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一维谐振子定态递推公式的数学推导一维谐振子是量子力学中一个非常重要的模型，它在很多物理现象中都有应用。
咱们今天就来好好聊聊一维谐振子定态递推公式的数学推导。
先说说什么是一维谐振子。
想象一下一个小球被一根弹簧拴在一个固定点上，然后在一条直线上振动，这就是个简单的一维谐振子模型。
在量子力学中，我们要用薛定谔方程来描述它的状态。
薛定谔方程长这样：$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} +\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\psi = E\psi$ 其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$m$ 是粒子的质量，$\omega$ 是角频率，$E$ 是能量，$\psi$ 是波函数。
咱们开始推导啦！为了方便，设 $\alpha =\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$ ，然后令 $\xi = \alpha x$ ，这样薛定谔方程就变成了：$\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + (\frac{2E}{\hbar\omega} -\xi^2)\psi = 0$ 。
我们假设波函数可以写成幂级数的形式：$\psi(\xi) =\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^n$ 。
对它求导两次：$\frac{d\psi}{d\xi} =\sum_{n=1}^{\infty} n c_n \xi^{n-1}$ ，$\frac{d^2\psi}{d\xi^2} =\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n \xi^{n-2}$ 。
把这些代入薛定谔方程，得到：$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n \xi^{n-2} + (\frac{2E}{\hbar\omega} - \xi^2)\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^n = 0$把级数展开，然后合并同类项：$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n \xi^{n-2} +\frac{2E}{\hbar\omega}\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^n -\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^{n+2} = 0$为了让等式成立，各项的系数都得是 0。
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题初中物理题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题作者单位：响水滩乡中心学校作者姓名：宁国强2019年9月28日在坐标表象中处理一维线性谐振子问题响水滩中心学校宁国强摘要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。
关键词：一维线性谐振子；坐标表象；一、能量本征值、本征函数的求解取自然平衡位置为坐标原点, 并选原点为势能零点, 则一维线性谐振子的势能为V (x ) =12μωx （1）22其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。
一维谐振子的哈密顿函数为H =p22μ12μωx （2）22体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ödinger 方程）为⎛ 2d 2122ˆ-+μωx 22⎛2μdx⎛⎛ψ⎛(x )=E ψ(x ) （3）严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：ψ(x )−−→0 （4）x →∞将方程（3）无量纲化，为此，令2ξ==αx ，α=λ=2E ω（5）（3）式可改写为d ψd ξ+λ-ξ(2)ψ=0 （6）这是一个变系数二阶常微分方程。
为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。
当⎛⎛ξ⎛⎛很大时, λ与ξ2相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为d ψd ξ22-ξψ=02 （7）±ξ/22它的渐近解为ψ~e ξ→±∞时，所以ψ e ξ2。
因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，2/2不满足边界条件(4)式，应弃之。
波函数指数上只能取负号，即ψ e -ξ/2。
方程(6)在ξ为有限处的根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式：ψ(ξ)=A eξ22H (ξ) （8）式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得d2H2d ξ-2ξd H（9）+(λ-1)H =0d ξ用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。
一维谐振子的本征值问题姜罗罗赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。
一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ödinger 波动力学解法。
一维谐振子能级和波函数的代数解法上一回我们解出了粒子在一维无限深势阱中的波函数，这次我们将求解一维谐振子，也就是粒子在势能 V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2 下的波函数。
其中 m 为粒子质量， \omega 为振动的圆频率， x 为粒子的位置。
我们还是来研究定态薛定谔方程，将V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2 代入得到： -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}+\frac{1 }{2}m\omega^2x^2\psi=E\psi .一般来说，解决这样的方程需要用到多项式解，但这里我们先介绍一种代数解法，这可以省去很多计算。
对易子一维谐振子的哈密顿算符可以写成：\hat{H}=\frac{1}{2m}(\hat{p}^2+m^2\omega^2x^2) ，如果它可以“因式分解”的话，应该有： \hat{p}^2+m^2\omega^2x^2=[m^2\omega^2x^2-(i\hat{p})^2]=(i\hat{p}+m\omega x)(-i\hat{p}+m\omega x) .但事情远没有那么简单，此前我也告诉过你：算符之间是不能随意交换顺序的（类比矩阵乘法），因此那个“因式分解”不一定成立。
升降算符定义算符 \hat{a}_\pm=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(\mpi\hat{p}+m\omega x) ，则由上面的推导我们有： 2\hbarm\omega(\hat{a}_-\hat{a}_+)=2m\hat{H}-im\omega[x,\hat{p}]=2m\hat{H}+\hbar m\omega ，则可以解得哈密顿算符为： \hat{H}=(\hat{a}_-\hat{a}_+-\frac{1}{2})\hbar\omega .我们发现，当算符 \hat{a}_+ 作用在 \psi(x) 上时，体系的能量会增加 \hbar\omega ，我们可以从定态薛定谔方程入手证明。
一维谐振子拉格朗日表达式摘要：一、引言1.介绍一维谐振子的概念2.阐述研究一维谐振子的重要性二、一维谐振子的拉格朗日表达式1.拉格朗日表达式的基本概念2.一维谐振子的拉格朗日表达式的推导过程三、一维谐振子拉格朗日表达式的应用1.分析一维谐振子的运动状态2.探究一维谐振子的运动规律四、结论1.总结一维谐振子拉格朗日表达式的重要性2.展望一维谐振子拉格朗日表达式在未来的研究前景正文：一、引言在物理学的研究中，谐振子的概念及其运动规律一直是一个重要的研究对象。
谐振子是一个理想化的物理模型，它可以用来描述很多实际系统的振动现象。
一维谐振子是谐振子的一种特殊形式，它的运动仅在一个方向上进行。
研究一维谐振子，不仅有助于我们更深入地理解谐振子的基本性质，还可以为实际问题提供有用的理论指导。
二、一维谐振子的拉格朗日表达式1.拉格朗日表达式的基本概念在研究一维谐振子的运动规律时，我们通常会采用拉格朗日表达式的方法。
拉格朗日表达式是一种用来描述物体运动状态的数学表达式，它包含了物体的位置、速度和加速度等物理量。
通过求解拉格朗日表达式，我们可以得到物体在运动过程中的各种物理量，从而更好地理解其运动规律。
2.一维谐振子的拉格朗日表达式的推导过程一维谐振子的拉格朗日表达式可以通过以下步骤推导得到：首先，我们选取一个一维谐振子系统的质点为研究对象，并设定其质量为m，弹性系数为k。
然后，我们选取一个参考系，并定义该参考系的原点为质点的初始位置。
接下来，我们考虑质点在运动过程中所受到的外力。
对于一维谐振子来说，它所受到的外力主要有重力和弹性力。
重力可以表示为mg，其中g 为重力加速度；弹性力可以表示为-kx，其中x 为质点偏离平衡位置的位移。
在考虑了外力之后，我们就可以根据拉格朗日方程来推导一维谐振子的拉格朗日表达式。
根据拉格朗日方程，我们有：L = T - V其中，L 表示拉格朗日量，T 表示质点的动能，V 表示质点的势能。
一维谐振子波函数【最新版】目录一、引言二、一维谐振子的定义和特点三、一维谐振子的波函数四、一维谐振子的能级五、结论正文一、引言在量子力学中，一维谐振子是一个重要的物理系统，它是一个在势能为谐振子势的势阱中运动的粒子。
对于这种系统，我们可以通过求解薛定谔方程来确定其波函数和能级。
本文将详细讨论一维谐振子的波函数和能级问题。
二、一维谐振子的定义和特点一维谐振子是指一个在势能为谐振子势的势阱中运动的粒子。
在这个系统中，粒子只能在势阱的左侧和右侧运动，不能穿过势阱。
这种系统的特点是势能随着粒子位置的变化而周期性变化，且在势阱的左侧和右侧势能无穷大。
三、一维谐振子的波函数对于一维谐振子，我们可以通过求解薛定谔方程来确定其波函数。
根据薛定谔方程，一维谐振子的波函数可以表示为：ψ(x) = A * exp(-i * E * x / ) * sin(k * x)其中，A 是波函数的振幅，E 是波函数对应的能量，k 是波数，x 是粒子所在的位置，i 是虚数单位，是约化普朗克常数。
四、一维谐振子的能级对于一维谐振子，能级是指粒子在势阱中具有的能量。
在一维谐振子中，能级是离散的，且只有奇数能级。
能级的表达式为：E = (n + 1) * * ω其中，n 是量子数，ω是角频率，它与波数 k 的关系为：ω = 2 * k五、结论综上所述，一维谐振子的波函数可以表示为ψ(x) = A * exp(-i * E * x / ) * sin(k * x)，能级是离散的，只有奇数能级，能级的表达式为E = (n + 1) * * ω。
