七年级数学下册第七章相交线与平行线7.6图形的平移巧用平移妙求面积素材(新版)冀教版

七年级数学下册第七章相交线与平行线素材：平移题型聚焦一、平移的概念及识别例1 下列A.B.C.D 四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（ ）（1） A ． B ． C ． D ．解析：本题主要考查图形变换中的平移问题.图形的平移具有以下特征：（1）图形平移前后图形的大小、形状不变；（2）对应点的连线互相平行.根据这些特征观察图形可知：图形形状、大小都没有发生变化，但对应点连线平行的只有B.，故选（B ）.点评：解决这类问题，关键是要把握平移的概念和特征，进而根据特征对给出的图形进行正确分析.二、平移的特征例2 如图，△A′B′C′是由△ABC 沿BC 方向平移3个单位得到的，则点A 与点A′的距离等于 个单位.解析：由平移的特征可知，平移时图形上每一点都移动了相同的距离.故应填3.三、平移的过程A A ′C ′例3 在5×5方格纸中将图①中的图形N 平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是（ ）（A ）先向下移动1格，再向左移动1格（B ）先向下移动1格，再向左移动2格（C ）先向下移动2格，再向左移动1格（D ）先向下移动2格，再向左移动2格解析：右图可知，把N 先向下移动2格，再向左移动1格即可的到图②，故选（C ）.四、平移作图例4 如图，在1010⨯正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将ABC △向下平移4个单位，得到A B C '''△，请你画出A B C '''△（不要求写画法）．A B C A B C A ' B ' C '解析：本题要求作出平移后的图形，可根据平移的距离及平移的特征，作出平移后的图形（如上右图）.点评：画出简单图形的平移后的图形，关键是先确定一些关键点平移后的位置，再按原来的方式连接相应各点便可得到所求图形.五、利用平移设计图案例5 如图，这是一位同学制作的一串黑白相间的“不倒翁”，你能叙述他的制作过程吗？请动手试一试.解析：从一个半圆出发，剪去最大的一个小圆，并将它贴到半圆的正上方，即得一只“不倒翁”，多做几个，分别涂上两种颜色，再交替叠合平移排列而成，如图：六、利用平移解题例6 如图2—1，多边形的相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为（）.（A）21 （B）26 （C）37 （D）42图1 图2解析：图中只给出了一个底边的长和高，所以要从现有的条件入手.我们可以利用刚学过的平移的知识来解决：把所以的短横线移动到最上方的那条横线上，再把所有的竖线移动到两条竖线上，这样可以重新拼成一个长方形（如右图2—2），可得多边形的周长为2×（16＋5）=42.故选（D）.。

七年级数学下册第七章相交线与平行线素材：巧平移，妙解题我们知道图形平移的特征是：平移后的图形与原图形的形状、大小都不发生变化.利用平移变换这一特征，求解某些数学问题，可收到事半功倍的效果.现举几例巧用平移变换解决的问题，供同学们学习时参考.某医院用一个边长为1米的正方形材料制作一个红十字会的大型的“十字”标志.如图1，在正方形的四个角上挖去四个相同的小正方形即制作而成，则这个“十”字标志的周长为_________米.段向左能够移或向右平移，可以正好组成正方形的竖直两条.这样这个“十字”标志的周长正好等于大正方形的周长.而这个图1大正方形的周长为4米，所以应填4.如图2，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上，修筑同样宽的二条道路，余下的部分作为蔬菜地，根据图中数据，计算蔬菜地面积为_________.分析：把两条道路平移到边上去，如图3所示，则四块空白部分（即蔬菜地）可组成长（30－1）=29（m ），宽（20－1）=19（m ）的矩形，所以29×19=551（m2）.即蔬菜地的面积为551m2.1m30m 29m图2 图3要给如图4所示的楼梯铺上地毯，数据如图所示，问共需地毯多长？分析：由于台阶级数未知，每级台阶的宽和高也未知，故直接求解不易.图4需地毯的米数为8+4=12（米）有一种叫“俄罗斯方块”的电脑游戏，游戏规则是这样的：通过平移等变换，使所给的各种各样的方块排满每一横行，每排满一行，便消去一行，得100分；同时排满2行，得300分；依此类推.假如现在在电脑屏幕上显示的图形如图5乙丙应如何平移甲、乙、丙三个方块，才能消去1100分？甲分析：甲方块左移2小格，下移1方块右移1小格，下移6小格；丙方块下移6小格至屏幕图5右下角.这样就排满1行，得到100分.。

七年级数学下册第七章相交线与平行线素材：对一道典例的思考例：如图1，在方格纸中平移三角形ABC，使点A移到点M，点B和点C应移到什么位置？再将点A由点M移到点N，分别画出两次平移后的三角形；如果直接平移三角形ABC，使点A移到点N，它和我们图1 图2 图3分析：本题考查利用平移变换作图，作图的依据是平移的性质“连接各组对应点的线段平行且相等”.只须作出点B和点C的对应点，就可以作出平移后的三角形.解：如图2，连接AM，过点B作AM的平行线BD，且在其上截取BD=AM，则点D就是点B的对应点，即点A平移到点M时，点B平移到点D.用同样的方法可以作出点C的对应点E，即点A平移到点M时，点C 平移到点E.连接ME.MD.DE，即得到平移后的三角形MDE.当点A由点M移到点N时，用同样的方法可以作出点D的对应点Q和点E的对应点P，连接NP、NQ、QP，即得到平移后的三角形NQP.用同样的方法可以作出使点A直接平移到点N的三角形，它和“先将点A 移到点M ，再将点A 由点M 移到点N”时平移后的三角形位置相同，如图3所示.从以上我们可以看出：要将一个图形从一个位置平移到另一个位置，既可以直接平移，也可以分步平移，都可以到达同一位置.或者说，将一个图形从一个位置平移到另一个位置时，虽然移动路径（或方法）不同，但可以殊途同归，到达同一位置.因此，平移三角形ABC ，使点A 移到点N 时，我们也可以这样平移：先将三角形ABC 向下移动6格，再向右移动3格，如图4；当然也可以这样平移：先将三角形ABC 向右移动3格，再向下移动6格，如图5.这两种平移方法是比较简捷的方法，因为它不需要作平行线.还有别的平移方法吗？不妨动手移一移.图4 图5如果平移三角形ABC ，使点A 移到点N ，还有更简捷的方法.我们可以把点C 看作是点A 向右平移2格得到的，点B 看作点A 向下平移3格得到的，根据这个信息，将点N 向右平移2格即可得到点P ，将点N 向下平移3格即可得到点Q ，连接NP 、NQ 、QP ，即得到平移后的三角形NQP.。

七年级数学下册第七章相交线与平行线素材：平移的实际应用平移是现实生活中广泛存在的一种现象，是现实世界运动变化的最简捷形式之一，在现实生活和生产中有着广泛的应用，请看下面几例. 例1.如图1，在长方形ABCD 中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（ ）图1（A ）bc －ab ＋ac ＋c2 （B ）ab －bc －ac ＋c2（C ）a2＋ab ＋bc －ac （D ）b2－bc ＋a2－ab 解析：利用“平移不改变图形的形状和大小”这一性质可迅速解决本题.由图形知，四个空白四边形经过平移可以组成一个长方形，其长为（a c -），宽为（b c -），所以面积为：（a c -）（b c -）=2ab ac bc c --+.故选（B ）.说明：这里通过平移的知识，避免了对图形的分割，从而随时求解过程简洁、明快.例2.如图，一个楼梯的总长度为5米，总高度为4米，若在楼梯上铺地毯，至少需要多少米？解析：如图，将竖直的线段都平移到BC上，将水平的线段都平移到AB上，•由此可知折线AC的长等于AB与BC的和.故地毯的总长至少为5+4=9（米）.说明：运用平移、化局部为整体、化折线为线段是解决这类题的常用方法.例3.图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均b）：图3－1图3－2图3－3●在图3－1中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；●在图3－2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）.（1）在图3－3中，请你类似地画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1＝__________，S2＝__________，S3＝__________.（3）联想与探索图3－4如图3－4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草场地面积是多少？并说明你的猜想是正确的.解析：画图（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致）S1＝ab－b，S2＝ab－b，S3＝ab－b猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab－b方案：1.将“小路”沿在左右两个边界“剪去”；2.将左侧的草地向右平移一个单位；3.得到一个新的长方形（如右图）.理由：在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是b，其水平方向的长变成了a－1，所以草地面积就是b（a－1）＝ab－b.说明：在前面的三个图形中，常规的办法是利用平行四边形（或分割成多个平行四边形）的面积计算来求阴影部分的面积，进而计算空白部分的面积.但是当阴影部分的左右边界由折线变为任意的曲线时，计算的方法已经不再适用，因此我们考虑图形的拆分和拼接，利用平移得到空白部分构成的“简单”图形来计算草地面积，从而使问题迎刃而解，另外，我们在前面三个图形中，利用平移知识，将图形沿两个边界“剪去”，将空白部分平移，得到一个新的长方形，其长为1a -，宽为b ，面积为(1)a b ab b -=-.此中考题便利用平移的知识顺利求解.。

七年级数学下册第七章相交线与平行线素材：生活中的平移平移在生活中的用途随处可见，并且经常用到。

现请看。

例题： 如图1，在高2米，宽3．5米的楼梯表面铺地毯，地毯的长需 米。

析解：本题若按一般思路求解，需要分别求出每一段台阶所需地毯的长度（水平部分长度+垂直部分的长度）然后乘以台阶的级数．但是，本题中， 每一级台阶的长和高都是未知的，所以我们无法求得每级台阶所需地毯的长度，这时就需要我们变换角度来思考。

在此题中尽管每级台阶的长和高都是未知的，但应充分注意到并利用好题中的已知条件，即竖直高度和水平宽度都是已知的，故我们可利用“平移”来解决。

如图2。

我们可以把每级台阶的高平移到楼梯的高上去，即可得各级台阶的高之和为楼梯的高。

同法可得，各级台阶的长度之和等于楼梯的宽度。

因此，楼梯表面所需地毯的总长度为：2+3.5=5.5（米）图12m3m 图2下面请你动手试一试，做一做。

1．如图3，某建筑物BC直立于水平地面，高5．196米。

现要建造阶梯AB，使每级台阶的高不超过20厘米，以便登上建筑物的顶部，则此阶梯至少要建阶（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算）。

CA B图32．如图4（左），一块长150米、宽70米的矩形耕地，被踩出了两条宽2米的弯曲小路，（即各部宽均为2米。

数学语言：过A.B间任一点作AD的平行线，被每条小路截得的线段长都是2米）。

为扩大耕种面积，决定把两条路改为一条同样、同宽的路。

现仅从浪费土地面积考虑，有人说S1大，有人说S2大。

请你用数学知识向他们说明S1 S2（S表示小路面积，填＞或＜或=，并解释理由为：。

参考答案：1. 26阶；2. =，想象将“小路”（左）沿着左右两个边界“剪去“，将左（右）侧的耕地向右（左）平移2米，得到一个新的矩形土地如图4（右），同理，剪去”小路“右同上，故若仅从浪费土地面积看，走哪条路都一样。

A DBC A'D'B'C's 1s 2s 2图4。

七年级数学下册第七章相交线与平行线素材：抓住平移的特征巧解题平移是一种全等变换，由于具有可操作性，因而是考查同学们动手能力、观察能力的好素材，也就成了进几年中考试题中频繁出现的内容.题型多以填空题、计算题呈现.在解答此类问题时，我们通常根据平移的特征求解.例1（广东梅州）观察下面图案，在（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（ ）析解：由于图形的平移变换中，图形的形状、大小、方向不发生改变，只是改变了图形的位置，故答案为（C ）.例2 （晋江市）如图1，△ABC 平移到△C B A '''，则图中与线段A A '平行且相等的线段有 条.析解：本题抓住平移的特征：平移前后图形的对应点的连线平行且相等，可以得出图中与线段A A '平行且相等的线段有2条.例3 （湖南郴州课改）如图2，将边长为2个单位的等边△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ ） 图1 ABC ’A ’B ’（A ） （B ） （C ） （D ）（1）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12析解：本题抓住平移的特征：平移前后图形的对应线段相等，对应点的连线相等且等于图形平移的距离，所以2==AC DF ，2==BC EF ，1==AD BE ，又因为2=AB ，所以周长为：812212=++++=++++AD DF EF BE AB ，故选（B ）.例4（广东）如图3，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）（A ）21 （B ）26 （C ）37 （D ）42析解： 要求这个图形的周长，如果将图形中的阶梯线条分别求出来比较困难，因此，本题抓住平移的特征：平移前后图形的形状和大小都没有发生变化，将图形中的阶梯线条向外平移，正好得到一个长为16、宽为5的长方形，所以得到此多边形的周长为42.故答案为（D ）. 点评：这几个中考题都考的是基础知识、基本技能，由这几个题我们可以认识到基本知识是非常重要的，中考题并不难，关键是看我们基础知识、基本技能有没有掌握住. F EDC B A 图2 图3。

平移在实际生活中的应用平移是图形的一种基本变换，在日常生活应用也十分广泛.现举例说明：例1．如图1（a），在长为a m，宽为b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余m；如图1(b），现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为下草坪的面积可表示为______2m．1m的弯曲小路，则此时余下草坪的面积为_______2解析：利用“平移不改变图形的形状和大小”这一性质可使本题迅速解决.由图形可知，图1（a）和图1(b)的阴影部分经过平移可以组成一个长方形，如图1（c）.则图1（a）中的长为a，宽为(b-1)，所以面积为：a（b－1）＝ab－a；图1(b)中的长为a，宽为(b-1)，所以面积为：a（b－1）＝ab－a.说明: 这里通过平移的知识，使求解简洁、方便.例2．如图2，在高为2米，水平距离为3米楼梯的表面铺地毯，地毯的长度至少需____米．解析：把每阶楼梯的高沿水平方向平移，和就是楼梯的总高度；把每阶楼梯的宽沿竖直方向平移正好构成了楼梯的总长度，再把楼梯的总高度和总长度相加，即得地毯的长度至少需2+3=5（米）．例3.如图3，从A地到B地经过一条小河（河岸平行），今欲在河上建一座桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？解析：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图3，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM+BN最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连结BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN 即为所建的桥.例4.“小小竹排江中游，滔滔江水向东流……”这首歌是那样熟悉、那样亲切，现在我们来研究一个关于竹排的问题.如图4，静止的湖面上，西南风将一块四边形的竹排以每分钟0.5米的速度向前推进，问10分钟后此竹排沿着什么方向平移了多少米？画图表示.解析：由题意可知，竹排平移的方向为西南风的方向即北偏东45°，竹排平移的距离为0.5×10=5（米）.画图如图5所示.生活中利用平移解决问题的例子还有很多，如室内地面砖图案，电梯上下移动，火车在笔直的铁轨上飞驰等都采用了平移变换的思想，给生活带来了方便.3.3 公式法第1课时用平方差公式因式分解【知识与技能】会用平方差公式进行因式分解.【过程与方法】经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、“换元”、“整体”的思想，感受数学知识的完整性.【情感态度】在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.【教学重点】掌握公式法中的平方差公式进行分解因式.【教学难点】灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性.一、情景导入，初步认知填空：(1)(x+5)(x-5)= ；(2)(3x+y)(3x-y)= ；(3)(3m+2n)(3m-2n)= .它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：x2－25= ;9x2－y2= ;9m2－4n2= .【教学说明】对平方差公式进行复习，利于本节课的教学.二、思考探究，获取新知1.探究如何把x2-25因式分解？我们以前学过平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,把这个公式从右到左地使用，得a2-b2=(a+b)(a-b)x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)【归纳结论】像那样，把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.2.找特征：a2-b2=(a+b)(a-b)(1)公式左边：(是一个将要被分解因式的多项式)被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成 ( )2－( )2的形式.(2)公式右边:(是分解因式的结果)分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.3.下列各式能用平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)分解因式吗？a、b分别表示什么？把下列各式分解因式；(1)x2－1；(2)m2－9；(3)x2－4y2.采用抢答形式.【教学说明】学生进一步理解能用平方差公式分解多项式的特点.三、运用新知，深化理解1.见教材P63~64例1、例2、例3、例4.2.下列多项式能转化成( )2－( )2的形式吗？如果能，请将其转化成( )2－( )2的形式.(1)m2－81=m2－92；(2)1－16b2=12－(4b)2；(3)4m2+9，不能转化为平方差形式；(4)a2x2－25y2=(ax)2－(5y)2；(5)－x2－25y2，不能转化为平方差形式.3.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是(B)A.a2＋b2B.－a2＋b2C.－a2－b2D.－(－a2)＋b24.因式分解(x＋1)2－9(x－1)2.解：原式=4(2x－1)(2－x)5.将下列各式分解因式.(1)a2b2-a2c2；解：a2b2-a2c2=a2(b2-c2)=a2(b+c)(b-c)(2)-x5y3+x3y5；解：-x5y3+x3y5=x3y3(-x2+y2)=x3y3(x+y)(-x+y)(3)(a+b)2-9(a-b)2；解：(a+b)2-9(a-b)2=［(a+b)+3(a-b)］［(a+b)-3(a-b)］=(a+b+3a-3b)(a+b-3a+3b) =(4a-2b)(4b-2a)=4(2a-b)(2b-a)(4)p4－1.解：p4－1=(p2+1)(p2－1)=(p2+1)(p+1)(p-1)6.若a＋b=2014,a－b=1,求a2－b2的值.解：a2－b2=(a＋b)(a－b)=2014×1=20147.简便计算：(1)5652－4352；解：原式=(565+435)(565-435)=1000×130=130000(2)25×2652－1352×25.解：原式=25×(2652－1352)=25×(265+135)(265－135)=25×400×130=1300000【教学说明】在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现错误的地方.四、师生互动,课堂小结1.本节课我们主要学习了运用平方差公式进行因式分解，利用平方差公式时主要先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：①是一个二项式(或可看成一个二项式)；②每项可写成平方的形式；③两项的符号相反.2.在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式.3.分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止.1.布置作业:教材第66页“习题3.3”中第1题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课上下来我整体感觉完成了我课前设定的目标，学生能够很快地掌握利用平方差公式来进行因式分解，而且对一般形式的能使用平方差公式的多项式能够进行因式分解.学生在课堂上和老师的互动也比较好，自我感觉这节课上的比较成功.在复习了平方差公式后，通过一组由浅入深、由易到难的题组逐题递进，落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围.【整式的乘法】尊敬的各位评委、各位老师 :大家好 ! 今天我说课的题目是【整式的乘法】 , 下面我就教材、教法与学法指导、教学设计和教学反思四个方面来向大家介绍一下我対本节课的理解与设计。