 过点O 作OD CD ⊥， 在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=， 又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4. 故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（ ）A ．6B C ．16D ．16【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α. 【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角) ∵α为锐角，∴5336πππα，∴sin()03πα+>sin()sin sin ()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎥⎣⎦1132326⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ 故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可． 【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan()41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-. 故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P x ⎛ ⎝⎭，则sin α的值为（ ） ABCD． 【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则x =，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍. 【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角， 根据题意角β终边交单位圆于,3P x ⎛ ⎝⎭，则2113x +=，则3x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若x =，则sin ββ==所以sin sin sin cos cos sin 0333πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（ ）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解. 【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒， 因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈， 所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈． 故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =.QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==.QRT与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .6π 【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积. 【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为sin 2QO QPO PQ ∠==， 所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(21)dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.6π.1．（全国高考真题）已知角α的终边经过点(−4,3)，则cosα=（ ）A ．45B ．35C ．−35D ．−45 练真题【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cosα=x r =−45.故选D. 2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0 【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）. A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1 ， a)，B(2 ， b)，且cos2α=23，则|a −b |= A ．15 B ．√55 C ．2√55D ．1 【答案】B【解析】由O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ，因为cos2α=2cos 2α−1=2⋅(√a 2+1)2−1=23， 解得a 2=15，即|a |=√55， 所以|a −b |=|a −2a |=√55，故选B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解. 【详解】(cos ,sin )P θθ与cos ,sin66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π. 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。

课时跟踪检测（二十） 任意角和弧度制及任意角的三角函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，sin α<0， 所以α的终边在第四象限，故选D.2．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( )A.35B.－35C.45 D ．－45 解析：选B 设点P 与原点间的距离为r ，∵P (－4a,3a )，a <0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝|5a |＝－5a .∴sin α＝3a r ＝－35. 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3 D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ， 所以3r ＝αr ，所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)5．角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.解析：∵角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，∴角α的终边在第三象限．又P (m ，n )是角α终边上一点，故m <0，n <0.又|OP |＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，解得m ＝－1，n ＝－3， 故m －n ＝2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3B.π6 C ．－π3 D ．－π6 解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3. 2．(2018·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43 解析：选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B.－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2 解析：选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2. 4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则 θ2是( ) A ．第一象限角B.第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0， 综上知θ2为第二象限角． 5．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)在直角坐标平面上位于( )A ．第一象限B.第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C 由2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知，2 018°角的终边在第三象限，所以sin 2 018°＜0，cos 2 018°＜0，即点A 位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3. 答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________. 解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13； 当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13. 综上可得sin β＝13. 答案：139．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________． 解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝a r ＝a 2|a |＝⎩⎨⎧ 22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝l r ＝6. (2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4， 当且仅当r ＝2，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25， cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15， tan α＝－2a a ＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15， cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12， 故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12 ＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪sin α2sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2cos α2的值为( )A ．0B.2 C ．－2D ．2或－2解析：选A 由于α是第三象限角，所以α2是第二或第四象限角， 当α2是第二象限角时，y ＝sin α2sin α2＋－cos α2cos α2＝1－1＝0； 当α2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cos α2cos α2＝－1＋1＝0.2．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号． 解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0， 所以tan α2 sin α2 cos α2取正号； 当α2在第四象限时， tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。

课时跟踪检测(二十)　任意角和弧度制及任意角的三角函数一、题点全面练1．若cos θ＜0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在的象限是( )A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0，cos θ＜0，得sin θ＞0，所以角θ的终边所在的象限为第二象限．故选B.2．已知角α＝2k π－(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝＋＋的π5sin θ|sin θ|cos θ|cos θ|tan θ|tan θ|值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θπ5与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.3．若角α与β的终边关于x 轴对称，则有( )A ．α＋β＝90°B ．α＋β＝90°＋k ·360°，k ∈ZC ．α＋β＝2k ·180°，k ∈ZD ．α＋β＝180°＋k ·360°，k ∈Z解析：选C 因为α与β的终边关于x 轴对称，所以β＝2k ·180°－α，k ∈Z.所以α＋β＝2k ·180°，k ∈Z.4．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( )A. B.(π2，π)(－π4，3π4)C. D.(－π2，π2)(－3π4，π4)解析：选D 由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x ＜0，即sin x ＜cos x ，所以－＋2k π＜x ＜＋2k π，k ∈Z.当k ＝0时，x 所在的一个区间是.3π4π4(－3π4，π4)5．若α是第三象限角，则y ＝＋的值为( )|sinα2|sin α2|cos α2|cos α2A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2解析：选A 因为α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋(k ∈Z)，3π2所以k π＋＜＜k π＋(k ∈Z)，π2α23π4所以是第二象限角或第四象限角．α2当是第二象限角时，y ＝－＝0，α2sinα2sin α2cos α2cos α2当是第四象限角时，y ＝－＋＝0，故选A.α2sinα2sin α2cos α2cos α26．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则＝，12αr 212αR 214所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.2r ＋αr 2R ＋αR答案：1∶27．一扇形的圆心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．2π3解析：设扇形的半径为R ，其内切圆的半径为r .则(R －r )sin ＝r ，即R ＝r .π3(1＋233)又S 扇＝|α|R 2＝××R 2＝R 2＝πr 2，12122π3π37＋439∴＝.S 扇πr 27＋439答案：(7＋4)∶938．已知＝－，且lg(cos α)有意义．1|sin α|1sin α(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 及sin α的值．(35，m )解：(1)由＝－，得sin α＜0，1|sin α|1sin α由lg(cos α)有意义，可知cos α＞0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以2＋m 2＝1，解得m ＝±.(35)45又α为第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－，sin α＝＝＝－.45y r m |OM |459.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－，求tan α的值；45(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．解：(1)设点B 的纵坐标为m ，则由题意m 2＋2＝1，(－45)且m ＞0，所以m ＝，故B ，35(－45，35)根据三角函数的定义得tan α＝＝－.35－4534(2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝，故与角α终边相同的角β的集合为Error!.π3二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α是第二象限角，P (x ，)为其终边上一点，且cos α＝x ，则x ＝( )524A.B ．±33C ．－D ．－23解析：选D ∵cos α＝＝x ，∴x ＝0或x ＝或x ＝－，又α是第二象限角，∴x ＝x x 2＋52433－，故选D.32．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小2π3正角为________．解析：因为θ＝，故P ，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2k π＋，k ∈Z ，2π3(32，－12)3211π6则最小的正角为.11π6答案：11π63．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－＝－.354515当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－＋＝.354515(2)当a ＞0时，sin θ＝∈，35(0，π2)cos θ＝－∈，45(－π2，0)则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin ＜0；35(－45)当a ＜0时，sin θ＝－∈，35(－π2，0)cos θ＝∈，45(0，π2)则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin ＞0.(－35)45综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．(二)素养专练——学会更学通4. [直观想象、数学运算]如图，在Rt △PBO 中，∠PBO ＝90°，以O为圆心、O B 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB＝α，则＝________.αtan α解析：设扇形的半径为r ，则扇形的面积为αr 2，在Rt △POB 中，PB ＝r tan α，则△POB 12。

［课时跟踪检测］［基础达标］9 n1. 与N的终边相同的角的表达式中正确的是()9A. n+ 45°k€ Z)B. k 360°+ ^n K^ Z)5 nC. k360°—315°(k€ Z)D. k n+；4(k€ Z)9 n 9 n解析：与9■的终边相同的角可以写成2k n+ 94'(k€ Z)且角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.答案：C2. 若a是第三象限角，则下列各式中不成立的是()A. sin a+ coso<0B. tan a—sin a<0C. cos a—tano<OD. tan a i n a<0解析：在第三象限，sin a<0, cos a<0, tan a>0,则可排除A、C、D三项.答案：B3 .已知角a的终边经过点P( —4a,3a)(a<0)，贝U 2sin a+ cos a的值为()答案：A4. sin1, cos1，tan1的大小关系是( )A. sin 1<cos1<tan1B. tan 1<sin 1<cos1C. cos1<tan1<sin1D. cos1<sin1<tan1厂C.2卡2D.5或―5解析：因为x= —4a，y= 3a，a<0，所以r = —5a，、 3所以sin a=—…，a=4，2sin a+ COS a=22.故选A.解析：如图，单位圆中/ MOP= 1 rad>n rad.因为OMv^vMPvAT，所以cos1<sin1<tan1 故选D.答案：D5 •将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（）nA.3C.解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角.故A、B不正确；又11 冗因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周角的1即为一-X 2n=--.6 6 3答案：C6. 已知角a终边上一点P的坐标是（2sin2,—2cos2）,则sin a等于（）A. sin2B.—sin2C. cos2D. —cos2解析：因为r （2sin2$+ （—2cos（= 2，由任意角三角函数的定义得sin ay==—cos2.r答案：Dn n7.集合，an+ 4< a< k n+㊁，k€ Z沖的角所表示的范围（阴影部分）是（）解析：当k= 2n（n € Z）时，2n n+ a<2n n+ 2,此时a表示的范围与［W a<?n n表示的范围一样；当k= 2n + 1（n€ Z）时，2n n+ n+ 4W aW 2n n+ n+ 2，此时a冗D.表示的范围与n+詐aW n+ 21表示的范围一样.答案：C8. 已知点A的坐标为（4.3，1），将0A绕坐标原点0逆时针旋转3至0B,‘ 13 D 2n解析：设OA 的倾斜角为a ，B （m ，n ）（m >0, n >0）,则OB 的倾斜角为§+ a因为 m 2 + n 2= (4 3)2 + 12 = 49,所以 n 2 + 备2= 49,所以点B 的纵坐标为学. 答案：D29. 某扇形是从一个圆中剪下的一部分， 半径等于圆半径的-,面积等于圆面2 2乌丿2解析：设圆的半径为r ,则扇形的半径为；，记扇形的圆心角为 a 则 n 25 . 5 n刃，…a ~6.则点B 的纵坐标为（A. 3,3 2B. 5,3 ~2~Cy因为A （4 3，1），所以tan 1 a 4：3,丄(nntan 3+a =m 西+為=竺—3X 41f 3^3'即m 2备2, 13所以n =㊁或n5积的27, 则扇形的弧长与圆周长之比为•••扇形的弧长与圆周长之比为518- r2一.3< 砾一62sin54n= coS5n=^2，根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角11. 已知扇形AOB的圆心角为120°半径为6.(2)S 弓=S 扇一S A AOB1 1=2* 6X4n—2^ 6.3X 3=12 n—9,3.12. 若角a的终边在直线3x+4y= 0上，求sin计cosa的值.解：在角a的终边上任取一点P(4t, —3t)(t M 0),则|OP|= ,_4t 2 3+ —3t2= 5|t|,5答案：1810. _____________________________________________________ 在（0,2内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为 ___________________________ .、, n n 2 解析：如图所示，找出在（0,2 T内,使sinx= cosx的x值，s"4= cos n= ?，2 1—5•综上得sin a+ COS a的值为±5.x€5n~4.答案:5n7⑴求AB ;⑵求这个扇形所含的弓形的面积.y —3t 3 x 4t 4当t>0 时，Sin a= r = 5t = —5，COS a= r= 5t= 5,Sin a+ COS a=1 5；当t<0 时，sin a^y=3= 5 COS a=x_ _j4L _ 厂—5t_45,Sin a+ COS a_13.已知a为第四象限角，12cos a—13，求sin a，tan a 的值.解：T a为第四象限角，二sin a——1 —cos2 a——13.丄sin a 5--tan a—_—彳cos a 12［能力提升］1.已知角a= 2k n—5（k€ Z）,若角B与角a的终边相同，则y=霜；+ |COs E| tan B 、，z、+丽的值为（）A. 1B.—1C. 3D. —3n解析：由a 2k n-耳歩Z）及终边相同的概念知，角a的终边在第四象限，又角B与角a的终边相同，所以角B是第四象限角，所以sin«0,cosA0, tan«0.所以y=— 1 + 1 — 1 = — 1.答案：B2.已知sin a<0，tan a>0.⑴求a角的集合；（2）求2角终边所在的象限；（3）试判断tan a鬥步0寸的符号.解：⑴由sin a<0,知a在第三、四象限或y轴的负半轴上; 由tan a>0，知a在第一、三象限，故a角在第三象限；其集合为｛o2k n+ n«2k n+ 号，k€ Z〔丄3n .厂-⑵由2k n+ n<<2k n+ ? ，k € Z，n a 3 n得k n+ 2<2<k n+；4，k€ Z，故訓终边在第二、四象限.⑶当a角在第二象限时，tan2<0, sin》。