一维谐振子
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解一维谐振子
解一维谐振子一维谐振子是物理学中一个重要的概念，常常被用来描述弹簧的振动和原子的振动。
解一维谐振子可以帮助我们更好地理解振动的规律和能量的转换。
一维谐振子的运动方程可以用如下的形式表示：x(t)=A*cos(ωt +φ)，其中x(t)代表位移，A代表振幅，ω代表角频率，t代表时间，φ代表相位常数。
这个方程描述了一个周期性振动的过程，振幅和角频率决定了振动的幅度和频率。
解一维谐振子需要考虑到初始条件，也就是确定振动的初相位。
相位常数φ的值可以通过给定初始位移和初始速度来求解。
这个过程可以通过应用牛顿第二定律来实现。
一维谐振子的运动是受到一个恢复力的作用，该力与位移成正比，方向与位移方向相反。
这个恢复力可以用F=-kx表示，其中k是弹簧常数。
解一维谐振子可以得到振动的频率和周期。
频率可以用ω=√(k/m)表示，其中m是振子的质量。
周期可以用T=2π/ω表示，即振子完成一个完整周期所需要的时间。
一维谐振子还可以通过能量的角度来进行解释。
在振子的运动过程中，动能和势能是相互转换的。
当振子位移最大时，势能最大，动能为零；当振子通过平衡位置时，动能最大，势能为零。
这种能量的转换是周期性的，能量守恒。
解一维谐振子在物理学研究和工程应用中具有重要的意义。
它可以用来描述弹簧的振动、音叉的振动以及原子的振动等现象。
通过解一维谐振子，我们可以更好地理解振动的规律，预测振动的行为，并在实际应用中进行设计和控制。
总之，解一维谐振子是物理学中一个基础而重要的概念。
它的运动方程、振动频率和周期以及能量转换的规律都可以通过数学方法进行解析求解。
通过解一维谐振子，我们可以更加深入地了解振动现象，并应用于实际问题中。
一维谐振子,其振动频率,质量,求平均寿命
一维谐振子,其振动频率,质量,求平均寿命一维谐振子，其振动频率、质量，求平均寿命一维谐振子是一种经典物理学中常见的物理系统，它具有简单而重要的特性。
在本文中，我们将探讨一维谐振子的振动频率、质量以及如何求解其平均寿命。
首先，我们需要了解一维谐振子的基本特性。
一维谐振子是一个粒子在势能为二次函数的势场中的运动模式。
其势能函数可以表示为V(x)=1/2kx^2，其中k为振子的弹性系数，x为振子离平衡位置的位移。
根据经典力学的基本原理，一维谐振子在平衡位置附近发生小振动时，其振动频率与振子的弹性系数和质量有关。
振动频率ω可以通过公式ω=sqrt(k/m)来计算，其中m为振子的质量。
接下来，我们将探讨如何求解一维谐振子的平均寿命。
平均寿命是指在一定时间段内，大量谐振子的寿命的统计平均值。
对于一维谐振子，其平均寿命可以通过以下公式计算：τ=2π/Qω，其中Q为谐振子的品质因数。
品质因数Q是描述谐振子损耗情况的重要参数。
它定量地衡量了谐振子的能量衰减速率与其振动频率之比。
品质因数可以通过振子的势能函数和振动频率之间的关系来推导得到。
在实际情况中，品质因数Q还可以通过谐振子的能量衰减曲线来进行测量。
综上所述，一维谐振子的振动频率、质量和平均寿命之间存在着紧密的关系。
通过准确测量振子的质量和弹性系数，我们可以计算出其振动频率。
同时，通过测量振子的品质因数，我们还可以求解其平均寿命。
这些参数的准确测量和计算对于理解和应用一维谐振子的性质具有重要意义。
在实际应用中，一维谐振子的概念被广泛运用于各种领域，包括物理学、工程学和生物学等。
例如，在电子学中，一维谐振子的原理被应用于电路中的谐振器设计；在生物学中，一维谐振子的特性被用于描述生物分子的振动模式。
对于工程师和科学家来说，深入理解一维谐振子的振动频率、质量和平均寿命等参数对于设计和控制系统非常重要。
总之，一维谐振子是一个重要的物理系统，其振动频率、质量和平均寿命之间存在紧密的关联。
155一维谐振子
n (x,t) n (x)eiEnt/
Nn (x)e2x2 2Hn (x)eiEnt/
3
当时，应有0，所以
2E 2n 1, n 0,1, 2,
上式的解为
E
En
(n
1)
2
,
n 0,1, 2,
这表示一维谐振子的能量只能取一系列分立值，并Βιβλιοθήκη 且相邻能级是等间距的，等于 。
基态能量为
E0
1 2
零点能
经典力学的结论，振子是不可 能进入x >A的经典禁区。
量子力学中，由于隧道效应， 粒子可以到达经典禁区，即 不存在什么禁区。
M
经典 禁区
A
U (x)
E
N
经典 禁区
o Ax
4
图中画出了对应于量子数n = 0,1,2三种情况的波函 数，以及相应的概率密度。
H0 () 1,
H1() 2 ,
H 2 () 4 2 2 ,
H3 () 8 3 12 ,
H 4 () 16 4 48 2 12 .
由归一化条件
n
(
x)
n
( x)dx
1
，得
Nn
( )1 2
1 2 2n n!
时间因子的一维谐振子的定态波函数为
2 x2 ] ( x)
E ( x)
U (x)
o
x
令
, 2E
1
将变量x变换为
x
所以
d 2 () ( 2 ) () 0 d 2
量子力学课件(7)( 一维线性谐振子)
n
) e
1 2
1 − α 2 x2 2
H n (α x ),
1 En = (n + )hω . 2
波函数
ψ n ( x) =
第二章 §8 一维线性谐振子 ，在经典情形下，粒子将被限制在|α薛定谔方程 以基态为例， 以基态为例 在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1
范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| 1)处 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能 2 x2 = {1/2} ħω= E ，即势能等于总能量，动能 V(x)=(1/ 2)mω ω= 0 即势能等于总能量， 为零，粒子被限制在阱内。 为零，粒子被限制在阱内。
为简单计，引入无量纲变量ξ代替x 为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，
令：
§8 一维线性谐振子
ξ =αx
第二章 薛定谔方程
其中
α =
mω ， h
方程可改：
d2 + [2ε − ξ 2 ]ϕ (ξ ) = 0 dξ 2
其中
E ε= hω
此式是一变系数 二阶常微分方程
取能量单位、 取能量单位、长度单位 设定边界条件、束缚态条件、 设定边界条件、束缚态条件、意思是谐振 子出现在无穷处的概率为零。 子出现在无穷处的概率为零。
9.3 谐振子的本征值和本征函数
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
ϕ n (ξ ) = c n H n (ξ ) e
−ξ 2 / 2
1 εn = n + 2
上式中,n=0,1,2,3,……。其中， 上式中,n=0,1,2,3,……。其中，归一化常数 ,n=0,1,2,3,……
c n = ( π 2 n !)
) e
1 2
1 − α 2 x2 2
H n (α x ),
1 En = (n + )hω . 2
波函数
ψ n ( x) =
第二章 §8 一维线性谐振子 ，在经典情形下，粒子将被限制在|α薛定谔方程 以基态为例， 以基态为例 在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1
范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| 1)处 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能 2 x2 = {1/2} ħω= E ，即势能等于总能量，动能 V(x)=(1/ 2)mω ω= 0 即势能等于总能量， 为零，粒子被限制在阱内。 为零，粒子被限制在阱内。
为简单计，引入无量纲变量ξ代替x 为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，
令：
§8 一维线性谐振子
ξ =αx
第二章 薛定谔方程
其中
α =
mω ， h
方程可改：
d2 + [2ε − ξ 2 ]ϕ (ξ ) = 0 dξ 2
其中
E ε= hω
此式是一变系数 二阶常微分方程
取能量单位、 取能量单位、长度单位 设定边界条件、束缚态条件、 设定边界条件、束缚态条件、意思是谐振 子出现在无穷处的概率为零。 子出现在无穷处的概率为零。
9.3 谐振子的本征值和本征函数
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
ϕ n (ξ ) = c n H n (ξ ) e
−ξ 2 / 2
1 εn = n + 2
上式中,n=0,1,2,3,……。其中， 上式中,n=0,1,2,3,……。其中，归一化常数 ,n=0,1,2,3,……
c n = ( π 2 n !)
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示1. 引言1.1 介绍一维线性谐振子概念一维线性谐振子是量子力学中常见的模型之一，它是一种简单但非常重要的系统。
在一维线性谐振子中，质点受到一个与位移成正比的恢复力作用，该系统的势能函数可以表示为一个二次函数。
谐振子是一种能永远保持振动的系统，其运动的频率只取决于系统的质量和弹性常数，而与振幅和初相位无关。
一维线性谐振子在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在分子振动、固体声子、原子力显微镜等领域都有着重要作用。
谐振子模型的基本方程是薛定谔方程，通过求解薛定谔方程可以得到谐振子的波函数和能量本征值。
波函数描述了谐振子在不同位置处的可能性振动状态，它可以用来计算系统的物理量，如位置、动量、能量等。
概率分布是描述粒子在不同位置或状态的可能性的函数，对于一维线性谐振子而言，概率分布可以帮助我们了解系统的稳定性和振动行为。
在量子力学中，概率分布是一个非常重要的概念，它反映了粒子在不同态中的出现可能性，是描述微观粒子行为的关键工具。
通过研究一维线性谐振子的波函数和概率分布，我们可以深入理解量子系统的性质和行为，为进一步的物理研究提供基础和指导。
1.2 谐振子波函数的意义谐振子波函数是描述谐振子系统状态的数学函数。
在量子力学中，波函数是描述微观粒子运动及性质的基本工具，而谐振子波函数则是描述谐振子系统可能状态的函数。
谐振子波函数的意义在于通过波函数的数学表达，我们可以揭示谐振子系统的量子性质，如能级结构、态的叠加等。
波函数的意义还在于它可以用来计算系统的物理量，比如位置、动量、能量等的期望值。
谐振子波函数的意义还体现在其具有很强的几何意义。
波函数的模的平方代表了在空间中找到粒子的概率密度，而相位则含有波函数的相对相位信息。
通过波函数的几何意义，我们可以直观理解谐振子系统的量子态分布规律，如波函数的振幅大小和位置分布的关系等。
谐振子波函数的意义在于提供了描述谐振子系统状态的数学工具，揭示了系统的量子性质和几何结构。
一维谐振子在第一激发态下x的平均值
一维谐振子在第一激发态下x的平均值一维谐振子是量子力学中的一个重要模型，它可以用来解释原子和分子的振动。
在一维谐振子的量子力学模型中，我们可以通过求解薛定谔方程来得到系统的能级和波函数。
本文将探讨一维谐振子在第一激发态下x的平均值，并通过数学推导和物理解释进行详细说明。
一、一维谐振子模型1. 一维谐振子的势能函数在一维谐振子的模型中，势能函数可以表示为V(x)= 1/2 kx^2，其中k为弹簧常数，x为粒子的位移。
2. 薛定谔方程一维谐振子的薛定谔方程可以写作(-h^2/2m) d^2ψ/dx^2 + (1/2kx^2)ψ = Eψ，其中h为普朗克常数，m为粒子的质量，ψ为波函数，E为能量。
二、一维谐振子的波函数1. 解薛定谔方程通过数学方法可以求解一维谐振子的薛定谔方程，得到系统的能级和波函数。
在第一激发态下，波函数可以表示为ψ_1(x)。
2. 计算x的平均值一维谐振子在第一激发态下x的平均值可以表示为<x> =∫x|ψ_1(x)|^2 dx，通过对波函数的模平方与x的乘积进行积分求得。
三、x的平均值的物理意义1. 平衡位置一维谐振子在经典力学中具有平衡位置，即势能函数的最小值对应的位置。
x的平均值可以用来描述量子态下粒子的平均位置，与经典力学中的平衡位置相对应。
2. 对称性一维谐振子在量子力学中具有一定的对称性，x的平均值可以帮助我们理解系统在量子态下的对称性质。
四、数学推导1. 波函数的表达式通过求解薛定谔方程，我们可以得到一维谐振子在第一激发态下的波函数ψ_1(x)的表达式。
2. x的平均值计算将波函数的模平方与x的乘积进行积分，即可计算出x的平均值。
五、物理意义解释1. 平均位置x的平均值可以帮助我们理解谐振子在量子态下的平均位置，这有助于我们对系统的性质进行更深入的理解。
2. 波函数的振动一维谐振子在量子态下具有特定的波函数形式，在第一激发态下，波函数会呈现一定的振动特性。
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
24%20一维谐振子ppt
1 2n,
n 0,1,2,
(7)
时，才有一个多项式解，记为 Hn ，上述要 求就是对谐振子的能量 E 有一定限制，即
n n 1 2 , n 1, 2,
此即谐振子的能量本征值
2.4 一维谐振子
(8)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 利用正交性公式（附录A3，式（12））
(15)
π
2.4
一维谐振子
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 下面讨论一下基态。 首先，基态能量为
0 2
(16)
它并不为零，称为零点能。 其次，处于基态的谐振子在空间概率分布为
0 x
2
a a2 x2 e π
(17)
这是一个Gauss分布，在原点（x=0）处找到 粒子的概率最大。由于粒子能量 0 2 ,
m x n x dx δmn
一维谐振子
2.4
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 最低的三条能级上的谐振子波函数如下:
0 x
a π
1 4
e
a2 x2
2
(13)
1 x
2 x
2a π
1
1 4
1
axe
a2 x2
2
(14)
4
a2 x2 a 2 2 2 2 a x 1 e 2
2.4 一维谐振子
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 不难算出在经典禁区
x a1 的概率为
e
1
2
d
e
0
2
d 16%
(18)
2.4
一维谐振子
n 0,1,2,
(7)
时，才有一个多项式解，记为 Hn ，上述要 求就是对谐振子的能量 E 有一定限制，即
n n 1 2 , n 1, 2,
此即谐振子的能量本征值
2.4 一维谐振子
(8)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 利用正交性公式（附录A3，式（12））
(15)
π
2.4
一维谐振子
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 下面讨论一下基态。 首先，基态能量为
0 2
(16)
它并不为零，称为零点能。 其次，处于基态的谐振子在空间概率分布为
0 x
2
a a2 x2 e π
(17)
这是一个Gauss分布，在原点（x=0）处找到 粒子的概率最大。由于粒子能量 0 2 ,
m x n x dx δmn
一维谐振子
2.4
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 最低的三条能级上的谐振子波函数如下:
0 x
a π
1 4
e
a2 x2
2
(13)
1 x
2 x
2a π
1
1 4
1
axe
a2 x2
2
(14)
4
a2 x2 a 2 2 2 2 a x 1 e 2
2.4 一维谐振子
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 不难算出在经典禁区
x a1 的概率为
e
1
2
d
e
0
2
d 16%
(18)
2.4
一维谐振子
一维谐振子波函数
一维谐振子波函数摘要：一、一维谐振子的基本概念二、一维谐振子的波函数1.波函数的实值与复值2.波函数的时间依赖性三、一维谐振子的能量本征函数四、应用与结论正文：一、一维谐振子的基本概念一维谐振子是一种物理模型，用于描述在一维空间中运动的粒子受到弹性势能的影响而发生振动的现象。
在这个模型中，粒子被限制在一个有限的空间范围内，如一个线性的势阱。
一维谐振子的研究有助于理解简谐振动在其他领域的应用，如机械振动、电磁波等。
二、一维谐振子的波函数1.波函数的实值与复值在研究一维谐振子时，我们需要关心波函数。
波函数是描述粒子在空间中位置的函数，通常表示为Ψ(x)。
在一维谐振子问题中，波函数可以分为实部和虚部，即Ψ(x) = A * cos(kx - ωt) + Bi * sin(kx - ωt)，其中A和B为实数，k 为波数，ω为角频率，t为时间。
2.波函数的时间依赖性由于波函数中含有时间变量t，因此我们需要了解波函数随时间的变化规律。
从薛定谔方程可以看出，波函数的时间偏导数含有虚数单位i，所以一般情况下波函数为复值函数。
而波函数的模平方不随时间变化，表示粒子在某一位置的概率密度。
三、一维谐振子的能量本征函数在一维谐振子问题中，能量本征函数是描述粒子能量的函数。
对于简谐振子，能量本征函数可以表示为Ψ(x) = C * exp(-x/2) * Hermite polynomials(x)，其中C为归一化常数，Hermite polynomials(x)为赫尔墨特多项式。
这些本征函数满足薛定谔方程，并具有归一化和正交性质。
四、应用与结论一维谐振子的研究在物理学、力学等领域具有广泛的应用。
通过对一维谐振子的研究，我们可以更好地理解简谐振动的特点，为实际问题的解决提供理论依据。
在实际应用中，一维谐振子模型可以扩展到更高维度的谐振子模型，从而为多维系统的分析提供方法。
量子力学3.3一维谐振子
量子隧道效应实验
总结词
量子隧道效应实验是用来验证量子力学中隧 道效应的实验方法，通过观察粒子穿越障碍 物的现象，可以证明粒子具有穿越障碍物的 能力。
详细描述
在量子隧道效应实验中，粒子在一定能量下 可以穿越高于其自身能量的势垒，这种现象 被称为量子隧道效应。实验中可以通过测量 穿越势垒的粒子数量和能量分布，来验证量 子力学中隧道效应的预测。
子不同。
干涉实验
总结词
干涉实验是用来验证量子力学中波动性 质的另一种实验方法，通过观察粒子在 通过两个相距较近的障碍物后产生的干 涉现象，可以进一步验证量子力学的正 确性。
VS
详细描述
在干涉实验中，粒子通过两个相距较近的 障碍物后，会在屏幕上产生类似于水波通 过两个相距较近的小孔后产生的干涉条纹 。这进一步证明了粒子具有波动性质，并 且其行为方式与经典物理中的粒子不同。
05
CATALOGUE
一维谐振子的实验验证
双缝实验
总结词
双缝实验是用来验证量子力学中波动性质的经典实验，通过观察电子通过双缝后的干涉 现象，可以证明电子具有波动性。
详细描述
在双缝实验中，电子通过双缝后会在屏幕上产生干涉条纹，类似于水波通过两个相距较 近的小孔后产生的干涉现象。这表明电子具有波动性质，其行为方式与经典物理中的粒
经典力学中的一维谐振子
1
在经典力学中，一维谐振子通常由弹簧和质点组 成，其运动方程为 Hooke定律。
2
一维谐振子的能量与其振幅的平方成正比，当能 量增加时，振幅也会增加，导致系统的不稳定性 。
3
在经典力学中，一维谐振子的运动轨迹是确定的 ，可以用经典力学方程进行描述。
02
CATALOGUE
一维谐振子
式中归一化常数 为： Nn
Nn 2n n!
由（2.7.2）可见，一维谐振子的能量也是量子化的，并且能量间隔 相等，为 。
h
一维谐振子基态能量：
ห้องสมุดไป่ตู้
叫零E点0 能。12 h
经典与量子的比较
2.7 一维谐振子
1、按经典力学的结论，一维谐振子的能量如图
谐振子只能处于
的范围内，
x A的区域则是经典禁区。
数 ，假设方程的解为
视为 的某一特定函 A
H ( )
H( )e2/2
H (在) 有限时应该有限，在
波函数有限。
时它的行为 也必须保证
代回薛定谔方程，得到待定系数 满足的方程 H ( )
d2H
d 2
2
dH
d
(
1)H
0
(2.7.2)
2.7 一维谐振子
其中： 2E / h
对 H (作)泰勒展开
典结论。
从而得到上式的渐进方程2727一维谐振子一维谐振子2727一维谐振子一维谐振子为了求出在整个空间都合适的解可以将系数视为的某一特定函数假设方程的解为代回薛定谔方程得到待定系数满足的方程2727一维谐振子一维谐振子其中
2.7 一维谐振子
为方便求解，引入系数：
x, m , 2E
h
h
则方程可改写为：
dn
d n
e 2
2.7 一维谐振子
厄米多项式具有如下性质：
1.递推关系：
Hn
(
)
1 2
Hn1(
)
nHn1(
)
2.微分性质：
dH
d
2nH n1( )
2.7 一维谐振子
3.正交归一性：
Nn 2n n!
由（2.7.2）可见，一维谐振子的能量也是量子化的，并且能量间隔 相等，为 。
h
一维谐振子基态能量：
ห้องสมุดไป่ตู้
叫零E点0 能。12 h
经典与量子的比较
2.7 一维谐振子
1、按经典力学的结论，一维谐振子的能量如图
谐振子只能处于
的范围内，
x A的区域则是经典禁区。
数 ，假设方程的解为
视为 的某一特定函 A
H ( )
H( )e2/2
H (在) 有限时应该有限，在
波函数有限。
时它的行为 也必须保证
代回薛定谔方程，得到待定系数 满足的方程 H ( )
d2H
d 2
2
dH
d
(
1)H
0
(2.7.2)
2.7 一维谐振子
其中： 2E / h
对 H (作)泰勒展开
典结论。
从而得到上式的渐进方程2727一维谐振子一维谐振子2727一维谐振子一维谐振子为了求出在整个空间都合适的解可以将系数视为的某一特定函数假设方程的解为代回薛定谔方程得到待定系数满足的方程2727一维谐振子一维谐振子其中
2.7 一维谐振子
为方便求解，引入系数：
x, m , 2E
h
h
则方程可改写为：
dn
d n
e 2
2.7 一维谐振子
厄米多项式具有如下性质：
1.递推关系：
Hn
(
)
1 2
Hn1(
)
nHn1(
)
2.微分性质：
dH
d
2nH n1( )
2.7 一维谐振子
3.正交归一性：
量子力学3.3一维谐振子
e 2
E1
3 2
，
（偶宇称）
1
(
x)
2
1/ 2
1 2x2
xe 2
（奇宇称）
n
2,
2
第二激发态 E2
(x)
1/
2
(2
2
2
x2
5 ，
2
1 2x2
1)e 2
（偶宇称）
三、结果讨论
1.能级
En
(n
1 ) 2
n 0,1,2,...
(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距
En En1 En
一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点 以坐标原点为零势能点 则一维线性谐振子的势能为：
V (x) 1 kx2 1 m 2 x2
22
m 是粒子的质量 k 是谐振子的劲度系数
k 是谐振子的角频率
m
二、薛定谔方程及解
d2
dx2
2
2
[
E
V
(
x)]
0
或
d2
dx2
2
2
[
E
1 2
2
x2
]
0---------- 1
1! x xa
V0
1 2
k(x
a)2
2! x2 xa
记
k
2V x2
xa
若取 V0 0，即平衡位置处于势 V0 0 点；并记 k 2 ，x'=x-a则
V x 1 2x2
2
凡是在势能为U(x) 1 kx 2 的场中运动的微观体系都称之为 2
线性谐振子。
一维谐振子的本征值问题是处理量子力学 问题的最基本的范例。
E1
3 2
，
（偶宇称）
1
(
x)
2
1/ 2
1 2x2
xe 2
（奇宇称）
n
2,
2
第二激发态 E2
(x)
1/
2
(2
2
2
x2
5 ，
2
1 2x2
1)e 2
（偶宇称）
三、结果讨论
1.能级
En
(n
1 ) 2
n 0,1,2,...
(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距
En En1 En
一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点 以坐标原点为零势能点 则一维线性谐振子的势能为：
V (x) 1 kx2 1 m 2 x2
22
m 是粒子的质量 k 是谐振子的劲度系数
k 是谐振子的角频率
m
二、薛定谔方程及解
d2
dx2
2
2
[
E
V
(
x)]
0
或
d2
dx2
2
2
[
E
1 2
2
x2
]
0---------- 1
1! x xa
V0
1 2
k(x
a)2
2! x2 xa
记
k
2V x2
xa
若取 V0 0，即平衡位置处于势 V0 0 点；并记 k 2 ，x'=x-a则
V x 1 2x2
2
凡是在势能为U(x) 1 kx 2 的场中运动的微观体系都称之为 2
线性谐振子。
一维谐振子的本征值问题是处理量子力学 问题的最基本的范例。
一维谐振子拉格朗日表达式
一维谐振子拉格朗日表达式摘要：一、引言1.介绍一维谐振子的概念2.阐述研究一维谐振子的重要性二、一维谐振子的拉格朗日表达式1.拉格朗日表达式的基本概念2.一维谐振子的拉格朗日表达式的推导过程三、一维谐振子拉格朗日表达式的应用1.分析一维谐振子的运动状态2.探究一维谐振子的运动规律四、结论1.总结一维谐振子拉格朗日表达式的重要性2.展望一维谐振子拉格朗日表达式在未来的研究前景正文：一、引言在物理学的研究中，谐振子的概念及其运动规律一直是一个重要的研究对象。
谐振子是一个理想化的物理模型，它可以用来描述很多实际系统的振动现象。
一维谐振子是谐振子的一种特殊形式，它的运动仅在一个方向上进行。
研究一维谐振子，不仅有助于我们更深入地理解谐振子的基本性质，还可以为实际问题提供有用的理论指导。
二、一维谐振子的拉格朗日表达式1.拉格朗日表达式的基本概念在研究一维谐振子的运动规律时，我们通常会采用拉格朗日表达式的方法。
拉格朗日表达式是一种用来描述物体运动状态的数学表达式，它包含了物体的位置、速度和加速度等物理量。
通过求解拉格朗日表达式，我们可以得到物体在运动过程中的各种物理量，从而更好地理解其运动规律。
2.一维谐振子的拉格朗日表达式的推导过程一维谐振子的拉格朗日表达式可以通过以下步骤推导得到：首先，我们选取一个一维谐振子系统的质点为研究对象，并设定其质量为m，弹性系数为k。
然后，我们选取一个参考系，并定义该参考系的原点为质点的初始位置。
接下来，我们考虑质点在运动过程中所受到的外力。
对于一维谐振子来说，它所受到的外力主要有重力和弹性力。
重力可以表示为mg，其中g 为重力加速度；弹性力可以表示为-kx，其中x 为质点偏离平衡位置的位移。
在考虑了外力之后，我们就可以根据拉格朗日方程来推导一维谐振子的拉格朗日表达式。
根据拉格朗日方程，我们有：L = T - V其中，L 表示拉格朗日量，T 表示质点的动能，V 表示质点的势能。
16-4 一维谐振子问题
粒子的动量的平均值： 粒子的动量的平均值：
v − i h∇ ⇔ p
a v ∗ ˆ p = ∫ ψ pψdx
=0
2 a nπx d nπx = ∫ sin (−ih ) sin dx a 0 a dx a
0
在一维无限深方势阱中， 在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均 值与粒子所处的本征态的级数， 没有关系。 值与粒子所处的本征态的级数，即 n 没有关系。 粒子的动能的平均值： 粒子的动能的平均值： 在势阱内部，势能为零， 在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能 在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。 量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。
α=
µω
最简单的几个厄米多项式为： 最简单的几个厄米多项式为： n=0,
H 0 (ξ ) = 1,
n=1,
H 1 (ξ ) = 2ξ ,
− iEnt / h
n=2,
H 2 (ξ ) = 4ξ 2 − 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
ψ n ( x, t ) = ψ n ( x)e
= N ne
−α 2 x 2 2
————一维谐振子的定态薛定谔方程 一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程 一维谐振子的能量本征值方程
h2 d2 1 2 2 + µω x ψ ( x) = Eψ ( x) − 2 2 2 µ dx
为了简洁起见，引入三个无量纲参量： 为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
a
2
πx dx a
=
2 πh 2 me a
3
∫0 sin
−7
π
me a3
= 1.17 × 10 N
试求： 例2:如果粒子的波函数为 ψ ( r , θ , ϕ ) ，试求： 如果粒子的波函数为 内找到粒子的概率； 在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率； 到 的球壳内找到粒子的概率 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 解: 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 球坐标系下的体积元的表达式： 球坐标系下的体积元的表达式：
v − i h∇ ⇔ p
a v ∗ ˆ p = ∫ ψ pψdx
=0
2 a nπx d nπx = ∫ sin (−ih ) sin dx a 0 a dx a
0
在一维无限深方势阱中， 在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均 值与粒子所处的本征态的级数， 没有关系。 值与粒子所处的本征态的级数，即 n 没有关系。 粒子的动能的平均值： 粒子的动能的平均值： 在势阱内部，势能为零， 在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能 在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。 量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。
α=
µω
最简单的几个厄米多项式为： 最简单的几个厄米多项式为： n=0,
H 0 (ξ ) = 1,
n=1,
H 1 (ξ ) = 2ξ ,
− iEnt / h
n=2,
H 2 (ξ ) = 4ξ 2 − 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
ψ n ( x, t ) = ψ n ( x)e
= N ne
−α 2 x 2 2
————一维谐振子的定态薛定谔方程 一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程 一维谐振子的能量本征值方程
h2 d2 1 2 2 + µω x ψ ( x) = Eψ ( x) − 2 2 2 µ dx
为了简洁起见，引入三个无量纲参量： 为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
a
2
πx dx a
=
2 πh 2 me a
3
∫0 sin
−7
π
me a3
= 1.17 × 10 N
试求： 例2:如果粒子的波函数为 ψ ( r , θ , ϕ ) ，试求： 如果粒子的波函数为 内找到粒子的概率； 在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率； 到 的球壳内找到粒子的概率 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 解: 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 球坐标系下的体积元的表达式： 球坐标系下的体积元的表达式：
2.7 一维谐振子
hν
例题 设粒子处在一维无限深势阱中
0 V (x) = ∞ | x |< a / 2 | x |> a / 2
处于基态n =1 ，求粒子的动量分布。
解： 析 由于V(x)对称，解为偶宇称态， 分
很容易求出此对称方势阱当n =1 时的波函数 ψ1(x)。这是粒子按照位置的分布。
按照动量的分布只要作Fourier 变换即可。
二、薛定谔方程及解
d2ψ 2m + 2 [E V (x)] = 0 ψ 2 dx h
1 d2ψ 2m 或 + 2 [E mω2 x2 ] = 0 ψ 2 dx h 2
理想的谐振子是一个无限深势阱， ψ 束 态 因 | x |→∞时 V(x) →∞， (x) →0为 缚 。 为 ，
为化简上述方程，方便求解，引进无量纲参数
归一化波函数为 ψn (x) = Ae
是一个实函数！
2008.5
1 α 2x2 2
Hn (αx)
1/ 2
其 中
α A= n 2 n! π
Quantum Mechanics
在求归一化系数A时，要用到厄米多项式 的 正交性关系
∞
∞
∫e
ξ 2
Hn (ξ )Hm (ξ )dξ = 2 n! πδmn
经典： 经典：
在x = 0处粒子的速率最大，概率最小。
基 谐 子 允 在| x |≤ α1(| ξ |≤1)的 域 态 振 只 许 区 中 动 而| x |≥ α 属 经 禁 。 运 ， 于 典 区
1
2008.5
Quantum Mechanics
在| αx |=1 ， 能 处 势
mω 1 1 2 1 2 1 2 V (x) = kx = k / α = mω /( ) = hω 2 2 2 2 h
量子力学中的一维谐振子问题求解
量子力学中的一维谐振子问题求解量子力学是研究微观粒子行为的一门学科，它描述了微观世界中的粒子的运动和相互作用。
谐振子是量子力学中一个经典的模型，它在多个领域中都有广泛的应用，如原子物理、固体物理和量子计算等。
在本文中，我们将探讨一维谐振子问题的求解方法。
一维谐振子是指一个质量为m的粒子在势能为V(x) = 1/2 kx²的势场中运动。
其中，k是弹性系数，x是粒子相对平衡位置的位移。
根据量子力学的原理，我们可以用薛定谔方程来描述一维谐振子的运动。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了粒子的波函数随时间的演化。
对于一维谐振子，薛定谔方程可以写成如下形式：Hψ(x) = Eψ(x)其中，H是哈密顿算符，定义为H = -ħ²/2m d²/dx² + 1/2 kx²。
ψ(x)是波函数，描述了粒子在不同位置的概率分布。
E是能量的本征值，对应于不同的能级。
为了求解一维谐振子的薛定谔方程，我们可以使用分离变量法。
假设波函数可以表示为ψ(x) = φ(x)χ(t)，其中φ(x)是位置的波函数，χ(t)是时间的波函数。
将这个形式代入薛定谔方程，可以得到两个方程：-ħ²/2m d²φ(x)/dx² + 1/2 kx²φ(x) = Eφ(x)iħ dχ(t)/dt = Etχ(t)第一个方程是一个关于位置的定态薛定谔方程，它描述了粒子在不同位置的运动。
第二个方程是一个关于时间的薛定谔方程，它描述了波函数随时间的演化。
对于定态薛定谔方程，我们可以使用数学方法求解。
一种常用的方法是使用升降算符。
升降算符是一对算符，可以将波函数的能级提升或降低一个单位。
对于一维谐振子，升降算符定义为a⁺ = (ħ/mω)^(1/2)(-d/dx + iωx)和a = (ħ/mω)^(1/2)(-d/dx - iωx)，其中ω = (k/m)^(1/2)是谐振子的频率。
9 一维线性谐振子ppt
( x) an n ( x)
n
展开系数
m ( x) ( x)dx m ( x) an n ( x)dx an m ( x) n ( x)dx n n
an mn am
n
C.一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本 征函数，即能级是不简并的。 D.坐标算符或动量算符作用于本征函数 上，结果 是 1
2 d 2 1 ˆ H m 2 x 2 2m dx 2 2
ˆ H 不显含时间，是谐振子的能量算符。
• 9.2求解定态Schrodinger方程 ˆ H ( x) E ( x) • 即 • A). 取 B) 定义无量纲能量、无量纲坐标
E
2 d 2 1 ( m 2 x 2 ) ( x) E ( x) 2m dx 2 2 1 d2 ( 2 x 2 ) ( x) E ( x) m 1 得 2 dx
1 1 2 2 7 3 3 3 ( x) 1 4 (2 x 3 x) exp( x ) E3 2 2 3
量子力学概率与经典概率的比较
兰线是经典概率 密度 红线是量子概率密度
谐振子势能曲线和概率密度分布
• 9.4本征值和本征函数的数学性质 • A.能量本征值取分立值，即谐振子的能量是量
n 0,1,2,....
• 本征函数和对应的本征值举例
1 2 2 0 ( x) 1 4 exp( x ), 2 2 1 2 2 1 ( x) 1 4 x exp( x ) 2
1 E0 2 3 E1 2 5 E2 2
1 1 2 2 2 2 2 ( x) 1 4 (2 x 1) exp( x ) 2 2
n
展开系数
m ( x) ( x)dx m ( x) an n ( x)dx an m ( x) n ( x)dx n n
an mn am
n
C.一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本 征函数，即能级是不简并的。 D.坐标算符或动量算符作用于本征函数 上，结果 是 1
2 d 2 1 ˆ H m 2 x 2 2m dx 2 2
ˆ H 不显含时间，是谐振子的能量算符。
• 9.2求解定态Schrodinger方程 ˆ H ( x) E ( x) • 即 • A). 取 B) 定义无量纲能量、无量纲坐标
E
2 d 2 1 ( m 2 x 2 ) ( x) E ( x) 2m dx 2 2 1 d2 ( 2 x 2 ) ( x) E ( x) m 1 得 2 dx
1 1 2 2 7 3 3 3 ( x) 1 4 (2 x 3 x) exp( x ) E3 2 2 3
量子力学概率与经典概率的比较
兰线是经典概率 密度 红线是量子概率密度
谐振子势能曲线和概率密度分布
• 9.4本征值和本征函数的数学性质 • A.能量本征值取分立值，即谐振子的能量是量
n 0,1,2,....
• 本征函数和对应的本征值举例
1 2 2 0 ( x) 1 4 exp( x ), 2 2 1 2 2 1 ( x) 1 4 x exp( x ) 2
1 E0 2 3 E1 2 5 E2 2
1 1 2 2 2 2 2 ( x) 1 4 (2 x 1) exp( x ) 2 2
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1 2n n!
e 2
f
( )Hn ( )d
2.7 一维谐振子
由式（2.7.1）即可得能量本征值 E为：
En
(n
1 )h
2
n 0,1, 2,3,L
2.7.4
n叫振动量子数。
相应的 Hn ( ) 为
Hn ( ) (1)n e 2
dn
d n
e 2
2.7 一维谐振子
从而其波函数为：
1 2x2
n (x) Nne 2 Hn ( x)
厄米多项式有三种重要表示： 1.级数表示：
n
H n ( )
2 k 0
(1)k n! (2 )n2k
k !(n 2k )!
式中
n 2
n 2
,
n
2
1
,
2.7 一维谐振子
2.积分表示：
Hn ( )
2n
( it)n et2 dt
3.微分表示：
Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
2.7 一维谐振子
厄米多项式具有如下性质：
1.递推关系：
Hn
(
)
1 2
H n1 (
)
nH n 1 (
)
2.微分性质：
dH
d
2nH n1( )
2.7 一维谐振子
3.正交归一性：
e
2
H
n
(
)H
n
'
(
)
d
2n n!
nn
4.完备性：
f ( ) cnHn ( ) 0
式中的展开系数为：
cn
时，它趋于无穷的行为永远比e 2 /2趋于
零慢，从而保证了 ( ) 在 是有限。
2.7 一维谐振子
由（2.7.2）可知方程(2.7.1)有解的条件为
1 2n, n 0,1,2,3,L 2.7.3
此时，有
d 2Hn
d 2
2
dH n
d
2nHn
0
这是厄米方程，其解为厄米多项式。
2.7 一维谐振子
可由
H ( ) a 0
avv(v 1) v2 2 a 1 ( 1) a 0
v
得
a 2
2 ( 1)(
1 2)
a
(2.7.2)
2.7 一维谐振子
当
时，H ( )的渐进行为是
a 2 a
2
与 e 2的渐进行为相同。
若H ()为无穷级数时， ( ) 在 时将趋向无穷 大。为了在 时，波函数仍有限，H() 必 须断为多项式。因为如果 H()是多项式，当
视为 的某一特定函数H ( ) ，假设方程的解为
H( )e2/2
H ( ) 在 有限时应该有限，在 时 它的行为也必须保证波函数有限。
代回薛定谔方程，得到待定系数H ( )满足的方程
d2H
d 2
2
dH
d
(
1)H
0
(2.7.2)
2.7 一维谐振子
其中： 2E / h
对 H ( ) 作泰勒展开
经典禁区。
U (x)
E
N
x
A
0
A
2.7 一维谐振子
而在量子力学中，由于隧道效应，粒子可以 到达经典禁区，也就是说在所谓经典禁区内 发现粒子的概率不为零。 2、按经典力学的规律，在 x 0处振子的速度最
大停留时间最短，在 x A处振子的速度为 零停留时间最长。将这一规律应用于微观粒 子，自然会得到在 x 0 处粒子出现的概率 最小，而在x A处粒子出现的概率最大。
式中归一化常数 Nn 为：
Nn 2n n!
由（2.7.2）可见，一维谐振子的能量也是
量子化的，并且能量间隔相等，为 h 。
一维谐振子基态能量：E0
1 2
h
叫零点能。
2.7 一维谐振子
经典与量子的比较
1、按经典力学的结论，一维谐振子的能量如图
谐振子只能处于
x A 的范围内，Mx A 区域则是(2 )
0
2.7 一维谐振子
这是一个变系数的二阶常微分方程，当 很
大时， = 2，上式中的 可略去。从而，得
到上式的渐进方程
d 2 d 2
2
0
其解 Ae2/2就是原方程的解，又由于波函数 在 时的有限性条件，得
: Ae2/2
2.7 一维谐振子
为了求出在整个空间都合适的解，可以将系数A
而实际情况如何呢？
2.7 一维谐振子
由 n 0,1,2 时的波函数及概率密度的图：
0
n0
1
n 1
2
n2
0 2
n0
x
n 1
x
x
1 2
n2
2 2
x
x
x
2.7 一维谐振子
可以看出，在量子数n 较小的时候，粒子位置
的概率密度的分布与经典结论明显不同。
可以推断，随着量子数 n 的增大，概率密度
的平均值将越来越接近经典结论。
2.7 一维谐振子
本节我们来讨论一维谐振子问题。 一维谐振子的哈密顿量为：
Hˆ
h2 2m
d2 dx2
1 2
m 2 x2
满足的定态定谔方程为：
h2 d 2 1 m2 x2 E
2m dx2 2
2.7 一维谐振子
为方便求解，引入系数：
x, m , 2E
h
h
则方程可改写为：
d 2 d 2