第六章 线性空间
1.设,N M ⊂证明：,M
N M M
N N ==。
证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N
M ∈。又因
,M N M ⊂ 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论
哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ⊂所以M
N N =。
2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。
证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若
)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此
.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N
L ∈，得
),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂
于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N
L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M
L ∈且，x M
N ∈因而（）（M L ）。
,,N L x M N X M L M N M M N M
N ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以
（）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）
即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量
乘法；
3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： 0k a =； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：
k a a =；
8） 全体正实数r ，加法与数量乘法定义为：
a b ab ⊕=，k k a a =；
解 1）否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如 523n n
x x ++--=（）（）。
2）令V={f （A ）|f （x ）为实数多项式，A 是n ×n 实矩阵} 因为
f （x ）+
g （x ）=
h （x ），kf （x ）=d （x ） 所以
f （A ）+
g （A ）=
h （A ），kf （A ）=d （A ）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v 构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有
'''（A+B ）
=A +B =-A-B=-（A+B ），A+B 仍是反对称矩阵。 KA KA K A KA ''==-=-（）（）（）
，所以kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a ，b ）的负元是（-a ，2
a -
b ）。对于数乘：
即),(),(),()(b a l b a k b a l k ⊕=+。
＝)])(2
)
1((),([221212121a a k k a a b b k a a k +-+
+++， ＝)2)1(,()2)1(,(2
2222111a k k kb ka a k k kb ka -+⊕-+
＝)2
)1(2)1(,(2122
2221121a a k a k k kb a k k kb ka ka +-++-++
＝)2)1(2)1()(),((212122
221212121a a k a a k a k k a k k a a b b k a a k -+-++-++++
＝))(2
)1()(),((2
2221212121a a k k a a b b k a a k +-++++，
即=⊕),(),(2211b a b a k ),()(221,1b a k b a k ⊕，所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为.01αα≠= 。
7）否，因为)()()(,2,)(αααααααααα l k l k l k l k +≠+=+=+=+所以， 所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足 所以，所给集合+
R 构成线性空间。
4 在线性空间中，证明：1）00=k 2）βαβαk k k -=-)(。
证 1）00))(()1()())((0==-+=-+=-+=-+=ααααααααk k k k k k k k 。
2）因为()(),()k k k k k k k αββαββααβαβ-+=-+=-=-所以。
5 证明：在实函数空间中，1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。
证 因为1cos 22cos 2
-=t t ，所以1，t t 2cos ,cos 2
式线性相关的。
6 如果)(),(),(321x f x f x f 是线性空间][x P 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互
素，那么他们线性无关。
证 若有不全为零的数321,,k k k 使0)()()(332211=++x f k x f k x f k ，
不妨设,01≠k 则)()()(31
3212
1x f k k x f k k x f --
=，这说明)(),(32x f x f 的公因式也是)(1x f 的因式，即)(),(),(321x f x f x f 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以
)(),(),(321x f x f x f 线性无关。
7 在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。设
1）)1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321=--=--=--==ζεεεε；
2）)1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321=--====ζεεεε。
解 1）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++1
121
d c b a d c b a d c b a d c b a ，
可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为4
1
,41,41,45-=-===
d c b a 。
