第四节 线性方程组的解结构

线性方程组解的结构
线性方程组的解的结构是线性空间。

线性方程组是数学中一个很重要
的概念，它是由多个线性方程组成的方程组。

线性方程组是指所有未知量
的各个线性方程组成的一个方程组。

线性方程组的解的结构本质上是线性
空间的结构。

线性空间是指一个能进行线性运算的集合。

线性空间具有加法运算和
数乘运算，而且满足线性运算的性质。

线性方程组的解符合线性空间的定义，因此可以将线性方程组的解看作是线性空间中的向量。

首先，线性方程组的解是一个向量空间。

向量空间是线性空间的一种
特殊情况，它是一个向量的集合，可以进行线性运算。

在线性方程组中，
解是通过求解方程组得到的向量。

其次，线性方程组的解是一个子空间。

子空间是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。

线性方程组的解是通过线性运算得到的，所以它
也是线性空间中的子空间。

1.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
唯一解。

2.如果矩阵的秩小于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
无穷多解。

3.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，但是矩阵的秩小于
矩阵的列数，那么线性方程组有无解。

总之，线性方程组的解的结构是线性空间，它满足线性空间的定义和
性质。

线性方程组的解是线性空间中的向量，该向量可以通过矩阵运算来
求解。

线性方程组的解的结构与矩阵的秩有密切的关系，矩阵的秩决定了线性方程组的解的结构。

线性方程组的解的结构是线性空间及其应用的一个重要领域，它在数学和工程中都有广泛的应用。

为该方程组的解，则
x11
x
x
21
x
n1
称为方程组的解向量．
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解．
证明： A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 ．
性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kx 还是 Ax = 0 的解．
证明： A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 ．
结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.
b22 xr+2
b1,nr xn , b2,nr xn ,
xr br1 xr+1 br 2 xr+2 br,nr xn .
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
线性方程组 的通解
x1
x2
b11c1 b12c2 b21c1 b22c2
基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：x1, x2, ..., xr
如果满足
① x1，x2，...，xr 线性无关； ② 方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
设 R(A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵为

c1
1 0
c2
0 1
k1
1 1
k2
2 2
1
0
0
1
得 c1 k2
cc12
k1 k1
2k2 2k2
c1 k2
即 c1 k2 0
cc12
k1 k1
2k2 2k2
0 0
c1 k2 0
解得 c1 k2，c2 k2，k1 k2.
取
k2 k 0,
则方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的公共解为
(kk21
(k1 k2 )
k2 k2
)0 0
解之得到
k1 k2.
当k1 k2 0时，向量
k1(0,1,1, 0)T k2 (1, 2, 2,1)T k2[(0,1,1, 0)T (1, 2, 2,1)T
满足方程组(Ⅰ).
k2 (1,1,1,1)T
并且它也是方程组(Ⅱ)的解，故它是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的 公共解.
定理3.17 若0是非齐次线性方程组AX=b的一个解，则方程组 AX=b的任意一个解 都可以表示为 0 其中 是其导出组AX=0的某个解，0称为方程组
AX=b的一个特解.
例7 求线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 3x5 5
3x1
2x1 4x2
x2 2x4 6x5 1 5x3 6x4 3x5
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
的一个基础解系.并求方程组的通解.
解 方程组中方程个数小于未知量的个数，所以方程组有 无穷多解.
对方程组的系数矩阵施以初等行变换，化为简化的阶 梯形矩阵：
3 1 6 4 2
A 2
2
3 5
3
1 5 6 8 6

3x5
令自由变量为任意实数
x1 2k1 k2 3k3
x2 x3
k1 4k2 5k3
x2 k1, x4 k2 , x5 k3
x4
k2
x5
k3
2
1
3
说明:
1
0ห้องสมุดไป่ตู้
0
1.基础解系不惟一
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
2.但所含向量的 个数唯一且等于n-R(A)
1
2
3
2
3 2
,2,
5 2
,3
T
0
通解为：X 2,3,4,5T k3,4,5,6T ,k R
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例6
x
1
x1
x2 x2
x3 x3
x4 0, 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解
A~
1 1
1 1
1 1
1 3
0 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 2,
2.如果当非齐次线性方程组Ax 有无穷多解时,
其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?
-2-
§4.1 线性方程组解的存在性定理
非齐次方程组解的判别定理
对于非齐次方程组 Amn x b(b 0)
(1) 有解 r( A) r( A~) 无解 r( A) r( A~)
(2) 有惟一解 r( A) r( A~) n (3) 有无限多解 r( A) r( A~) n 齐次方程组解的判别定理
（A）AX 0仅有零解，则AX b有唯一解
（B）AX 0有非零解，则AX b有无穷多解 （C）AX b有无穷多解,则AX 0仅有零解