任意角三角函数公开课

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任意角完整公开课PPT课件

任意角的度量
度量单位
角度的度量单位是度（°），弧度（rad）和密位（mil）。
度量工具
量角器、圆规、直尺等。
度量方法
通过量角器或使用三角函数值进行计算。
象限角与轴线角
象限角
在平面直角坐标系中，按逆时针方向，第一象限角为0°~90° ，第二象限角为90°~180°，第三象限角为180°~270°，第四象限角为270°~360°。
、航向和航速。
04
THANKS
感谢观看
和差公式的应用
在解决涉及两角和与差的三角函数问题时，和差公式是必不可少的工具。
04
三角函数的图像与性质
正弦函数的图像与性质
其图像是周期函数，呈现波浪
形。
正弦函数的性质包括：在每个周期内，函数值从0增加到最大值，然后又减小到0，如此
往复。
正弦函数的图像在y轴两侧对称，其周期为360度。
01 02
任意角三角函数的定义
三角函数是描述三角形边与角之间关系的数学工具。对于任意角α，其正弦函数sinα定义为“对边长度除以斜边长度”，余弦函数cosα定义为“邻边长度除以斜边长度”，正切函数tanα定义为“对边长度除以邻边长度”。
单位圆定义法
通过单位圆上点的坐标来表示三角函数值，其中正弦值等于y坐标，余弦值等于x坐标，正切值等于y坐标除以x坐标。
正弦函数在每个周期内的变化率是不同的，变化率最大的点
是函数的极值点。
余弦函数的图像与性质
余弦函数是三角函数的另一种形式，其图像也是周期函数，呈现波浪形。
余弦函数的图像在y轴两侧对称，其周期也为360度。
余弦函数的性质包括：在每个周期内，函数值从最大值减小到0，然后再增加到最小值，如此往复。

1.3三角函数的诱导公式课件(公开课)省优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
作业
课本习题1.3A组2,3
1.3三角函数旳诱导公式
三角函数旳诱导公式（第一课时）
学习目的 :
（1）了解识记诱导公式（二、三、四）；（2）了解和掌握公式旳内涵及构造特征，会初步利用诱导公式求三角函数旳值；（3）会进行简朴三角函数式旳化简和证明。
一.复习回忆
任意角三角函数旳定义
设α是一种任意角，它旳终边与单位圆交于点P(x，y)，
3sin 1300 sin140 sin 40 0.6428
4
cos
79 6
cos
5
6
cos
6
3 2
例2 化简
cos180 • sin 360 sin 180 • cos 180 .
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
2sin3 cos 2 tan
练习：利用定义和公式一求下列角旳三个三角
函数值：
(1)30 (2)750 （3）210
(4) - 30
360 2 30
180 30
观察所画旳图并思索： ①（１）与（２）旳角旳终边有什么关系？
②（１）与（３）旳角旳终边有什么关系？
③（１）与（４）旳角旳终边有什么关系？
问题探究
相等
1.终边相同旳角旳同一三角函数值有什么关系?
3
4
3
4
3
4
3
2

任意角的三角函数-课件1PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课

m5
m5
m ________．
（4）若角旳终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
5
则 a ________．
（5）角旳终边在直线 y 2x上，求旳六个三
角函数值．
正弦上为正，余弦右为正，正切余切一三正，其他为负不为正
例２:
1、判断下列各三角函数旳符号 A.260 B. 4 C. 672 10 D.11 3
2、若sin 0且 tan 0，那么是第几象限角？
3、已知是第三象限角，试判定： sin( cos ) cos(sin )的符号
练习:
（1）若角终边上有一点P 3，0，则下列函数值不
§1.2.1 任意角旳三角函数
设是任意角，旳终边上任意一点 P旳坐标是x，y，
当角在第一、二、三、四象限时旳情形，它与原点
旳距离为 r ，则 r x 2 y 2 x2 y2 0 ．
任意角旳三角函数
1、定义：
①比值 y 叫做旳正弦，记作sin ，即 sin y ．
r
r
x
②比值
叫做
旳余弦，记作cos ，即cos
Байду номын сангаас
x
．
r
r
③比值 y 叫做旳正切，记作tan，即 tan y ．
x
x
④比值 x 叫做旳余切，记作cot ，则 cot x ．
y
y
⑤比值 r 叫做旳正割，记作sec ，则 sec r ．
x
x
⑥比值 r 叫做旳余割，记作csc ，则csc r ．
y
y
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值旳函数，以上六种函数统称三角函数．

高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案

高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1、知识与技能:
理解并掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;根据任意角的三角函数的定义认识其定义域,能够判断三角函数值的符号.
2、过程与方法:
学生经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义,体验三角函数概念的形成、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,渗透函数思想和数形结合的思想方法.
3、情感态度价值观:
通过学生积极参与知识的“再创造”过程,从中感悟数学概念的严谨性与科学性.
2学情分析
对于学习任意角三角函数而言,学生的认知困难主要体现在用终边上点的坐标表示三角函数,把锐角三角函数线段比的感性认识上升到坐标化的理性高度,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.
3重点难点
1、教学重点
任意角的正弦、余弦、正切函数的定义.
2、教学难点
用角终边上点的坐标定义任意角的三角函数.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】一、设置情境引入新课
情景1.感受生活中周期性现象:周二的七天一循环、一岁一枯荣的小草、摩天轮等。

中职数学4.3 任意角的三角函数课件

4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
例5 已知cos＞0, 且tan ＜0, 试确定角是第几象限角．
解因为cos＞0, 所以角可能是第一或第四象限角, 也
可能终边在 x 轴的正半轴上.
又因为tan＜0，所以角可能是第二或第四象限角．故满足cos＞0且tan＜0的角是第四象限角．
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
0°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
例4 判断下列各三角函数值的符号.
解 (1) 因为−325°＝35°−360°，所以－325°角是第一象限角，故sin(−325°)＞0； (2)
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
4.3.2 单位圆与三角函数
练习
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
1. 判断下列三角函数值的符号：
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为______.
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
例3 求90°角的正弦、余弦和正切. 解 90°角的终边与单位圆的角的交点坐标为(0,1) ，所以 sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.

任意角的三角函数1市公开课金奖市赛课一等奖课件

(2) sin
5
cos
1
3 tan
1
2 cos
tan 0
6
4
3
2
第10页
例3 设角终边上任意一点P(x,y),P与原点
O距离为r，证实：
sin α y r
cos x
yr
tan y
x
P(x,y)
r
Байду номын сангаас
O
x
第11页
三角函数定义
r x2 y2
sin α y r
cos x
r tan y
x
y
sin a y α R
cos a x α R
tan a y α { | k , k Z }
x
2
思考
三角函数值域呢？
第6页
例1 分别求自变量π/2，π所相应正弦、余弦和正切函数值。
y
O
1x
第7页
例2
求 5 正弦、余弦和正切值。
3
y
5
3
O
1x
第8页
几种特殊角三角函数值
同一函数值相同
第15页
例5 拟定下列三角函数值符号：
(1)cos 7 ; (2)sin(465 ); (3) tan 11
12
3
例6 求下列三角函数值
(1) sin 31 (2) cos 1480o (3) tan( 31 )
4
6
第16页
小结
第17页
角α 0o
▪ 角α
弧度
0
数0
sinα
1
cosα
0
tanα
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

《任意角和弧度制》三角函数PPT教学课件(第一课时任意角)

对终边相同的角的理解 (1)α 为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360°与 α 中间用“＋”连接，k·360°－α 可理解成 k·360° ＋(－α)． (3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．
栏目导引
第五章三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
栏目导引
第五章三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________．解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}．综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}．答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
栏目导引
第五章三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内的角的集合．解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分 (不包括边界 )所表示的角的集合为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )

【公开课教案】：三角函数【公开课教案】

第四章三角函数总第1教时4.1-1角的概念的推广（1）教学目的：1、推广叫的概念，引入正角、负角、零角；象限角、坐标上的角的概念；终边相同角的表示方法。

2、让学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，以及相应的表示方法。

3、从“射线绕其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物；通过与数（轴）的类比，理解“正角”“负角”“零角，让学生感受图形的对称美、运动美。

教学重点：1、理解并掌握正角、负角、零角、象限角的定义；2、掌握总边相同角的表示方法及判定。

教学难点：把终边相同角用集合和符号语言正确的表示出来。

过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。

相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2．讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角α或α∠可以简记成α4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒×2=720︒）3周（360︒×3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒390︒-330︒是第Ⅰ象限角300︒-60︒是第Ⅳ象限角585︒1180︒是第Ⅲ象限角-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和 390︒=30︒+360︒ )1(=k-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0×360︒)0(=k1470︒=30︒+4×360︒ )4(=k -1770︒=30︒-5×360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 4．（P6例1）例1 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)-120°；(2)640°；(3)-950°12′．解：(1)-120°=240°-360°，所以与-120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角； (2)640°=280°+360°，所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角； (3)-950°12′=129°48′-3×360°，所以与-950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角．（P5）五、小结： 1︒ 角的概念的推广,用“旋转”定义角角的范围的扩大 2︒“象限角”与“终边相同的角” 六、作业： P7 练习1、2、3、4习题1.4 1总第2课时4.1-2 角的概念的推广(2)教学目的：1、进一步理解角的概念，能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；2、能进行角的集合之间的交与并运算；3、讨论等分角所在象限问题。

苏教版高中数学必修第一册7.2.1任意角的三角函数【授课课件】

股定理得－122＋y2＝1，y<0，
7.2.1 任意角的三角函数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知关键能力·合作探究释疑难学习效果·课堂评估夯基础课时分层作业
解得 y＝－ 23，所以 P－12，－ 23．因此 sin α＝－123＝－ 23， cos α＝－112＝－12，tan α＝－－2213＝ 3．
第7章三角函数
7.2 三角函数概念 7.2.1 任意角的三角函数
7.2.1 任意角的三角函数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知关键能力·合作探究释疑难学习效果·课堂评估夯基础课时分层作业
1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点) 2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点) 3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小．(难点)
当 α 的终边在第四象限时，在 α 终边上取一点 P′(1，－ 3)，则 r＝2，
所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3．
7.2.1 任意角的三角函数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知关键能力·合作探究释疑难学习效果·课堂评估夯基础课时分层作业
2．将本例(1)的条件“在直线 y＝－2x 上”，改为“过点 P(－ 3a,4a)(a≠0)”，求 2sin α＋cos α．
[解] 当 α 的终边在第二象限时，在 α 终边上取一点 P(－1，2)，
则 r＝－12＋22＝ 5，
所以
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝－51＝－
55，tan
α＝－21＝－2．

7.2.1 任意角的三角函数(第一课时)(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(苏教版

解设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则 x2＋y2＝1，又 y＝ 3x(x>0)，解得x＝12，
y＝ 23. 于是 sin α＝y＝ 23，cos α＝x＝12，tan α＝yx＝ 3.
谢谢观看
中，|OP|＝1，∠POB＝π3，则|PB|＝ 23，|OB|＝12，则 P－12， 23.所以 sin 23π＝ 23，
cos 23π＝－12， 3
tan 23π＝－212＝－ 3.
规律方法在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标.然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值.
【训练2】对于表中的角α，计算sin α、cos α、tan α的值，并填写下表.
一、课堂小结 1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养. 2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的
函数. 3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函
数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
二、课堂检测
规律方法三角函数值符号的判断问题： (1)由三角函数的定义可知 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键. (2)由三角函数值的符号确定 α 角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角 α 的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求. (3)已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上.
___ ___ ____ ____ ____ ____ ____
__
___
不存

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y cos x y tan x

2
, k Z}
如何求α角的三角函数值?
关键：
求出α 角的终边与单位圆的交点。
例1：求
5 3
的正弦,余弦和正切值.
5 3 sin y 3 2
5 1 cos x 3 2
r 1
5 3
O
1 2
A
3 2
5 y tan 3 3 x
y 叫做α 的正弦 y
sin α y
x 叫做α的余弦
P ( x, y)
O
cos x
y x
y 叫做α的正切 tan x
x
任意角三角函数的定义:
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。 ————三角函数
y sin x
定义域：R 定义域：R 定义域：x | x k {
1 3 P , 2 2
B
练习：
摩天轮有个美丽的传说，当摩天轮转到最高点时许下的愿望一般能实现，你能求出小明第一次到达最高点许愿时转过的角的正弦、余弦、正切值吗?
问题回顾
P1

O
. P
问题2：设转动度后小明离地面的高度为h, 为00～900,试着写出h和的关系式。 h 20 +10sin
问题3：当推广到任意角后，你觉得上述关系式还能适用吗？
h 20 +10sin
h 20 +10sin是否一定成立？
角转到第二象限时：
P
10m
O P
h 20 PM
M
20 y p
sin yp 10
20m
h 20 +10sin 成立
h 20 +10sin
角转到第三象限时：
10m
M
h 20 PM
20 y p
sin yp 10
O
P
P
20m
h 20 +10sin 成立
谈一下你的收获!
当角转到第四象限的时候，同学们可以证明，该式也一定成立。
数学的概念是有生命的，发展的.
B 0. A 0. B D A
y O. x
古希腊
y r x r y x
的终边
P（x,y)

O M x
答案
【探究】比值
y x y , , 是否因为P (x, y)点在终 r r x
边上的位置发生变化而变化？ y P
P1

o
M1 M x
结论:三个比值都不会随点P在α终边上的位置变化而改变.
当点P(x,y)满足x2 + y2 =1时,正弦、余弦、正切函数值会有什么样的结果？
我们先在平面上建立一个直角坐标系 y xoy,将锐角α的顶点放在坐标原点,始边放在x轴的非负半轴上,设OP为它的终边, 如右图： o

x
用坐标形式表示锐角三角函数:
设点P(x,y)是锐角α终边上的任意一点，记OP=r（r≠0）则：
r x2 y2
y
sin cos tan
古印度
初中
高中
•莱昂哈德· 欧拉 •（1707—1783）
新课引入
问题探索
10m 300
O
P1
M
. P
20m
问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O 离地面为20m，现在小明坐上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？
问题探索
P2
O

P1
MPຫໍສະໝຸດ 问题2：设转动度后小明离地面的高度为h, 为00～900,试着写出h和的关系式。问题3：当推广到任意角后，你觉得上述关系式还能适用吗？
y
的终边
P(x,y) α A(1,0)
O M
x
y 结论： α sin r
sin α y
锐角三角函数可 x r=1 cos 以用终边与单位圆 r 的交点的坐标来表 y 示。tan x
cos x
y tan x
推广——任意角三角函数的定义
设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则:
A c b 在初中阶段,我们对在直角三角形中锐角的三角函数 ┏ 定义如下： B C a ①正弦函数： sin B b (对边比斜边) c cos B a (邻边比斜边) ②余弦函数 c (对边比邻边) ③正切函数： tan B b a 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？
1.2.1
任意角的三角函数
新课引入
东升西落照苍穹，
影短影长角不同。
昼夜循环潮起伏，
冬春更替草枯荣。
日出日落，冬去春来，自然界中存在许多“按一定规律周而复始”的现象，我们把它们称为周期现象，用怎样的数学模型来刻画周期现象呢？
周期现象与周期运动有关，一个简单的例子就是：圆周上一点的旋转运动.请看下面实例.