【小学五年级奥数讲义】长方体和正方体(二)

五年级奥数之长方体和正方体的表面积例1：一个长方体的棱长之和是48厘米，长是5厘米，宽是4厘米，求它的表面积。

这个长方体的高可以用48减去长和宽的和（5+4=9）得到，即39厘米。

根据长方体表面积的公式，它的表面积为2×(5×4+5×39+4×39)=518平方厘米。

例2：一个零件形状大小如下图，求它的表面积。

由于这个零件由一个长方体和两个正方体组成，可以分别计算它们的表面积再相加。

长方体的表面积为2×(5×4+5×3+4×3)=94平方厘米，正方体的表面积为6×(3×3)=54平方厘米，因此这个零件的表面积为94+54=148平方厘米。

例3：有一个长方体形状的零件。

中间挖去一个正方体的孔（如下图）。

求它的表面积。

（单位：厘米）由于这个零件由一个长方体和一个正方体孔组成，可以先计算长方体的表面积，再减去正方体孔的表面积。

长方体的表面积为2×(8×6+8×2+6×2)=208平方厘米，正方体孔的表面积为6×2×2=24平方厘米，因此这个零件的表面积为208-24=184平方厘米。

例4：下图中的立体图形是由14个棱长为5cm的立方体组成的，求这个立体图形的表面积。

首先可以将这个立体图形分解为一个长方体和两个正方体。

长方体的长、宽、高分别为5、5、10，表面积为2×(5×5+5×10+5×10)=300平方厘米。

正方体的边长为5，表面积为6×(5×5)=150平方厘米。

因此这个立体图形的表面积为300+150+150=600平方厘米。

例5：一个正方体的表面积为54平方厘米，如果一刀把它切成两个长方体，那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？一个正方体的表面积为6a^2，其中a为边长。

小学五年级下册奥数题型分类讲义(附答案)图形问题专题1长方形、正方形的周长一、专题解析同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4.长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。

那么如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长呢？还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的图形转化为标准的图形，以便计算它们的周长。

二、精讲精练例题1】有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。

思路导航】根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。

因此，所求周长是18×4=72厘米。

操演11、右图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。

2、右图由1个正方形和2个长方形组成，下方长方形长为50cm，求这个图形的周长。

3、有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。

1例题2】一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。

现在这块木板的周长是多少厘米？思路导航】把截掉的192平方厘米分红A、B、C三块（如图），个中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。

把A和B移到一同拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。

176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=88（厘米）。

练21、有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分恰好是一个正方形。

求这个正方形的周长。

2、有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是几何？3、有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍是长方形。

小学五年级奥数分类讲义含答案图形问题专题1 长方形、正方形的周长一、专题解析同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。

长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。

那么如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长呢？还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的图形转化为标准的图形，以便计算它们的周长。

二、精讲精练【例题1】有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。

【思路导航】根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。

因此，所求周长是18×4=72厘米。

练习11、右图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。

2、右图由1个正方形和2个长方形组成，下方长方形长为50cm，求这个图形的周长。

3、有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。

【例题2】一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。

现在这块木板的周长是多少厘米？【思路导航】把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。

把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。

176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=88（厘米）。

练习21、有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。

求这个正方形的周长。

2、有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？3、有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。

长方体和正方体的体积知识引入：一、体积和体积单位例题1：填空。

(1)我们常用的体积单位有( )、 ( )、( )，用字母表示是( )、( )、( )。

(2)棱长是1 cm、1 dm和1 m的正方体的体积分别是1( )、1( )和1( )。

例题2：连线。

学校升旗台的体积 24立方厘米书包的体积 24立方米健胃消食片包装盒的体积 24立方分米例题3：下面图中的每个木块都一样，哪堆的体积大？为什么？知识精讲1：体积和体积单位1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。

2.计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3、m3。

二、长方体和正方体的体积例题4：填空。

(1)用( )个棱长1 cm的小正方体可以拼成一个长3 cm，宽2 cm，高5 cm的长方体，这个长方体的体积是( )cm3。

(2)一个长方体铁块，长50厘米，宽30厘米，高2.5厘米。

它的体积是( )立方厘米。

(3)棱长为4厘米的正方体的体积是( )立方厘米。

(4)正方体的棱长扩大为原来的3倍，体积扩大为原来的( )倍。

(5)一个正方体的棱长总和是36米，体积是( )立方米。

例题5：计算下面长方体和正方体的体积。

例题6：中心广场要建一个喷水池，施工时要挖长15 m、宽7 m、深5 m的长方体土坑，一共挖出多少方的土(“1 m3”的土、石、沙称为“1方”)?知识精讲2：长方体和正方体的体积。

1.长方体的体积＝长×宽×高 V＝a b h2.正方体的体积＝棱长×棱长×棱长V＝a33.长方体(或正方体)的体积＝底面积×高V＝S h4.当长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍时，它的体积扩大到原来的倍；5.当正方体的棱长扩大到原来的n倍时，它的体积扩大到原来的倍。

名称体积计算公式需要的条件长方体长方体的体积＝长×宽×高长方体的长、宽和高正方体正方体的体积＝棱长×棱长×棱长正方体的棱长长方体（或正方体）长方体（或正方体）的体积=底面积×高长方体（或正方体）的底面积和高三、体积单位间的进率例题7：填空。

第5讲长方体和正方体（二）知识点一：长方体和正方体的表面积1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。

2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽侧面积（左面、右面）＝宽×高前（后）面积＝长×高表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×23、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12表面积＝棱长×棱长×6 （任意一个面积×6）没盖的表面积＝棱长×棱长×5知识点二：长方体和正方体的体积1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。

2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。

10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高字母公式：v=abh v=sh3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长4、读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。

5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成3m。

dm，3cm，36、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。

7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。

8、、体积和容积单位之间的进率：1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升字母表示：13dmdm 1L=1000ml 1L=13dm =10003cm 13m =100031ml=1 3cm9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。

但要从容器里面量长、宽、高。

第14讲长方体和正方体（二）一、知识要点在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。

解答上述问题，必须掌握这样几点：1.将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；2.两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；3.物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。

二、精讲精练【例题1】有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。

从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。

将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？练习1：1.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。

现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。

问水面高多少？2.有一个长方体水箱，从里面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。

放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。

这时水面高多少厘米？【例题2】将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。

练习2：1.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。

现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。

2.将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。

【例题3】有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。

如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？练习3：1.有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米。

把一块假山石浸入水中后，水面上升0.8分米。

长方体和正方体（一）我们已经学习了长方体和正方体的有关知识，如长方体和正方体的特征，长方体和正方体表面积、体积的计算。

在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体的知识，这些问题既有趣，又具有一定的思考性，解答这些问题，不仅需要我们具备较扎实的基础知识和较强的观察能力、作图能力和空间想象能力，还要能掌握一此致解题的思路的技巧。

通过本讲的学习，同学们将从解题的过程中得到一些启示，悟出一些道理，从而提高空间想象能力和分析推理能力。

例题与方法例1．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。

这个长方体的体积和表面积各是多少？例2．在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的小。

如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？例3．一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球。

每一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。

已知每次从容器中溢出的水量的情况：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。

问：大球的体积是小球的多少倍？例4．一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长15厘米的长方体铁块。

这时容器里的水深0.5米。

如果把铁块取出，容器里水深多少厘米？练习与思考1．一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。

2．用2100个棱长是1厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。

已知长方体的高是10厘米，并且长和宽都大于高。

这个长方体的长和宽各是多少厘米？3．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。

现在在水中沉入一个棱长30厘米的正方体铁块，这时容器中水深多少分米？4．把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一块棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体。

长方体和正方体（二）学习目标：1.理解表面积的意义，初步掌握长方体和正方体表面积的计算方法;2.掌握切割长方体和正方体求新增表面积的计算方法;3.掌握组合图形求表面积的计算方法.重点：理解并掌握切割、组合长方体或正方体求新图形表面积的计算方法.难点：1.充分理解平行于长方体或正方体哪两个相对的面切，就增加这两个面的面积；2.充分理解组合长方体或正方体时，重合哪两个面就减少这两个面的面积.知识点一：长方体和正方体表面积的计算方法1.长方体表面积的计算公式：（1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2（2）长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×22.用字母表示长方体表面积的计算公式：（1）S=2ab+2ah+2bh（2）S=（ab+ah+bh）×2注：S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高.3.正方体表面积的计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6.4.用字母表示正方体表面积的计算公式：S=6a2.（注：S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长）例1. 计算下列图形的表面积.（单位：cm）1.22.50.6 2.50.8 2.5练习1.一个长方体的长是6dm，宽是5dm，高是5dm，这个长方体前面的面积是（）dm2，左面的面积是（）dm2，上面的面积是（）dm2.例2.一个长方体形状的无盖水箱，长4dm，宽3dm，高5dm.制作这个水箱至少需要铁皮多少平方分米？练习2.天天游泳池，长25米，宽10米，深1.6米，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如果瓷砖的边长是1分米的正方形，那么至少需要这种瓷砖多少块？小结：在计算长正方体表面积时，可利用公式直接代入数据即可求出.S长方体=（ab+ah+bh）×2，S正方体=6a2.在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面.知识点二：切割长方体和正方体求新增表面积切割长方体或正方体时，平行于长方体或正方体哪两个相对的面切，就增加这两个面的面积.例1.把一个长16厘米，宽6厘米，高8厘米的大长方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积的和最大是多少平方厘米，最小是多少？练习1.把一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木块锯成两个小长方体，表面积最少增加多少平方厘米?最多增加多少平方厘米?例2.一个正方体的表面积是24平方分米，把它分成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是多少平方分米？练习2.一个正方体木块，表面积是30平方分米，如果把它据成大小一样的8个小正方体木块，每个小木块的表面积是多少？小结：切割长方体或正方体时，切记：平行于长方体或正方体哪两个相对的面切，就增加这两个面的面积.表面积增加最少时，平行于最小面切割；表面积增加最多时，平行于最大面切割.知识点三：组合图形求表面积的计算方法组合图形时，哪两个面重合就减少这两个面的面积；拼一次就减少2个面的面积.例1.求下列组合图形的表面积（单位：厘米）练习1.求下列组合图形的表面积8cm3cm3cm3cm 3cm例2.如下图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？练习2.这个颁奖台是由3个长方体合并而成的.它的前后两面涂上黄色油漆，其他露出来的面涂上红色油漆.涂黄油漆和涂红油漆的面积各是多少？小结：求组合图形的表面积时，一定是哪两个面重合就减少这两个面的面积.总结：1.长方体表面积的计算公式：长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，用字母表示：S=（ab+ah+bh）×2（S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高）2.正方体表面积的计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示：S=6a2（S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长）3.切割长方体或正方体时，平行于长方体或正方体哪两个相对的面切，就增加这两个面的面积.4.求组合图形的表面积时，哪两个面重合就减少这两个面的面积；拼一次就减少2个面的面积.。

第二讲长方体和正方体的表面积在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。

这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。

解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。

例题选讲例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。

【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。

根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况。

解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。

长方体的表面积：(1)(11×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平方厘米)例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积。

【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米)。

例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。