2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1） 当）.（2） 设函数在处连续，下列命题错误的是： ( ).若存在，则 若存在，则.若存在，则存在 若存在，则存在（3） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（ ） .（4） 设函数连续，则二次积分等于（ ）（5） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）10 20 30 40（6） 曲线渐近线的条数为（ ） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A ） (B) （C ） (D)（8）设矩阵，则A 与B （ ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似0x +→A 1-.ln(1B +1C -.1D -()f x 0x =A 0()limx f x x →(0)0f =.B 0()()lim x f x f x x →+-(0)0f =.C 0()limx f x x →'(0)f .D 0()()lim x f x f x x→--'(0)f ()y f x =[][]3,2,2,3--[][]2,0,0,2-0()(),xF x f t dt =⎰.A (3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--(,)f x y 1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰1602Q ρ=-Q ρ.A .B .C .D 1ln(1),x y e x=++.A .B .C .D 12αα-2131,,αααα--21αα-2331,,αααα++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y 的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为( ) （A ） (B) (C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则________. （14）微分方程满足的特解为__________.（15）设距阵则的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分）设二元函数计算二重积分其中（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 （20）（本题满分10分）2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(,)X Y X Y (),()x y f x f y Y y =X ()X Y x y f ()X f x ()y f y ()()x y f x f y ()()x y f x f y 3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+123y x =+()(0)_________n y =(,)f u v (,),y x z f x y =z zy x y∂∂-=∂∂31()2dy y y dx x x=-11x y ==01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3A 12()y y x =ln 0y y x y -+=()y y x =2.1.(,)12.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤(,).Df x y d σ⎰⎰{}(,)2D x y x y =+≤()f x ()g x [],a b ()f a ()g a ()f b ()g b (,),a b η∈()()f g ηη=(,),a b ξ∈''()''().f g ξξ=将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值是A 的属于的一个特征向量.记，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. （23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. （24）（本题满分11分）设总体的概率密度为 . 其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值. （Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.21()34f x x x =--1x -1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-1λ534B A A E =-+1α(,)X Y 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他{}2P X Y >Z X Y =+()Z f z X 1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他(01)θθ<<12,,...n X X X X X θθ24X 2θ2007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（7） 当B ）.（8） 设函数在处连续，下列命题错误的是： (D).若存在，则 若存在，则.若存在，则存在 若存在，则存在（9） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（C ） .（10） 设函数连续，则二次积分等于（B ）（11） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）10 20 30 40 （12） 曲线渐近线的条数为（D ） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 (A) （A ） (B) (C) (D)（8）设矩阵，则A 与B （B ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)0x +→A 1-.ln(1B +1C -.1D -()f x 0x =A 0()limx f x x →(0)0f =.B 0()()lim x f x f x x →+-(0)0f =.C 0()limx f x x →'(0)f .D 0()()lim x f x f x x→--'(0)f ()y f x =[][]3,2,2,3--[][]2,0,0,2-0()(),xF x f t dt =⎰.A (3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--(,)f x y 1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰1602Q ρ=-Q ρ.A .B .C .D 1ln(1),x y e x=++.A .B .C .D 12αα-2131,,αααα--21αα-2331,,αααα++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y 的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 (A) （A ） (B) (C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则. （14）微分方程满足的特解为. （15）设距阵则的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为＿＿. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】：（18）（本题满分11分） 设二元函数2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(,)X Y X Y (),()x y f x f y Y y =X ()X Y x y f ()X f x ()y f y ()()x y f x f y ()()x y f x f y 3231lim (sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+123y x =+()1(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=(,)f u v (,),y x z f x y =''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y∂∂-=-+∂∂31()2dy y y dx x x=-11x y==221ln x y x=+01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3A 1234()y y x =ln 0y y x y -+=()y y x =''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln121()(2ln )0(2ln )()101(2ln1)8()(1,1)x x x y y y y yy y y y y y y y y y y y y y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的计算二重积分其中【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设是D 在第一象限中的部分，即利用被积函数无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得设，其中于是由于，故为计算上的二重积分，可引入极坐标满足.在极坐标系中的方程是的方程是， ，因而 ，故令作换元，则，于是且，代入即得综合以上计算结果可知2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤(,).Df x y d σ⎰⎰{}(,)2D x y x y =+≤1D {}1(,)0,0D Dx y x y =≥≥(,)f x y 1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰11112D D D =+{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-1111122200111(1)3412xD x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰12D (,)r θcos ,sin x r y r θθ==(,)r θ1x y +=1,2cos sin r x y θθ=+=+2cos sin r θθ=+12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭1222cos sin 2100cos sin 1cos sin D r d dr d rππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰tan2t θ=2arctan t θ=:0:012t πθ→⇔→2222212,cos ,sin 111dt t td t t tθθθ-===+++12112220000112210010122(1)cos sin 122(1)22 221)D dt dtd t u t t t du du du u u πθθθ===-=++--=-==--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11(,)41)1)123Df x y d σ=⨯+=+⎰⎰（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得【详解】：证明：(1)设在内某点同时取得最大值，则，此时的c 就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在(2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即. （20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组()f x ()g x [],a b ()f a ()g a ()f b ()g b (,),a b η∈()()f g ηη=(,),a b ξ∈''()''().f g ξξ=(),()f x g x (,)a b (,)c a b ∈()()f c g c =()()f g ηηη=使得()max (),()max ()f c f x g d g x ==()()0,()()0f c g c g d f d ->-<(,)c d ()()f g ηηη=使得(,),(,)a b ηη''1212,,()()f f ξξξξ使得＝12(,)ξξ''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得21()34f x x x =--1x -102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn nnn n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01()(1)10212nnn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解的解.即距阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为： （22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值是A 的属于的一个特征向量.记，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. 【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证，于是 于是是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即 ， 所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为，所以有方程如下：于是求得B 的属于1的特征向量为因而，矩阵B 属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数. 矩阵B 属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数. （Ⅱ）由有 令矩阵，1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪⎪++⎝⎭1,2a a ==1a =(1,0,1)T ξ=-,1,2,x k k ξ==2a =111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1230,1,1x x x ===-(0,1,1)T k -12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-1λ534B A A E =-+1α111(1,2,3...)n n A n αλα==5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-1α53()()4()1B A A λλλ=-+1α123(,,)T x x x 1230x x x -+=23(1,0,1),(1,1,0)T T ββ=-=2μ=-1(1,1,1)T k -1k 1μ=23(1,1,0)(1,0,1)T T k k +-23,k k 1122332,,,B B B ααβαββ=-==123123(,,)(2,,)B αααβββ=-则，所以 那么（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. 【详解】：（Ⅰ），其中D 为中的那部分区域；求此二重积分可得 （Ⅱ）当时，； 当时，；当时，当时， 于是（24）（本题满分11分）设总体的概率密度为. 其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值. （Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由. 【详解】：（Ⅰ）记，则 ，解出，因此参数的矩估计量为； 1(2,1,1)P BP diag -=-11123123211111033(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦(,)X Y 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他{}2P X Y >Z X Y =+()Z f z {}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰01,01x y <<<<2x y >{}11202(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰1205()8x x dx =-⎰724={}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤0z ≤()0Z F z =2z ≥()1Z F z =01z <<3201()(2)3zz xZ F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰12z <<1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他X 1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他(01)θθ<<12,,...n X X X X X θθ24X 2θEX μ=1022(1)x x EX dx dx θθμθθ==+-⎰⎰1142θ=+122θμ=-θ122X θ=-（Ⅱ）只须验证是否为即可，而，而 ，，， 于是 因此不是为的无偏估计量.2(4)E X 2θ22221(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n==+=+1142EX θ=+221(12)6EX θθ=++22251()481212DX EX EX θθ=-=-+222533131(4)1233n n n E X n n nθθθ+-+=++≠24X 2θ。
