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第5 章非周期信号实频域分析本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换非周期信号f(T F(jω)∫+∞∞−−=tet f F td )()j (j ωωωωπωd )j (21)(j teF t f ∫+∞=傅里叶反变换=说明：F∫∞−2122d sin )(d cos )()(⎥⎤⎢⎡⎟⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛=∫∫∞∞t t t f t t t f j F ωωω所以：∫∫∞∞−∞∞−−=tt t f t t t f d sin )(j d cos )(ωωπ2∫∞−π2∞−∫∫∞∞−+=ωωϕωωπd)](cos[)j(21tFωωϕωωd)](sin[)j(j∫∞++tF典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号单边指数信号双边指数信号直流信号单位冲激信号符号信号矩形脉冲信号02τ−τ2τE矩形脉冲信号（续）F)(ωj单边指数信号0t单边指数信号（续）1双边指数信号0t双边指数信号（续）直流信号有些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，ε(t ) 等，但傅里叶变换却存在。
2202lim )j (ωααωα+=→F )0()0(≠=ωω因此，直流信号的频谱函数可能为一冲激函数，下面求其大小。
π2=1)(=t f )(∞<<−∞t 不满足绝对可积条件ωωααd 222∫∞∞−+)(d )(122αωαω∫∞∞−+=∞∞−=αωarctan 2直接用定义式不好求解，可用间接的方法。
如：直流信号的频谱函数可看作双边指数信号频谱在α→0时的极限:⎩⎨⎧∞+=0直流信号（续）所以，直流信号的频谱是：单位冲激信号=t fδ)(t)(t符号函数⎩⎨⎧<−>==0101)sgn()(t t t t f 构造函数：[=t11−0可积条件符号函数（续）[] F傅里叶变换对eαjω+本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换的性质线性性质时移性质频移性质尺度变换性质对称性卷积定理时域微分积分特性频域微分积分特性调制特性线性性质== [[解：22‖例：已知f(t), 求F(jω)‖-解： f (t) = f1(t) –g2(t)f1(t) = 1 ↔2πδ(ω)可知：g2(t) ↔2Sa(ω)∴F( jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)由gτ(t) ↔τSa(ωτ/2)时移性质=[解：‖例求F (j ω)。
实验四 非周期信号频域分析1 实验目的(1) 掌握傅里叶变换的分析方法及其物理意义。
(2) 掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质。
(3) 学习掌握利用MA TLAB 语言编写计算CTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 的若干重要性质。
2 实验原理及方法2.1连续时间信号傅里叶变换——CTFT傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。
傅里叶变换和其逆变换定义如下：⎰∞∞--=dt e t x j X t j ωω)()( 4-1 ⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 4-2连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，它可以被看作是由无穷多个不同频率(这些频率都是非常的接近)的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。
X(j ω)通常为关于ω的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω)其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱， ∠X(j ω)称为x(t)的相位谱。
给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱是连续且非周期的。
对于连续时间周期信号，也可以用傅里叶变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换是由冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。
2.2 用MA TLAB 实现CTFT 及其逆变换2.2.1 用MATLAB 实现CTFT 的计算MA TLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算，本实验采用数值计算的方法。
严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号，也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。
非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换前面已讨论了周期非正弦信号的傅里叶级数展开，下面来分析非周期信号的傅里叶变换。
当周期信号的重复周期t无限增大时，周期信号就转化为非周期信号（单个不重复信号），如对于周期矩形脉冲波，当周期t趋于无穷大时，周期信号就转化为单个非周期脉冲。
从例6-1-2的结果可知，此时信号频谱间隔趋于零，即谱线从离散转向连续，而其振幅值则趋于零，信号中各分量都变为无穷小。
尽管各频率分量从绝对值来看都趋于无穷小，但其相对大小却是不相同的。
为区别这种相对大小，在周期t趋于无穷大时，求的音速，并定义此极限值为非周期函数的频谱函数，即离散的频谱转为连续频谱，上式可改为：（6-4-1）对于一个非周期信号，可以由上式算出其频谱函数，同理若未知非周期信号频谱函数，则也可求出其时域表达式。
其计算式为：（6-4-2）式（6-4-1）与式（6-4-2）是一对傅里叶积分变换式，式6-4-1把时域信号切换为频域的频谱函数信号，称作傅里叶正转换。
而式6-4-2就是把频域信号变换为时域信号，称为傅里叶逆变换。
进行傅里叶变换的函数需满足狄里赫里条件和绝对可积条件。
基准6-4-1 求图6-4-1a右图的单个矩形波的频谱函数，并作振幅频谱与相位频谱图。
图6-4-1解：单个矩形波的频谱函数为：它的幅度频谱与增益频谱例如图6-4-1b、c右图。
从振幅频谱图上可见，矩形脉冲信号所包含的频率分量随频率增大而很快减小，信号主要成份集中于之间，即为频率宽度为。
如果脉冲宽度变窄，即值变小，则信号主要频率分量所占的频率范围就变大。
反之当脉冲变宽，值变大，则其主要频率分量范围就变小。
对于一个较窄的脉冲信号，如果电路要使它通过，则电路的特性必须能使较大频率范围的所有信号都能通过。
傅里叶变换在信号分析与处理中有重要意义。
第三章傅里叶变换本章提要：◆傅里叶级数（Fourier Series）◆非周期信号的傅里叶变换◆傅里叶变换的性质◆周期信号的傅里叶变换◆采样信号和采样定理J.B.J. 傅里叶（Fourier）◆1768年生于法国◆1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”，但其数学证明不很完善。
◆拉普拉斯赞成，但拉格朗日反对发表◆1822年首次发表在《热的分析理论》◆1829年狄里赫利第一个给出收敛条件周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示傅里叶分析方法的应用：（1）泊松（Possion）、高斯（Gauss）等将其应用于电学中；（2）在电力系统中，三角函数、指数函数及傅里叶分析等数学工具得到广泛的应用。
（3）20世纪以后，在通信与控制系统的理论研究与实际应用中开辟了广阔的前景。
（4）力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等得到广泛而普遍的应用。
§ 3.1 周期信号的傅立叶级数◆三角函数形式的傅里叶级数◆复指数形式的傅里叶级数◆几种典型周期信号的频谱◆吉伯斯现象一、三角函数形式的傅里叶级数∞Tianjin University Tianjin University二、复指数形式的傅里叶级数周期信号的复数频谱图三、几种典型周期信号的频谱+-1T t tjn ωTianjin UniversityTianjin University∞n A τωτ思考题：KHz T f T 100101011 26=⨯===-，πω2. 奇函数：f (t )= -f (-t)1tω只含正弦项n F =3.奇谐函数T四、吉伯斯现象)(t f有限项的N越大，误差越小例如: N=11§ 3.2 非周期信号的傅立叶变换∞从物理意义来讨论傅立叶变换(FT)Tianjin University Tianjin UniversityTianjin UniversityTianjin University )0>arctg -=)(t f时域中信号变化愈尖锐，其频域所包含的高频分量就愈丰富；反之，信号在时域中变化愈缓慢，其频域所包含的低频分量就愈多。
信号与系统
非周期信号的傅立叶变换分析
一、实验目的 ：
(1)熟悉连续非周期信号频谱特点及其分析方法；
(2)掌握用MATLAB 实现傅立叶变换，作出其频谱图（幅度频谱和相位频谱）；
(3)了解常用的傅里叶变换的性质的MATLAB 实现方法；
二、实验原理：
当周期信号的周期T →∞时，周期信号就变成了非周期信号，由此可以利用周期信号的频谱推出非周期信号的频谱。
与周期信号相似，非周期信号可以分解为无数个频率为ω，复振幅为[()/2]F j d ωπω的虚指数信号j t e ω的线性组合，即
1()()2j t f t F j e d ωωωπ∞
-∞=⎰ （1） 其中 00()n n F j C T ωωω== （2）
（2）称为Fourier 正变换，（1）称为Fourier 反变换。
不同的非周期信号都可以表示为上述形式，所不同的只是虚指数信号j t e ω前面的加权系数()F j ω不同。
()F j ω是随频率变化的函数，与周期信号的频谱相似也成为信号频谱函数，它是反映非周期信号特征的重要参数。
非周期信号的频谱与周期信号的频谱物理概念相似，但却有区别：
（1）周期信号的频谱为离散频谱，非周期信号的频谱为连续频谱。
（2）周期信号的频谱为n C 的分布，表示每个谐波分量的复振幅；而非周期信号的频谱为()F j ω的分布，[()/2]F j d ωπω表示合成谐波分量的复振幅，所以也将()F j ω称为频谱密度函数。
离散频谱和连续频谱两者关系为
00()lim n T F j T C ω→∞
= 0
0()n n F j C T ωωω==
三、实验内容： (1) 通过以上原理求时域信号f(t)=e (-t+1) u(t-1/2)的频谱函数 结果为F （jw ）= （1/1+jw ）*e 1/2(1-jw)
(2)利用MATLAB作出其幅度频谱和相位频谱以下为图和代码function y=sf2(t,w);
y=(t>=1/2).*exp(-t+1).*exp(-j*w*t);
w=linspace(-20,20,500);
N=length(w);F=zeros(1,N);
for k=1:N
F(k)=quadl('sf2',1/2,100000000,[],[],w(k)); end
figure(1);
plot(w,abs(F));
xlabel('\omega');
ylabel('|F(j\omega)|');
figure(2);
plot(w,angle(F));
xlabel('\omega');
ylabel('F£¨Ïà룩');
-20-15-10-505101520
00.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
ω|F (j ω)|
F （jw ）的幅度频谱
-20-15-10-505101520
-4-3
-2
-1
01
2
3
4
F （相位）
F(jw)的相位频谱
四、实验结论：
(1) 非周期信号的频谱为连续的，且当f(t)为实信号时，其幅度频谱关于w 偶对称，而相位频谱关于w 奇对称
(2) 信号在时域中持续时间无限，则在频域其频谱有限
五、实验感想：
通过本次试验，我学会使用MATLAB 实现连续时间信号的傅里叶变换，经比较，计算结果与仿真结果一致，非周期信号经傅里叶后，信号图形是连续的，在实验过程中，由于不细心经常会出现一些错误，导致实验无法进行，在以后的仿真实验中一定要仔细检查，注意细节。
