浅谈数学类比法解决数学问题

用“类比法”解决小学数学问题传说鲁班上山砍树时,不小心被齿形草叶划破了手,如此细小的草叶怎能划破手呢?鲁班细心观察,发现草叶边缘有许多小齿。

由此他联想:若用带齿的工具锯树一定比用刀砍树快得多。

这样,鲁班就发明了锯。

传说鲁班上山砍树时,不小心被齿形草叶划破了手,如此细小的草叶怎能划破手呢?鲁班细心观察,发现草叶边缘有许多小齿。

由此他联想:若用带齿的工具锯树一定比用刀砍树快得多。

这样,鲁班就发明了锯子。

在这里,鲁班所用的就是“类比法”。

在解题过程中，可通过联想找到一个与要解答的题目相类似的原型题，用原型题的解题方法使新问题获得解答。

这种思考方法叫做类比法。

常见的类比题型如下：钟表问题：可以与环形跑道赛跑问题类比进行思考。

钟表中的时针和分钟与赛跑中的运动员是对应的，分针对时针的追及与运动员追及中的行程问题相似。

还有的题目可类比成工程问题、平均数问题等等。

例1小明每天6点回家吃晚饭。

一天，她妈妈从6点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时小明才回家，问小明几点钟回家的？提示：这道题也可以类比成追及问题，看作是两针在钟面作匀速圆周运动并且同向而行的问题。

当分针位于时针后面15格或者前面15格时，两针都成直角；分针走60格，时针走5格，因此分针每分钟比时针多走11 12 格。

从6点整同时出发，分针在时针后面5×6=30（格），可列式为：（5×6-15）÷（1-5 60 ）=164 11 （分）或（5×6+15）÷（1-5 60 ）=491 11 （分）根据题意小明是在6点491 11 分回家的。

拓展一某时，分针与时针正好在一条直线上，至少再过多少时间，两针重合？提示：如果把时针、分针的运动看作是甲乙两运动员在跑道上赛跑，把时针1小时所走的一格看作路程单位，那么可以把上题类比成追及问题：甲乙两人同向而行，甲在乙前面6千米，甲每小时走1千米，乙每小时走12千米。

浅谈初中数学教学中类比法的应用发表时间：2017-02-07T16:10:33.870Z 来源：《中小学教育》2017年1月第267期作者：石国华[导读] 类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种解题思路及猜测问题答案或者结论的一种有效方法。

广东省佛山市顺德区容桂兴华初级中学528000摘要：初中数学教学中用到类比法之处很多。

类比法是引导学生发现概念、性质、定理、解题方法的一种重要方法。

在教学中恰当使用类比，能让学生对（与已有知识在某些特征相似的）新知识有一个顺利的认同。

然后再分析它们之间的差异，这样就有助于学生加深对新、旧知识的记忆与理解，也有助于激发学生的学习兴趣，发展学生的思维能力，提高教与学的效果。

关键词：初中数学类比法引入新概念发现性质定理解题类比是根据两个不同的对象，在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，猜测这两个对象在其他方面也可能有类同之处，并做出某种判断的推理方法。

类比法是“先比后推”，“比”是类比的基础，“比”既要“比”共同点也要“比”不同点。

对象之间的共同点是类比法是否能够施行的前提条件，没有共同点的对象之间是无法进行类比推理的。

杰出的德国天文学家开普勒曾经说过：“我珍视类比胜过任何东西，它是我最可信的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中，它应该说是最不容忽视的。

”下面，根据本人的教学实践，从形成概念，发现性质、定理，解题三个方面，谈谈类比法在初中数学中的应用。

一、通过类比引入新概念现实中，大部分学生都认为数学概念太抽象，而数学概念是数学知识的基础。

学生对数学概念的形成过程、同化过程，就决定了对数学概念掌握的程度。

在学生对这一知识还没了解时，教师如何讲解对学生掌握的影响起很大作用，如果这时能利用我们已知的知识与之类比，那就能起到事半功倍的效果。

例如：类比一元一次方程的概念，发现一元二次方程的概念。

教师在引入一元二次方程的概念时，可以先给出下列方程：①2x-3=4；②y-1=3- y；③x2-2x=3；④x2=x+2；⑤y2=4。

运用类比方法，提高学生数学能力类比，是人们认识事物的一种重要方法，它是根据两个对象之间在某些方面的相似或相同点，从而推出它在其他方面也可能相似或相同的逻辑推理方法类比法是各种逻辑推理方法中最富有创造性的一种方法。

因而在数学教学过程中，要充分利用类比方法，去发现知识，探索规律，提高分析问题，解决问题的能力。

一、运用类比法，探索新知识初中数学应用类比的地方很多，例如：可用类比方法学习分式的性质。

学习时，首先让，并且指出这个性质正是分数通分和约分的理论依据，数、式通性，如果A、B、M，（其中M是不等于零的整式）约分的理论依据，运用它可以进行分式的加减运算和乘除运算。

这样，通过分式和分数的类比，加深了对分式性质的理解和记忆。

这样，通过分式和分数的类比，加深了对分式性质的理解和记忆。

再如，对实数的引入，也用类比法：先回顾一下算术数集扩张到有理数集，有理数集扩张到实数集的原因和必要性，让学生认识到，每一次数集的扩张的共同特点，即增添了新的元素及新的数集，解决了旧数集里所不能解决的矛盾。

如为了解决在算术数集里减数大于被减数的这种“不够减”的矛看，必须对算术数集进行扩张，即必须引人负数，并把新旧数（算术数和负数）合在一起构成新的数集称为有理数集。

接着，通过有理数的研究得知：有理数都是有限小数或无限循环小数。

而像π，2，33…这一类数都具有“无限不循环小数”的特点，类比前面做法，必须对有理数集进行扩张，即引入无理数，并把有理数集和无理数集所构成的新数集称为实数集。

由以上二例可以看出，类比比归纳更富有想象力，具有培养学生探素新知识和预测能力的作用。

二、运用类比法，把知识系统化刻卜勒曾说：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可依赖的老师，它能提示自然界的秘密，在几何中应该是最不容忽视的。

”在平面几何中，全等三角形与相似三角形的关系也是特殊与一般的关系，当我们研究了全等三角的性质和判定后，便可以通过相似三角形与全等三角形进行类比，去探索相似三角形的性质与判定。

浅谈类比、归纳法在高考中的应用摘要：近年来，我省高考数学中都有用类比归纳法解的题，多数都是填空题，下面就来谈谈如何解决这类题，首先谈谈类比、归纳法思想和应用。

关键词：高考类比归纳应用一、类比法1.类比法的思想所谓类比法是指根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，而推出它们在其它属性上也相同或相似的推理方法，也称为类比或类比推理法。

类比法不仅是一种以特殊到特殊的推理方法，也是一种寻求解题思路，猜测问题答案或结论的发现方法。

2.类比的分类（1）降维类比。

将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比。

（2）结构类比。

某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。

（3）简化类比。

简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题的解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法。

比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等。

但是，利用类比推理得出的结论不一定是正确的。

二、归纳法1.归纳法思想归纳法也称归纳推理，是指由个别到一般的推理方法。

即从几个单称判断或特殊判断（前提）得出的一个新的全称判断（结论）的推理方法。

它根据考察分析的对象是否完全分为完全归纳法和不完全归纳法。

2.归纳法分类归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。

完全归纳法是指通过考察一类事物的全体对象，肯定它们都具有某一属性，从而作出这类事物都具有这一属性的一般性结论的归纳推理方法。

不完全归纳法是指根据考察一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该事物都具有这一属性的一般结论的归纳推理方法。

在高考中经常使用的是不完全归纳法。

但是，利用类比推理得出的结论不一定是正确的。

三、类比、归纳法的应用例1：（2010陕12理）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，第五个等式为___________________。

类比法在小学数学教学中的运用：数学是一门重要的学科，它可以让我们在生活中更好的理解和应用，而数学教学也是学生必修的课程。

但是，少数学生对数学的学习及理解存在困难。

在小学数学教学中，教师可以运用不同的教学方法，以便更好地促进学生的学习。

本文将探讨其中一个较为常用的类比法，以及如何在小学数学教学中运用该方法，让学生更好地理解和应用数学知识。

一、类比法的简介类比法是一种教学方法，它通过将所学知识与某些具体的事物相比较来加深学生的理解，并提高其记忆和应用能力。

这种方法不仅可以帮助学生更好地理解所学内容，还可以引起他们的兴趣，从而开发他们的创造力和想象力。

二、类比法的优点类比法有以下优点：1.提高学生的理解能力：类比法将所学知识与具体的事物相比较，易于让学生理解其内涵和逻辑。

2.促进学生的记忆能力：在类比中，学生可以通过观察和记忆事物的特征和规律，来应用到所学知识中，进而加深记忆。

3.激发学生的情感投入：类比法运用生动具体的事例，帮助学生在学习过程中加深对知识的喜爱和情感认同，激发学生的学习兴趣和积极性。

三、类比法在小学数学教学中的运用1. 数学概念类比法在数学教学中，教师可以将数学概念与生活中的具体事例相比较，来帮助学生理解和应用所学知识。

例如，教师可以以自行车的轮子为例来讲解圆形的周长和面积，以公共汽车站的候车人群密集程度来理解概率的含义等等。

2. 数学运算法则类比法数学运算是数学学习的重要组成部分，教师可以将数学运算规则与具体的生活事例相比较，辅助学生理解记忆所学内容。

例如，让学生将一些有规律的实物排列起来，如彩色珠子、小球等，以此来演示数列和等数学知识。

3. 数学问题类比法在数学问题的解决中，教师可以通过丰富的类比法找到问题的关键，引导学生将所学知识和生活中的情境联系起来。

例如，教师可以将数学问题与魔方一起讲解，让学生通过旋转魔方来理解正反对称、平移对称等数学概念。

四、小学数学教学中应用类比法的优缺点小学数学教学中应用类比法的优点是十分显著的，它可以让学生在生动具体的情境下认知他们所学的知识，从而提高他们的学习效果。

类比法在高等数学教学中的应用作为一门复杂的数学课程，高等数学的学习和教学都有着极其复杂的道路。

为了使学习者更加深入了解数学概念，老师们一直在尝试各种教学方法来提高学习者的学习效果。

其中，类比法在高等数学教学中可以说是一种最有效的教学方法。

类比法是指采用某一事物来模仿另一事物的关系的教学方法。

根据这一教学方法，老师可以通过模拟出高等数学问题的真实情况，从而更好地让学生理解数学概念。

以此为基础，老师可以引导学生根据自身的实际经验，从不同角度来思考数学问题，更好地理解和掌握数学知识。

类比法在高等数学教学中的应用有几个方面。

首先，老师可以使用类比法来引导学生理解数学概念。

，老师可以使用类比法来引导学生分析数学问题。

最后，老师可以使用类比法来帮助学生解决数学问题。

相比于其他教学方法，这种方法能够明显地提高学生的学习效果。

对于高等数学而言，类比法学习和教学有着非常重要的意义。

首先，它可以帮助学生快速理解高等数学概念，提高课程学习效率；其次，它可以通过多种教学模式开发学生的创新能力和分析思维；最后，它可以更好地激发学生的兴趣以及丰富他们的课外活动，增加学习的乐趣。

但是，目前类比法在高等数学教学中的应用还存在一些不足的地方。

首先，老师没有足够的时间和资源来有效地实施类比法；其次，由于课程学习负担过重，学生缺乏充足的学习时间来学习类比法；最后，类比法可能导致学生对复杂数学问题的学习存在局限性。

然而，尽管存在这些不足，类比法仍然是一种有效的高等数学教学方法。

首先，老师可以结合实际情况，使用类比法来提高学习效率；其次，可以在课余时间开展专题讨论，提高学生分析数学问题的能力；最后，老师可以通过使用类比法来培养学生自主学习，提高课程学习效率。

综上所述，类比法在高等数学教学中有着重要的意义，在提高学习效果、培养学生创新能力和增强学习兴趣等方面都发挥着重要的作用。

因此，老师们应该充分利用类比法，以更加高效的方式推进高等数学教学，提高学生对高等数学概念的理解和学习能力。

类比教学法类比教学法就是利用知识之间存在的联系，用类比的方式进行教学的方法。

类比教学法能促使学生将自己已掌握的数学基础知识进行迁移，对引发学生的学习动机、帮助学生理解抽象的事物和概念、发展学生的求异思维以及培养学生学习的主动性，具有重要的意义。

类比教学法在数学课堂教学中有很广泛的应用价值。

本文对类比教学法在课堂教学中的运用策略进行了探索和归纳。

一、利用类比法构建新旧知识的内在联系大多数数学知识都存在着连贯性，类比法教学就是在学生原有认知的基础上，通过他们熟悉的知识来探索未知领域，顺利完成对新知识的建构。

在学习新知识的过程中，类比法教学能把学生带到那种似曾相识的情境中，让学生能够利用旧知识去理解新的学习内容，降低了学习难度，提高了学习效率，更轻松地感受新知识。

因此，在数学教学中，教师要结合教学内容，利用类比法进行教学，促进教学效率的提高。

例如，在学习“数列”时，一般都是通过类比进行解题，通过找出等差数列和等比数列相关定义及公式的相似点，从而推导出两者性质的联系，促进学生创新思维的发展，然后让学生探究等比数列的相关性质。

例，如果{an}，{bn}成等差数列，性质如下：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；{an+k}，{an+bn}仍成等差数列。

通过类比思维去分析，学生可以得出{an}，{bn}成等比数列。

若m+n=p+q，则am·an=ap·aq；{kan}（k≠0），{anbn}仍然成等比数列。

通过类比思考，让学生能够对新知识产生亲近感，有利于学生对知识的深刻理解，同时也能够帮助学生养成更加科学严谨的思维习惯。

二、利用类比法提高学生的创新能力新课改明确指出，教师不仅要向学生传授基础的知识，更需要在这一过程中培养学生的创新意识。

类比法在高中数学教学中的科学运用，能够帮助学生掌握解题方法之间的共通性，学生的思维水平和创新能力会得到提高。

比如，教学“复数乘法”时，教师可以引导学生类比整式乘法，使学生在自我探索中获得创造性的认识。

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５６㊀类比法在数学解题中的应用类比法在数学解题中的应用Һ陈镇伟㊀（福建仙游华侨中学，福建㊀莆田㊀３５１２００）㊀㊀ʌ文摘ɔ类比是两事物在一些方面相同或类似去推知在另外一些方面也相同或类似，但这种合情推理的结论可能正确，也可能错误，它还要靠逻辑推理去证明正确与否．类比法的关键就在于善于从新问题联想到旧问题，并把新旧问题进行类比．在具体应用中，我们一般可以根据四个原则进行类比解题，把新旧问题相类比，把简单与复杂问题相类比，把直观与抽象问题相类比，把学科间的问题相类比．有意识地培养应用类比法解题可提高思维能力和创造力，是获得新思路新发现的一条重要途径，并且能有效巩固和保持已有的知识．ʌ关键词ɔ类比；合情推理；数学问题；新旧问题；核心素养在瀚如浩海的初等数学题中，有大量的题目可用一种特殊的数学解题方法 类比法解决．什么是类比法呢？著名教育家波利亚说过， 在解答一个显然难以求解的问题时，提出一个适当的辅助问题，并加以解答，以找到解决原来问题的途径．这是一个最独特的智力活动 一个辅助问题，只要和原来问题相似，而且较为容易，它就可以给予方法论方面的意义 ．实际上类比法的实质就是如此．它是根据新旧问题在某些方面相似或相同，推导出它们在其他方面也可能相似或相同的方法，如果我们从逻辑上来看待类比法，它的形式就是数学推理中的类比推理，用符号表示即为：研究对象㊀㊀㊀㊀属性ȵ甲㊀㊀㊀㊀㊀ＡＢＣＤ㊀乙㊀㊀㊀㊀㊀ＡＢＣʑ乙也有属性Ｄ．类比推理是一种或然推理，因而应用类比法所推得的结论是不确定的，我们不能把类比法作为一种严格的数学推理方法．但是，当我们面对一道数学题束手无策时，我们若考虑用类比法来打开思路，则往往能激发我们的思维火花，使我们找到解题线索，为解决问题描出一个大概的过程和轮廓．正如康德所说的： 每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进． 应用类比法解题，首先必须全面㊁细致地审清题意，在审清题意的基础上，在脑海中闪现出与此类似的旧问题及相关的理论，并深刻分析问题的实质所在，把未知问题和已知问题加以对照，从而根据已知结论对未知问题的结论做出预测，解决新问题．类比法的关键就在于善于从新问题联想到旧问题，并把新旧问题进行类比．在具体应用中，我们一般可以根据四个原则来进行类比解题，把新旧问题相类比，把简单与复杂问题相类比，把直观与抽象问题相类比，把学科间的问题相类比．一㊁把新问题和旧问题相类比已有的知识㊁经验和方法往往对我们所要解决的问题有着重要的指导意义，适当地把新问题和旧问题相类比，能开阔我们的思路，使我们寻得解题方法．例１㊀解方程ｘ３＋（１＋２）ｘ２－２＝０．分析㊀这是以ｘ为未知数的三次方程，学生对三次方程的解法较为陌生，但对一元二次方程的解法则是掌握的，因此，我们可考虑把三次方程转化为一元二次方程，观察原方程结构特点，若把ｘ视为 已知数 ，把 ２ 看作未知数，则原方程便可以看作关于 ２ 的一元二次方程．解㊀设ｙ＝２，则原方程可化为ｙ２－ｘ２ｙ－（ｘ３＋ｘ２）＝０，解方程得：ｙ＝－ｘ或ｙ＝ｘ２＋ｘ，ʑｘ＝－２或ｘ２＋ｘ－２＝０，ʑｘ１＝－２，ｘ２＝－１＋１＋４２２，ｘ３＝－１－１＋４２２是原方程的解．例２㊀已知ｘ，ｙ，ｚ均为实数，且ｘｙʂ－１，ｙｚʂ－１，ｚｘʂ－１，求证：ｘ－ｙ１＋ｘｙ＋ｙ－ｚ１＋ｙｚ＋ｚ－ｘ１＋ｚｘ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ㊃ｙ－ｚ１＋ｙｚ㊃ｚ－ｘ１＋ｚｘ．分析㊀此题若用代数方法证明，则很冗繁，由于这道题的结论形式是三个代数式和等于它们三者之积，因此我们可以回忆一下所解过的类似问题，如下题：在әＡＢＣ中，求证：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ．这道题的证法是：ȵＡ＋Ｂ＋Ｃ＝π，ʑＡ＋Ｂ＝π－Ｃ，等式两边取正切得：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ１－ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ＝－ｔａｎＣ，去分母整理得：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ．要将该题的证法进一步移植到原题中，还必须使：ｔａｎＡ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ，ｔａｎＢ＝ｙ－ｚ１＋ｙｚ，ｔａｎＣ＝ｚ－ｘ１＋ｚｘ．经过分析研究，证法如下：令ｘ＝ｔａｎα，ｙ＝ｔａｎβ，ｚ＝ｔａｎγ，Ａ＝α－β，Ｂ＝β－γ，Ｃ＝γ－α，则ｔａｎＡ＝ｔａｎ（α－β）＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎα㊃ｔａｎβ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ，同理ｔａｎＢ＝ｙ－ｚ１＋ｙｚ，ｔａｎＣ＝ｚ－ｘ１＋ｚｘ，ȵＡ＋Ｂ＋Ｃ＝（α－β）＋（β－λ）＋（λ－α）＝０，ʑＡ＋Ｂ＝－Ｃ，取正切得ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ１－ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ＝－ｔａｎＣ，ʑｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ，即ｘ－ｙ１＋ｘｙ＋ｙ－ｚ１＋ｙｚ＋ｚ－ｘ１＋ｚｘ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ㊃ｙ－ｚ１＋ｙｚ㊃ｚ－ｘ１＋ｚｘ．二㊁把复杂问题和简单问题相类比面对复杂的问题，可把它简单化并解决之，从而获得解决原问题的启示和依据．例３㊀已知角α，β，γ，θ都是锐角，且α＋β＋γ＋θ＝π，求ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的最大值．分析㊀这里的ｙ是多个角的三角函数的积，较复杂，求解难以入手，不妨先来探讨一个相似的简单问题：已知角α，β都是锐角，α＋β＝Ａ（Ａ为定值且０＜Ａ＜π），求ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ的最大值．ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎ（Ａ－α）＝１２ｃｏｓ（２α－Ａ）－ｃｏｓＡ[]，㊀㊀㊀解题技巧与方法１５７㊀㊀依题设条件可知：当且仅当α＝Ａ２，即α＝β＝Ａ２时，ｙ取得最大值ｓｉｎＡ２()２．这个简单问题的解决给了我们什么启示呢？它使我们自然会猜想原问题正确的结论也许是：当且仅当α＝β＝γ＝θ＝π４时，ｙ取得最大值ｓｉｎπ４()４，这个结论果真正确吗？需要证明，直接证明此结论似难入手，正难则反，试证若α，β，γ，θ不都相等，则ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的值就无法取到最大．有了前面对简单问题的探究，此命题是很容易解决的，事实上，若α，β，γ，θ不都相等，不妨设αʂβ，我们暂且固定γ，θ的值不变，而让α，β值变化．则有α＋β＝π－（γ＋θ）为定值，且０＜π－（γ＋θ）＜π．ȵαʂβ，ʑｓｉｎα㊃ｓｉｎβ的值不是最大，从而ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的值也不是最大，所以我们对原问题的猜想是正确的，问题得以顺利解决．例４㊀解方程组ｘ＋ｙ＋ｚ＝３，（１）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝３，（２）ｘ３＋ｙ３＋ｚ３＝３．（３）{分析㊀粗看之下，很难入手，若用代入消元法，则计算十分繁杂，因此先考虑方程组ｘ＋ｙ＝３，（４）ｘ２＋ｙ２＝５，（５）{虽然这两个方程组的元数，次数均不相同，但仍有不少与原题相似的地方，如每一方程未知数的次数都是一样的，都是关于未知数的轮换式，都没有不同未知数乘积的项等．根据ｘ＋ｙ＝３，再由（４）２－（５）２，求出ｘｙ＝２，根据韦达定理得方程ｘ２－３ｘ＋２＝０，ʑｘ＝１或２，ʑ方程组的解为ｘ１＝１，ｙ１＝２，{或ｘ２＝２，ｙ２＝１．{类比于上述解法，在原方程组中已知ｘ＋ｙ＋ｚ＝３，同样设法求ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ和ｘｙｚ的值，最后用韦达定理求解．具体解法是：由（１）２－（２）２得ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝３２－３２＝３，由（１）３－（３）得（ｘ＋ｙ＋ｚ）３－（ｘ３＋ｙ３＋ｚ３）＝２４，ʑ（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）＝８，即（３－ｚ）（３－ｘ）（３－ｙ）＝８，ʑｘｙｚ＝１．根据韦达定理得ｕ３－３ｕ２＋３ｕ－１＝０，ʑ（ｕ－１）３＝０．从而可知ｘ＝１，ｙ＝１，ｚ＝１是原方程组的解．三㊁把抽象的问题和直观的问题相类比直观图形有助于挖掘问题的本质东西，帮助我们理清条序，迅速解题．图１例５㊀已知ａ＞０，ｂ＞０且ａ＋ｂ＝１，求证ａ－１ａ()２＋ｂ－１ｂ()２ȡ９２．分析㊀我们注意到左边两个平方项有相同的结构，可以类比联想到具有这种结构的函数ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ()２，利用导数性质容易断定此函数图像是凹的．如图１所示，ʑｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２ȡｆａ＋ｂ２()，ʑａ－１ａ()２＋ｂ－１ｂ()２ȡ９２．四㊁把这一学科的问题和邻近学科的问题相类比数学各门分科并不截然孤立，而是有着千丝万缕的联系的．正是由于这种学科间的相互联系，相互渗透使我们得以根据类比思想方法创造性解决问题，使思维得到更高层次发展．例６㊀从四面体的四个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ分别向所对的平面引垂线，其长分别为ｈａ，ｈｂ，ｈｃ，ｈｄ，Ｐ为四面体内任一点，从Ｐ向Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点所对的平面作垂线，垂线长分别为ｐａ，ｐｂ，ｐｃ，ｐｄ，求证：ｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＋ｐｄｈｄ＝１．分析㊀立体几何问题一般可以和平面几何问题相类比，故可考虑如下的一平面几何题以获得启发．设әＡＢＣ的三边ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ的高分别为ｈｃ，ｈｂ，ｈａ，并且三角形内任一点Ｐ到这三边的距离分别为ｐｃ，ｐｂ，ｐａ．求证：ｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＝１．图２证法为：如图２，连接ＰＢ，ＰＣ，ｐａｈａ＝１２ＢＣ㊃ｐａ１２ＢＣ㊃ｈａ＝ＳәＰＢＣＳәＡＢＣ．同理ｐｂｈｂ＝１２ＡＣ㊃ｐｂ１２ＡＣ㊃ｈｂ＝ＳәＰＡＣＳәＡＢＣ，ｐｃｈｃ＝１２ＡＢ㊃ｐｃ１２ＡＢ㊃ｈｃ＝ＳәＰＡＢＳәＡＢＣ，ʑｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＝ＳәＰＢＣ＋ＳәＰＡＣ＋ＳәＰＡＢＳәＡＢＣ＝１．原题与上题类比可得证法如下：ｐａｈａ＝１３ＳәＢＣＤ㊃ｐａ１３ＳәＢＣＤ㊃ｈａ＝ＶＰ－ＢＣＤＶＡ－ＢＣＤ，同理ｐｂｈｂ＝ＶＰ－ＡＣＤＶＡ－ＢＣＤ，ｐｃｈｃ＝ＶＰ－ＡＢＤＶＡ－ＢＣＤ，ｐｄｈｄ＝ＶＰ－ＡＢＣＶＡ－ＢＣＤ，ʑｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＋ｐｄｈｄ＝ＶＰ－ＡＣＤ＋ＶＰ－ＡＢＣ＋ＶＰ－ＢＣＤ＋ＶＰ－ＡＢＤＶＡ－ＢＣＤ＝１．可以说，在数学中类比法可解决许多难题，它的应用范围较为广泛，使用类比法解题要求我们首先要有扎实的知识基础，其次要善于联想，善于分析，合情推理，挖掘事物间本质㊁必然的联系，以经过论证的事实为依据，去推测出问题的结论．正是由于类比法的这种特征，所以教师有意识地培养学生应用类比法解题可提高学生思维能力和创造力，并且使其巩固和保持已有的知识，这是获得新思路新发现的一条重要途径．ʌ参考文献ɔ［１］吴卓．类比推理在高中生物新课程教学中的应用研究［Ｄ］．长春：东北师范大学，２０１１．［２］陈慧敏．把握问题结构叩开解决问题大门 用连除解决问题 教学思考［Ｊ］．教育界：基础教育研究（中），２０１６（０６）：５７－５９．。

中学教学2021年第1期一、数学中类比思想概述数学中类比思想主要有以下几种，第一，质料类比。

对于质料类比的理解，即根据类比的性质所进行的类比。

跟其他几种类比相比，这种类比是比较简单的，只是根据两者性质进行一些简单的类比，这样就使得类比结果存在较大的偶然性。

第二，形式类比。

根据两个物质的因果关系和规律进行类比，这种类比具有一定的依据，因此在类比结果方面，可靠性也比较高。

第三，综合类比。

这种类比方法是通过数学模型，根据数学模型所表现出来的一些相似性来进行类比。

比如，数学中生物器官技术的模拟设计就是应用了这种类比方法。

类比在数学学习中具有重要的应用价值。

首先，通过类比思想的应用有利于激发学生的学习兴趣。

传统的数学教学只是简单地在进行知识传授，而通过类比就可以引导学生主动地去发现知识，以及学习知识。

这种学习方法将会给学生带来良好的学习体验，提高学生在这方面的兴趣。

其次，对于学生的数学思维能力也能够进行提升。

类比可以让学生根据自己熟悉的问题或者方法，对陌生问题进行一定的推理。

在推理过程中，学生的思维就会得到相应的训练，从而促使学生在这方面能力的提升。

二、类比思想在数学解题中的应用（一）数列中类比作为数学中重要组成部分，数列的学习需要应用到类比思想，比如，和—积、差—商等。

在解决这些习题时，就需要学生根据以前学过的知识，对现有的问题进行一定的联想和类比，通过知识的迁移来达到解决问题的目的。

以等差数列学习为例，在等差数列{an}中，已知条件an=0，a1+a2+……an=a1+a2+……a19-n（n＜19，n∈N+）成立，让学生根据这个条件求解等比数列{bn}，如果b9=1，则等式成立。

在这过程中，学生需要对已知的条件进行处理，将已知条件转化为a1+a2+……a19-n =a1+a2+……+an+an+1+an+2+……a19-n，而通过an=0可以知道an+an+1+an+2+……a19-n=0，所以上述条件的等式成立。