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《任意角的三角函数》PPT课件

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1.2.1任意角的三角函数课件

1.2.1任意角的三角函数课件

小结： 小结：
（1）任意角的三角函数的定义； ）任意角的三角函数的定义； （2）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； ）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； （3）诱导公式一及其应用； 公式一及其应用； ）诱导公式一及其应用 （4）体会定义过程中体现的数形结合的思想 ）体会定义过程中体现的数形结合的思想.
-
(+)
(+ )
( )
-
ycos r
y a = tan x
求证：当且仅当下列不等式组成立时， 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 为第三象限角. 角 θ 为第三象限角
证明： 证明： 因为① 成立,所以 因为①式sin θ < 0 成立 所以 θ 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 或第四象限，也可能位于 轴的非正半轴上； 又因为② 成立， 又因为②式 tan θ > 0 成立，所以角θ 的终边可能位于 第一或第三象限. 第一或第三象限 因为①②式都成立， 的终边只能位于第三象限. 因为①②式都成立，所以角θ 的终边只能位于第三象限 ①②式都成立 为第三象限角. 于是角 θ 为第三象限角 反过来请同学们自己证明. 反过来请同学们自己证明
探究： 探究：
1.三角函数的定义域 三角函数的定义域 三角函数
sin α cos α tan α
定义域
π α α ≠ kπ + ,k ∈ Z 2
R R
2.三角函数值在各象限的符号 三角函数值在各象限的符号
(+ ) ( )
（+ ） ( )
( )
-
(+ )
( )
-
(+)
-

任意角的三角函数-课件1PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课

任意角的三角函数-课件1PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课

m5
m5
m ________．
（4）若角 旳终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
5
则 a ________．
（5）角 旳终边在直线 y 2x上，求 旳六个三
角函数值．
正弦上为正， 余弦右为正， 正切余切一三正， 其他为负不为正
例２:
1、判断下列各三角函数旳符号 A.260 B. 4 C. 672 10 D.11 3
2、若sin 0且 tan 0，那么是第几象限角？
3、已知是第三象限角，试判定： sin( cos ) cos(sin )的符号
练习:
（1）若角 终边上有一点P 3，0，则下列函数值不
§1.2.1 任意角旳三角函数
设 是任意角， 旳终边上任意一点 P旳坐标是x，y，
当角 在第一、二、三、四象限时旳情形，它与原点
旳距离为 r ，则 r x 2 y 2 x2 y2 0 ．
任意角旳三角函数
1、定义：
①比值 y 叫做 旳正弦，记作sin ，即 sin y ．
r
r
x
②比值
叫做
旳余弦，记作cos ，即cos
Байду номын сангаас
x
．
r
r
③比值 y 叫做 旳正切，记作tan，即 tan y ．
x
x
④比值 x 叫做 旳余切，记作cot ，则 cot x ．
y
y
⑤比值 r 叫做 旳正割，记作sec ，则 sec r ．
x
x
⑥比值 r 叫做 旳余割，记作csc ，则csc r ．
y
y
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都 看成是以角为自变量，以比值为函数值旳函数，以上 六种函数统称三角函数．

任意角和弧度制及任意角的三角函数ppt课件

任意角和弧度制及任意角的三角函数ppt课件

(2)在0～2π范围内，终边在直线y＝ 3 x上的角有两
个：π3 、4π 3 .
π 因此，终边在直线y＝ 3x上的角的集合为{α|α＝ 3 ＋2k
π，k∈Z}∪{α|α＝
4π 3
＋2kπ，k∈Z}＝{α|α＝
π 3
＋kπ，
k∈Z}．
工具
第三章 三角函数、解三角形
栏目导引
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
(1)如果角α是第三象限角，那么角－α，π－α，π ＋α的终边在第几象限？
(2)写出终边落在直线y＝ 3x上的角的集合．
工具
第三章 三角函数、解三角形
栏目导引
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
1．角的有关概念
角的特点 从运动的角度看 从终边位置来看
角的分类 角可分为 正角、 负角 和 零角 . 可分为 象限角 和轴线角
α与β角的终边相同
5 ． 若 α ＝ k·180° ＋ 45° ， k∈Z ， 则 α 为 第 ________ 象 限 角．
解析： 当k＝2n时，α＝n·360°＋45°， 当k＝2n＋1时，α＝n·360°＋225°， ∴α为第一或第三象限角． 答案： 一或三
工具
第三章 三角函数、解三角形
栏目导引

高中数学《任意角三角函数的定义》课件

高中数学《任意角三角函数的定义》课件

二 用有向线段表示三角函数
例3求出的各三角函数在各象限内的符号可用图5.2-6来直观表示：
(1)
(2)
图5.2-6
(3)
请用三角函数的定 义说明正弦、余弦、正 切在各个象限内的符号.
二 用有向线段表示三角函数
例 4 设sin θ <0且tan θ >0，确定θ是第几象限的角. 解 因为sin θ<0，
过点P作x轴的垂线，垂足为D，则在
Rt△OPD中，三边OP，OD，DP之长分别
为r，x，y.
由锐角三角函数的定义有：
sin y ，cos x ，tan y .
r
r
x
图5.2-1
一
用比值定义三角函数
若在角α的终边OM上另取一点P′(x′，y′)，按照同样的方法构造直角三角形， 由相似三角形的知识可以知道：对于确定的角α，上述三个比值不会随点P在α的 终边上的位置的变化而变化.因此，把锐角放在直角坐标系中，锐角的三角函数 （正弦、余弦、正切）可以用终边上不同于原点的任意一点的坐标来表示.
将DP看作有方向的线段，D为起点，P为终点：当它指向y轴的正方向时，取
正实数值y；当它指向y轴的负方向时，取负实数值y；当它的长度为0时，取零
值．在所有的情况下都有
DP＝y＝sin α.
由于直角坐标系内点的 坐标与坐标轴的方向有关， 以坐标轴的方向来规定有向 线段的方向，使得它们的取 值与点P的坐标一致.
解 x＝4，y＝－3，则r＝ 42 32 ＝5，
所以 sin y 3 3 ，
r5 5
cos x 4 ，
r5
tan y 3 3 .
x4 4
图5.2-3
一
用比值定义三角函数

任意角的三角函数 课件

任意角的三角函数 课件
10m 10
当m<0时,|OP|=10 m ＝－ 10m， 则sinα= m ＝－ 10 .
－ 10m 10
【方法技巧】利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常 用的解题方法有以下两种: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用 三角函数的定义求出相应的三角函数值.
任意角的三角函数
1.任意角的三角函数的定义 在单位圆中,α是任意一个角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y),如图所示:
则有sinα=_y_;cosα=_x_;tanα=__xy__.
2.三角函数值的符号 如图所示:
正弦_一__、__二__正,_三__、__四__负;余弦_一__、__四__正, _二__、__三__负;正切_一__、__三__正,_二__、__四__负.
【解析】1.tanα>0,则α为第一或第三象限 角,sinα<0,则α为第三或第四象限角或终边落在y轴 的负半轴上,所以α为第三象限角. 答案:三
2.(1)因为125°角是第二象限角,所以tan125°<0; 因为273°是第四象限角,所以sin273°<0, 所以tan125°·sin273°>0,式子符号为正.
所以sinα= 4.
5
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行 分类讨论.实际上本题中要分x=0和x≠0两种情况讨论.
【自我纠正】点P(x,4)到原点的距离 r x2 16， (1)当x=0时,cosα=0,r=4. 由三角函数的定义,有 sin＝4 1.
(2)因为 5是第三象限角, 是4第二象限角, 是11
4
5
6
第四象限角,所以sin 5< 0,cos 4<0,tan <110,

任意角三角函数的定义课件(共29张PPT)

任意角三角函数的定义课件(共29张PPT)

调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
所以当α不变时，这三个比值 x , y , y ，不论点P在α的
rrx
终边上的位置如何，它们都是定值，只依赖于α的大小，
数学
基础模块（上册）
第五章 三角函数
5.2.1任意角三角函数的定义
人民教育出版社
第五章 三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义
学习目标
知识目标 能力目标
理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数） 的概念.理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念
学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征， 明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法，提高学生的数学 运算能力
2
2
2
巩固练习，提升素养 在在活初初动中中3，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
例3 求 5 正弦、余弦和正切值.
6
解 如图5-11所示，在的终边上取点P，使OP=2．作
，
cos x 2 2 13 ，
r 13 13
tan
y x
3 2
.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 2 求下列各角的正弦、余弦和正切值. （1）0；（2）π；（3） 3 .

任意角的三角函数PPT优秀课件


2.确定下列三角函 符数 号值 ：的
(1)sin256;
(2)cos(406);
23
(3)tan .
3
3.角 的终边 P (上 m ,5)且 ,有 co 一 sm (点 m 0),
13
求 sin co 值 s.
小结： 1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域； 3．正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号．
1．2．1任意角的三角函数（1）
问题1:你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数(正弦, 余弦,正切)的定义吗?
在RtPO中 M
如何 将POM 放到平面直角 坐标系中？
sin PM
P
OP
co sOM OP
tanPM OM

O
M
锐角三角函数
问题2：将POM 放到平面直角坐， 标系中
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
(1)cos 7 ; (2)sin4(6)5; (3)tan11 .
12
3
解： (1) 7 是第二象限角 co， s7所 0.以
12
12
(2) 因为 4652360225,即465是第三象限角，所 sin(465)0.
(3) 因为 1125,即11 是第四象 ,所限 以角

中职数学4.3 任意角的三角函数课件


4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例5 已知cos＞0, 且tan ＜0, 试确定角 是第几象限角．
解 因为cos＞0, 所以角 可能是第一或第四象限角, 也
可能终边在 x 轴的正半轴上.
又因为tan＜0，所以角 可能是第二或第四象限角． 故满足cos＞0且tan＜0的角 是第四象限角．
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
0°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4 判断下列各三角函数值的符号.
解 (1) 因为−325°＝35°−360°，所以－325°角是第一象限角， 故sin(−325°)＞0； (2)
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.3.2 单位圆与三角函数
练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1. 判断下列三角函数值的符号：
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为______.
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例3 求90°角的正弦、余弦和正切. 解 90°角的终边与单位圆的角的交点坐标为(0,1) ， 所以 sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.

苏教版高中数学必修第一册《7.2.1任意角的三角函数》精品课件




，是第四象限角，所以


−° < .
< .
设计意图：判断三角函数值的正负，是本章中的一项重要的知识、技能要求要引导学生
抓住定义、数形结合，利用总结出的符号法则，判断和记忆三角函数值的正负符号，这
也是理解和记忆的关键.
典例剖析
例4、画出下列角的正弦线、余弦线、正切线：


义自主探索确定三角函数的定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进了
对三角函数概念的掌握.
典例剖析
例1、已知角的终边经过点(, −ሻ，求的正弦值、余弦值、正切值.
分析
这是教材上的例题，是定义的直接应用若已知角的终边上一点的坐标，则可直接利用定义
求三角函数值.
解析
因为角的终边过点(, −ሻ，所以 = ， = ， =
数为自变量的函数通过分析三角函数线，让学生归纳总结出三角函数的定义域：

= sin和 = cos的定义域都为, = tan的定义域为 ∣ ≠ + , ∈ .
2
教师指出：分析sin, cos, tan的定义域时必须紧扣三角函数定义，在理解的基础上
记熟.
设计意图：定义域是函数的三要素之一，研究函数必须明确定义域.指导学生根据定
学生小组合作，作图分析.
问题4：对于确定的角，这三个比值是否与点P在的终边上的位置有关？为什么？
先让学生想象思考，作出主观判断，再进行小组交流，产生思维碰撞，联系相似三角
形知识，探索发现：对于锐角的每一个确定值，比值都是确定的，不会随点P在终边上
的移动而变化（如图）.
情境引入
得出结论（强调）：当为锐角时，比值随的变化而变化；但对于锐角的每一个确

任意角的三角函数ppt


sin MPb
OP r
MP b OP r a 2 b 2
c os OMa
OP r
y
﹒Pa,b
tan MPb
OM a
o
﹒
Mx
如果改变点Ｐ在终边上的位置， 这三个比值会改变吗？
M
﹒
P
O
x
P(a,b)
M
∽ OMP
y 探究
3.锐角三角函数（在单位圆中）
若OPr1，则
以原点O为圆心，以单位
长度为半径的圆，称为单位圆.
r
tan yx0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与P点 在
角的终边上的位置无关.
练习 1、已知角 的终边过P12,5
点
，
求
的三个三角函数值.
解：由已知可得：
rx2y212 25213
于是，sin y 5
r 13
tan y 5
x 12
c os x 12
r 13
2 、 已 知 角 的 终 边 上 一 点 P 1 5 a , 8 a a R 且 a 0 ，
的正弦、余弦和正切值 .
，求角
解:由已知可得 O0P (3)2(4)25
设角
的终边与单位圆交于 P(x, y)
y
，
分别过点
、P P0作 x 轴的垂线MPM 0 P、0
M0 M O
x
M0P0 4
OMx
Px, y
OM0 3
MPy
OMP∽ OM0P0
P03,4
于是， s in yy|M| P M 0P 04;
（2） 正弦、余弦总有意义.当 的终边在 y轴上时，点P 的
横坐标等于0， tan y 无意义，此时 k(kz).
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点 P 与原点的距离 r x 2 y 2 0
﹒ Px, y
y
O
y
那么① r 叫做 的正弦，即 sin y
x
r
②
x
③
r 叫做 的余弦，即
y
x 叫做 的正弦，即
cos x
r
tan y x 0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的
终边上的位置无关.
夯实基础
1.思考探究： (1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？ (2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于 90°的角是锐角吗？
x （2） 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ；
（3） y 叫做 的正切，记作tan ，即tan y (x 0)
x
x
y
所以，正弦，余弦，正切都
Px, y﹒
O
A1,0 x
是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
定义推广：
设角 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
（4）弧长公式： l r
扇形面积公式： S 1 lr 1 r 2（其中 l为圆心角 所
22
对的弧长， 为圆心角的弧度数， r 为圆半径．）
3.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)
那么:（1） y 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y ；
D.k·360°＋270°，k∈Z
解析：由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角 的终边相同. 答案：B
2.已知角α的终边Байду номын сангаас过点( ，－1)，则角α的最小正值是 ()
解析：∵sinα＝ ∴α＝ 答案：B
＝ ，且α的终边在第四象限，
3.已知cosθ ·tanθ＜0，那么角θ是
()
3.确定三角函数值在各象限的符号
y
y
（+） +
（ - ）（ + ）
（
-
o ）（
-
）x
（
-
o ）（
+
x ）
sin
cos
y
（ -）（+）
o
（ +）
（
-
x ）
tan
基础自测
1.与610°角终边相同的角可表示为
()
A.k·360°＋230°，k∈Z
B.k·360°＋250°，k∈Z
C.k·360°＋70°，k∈Z
2.写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180 270 360
弧 度
0
64 3
2
2 3 34
5 6
3 2
2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写 这个角所对应的弧度数。但如果以度（ 。） 为 单位表示角时，度（ 。）不能省略。
3.
1若a 0则r 17a,于是
sin 8a 8 , cos 15a 15 , tan 8a 8
17a 17
17a 17
15a 15
2若a 0则r -17a,于是
sin 8a 8 , cos 15a 15 , tan 8a 8
17a 17
17a 17
15a 15
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
解析：∵cosθ·tanθ＝sinθ＜0，cosθ≠0. ∴θ为第三、四象限角. 答案：C
4.弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为
为
.
解析：弧长l＝3π，圆心角α＝ ，
由弧长公式l＝α·r得r＝ ＝ 面积S＝ ＝6π.
＝4，
答案：4 6π
，面积
能力提升
1.若 是第二象限角，试判断 所在象限。
2.若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时, 这个扇形的面积最大?
解：由题意得l＋2R＝20，∴l＝20－2R(0＜R＜10).
＝(10－R)·R＝－R2＋10R. ∴当且仅当R＝5时，S有最大值25. 此时 ∴当α＝2 rad时，扇形面积取最大值.
规律总结
1、终边相同角的表示：
k 360 , k Z
2、角度制与弧度制的互化：
180 弧度
3、三角函数的定义：
sin y
r
cos x
r
tan y x 0
x
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识梳理
逆时针方向 顺时针方向
没有作任何旋转
k 360 , k Z
长度等于半径长的弧
（3）与角度制的互化
180 弧度
{ 1 180 rad 1弧度=_(1__8_0)
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日