阿贝尔和伽罗瓦的比较(精制甲类)

“折翼天使”阿贝尔：黎曼与伽罗瓦的先导，数学史超天才阿贝尔众所周知，现代数学有两个最重要的源头，一个是伽罗华群论，一个是黎曼复分析，十九世纪以来，几乎所有数学都是群论抽象代数，流形拓扑两者的独立又融合的一个进程，从今天统治数学的朗兰兹纲领和现代代数几何来看，无不体现这一点，朗兰兹纲领和现代代数几何是抽象代数和流形群论融合至今的巅峰，大一统各个数学领域，还在加深着，迄今未被超越。

严格追溯起来，黎曼，伽罗华都是现代数学创世的两个大神。

但是，再往前呢？再往前是谁？我们可以惊讶的看到，黎曼和伽罗华两尊大神开创现代数学的最重要的成就，竟然都可以同时往前追溯到阿贝尔这里。

在群论方面，阿贝尔比伽罗华更早解决五次方程，也更早得出群论的雏形，伽罗华也是在阿贝尔工作基础上更进一步才得出群论的初始定义与初步的构造。

在复分析方面，伟大的黎曼正是通过直接研究阿贝尔函数，通过研究椭圆超椭圆积分，进而开创了黎曼面，进而开创了整个现代数学的全新盛世。

阿贝尔可以说是黎曼复分析最重要的奠基人。

阿贝尔去世时才26岁。

我们想象一下，假如阿贝尔再多活二十年：在代数群论上，阿贝尔再往前多走一步，总结五次以上方程无正整数解充要条件，得出群的初始定义以及构造，干了伽罗华的工作；在分析上，阿贝尔再往前多走两步，第一步将他的工作从实分析范畴拓展到当时已经萌芽出现的复分析领域，第二步，构造出黎曼面(如果可能，就叫阿贝尔曲面了)，一次性解决积不出积分的问题，并研究'阿贝尔曲面'上的函数论；哈哈哈，这画面太美，不敢想象。

如果阿贝尔再多活二十年，把他手头这两项工作再往前推进一两步，如果真的能够实现，那么现在数学史上GOAT也就没有任何争议了。

阿基米德，牛顿，欧拉，高斯，庞加莱，希尔伯特，诺特，格罗滕迪克，莱布尼茨，欧几里得，全部都得靠边站了。

即使伟大的黎曼，如果仅剩下黎曼几何和解析数论，失去了复分析的伟大功绩，也只能当阿贝尔的配角了。

可惜，天不假年。

阿贝尔和伽罗华三、四次方程的一般解法找到之后，对一般的五次方程求解的研究迟迟没有得到解决。

大约三百年之后，在1825年，年仅22岁的挪威大学生阿贝尔(Abel N.H.,1802.8.5~1829.4.6)终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程的根不可能由方程的系数组成的根式来表示。

这是一个划时代的结论，它宣告了寻找方程求根公式时代的结束。

阿贝尔的证明是：对于一般的高于四次的代数方程来说，如果用由方程的系数通过加、减、乘、除和开方运算构成的表达式代替方程的未知数，使方程成为恒等式是不可能的。

在阿贝尔证明了上述结论四年以后，在1829年，比阿贝尔更为年轻的法国大学生伽罗华（Galois E.,1811.10.26~1832.5.31）,在研究了拉格朗日（Lagrange j.L.,1736.1.25~1813.4.10）《关于代数方程解法的思考》及柯西（Cauchy A.L.B,1789.8.21~1857.5.23）、阿贝尔等人成果的基础上，创立了伽罗华理论，彻底解决了代数方程的可解条件问题。

伽罗华使用的方法不同于阿贝尔的方法。

伽罗华使用的是一种深刻的现代化的方法--群论方法。

尽管在伽罗华之前有人提出过"群"，但使"群"成为数学的一种深刻的现代化方法的是伽罗华。

伽罗华理论是一种普遍性的理论，用这种理论能够推出阿贝尔曾经得到过的五次及五次以上一般的代数方程不可根式解的结论，而且能指出一些特殊方程可解的条件，这是一种比阿贝尔前进得远得多的代数理论。

由于伽罗华的创造性的成绩，有人说：如果要在数学史上列举20位贡献最大的数学家的话，伽罗华必为其中之一。

遗憾的是，创立了如此伟大理论的伽罗华，年仅20岁就死于了涉及恋爱纠纷的一场决斗。

数学家的小故事：数学战士伽罗瓦
 今天极客数学帮为大家带来的数学家的小故事是关于伽罗瓦的。

这位来自法国的数学天才，21岁时就离开了这个世界，但是在这短短21年当中，他
对数学做出了巨大的贡献。

今天我们就一起来看看这位数学天才的一生。

 埃瓦里斯特·伽罗瓦（1811年10月25日－1832年5月31日），法国数学家，与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创始人。

 伽罗瓦的父母都是知识分子，12岁以前，伽罗瓦的教育全部由他的母亲
负责，他的父亲在伽罗瓦4岁时被选为Bourg
 La Reine的市长。

 12岁，伽罗瓦进入路易皇家中学就读，成绩都很好，却要到16岁才开始跟随
 Vernier 老师学习数学，他对数学的热情剧然引爆，对于其他科目再也提不起任何兴趣。

校方描述此时的伽罗瓦是“奇特、怪异、有原创力又封闭”。

 1827年，16岁的伽罗瓦自信满满地投考他理想中的大学：综合工科学校，却因为昏庸无能的主考官而名落孙山。

 1829年，伽罗瓦将他在代数方程解的结果呈交给法国科学院，由奥古斯丁·路易·柯西负责审阅，柯西却将文章连同摘要都弄丢了（19世纪的两个短。

四川省大英中学高一数学导学案 编制人： 陈波 曹森林 邓红英 审核人：徐厚义 领导审核：薛飞 班级 组别 姓名 评价§3.1.1 方程的根与函数的零点使用说明1.请同学们认真阅读课本，划出重要知识，规范完成学案自主学习并记熟基础知识。

2.结合课本知识独立思考，规范完成学案合作探究和当堂巩固练习，用红色笔做好疑难标记，准备讨论。

3.小组讨论探究课题，组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。

课后及时整理完善导学案。

学习目标1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方 程根的联系；2.自主学习，合作探究，掌握零点存在的判定定理；3.激情投入、全力以赴，享受学习数学的快乐。

学习过程预习案（预习教材P 86~ P 88，找出疑惑之处）复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法. 判别式∆= .当∆ 0，方程有两不等实根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有两相等实根，为0x = ； 当∆ 0，方程无实根.复习2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关系？判别式一元二次方程二次函数图象0∆> 0∆= 0∆<探究案※ 学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系 问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：（1）函数244y x x =-+的零点为 ；（2）函数243y x x =-+的零点为 .小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.探究任务二：零点存在性定理 问题：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号② 观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；()()f a f b 0；b fc 0)()f d 0.)()f b<0，a b上的图象是连续不断的一条曲线，)(),]内有零点，即存在也就是方程逆定理成立吗？试结合图形来分析)()0f b>．则函数至少有一个零点零点情况不确定的奇函数，且()f x训练案的零点所在区间为（()f b <0的函数所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法的零点近似值的步骤如何呢？()0f b <，给定精度ε；，则1x 就是函数的零点；1)()0f x <()0f b <，则令1(,)x b ）； ④判断是否达到精度ε；即若||a b -<a （或b ）；否则重复步骤②借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.把每个孩子的一生变成一个成功而精彩的故事※ 动手试试练1. 求方程3log 3x x +=的解的个数及其大致所在区间.★练2.求函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点（精确到0.1）零点所在区间中点函数值符号区间长度★★练3. 用二分法求33的近似值.总结提升 ※ 学习小结① 二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.※ 知识拓展高次多项式方程公式解的探索史料在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel ）和伽罗瓦（Galois ）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测——有效训练、反馈矫正1. 若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上（ ）.A. 至少有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 至多有一个零点2. 下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.★3. 函数()lg 27f x x x =+-的零点个数为 ，大致所在区间为 .训练案1. 函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（ ）. A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6)2. 用二分法求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得(2)1f =-，(3)16f =，(2.5) 5.625f =，那么下一个有根区间为 .★3. 求方程0.90.10xx -=的实数解个数及其大致所在区间.★4. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数3()2f x x =-的零点（精确到0.01）.)()0f b <，给定精度ε；，则1x 就是函数的零点；1)()0f x <)()0f b <，则令1(,)x b ）； ④判断是否达到精度ε；即若||a b -<a （或b ）；否则重复步骤②3(1x x ≤≤2()f x 有无零点()0f b <()0f c <，此时c ε<，而)在精确度近似值为（ A. 1x B. ）已知12,x x 的两个不同实根，2()()0x g x <1，2x 介于3，4x 介于1与2x 相邻，1，2x 与x 总结提升 ()f b 0<你完成本节导学案的情况为（较好 C. 当堂检测——有效训练、反馈矫正的最小值为2 B. 1 C. 0()0f b <，()2a bf +四川省大英中学高一数学导学案编制人：陈波曹森林邓红英审核人：徐厚义领导审核：薛飞班级组别姓名评价§3.2.1几类不同增长的函数模型(1)使用说明1.请同学们认真阅读课本，划出重要知识，规范完成学案自主学习并记熟基础知识。

阿贝尔和伽罗瓦的比较今天我要向大家介绍两位朋友――阿贝尔和伽罗瓦1 阿贝尔与伽罗瓦的不同点1．1 两人的个人基本情况比较1．2 数学研究的成就不同阿贝尔证明对一般的四次以上的方程没有代数解．伽罗瓦解决了什么样的方程有代数解，即方程有根式解的充要条件．1．3 运气不同“阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的数学界渐渐了解了他．继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写过若干篇类似的论文，都在‘克雷勒杂志‘上发表了．这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他业已成为众所瞩目的优秀数学家之一．遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此情况竟无所知．”但是伽罗瓦的重大创作在生前始终没有机会发表．1．4 成果的广泛性不同阿贝尔在数学上的贡献，主要表现在方程论、无穷级数和椭圆函数等方面．即除了代数方程论之外，阿贝尔还从事分析方面的研究．所以说阿贝尔是多产的．但是伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论．即伽罗瓦的成果重在代数方程论．1．5 成就的影响不同“阿贝尔的一系列工作为后人留下丰厚的数学遗产，为群论、域论和椭圆函数论的研究开拓了道路．他的数学思想至今深刻地影响着其他数学分支．C．埃尔米特(Hermite)曾这样评价阿贝尔的功绩：阿贝尔留下的一些思想，可供数学家们工作150年．”“伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论．正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程．正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具―群论．它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始．”1．6 心理状况不同阿贝尔――“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年．他寄居的那家房东又特别吝啬刻薄，每天只供给他两顿饭，却收取昂贵的租金．一天，他感到身体很不舒畅，经医生检查，诊断为肺病，尽管他顽强地不相信，但实情是他确已心力交瘁了．阿贝尔只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国．”伽罗瓦――“对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗瓦．虽然他的论文一再被丢失，得不到应有的支持，但他并没有灰心，他坚信他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播出去，还进一步向更广的领域探索．”2 阿贝尔与伽罗瓦的相同点与联系2．1 都遇到了好老师，受到好老师的指导帮助“15岁(1817)时，他幸运地遇到一位优秀数学教师B．M．霍尔姆博(Holmboё)．后者在数学上的最大贡献也正是发现并培养了这位数学天才．良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的愿望，使他对数学产生了兴趣．”“但在第三年(1826)，伽罗瓦对修辞学没有下足够的功夫，因而只得重读一年．在这次挫折之后，他被批准选学第一门数学课．这门课由H．J．韦尼耶(Vernier)讲授，他唤起了伽罗瓦的数学才能，使他对数学发生了浓厚的兴趣．”“1828年10月，伽罗瓦从初级数学班升到L．P．E．里查德(Richard)的数学专业班．里查德是一位年轻而富有才华的教授，并且具有发掘科学英才的敏锐判断力和高度责任感．他认为伽罗瓦是最有数学天赋的人物，‘只宜在数学的尖端领域中工作’．”2．2 都大量阅读了大师的著作“16 岁那年，他遇了一个能赏识其才能的老师霍姆伯（Holmboe）介绍他阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作．大师们不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的境界，他很快被推进到当时数学研究的前沿阵地．后来他感慨地在笔记中写下这样的话：‘要想在数学上取得进展，就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作．’”“他很快地学完了通常规定的课程，并求教于当时的数学大师．他如饥似渴地阅读了A?M?勒让德的著作《几何原理》和T.L.拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》．接着他又研究了L．欧拉(Euler)、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作，为自己打下了坚实的数学基础．由于他刻苦学习，能着重领会和掌握其中的数学思维方法，因此，这些功课的学习，使他思路开阔，科学创造的思维能力得到了训练和提高．他的中学数学专业班的老师里查德说‘伽罗瓦只宜在数学的尖端领域工作’．”2．3 都是很早就显示数学方面的才华“幼时，他（阿贝尔）就显露出数学上的才能．”“在父母的熏陶下，伽罗瓦童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品格．”2．4 同样是坎坷的人生．开始他们的观点都不为人所理解重视“阿贝尔终于在1825年8月获得公费，开始其历时两年的大陆之行．踌躇满志的阿贝尔自费印刷了证明五次方程不可解的论文，把它作为自己晋谒大陆大数学家们，特别是高斯的科学护照．他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见．但看来高斯并未重视这篇论文，因为人们在高斯死后的遗物中发现阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开．柏林是阿贝尔旅行的第一站．他在那里滞留了将近一年时间．虽然等候高斯召见的期望终于落空，这一年却是他一生中最幸运、成果最丰硕的时期．1826年7月，阿贝尔抵达巴黎．他见到了那里所有出名的数学家，他们全都彬彬有礼地接待他，然而却没有一个人愿意仔细倾听他谈论自己的工作．在这些社会名流的高贵天平上，这个外表腼腆、衣着寒酸、来自僻远落后国家的年轻人能有多少分量呢？他通过正常渠道将论文提交法国科学院．科学院秘书傅立叶读了论文的引言，然后委托勒让得和柯西负责审查．柯西把稿件带回家中，究竟放在什么地方，竟记不起来了．直到两年以后阿贝尔已经去世，失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式发表，则迁延了12年之久．从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年．”“1829年，伽罗瓦在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人．在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗瓦的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会．他在一封信中写道：‘今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗瓦的工作报告……但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议，讨论已指明的议题．’然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗瓦的著作，这是一个非常微妙的‘事故’．1830年2月，伽罗瓦将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖．论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗瓦的手稿．就这样，伽罗瓦递交的两次数学论文都被遗失了．1831年1月，伽罗瓦在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院．这篇论文是伽罗瓦关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁．传说泊阿松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是‘完全不能理解’．尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗瓦所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它．”本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文2．5 都犯了同样的错误，就是他最初都以为自己解出了一般的五次方程，可是后来发现了错误，但他们都能很快意识到了这一点，并重新研究“接着他研究一般五次方程问题．开始，他曾错误地认为自己得到了一个解．霍姆伯建议他寄给丹麦的一位著名数学家审阅，幸亏审阅者在打算认真检查以前，要求提供进一步的细节，这使阿贝尔有可能自己来发现并修正错误．这次失败给了他非常有益的启发，他开始怀疑，一般五次方程究竟是否可解？问题的转换开拓了新的探索方向，他终于成功地证明了要像较低次方程那样用根式解一般五次方程是不可能的．”“据伽罗瓦说，他在1828年犯了和N．H．阿贝尔(Abel)在8年前犯的同样错误，以为自己解出了一般的五次方程．但他很快意识到了这一点，并重新研究方程理论，他坚持不懈，直到成功地用群论阐明了这个带普遍性的问题．”2．6 都能在不为人重视的情况下，坚信自己努力让人理解参看第4点的材料．2．7 在新观点的论述中都犯了一个错误：论述过于简洁刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝，以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思：过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因．人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做．事实上，当你试图引寻读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡儿说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰．”“1824年，他证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式．该证明写进了“论代数方程――证明一般五次方程的不可解性”的著名论文中，从而结束了一般代数方程求根式通解的企图．他深知其结果的重要性，决定先以小册子形式自费出版它．为了节省经费，他把小册子压缩到6页，叙述很简洁，以致许多学者难以读懂．“数学王子”高斯也不相信一个青年能用这么短的篇幅，解决连他本人都尚未解决的难题．”2．8 重视爱的人“阿贝尔已自知将不久于人世，这时，他唯一牵挂的是他女友凯姆普的前途，为此，他写信给最亲近的朋友基尔豪(Kiel-hau)，要求基尔豪在他死后娶凯姆普为妻．尽管基尔豪与凯姆普以前从未觌面，为了让阿贝尔能死而瞑目，他们照他的遗愿做了．临终的几天，凯姆普坚持只要自己一个人照看阿贝尔，她要‘独占这最后的时刻’”“1832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗．伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿．”2．9 他们都是近世代数的开创者2．10 寿命很短，贡献很大3 从我们的这两位数学家的遭遇中，我们可以得到的启示3．1 关于生命、身体健康的思考“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年．一天，他感到身体很不舒畅，经医生检查，诊断为肺病，尽管他顽强地不相信，但实情是他确已心力交瘁了．阿贝尔只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国．”“1832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个舞女，卷入了一场他所谓的‘爱情与荣誉’的决斗．伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿．”从这两段话，我们可以关于生命的一点思考：珍惜生命，关爱自己．工作固然重要，但是身体健康也很重要．阿贝尔因为工作而“心力交瘁”，弄得身体“病弱”，我认为这是不对的．身体是自己的，工作再忙也要好好照顾自己！而伽罗瓦“为了一个舞女”，即使知道“自己难以摆脱死亡的命运”还是“卷入了一场他所谓的‘爱情与荣誉’的决斗”．我不知道他是怎样看待生命的？失去了生命，又谈何爱情呢？失去了一份爱，我们有没有必要为此不要了自己的生命？3．2 多读书，尤其是读大师的著作从阿贝尔与伽罗瓦的经历中，我们可以看到他们都读了很多书，尤其是数学大师的著作．所以我想，一个人都是想在某领域上取得成功必须看很多该领域的书，学习很多该领域的东西，尤其是读该领域大师的著作．3．3 坚定自己的信念，相信自己的能力从阿贝尔与伽罗瓦的经历中，我们可以看到他们的观点开始时都不为人理解，但是他们都坚定自己的信念，相信自己的能力．这给我们的启发是在走向成功的道路上，即使别人不相信不理解你时，你都要坚定自己的信念，相信自己的能力．这样才能成功．3．4 关于教师的影响、教育、课程的思考从阿贝尔与伽罗瓦的经历中，我们可以看到他们的老师对他们产生了很大的影响，尤其是在数学学习的兴趣上的影响很大．这让我想到了，在教育中教师的作用是很大的．教师应该在儿童教学中担任起启发者、引导者等角色．“他一开始就对那些不谈推理方法而只注重形式和技巧问题的教科书感到厌倦，于是，他毅然抛开教科书”这让我想起了英国的数学教育之柯克克洛夫特（W.H.Cockcroft）报告中一些内容：“即必须针对中学生的各种能力水平设计不同的数学课程．”“在每一教学阶段，学生都可以在其能力许可的范围内扩充与加深自己的数学知识．在中学学习一开始就要特别注意有天赋的学生的教育，要给他们提供足够的数学内容，否则这部分学生就会对数学失去兴趣并在以后很难恢复．”“报告”还提倡高年级学生阅读数学专业文献，培养独立研究数学的能力．“考试的结果不应对学生学习数学的信心有所伤害．”这就是要求我们的数学要有为不同的学生设计不同的课程，不能损害学生学习数学的兴趣，还要提倡学生阅读数学大师的著作．3．5 写书语言的思考刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝，以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思：过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因．人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做．事实上，当你试图引寻读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡儿说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰．”所以我们在向别人表达自己的观点时，不能过分地追求简洁，要尽可能用详细的别人容易理解的话来说明．3．6 心态的调整阿贝尔“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望”，“只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国．”这给我们一点启示就是对待挫折，我们要保持积极乐观的心态，要及时调整心态．3．7 建立一个客观而公正的科学评价体制是至关重要的通过阿贝尔的遭遇，我们认识到，建立一个客观而公正的科学评价体制是至关重要的．科学界不仅担负着探索自然奥秘的任务，也担负着发现从事这种探索的人才的任务．科学是人的事业，问题是要靠人去解决的．科学评价中的权威主义倾向却往往有害于发现和栽培科学人才．科学家有权威意味着他在科学的某一领域里曾做过些先进工作，他可能是科学发现方面踌躇满志的权威，却不一定是评价、发现、培养科学人才的权威，尤其当科学新分支不断涌现，所要评价的对象是天于连权威都陌生的新领域的工作时，情况更是如此．“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文”本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文。

被柯西坑了的两个天才数学家——阿贝尔和伽罗瓦书接上回大魔王拉格朗日的故事及拉格朗日中值定理，大魔王拉格朗日有个徒弟柯西“苦瓜”数学家柯西的故事及柯西中值定理，上次我们说了柯西的伟大成就，但是大家也有黑历史，这次我们就来挖一挖坑人的柯西先生。

阿贝尔和伽罗瓦是数学界让人最惋惜的两颗绚烂流星。

他们出生在同一个时代，各自都解开了困扰无数数学家250年的四次以上方程式的解法。

阿贝尔（左）和伽罗瓦（右）阿贝尔13岁就展露数学才华，他学习如牛顿、欧拉等数学大家的理论，甚至能从中找出他们的小漏洞。

他自己研究出五次方程式的解法，前人五百多页的解题思路都不能完全解决的问题，他只用六页就足以解释一切。

而伽罗瓦更是年少有成，他在19岁时就提出了著名的群论，完美的解决了五次以上的方程式求解问题。

群论研究名为群的代数结构。

群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。

群论的逻辑线他们都是不出世的天才，如果没有被这一个人坑的话，他们必然能成为极伟大的数学家。

这个人就是大数学家柯西，“柯西不等式”的柯西。

为纪念柯西这位伟大数学家出的纪念邮票他曾任职多个教授职衔，一生写了789篇论文，许多公式以柯西名字称呼。

但拉格朗日对柯西性格的担心也不是毫无道理。

他作为久负盛名的科学泰斗，却时常忽视青年学者的创造。

因为柯西的不靠谱，群论晚问世了半个世纪之久。

故事要从阿贝尔开始说起，十九世纪挪威最伟大的数学家出生在一个穷困的牧师家庭本身就是一种悲哀。

阿贝尔的父亲在他18岁那年去世，还在读大学的阿贝尔突然就要担起照顾全家的重担。

所幸他在读的奥斯陆大学的老师们都没放弃这位天才，他们一起资助了阿贝尔。

阿贝尔勤奋自学，一边还花大量时间作研究，研究方向就包括了四次以上方程的求解。

一元四次方程求解公式，可以窥见五次的难度当时意大利的数学家鲁菲尼以五百多页的证明对一元五次方程求解做了论述，并在柯西的推动下发展出了最初的置换群思想。

什么是群、什么是阿贝尔群（abel群、阿贝尔群也称为交换群或可交换群）、群论入门一、什么是群伽罗瓦理论之美参考URL:中文名：群外文名：group含义：数学概念在数学中，群表示具有满足闭包、结合律、单位元和逆元的二元运算的代数结构，包括Abel群、同态和共轭类。

伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。

在伽罗瓦看来，“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构，这是一种更加本质、更加抽象的数学结构，当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候，就形成了新的数学概念——群。

（1）群：给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”（这个“乘法”不是数字运算的乘法，而只是借用了这个名字，因此加上了引号），如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足：<1> 封闭性：集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内；<2> 结合律：这个“乘法”满足(a b)c=a(b c)；<3> 单位元：集合中存在某个元素e，对于任意集合中的其它元素a有e a=a e=a，e被称为单位元；<4> 逆元：对于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一个元素 a − 1 a^{-1} a−1 ，使得 a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = e a*a^{-1} =a^{-1}*a=e a∗a−1=a−1∗a=e ，a与 a − 1 a^{-1} a−1 互为逆元。

此时，这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。

“群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。

容易验证，整数集合在加法运算下成群（这里的加法就通常意义的数字加法，对应着群定义中的“乘法”），其单位元是数字0；但是整数集合在乘法运算下不成群，这是因为对于大部分整数，没有乘法的逆元。

其实群在日常生活中也会存在，常见的是魔方，它的全部操作构成一个集合，再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”，则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群，叫做RUBIC群。

数学史话之夭折的天才阿贝尔和伽罗瓦我们每个人都知道，诺贝尔奖每年都有，颁给了很多在各自领域做出了突出贡献的科学家，但唯独没有给数学家的奖项，而数学界的诺贝尔奖则一直由一个叫做菲尔兹的奖项独占。

然而菲尔兹奖相对于诺贝尔奖来说，不但少（四年一届），而且条件苛刻（只颁给40岁以下的数学家）。

可能是觉得数学家在40岁以后基本已经告别开拓和创新了吧，不过也的确如此，世界范围内的数学家都是在十分年轻的时候就做出了惊人的成就。

而这个世界对于数学家，特别是青年数学家来说，又实在太残酷了。

很多时候，他们需要的不止是才华，还有时代、方向、领域，甚至运气。

比如科普君今天要说的这两位，都是在生命之花刚开始绽放的时候就凋谢了，如同划过天边的流星一样，闪亮而短暂。

他们用极其短暂的一生奉献给人类的却是'够科学家忙500年'的成果。

他们就是阿贝尔和伽罗瓦。

阿贝尔和伽罗瓦尼尔斯·亨利克·阿贝尔于1802年出生在挪威的一个小村庄芬德，他的父亲是个牧师。

当时整个挪威都十分贫穷，阿贝尔从小就处在饥饿之中。

他13岁的时候开始入学读书，这时候它的数学才华开始显现。

在他老师的引导下，16岁的阿贝尔开始阅读牛顿、欧拉和拉格朗日的著作，并且很快就领会了它们，然后他开始挑战高斯的《算术研究》，也非常快地掌握了这本'七封印之书'的最深奥难懂的部分。

若干年后，有人问阿贝尔如何才能快速地进入一流的行列，阿贝尔回答说：要学习大师们，而不是他们的学生。

阿贝尔在学习的过程中发现了前辈们认为已经证明了的，但是实际上并没有被严格证明的很多东西，特别是欧拉的关于无穷级数和拉格朗日的关于分析学的一些内容。

阿贝尔决心依靠自己的努力来弥补这些不足，他很快就证明了一般二项式定理，但这只是阿贝尔为了澄清无穷级数理论和应用的极具野心的庞大计划的一小部分。

二项式定理然而，到了1820年，阿贝尔的父亲去世了，养活全家（阿贝尔有6个弟妹）的重担压到了18岁的阿贝尔肩上。