4.2常系数线性微分方程的解法

对共轭的出现.设1 i是一特征根,则2 i也是特征根,
因 而 与 这 对 共 轭 复 数 对应 的, 方 程 （4.19） 有 两 个 复 值 解,
e(it) eat cos t i sin t e(it) eat cos t i sin t
再由定理8知方程（4.19）的两个实值解eat cos t, eat sin t.
少有一个系数不等于零, Pm (t) 0, 将恒等式（4.27）除以e1t ,然
m1 y (m1)
m(m 2!
1)
1
2
y
(m2)
1m y,
L[ ye1t ] ( d n y
dt n
b1
d n1 y dt n1
bn y)e1t
L1
y e1t
于是方程（4.19）化为
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
其 中b1, b2 , , bn仍 为 常 数,而 相 应 的 特 征 方 程 为
L(x)
d net dt n
a1
d n1et dt n1
an1
de t dt
anet
(n a1n1 a n1 an )et F ()et
其中F () (n a1n1 an1 an )是的n次多项式
易知x et为方程（4.19）的解的充要条件是是代数方程
F () (n a1n1 an1 an ) 0
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
一阶常系数齐次线性微分方程 dx ax 0,它有形如x eat
dt
的解，且它的通解就是x ceat ,则对于方程（4.19）也去试求
指数函数形式的解x et .
其中是待定常数, 可以是实的, 也可以是复的.注意到
当z(t)在 区 间a t b上 每 一 点 都 连 续 时,就 称z(t)在 区 间
a t b上 连 续.
z(t)在t0可导可微
如果极限lim z(t) z(t0 )
记
为dz(t dt
0
)
或z
t t0
(t0 )
,
t dz(t)
dt
t
t
0 t0
.
存在, 就称z(t )在t 0 有导数（可微）
如果i (i 1,2, , n)均为实数,则（4.22）是方程（4.19）的n个
线性无关的实值解,而方程（4.19）的通解可表示为 x c1e1t c2e2t , ,cnent ,
其中c1, c2 , , cn为任意常数. 如 果 特 征 方 程 有 复 根, 则 因 方 程 的 系 数 是 实 常数, 复 根 也 将 成
相同，这样问题就化为前面已经讨论过的情形了.
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
(4.23)
F () (n a1n1 an1 an ) 0（4.21） G() n b1 n1 bn1 bn 0（4.24）
显 然z(t)在t0有 导 数 相 当 于(t)和 (t)在t0有 导 数, 且
dz(t0 ) d(t0 ) i d (t0)
dt
dt
dt
如果z(t)在区间a t b上每点都有导数,就称z(t)在区间 a t b上有导数, 对于高阶导数可以类似的定义.
设z1(t), z2 (t)是定义在a t b上的可微函数, c是复值常数, 容易验证和差、常数倍、乘积的导数与实函相同.
（4.21）
的根，因此方程(4.21)将起着预示方程(4.19)的解的特性的作用.
称(4.21)为方程(4.19)的特征方程，它的根就称为特征根.
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论
（1）特征根是单根的情形 L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0 (4.19)
G() n b1 n1 bn1 bn 0
(4.23)
（4.24）
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
(4.23)
F () (n a1n1 an1 an ) 0（4.21） G() n b1 n1 bn1 bn 0（4.24）
设1，2， ，n是特征方程（4.21）的n个彼此不相等的根,则
相应的方程（4.19）有如下n个解
e1t , e2t , , ent .
(4.22)
注意：这n个解在区间a t b上线性无关, 从而组成方程的
基本解组,这 时
e 1t
1e 1t
e n1 1t 1
e 2t
e nt
2 e 2t
n ent
§4.2 常系数线性微分方程的解法
4.2.1 复值函数与复值解
如果对于区间a t b中的每一实数t，有复数
z(t) (t) i (t)
与它对应,其中(t)和 (t)是在区间a b上给定了一个复值函数z(t).
如
果
实
函
数
(t
方程（4.24）的k1重根1 0对应于方程(4.23)的k1个解y 1,t,t 2 ,
,t k11,因而对应于特征方程的k1重根1,方程（4.19）有k1个解.
x ye1t
e1t , te1t , t 2e1t , , t k11e1t
(4.25)
同样, 假设特征方程(4.21)的其它根2，3， ，m的重数依次为 k2，k3， ，km ; ki （1 单根i 相当于ki 1）, 且k1 k2 km n, i （j 当i j）则方程(4.19)对应的有解
例1 求方程 d 2 x 2 dx 3x 0的通解. dt 2 dt
例2 求方程 d 2 x x 0的通解. dt 2
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
(2)特征根有重根的情形
设特征方程有k重根 1,则有 F (1 ) F (1 ) F (k1) (1 ) 0, F (k) (1 ) 0
)和
(t
)当t趋t
时
0
有
极
限,
则
称
复
值
函
数z(t
)当
t趋t 0时 有 极 限, 并 且 定 义
lim z(t) lim (t) i lim (t)
t t0
t t0
t t0
如果
lim
t t0
z(t0 ) ,则 称z(t)在t0连 续
显 然, z(t)在t0连 续 相 当 于(t)和 (t)在t0连 续.
实函数，那么这个解的实部U (t)和虚部V (t)分别是方程
的解.
dnx
d n1 x
dx
dt n a1 (t) dt n1 an1 (t) dt an (t)x u(t)
dnx dt n
a1
(t
)
d n1 x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
v(t)
4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
实值函数，而x z(t) (t) i (t)是方程的复值解,则z(t)的实
部(t)、虚部 (t)和共轭复值函数z(t)也都是方程（4.2）的解.
定理9 若方程
dnx dt n
a1
(t
)
d n1 x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
u(t) iv(t)
有复值解x U (t) iV (t)，其中ai (t)(i 1,2 n)及u(t), v(t)都是
d[KeKt ] K deKt
dt
dt
下面引进线性微分方程复值解的定义.
定义于区间a t b上的实变量复值函数x z(t), 如果满足
d n z(t)
d n1 z(t)
dz(t)
dt n a1 (t) dt n1 an1 (t) dt an (t)z(t) f (t) (4.1)
10 先设1 0,即特征方程有因子k ,于是
an an1 ank1 0
也就是特征方程的形状为n a1n1 ank k 0
而对应的方程(4.19)变
dnx
d n1 x
dkx
dt n a1 dt n1 ank dt k 0
易见它有k个解 1,t,t 2 , ,t k1 ,而且它们是线性无关的,则特征
e2t , te2t , t 2e2t , , t k2 1e2t
e
mt
,
t
e
mt
,
t
2
e
mt
,
, t km 1e mt
(4.26)
下面我们证明（4.25）和（4.26）全体n个解构成方程的基
本解组.
e1t , te1t , t 2e1t , , t k11e1t (4.25)
e2t , te2t , t 2e2t , , t k2 1e2t