阿贝尔和伽罗瓦的比较(精制甲类)

的最 大贡献 也 正 是 发 现并 培 养 了这 位 数学 天 才．
良师耐心 细致 的教 诲 ， 唤起 了他 学习数 学 的愿望 ， 使 他对数 学产生 了兴趣 ． ”
相 信高斯 将能认 识他 工作 的价 值而 超 出 常规地 接
见． 看来高 斯并 未重 视这 篇论 文 ， 但 因为 人们在 高
时 间 阿贝尔 Ａ ｅ ｂｌ 伽 罗 瓦 Ｇ ｌｉ ａｏｓ １９ ８ ２～ １ ２ ８９年 １ １ ～ １３ ８１ ８２年 国籍 挪 威 法 国
１ ５ 成 就 的影 响 不 同 ．
“ 阿贝尔 的 一 系 列 工作 为 后 人 留下 丰 厚 的 数 学遗 产 ， 为群 论 、 域论 和 椭 圆函数 论 的研 究 开拓 了
阿贝 尔 — — “ 从满 怀希 望 到 渐 生 疑 虑 终 至完
论文 ， 都在 ‘ 雷勒 杂 志 ‘ 发表 了． 些论 文将 阿 克 上 这
贝尔 的名 字传 遍 欧 洲 所 有 重 要 的 数 学 中心 ， 业 他
已成 为众所 瞩 目的优 秀数 学 家之 一． 遗憾 的是 ， 他
全 失望 ， 阿贝 尔在 巴黎 空 等 了将 近一 年． 寄居 的 他
发 表． １４ 成 果 的广 泛性 不 同 ．
但 实情 是他 确 已心 力 交 瘁 了． 阿贝 尔 只 好 拖着 病 弱 的身 体 ， 着 一 颗 饱 尝 冷 遇 而 孤 寂 的 心告 别 巴 怀
黎 回 国． ”
伽 罗瓦 —— “ 事 业 必 胜 的 信 念 激励 着 年 轻 对
的伽 罗 瓦’ 然他 的论 文一 再被 丢失 ， ． 虽 得不 到应 有
数 学工具 一 群论 ． 对 数 学 分 析 、 何 学 的发 展 它 几
１ ２ 数 学研 究的成 就 不 同 ． 阿贝 尔证 明对 一般 的 四次 以上 的 方程 没 有代 数 解． ．

位比阿贝尔大七岁的年青的教师霍姆伯厄代替
。霍姆伯厄本身在数学上没有什么成就，是一
个称职但决不是很有才气的数学家。他在科学 上的贡献，就是发掘了阿贝尔的数学才能，而 且成为他的忠诚朋友，给他许多帮助。阿贝尔 死后，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。
霍姆伯厄很快就发现了十六岁的阿贝尔惊 人的数学天赋，私下开始给他教授高等数学， 还介绍他阅读泊松、高斯以及拉格朗日的著作 。在他的热心指点下，阿贝尔很快掌握了经典 著作中最难懂的部分。在中学的最后一年，阿 贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次 方程问题，不久便认为得到了答案。霍姆伯厄 将阿贝尔的研究手稿寄给丹麦当时最著名的数 学家达根。
可见父亲的政治态度和当时法国的革命热潮对 伽罗瓦的成长和处事有较大的影响。 伽罗瓦的母亲玛利亚· 阿代累达· 伽罗瓦曾积 极参与儿子的启蒙教育。作为古代文化的热烈 爱好者，她把从拉丁和希腊文学中汲取来的英 勇典范介绍给她儿子。1848年发表在《皮托雷 斯克画报》上有关伽罗瓦的传记中，特别谈到 “伽罗瓦的第一位教师是他的母亲，一个聪明 兼有好教养的妇女，当他还在童稚时，她一直 给他上课”。这就为伽罗瓦在中学阶段的学习 和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。
了。
这时，阿贝尔的身体越来越衰弱。在1828 年夏天他一直生病发烧咳嗽，人也变的消沉， 感到前途真是暗淡无光，而且无法摆脱靠他养 活的家人的负担。他们直到最后一直缠着他， 实际上弄得他自己一无所有，可是直到最后他 也从没有说过一句不耐烦的话。挪威1828年的 冬天很冷，阿贝尔穿上了所有的衣服，可是身 体还是觉得冷。他咳嗽、发抖，觉得胸部不适 ，但是在朋友面前他装作若无其事，而且常开 玩笑，以掩饰他身体的不舒服。
阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠 基者。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、 双周期性、并引进了椭圆积分的反演。他研 究了形如 的积分(现称阿贝尔积 分)，其中R(x, y)是x 和y 的有理函数, 且存在 二元多项式f, 使 f(x,y)=0。他还证明了关于上 述积分之和的定理, 现称阿贝尔定理,它断言: 若干个这种积分之和可以用g个这种积分之和 加上一些代数的与对数的项表示出来,其中g 只依赖于f, 就是f的亏格。

“折翼天使”阿贝尔：黎曼与伽罗瓦的先导，数学史超天才阿贝尔众所周知，现代数学有两个最重要的源头，一个是伽罗华群论，一个是黎曼复分析，十九世纪以来，几乎所有数学都是群论抽象代数，流形拓扑两者的独立又融合的一个进程，从今天统治数学的朗兰兹纲领和现代代数几何来看，无不体现这一点，朗兰兹纲领和现代代数几何是抽象代数和流形群论融合至今的巅峰，大一统各个数学领域，还在加深着，迄今未被超越。

严格追溯起来，黎曼，伽罗华都是现代数学创世的两个大神。

但是，再往前呢？再往前是谁？我们可以惊讶的看到，黎曼和伽罗华两尊大神开创现代数学的最重要的成就，竟然都可以同时往前追溯到阿贝尔这里。

在群论方面，阿贝尔比伽罗华更早解决五次方程，也更早得出群论的雏形，伽罗华也是在阿贝尔工作基础上更进一步才得出群论的初始定义与初步的构造。

在复分析方面，伟大的黎曼正是通过直接研究阿贝尔函数，通过研究椭圆超椭圆积分，进而开创了黎曼面，进而开创了整个现代数学的全新盛世。

阿贝尔可以说是黎曼复分析最重要的奠基人。

阿贝尔去世时才26岁。

我们想象一下，假如阿贝尔再多活二十年：在代数群论上，阿贝尔再往前多走一步，总结五次以上方程无正整数解充要条件，得出群的初始定义以及构造，干了伽罗华的工作；在分析上，阿贝尔再往前多走两步，第一步将他的工作从实分析范畴拓展到当时已经萌芽出现的复分析领域，第二步，构造出黎曼面(如果可能，就叫阿贝尔曲面了)，一次性解决积不出积分的问题，并研究'阿贝尔曲面'上的函数论；哈哈哈，这画面太美，不敢想象。

如果阿贝尔再多活二十年，把他手头这两项工作再往前推进一两步，如果真的能够实现，那么现在数学史上GOAT也就没有任何争议了。

阿基米德，牛顿，欧拉，高斯，庞加莱，希尔伯特，诺特，格罗滕迪克，莱布尼茨，欧几里得，全部都得靠边站了。

即使伟大的黎曼，如果仅剩下黎曼几何和解析数论，失去了复分析的伟大功绩，也只能当阿贝尔的配角了。

可惜，天不假年。

阿贝尔和伽罗华三、四次方程的一般解法找到之后，对一般的五次方程求解的研究迟迟没有得到解决。

大约三百年之后，在1825年，年仅22岁的挪威大学生阿贝尔(Abel N.H.,1802.8.5~1829.4.6)终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程的根不可能由方程的系数组成的根式来表示。

这是一个划时代的结论，它宣告了寻找方程求根公式时代的结束。

阿贝尔的证明是：对于一般的高于四次的代数方程来说，如果用由方程的系数通过加、减、乘、除和开方运算构成的表达式代替方程的未知数，使方程成为恒等式是不可能的。

在阿贝尔证明了上述结论四年以后，在1829年，比阿贝尔更为年轻的法国大学生伽罗华（Galois E.,1811.10.26~1832.5.31）,在研究了拉格朗日（Lagrange j.L.,1736.1.25~1813.4.10）《关于代数方程解法的思考》及柯西（Cauchy A.L.B,1789.8.21~1857.5.23）、阿贝尔等人成果的基础上，创立了伽罗华理论，彻底解决了代数方程的可解条件问题。

伽罗华使用的方法不同于阿贝尔的方法。

伽罗华使用的是一种深刻的现代化的方法--群论方法。

尽管在伽罗华之前有人提出过"群"，但使"群"成为数学的一种深刻的现代化方法的是伽罗华。

伽罗华理论是一种普遍性的理论，用这种理论能够推出阿贝尔曾经得到过的五次及五次以上一般的代数方程不可根式解的结论，而且能指出一些特殊方程可解的条件，这是一种比阿贝尔前进得远得多的代数理论。

由于伽罗华的创造性的成绩，有人说：如果要在数学史上列举20位贡献最大的数学家的话，伽罗华必为其中之一。

遗憾的是，创立了如此伟大理论的伽罗华，年仅20岁就死于了涉及恋爱纠纷的一场决斗。

数学家的小故事：数学战士伽罗瓦
 今天极客数学帮为大家带来的数学家的小故事是关于伽罗瓦的。

这位来自法国的数学天才，21岁时就离开了这个世界，但是在这短短21年当中，他
对数学做出了巨大的贡献。

今天我们就一起来看看这位数学天才的一生。

 埃瓦里斯特·伽罗瓦（1811年10月25日－1832年5月31日），法国数学家，与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创始人。

 伽罗瓦的父母都是知识分子，12岁以前，伽罗瓦的教育全部由他的母亲
负责，他的父亲在伽罗瓦4岁时被选为Bourg
 La Reine的市长。

 12岁，伽罗瓦进入路易皇家中学就读，成绩都很好，却要到16岁才开始跟随
 Vernier 老师学习数学，他对数学的热情剧然引爆，对于其他科目再也提不起任何兴趣。

校方描述此时的伽罗瓦是“奇特、怪异、有原创力又封闭”。

 1827年，16岁的伽罗瓦自信满满地投考他理想中的大学：综合工科学校，却因为昏庸无能的主考官而名落孙山。

 1829年，伽罗瓦将他在代数方程解的结果呈交给法国科学院，由奥古斯丁·路易·柯西负责审阅，柯西却将文章连同摘要都弄丢了（19世纪的两个短。

四川省大英中学高一数学导学案 编制人： 陈波 曹森林 邓红英 审核人：徐厚义 领导审核：薛飞 班级 组别 姓名 评价§3.1.1 方程的根与函数的零点使用说明1.请同学们认真阅读课本，划出重要知识，规范完成学案自主学习并记熟基础知识。

2.结合课本知识独立思考，规范完成学案合作探究和当堂巩固练习，用红色笔做好疑难标记，准备讨论。

3.小组讨论探究课题，组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。

课后及时整理完善导学案。

学习目标1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方 程根的联系；2.自主学习，合作探究，掌握零点存在的判定定理；3.激情投入、全力以赴，享受学习数学的快乐。

学习过程预习案（预习教材P 86~ P 88，找出疑惑之处）复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法. 判别式∆= .当∆ 0，方程有两不等实根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有两相等实根，为0x = ； 当∆ 0，方程无实根.复习2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关系？判别式一元二次方程二次函数图象0∆> 0∆= 0∆<探究案※ 学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系 问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：（1）函数244y x x =-+的零点为 ；（2）函数243y x x =-+的零点为 .小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.探究任务二：零点存在性定理 问题：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号② 观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；()()f a f b 0；b fc 0)()f d 0.)()f b<0，a b上的图象是连续不断的一条曲线，)(),]内有零点，即存在也就是方程逆定理成立吗？试结合图形来分析)()0f b>．则函数至少有一个零点零点情况不确定的奇函数，且()f x训练案的零点所在区间为（()f b <0的函数所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法的零点近似值的步骤如何呢？()0f b <，给定精度ε；，则1x 就是函数的零点；1)()0f x <()0f b <，则令1(,)x b ）； ④判断是否达到精度ε；即若||a b -<a （或b ）；否则重复步骤②借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.把每个孩子的一生变成一个成功而精彩的故事※ 动手试试练1. 求方程3log 3x x +=的解的个数及其大致所在区间.★练2.求函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点（精确到0.1）零点所在区间中点函数值符号区间长度★★练3. 用二分法求33的近似值.总结提升 ※ 学习小结① 二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.※ 知识拓展高次多项式方程公式解的探索史料在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel ）和伽罗瓦（Galois ）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测——有效训练、反馈矫正1. 若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上（ ）.A. 至少有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 至多有一个零点2. 下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.★3. 函数()lg 27f x x x =+-的零点个数为 ，大致所在区间为 .训练案1. 函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（ ）. A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6)2. 用二分法求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得(2)1f =-，(3)16f =，(2.5) 5.625f =，那么下一个有根区间为 .★3. 求方程0.90.10xx -=的实数解个数及其大致所在区间.★4. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数3()2f x x =-的零点（精确到0.01）.)()0f b <，给定精度ε；，则1x 就是函数的零点；1)()0f x <)()0f b <，则令1(,)x b ）； ④判断是否达到精度ε；即若||a b -<a （或b ）；否则重复步骤②3(1x x ≤≤2()f x 有无零点()0f b <()0f c <，此时c ε<，而)在精确度近似值为（ A. 1x B. ）已知12,x x 的两个不同实根，2()()0x g x <1，2x 介于3，4x 介于1与2x 相邻，1，2x 与x 总结提升 ()f b 0<你完成本节导学案的情况为（较好 C. 当堂检测——有效训练、反馈矫正的最小值为2 B. 1 C. 0()0f b <，()2a bf +四川省大英中学高一数学导学案编制人：陈波曹森林邓红英审核人：徐厚义领导审核：薛飞班级组别姓名评价§3.2.1几类不同增长的函数模型(1)使用说明1.请同学们认真阅读课本，划出重要知识，规范完成学案自主学习并记熟基础知识。

阿贝尔和伽罗瓦的比较今天我要向大家介绍两位朋友――阿贝尔和伽罗瓦1 阿贝尔与伽罗瓦的不同点1．1 两人的个人基本情况比较1．2 数学研究的成就不同阿贝尔证明对一般的四次以上的方程没有代数解．伽罗瓦解决了什么样的方程有代数解，即方程有根式解的充要条件．1．3 运气不同“阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的数学界渐渐了解了他．继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写过若干篇类似的论文，都在‘克雷勒杂志‘上发表了．这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他业已成为众所瞩目的优秀数学家之一．遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此情况竟无所知．”但是伽罗瓦的重大创作在生前始终没有机会发表．1．4 成果的广泛性不同阿贝尔在数学上的贡献，主要表现在方程论、无穷级数和椭圆函数等方面．即除了代数方程论之外，阿贝尔还从事分析方面的研究．所以说阿贝尔是多产的．但是伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论．即伽罗瓦的成果重在代数方程论．1．5 成就的影响不同“阿贝尔的一系列工作为后人留下丰厚的数学遗产，为群论、域论和椭圆函数论的研究开拓了道路．他的数学思想至今深刻地影响着其他数学分支．C．埃尔米特(Hermite)曾这样评价阿贝尔的功绩：阿贝尔留下的一些思想，可供数学家们工作150年．”“伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论．正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程．正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具―群论．它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始．”1．6 心理状况不同阿贝尔――“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年．他寄居的那家房东又特别吝啬刻薄，每天只供给他两顿饭，却收取昂贵的租金．一天，他感到身体很不舒畅，经医生检查，诊断为肺病，尽管他顽强地不相信，但实情是他确已心力交瘁了．阿贝尔只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国．”伽罗瓦――“对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗瓦．虽然他的论文一再被丢失，得不到应有的支持，但他并没有灰心，他坚信他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播出去，还进一步向更广的领域探索．”2 阿贝尔与伽罗瓦的相同点与联系2．1 都遇到了好老师，受到好老师的指导帮助“15岁(1817)时，他幸运地遇到一位优秀数学教师B．M．霍尔姆博(Holmboё)．后者在数学上的最大贡献也正是发现并培养了这位数学天才．良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的愿望，使他对数学产生了兴趣．”“但在第三年(1826)，伽罗瓦对修辞学没有下足够的功夫，因而只得重读一年．在这次挫折之后，他被批准选学第一门数学课．这门课由H．J．韦尼耶(Vernier)讲授，他唤起了伽罗瓦的数学才能，使他对数学发生了浓厚的兴趣．”“1828年10月，伽罗瓦从初级数学班升到L．P．E．里查德(Richard)的数学专业班．里查德是一位年轻而富有才华的教授，并且具有发掘科学英才的敏锐判断力和高度责任感．他认为伽罗瓦是最有数学天赋的人物，‘只宜在数学的尖端领域中工作’．”2．2 都大量阅读了大师的著作“16 岁那年，他遇了一个能赏识其才能的老师霍姆伯（Holmboe）介绍他阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作．大师们不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的境界，他很快被推进到当时数学研究的前沿阵地．后来他感慨地在笔记中写下这样的话：‘要想在数学上取得进展，就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作．’”“他很快地学完了通常规定的课程，并求教于当时的数学大师．他如饥似渴地阅读了A?M?勒让德的著作《几何原理》和T.L.拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》．接着他又研究了L．欧拉(Euler)、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作，为自己打下了坚实的数学基础．由于他刻苦学习，能着重领会和掌握其中的数学思维方法，因此，这些功课的学习，使他思路开阔，科学创造的思维能力得到了训练和提高．他的中学数学专业班的老师里查德说‘伽罗瓦只宜在数学的尖端领域工作’．”2．3 都是很早就显示数学方面的才华“幼时，他（阿贝尔）就显露出数学上的才能．”“在父母的熏陶下，伽罗瓦童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品格．”2．4 同样是坎坷的人生．开始他们的观点都不为人所理解重视“阿贝尔终于在1825年8月获得公费，开始其历时两年的大陆之行．踌躇满志的阿贝尔自费印刷了证明五次方程不可解的论文，把它作为自己晋谒大陆大数学家们，特别是高斯的科学护照．他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见．但看来高斯并未重视这篇论文，因为人们在高斯死后的遗物中发现阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开．柏林是阿贝尔旅行的第一站．他在那里滞留了将近一年时间．虽然等候高斯召见的期望终于落空，这一年却是他一生中最幸运、成果最丰硕的时期．1826年7月，阿贝尔抵达巴黎．他见到了那里所有出名的数学家，他们全都彬彬有礼地接待他，然而却没有一个人愿意仔细倾听他谈论自己的工作．在这些社会名流的高贵天平上，这个外表腼腆、衣着寒酸、来自僻远落后国家的年轻人能有多少分量呢？他通过正常渠道将论文提交法国科学院．科学院秘书傅立叶读了论文的引言，然后委托勒让得和柯西负责审查．柯西把稿件带回家中，究竟放在什么地方，竟记不起来了．直到两年以后阿贝尔已经去世，失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式发表，则迁延了12年之久．从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年．”“1829年，伽罗瓦在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人．在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗瓦的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会．他在一封信中写道：‘今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗瓦的工作报告……但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议，讨论已指明的议题．’然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗瓦的著作，这是一个非常微妙的‘事故’．1830年2月，伽罗瓦将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖．论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗瓦的手稿．就这样，伽罗瓦递交的两次数学论文都被遗失了．1831年1月，伽罗瓦在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院．这篇论文是伽罗瓦关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁．传说泊阿松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是‘完全不能理解’．尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗瓦所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它．”本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文2．5 都犯了同样的错误，就是他最初都以为自己解出了一般的五次方程，可是后来发现了错误，但他们都能很快意识到了这一点，并重新研究“接着他研究一般五次方程问题．开始，他曾错误地认为自己得到了一个解．霍姆伯建议他寄给丹麦的一位著名数学家审阅，幸亏审阅者在打算认真检查以前，要求提供进一步的细节，这使阿贝尔有可能自己来发现并修正错误．这次失败给了他非常有益的启发，他开始怀疑，一般五次方程究竟是否可解？问题的转换开拓了新的探索方向，他终于成功地证明了要像较低次方程那样用根式解一般五次方程是不可能的．”“据伽罗瓦说，他在1828年犯了和N．H．阿贝尔(Abel)在8年前犯的同样错误，以为自己解出了一般的五次方程．但他很快意识到了这一点，并重新研究方程理论，他坚持不懈，直到成功地用群论阐明了这个带普遍性的问题．”2．6 都能在不为人重视的情况下，坚信自己努力让人理解参看第4点的材料．2．7 在新观点的论述中都犯了一个错误：论述过于简洁刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝，以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思：过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因．人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做．事实上，当你试图引寻读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡儿说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰．”“1824年，他证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式．该证明写进了“论代数方程――证明一般五次方程的不可解性”的著名论文中，从而结束了一般代数方程求根式通解的企图．他深知其结果的重要性，决定先以小册子形式自费出版它．为了节省经费，他把小册子压缩到6页，叙述很简洁，以致许多学者难以读懂．“数学王子”高斯也不相信一个青年能用这么短的篇幅，解决连他本人都尚未解决的难题．”2．8 重视爱的人“阿贝尔已自知将不久于人世，这时，他唯一牵挂的是他女友凯姆普的前途，为此，他写信给最亲近的朋友基尔豪(Kiel-hau)，要求基尔豪在他死后娶凯姆普为妻．尽管基尔豪与凯姆普以前从未觌面，为了让阿贝尔能死而瞑目，他们照他的遗愿做了．临终的几天，凯姆普坚持只要自己一个人照看阿贝尔，她要‘独占这最后的时刻’”“1832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗．伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿．”2．9 他们都是近世代数的开创者2．10 寿命很短，贡献很大3 从我们的这两位数学家的遭遇中，我们可以得到的启示3．1 关于生命、身体健康的思考“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年．一天，他感到身体很不舒畅，经医生检查，诊断为肺病，尽管他顽强地不相信，但实情是他确已心力交瘁了．阿贝尔只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国．”“1832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个舞女，卷入了一场他所谓的‘爱情与荣誉’的决斗．伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿．”从这两段话，我们可以关于生命的一点思考：珍惜生命，关爱自己．工作固然重要，但是身体健康也很重要．阿贝尔因为工作而“心力交瘁”，弄得身体“病弱”，我认为这是不对的．身体是自己的，工作再忙也要好好照顾自己！而伽罗瓦“为了一个舞女”，即使知道“自己难以摆脱死亡的命运”还是“卷入了一场他所谓的‘爱情与荣誉’的决斗”．我不知道他是怎样看待生命的？失去了生命，又谈何爱情呢？失去了一份爱，我们有没有必要为此不要了自己的生命？3．2 多读书，尤其是读大师的著作从阿贝尔与伽罗瓦的经历中，我们可以看到他们都读了很多书，尤其是数学大师的著作．所以我想，一个人都是想在某领域上取得成功必须看很多该领域的书，学习很多该领域的东西，尤其是读该领域大师的著作．3．3 坚定自己的信念，相信自己的能力从阿贝尔与伽罗瓦的经历中，我们可以看到他们的观点开始时都不为人理解，但是他们都坚定自己的信念，相信自己的能力．这给我们的启发是在走向成功的道路上，即使别人不相信不理解你时，你都要坚定自己的信念，相信自己的能力．这样才能成功．3．4 关于教师的影响、教育、课程的思考从阿贝尔与伽罗瓦的经历中，我们可以看到他们的老师对他们产生了很大的影响，尤其是在数学学习的兴趣上的影响很大．这让我想到了，在教育中教师的作用是很大的．教师应该在儿童教学中担任起启发者、引导者等角色．“他一开始就对那些不谈推理方法而只注重形式和技巧问题的教科书感到厌倦，于是，他毅然抛开教科书”这让我想起了英国的数学教育之柯克克洛夫特（W.H.Cockcroft）报告中一些内容：“即必须针对中学生的各种能力水平设计不同的数学课程．”“在每一教学阶段，学生都可以在其能力许可的范围内扩充与加深自己的数学知识．在中学学习一开始就要特别注意有天赋的学生的教育，要给他们提供足够的数学内容，否则这部分学生就会对数学失去兴趣并在以后很难恢复．”“报告”还提倡高年级学生阅读数学专业文献，培养独立研究数学的能力．“考试的结果不应对学生学习数学的信心有所伤害．”这就是要求我们的数学要有为不同的学生设计不同的课程，不能损害学生学习数学的兴趣，还要提倡学生阅读数学大师的著作．3．5 写书语言的思考刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝，以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思：过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因．人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做．事实上，当你试图引寻读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡儿说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰．”所以我们在向别人表达自己的观点时，不能过分地追求简洁，要尽可能用详细的别人容易理解的话来说明．3．6 心态的调整阿贝尔“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望”，“只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国．”这给我们一点启示就是对待挫折，我们要保持积极乐观的心态，要及时调整心态．3．7 建立一个客观而公正的科学评价体制是至关重要的通过阿贝尔的遭遇，我们认识到，建立一个客观而公正的科学评价体制是至关重要的．科学界不仅担负着探索自然奥秘的任务，也担负着发现从事这种探索的人才的任务．科学是人的事业，问题是要靠人去解决的．科学评价中的权威主义倾向却往往有害于发现和栽培科学人才．科学家有权威意味着他在科学的某一领域里曾做过些先进工作，他可能是科学发现方面踌躇满志的权威，却不一定是评价、发现、培养科学人才的权威，尤其当科学新分支不断涌现，所要评价的对象是天于连权威都陌生的新领域的工作时，情况更是如此．“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文”本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文。

被柯西坑了的两个天才数学家——阿贝尔和伽罗瓦书接上回大魔王拉格朗日的故事及拉格朗日中值定理，大魔王拉格朗日有个徒弟柯西“苦瓜”数学家柯西的故事及柯西中值定理，上次我们说了柯西的伟大成就，但是大家也有黑历史，这次我们就来挖一挖坑人的柯西先生。

阿贝尔和伽罗瓦是数学界让人最惋惜的两颗绚烂流星。

他们出生在同一个时代，各自都解开了困扰无数数学家250年的四次以上方程式的解法。

阿贝尔（左）和伽罗瓦（右）阿贝尔13岁就展露数学才华，他学习如牛顿、欧拉等数学大家的理论，甚至能从中找出他们的小漏洞。

他自己研究出五次方程式的解法，前人五百多页的解题思路都不能完全解决的问题，他只用六页就足以解释一切。

而伽罗瓦更是年少有成，他在19岁时就提出了著名的群论，完美的解决了五次以上的方程式求解问题。

群论研究名为群的代数结构。

群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。

群论的逻辑线他们都是不出世的天才，如果没有被这一个人坑的话，他们必然能成为极伟大的数学家。

这个人就是大数学家柯西，“柯西不等式”的柯西。

为纪念柯西这位伟大数学家出的纪念邮票他曾任职多个教授职衔，一生写了789篇论文，许多公式以柯西名字称呼。

但拉格朗日对柯西性格的担心也不是毫无道理。

他作为久负盛名的科学泰斗，却时常忽视青年学者的创造。

因为柯西的不靠谱，群论晚问世了半个世纪之久。

故事要从阿贝尔开始说起，十九世纪挪威最伟大的数学家出生在一个穷困的牧师家庭本身就是一种悲哀。

阿贝尔的父亲在他18岁那年去世，还在读大学的阿贝尔突然就要担起照顾全家的重担。

所幸他在读的奥斯陆大学的老师们都没放弃这位天才，他们一起资助了阿贝尔。

阿贝尔勤奋自学，一边还花大量时间作研究，研究方向就包括了四次以上方程的求解。

一元四次方程求解公式，可以窥见五次的难度当时意大利的数学家鲁菲尼以五百多页的证明对一元五次方程求解做了论述，并在柯西的推动下发展出了最初的置换群思想。

什么是群、什么是阿贝尔群（abel群、阿贝尔群也称为交换群或可交换群）、群论入门一、什么是群伽罗瓦理论之美参考URL:中文名：群外文名：group含义：数学概念在数学中，群表示具有满足闭包、结合律、单位元和逆元的二元运算的代数结构，包括Abel群、同态和共轭类。

伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。

在伽罗瓦看来，“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构，这是一种更加本质、更加抽象的数学结构，当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候，就形成了新的数学概念——群。

（1）群：给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”（这个“乘法”不是数字运算的乘法，而只是借用了这个名字，因此加上了引号），如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足：<1> 封闭性：集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内；<2> 结合律：这个“乘法”满足(a b)c=a(b c)；<3> 单位元：集合中存在某个元素e，对于任意集合中的其它元素a有e a=a e=a，e被称为单位元；<4> 逆元：对于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一个元素 a − 1 a^{-1} a−1 ，使得 a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = e a*a^{-1} =a^{-1}*a=e a∗a−1=a−1∗a=e ，a与 a − 1 a^{-1} a−1 互为逆元。

此时，这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。

“群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。

容易验证，整数集合在加法运算下成群（这里的加法就通常意义的数字加法，对应着群定义中的“乘法”），其单位元是数字0；但是整数集合在乘法运算下不成群，这是因为对于大部分整数，没有乘法的逆元。

其实群在日常生活中也会存在，常见的是魔方，它的全部操作构成一个集合，再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”，则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群，叫做RUBIC群。

数学史话之夭折的天才阿贝尔和伽罗瓦我们每个人都知道，诺贝尔奖每年都有，颁给了很多在各自领域做出了突出贡献的科学家，但唯独没有给数学家的奖项，而数学界的诺贝尔奖则一直由一个叫做菲尔兹的奖项独占。

然而菲尔兹奖相对于诺贝尔奖来说，不但少（四年一届），而且条件苛刻（只颁给40岁以下的数学家）。

可能是觉得数学家在40岁以后基本已经告别开拓和创新了吧，不过也的确如此，世界范围内的数学家都是在十分年轻的时候就做出了惊人的成就。

而这个世界对于数学家，特别是青年数学家来说，又实在太残酷了。

很多时候，他们需要的不止是才华，还有时代、方向、领域，甚至运气。

比如科普君今天要说的这两位，都是在生命之花刚开始绽放的时候就凋谢了，如同划过天边的流星一样，闪亮而短暂。

他们用极其短暂的一生奉献给人类的却是'够科学家忙500年'的成果。

他们就是阿贝尔和伽罗瓦。

阿贝尔和伽罗瓦尼尔斯·亨利克·阿贝尔于1802年出生在挪威的一个小村庄芬德，他的父亲是个牧师。

当时整个挪威都十分贫穷，阿贝尔从小就处在饥饿之中。

他13岁的时候开始入学读书，这时候它的数学才华开始显现。

在他老师的引导下，16岁的阿贝尔开始阅读牛顿、欧拉和拉格朗日的著作，并且很快就领会了它们，然后他开始挑战高斯的《算术研究》，也非常快地掌握了这本'七封印之书'的最深奥难懂的部分。

若干年后，有人问阿贝尔如何才能快速地进入一流的行列，阿贝尔回答说：要学习大师们，而不是他们的学生。

阿贝尔在学习的过程中发现了前辈们认为已经证明了的，但是实际上并没有被严格证明的很多东西，特别是欧拉的关于无穷级数和拉格朗日的关于分析学的一些内容。

阿贝尔决心依靠自己的努力来弥补这些不足，他很快就证明了一般二项式定理，但这只是阿贝尔为了澄清无穷级数理论和应用的极具野心的庞大计划的一小部分。

二项式定理然而，到了1820年，阿贝尔的父亲去世了，养活全家（阿贝尔有6个弟妹）的重担压到了18岁的阿贝尔肩上。

伽罗瓦河北师范学院邓明立伽罗瓦，E．(Galois，Evariste)1811年10月25日生于法国巴黎附近的拉赖因堡；1832年5月31日卒于巴黎．数学．伽罗瓦的父亲N．G．伽罗瓦(Galois)是法国资产阶级革命的支持者，为人正直厚道．他在1815年拿破仑发动“百日政变”期间，当选为拉赖因堡市的市长．伽罗瓦的母亲是一位当地法官的女儿，聪明而有教养，但个性倔强，甚至有些古怪．她是伽罗瓦的启蒙老师，为他的希腊语和拉丁语打下了基础，并且把她自己对传统宗教的怀疑态度传给了儿子．1823年10月，12岁的伽罗瓦离别双亲，考入路易·勒格兰皇家中学，开始接受正规教育．在中学的前两年，他因希腊语和拉丁语成绩优异而多次获奖；但在第三年(1826)，伽罗瓦对修辞学没有下足够的功夫，因而只得重读一年．在这次挫折之后，他被批准选学第一门数学课．这门课由H．J．韦尼耶(Vernier)讲授，他唤起了伽罗瓦的数学才能，使他对数学发生了浓厚的兴趣．他一开始就对那些不谈推理方法而只注重形式和技巧问题的教科书感到厌倦，于是，他毅然抛开教科书，直接阅读数学大师们的专著．A．M．勒让德(Legendre)的经典著作《几何原理》(Eléments de géo－me tre，1792)，使他领悟到数学推理方法的严密性；J．L．拉格朗日(Lagrange)的《解数值方程》(Rélution deséquations nume－riques，1769)、《解析函数论》(Théorie des fonctions analytiques，1797)等著作，不仅使他的思维更加严谨，而且其中的思想方法对他的工作产生了重要的影响；接着他又研究了L．欧拉(Euler)、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作，为自己打下了坚实的数学基础．学习和研究数学大师的经典著作、是伽罗瓦获得成功的重要途径．他深信自己能做到的，决不会比他们少．他的一位教师说：“他被数学的鬼魅迷住了心窍．”然而，他忽视了其他学科，导致了他首次(1828)报考巴黎综合工科学校失败．1828年10月，伽罗瓦从初级数学班升到L．P．E．里查德(Richard)的数学专业班．里查德是一位年轻而富有才华的教授，并且具有发掘科学英才的敏锐判断力和高度责任感．他认为伽罗瓦是最有数学天赋的人物，“只宜在数学的尖端领域中工作”．于是，年仅17岁的伽罗瓦开始着手研究关于方程理论、整数理论和椭圆函数理论的最新著作．他的第一篇论文“周期连分数的一个定理的证明”(Démonstration d’un théoréme sur les fractionscontinues périodiques)，于1829年3月发表在J．D．热尔岗(Gergonne)主办的《纯粹与应用数学年刊》(Annales de Mathé－matiques Pures et Appliquées)上，它更为清楚地论述和说明了欧拉与拉格朗日关于连分式的结果．据伽罗瓦说，他在1828年犯了和N．H．阿贝尔(Abel)在8年前犯的同样错误，以为自己解出了一般的五次方程．但他很快意识到了这一点，并重新研究方程理论，他坚持不懈，直到成功地用群论阐明了这个带普遍性的问题．1829年5月25日和6月1日，他先后将他的两篇关于群的初步理论的论文呈送法国科学院．科学院请柯西做论文的主审．然而，一些事件挫伤了这个良好的开端，而已在这位年轻数学家的个性上留下了深深的烙印．首先，伽罗瓦的父亲由于受不了保守的天主教牧师的恶毒诽谤于7月2日自杀身亡．之后不到一个月，伽罗瓦参加了巴黎综合工科学校的入学考试，由于他拒绝采用主考官建议的解答方法，结果又遭失败．最后他不得已报考了高等师范学院，于1829年10月被录取．柯西审核的伽罗瓦的论文，新概念较多，又过于简略，因此柯西建议他重新修改．1830年2月，伽罗瓦将他仔细修改过的论文再次呈送科学院，科学院决定由J．B．J．傅里叶(Fourier)主审．不幸，傅里叶5月份去世，在他的遗物中未能找到伽罗瓦的手稿．1830年4月，伽罗瓦的论文“关于方程代数解法论文的分析”发表在B．D．费吕萨克(Férussac)的《数学科学通报》(Bulle－tetin des Sciences Mathématiques)上．同年6月，他又在同一杂志上发表了两篇论文——“关于数值方程解法的注记”和“数的理论”，这期杂志上还刊登着柯西和S．D．泊松(Poisson)的文章，这充分说明了伽罗瓦已在数学界赢得了声誉．伽罗瓦进入师范学院一年，正当他做出卓越的研究工作之时，法国历史上著名的1830年“七月革命”爆发了．伽罗瓦作为一名勇敢追求真理的共和主义战士，反对学校的苛刻校规，抨击校长在“七月革命”期间的两面行为．为此，他于1830年12月8日被校方开除．于是，他便根据自己的意志投身于政治活动．1831年5月9日，在一个共和主义者的宴会上，伽罗瓦举杯对国王进行了挑衅性的祝酒，于第二天被捕．罪名是教唆谋害国王生命的未遂罪．6月15日被塞纳陪审法院释放．在此期间，伽罗瓦继续进行数学研究．他于1831年1月13日开了一门关于高等代数的公开课，以讲授自己独创的学术见解谋生．但是，这个设想并未获得多大成功．1831年1月17日，他向科学院呈送了题为“关于方程根式解的条件”的论文，这次负责审查论文的是泊松和S．F．拉克鲁瓦(Lacroix)．虽然泊松认真地审阅了它，可得出的结论却是“不可理解”．在他们给科学院的报告中说：“我们已经尽了最大努力来研究伽罗瓦的证明，他的推理显得不很清楚，到目前为止，我们还不能对它作出正确评价，因为有说服力的证明还没有得到．因此，在这篇报告中，我们甚至不能给出他的证明思想．”最后，泊松建议伽罗瓦进一步改进并详细阐述他的工作．1831年7月14日，伽罗瓦率众上街示威游行时，再次被捕，他被关押在圣佩拉吉监狱．他在狱中顽强地进行数学研究，一面修改他关于方程论的论文，研究椭圆函数，一面着手撰写将来出版他著作时的序言．1832年3月16日，由于宣布霍乱正在流行，伽罗瓦被转移到一家私人医院中服刑．他在那里陷入恋爱，后因爱情纠纷而卷入一场决斗．4月29日，伽罗瓦获释．5月29日，即决斗的前一天，伽罗瓦给共和主义者的朋友们写了绝笔信．尤其在给A．舍瓦列耶(Cheralier)的信中，表明他在生命即将结束的时候，仍在整理、概述他的数学著作．第二天清晨，在冈提勒的葛拉塞尔湖附近，他与对手决斗，结果中弹致伤后被送进医院．1832年5月31日，这位未满21岁的数学家与世长辞了．伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了代数方程的可解性问题．人们为了纪念他，把用群论的方法研究代数方程根式解的理论称之为伽罗瓦理论．它已成为近世代数学的最有生命力的一种理论．群论起源于代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果．对于方程论，拉格朗日有过卓越的概括．在1770年前后，他利用统一的方法(现在称为拉格朗日预解式方法)，详细分析了二次、三次、四次方程的根式解法，提出了方程根的排列置换理论是解决问题的关键所在．他的方法对于求解低次方程卓有成效，但对一般的五次方程却没有任何明确的结果，致使他对高次方程的求解问题产生了怀疑．P．鲁菲尼(Ruffini)于1799年首次证明了高于四次的一般方程的不可解性，但其证明并不完善．在1824—1826年，阿贝尔修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明了一般的五次或五次以上的代数方程不可能有根式解．其间，高斯于1801年建立了分圆方程理论，解决了二项方程的可解性问题，这对于伽罗瓦理论的创立至关重要．1815年，柯西对于置换理论的发展做出了贡献．固然高于四次的一般方程不能有根式解，但是有些特殊类型的方程(如二项方程、阿贝尔方程割仍然可以用根式求解．因此，全面地刻画可用根式求解的代数方程的特性问题，乃是一个需要进一步解决的问题．伽罗瓦的理论正是在这样的背景上发展起来的．伽罗瓦继承和发展了前人及同时代人的研究成果，融会贯通了各流派的数学思想，并且凭着他对近代数学概念特性的一种直觉，超越了他们．他系统地研究了方程根的排列置换的性质，首次定义了置换群的概念，他认为了解置换群是解决方程理论的关键．在1831年的论文中，伽罗瓦把具有封闭性的置换的集合称为“群”．当然，这只是抽象群的一条重要性质而已．群是近代数学中最重要的概念之一，它不仅对数学的许多分支有深刻的影响，而且在近代物理、化学中也有许多重要的作用．因此，群的概念需要以高度抽象的形式来表达．现在公认群是元素间存在二元运算(例如乘法)并具有下列四条性质的集合：(1)(封闭性)集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合；(2)(结合性)乘法满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)；(3)(存在单位元)集合中存在单位元I，对集合中任意元素a满足I·a=a·I=a；(4)(存在逆元)对集合中任一元素a，存在唯一元素a-1，使得a-1·a=a·a-1=I．伽罗瓦是利用群论的方法解决代数方程可解性问题的．他注意到每个方程都可以与一个置换群联系起来，即与它的根之间的某些置换组成的群联系；现在称这种群为伽罗瓦群．对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使该函数的值不变．反过来，如果伽罗瓦群中的每个置换都使一个根的多项式函数的值不变，则这多项式函数的值是有理的．因此，一个方程的伽罗瓦群完全体现了它的根(整体)的对称性．伽罗瓦的思想方法大致是这样的：他将每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域(现在称之为方程的伽罗瓦域)，这个域又对应一个群，即这个方程的伽罗瓦群．这样，他就把代数方程可解性问题转化为与方程相关的置换群及其子群性质的分析问题．这是伽罗瓦工作的重大突破．具体说来，假设方程x n+a1x n-1+a1x n-2+…+a n-1x+a n=0的系数生成的域为F，E是方程的伽罗瓦域，它是将方程的根添加到F上所生成的域，现在称之为伽罗瓦扩张．让G表示方程的伽罗瓦群．这个方程是否可用根式求解的关键问题是：数域F是否可以经过有限次添加根式而扩张为根域E．也就是说是否存在有限多个中间域：F1，F1，…，F s-1，F s=E，使F=F0F1F1…F s=E．其中每个F i都是由F i-1添加F i-1中的数的根式所生成的扩域．不妨假定，F是含有这个方程的系数及1的各次方根的最小域，且每次所添加的根式均为素数次根．那么，这样的中间域Fi与Fi-1之间有何关系呢？伽罗瓦经过认真的研究，认为关键取决于使Fi-1保持不变的Fi的自同构变换群的结构．可以证明，这样的自同构群是素数阶的循环群，且阶数为[Fi∶Fi-1]．域上的自同构群概念的引入，使域与群发生了联系．即建立了伽罗瓦域的子域与伽罗瓦群的子群之间的一一对应关系．事实上，保持F=F0的元素不动的E的每个自同构决定方程根的一个置换，它属于伽罗瓦群G；反之，G中每个置换引起E的一个自同构，它使F的元素不动．这样就建立了E的自同构群和方程的伽罗瓦群之间的同构．由此建立E的子域(包含F)和G的子群之间的一一对应：保持子域Fi元素不动的G中全部置换构成G的一个子群Gi，让Gi与Fi对应，而且反过来也可用Gi来刻划Fi，即Fi是E中对Gi的每个置换保持不动的元素全体．伽罗瓦还利用方程根的n！值的线性系数θ(n表示方程根的个数)来定出方程的伽罗瓦群．虽然这种计算并非易事，但的确给出了计算伽罗瓦群的一种方法，而且伽罗瓦在这里给出了域扩张的本原元素的概念．在代数方程可解性的研究中，伽罗瓦的主要思想是对给定方程的系数以及经过有限次扩张的中间域给出了一个群的序列，使得每个扩域相对应的群是它前一个域相应的群的子群．伽罗瓦基本定理就描述了中间域与伽罗瓦群的子群之间的对应关系．利用这种关系，可由群的性质描述域的性质；或由域的性质描述群的性质．因此，伽罗瓦的理论是域与群这两种代数结构综合的结果．伽罗瓦的工作主要基于两篇论文——“关于方程根式解的条件”和“用根式求解的本原方程”．这两篇论文于1846年由J．刘维尔(Liouille)编辑出版．此后，人们便开始介绍和评价伽罗瓦的工作，他的思想方法逐渐为人们所接受．在这些论文中，伽罗瓦将其理论应用于代数方程的可解性问题，由此引入了群论的一系列重要概念．当伽罗瓦将二项方程作为预解方程研究时，他发现其相应的置换子群应是正规子群且指数为素数才行．正规子群概念的引入及其性质和作用的研究，是伽罗瓦工作的又一重大突破．属于伽罗瓦的另一个群论概念是两个群之间的同构．这是两个群的元素之间的一一对应，使得如果在第一个群中有a·b=c，则对第二个群的对应元素，有a′·b′=c′．他还引进了单群和合成群的概念．一个没有正规子群的群是单群，否则是合成群．他表述了最小单群定理：阶是合成数的最小单群是60阶的群．伽罗瓦还利用正规子群判别已知方程能否转化为低次方程的可解性问题．用现代语言可将他的思想方法描述如下：首先定义正规子群的概念，即群G的子群N叫做G的正规子群，是指对于每个g∈G，g－1Ng=N；其次是寻找极大正规子群列，确定极大正规子群列的一系列合成因子．如果一个群所生成的全部合成因子都是素数，伽罗瓦就称这个群为可解的．他利用可解群的概念全面刻画了用根式解方程的特性，给出了判别方程可解性的准则：一个方程可用根式解的充要条件是这个方程的伽罗瓦群是可解群．虽然这一准则不能使一个确定方程的精确求解更为简单，但它确实提供了一些方法，可以用来得出低于五次的一般方程，以及二项方程和某些特殊类型方程的可解性的有关结果，还可以直接推导出高于四次的一般方程的不可解性．因为一般的n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn；当n＞4时，n次交错群An是非交换的单群(不可解)，An又是Sn的极大正规子群．由此可推出Sn 是不可解的．既然对于所有这样的n值，都存在其Sn是伽罗瓦群的n次方程，所以一般的高于四次的方程不可能得到根式解．在“关于方程代数解法论文的分析”中，伽罗瓦提出了一个重要定理(未加证明)：一个素数次方程可用根式求解的充要条件是这个方程的每个根都是其中两个根的有理函数．伽罗瓦用它判别特殊类型方程的根式解问题．他所研究的这种方程，现在称之为伽罗瓦方程，是阿贝尔方程的推广．在“数的理论”一文中，伽罗瓦用现在所谓的“伽罗瓦虚数”对同余理论作了推广并将之应用于研究本原方程可用根式求解的情况．关于伽罗瓦虚数，在伽罗瓦之前只知道特征0的域，如有理数域、实数域、复数域等，伽罗瓦在这篇论文中给出了一类新的域，即伽罗瓦域，现在称为有限域，它们是素数特征的城．有限域在现在通讯中的重要作用是尽人皆知的．伽罗瓦的数学遗作，首次(1846)发表在刘维尔主办的《纯粹与应用数学杂志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)上．1897年，E．皮卡(Picard)再次出版了《伽罗瓦数学手稿》(Ocuvres mathématiques d’Evariste Galois)．之后，J．塔涅伊(Tannery)编辑的《伽罗瓦的手稿》(Manuscriste d’Evariste Galo－is)于1908年正式出版．1962年，R．布尔哥涅(Bourgne)和J．P．阿兹拉(Azra)编辑出版了带有评论性的典型版本《伽罗瓦数学论文全集》(Ecrists et mémoires mathématiques d’EvaristeGalois)，它汇集了伽罗瓦所有已发表的著作，以及绝大部分还保存的数学提纲、信件和原稿．这些史料证实了伽罗瓦的数学研究，与他对数学本质尤其对数学方法的追求、探索是密不可分的，展示了他对现代数学精神的远见卓识．从中精选出的有关数学观、方法论的原文，已成为当今研究的方向．伽罗瓦不仅研究具体的数学问题，而且研究能概括这些具体成果并决定数学长期发展及人们思维方式转变的新理论——群论．由此还发展了域论．D．希尔伯特(Hilbert)曾把伽罗瓦的理论称为“一个明确的概念结构的建立”．这种理论，对于近代数学、物理学、化学的发展，甚至对于20世纪结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响．正象E．T．贝尔(Bell)所说的：“无论在什么地方，只要能应用群论，从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐，群的概念是近世科学思想的出色的新工具之一．”伽罗瓦还是头一位有意识地以结构研究代替计算的人．他使人们从偏重“计算”研究的思维方式转变为用“结构”观念研究的思维方式，他的理论是群与域这两种代数结构综合的结果．在他的论文序言部分明确表述了这种思想，他提出：“使计算听命于自己的意志，把数学运算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类——这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路．”这种深邃的数学思想，已明显地具有现代数学的精神．伽罗瓦“‘把数学运算归类”这句话，毫无疑问是指现在所谓群论．群的功能正是将所研究的对象进行分类，而不管研究对象本身及其运算的具体内容，它是在错综复杂的现象中探讨共同的结构．一般说来，一个抽象的集合不过是一组元素而已，无所谓结构，一旦引进了运算或变换就形成了结构；所形成的结构中必须包含着元素间的关系，这些关系通常是由运算或变换联系着的．“把数学运算归类，而不是按照它们的外部特征加以分类”，其思想实质是：数学由研究具体的数和形的外部特征转变成研究一般的、抽象的结构．伽罗瓦对代数结构的探索，深化了人们关于数学研究对象的认识——按照这种观念，数学的研究对象不是孤立的量，而是数学的结构．从自发到自觉转变的意义上说，伽罗瓦已经处于近代数学的开端．他为19世纪数学家们提出的问题及任务，导致了公理方法的系统发展和代数基本结构的深入研究．因此，伽罗瓦是近世代数学的创始人．伽罗瓦在数学上做出了巨大的贡献，他在数学观、认识论方面也有不少独立的见解．他认为科学是人类精神的产物，与其说是用来认识和发现真理，不如说是用来研究和探索真理．科学作为人类的事业，它始于任何一个抓住它的不足并重新整理它的人．伽罗瓦指出：“科学通过一系列的结合而得到进展，在这些结合中，机会起着不小的作用，科学的生命是无原由的、没有计划的(盲目的)，就像交错生长的矿物一样．”在数学中，正像在所有的科学中一样，每个时代都会以某种方式提出当时存在的若干问题，其中有一些迫切的问题，它们把最聪慧的学者吸引在一起，这既不以任何个人的思想和意识为转移，也不受任何协议的支配．伽罗瓦向往着科学家之间的真诚合作，认为科学家不应比其余的人孤独，他们也属于特定时代，迟早要协同合作的．伽罗瓦的奠基性工作及其思想中孕育的开创精神，并未得到他同时代人的充分赏识和理解，其原因不是人为的偏见，而是当时人们认识上的不足．直到伽罗瓦去世14年后的1846年，刘维尔编辑出版了他的部分文章；1866年，J．A．塞雷特(Serret)出版的《高等代数教程》(第三版)(Cours d’algébre superieure)，澄清了伽罗瓦关于代数方程可解性理论的思想，建立了置换理论；1870年，C．若尔当(Jordan)出版的《置换和代数方程专论》(Traitédes substitutions et deséquations algébriques)，全面介绍了伽罗瓦的理论．从此，群论和伽罗瓦的全部工作才真正被归入数学的主流．伽岁瓦的理论导致了抽象代数学的兴起．。

第二章群群论有着悠久的历史, 现在已发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支, 在近世代数和整个数学中占有重要地位.在19 世纪初, 数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题,即五次和五次以上代数方程的根式解问题, 被挪威青年数学家阿贝尔( N .H .Abel , 1802～ 1829 ) 和法国青年数学家伽罗瓦( E .Galois , 1811～1832 )所彻底解决. 从而推动了数学的发展, 其重要意义是不言而喻的. 但更重要的是, 他们在解决这一问题时引入了一种新概念和新思想, 即置换群的理论, 它对今后数学的发展, 特别是代数学的发展起着巨大的关键性的作用. 因此可以说, 阿贝尔和伽罗瓦是群论和近世代数的真正创始人.在阿贝尔和伽罗瓦之后, 人们逐渐发现,对于这一理论中大多数的本质问题来说, 用以构成群的特殊材料—置换—并不重要, 重要的只是在于对任意集合里所规定的代数性质的研究,即对于我们上一章所说的代数系统的研究. 这样一个现在看起来似乎很平凡的发现, 实际上是一个很大的突破, 它的重要意义在于把置换群的研究推进到了更一般的抽象群的研究上去. 这样便把群的研究建立在公理化的基础上, 使它的理论变得更加严谨和清晰, 从而为这一理论的进一步蓬勃发展开辟了广阔的前景.在群的抽象化理论中做出贡献的数学家, 主要有凯莱( A.Cayley , 1821～1895) 、弗罗宾纽斯( F.G.Frobenius , 1849～1917)以及柯西( A.L.Cauchy , 1785～1857)、若尔当(C.Jordan ,1838～1922 )和西罗( L.Sylow, 1832～1918 )等人.这一章主要介绍群的定义、例子、基本性质和一些特殊群类.§1 群的定义和初步性质定义1 设G 是一个非空集合, 是它的一个代数运算,如果满足以下条件:Ⅰ.结合律成立, 即对G 中任意元素a ,b ,c 都有()()a b c a b c =;Ⅱ.G 中有元素e, 叫做G 的左单位元, 它对G 中每个元素a 都有e a a =;Ⅲ.对G 中每个元素a , 在G 中都有元素1a -, 叫做a 的左逆元,使1a -a e =;则称G 对代数运算作成一个群.如果对群G 中任二元素a ,b 均有a b b a =,即G 的代数运算满足交换律, 则称G 为交换群( 可换群) 或Abel 群. 否则称G 为非交换群(非可换群)或非Abel 群.例如, 显然全体非零有理数以及全体正有理数对于数的普通乘法都作成群, 分别称其为零有理数乘群有理数乘群.但应注意, 整数集Z 对于数的普通乘法不能作成群. 因为,尽管普通乘法是Z 的代数运算, 并且满足结合律, 也有左单位元1, 但是, 除去±1外其他任何整数在Z 中都没有左逆元.又显然, 数域F 上全体n 阶满秩方阵对矩阵的普通乘法( 或F 上n 维线性空间的全体满秩线性变换对线性变换的乘法) 作成一个群, 通常称其为F 上的一般线性群或F 上的n 阶线性群,并用()n GL F 表示.下面再举一些别的例子.例1 设G 为整数集. 问: G 对运算4a b a b =++是否作成群?解 由于对任意整数a ,b , 显然4a b ++为由a 与b 惟一确定的整数, 故所给运算是G 的一个代数运算. 其次, 有()(4)4a b c a b c =++++8a b c =+++.同理有()a b c 8a b c =+++. 因此, 对G 中任意元素a ,b ,c 有 ()a b c =()a b c ,即代数运算满足结合律.又因为对任意整数a 均有(4)44a a a -=-++=,故4-是G 的左单位元.最后, 由于(8)844a a a a --=--++=-,故8a --是a 的左逆元.因此, 整数集G 对代数运算作成一个群.例2 问: 由全体正整数作成的集合G 对运算b a b a =是否作成群?解 所给运算显然是全体正整数集合的一个代数运算. 但是结合律不成立, 因为例如==,(21)2224==,2(12)212从而(21)22(12)≠.因此, 全体正整数集合对这个代数运算不作成群.对于一个集合, 要考察它是否作成群, 不仅要注意它的元素是什么, 更应注意它的代数运算是什么.因为同一个集合, 对这个代数运算可能作成群, 而对另一个代数运算却不一定作成群; 即使对两个不同的代数运算同时都作成群, 那么一般来说, 也被认为是两个不同的群.我们知道, 一个群的代数运算叫什么名称或用什么符号表示,这是非本质的.因此, 在不致发生混淆时, 有时为了方便, 也常把群的代数运算叫做“乘法”, 并且往往还把a b简记ab.一个群如果只包含有限个元素, 则称为有限群; 否则称为无限群.如果一个有限群G中所含的元素个数为n , 则称n为群G的阶, 并记为G n=.无限群的阶称为无限, 被认为是大于任意的正整数.例如, 1G>就意味着G可能是阶大于1 的有限群, 也可能是无限群.我们前面所提到的一切群都是无限群, 下面再举几个有限群的例子.例3 全体n次单位根对于数的普通乘法作成一个群.这个群记为U,并称为n次单位根群.n事实上, 由于任二n 次单位根的乘积以及n 次单位根的逆均仍为 n 次单位根, 又1是n 次单位根, 故n U 作成群, 而且是一个n 阶有限交换群.以后将知道, n 次单位根群是一种很重要的群.例4 令{}1,,,,1,,,G i j k i j k =----,并规定G 的乘法如下:111111i j k i j k ii k j jj k i k k j i ------ ,()()x y x y xy -=-=-,()x x --=,其中{},1,,,x y i j k ∈.显然G 对这个乘法封闭(即G 中任二元素之积仍属于G ) ,因此, 此乘法是G 的一个代数运算; 又1是左单位元; 每个元素的左逆元也是明显的: 因为, 1与-1的左逆元均为自身, i 与i -(j 与j -以及k 与k -)互为左逆元.因此, 要证明G 对此乘法作成一个群, 关键在于验算结合律成立. 但由乘法表知, 因为,,i j k 三个元素在乘法中地位相当, 故只用验算以下诸等式成立即可:()()ii i i ii =,()()ii j i ij =,()()ji i j ii =,()()ij i i ji =,()()ij k i jk =.不难验算这五个等式都成立, 故G 对所规定的乘法作成一个群.它是一个8 阶非交换群. 通常称这个群为四元数群.这个群我们以后还要讨论.下面来讨论群的一些基本性质.定理1 群G 的元素a 的左逆元1a -也是a 的一个右逆元,即有1a -1a aa e -==.证 因为1a G -∈,故1a -在G 中也有左逆元, 设为a ', 即1a a e -'=由此可得()()()1111aa e aa a a aa ----'==()()1111a aa a a ea a a e ----⎡⎤'''===⎣⎦从而11a a aa e --==(证毕)以后称1a -是a 的逆元.定理2 群G 的左单位元e 也是G 的一个右单位元, 即对群G 中任意元素a 均有ea ae a ==.证 因为()()11ae a a a aa a ea a --====,故 ea ae a ==.(证毕)以后称e 为群G 的单位元.定理3 群G 的单位元及每个元素的逆元都是惟一的.证 设e 与e '都是G 的单位元, 则根据单位元的定义, 有ee e e ''==.其次, 设1a -及a '都是a 的逆元, 即有11a a aa e --==,a a aa e ''==.由此进一步得()()11a a e a aa a a a --''''===11ea a --==,即1a a -'= ,a 的逆元是惟一的.(证毕)推论1 在群中消去律成立, 即ab ac = b c =,ba ca = b c =.这个推论的证明是显然的, 因为只需用1a -分别从左、右乘二等式两端即得.下面介绍一种同群有密切关系但比群更广泛的代数系统. 定义2 设S 是一个非空集合. 如果它有一个代数运算满足结合律, 则称S 是一个半群.如果S 中有元素e , 它对S 中任意元素a 都有ea a =,则称e 为半群S 的一个左单位元; 如果在S 中有元素e ', 它对S 中任意元素a 都有ae a '=,则称e'为S的一个右单位元.如果半群S有单位元(既是左单位元又是右单位元) , 则称S为有单位元的半群, 或简称幺半群(monoid).在一个半群中, 可能既没有左单位元, 也没有右单位元; 可能只有左单位元, 而没有右单位元; 也可能只有右单位元, 而没有左单位元. 但是, 如果既有左单位元又有右单位元, 则二者必相等, 它就是半群的惟一的单位元.例5 正整数集对普通乘法作成一个半群, 而且是一个幺半群, 1 是它的单位元.例6 正整数集对普通加法作成一个半群, 它既没有左单位元也没有右单位元.例7 设S是任一非空集合, 对S中任意元素a,b规定=ab b则S作成一个半群, 而且S中每个元素都是左单位元. 但是当1S>时, S没有右单位元.本节最后介绍两个定理, 它实际上是群定义的另两种形式.定理4 设G是一个半群, 则G作成群的充分与必要条件是:1) G有右单位元e: 即对G中任意元素a都有=;ae a2) G中每个元素a都有右逆元1a-:1-=.aa e证利用定理1及定理2 的结果以及此二定理的类似证法,立即可得.这个定理说明, 在群的定义里, 可同时将左单位元改为右单位元并把左逆元改成右逆元.定理5 设G 是一个半群, 则G 作成群的充要条件是, 对G 中任意元素a ,b 方程ax b =,ya b =在G 中都有解.证 设G 作成群, 则1x a b -=,1y ba -=显然分别为两个方程的解.反之, 设对G 中任意元素a ,b ,所给两个方程在G 中都有解. 则对G 中任意一个固定元素b ,设方程yb b =在G 中的解用e 表示, 即有eb b =.再任取a G ∈,设方程bx a =在G 中的解为c , 即有bc a =.于是()()ea e bc eb c bc a ====,即e 是G 的左单位元.最后, 对G 中任意元素a , 由于方程ya e =在G 中有解, 即a 在G 中有左逆元.因此, G 作成一个群.(证毕)显然, 在群中方程ax b =与ya b =的解都是惟一的.推论2 有限半群G 作成群的充分与必要条件是, 在G 中两个消去律成立.证 必要性显然, 下证充分性, 设G n =,且{}12,n G a a a =.今在G 中任取元素a ,b . 由于半群G 满足消去律, 从而易知{}12,n b G aa aa aa ∈=. 于是在G 中必有某j aa b =()1j n ≤≤, 即方程ax b =在G 中有解.同理可证方程ya b =在G 中也有解. 故由定理5 知G 作成群.(证毕)在推论2中, 要求半群G 有限是必要的, 因为例如正整数集对乘法作成半群, 消去律也成立, 但显然它并不作成群.如果一个交换群G 的代数运算用加号“ + ”表示时, 我们常称其为一个加群. 这时的单位元改用0表示, 并称为G 的零元; 元素a 的逆元用a -表示, 并称为a 的负元.例如, 全体整数对数的普通加法作成一个加群, 常称其为整数加群; 又如全体有理数, 更一般地, 任意数环或数域对数的普通加法都作成加群.但应注意, 在一般情况下, 我们今后讨论抽象群时, 其代数运算不管是否满足交换律却仍用通常的乘号表示或省略这个乘号, 并仍称为乘法.§2 群中元素的阶设G 是一个群. 由于G 对乘法满足结合律, 因此由第一章可知,在G 中任意取定n 个元素1a ,2a ，n a 后, 不管怎样加括号, 其结果都是相等的, 所以12n a a a总有意义, 它是G 中一个确定的元素.下面我们对群中元素引入指数的概念.任取a G ∈,n 是一个正整数, 规定0a e =,n n a aa a =个，()1111n n n a a a a a -----==个.由此不难推出通常熟知的指数运算规则在群中也成立:m n m n a a a +=,()n m mn a a =其中m , n 为任意整数.定义1 设a 为群G 的一个元素, 使n a e =的最小正整数n , 叫做元素a 的阶.如果这样的n 不存在, 则称a 的阶为无限(或称是零) .元素a 的阶常用a 表示.由此可知, 群中单位元的阶是1,而其他任何元素的阶都大于1. 例1 {}1,1,,G i i =--(i 是虚单位)关于数的普通乘法作成一个群,即4次单位根群. 其中1的阶是1 , -1的阶是2, i 与i -的阶都是4.例2 在正有理数乘群Q +中, 除单位元的阶是1外, 其余元素的阶均无限.例3 在非零有理数乘群*Q 中, 1的阶是1, -1的阶是2,其余元素的阶均无限.定理1 有限群中每个元素的阶均有限.证 设G 为n 阶有限群, 任取a G ∈,则1a ,2a ，n a ,1n a +中必有相等的. 设t s a a =, 11t s n ≤≤≤+, 则s t a e -=,从而a 的阶有限.(证毕)应注意,无限群中元素的阶可能无限, 也可能有限, 甚至可能都有限.例4 设i U (i 是正整数) 是全体i 次单位根对普通乘法作成的群, 即i 次单位根群. 现在令1i i U U ∞==,则由于一个m 次单位根与一个n 次单位根的乘积必是一个mn 次单位根, 故U 对普通乘法作成一个群, 而且是一个无限交换群.这个无限群中每个元素的阶都有限.定义2 若群G 中每个元素的阶都有限, 则称G 为周期群;若G 中除e 外, 其余元素的阶均无限, 则称G 为无扭群; 既不是周期群又不是无扭群的群称为混合群.由定理1知, 有限群都是周期群.又例4 中的群U 是无限周期群; 例2 中的正有理数乘群Q +为无扭群, 例3中的非零有理数乘群*Q 为混合群.定理2 设群G 中元素a 的阶是n , 则m a e = n m .证 设m a e = 并令m nq r =+,0r n ≤<. ( 1)则由于n a e =, 故()qm nq r n r r a a a a a e +====. 但a n =,且0r n ≤<, 故必0r =. 从而由(1 )知, n m .反之, 设n m , 且令m nq =, 则因a 的阶是n , 故()qm nq n r a a a e e ==== (证毕)定理3 若群中元素a 的阶是n , 则(),k n a k n = 其中k 为任意整数.证 设(),k n d =, 且1n dn =,1k dk =, ()11,1n k =. ( 2) 则由于a n =, 故有()()1111n k kn nk k n a a a a e ==== 即1kn a e =. 其次, 设()mk a e =, 则km a e =. 于是由定理2 知, n km ，11n k m .但()11,1n k =, 故1n m . 因此, k a 的阶是1n , 故由(2 )知:()1,k n a n k n ==. (证毕)由定理3 可立得以下二推论.推论1 在群中设a st =, 则s a t =, 其中s ，t 是正整数. 证 因为a st =, 故由定理3知, s a 的阶是(),stt s st = 即s a t =.推论2 在群中设a n =, 则 k a n = (),1k n =.定理4 若群中元素a 的阶是m , b 的阶是n ,则当ab ba =且(),1m n =时, ab mn =.证 首先, 由于a m =, b n =, ab ba =, 故()()()n m mn m n ab a b e ==;其次, 若有正整数s 使()s ab e =, 则()()s sm m sm sm ab a b b e ===, 但是b n =, 故n sm . 又因(),1m n =, 故n s . 同理可得m s . 再根据(),1m n =, 故mn s . 从而ab mn =.(证毕)应该十分注意这个定理中的条件ab ba =, 因为当ab ba ≠时,a 与b 乘积的阶会出现各种各样的情况. 例如, 在有理数域上二阶线性群()n GL Q 中, 易知0110a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,0111b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭的阶都有限, 且分别为4 , 3 , 但其乘积1101ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶却为无限. 这也说明, 一般来说一个群G 的全体有限阶元素对G 的乘法并不封闭.又例如, 仍在群()n GL Q 中, 易知1202c ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,10102d ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭的阶都无限, 但其乘积1101cd ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的阶却有限, 是2.至于定理4中的条件(),1m n =, 则是明显必要的, 因为易知群中任何元素a 与其逆元1a -有相同的阶, 但其乘积e 的阶则是1.由此可见, 当元素a 与b 不满足定理4中的假设条件时, 其乘积ab 的阶将无法根据a ,b 的阶来做出判断.下面再介绍交换群中元素阶的一个性质.定理5 设G 为交换群, 且G 中所有元素有最大阶m , 则G 中每个元素的阶都是m 的因数. 从而群G 中每个元素均满足方程m x e =.证 设G 中元素a 的阶是m , b 为G 中任意一个元素, 阶为n .如果n ∣/m , 则必存在素数p 满足以下等式:1k m p m =,p ∣/1m ,1t n p n =,t k >. 由于a m =, b n =, 故由上面推论1 知, 1kp a m =,1n t b p = . 又由于 ()1,1tm p =, 且G 是交换群, 故由定理4 知:111kn p t k a b p m p m m =>=. 这与m 是G 中所有元素的最大阶矛盾, 因此, n m . 从而由定理2 知, 群G 中每个元素都满足方程m x e =.(证毕)本定理中要求G 为交换群是必要的, 因为例如在后面§6将看到三次对称群3S 就不满足这个定理(3S 中元素的最大阶是3 ,而它有2阶元素) .§3 子 群子群的概念是群论中一个基本概念, 群论的全部内容都在不同程度上和子群有联系. 特别, 有时要根据子群的各种特征来对群进行分类, 即根据子群来研究群, 这也是研究群的重要方法之一.定义1 设G 是一个群, H 是G 的一个非空子集. 如果H 本身对G 的乘法也作成一个群, 则称H 为群G 的一个子群. 如果1G >|, 则G 至少有两个子群, 一个是只有单位元e 作成的子群{}e ( 以后常简记为e ) , 另一个是G 本身. 这两个子群我们称为G 的平凡子群. 别的子群, 如果存在的话, 叫做G 的非平凡子群或真子群.当H 是群G 的子群时, 简记为H G ≤; 若H 是G 的真子群, 则简记为H G <.例1 全体偶数或全体3的整倍数, 更一般的, 全体n 的整倍数(n 是一个固定整数){},3,2,,0,,2,3n n n n n n ---都是整数加群的子群. 例2 数域F 上全体n 阶满秩对角矩阵的集合1G 是F 上一般线性群()n GL F 的一个子群; F 上一切纯量矩阵aE (0a F ≠∈,E 为n 阶单位方阵.)的集合2G 又是1G 的一个子群, 当然也是群()n GL F 的一个子群.定理1 设G 是群, H G ≤. 则子群H 的单位元就是群G 的单位元, H 中元素a 在H 中的逆元就是a 在G 中的逆元.证 设e '是子群H 的单位元, e 是群G 的单位元, 则e e e e e ''''==,于是由消去律知, e e '=.同样, 若a '是a 在H 中的逆元, 1a -是a 在G 中的逆元, 则1a a a a e -'==,于是1a a -'= .(证毕)要看群的一个子集是不是作成一个子群, 由下面定理可知,不必验算群定义中的所有条件.定理2 群G 的一个非空子集H 作成子群的充分与必要条件是: 1) ,a b H ∈ ab H ∈;2) a H ∈ 1a H -∈.证 设H G ≤, 则G 的代数运算也是H 的代数运算, 因此, 当,a b H ∈时有ab H ∈.其次, 当a H ∈时由定理1知, 1a H -∈.反之, 设1) 与2 ) 两个条件满足, 则1 ) 说明G 的代数运算也是H 的代数运算; 结合律在G 中成立当然在H 中也成立;又根据2) , 当a H ∈时1a H -∈, 从而再由1 ) 得1aa e H -=∈,即H 中有单位元e , 且每个元素都有逆元. 从而H 是G 的一个子群.(证毕)我们还可以进一步将定理2 的两个条件合并成一个条件. 定理3 群G 的非空子集H 作成子群的充分与必要条件是,a b H ∈ 1ab H -∈.证 设H G ≤, 则当,a b H ∈时由定理2 知, 1b H -∈, 从而1ab H -∈.反之, 设当,a b H ∈时1ab H -∈. 则若a H ∈, 便有1aa e H -=∈11ea a H --=∈.于是当,a b H ∈时有1,a b H -∈, 从而()11a b ab H --=∈. 故由定理2 知, H ≤G .(证毕)这个定理中的条件,a b H ∈ 1ab H -∈显然也可以改写成,a b H ∈ 1a b H -∈.由于消去律在G 中成立, 自然也在H 中成立, 因此由本章§1 推论2 知, 群G 的有限子集H 作成子群的充分与必要条件是, H 对G 的乘法封闭, 即,a b H ∈ ab H ∈.例3 令G 为数域F 上行列式等于1的全体n 阶方阵作成的集合. 由于1A B == 11AB -=,即由,A B G ∈可得1AB G -∈, 故G 作成数域F 上一般线性群()n GL F 的一个子群.这个子群常记为()n SL F , 并称为F 上的特殊线性群. 定义2 令G 是一个群, G 中元素a 如果同G 中每个元素都可换, 则称a 是群G 的一个中心元素.群G 的单位元e 总是群G 的中心元素, 除e 外可能还有别的中心元素. 若群G 的中心元素只有e 时, 称G 为无中心群.交换群的每个元素都是中心元素. 另外易知, 数域F 上一般线性群()n GL F 除去单位元外还有别的中心元素( 例如纯量矩阵) , 但当1n >时显然也有非中心元素.定理4 群G 的全体中心元素作成的集合()C G 是G 的一个子群, 称为群G 的中心.证 因为()e C G ∈, 故()C G 非空. 又设(),a b C G ∈, 则对G 中任意元素x 都有ax xa =, bx xb =,从而又有11b x xb --= .于是有()()()111ab x a b x a xb ---== ()()()111ax b xa b x ab ---===,故()1ab C G -∈, 从而()C G G ≤.(证毕)群G 的中心显然是G 的一个交换子群; 又显然G 是交换群当且仅当()C G G =.群G 的中心在不发生混淆时也常简记为C . 定义3 设A ，B 是群G 的任二非空子集, 规定{},AB ab a A b B =∈∈,{}11A a a A --=∈,并分别称AB 为A 与B 的乘积, 1A -为A 的逆.由此易知, 对群的任意三个非空子集A ，B ，C 均有()()AB C A BC =, ()A BC AB AC = ()111AB B A ---=, ()11A A --=. 另外, 由定理2 和定理3 可直接得到以下两个推论. 推论1 群G 的非空子集H 作成子群的充分与必要条件是:HH H = 且 1H H -=.证 设H G ≤, 则HH H =显然. 又若a H ∈, 则必1a H -∈, 从而()111a a H ---=∈， 故1H H -⊂ . 类似可证1H H -⊂, 故1H H -=.反之设HH H =, 1H H -=. 则由HH H =知H 对G 的乘法封闭. 另外, 若a H ∈, 则1a H -∈. 于是有b H ∈使1a b -= , 1a b H -=∈.于是由定理2 知, H G ≤.(证毕)类似有推论2 群G 的一个非空子集H 作成子群的充分与必要条件是:1HH H -=.特别, 群G 的非空有限子集H 作成子群的充分与必要条件是:HH H =.以后将会看到, 一个群的两个子群的乘积一般不再是子群.但在一定条件下可以是子群.定理5 设H ,K 是群G 的两个子群, 则HK G ≤ HK KH =.证 1) 设HK G ≤, 则由推论1知()1HK HK -=.但由于1H H -=, 1K K -=, ()111HK K H KH ---==, 从而HK KH =.2) 设HK KH =, 则有()()111HK HK HKK H HKKH ---=====.HKH HHK HK从而由推论2 知, HK G≤.(证毕) 应该注意的是, 本定理中的条件HK KH=是两个集合的相等,并不是说H中的任何元素与K中任何元素相乘时可以交换. 当然,对于交换群则另当别论. 因此, 交换群的任二子群之积必仍为子群.§4 循环群循环群是一种很重要的群, 也是一种已经被完全解决了的一类群. 就是说, 这种群的元素表达方式和运算规则, 以及在同构意义下这种群有多少个和它们子群的状况等等, 都完全研究清楚了.设M是群G的任意一个非空子集, G中包含M的子群总是存在的, 例如G本身就是一个. 当然, 一般来说, G中可能还有别的子群也包含M. 现在用M表示G中包含M的一切子群的交, 则M仍是G中包含M的一个子群, 而且G中任何一个子群只要包含M, 就必然包含M. 所以M是群G中包含M的最小子群.定义1 称M为群G中由子集M生成的子群, 并把M叫做这个子群的生成系.一个群或子群可能有很多的生成系, 甚至可能有无限多个生成系.例如, 设Z是整数加群, 又{}8,4,6,10M=-,则易知M是偶数加群, 而且{}4,6, {}8,4,10-,{}2,{}10,12，{}6,8,10,12,14 等等都是M 的生成系.当M 本身是一个子群时, 显然M M =. 下面进一步考察M 中的元素是些什么样子.任取i a M ∈, 由于M M ⊆, 而M 是子群, 故对任意整数i k , 必有i k i a M ∈ .从而对任意正整数n , M 包含如下的一切元素:1212n k k k n a a a ,i a M ∈, 1,2,n =.另一方面, 一切这样的元素显然作成一个包含M 的子群,因此{}1212,,1,2,n k k k n i i M a a a a M k Z n =∈∈=. 集合M 中的元素可以是无限个, 也可以是有限个. 当 {}12,,n M a a a =时, 把M 简记为12,,n a a a . 特别, 当{}M a =时有M a =.定义2 如果群G 可以由一个元素a 生成, 即G a =,则称G 为由a 生成的一个循环群, 并称a 为G 的一个生成元.于是a 是由一切形如k a (k 是任意整数)的元素作成的群, 亦即{}3210123,,,,,,a a a a a a a a ---=.易知, 循环群必是交换群.若群的代数运算用加号表示时, 则由a 生成的循环群应表为{},3,2,,0,,2,3,a a a a a a a =---.例1 整数加群Z 是无限循环群.事实上, 1Z ∈, 又对任意整数n , 有1n n =⋅, 故1Z =. 即Z 是一个无限循环群, 1是它的一个生成元.另易知, -1也是它的一个生成元.例2 n 次单位根乘群n U 是一个n 阶循环群.事实上, 设ε是一个n 次原根, 则ε是n U 的一个生成元,且{}2311,,,,,nn U εεεεε-== .这n 个复数是互异的, 而对任意整数k , k ε必与这n 个复数中的一个相等.定理1 设群G a =. 则1) 当a =∞时, 由s t ≠可得s t a a ≠, 即3210123,,,,,,,a a a a a a a --- 是a 的全体互异的元素;2) 当a n =时, a 是n 阶群且{}231,,,n a e a a a a -=.证 1) 设a =∞. 则若s t a a =, 且s t >, 便有s t a e -=, 这与a =∞矛盾.2) 设a n =. 任取m a a ∈, 令m nq r =+, 0r n ≤<.则()q m nq r n r r a a a a a +===.从而{}231,,,n a e a a a a -=, 且易知这n 个元素是互异的.(证毕)推论1 n 阶群G 是循环群当且仅当G 有n 阶元素.证 设G a =是n 阶循环群, 则由定理1知, 生成元a 的阶是n . 反之, 设G 有n 阶元素a , 则易知{}231,,,n H e a a a a -=是G 的一个n 阶子群. 但G 的阶也是n , 故G H a ==.(证毕)由此推论可知, n 阶循环群的一个元素是不是生成元, 就看这个元素的阶是不是n .定理2 无限循环群a 有两个生成元, 即a 与1a -; n 阶循环群有()n ϕ个生成元, 其中()n ϕ为Euler 函数.证 当a =∞时, a 只有两个生成元a 与1a -是显然的. 当a n =时, 元素k a ()0k n <<是a 的生成元当且仅当k a 的阶也是n , 亦即(),1k n =. 从而a 有()n ϕ个生成元.(证毕)例如, 4 , 5 , 6 阶循环群分别有()42ϕ=, ()54ϕ=, ()62ϕ=个生成元.定理3 设a 是任意一个循环群.1) 若a =∞, 则a 与整数加群Z 同构;2) 若a n =, 则a 与n 次单位根群n U 同构.证 1) 设a =∞, 则当m n ≠时m n a a ≠, 于是: m a m ϕ→ 是循环群a 到整数加群Z 的一个双射; 又由于m n m n a a a m n +=→+,故ϕ是a 到Z 的一个同构映射, 因此a Z ≅.2) 设a n =, 则{}231,,,n a e a a a a -=.于是易知: m m a ψε→ （ε为n 次原根） 是循环群a 到n 次单位根群n U ε=的一个同构映射, 因此a ε≅.(证毕)由于群间的同构关系具有反身性、对称性和传递性, 故此定理说明, 凡无限循环群都彼此同构, 凡有限同阶循环群都彼此同构. 而不同阶的群, 由于不能建立双射, 当然不能同构.这样, 抽象地看, 即在同构意义下, 循环群只有两种, 即整数加群和n 次单位根群, 这里n 是任意正整数.本节最后, 我们来讨论循环群的子群.定理4 循环群的子群仍为循环群.证 设H 是循环群a 的任一子群. 若{}H e =, H 当然是循环群. 下设{}H e ≠.由于当m a H ∈时m a H -∈, 故可设m a 为H 中a 的最小正幂, 于是m a H ⊆.另一方面, 任取s a H ∈, 令s mq r =+, 0r m ≤<.则由于,s m a a H ∈, 故()qr s mq s m a a a a H --==∈. 但m a 是H 中a 的最小正幂, 故0r =. 从而()q s m m a a a =∈, 于是又有m H a ⊆. 因此m H a =,即子群H 也是循环群.(证毕)定理5 无限循环群有无限多个子群; 当a 为n 阶循环群时, 对n 的每个正因数k , a 有且只有一个k 阶子群, 这个子群就是nk a .证 1) 设a =∞, 则易知e ,a , 2a , ⋯ 是a 的全部互不相同的子群. 且除e 外都是无限循环群,从而彼此同构.2) 设a n =, k n 且n kq =, ( 1)则q a k =, 从而q a 是a 的一个k 阶子群.又设H 也是a 的一个k 阶子群, 则由定理4 , 设m H a =, 则m a k =. 但由§2 知, m a 的阶是(),n m n , 故 (),n k m n =，(),n k m n = . (2) 由(1)式与(2)式得(),q m n =, q m . 从而m q a a ∈, m q a a ⊆.但由于q a 与m a 的阶相同, 故q H a =, 即a 的k 阶子群是惟一的.(证毕)这样, 通过以上两个定理, 对循环群的子群的情况, 我们也是了解得很清楚的.§5 变 换 群本节介绍一种同任何群都有密切联系, 从而具有广泛意义的群. 设M 是任意一个非空集合, 则由第一章可知, M 的全体变换关于变换的乘法作成一个半群. 我们将较为深入地讨论这个半群的一些重要的子群.定义1 设M 是一个非空集合. 则由M 的若干个变换关于变换的乘法所作成的群, 称为M 的一个变换群; 由M 的若干个双射变换关于变换的乘法作成的群, 称为M 的一个双射变换群;由M 的若干个非双射变换关于变换的乘法作成的群, 称为M 的一个非双射变换群.当然, M 的双射变换群与非双射变换群都是M 的变换群. 例1 设1M >|, 并取定a M ∈. 则易知: x a τ→ （x M ∀∈）是M 的一个非双射变换, 并且2ττ=. 从而G τ=作成M 的一个非双射变换群.至于M 的双射变换群当然也是存在的. 定理1 设M 为任一非空集合, ()S M 为由M 的全体双射变换作成的集合. 则()S M 关于变换的乘法作成一个群.由第一章知道, 这个定理的证明是显然的, 因为M 的恒等变换是这个群的单位元, 而M 的任一双射变换σ的逆变换1σ- 也是M 的双射变换, 它是σ的逆元.定义2 称集合M 的双射变换群()S M 为M 上的对称群.当M n =时, 其上的对称群用n S 表示, 并称为n 次对称群.显然, M 的任何双射变换群都是M 上对称群()S M 的一个子群, 即M 上的对称群是M 的最大的双射变换群. 另外由第一章可知, n 次对称群n S 是一个阶为!n 的有限群.定理2 设G 是非空集合M 的一个变换群. 则G 是M 的一个双射变换群的充分与必要条件是, 在G 中含有M 的单(满) 射变换.证 必要性显然, 下证定理的充分性. 设有M 的单射变换G τ∈. 因为G 是群, 故必有单位元, 用ε表示, 于是在群G 中有εττετ==.。

一元五次方程求解的历史虽然，我们从小学五年级就开始接触方程的学习，但是在人类历史上，“方程”问题的解决并不是那么一帆风顺，经历数百年的“一元五次方程”的“根式解”问题，一直令数学家们头痛不已，直到两位天才数学家的出现才最终完美的解决，从而也导致了一门崭新的“数学分支”——“群论”诞生，在人类的数学史和科学史上，写下了浓墨重彩的一笔。

这到底是怎么一回事呢？这还得从遥远的古埃及说起。

早在3600年前，古埃及人已经涉及到了含有“未知数”的“等式”，提出了最早的“方程”。

在我国的《九章算术》中展示了用“消元法”来解”三元一次“方程组。

从“一元一次方程”到“一元四次方程”，人们都可以得到“根式解”，但是当人们遇到“一元五次方程”的时候，却无法确定是否有“根式解”，这个难题纠结了数学家们近三百年。

直到两位天才数学家的出现，“一元五次方程”的“根式解”问题才得以完美的解决，并因此意外地创立了新的“数学分支”——“群论”。

这两位年轻而伟大的数学家分别是阿贝尔和伽罗瓦。

阿贝尔从小生活困顿，在老师霍尔姆伯的引导下，深入地学习了牛顿、欧拉、拉格朗日及高斯等大数学家的著作，不但能深刻地了解他们的理论，而且还能找出他们著作中的一些不足之处。

1824年，年仅22岁的阿贝尔写下了《一元五次方程没有代数一般解》的论文，他在该论文中首次完整地给出了“高于四次的一般代数方程”没有一般形式的代数解的证明，解决了数学家们纠结了250多年之久的数学难题。

他满怀信心地将这篇论文寄给了当时有名的数学家柯西，可惜柯西却不小心将这一份足以改变数学史的论文弄丢了。

1825年的冬季，阿贝尔来到了柏林，认识了同样热爱数学的土木工程师克列尔，缘于对数学的痴迷，两人成为了最要好的朋友。

1826年，克列尔创立了一份数学杂志，刊登了阿贝尔关于“一元五次方程”的研究成果。

1826年夏天，阿贝尔前往巴黎造访当时最顶尖的数学家，却受到了冷落，他尝试着将他的数学研究成果寄去科学院，却石沉大海。

《数学》读后感近日,读完了《牛津通识读本——数学》一书,感触颇多.作者蒂莫西·高尔斯(Timothy Gowers)是1998年的菲尔兹奖得主,他对数学的深刻见解,解开了我多年的困惑.我曾在怀疑中裹足不前,远离了数学,现在则懊恼不已.下面就结合高尔斯的观点，随便聊一下我的感想。

Timothy Gowers数学有什么用?本科时,我曾吃惊地看到一个数学系大四女生在座谈会上向老师提问:“我们学数学有什么用? ” 她显然是在说,我能利用数学得到一个什么样的工作?能赚大钱吗?高校教师向学生宣扬数学时,一般会强调数学在其他学科的应用.比如说,做气象预测,要懂微分方程;学好复变函数吧,工程领域都在用.或者是秀一下数学艺术.比如,幻灯片上放着诸如Julia集之类的分形图片,学生看罢,惊叹之余,低头继续抠手机.实在不行了,老师会说:“考研、出国总要用到数学吧?” 但几年过去了,还是有学生问:“数学有什么用?” 如此悲哀…症结在哪里?天书与挖掘机原因是大家对数学的态度差异太大.数学科学在教师眼中,是一个伟大的理论体系,几乎渗透所有其他自然科学，有用到给他们提供了一个饭碗;而在这些提问题的学生眼里,数学只不过跟蓝翔技校的挖掘机一样,学完去找份对口工作.这部分学生,关注的是数学兑换人民币的能力.但数学,尤其是如数论这样的纯数学,并不直接具备这样的能力.显然, 不会说解一个微分题,天上就掉下100块钱,再做个积分题,又掉100块钱.与之相反,中国又有很多的数学“民科”,空费大量的时间,试图解决哥德巴赫猜想（虽然未必是数学界最关注的）.学生的不热情与民科的热情,反差如此之大.前者不具备专业知识,却打了鸡血般地热衷;后者正在学习专业的数学,却如闹离婚的夫妻那般冷漠.除了态度问题，还有一个问题：有些学生是在学数学吗？我曾见人背诵了一夜的定理，在第二天的期末考试中取得了良好成绩。

之后忘得一干二净。

这种学生在数学系并不少见。

伽罗瓦理论伽罗瓦图册经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。

19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程 (p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。

他还发现一类能用根式求解的特殊方程。

这类方程现在称为阿贝尔方程。

阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。

伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。

到1832年他完全解决了这个问题。

在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。

1846年他的手稿才公开发表。

伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。

伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。

[1]思想建立/伽罗瓦理论编辑在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。

伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。

戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。

随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。

伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。

1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。

伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。

人们已经证明：这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。

这样一来，一个用直尺和圆规作图的问题是否可解，就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。

[2]内容介绍/伽罗瓦理论编辑1、域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。

三、阿贝尔的简介
尼尔斯·亨利克·阿贝尔 (1802年8月5日-1829年4月6日)， 挪威数学家，在很多数学领域做 出了开创性的工作。他最著名的 一个结果是首次完整给出了高于 四次的一般代数方程没有一般形 式的代数解的证明。
• 这个问题是他那时最著名的未解决问题之一， 悬疑达250多年。他也是椭圆函数领域的开拓 者，阿贝尔函数的发现者。尽管阿贝尔成就
谢谢！
• 伽罗瓦使用群论的想法去讨论方程式的可 解性，整套想法现称为伽罗瓦理论，是当 代代数与数论的基本支柱之一。它直接推 论的结果十分丰富:它系统化地阐释了为何 五次以上之方程式没有公式解，而四次以 下有公式解；他漂亮地证明高斯的论断:若 用尺规作图能作出正p边形，p为质数(所以 正十七边形可做图)；他解决了古代三大作 图问题中的两个:“不能任意三等分角”， “倍立方不可能”。
• 法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在 1832年运用「群」的思想彻底解决了
用根式求解多项式方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学
家科学转变为 研究代数运算结构的科学，即把代数学由初
等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。
近世代数的双子座——阿贝尔 和伽罗瓦
一、新课导入
近世代数的双子座指的是？
二、伽罗瓦的简介
埃瓦里斯特·伽罗瓦(Évariste Galois，1811年10月25日-1832年5月31日， 法语发音evaʀist galwa)，法国数学家， 与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创 始人。在一次几近自杀的决斗中英年早 逝，引起种种揣测。
极高，却在生前没有得到认可，他的生活非 常贫困，死时只有27岁。
四、近世代数
近世代数即抽象代数。代数是数学的其 中一门分支，当中可大致分为初等代数学和 抽象代数学两部分。初等代数学是指19世纪 上半叶以前发展的代数方程理论，主要研究 某一代数方程(组)是否可解，如何求出代数 方程所有的根〔包括近似根〕，以及代数方 程的根有何性质等问题。

基于统计学方法的创新思维与实践智慧树知到课后章节答案2023年下西安财经大学第一章测试1.1921年，（）在《经济发展理论》一书中第一次提出了创新理论。

A:李斯特 B:熊彼特 C:凯恩斯 D:弗里德曼答案:熊彼特2.创造按照内容分类，可以分成（）。

A:科学研究的创造 B:精神财富的创造 C:社会组织的创造 D:物质财富的创造答案:精神财富的创造;社会组织的创造;物质财富的创造3.杨振宁和李政道发现在弱相互作用下宇称不守恒时，受到学界的一片质疑声。

后来，得到了吴健雄的实验验证，这说明创新成果需要在（）进行验证。

A:酝酿期 B:明朗期 C:准备期 D:验证期答案:验证期4.永动机是不可能实现的，因为它违背什么创新原则（）。

A:市场评价原则 B:相对较优原则 C:机理简单原则 D:遵守科学原理原则答案:遵守科学原理原则5.创新需要具备良好的道德品质，包括（）。

A:具备集智攻关、团结协作的协同精神 B:具备追求真理、严谨治学的求实精神 C:具备淡泊名利、潜心研究的奉献精神 D:具备胸怀祖国、服务人民的爱国精神答案:具备集智攻关、团结协作的协同精神;具备追求真理、严谨治学的求实精神;具备淡泊名利、潜心研究的奉献精神 ;具备胸怀祖国、服务人民的爱国精神6.曾有权威人士断言，无线电波不可能沿着地球曲面传播，无法成为通信手段。

显然，这种断言是不正确的，违背了（）。

A:不轻易否定原则 B:市场评价原则 C:相对较优原则 D:机理简单原则答案:不轻易否定原则7.经一代代数学人的共同努力，利用（）创新原理证明了庞加莱猜想。

A:群体 B:逆反 C:迂回 D:完满答案:迂回8.战国时期田忌赛马的故事是一个利用（）取胜的经典例子。

A:主体附加创新原理 B:重组组合创新原理 C:异类组合创新原理 D:同类组合创新原理答案:重组组合创新原理9.“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”说明了群体创新原理的重要作用（）。

A:错 B:对答案:对10.微刻是中国传统文化中的综合艺术。