(整理)常系数线性微分方程的解法

微分方程中的常系数齐次线性方程求解在微积分学中，常系数齐次线性方程是一类常见的微分方程。

它们的解可以通过一定的方法得到。

在本文中，我们将介绍如何求解常系数齐次线性方程。

一、什么是常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程是指形如y″+ay′+by=0的微分方程，其中a和b为常数。

它们的特点是方程中的未知函数及其导数的系数都是常数。

二、求解常系数齐次线性方程的方法1. 特征方程法特征方程法是求解常系数齐次线性方程的一种常用方法。

具体步骤如下：（1）写出微分方程的特征方程，特征方程就是对应的代数方程。

对于y″+ay′+by=0，其特征方程为r²+ar+b=0。

（2）解特征方程，求得特征根。

设特征根为r₁和r₂，则特征方程的解为r₁和r₂。

根的个数和重根的情况会影响方程的解形式。

（3）根据特征根求解原方程的解。

当r₁和r₂为不同的实根时，原方程的通解可以表示为y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)，其中C₁和C₂为常数。

当r₁和r₂为不同的复数根时，通解可以表示为y=e^(αx)(C₁cos(βx)+C₂sin(βx))，其中α为实部，β为虚部。

2. 代入法代入法也是一种常用的求解常系数齐次线性方程的方法。

具体步骤如下：（1）设定未知函数的形式。

根据方程的阶数，设定未知函数的形式，如y=e^(mx)。

（2）将未知函数及其导数带入微分方程，消去常数，得到相应的代数方程。

（3）解代数方程，得到未知函数的表达式。

根据代数方程的解，确定未知函数的形式。

（4）确定未知函数的常数。

根据给定的初始条件，确定未知函数中的常数值。

3. 傅里叶级数法对于特定的边界条件，常系数齐次线性方程还可以通过傅里叶级数法进行求解。

该方法主要适用于周期性边界条件的问题。

三、实例分析为了更好地理解求解常系数齐次线性方程的方法，我们来看一个具体的实例。

例题：求解方程y″+3y′+2y=0.解法：首先写出特征方程r²+3r+2=0，解得特征根r₁=-1，r₂=-2.特征根不相等，所以方程的通解为y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x)。

线性常微分方程的解法一、引言线性常微分方程是数学中非常重要和常见的一类方程，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

本文将介绍线性常微分方程的解法。

二、一阶线性常微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法对于形如dy/dx + P(x)y = 0的齐次线性微分方程，可以使用特征方程的解法。

其中特征方程为dλ/dx + P(x)λ = 0，解得特征方程的解λ(x)，则齐次线性微分方程的通解为y = Cλ(x)，其中C为常数。

2. 非齐次线性微分方程的解法对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法来求解。

假设齐次线性微分方程的解为y_1(x)，则通过常数变易法，可以得到非齐次线性微分方程的通解为y = y_1(x) *∫(Q(x)/y_1(x))dx + C，其中C为常数。

三、高阶线性常微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法对于形如d^n(y)/dx^n + a_{n-1}(x)d^{n-1}(y)/dx^{n-1} + ... +a_1(x)dy/dx + a_0(x)y = 0的齐次线性微分方程，可以通过假设y = e^(rx)为方程的解，带入得到特征方程a_n(r) = 0。

解得特征方程的根r_1,r_2, ..., r_k，则齐次线性微分方程的通解为y = C_1e^(r_1x) +C_2e^(r_2x) + ... + C_ke^(r_kx)，其中C_1, C_2, ..., C_k为常数。

2. 非齐次线性微分方程的解法对于形如d^n(y)/dx^n + a_{n-1}(x)d^{n-1}(y)/dx^{n-1} + ... +a_1(x)dy/dx + a_0(x)y = F(x)的非齐次线性微分方程，可以使用待定系数法来求解。

设非齐次线性微分方程的特解为y_p(x)，通过将特解带入原方程，解得特解的形式。

然后将特解与齐次方程的通解相加，即可得到非齐次线性微分方程的通解。

常微分方程解法总结引言在数学领域中，常微分方程是一类以函数与其导数之间关系为描述对象的方程。

它广泛应用于物理、化学、生物等自然科学的建模和解决问题中。

常微分方程的求解有许多方法，本文将对其中一些常见的解法进行总结和讨论。

一、分离变量法分离变量法是求解常微分方程中常用的一种方法。

它的基本思想是将方程中的变量分离，将含有未知函数的项移到方程的一侧，含有自变量的项移到方程的另一侧，然后对两边同时积分，从而得到最终的解析解。

例如，考虑一阶常微分方程dy/dx = f(x)g(y)，可以将此方程改写为1/g(y)dy = f(x)dx，然后对两边同时积分得到∫1/g(y)dy =∫f(x)dx。

在对两边积分后，通过求解不定积分得到y的解析表达式。

二、常系数线性齐次微分方程常系数线性齐次微分方程是另一类常见的常微分方程。

它具有形如dy/dx + ay = 0的标准形式，其中a为常数。

这类方程的解法基于线性代数中的特征值和特征向量理论。

对于形如dy/dx + ay = 0的一阶常微分方程，可以假设其解具有形式y = e^(rx)，其中r为待定常数。

带入方程，解得a的值为r，于是解的通解即为y = Ce^(rx)，其中C为任意常数。

通过特定的初值条件，可以确定常数C的值，得到方程的特解。

三、变量分离法变量分离法是一种适用于某些特殊形式常微分方程的解法。

其基本思想是将方程中的变量进行适当的变换，从而将方程化为分离变量的形式。

例如，考虑一阶非齐次线性微分方程dy/dx = f(x)/g(y)，其中f(x)和g(y)为已知函数。

通常情况下，变量分离法需要对方程变形，将含有未知函数和自变量的项进行合并处理。

假设存在一个新的变量z(x) = g(y)，则dy/dx = (dy/dz)*(dz/dx) = (1/g'(y))*(dz/dx)。

将dy/dx和f(x)分别代入原方程，进而可以求得dz/dx。

对dz/dx进行积分后，可以得到z(x)的解析表达式。

常微分方程解法大全在数学和物理学中，常微分方程是一个重要而广泛应用的概念。

常微分方程描述连续的变化，解决了许多实际问题和科学领域中的模型。

解常微分方程可以揭示系统的行为并预测未来情况。

在本文中，我们将探讨常微分方程的各种解法，包括常见的常系数线性微分方程、变速微分方程、欧拉方程等各类形式。

常系数线性微分方程一阶线性微分方程对于形如 $\\frac{dy}{dt} + ay = f(t)$ 的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。

首先找到积分因子 $I(t) = e^{\\int a dt}$，然后将方程乘以积分因子得到$e^{\\int a dt}\\frac{dy}{dt} + ae^{\\int a dt}y = e^{\\int a dt}f(t)$，进而写成$\\frac{d}{dt}(e^{\\int a dt}y) = e^{\\int a dt}f(t)$。

对两边积分即可得到 $y = e^{-\\int a dt}\\int e^{\\int a dt}f(t)dt + Ce^{-\\int a dt}$。

高阶线性微分方程对于形如 $y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t) + \\ldots + a_1y'(t) + a_0y(t) =f(t)$ 的 n 阶线性微分方程，可以利用特征根法求解。

首先找到特征方程$\\lambda^n + a_{n-1}\\lambda^{n-1} + \\ldots + a_1\\lambda + a_0 = 0$ 的根$\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n$，然后通解可表示为 $y(t) = c_1e^{\\lambda_1t} + \\ldots + c_ne^{\\lambda_nt} + y_p(t)$，其中y p(t)为特解。

变速微分方程变速微分方程描述的是系统参数随时间变化的情况，通常包含随时间变化的系数。

常微分方程中的常系数线性方程及其解法常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是一种数学模型，用于描述时间或空间上量的变化规律。

常微分方程中的常系数线性方程是ODE中一个重要的类别，其解法具有一定的规律性和普适性。

本文将就常微分方程中的常系数线性方程及其解法做简要介绍。

一、常系数线性方程的定义常系数线性方程是指其系数不随自变量t的变化而改变的线性方程。

一般写为：$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=f(t)$$其中a的值为常数，f(t)为已知函数，y(t)为未知函数，方程中最高阶导数的阶数为n。

n阶常系数线性方程也称为n阶齐次线性方程；当f(t)≠0时，称其为n阶非齐次线性方程。

二、常系数线性方程的解法对于一般形式的常系数线性方程，我们常用特征根的方法来求解。

具体来说，先考虑对应的齐次线性方程$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=0$$设y(t)=e^{rt}，则有$$r^ne^{rt}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rt}+...+a_1re^{rt}+a_0e^{rt}=0$$整理得到$$(r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0)e^{rt}=0$$根据指数函数的性质得到$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$求解方程$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$可得到n个特征根，设其为$r_1,r_2,...,r_n$。

则对于齐次线性方程，其通解为$$y(t)=c_1e^{r_1 t}+c_2e^{r_2 t}+...+c_ne^{r_n t}$$其中$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。

第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数. 特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为te t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数xe λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5) 以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b 故所求特解为 x xe y 223--=* . 例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去xe 得 126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b 于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=*例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为 0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。

（整理）⼆阶常系数线性微分⽅程的解法版.第⼋章 8.4讲第四节⼆阶常系数线性微分⽅程⼀、⼆阶常系数线形微分⽅程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的⽅程称为⼆阶常系数线性微分⽅程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则⽅程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把⽅程(2)叫做⼆阶常系数齐次线性⽅程,把⽅程式(1)叫做⼆阶常系数⾮齐次线性⽅程. 本节我们将讨论其解法.⼆、⼆阶常系数齐次线性微分⽅程 1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明因为1y 与2y 是⽅程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代⼊⽅程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是⽅程(2)的解.定理1说明齐次线性⽅程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不⼀定是⽅程式(2)的通解.2.线性相关、线性⽆关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性⽆关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 122≡--x x⼜如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性⽆关的,因为在该区间内要使02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠23.⼆阶常系数齐次微分⽅程的解法定理 2 如果1y 与2y 是⽅程式(2)的两个线性⽆关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是⽅程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是⼆阶齐次线性⽅程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性⽆关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是⽅程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差⼀个常数因⼦,根据指数函数的这个特点,我们⽤rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rxe y =满⾜⽅程(2).将rxe y =求导,得rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代⼊⽅程(2),得0)(2=++rxe q pr r因为0≠rxe, 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满⾜⽅程式(3),rxe y =就是⽅程式(2)的解.我们把⽅程式(3)叫做⽅程式(2)的特征⽅程,特征⽅程是⼀个代数⽅程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是⽅程(2)y y y ,,'''的系数.特征⽅程(3)的两个根为 2422,1qp p r -±-=, 因此⽅程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.2421q p p r -+-=,2p p r ---=x r x r e y e y 2121,==是⽅程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性⽆关.根据定理2,得⽅程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根.221p r r -==,这时只能得到⽅程(2)的⼀个特解xr e y 11=,还需求出另⼀个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y=, 即 )(12x u e y x r = )2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代⼊⽅程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e xr 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e xr由于01≠xr e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u因为1r 是特征⽅程(3)的⼆重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从⽽有 0=''u因为我们只需⼀个不为常数的解,不妨取x u =,可得到⽅程(2)的另⼀个解那么,⽅程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征⽅程(3)有⼀对共轭复根βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i xi e y ey )(2)(1,βαβα-+==利⽤欧拉公式 x i x e ixsin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e ey x x i x xi ββαβαβα+=?==+ )sin (cos )(2x i x e e e ey x x i x xi ββαβαβα-=?==--21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+,x e y y iy x βαsin )(2121_2=-=⽅程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是⽅程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以⽅程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y xββα+= 综上所述,求⼆阶常系数线性齐次⽅程通解的步骤如下: (1)写出⽅程(2)的特征⽅程02(2)求特征⽅程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出⽅程(2)的通解.例1求⽅程052=+'+''y y y 的通解. 解: 所给⽅程的特征⽅程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-= 所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C ey x+=-.例 2 求⽅程0222=++S dt dSdtS d 满⾜初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解所给⽅程的特征⽅程为0122=++r r 121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代⼊,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代⼊上式,得22=C所求特解为te t S -+=)24(例3求⽅程032=-'+''y y y 的通解. 解所给⽅程的特征⽅程为 0322 =-+r r 其根为 1,321=-=r r所以原⽅程的通解为 x xe C eC y 231+=-定理3 设*y 是⽅程(1)的⼀个特解,Y 是式(1)所对应的齐次⽅程式(2)的通解,则*+=y Y y 是⽅程式(1)的通解.证明把*+=y Y y 代⼊⽅程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y =)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y =)()(0x f x f =+*+=y Y y 使⽅程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是⽅程(1)的解.定理4 设⼆阶⾮齐次线性⽅程(1)的右端)(x f 是⼏个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) ⽽*1y 与*2y 分别是⽅程 )(1x f qy y p y =+'+'' 与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是⽅程(4)的特解, ⾮齐次线性⽅程(1)的特解有时可⽤上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m xλ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的⼀个m 次多项式.⽅程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数xe λ乘积的导数仍为同⼀类型函数,因此⽅程(1)的特解可能为xe x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 xe x Q y λ)(=*xe x Q x Q y λλ)]()(['+=*'xe x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*'' 代⼊⽅程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定⽅法: (1) 若λ不是⽅程式(2)的特征⽅程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另⼀个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代⼊(5)式,并⽐较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个⽅程.联⽴解⽅程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从⽽得到所求⽅程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =⽤同样的⽅法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =. (3) 若λ是特征⽅程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ02=+p λ.要使(5)式成⽴,则)(x Q ''必须是⼀个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =⽤同样的⽅法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若⽅程式(1)中的xm e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为xm k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征⽅程的根,是特征⽅程的单根或是特征⽅程的重根依次取0,1或2.例4 求⽅程xey y 232-='+''的⼀个特解.解 )(x f 是xm e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次⽅程的特征⽅程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r .λ=-2是特征⽅程的单根, 令x e xb y 20-=*,代⼊原⽅程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求⽅程xe x y y )1(2-='-''的通解. 解先求对应齐次⽅程02=+'-''y y y 的通解. 特征⽅程为 0122=+-r r , 121==r r 齐次⽅程的通解为 xe x C C Y )(21+=. 再求所给⽅程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征⽅程的⼆重根,所以x e b ax x y )(2+=*e 得126-=+x b ax⽐较系数,得61=a 21-=b 于是 x e x x y )216(2-=* 所给⽅程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*3.x B x A x f ??sin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,⽅程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三⾓函数的导数,仍属同⼀类型,因此⽅程式(7)的特解*y 也应属同⼀类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y kωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为⼀个整数.当ω±i 不是特征⽅程02=++q pr r 的根, k 取0; 当ω±i 不是特征⽅程02=++q pr r 的根, k 取1; 例6 求⽅程x y y y sin 432=-'+''的⼀个特解. 解1=ω，ω±i i ±=不是特征⽅程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原⽅程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代⼊原⽅程，得=--=+-442024b a b a解得 54,52-=-=b a原⽅程的特解为: x x y sin 54cos 52--例7 求⽅程x e y y y xsin 32+=-'-''的通解.解先求对应的齐次⽅程的通解Y .对应的齐次⽅程的特征⽅程为0322=--r r 3,121=-=r r x x e C e C Y 321+=-再求⾮齐次⽅程的⼀个特解*y .由于xex x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出⽅程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原⽅程的⼀个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征⽅程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x++=+=***代⼊原⽅程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--⽐较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给⽅程的⼀个特解为x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求⽅程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。

常系数线性微分方程的解法在微积分学中，常系数线性微分方程是一类重要的微分方程，其形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0\]其中，\(y^{(n)}\) 表示 \(y\) 的 \(n\) 阶导数，\(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) 是常数系数。

解常系数线性微分方程有多种方法，下面将介绍其中两种常见的解法：特征根法和常数变易法。

一、特征根法特征根法是解常系数线性微分方程的一种常用方法。

它的基本思想是假设解具有指数形式：\[y = e^{rx}\]其中，\(r\) 是待定的常数。

代入微分方程得：\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_1re^{rx} +a_0e^{rx} = 0\]化简后得：\[e^{rx}(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0) = 0\]由指数函数的性质可知，对于任意 \(x\)，\(e^{rx} \neq 0\)，因此上式成立等价于：\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0 = 0\]这个方程被称为特征方程。

解特征方程，求得所有的根 \(r_1, r_2, \ldots, r_n\)。

根据根的个数和重数，我们可以得到不同类型的解：1. 根为实数如果根 \(r\) 是实数，那么相应的解为：\[y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \cdots + C_ne^{r_nx}\]其中，\(C_1, C_2, \ldots, C_n\) 是待定常数。

2. 根为复数如果根 \(r\) 是复数，那么相应的解为：\[y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))\]其中，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是复数的实部和虚部，\(C_1\) 和 \(C_2\) 是待定常数。