二阶常系数线性齐次微分方程.ppt

第七章常微分方程7.10 二阶常系数齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 二阶常系数齐次线性微分方程的形式 )(1)1(1)(t F x a x a x a x n n n n =++++-- n 阶常系数线性微分方程的标准形式21=++x a x a x 二阶常系数齐次线性方程的标准形式.,,,,121均为实常数其中n n a a a a - )1()()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- ,2211x C x C x +=则其通解为,,21解是其线性无关的两个特若x x .,21为任意常数其中C C 解的结构1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法,t e x λ=设则 ()0212=++t e a a λλλ得 0212=++a a λλ特征方程 ,2422111a a a -+-=λ,11t e x λ=,22t e x λ=且它们线性无关，通解为 .,)(212121为任意常数其中C C e C e C t x tt ,λλ+=特征根为: ,2422112a a a ---=λ情形1 有两个不相等的实根 )0(>∆,021=++x a x a x 对于对应特解 ,,21解是其线性无关的两个特若x x ,2211x C x C x +=则其通解为.,21为任意常数其中C C 待定系数法2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法,11t e x λ=,2121a -==λλ情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 ,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,)(12t e t u x λ=设另一特解为特征根为 2121,)()('1112t t e t u e t u x λλλ+= ,)()('2)("1112112tt t e t u e t u e t u x λλλλλ++=,11t e x λ=情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 通解为 (),te t C C t x 121)(λ+=,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,0=''u 得(),t t u =取,12t te x λ=则特征根为 2121(),21C t C t u +=,)(12t e t u x λ=设另一特解为0=0=.,21为任意常数其中C C ,2121a -==λλ,1βαλi +=,2βαλi -=,)(1t i e x βα+=t i e x )(2βα-=情形3 有一对共轭复根 )0(<∆由解的性质 ()21121x x x +=,cos t e t βα=()21221x x ix -=.sin t e t βα=通解为 (),sin cos 21t βC t βC e x t α+=特征根为 2121对应特解为 t e i t e t t ββααsin cos -=.,21为任意常数其中C C .,21线性无关且x x.044的通解求方程=++x x x解 特征方程为 ,0442=++λλ,221-==⇒λλ故所求通解为 ().221te t C C x -+=例1 解 特征方程为 ,0522=++λλ,2121i ±-=⇒，λ故所求通解为 ().2sin 2cos 21x C x C e y x +=-.052的通解求方程=+'+''y y y 例2 021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为()().00,2004422的解满足初始条件求='==++y y y x y x y d d d d 解 特征方程为 ,01442=++λλ.212,1-=⇒λ故所求通解为 x e x C C y 2121)(-+=例3 ()()得由00,20='=y y ,21=C .12=C 为方程满足初始条件的解.22121x x xe e y --+=021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法01)1(1)(=+'+++--x a x a xa x n n n n 特征方程为 0111=++++--n n n n a a a λλλ 特征方程的根 相对应的线性无关的特解 重根是若k λt k t t et te e λλλ1,,,- 重是若共轭复根k i βα±.sin ,,sin ,sin ,cos ,,cos ,cos 11t βe t t βte t βe t βe tt βte t βe t αk t αt αt αk t αt α-- 注意： n次代数方程有n 个根, 而特征方程的每个根都对应着一个特解. 3 高阶常系数齐次线性微分方程的解法.2211n n x C x C x C x +++= 通解为特征根为.2,1321-===λλλ故所求通解为 ()t e t C C x 21+=解 ,0233=+-λλ特征方程为 ()(),0212=+-λλ().0233的通解求方程=+-x x x 例4 特征根为 .,,154321i i -====-=λλλλλ故所求通解为 ()()t.t C C t t C C sin cos 5432++++解 ,01222345=+++++λλλλλ特征方程为 ()(),01122=++λλ()()().022345的通解求方程=+++++x x x x x x 例5 .e C t 23-+t e C x -=1。