高等数学(复旦大学版)第九章 多元函数微分学的应用

多元函数微分学的应用一、极值问题多元函数微分学最重要的应用之一是求解极值问题。

通过求取函数的偏导数，我们可以找到函数的极值点。

这对于经济学家、物理学家和其他相关领域的研究者来说是非常重要的。

例如，在经济学中，我们可以使用多元函数微分学来确定产品的最优产量和价格，以使利润最大化。

在物理学中，我们可以使用多元函数微分学来优化力学系统的能量和动量。

二、方向导数与梯度方向导数是一个重要概念，它描述了函数在其中一点沿着一些方向的变化率。

梯度是一个向量，它指向函数值增加最快的方向，并且梯度的模表示函数在其中一点的最大变化率。

方向导数和梯度在工程技术中的应用非常广泛。

例如，在机器学习中，我们可以使用梯度下降算法来优化模型的参数，以最小化损失函数。

三、偏微分方程偏微分方程是描述自然现象的重要数学工具，包括热传导、扩散、波动等。

多元函数微分学为解偏微分方程提供了重要的数学基础。

通过偏微分方程的分析解或数值解，我们可以深入了解自然现象的行为和性质。

例如，在工程技术中，我们可以使用多元函数微分学来解决电磁场、弹性力学和流体力学等方面的问题。

四、约束优化约束优化是指在满足一定条件下找到使目标函数最大或最小的参数的问题。

多元函数微分学是解决约束优化问题的重要工具。

通过拉格朗日乘数法，我们可以将约束优化问题转化为无约束优化问题，并应用多元函数微分学的方法求解。

约束优化问题在经济学、运筹学和供应链管理等领域有着广泛的应用。

例如，在经济学中，我们可以使用约束优化来确定消费者的最优选择。

五、多元函数积分学多元函数微分学与多元函数积分学是紧密相关的。

多元函数微分学提供了计算多元函数导数的方法，而多元函数积分学则通过对函数的积分来研究函数的整体性质。

应用多元函数积分学，我们可以计算多元函数在其中一区域上的平均值、总值和概率密度等。

多元函数积分学在统计学、物理学和金融工程学等领域有广泛的应用。

例如，在统计学中，我们可以使用多元函数积分学来计算多维随机变量的期望和方差。

多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学在实际生活中有多种应用。

以下是其中几个常见的应用：
1. 最值问题：多元函数的微分学可以用来解决最值问题，例如优化问题，找到函数的最大值或最小值。

这种应用广泛用于物流、金融和工程等领域，其中包括确定最小成本生产和最大利润等问题。

2. 等高线图：多元函数的微分学也可以用来绘制等高线图。

等高线图常常用于表示地形，如山地，海底地形，或者用于表示等值线，如等压线，等温线和等高线等。

3. 导航系统：对于导航系统而言，通过多元函数微分学，不仅能够实时计算用户之间的距离，还能推断用户的行车方向，从而更好地指引用户前进方向。

4. 工程应用：对于工程师而言，他们会使用多元函数的微分学去计算关键参数，例如建筑物的结构支持力量、材料的伸缩性，以及各种形态的机器件等。

5. 统计分析：多元函数的微分学也可以帮助人们进行数据建模、数据预测，诸如对群体的群体大小计算以及分析等等。

在这种场合下，多元函数的微分学可帮助人们发现数据之间的关联以执行信息预测等任务。

总之，多元函数的微分学在实践中具有广泛应用，并为许多领域提供了重要的工
具和方法。

第九章 多元函数微分法及其应用§8 1 多元函数的基本概念一、平面点集 n 维空间1．平面点集 二元的序实数组(x y)的全体 即 R2 R R {(x y)|x y R}就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记作E {(x y)| (x y)具有性质 P} 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C {(x y)| x2 y2 r2} 如果我们以点 P 表示(x y) 以|OP|表示点 P 到原点 O 的距离 那么集合 C 可表成C {P| |OP| r}邻域 设 P0(x0 y0)是 xOy 平面上的一个点 是某一正数 P (x y)的全体 称为点 P0 的 邻域 记为 U (P0与点 P0(x0 y0)距离小于 的点 即U(P0, ) {P| | PP0 |} 或U(P0, ) {(x, y)| (xx0)2 (y y0)2 }邻域的几何意义 U (P0 )表示 xOy 平面上以点 P0(x0 y0)为中心、 >0 为半径的圆 的内部的点 P (x y)的全体 点 P0 的去心 邻域 记作U (P0, ) 即U(P0, ) {P| 0 | P0P|}注 如果不需要强调邻域的半径邻域记作U (P0)则用 U (P0)表示点 P0 的某个邻域 点 P0 的去心点与点集之间的关系任意一点 P R2 与任意一个点集 E R2 之间必有以下三种关系中的一种(1)内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得 U(P) E 则称 P 为 E 的内点(2)外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) E则称 P 为 E 的外点(3)边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点 也有不属于 E 的点 则称 P 点为 E 的边点E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作 EE 的内点必属于 E E 的外点必定不属于 E 而 E 的边界点可能属于 E 也可能不属于E聚点如果对于任意给定的 0 点 P 的去心邻域U (P, ) 内总有 E 中的点 则称 P 是 E的聚点由聚点的定义可知 点集 E 的聚点 P 本身 可以属于 E 也可能不属于 E 例如 设平面点集E {(x y)|1 x2 y2 2} 满足 1 x2 y2 2 的一切点(x y)都是 E 的内点 满足 x2 y2 1 的一切点(x y)都是 E 的 边界点 它们都不属于 E 满足 x2 y2 2 的一切点(x y)也是 E 的边界点 它们都属于 E 点集 E 以及它的界边 E 上的一切点都是 E 的聚点开集 如果点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集 闭集 如果点集的余集 E c 为开集 则称 E 为闭集 开集的例子 E {(x y)|1<x2 y2<2}闭集的例子 E {(x y)|1 x2 y2 2}集合{(x y)|1 x2 y2 2}既非开集 也非闭集连通性 如果点集 E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称 E 为连通集区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如 E {(x y)|1 x2 y2 2}闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如 E {(xy)|1 x2 y2 2}有界集 对于平面点集 E 如果存在某一正数 r 使得E U(O r)其中 O 是坐标原点 则称 E 为有界点集无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集例如 集合{(x y)|1 x2 y2 2}是有界闭区域 集合{(x y)| x y 1}是无界开区域集合{(x y)| x y 1}是无界闭区域2 n 维空间设 n 为取定的一个自然数 我们用 Rn 表示 n 元有序数组(x1 x2 体所构成的集合 即xn)的全Rn R R n}R {(x1 x2xn)| xi R i 1 2Rn 中的元素(x1 x2 xn) 当所有的 xi (i 1 2记为 0 或 O 在解析几何中xn)有时也用单个字母 x 来表示 即 x (x1 x2 n)都为零时 称这样的元素为 Rn 中的零元通过直角坐标 R2(或 R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而 Rn 中的元素 x (x1 x2xn)也称为 Rn 中的一个点或一个 n 维向量 xi 称为点 x 的第 i 个坐标或 n 维向量 x 的第 i 个分量 特别地 Rn 中的零元 0 称为 Rn 中的坐标原点或 n 维零向量为了在集合 Rn 中的元素之间建立联系 在 Rn 中定义线性运算如下设 x (x1 x2 R 规定xn) y (y1 y2yn)为 Rn 中任意两个元素x y (x1 y1 x2 y2xn yn)x ( x1x2xn)这样定义了线性运算的集合 Rn 称为 n 维空间Rn 中点 x (x1 x2 (x y) 规定xn)和点 y (y1 y2yn)间的距离 记作(x, y) (x1 y1)2 (x2 y2)2 (xn yn)2显然 n 1 2 3 时 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一 至Rn 中元素 x (x1 x2 R3 中 通常将||x||记作|x|) 即xn)与零元 0 之间的距离 (x 0)记作||x||(在 R1、R2、|| x|| x12 x22 xn2采用这一记号 结合向量的线性运算 便得|| x y|| (x1 y1)2 (x2 y2)2 (xn yn)2 (x, y)在 n 维空间 Rn 中定义了距离以后 就可以定义 Rn 中变元的极限设 x (x1 x2xn) a (a1 a2an) Rn如果||x a|| 0 则称变元 x 在 Rn 中趋于固定元 a显然记作 x ax a x1 a1 x2 a2xn an在 Rn 中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到 n(n 3)维空间中来 例如设 a (a1 a2an) Rn 是某一正数 则 n 维空间内的点集U(a ) {x| x Rn (x a) }就定义为 Rn 中点 a 的 邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念二 多元函数概念例１ 圆柱体的体积 V 和它的底半径 r、高 h 之间具有关系 V r2h 这里 当 r、h 在集合{(r h) | r>0 h>0}内取定一对值(r h)时V 对应的值就随之确定 例 2 一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系其中 R 为常数 这里 对应值就随之确定p RT V当 V、T 在集合{(V T) | V>0T>0}内取定一对值(V T)时 p 的例 3 设 R 是电阻 R1、R2 并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系R R1R2 R1 R2这里 当 R1、R2 在集合{( R1 R2) | R1>0 R2>0}内取定一对值( R1 R2)时 R 的对应值就 随之确定 定义 1 设 D 是 R2 的一个非空子集 称映射 f D R 为定义在 D 上的二元函数 通常记为z f(x y) (x y) D (或 z f(P) P D) 其中点集 D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量上述定义中 与自变量 x、y 的一对值(x y)相对应的因变量 z 的值 也称为 f 在点(x y)处的函数值 记作 f(x y) 即 z f(x y)值域 f(D) {z| z f(x y) (x y) D} 函数的其它符号 z z(x y) z g(x y)等 类似地可定义三元函数 u f(x y z) (x y z) D 以及三元以上的函数 一般地 把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间 Rn 内的点集 D 映射 f D R 就称 为定义在 D 上的 n 元函数 通常记为u f(x1 x2 或简记为xn) (x1 x2xn) Du f(x) x (x1 x2 也可记为xn) Du f(P) P(x1 x2xn) D关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 u f(x)时 就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如函数 z ln(x y)的定义域为{(x y)|x y>0}(无界开区域) 函数 z arcsin(x2 y2)的定义域为{(x y)|x2 y2 1}(有界闭区域) 二元函数的图形 点集{(x y z)|z f(x y) (x y) D}称为二元函数 z f(x y)的 图形 二元函数的图形是一张曲面例如 z ax by c 是一张平面 而函数 z=x2+y2 的图形是旋转抛物面三 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在 P(x y) P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值 f(x y)无限接近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y) (x0 y0)时的极限定义 2设二元函数 f(P) f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果存在常数 A 对于任意给定的正数 总存在正数使得当 P(x, y)DU(P0, ) 时 都有|f(P) A| |f(x y) A| 成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y) (x0 y0)时的极限 记为也记作lim f (x, y) A(x, y)(x0, y0)或 f(x y) A ((x y) (x0 y0))lim f (P) APP0或 f(P) A(P P0)上述定义的极限也称为二重极限例 4.设f(x,y)(x2y2)sinx21 y2证 因为lim f (x, y) 0求证 (x, y)(0,0)|f(x,y) 0 || (x2y2)sinx21 y20||x2y2||sinx21 y2|x2y2可见 >0 取 则当 0 (x0)2 (y0)2 即 P(x, y)DU(O, ) 时 总有|f(x y) 0|lim f (x, y) 0因此 (x, y) (0,0) 必须注意 (1)二重极限存在 是指 P 以任何方式趋于 P0 时 函数都无限接近于 A (2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论f(x,y) xy x2 y2x2 y2 0函数 0x2 y2 0 在点(0 0)有无极限 提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时lim f (x, y) lim f (x, 0) lim 0 0(x, y)(0,0)x0x0当点 P(x y)沿 y 轴趋于点(0 0)时lim f (x, y) lim f (0, y) lim 0 0(x, y)(0,0)y0y0当点 P (x y)沿直线 y kx 有lim(x, y)(0,0)xy x2 y2limx0k x2 x2 k2x2k 1 k2ykx因此 函数 f(x y)在(0 0)处无极限极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似lim sin(xy) 例 5 求 (x, y)(0,2) x解lim sin(xy) lim sin(xy) y lim sin(xy) lim y(x, y)(0,2) x(x, y)(0,2) xy(x, y)(0,2) xy (x, y)(0,2)122四 多元函数的连续性定义 3 设二元函数 f(P) f (x y)的定义域为 D P0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0 D 如果lim(x, y)(x0, y0)f(x, y) f(x0,y0)则称函数 f (x y)在点 P0(x0 y0)连续 如果函数 f (x y)在 D 的每一点都连续 那么就称函数 f (x y)在 D 上连续 或者称f (x y)是 D 上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数 f(P)上去例 6 设 f(x,y) sin x 证明 f(x y)是 R2 上的连续函数证 设 P0(x0 y0) R20 由于 sin x 在 x0 处连续 故0当|x x0| 时 有|sin x sin x0|以上述 作 P0 的 邻域 U(P0 ) 则当 P(x y) U(P0 )时 显然|f(x y) f(x0 y0)| |sin x sin x0|即 f(x y) sin x 在点 P0(x0 y0) 连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数在R2 上连续证 对于任意的 P0(x0 y0) R2 因为lim(x, y)(x0, y0)f(x, y) lim sin(x, y)(x0, y0)x sinx0f(x0, y0)所以函数 f(x,y) sin x 在点 P0(x0 y0)连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数 在 R2 上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的定义 4 设函数 f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 P0(x0 y0)不连续 则称 P0(x0 y0)为函数 f(x y)的间断点例如如果函数 f(xy)在点f(x,y) xy x2 y2x2 y2 0函数 0x2 y2 0其定义域 D R2 O(0 0)是 D 的聚点 f(x y)当(x y) (0 0)时的极限不存在 所以点 O(0 0)是该函数的一个间断点又如函数zsinx21 y21其定义域为 D {(xy)|x2 y2 1}圆周 C {(xy)|x2 y2 1}上的点都是 D 的聚点 而 f(x y)在 C 上没有定义 当然 f(x y)在 C 上各点都不连续 所以圆周 C 上各点都是该函数的间断点注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的x x2 y2 例如 1 y2sin(x y)ex2 y2 z2 都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的 区域或闭区域由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数 f(P)在点 P0 处的极限 而该点又 在此函数的定义区域内 则limp p0f(P) f(P0)lim x y例 7 求 (x, y)(1,2) xyf (x, y) x y解 函数xy 是初等函数 它的定义域为D {(x y)|x 0 y 0} P0(1 2)为 D 的内点 故存在 P0 的某一邻域 U(P0) D 是 f(x y)的一个定义区域 因此而任何邻域都是区域lim f (x, y) f (1,2) 3(x, y)(1,2)2所以 U(P0)lim f (P)一般地 求 PP0时 如果 f(P)是初等函数 且 P0 是 f(P)的定义域的内点 则f(P)在点 P0 处连续 于是lim f (P) f (P0)P P0lim例 8 求 (x, y)(0, 0) 解xy 11 xylim xy11 lim ( xy11)( xy11) lim1 1(x,y)(0, 0) xy(x,y)(0, 0) xy( xy11)(x,y)(0, 0) xy 11 2多元连续函数的性质性质 1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域 D 上的多元连续函数 必定在 D 上 有界 且能取得它的最大值和最小值性质 1 就是说 若 f(P)在有界闭区域 D 上连续 则必定存在常数 M 0 使得对一 切 P D 有|f(P)| M 且存在 P1、P 2 D 使得f(P1) max{f(P)|P D} f(P2) min{f(P)|P D} 性质 2 (介值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间 的任何值§8 2 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数 z f(x y) 如果只有自变量 x 变化 而自变量 y 固定 这时它就是x 的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数 z f(x y)对于 x 的偏导数定义 设函数 z f(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时 相应地函数有增量如果极限f(x0 x y0) f(x0 y0)lim f (x0 x, y0) f (x0, y0)x0x存在 则称此极限为函数 z f(x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作例如zxx x0 y y0fxx x0 y y0zx xx0y y0或 fx(x0, y0)类似地fx(x0,y0)limx0f(x0 x,y0) xf(x0,y0)函数 z f(x y)在点(x0 y0)处对 y 的偏导数定义为lim f (x0, y0 y) f (x0, y0)y0y记作zyx x0 y y0fyx x0 y y0zy xx0y y0或 fy(x0 y0)偏导函数 如果函数 z f(x y)在区域 D 内每一点(x y)处对 x 的偏导数都存在 那么这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 z f(x y)对自变量 x 的偏导函数 记作z f x x zx 或 fx(x, y)偏导函数的定义式fx(x,y)limx0f(xx, y) xf(x, y)类似地 可定义函数 z f(x y)对 y 的偏导函数 记为z y偏导函数的定义式f y zy 或 f y(x, y)f y (x,y) limy0f(x,y y) yf(x, y)f 求 x 时 只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数而对 y 求导数 讨论 下列求偏导数的方法是否正确f 求 y 时只要把 x 暂时看作常量fx(x0, y0) fx(x, y) xx0y y0f y(x0, y0) f y(x, y) xx0y y0fx(x0,y0)[d dxf(x, y0)] xx0fy(x0,y0)[d dyf(x0, y)] yy0偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数 u f(x y z)在点(xy z)处对 x 的偏导数定义为fx(x,y,z)limx0f(xx, y,z) xf(x, y,z)其中(x y z)是函数 u f(x y z)的定义域的内点分法问题它们的求法也仍旧是一元函数的微例 1 求 z x2 3xy y2 在点(1 2)处的偏导数z 2x3y 解 xz 3x2y y例 2 求 z x2sin 2y 的偏导数z xx1 2132 8y2z 2xsin 2y 解 xz 2x2 cos2y y例 3 设 z xy(x 0, x 1)求证x z 1 z 2z y x ln x yz yxy1 证 xz xy ln xyx z 1 z x yxy1 1 xy ln x xy xy 2zy x ln x y yln xz yx1 y2 3122 7例 4 求 r x2 y2 z2 的偏导数r xx解 x x2 y2 z2 rr yyy x2 y2 z2 r例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数) p V T 1 求证 V T pp RT 证 因为 Vp VRT V2V RT V R p T pTpV RT V p R所以p VV TT pRT V2R pV RRT pV 1例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商二元函数 z f(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 fx(x0 y0) [f(x y0)]x 是截线 z f(x y0)在点 M0 处切线 Tx 对 x 轴的斜率 fy(x0 y0) [f(x0 y)]y 是截线 z f(x0 y)在点 M0 处切线 Ty 对 y 轴的斜率偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 函数在该点连续 例如f(x,y) xy x2 y2 0x2 y2 0 x2 y2 0在点(0 0)有 fx(0 0) 0 fy(0 0) 0 但函数在点(0 0)并不连续提示也不能保证f (x, 0) 0 f (0, y) 0fx(0,0)d dx[f(x,0)]0fy (0,0)d[ dyf(0,y)] 0当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 有lim f (x, y) lim f (x, 0) lim 0 0(x, y)(0,0)x0x0当点 P(x y)沿直线 y kx 趋于点(0 0)时 有lim(x, y)(0,0)xy x2 y2limx0x2k x2 k2x2k 1 k2ykxlim f (x, y)因此 (x, y)(0,0)不存在 故函数 f(x y)在(0 0)处不连续类似地 可定义函数 z f(x y)对 y 的偏导函数 记为z f y y zy 或 f y(x, y)偏导函数的定义式f y (x,y) limy0f(x,y y) yf(x, y)二 高阶偏导数设函数 z f(x y)在区域 D 内具有偏导数z xfx(x,y)z yfy(x,y)那么在 D 内 fx(x y)、fy(x y)都是 x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称 它们是函数 z f(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数 z f(x y)在区域 D 内的偏导数 fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数 z f(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数 x(z ) x2z x2fxx(x,y) y( z ) x2z xyfxy(x,y) x(yz )2z yxf yx(x,y) y(z ) y2z y2f yy(x,y)其中 y(z ) x2z xyf xy (x,y) x(z ) y2z yxf yx(x,y)称为混合偏导数 x(z x)2z x2 (z ) 2z y x xy (z ) 2z x y yx y( z y)2z y2同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数2z 3z 2z 2z 例 6 设 z x3y2 3xy3 xy 1 求 x2 、 x3 、 yx 和 xyz 3x2y2 3y3 y 解 xz 2x3y9xy2 x y2z x26xy23z x36y22z 6x2 y 9y2 1 xy2z 6x2 y 9y2 1yx2z 2z 由例 6 观察到的问题 yx xy2z 2z 定理 如果函数 z f(x y)的两个二阶混合偏导数 yx 及 xy 在区域 D 内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例 7 验证函数 z lnx2y2满足方程2z x22z y20z ln x2 y2 1 ln(x2 y2)证 因为2所以z xx2x y2z yx2y y22z x2(x2 y2) x2x (x2 y2)2y2 x2 (x2 y2)22z y2(x2 y2) y2y (x2 y2)2x2 y2 (x2 y2)2因此2z x22z y2x2 y2 (x2 y2)2y2 x2 (x2 y2)20例8．证明函数u1 r满足方程2u x22u y22u z 20其中 r x2 y2 z2证u x1 r2r x1 r2x rx r3 2u x21 r33x r4r x1 r33x2 r5同理 2u y21 r33y2 r5 2u z21 r33z2 r5因此 2u x22u y22u z2(1 r33x2 r5)(1 r33y2 r5)(1 r33z2 r5)3 r33(x2 y2 r5z2)3 r33r 2 r50提示 2u x2 x(x r3)r3x xr6(r3)r3x3r r62r x§8 3 全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系 有偏增量与偏微分f(x x y) f(x y) fx(x y) xf(x x y) f(x y)为函数对 x 的偏增量 f x(x y) x 为函数对 x 的偏微分f(x y y) f(x y) fy(x y) yf(x y y) f(x y)为函数)对 y 的偏增量 f y(x y) y 为函数对 y 的偏微分全增量z f(x x y y) f(x y)计算全增量比较复杂 我们希望用 x、 y 的线性函数来近似代替之定义 如果函数 z f(x y)在点(x y)的全增量z f(x x y y) f(x y)可表示为z AxByo() ( (x)2 (y)2 )其中 A、B 不依赖于 x、 y 而仅与 x、y 有关 则称函数 z f(x y)在点(x而称 A x B y 为函数 z f(x y)在点(x y)的全微分 记作 dz 即dz A x B y如果函数在区域 D 内各点处都可微分 那么称这函数在 D 内可微分可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续这是因为如果 z f(x y)在点(x y)可微 则z f(x x y y) f(x y) A x B y o( ) y)可微分lim z 0于是 0lim f (xx, yy) lim [ f (x, y)z] f (x, y)从而 (x,y)(0,0) 0因此函数 z f(x y)在点(x y)处连续 可微条件定理 1(必要条件)如果函数 z f(x y)在点(x y)可微分 且函数 z f(x y)在点(x y)的全微分为z z 则函数在该点的偏导数 x 、 y 必定存在dzz xx z yy证 设函数 z f(x y)在点 P(x y)可微分 于是 对于点 P 的某个邻域内的任意一点P (x x y y) 有 z A x B y o( ) f (x x y) f(x y) A x o(| x|)上式两边各除以 x 再令 x 0 而取极限 就得特别当 y 0 时有lim f (xx, y) f (x, y) Ax0xzz A从而偏导数 x 存在 且 xzz B同理可证偏导数 y 存在 且 y所以dz z x z y x y简要证明 设函数 z f(x y)在点(x y)可微分 特别当 y 0 时有f (x x y) f(x y) A x o(| x|) 上式两边各除以 x 再令 x 0 而取极限 就得于是有 z A x B y o( )lim f (xx, y) f (x, y) lim [A o(|x|)] Ax0xx0xzz A从而 x 存在 且 xzz Bdz z x z y同理 y 存在 且 y所以 x yz z 偏导数 x 、 y 存在是可微分的必要条件例如 但不是充分条件 xyf(x,y) x2 y2函数 0x2 y2 0 x2 y2 0 在点(00)处虽然有 f x(0 0) 0 及 f y(00) 0 但函数在(0 0)不可微分 即 z [fx(0 0) x fy(0 0) y]不是较 高阶的无穷小这是因为当( x y)沿直线 y x 趋于(0 0)时z [ fx(0, 0)x fy(0, 0)y]x y (x)2 (y)2xx (x)2 (x)21 20定理 2(充分条件)z z 如果函数 z f(x y)的偏导数 x 、 y 在点(x y)连续 则函数在该点可微分定理 1 和定理 2 的结论可推广到三元及三元以上函数按着习惯x、 y 分别记作 dx、dy 并分别称为自变量的微分 则函数 z f(xy)的全微分可写作dzz xdxz ydy二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数 u f (x y z) 的全微分为du u dx u dy u dz x y z例 1 计算函数 z x2y y2 的全微分z 2xy 解 因为 xz x2 2y y所以 dz 2xydx (x2 2y)dy 例 2 计算函数 z exy 在点(2 1)处的全微分z yexy 解 因为 xz xexy yz xx2 y1e2z yx2 y12e2所以dz e2dx 2e2dyu xsin y eyz例 3 计算函数2 的全微分u 1 解 因为 xu 1 cos y zeyz y 2 2u yeyz zdu dx(1 cos y zeyz)dy yeyzdz所以22*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数 z f (x y)在点 P (x y)的两个偏导数 f x (x y) | x| | y|都较小时 有近似等式f y (x y)连续 并且z dz f x (x y) x f y (x y) y即f (x x y y) f(x y) f x (x y) x f y (x y) y我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算例 4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由 20cm 增大到 20 05cm 高度由100cu 减少到 99cm 求此圆柱体体积变化的近似值解 设圆柱体的半径、高和体积依次为 r、h 和 V 则有Vr 2h已知 r 20 h 100 r 0 05 h 1 根据近似公式 有V dV Vr r Vh h 2 rh r r2 h2 20 100 0 05202 ( 1)200 (cm3)即此圆柱体在受压后体积约减少了 200 cm3例 5 计算(1 04)2 02 的近似值解 设函数 f (x y) x y 显然 要计算的值就是函数在 x 1 04 y 2 02 时的函数值 f(1 04 2 02)取 x 1 y 2 x 0 04 y 0 02 由于f (x x y y) f(x y) f x(x y) x f y(x y) y x y yxy 1 x x yln x y所以(1 04)2 02 12 2 12 1 0 04 12 ln1 0 02 1 08例 6 利用单摆摆动测定重力加速度 g 的公式是g4 T2l2现测得单摆摆长 l 与振动周期 T 分别为 l=100±、T=2±. 问由于测定 l 与 T 的误差而引起 g 的绝对误差和相对误差各为多少解 如果把测量 l 与 T 所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数g4 2l T2的全增量的绝对值|Δg|.由于|Δl|可以用 dg 来近似地代替 Δg 这样就得到 g 的误差为|ΔT|都很小因此我们|g||dg|| g l g T | l T|g l|l|g T|T42(T12l2l T3T)其中 l 与 T 为 l 与 T 的绝对误差 把 l=100 T=2, 为l=, δT=代入上式得 g 的绝对误差约g 4 2(02.21 2213000.004) 0.5 2 4.93(cm/ s2) .g g0.5 2 4 21000.50 022从上面的例子可以看到 对于一般的二元函数 z=f(x, y), 如果自变量 x 、y 的绝对误差分别为 x、 y, 即|Δx | x, |Δy | y,则 z 的误差|z||dz|| z x z y| x y|z x||x||z y||y||z x|x|z y|y从而得到 z 的绝对误差约为z|z x|x|z y|yz 的相对误差约为z zz | z|x zxy zy§8 4 多元复合函数的求导法则设 z f(u v) 而 u(t) vdz (t) 如何求 dt设 z f(u v) 而 u(x y) vz z (x y) 如何求 x 和 y1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 如果函数 u (t)及 v (t)都在点 t 可导 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f[ (t) (t)]在点 t 可导 且有dz z du z dv dt u dt v dt简要证明 1 因为 z f(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有dz z du z dv u v又因为 u (t)及 v (t)都可导 因而可微 即有du du dt dv dv dtdtdt代入上式得dz z u du dtdt z v dv dtdt (uz du dtz vdv)dt dtdz z du z dv 从而 dt u dt v dt简要证明 2 当 t 取得增量 t 时 u、v 及 z 相应地也取得增量 u、 v 及 z 由 z f(u v)、u (t)及 v (t)的可微性 有z z u z vo() z [du t o(t)] z [dv t o(t)]o()u vu dtv dt(z du z dv)t (z z)o(t)o() u dt v dt u vz z du z dv (z z) o(t) o() t u dt v dt u v t t令 t 0 上式两边取极限 即得dz z du z dv dt u dt v dtlim o() lim o() (u)2 (v)2 0(du)2 (dv)2 0注 t0 t t0 tdt dt推广 设 z f (u v w) u (t) v (t) w (t) 则 z f[ (t) (t) (t)] 对 t 的导数为dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dtdz 上述 dt 称为全导数2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理 2 如果函数 u (x y) v (x y)都在点(x y)具有对 x 及 y 的偏导数 函 数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f [ (x y) (x y)]在点 (x y)的两个偏导数存在 且有z xz uu xz vv xz z u z v y u y v y推广 设 z f(u v w ) u (x y) v (x y) w (x y) 则z z u z v z w x u x v x w xz z u z v z w y u y v y w y讨论(1)设 z f(u v) u(x y) v(y)则z xz yz z u 提示 x u xz z u z dv y u y v dy(2)设 z f(u x y) 且 u(x y)则z xz yz f u f 提示 x u x xz f u f y u y yz fz这里 x 与 x 是不同的 x 是把复合函数 z f[ (x y) x y]中的 y 看作不变而对 x的偏导数 似的区别f x 是把 f(u x y)中的 u 及 y 看作不变而 对 x 的偏导数z f y 与 y 也有类3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形 定理 3 如果函数 u (x y)在点(x y)具有对 x 及对 y 的偏导数 函数 v y 可导 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f[ (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有(y)在点 (x y)z z u x u xz z u z dv y u y v dy例 1 设 z eusin v u xy v x yz z u z v 解 x u x v xeusin v y eucos v 1 ex y[y sin(x y) cos(x y)]z z u z v y u y v yz z 求 x 和 yeusin v x eucos v 1 exy[x sin(x y) cos(x y)]例 2 设 u f (x, y, z) ex2 y2z2 而 z x2 sin y u f f z解 x x z x 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2xsin y 2x (1 2x2 sin2 y)ex2 y2 x4 sin2 yu u 求 x 和 yu f f z y y z y 2yex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 x2 cos y 2( y x4 sin y cos y)ex2 y2 x4 sin2 ydz 例 3 设 z uv sin t 而 u et v cos t 求全导数 dtdz z du z dv z 解 dt u dt v dt tv et u ( sin t) cos t etcos t e tsin t cos t et(cos t sin t) cos t例 4 设 w f(x y z xyz) f 具有二阶连续偏导数 解 令 u x y z v xyz 则 w f(u v)w 2w 求 x 及 xz引入记号f1f(u, uv)f12f (u,v) uv同理有 f2 f11 f22 等w xf uu xf vv xf1yzf22w xz z(f1yzf2)f1 zyf2yzf2 z f11 xyf12 yf2 yzf21 xy2zf22 f11 y(x z) f12 yf2 xy2zf22注f1 zf1 uu zf1 vv zf11 xyf12例 5 设 u f(x y)的所有二阶偏导数连续f2 zf2 uu zf2 vv zf21 xyf22把下列表达式转换成极坐标系中的形式(u)2 (u)2 (1) x y(2) 2u x22u y2解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u f(x y) f( cosθ sinθ) F( θ)其中 xcosθ ysinθ x2 y2 arctan y x应用复合函数求导法则 得u xu xu xu x u y 2u cosu ysin u yu yu yu y u x 2u sinu cos 两式平方后相加 得(u x)2(uy)2(u)21 2(u)2再求二阶偏导数 得2u x2 (u x) x ( u ) x x (ucosu sin )cos (ucosu sin )sin 2u 2cos222u sin cos 2u 2sin 2 2u 2sin cos 2u sin2 同理可得2u y22u 2sin22 2u sin cos 2u 2cos 22u 2sin cos 2u cos2 两式相加 得2u x22u y22u 21 1 22u 21 2[ (u )2u 2]全微分形式不变性 设 z f(u v)具有连续偏导数 则有全微分dz z du z dv u v如果 z f(u v)具有连续偏导数 而 u (x y) v (x y)也具有连续偏导数 则dzz xdxz ydy(z u z v)dx(z u z v)dy u x v x u y v yz (u dx u dy) z (v dx v dy) u x y v x yz uduz vdv由此可见 无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的函数 它的全微分形式是一 样的 这个性质叫做全微分形式不变性例 6 设 z e usin v u x y v x y 利用全微分形式不变性求全微分dz z du z dv解u ve usin vdu e ucos v dve usin v(y dx x dy ) e ucos v(dx dy)( ye usin v e ucos v)dx (xe usin v e ucos v )dye xy [y sin(x y) cos(x y)]dx e xy [x sin(x y)cos(xy)]dy§8 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1设函数 F(x y)在点 P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0) 0 Fy(x0 y0) 0 则方程 F(x y) 0 在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导 数的函数 y f(x) 它满足条件 y0 f(x0) 并有求导公式证明将 y f(x)代入 F(xdy Fxdx Fyy) 0 得恒等式F(x f(x)) 0等式两边对 x 求导得F F dy 0 x y dx由于 F y 连续 且 Fy(x0 y0) 0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同 Fy 0 于是得dy Fx dx Fy例 1 验证方程 x2 y2 1 0 在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 x 0 时 y 1 的隐函数 y f(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在 x 0 的值解 设 F(x y) x2 y2 1 则 Fx 2x Fy 2y F(0 1) 0 Fy(0 1) 2 0 因 此由定理 1 可知 方程 x2 y2 1 0 在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、 当 x 0 时 y 1 的隐函数 y f(x)dy Fx x dx Fy ydy 0 dx x0d2y dx2y xy y2yx( y2x) yy2 x2 y31 y3d 2y dx2x01隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程 F(x y) 0 可以确定一个一元 隐函数 一个三元方程 F(x y z) 0 可以确定一个二元隐函数隐函数存在定理 2 设函数 F(x y z)在点 P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且 F(x0 y0 z0) 0 Fz(x0 y0 z0) 0 则方程 F(x y z) 0 在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯 一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z f(x y) 它满足条件 z0 f(x0 y0) 并有z Fx x Fz公式的证明 将 z f(x y)代入 F(x y z) 将上式两端分别对 x 和 y 求导 得z Fy y Fz0 得 F(x y f(xy)) 0FxFzz x0FyFzz y0因为 F z 连续且 F z(x0 y0 z0) 0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域得使Fz 0于是z Fx x Fzz Fy y Fz2z 例 2. 设 x2 y2 z2 4z 0 求 x2解 设 F(x y z) x2 y2 z2 4zz Fx 2x x x Fz 2z 4 2 z则 Fx 2xFy 2z 42z x2(2 x) x (2 z)2z x(2x) x( 2(2 z)2x z)(2 x)2 x2 (2 z)3二、方程组的情形在一定条件下 由个方程组 F(x y u v) 0 G(x y u v) 0 可以确定一对二 元函数 u u(x y) v v(x y) 例如方程 xu yv 0 和 yu xv 1 可以确定两个二元函数ux2y y2vx2x y2事实上xu yv 0v xu yyu x x u 1 yux2y y2vx yx2y y2x2x y2如何根据原方程组求u v 的偏导数 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3设F (x y u v )、G (x y u v )在点P (x 0 y 0 u 0 v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F (x 0 y 0 u 0 v 0)0 G (x 0 y 0 u 0 v 0)0 且偏导数所组成的函数行列式v G u Gv Fu Fv u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点P (x 0 y 0 u 0 v 0)不等于零 则方程组F (x y u v )0 G (x y u v )0在点P (x 0 y 0 u 0 v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u u (xy )v v (x y ) 它们满足条件u 0u (x 0 y 0) v 0v (x 0 y 0) 并有v uv uv x v xG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1vuv ux u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu vy v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu yu y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1隐函数的偏导数:设方程组F (x y u v )0 G (x y u v )0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u u (x y ) v v (x y )则偏导数xu∂∂ x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定偏导数yu∂∂ y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定例3 设xu yv 0 yu xv 1 求xu∂∂ x v∂∂ y u ∂∂和y v ∂∂ 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于x u ∂∂和x v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v xu y x v y x u x u当x 2y 2 0时 解之得22y x yvxu xu ++-=∂∂ 22y x xvyu x v +-=∂∂两个方程两边分别对x 求偏导 得关于y u ∂∂和y v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x当x 2y 2 0时 解之得22y x yuxv y u +-=∂∂ 22y x yvxu yv ++-=∂∂另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udx vdy ydv xdu解之得dy y x yuxv dx y x yv xu du 2222+-+++-=dy yx yvxu dx y x xv yu dv 2222++-+-=于是 22y x yv xu xu ++-=∂∂ 22y x yuxv y u +-=∂∂22yx xvyu x v +-=∂∂ 22y x yvxu yv ++-=∂∂例 设函数x x (u v ) y y (u v )在点(u v )的某一领域内连续且有连续偏导数 又0),(),(≠∂∂v u y x(1)证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x在点(x y u v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u u (x y ) v v (x y )(2)求反函数u u (x y ) v v (x y )对x y 的偏导数解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F则按假设.0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J由隐函数存在定理3 即得所要证的结论(2)将方程组(7)所确定的反函数u u (x y )v v (x y )代入(7) 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x将上述恒等式两边分别对x 求偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=xv v y x u u y x v v x x u u x 01由于J 0 故可解得vyJ x u ∂∂=∂∂1 u yJ x v ∂∂-=∂∂1同理 可得v xJ yu ∂∂-=∂∂1 ux J y v ∂∂=∂∂1§8 6多元函数微分学的几何应用一空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为 x(t )y(t ) z(t )这里假定(t ) (t ) (t )都在[ ]上可导在曲线上取对应于t t 0的一点M 0(x 0 y 0 z 0)及对应于t t 0t 的邻近一点M (x 0+x y 0+y z 0+z )作曲线的割线MM 0 其方程为z z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000当点M 沿着趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线 考虑t zz z t y y y tx x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000当M M 0即t 0时 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量 T ((t 0) (t 0) (t 0))就是曲线在点M 0处的一个切向量法平面 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线在点M 0 处的法平面 其法平面方程为 (t 0)(x x 0)(t 0)(y y 0)(t 0)(z z 0)0例1 求曲线x t y t 2 z t 3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程解 因为x t 1 y t2t z t3t 2 而点(111)所对应的参数t 1所以T (1 2 3) 于是 切线方程为312111-=-=-z y x法平面方程为(x 1)2(y 1)3(z 1)0 即x 2y 3z 6讨论1 若曲线的方程为 y (x ) z (x ) 问其切线和法平面方程是什么形式 提示 曲线方程可看作参数方程 x x y(x ) z(x ) 切向量为T (1 (x ) (x ))2 若曲线的方程为F (x y z )0G (x y z )0 问其切线和法平面方程又是什么形式提示 两方程确定了两个隐函数 y (x ) z(x ) 曲线的参数方程为x x y (x ) z (x )由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz切向量为) ,,1(dxdz dx dy =T例2 求曲线x 2y 2z 26x y z 0在点(12 1)处的切线及法平面方程解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x解方程组得z y x z dx dy --= zy yx dx dz --=在点(1 2 1)处0=dx dy 1-=dx dz从而T (1 0 1)所求切线方程为110211--=+=-z y x法平面方程为(x 1)0(y 2)(z 1)0 即x z 0 解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x方程组在点(12 1)处化为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dxdz dx dydx dz dx dy解方程组得0=dx dy 1-=dx dz从而T (1 0 1)所求切线方程为110211--=+=-z y x法平面方程为(x 1)0(y 2)(z 1)0 即x z 0二曲面的切平面与法线设曲面的方程为F (x y z )0M 0(x 0 y 0 z 0)是曲面上的一点 并设函数F (x y z )的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M 0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为 x (t ) y (t ) z (t ) t t 0对应于点M 0(x 0 y 0 z 0) 且(t 0) (t 0) (t 0)不全为零 曲线在点的切向量为T ((t 0) (t 0) (t 0)) 考虑曲面方程F (x y z )0两端在t t 0的全导数 F x (x 0 y 0z 0)(t 0)F y (x 0y 0z 0)(t 0)F z (x 0y 0z 0)(t 0)0 引入向量n (F x (x 0 y 0 z 0) F y (x 0 y 0 z 0) F z (x 0 y 0 z 0))易见T 与n 是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M 0的任意一条曲线 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直 所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M 0的切平面 这切平面的方程式是。

多元函数微分学的应用一、多元函数微分学在物理学中的应用多元函数微分学在物理学中有重要的应用，可以用于描述和分析物体的运动和力学性质。

例如，当我们研究一个物体在空气中自由落体的过程时，可以通过建立物体的位置、速度和加速度之间的多元函数关系来描述物体的运动规律。

通过对这个多元函数进行微分，我们可以计算出物体的速度和加速度，并进一步研究物体的运动轨迹和运动的特性。

二、多元函数微分学在工程技术中的应用工程技术领域广泛应用多元函数微分学，其中一个重要的应用是工程优化。

通过建立多元函数模型，可以描述工程系统的性能与各种因素之间的关系，例如工程结构的刚度、强度和稳定性与材料、尺寸和几何形状等因素之间的关系。

通过对这些多元函数进行微分，可以找到使性能最优化的设计变量组合，从而优化工程系统的设计。

三、多元函数微分学在经济管理中的应用多元函数微分学在经济管理中也有广泛的应用，可以用于分析和优化经济系统的运行和决策问题。

例如，在经济学中，我们可以建立多元函数模型来描述生产函数、成本函数和效用函数等与经济生产和消费相关的关系。

通过对这些多元函数进行微分，可以分析生产效率、最小化成本和最大化效用的最优决策策略，从而实现经济系统的优化和管理。

四、多元函数微分学在生物学中的应用多元函数微分学也被广泛应用于生物学领域，可以用于描述和分析生物系统中的各种生物过程和生物现象。

例如，在生态学中，我们可以建立多元函数模型来描述种群数量与环境因素之间的关系。

通过对这些多元函数进行微分，可以研究种群的增长速率、极限状态和稳定性等生态学性质，从而深入理解和预测生态系统的动态演化。

总之，多元函数微分学具有广泛的应用领域，可以用于自然科学、工程技术和经济管理等各个领域中的建模、优化和解决实际问题。

通过对多元函数的微分，我们可以深入理解各种系统和过程的特性和规律，从而实现对这些系统和过程的优化和控制。